数学破题36计
第4计 关羽开门 刀举成功
●计名释义
关羽诸葛 诸葛智星着扇子关羽武士刀 关斩刀水淹七军刀
数学分析分解分割等讲刀工 关羽切瓜分片什意思？切者七刀分者八刀难数学题七刀八刀粉碎
●典例示范
［例1］ （2006年四川卷第19题）
图长方体ABCD—A1B1C1D1中EP分BCA1D1中点MN分AECD1中点ADAA1aAB2a
（Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1
（Ⅱ）求二面角P—AE—D
（Ⅲ）求三棱锥P—DEN体积
［分析］ 长方体长正宽高2倍正关羽开门象：刀中劈分成2相等正方体 正方体该熟悉啊关线段长度线段间位置关系指掌
［解Ⅰ］ 取D1C1中点Q QMN作面QRST 显然MN面里
易知QNSM行面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（证毕）
［插语］ 简单正方体熟悉 正方体感谢关羽刀功 （Ⅱ）（Ⅲ）转化正方体里进行（略）
例2 (04·重庆卷题21)设p>0常数点Q（2p0）直线抛物线y22px交相异两点AB线段AB直径作圆H（H圆心）
（Ⅰ）试证：抛物线顶点圆H圆周
（Ⅱ）求圆H面积时直线AB方程
分析 （Ⅰ）AB圆H直径欲证抛物线顶点圆种策：（1）证|OH||AB|
(2)证|OA|2+|OB|2|AB|2
（3）证∠AOB90°OA⊥OB等
显然利量知识证0明智举
解答 （Ⅰ）AB⊥x轴时直线AB方程x2p代入y22pxy24p2y±2p∴|AB||y1y2|4p
显然满足|OQ||AB|时QH重合∴点Q⊙H
直线ABx轴垂直设直线AB：ytanα(x2p)
x代入：ytanα·2ptanαtanα·y22py4p2tanα0
方程二实根y1y2
∴y1+y2y1y24p2
∵ x1x2+y1y2+y1y24p20
∴点OAB直径圆
分析 (Ⅱ)圆面积须圆半径取值避免出直径AB长函数表达式直观已推测AB⊥x轴时弦AB长短(证方)种途径
(1)直线点斜式抛物线方程联立关x（y）元二次方程利韦达定理写出|AB|2函数式二次函数均值等式知识求值
(2)直线参数方程抛物线方程联立关参数t元二次方程利韦达定理写出|AB|2（t1t2）2函数表达式正余弦函数界性求值
两种方法优长须牵涉两变量xy推荐利投影公式出|AB|函数式牵涉变量
解答（Ⅱ）直线AB倾角αα90°时⊙H半径2pS⊙H4πp2
α≠90°时妨设α∈［0)
综|AB|min4p仅α90°时（S⊙H）min4πp2相应直线AB方程：x2p
解：（1）知恒∠AOB90°
∴||2|
≥2x1x2+2p(x1+x2)
≥2x1x2+4p
∵y1y24p2∴x1x2
||2≥16p2| |min4p仅x1x22p时S⊙H4πp2
点评 斧子开门说进直接墙洞直接
●应训练
1已知函数f(x)a1x+a2x2+a3x3+…+anxnn∈N+a1a2…an构成数列{an}满足f(1)n2
(1)求数列{an}通项公式求值
(2)证明02矩形ABCD中AB6BC2角线BD△ABD折起点A移点P点P面BCD射影ODC(图示)
(1)求证PD⊥PC
(2)求二面角P—DB—C
●参考答案
1分析： (1){an}项f(x)展开式中项系数项Snf(1)
(2)预见f展开式项系数成等差字母成等综合数列
种数列求方法错项相减
(3)f解析式必含变量n判断范围考虑求导法判断单调性
解答： (1)∵f(1)a1+a2+…+ann2
Snn2
∴anSnSn12n1
(2)(1)知an2n1
∴f1× ①
②
①②
f
1
设g(x)∵g′(x)3x+(x+1)·3xln3· (1)
∴g(x)R+减函数g(n)N+减函数［g(n)］maxg(1)
n→∞时g(n)→0∴∈f∈
2分析图形翻折(移旋转)位置改变关线段长度角度原行垂直等关系位置改变前没改变紧扣点悟出解题门道
(1)证PD⊥PC须先证PD⊥面PBC已PD⊥PB(翻折前AD⊥AB)须PD⊥BC
(2)求二面角点找出二面角面角已PO⊥面BCDOO∈CD须作OM⊥BD
解答 (1)条件知PO⊥面BCDOO∈CDBC⊥CD∴BC⊥PD(三垂线定理)PD⊥PB∴PD⊥面PBCPD⊥PC
(2)作OM⊥BDM连接PMBD⊥PM(三垂线定理)∴∠PMO二面角P—BD—C面角
∵PB6
PD2∴BD4PM3
已证PD⊥PC∴PC
PO
sin∠PMO∠PMOarcsin
求二面角P—DB—Carcsin
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
第4计 关羽开门 刀举成功
●计名释义
关羽诸葛 诸葛智星着扇子关羽武士刀 关斩刀水淹七军刀
数学分析分解分割等讲刀工 关羽切瓜分片什意思？切者七刀分者八刀难数学题七刀八刀粉碎
●典例示范
［例1］ （2006年四川卷第19题）
图长方体ABCD—A1B1C1D1中EP分BCA1D1中点MN分AECD1中点ADAA1aAB2a
（Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1
（Ⅱ）求二面角P—AE—D
（Ⅲ）求三棱锥P—DEN体积
［分析］ 长方体长正宽高2倍正关羽开门象：刀中劈分成2相等正方体 正方体该熟悉啊关线段长度线段间位置关系指掌
［解Ⅰ］ 取D1C1中点Q QMN作面QRST 显然MN面里
易知QNSM行面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（证毕）
［插语］ 简单正方体熟悉 正方体感谢关羽刀功 （Ⅱ）（Ⅲ）转化正方体里进行（略）
例2 (04·重庆卷题21)设p>0常数点Q（2p0）直线抛物线y22px交相异两点AB线段AB直径作圆H（H圆心）
（Ⅰ）试证：抛物线顶点圆H圆周
（Ⅱ）求圆H面积时直线AB方程
分析 （Ⅰ）AB圆H直径欲证抛物线顶点圆种策：（1）证|OH||AB|
(2)证|OA|2+|OB|2|AB|2
（3）证∠AOB90°OA⊥OB等
显然利量知识证0明智举
解答 （Ⅰ）AB⊥x轴时直线AB方程x2p代入y22pxy24p2y±2p∴|AB||y1y2|4p
显然满足|OQ||AB|时QH重合∴点Q⊙H
直线ABx轴垂直设直线AB：ytanα(x2p)
x代入：ytanα·2ptanαtanα·y22py4p2tanα0
方程二实根y1y2
∴y1+y2y1y24p2
∵ x1x2+y1y2+y1y24p20
∴点OAB直径圆
分析 (Ⅱ)圆面积须圆半径取值避免出直径AB长函数表达式直观已推测AB⊥x轴时弦AB长短(证方)种途径
(1)直线点斜式抛物线方程联立关x（y）元二次方程利韦达定理写出|AB|2函数式二次函数均值等式知识求值
(2)直线参数方程抛物线方程联立关参数t元二次方程利韦达定理写出|AB|2（t1t2）2函数表达式正余弦函数界性求值
两种方法优长须牵涉两变量xy推荐利投影公式出|AB|函数式牵涉变量
解答（Ⅱ）直线AB倾角αα90°时⊙H半径2pS⊙H4πp2
α≠90°时妨设α∈［0)
综|AB|min4p仅α90°时（S⊙H）min4πp2相应直线AB方程：x2p
解：（1）知恒∠AOB90°
∴||2|
≥2x1x2+2p(x1+x2)
≥2x1x2+4p
∵y1y24p2∴x1x2
||2≥16p2| |min4p仅x1x22p时S⊙H4πp2
点评 斧子开门说进直接墙洞直接
●应训练
1已知函数f(x)a1x+a2x2+a3x3+…+anxnn∈N+a1a2…an构成数列{an}满足f(1)n2
(1)求数列{an}通项公式求值
(2)证明0
(1)求证PD⊥PC
(2)求二面角P—DB—C
●参考答案
1分析： (1){an}项f(x)展开式中项系数项Snf(1)
(2)预见f展开式项系数成等差字母成等综合数列
种数列求方法错项相减
(3)f解析式必含变量n判断范围考虑求导法判断单调性
解答： (1)∵f(1)a1+a2+…+ann2
Snn2
∴anSnSn12n1
(2)(1)知an2n1
∴f1× ①
②
①②
f
1
设g(x)∵g′(x)3x+(x+1)·3xln3· (1)
∴g(x)R+减函数g(n)N+减函数［g(n)］maxg(1)
n→∞时g(n)→0∴∈f∈
2分析图形翻折(移旋转)位置改变关线段长度角度原行垂直等关系位置改变前没改变紧扣点悟出解题门道
(1)证PD⊥PC须先证PD⊥面PBC已PD⊥PB(翻折前AD⊥AB)须PD⊥BC
(2)求二面角点找出二面角面角已PO⊥面BCDOO∈CD须作OM⊥BD
解答 (1)条件知PO⊥面BCDOO∈CDBC⊥CD∴BC⊥PD(三垂线定理)PD⊥PB∴PD⊥面PBCPD⊥PC
(2)作OM⊥BDM连接PMBD⊥PM(三垂线定理)∴∠PMO二面角P—BD—C面角
∵PB6
PD2∴BD4PM3
已证PD⊥PC∴PC
PO
sin∠PMO∠PMOarcsin
求二面角P—DB—Carcsin
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
