三角函数
1角扩展
2角顶点原点重合角始边轴非负半轴重合终边落第象限称第象限角．
第象限角集合
第二象限角集合
第三象限角集合
第四象限角集合
终边轴角集合
终边轴角集合
终边坐标轴角集合
3角终边相角集合
4已知第象限角确定象限方法：先象限均分等份轴正半轴
方起次区域标二三四原第象限应标号终边落区域．
5长度等半径长弧圆心角做弧度．
6半径圆圆心角弧长角弧度数绝值．
7弧度制角度制换算公式：．
8扇形圆心角半径弧长周长面积
．
9设意角终边意点坐标原点距离
．
Pv
x
y
A
O
M
T
10三角函数象限符号：第象限全正第二象限正弦正第三象限正切正第四象限余弦
正．
11三角函数线：．
12 角三角函数基关系：
．
2三角函数诱导公式：
．
．
．
．
口诀：函数名称变符号象限．
．
．
口诀：正弦余弦互换符号象限．
3复合三角函数
1函数图象点左（右）移单位长度函数图象
图象点横坐标伸长（缩短）原倍（坐标变）函数
图象函数图象点坐标伸长（缩短）原
倍（横坐标变）函数图象．
2函数图象点横坐标伸长（缩短）原倍（坐标变）函数
图象函数图象点左（右）移单位长度函数
图象函数图象点坐标伸长（缩短）原倍（横坐标
变）函数图象．
3函数性质：
①振幅： ②周期： ③频率： ④相位： ⑤初相：．
函数时取值 时取值
．
函
数
性
质
4正弦函数余弦函数正切函数图象性质
图象
定义域
值域
值
时
时．
时
时．
值值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增函数
减函数．
增函数
减函数．
增函数．
称性
称中心
称轴
称中心
称轴
称中心
称轴
二面量
1量定义：方量．
2量三素：起点方长度．
3概念：零量：长度量．
行量（线量）：方相相反非零量．零量量行．
相等量：长度相等方相量．
单位量：长度等单位量表示方相单位量
例1中心请表示量
4量加法运算：
⑴ 三角形法特点：首尾相连．逆应量进行分解
具体情况视题目条件定
例2（2011四川）正六边形中（ ）
A B C D
⑵ 行四边形法特点：起点．
实际操作中更
逆应
例3（2013年四川高考题第12题）行四边形中角线交点
_____
例4重心请表示
⑶ 三角形等式：．
⑷ 运算性质：①交换律：②结合律：③．
⑸ 坐标运算：设．
5量减法运算：
（1）三角形法特点：起点连终点方指减量．
逆应意量分解两量差
具体情况视题目条件定
（2）坐标运算：设．
（3）设两点坐标分．
例5已知行四边形顶点求点量坐标
例6已知量满足中
线段中点点（ ）
A圆心半径圆 B圆心半径圆
C圆心半径圆 D圆心半径圆
6量数运算：
⑴ 实数量积做量数记作．
①
②时方方相时方方相反时．
⑵ 运算律：① ② ③．
⑶ 坐标运算：设．
7面量基定理：果面两线量面意量
实数．（线量作面量
组基底）
例7（2013北京理13）量正方形网格中位置图示
__________
8量线定理：量线仅唯实数．
设中仅时量线．
例8(2013陕西文) 已知量 实数等（ ）
A B C D0
9三点线定理：三点线利量减法法
（线）
例9（2007江西理15）图中点中点点直线分
交直线两点
值 ．
10面量数量积：
（1） ．零量量数量积．
（2） 运算律：①②③．
（3）性质：设非零量 ①．
②时反时
③ 量模：．
④ 数量积等式：．
例10（2013湖南）已知单位量量满足值
（ ）
A B C D
（4）坐标运算：
① 设两非零量．
② ．
例11（2011全国新课标卷）设量满足（ ）
A B． C． D．
③ 设．
例12（2013山东文）面直角坐标系中已知
实数值
④ 设非零量夹角
．
注：夹角数量积中存涉夹角时需构造数量积
例13（2006天津）设量夹角 ．
例14（2007辽宁）量线量夹角（ ）
A B C D
11面量三角形：
① 面积公式：：量邻边三角形面积公式
代数：量邻边三角形面积公式
例15（2010辽宁）面三点线设面积等（ ）
A B
C D
例16（2013福建理）四边形中该四边形面积（ ）
A． B． C． D．
② 量三角形心：
（1）重心G：中线交点（中线三等分点）
坐标
注：重心量加法行四边形法紧密相关
（2）垂心H：高交点
（3）外心N：中垂线交点直角三角形外心斜边中点
（4）心I：角分线交点
例17（2009宁夏海南理）已知面
点次
（ ）
A 重心 外心 垂心 B 重心 外心 心
C 外心 重心 垂心 D 外心 重心 心
例18（2010湖北）已知点满足存实数
成立（ ）
A B C D
例19面点设满足条件
（ ）
A外心 B心 C重心 D垂心
三三角恒等变换
1两角差正弦余弦正切公式：
⑴（交叉相符号相反）
⑵
⑶（交叉相符号致）
⑷
⑸（）
⑹（）．
注中包含两角两角正弦余弦正切均存
例1
例2已知
例3化简
2二倍角正弦余弦正切公式：
（1）．
（2）
注二倍角余弦三公式中具体选需视情况定般选
消掉
般选消掉
般选式分解约分
（3）．
例4化简：
例5
（Ⅰ）求 （Ⅱ）求取值范围
3降次扩角公式：．
4辅助角公式：中．
注辅助角公式两角差公式逆应数情况里辅助角特殊角
例5求满足取值范围
四解三角形
1正弦定理：中分角边外接圆半径
．
例1已知求
2正弦定理变形公式：
① ②
③ ④．
例2中求值
3三角形面积公式：．
例3中＝
4余弦定理：中
．
5余弦定理推：．
例4中求三角形角
6三角形形状：设角边：
①②③．
例5已知锐角三角形边长13取值范围
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1角扩展
2角顶点原点重合角始边轴非负半轴重合终边落第象限称第象限角．
第象限角集合
第二象限角集合
第三象限角集合
第四象限角集合
终边轴角集合
终边轴角集合
终边坐标轴角集合
3角终边相角集合
4已知第象限角确定象限方法：先象限均分等份轴正半轴
方起次区域标二三四原第象限应标号终边落区域．
5长度等半径长弧圆心角做弧度．
6半径圆圆心角弧长角弧度数绝值．
7弧度制角度制换算公式：．
8扇形圆心角半径弧长周长面积
．
9设意角终边意点坐标原点距离
．
Pv
x
y
A
O
M
T
10三角函数象限符号：第象限全正第二象限正弦正第三象限正切正第四象限余弦
正．
11三角函数线：．
12 角三角函数基关系：
．
2三角函数诱导公式：
．
．
．
．
口诀：函数名称变符号象限．
．
．
口诀：正弦余弦互换符号象限．
3复合三角函数
1函数图象点左（右）移单位长度函数图象
图象点横坐标伸长（缩短）原倍（坐标变）函数
图象函数图象点坐标伸长（缩短）原
倍（横坐标变）函数图象．
2函数图象点横坐标伸长（缩短）原倍（坐标变）函数
图象函数图象点左（右）移单位长度函数
图象函数图象点坐标伸长（缩短）原倍（横坐标
变）函数图象．
3函数性质：
①振幅： ②周期： ③频率： ④相位： ⑤初相：．
函数时取值 时取值
．
函
数
性
质
4正弦函数余弦函数正切函数图象性质
图象
定义域
值域
值
时
时．
时
时．
值值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增函数
减函数．
增函数
减函数．
增函数．
称性
称中心
称轴
称中心
称轴
称中心
称轴
二面量
1量定义：方量．
2量三素：起点方长度．
3概念：零量：长度量．
行量（线量）：方相相反非零量．零量量行．
相等量：长度相等方相量．
单位量：长度等单位量表示方相单位量
例1中心请表示量
4量加法运算：
⑴ 三角形法特点：首尾相连．逆应量进行分解
具体情况视题目条件定
例2（2011四川）正六边形中（ ）
A B C D
⑵ 行四边形法特点：起点．
实际操作中更
逆应
例3（2013年四川高考题第12题）行四边形中角线交点
_____
例4重心请表示
⑶ 三角形等式：．
⑷ 运算性质：①交换律：②结合律：③．
⑸ 坐标运算：设．
5量减法运算：
（1）三角形法特点：起点连终点方指减量．
逆应意量分解两量差
具体情况视题目条件定
（2）坐标运算：设．
（3）设两点坐标分．
例5已知行四边形顶点求点量坐标
例6已知量满足中
线段中点点（ ）
A圆心半径圆 B圆心半径圆
C圆心半径圆 D圆心半径圆
6量数运算：
⑴ 实数量积做量数记作．
①
②时方方相时方方相反时．
⑵ 运算律：① ② ③．
⑶ 坐标运算：设．
7面量基定理：果面两线量面意量
实数．（线量作面量
组基底）
例7（2013北京理13）量正方形网格中位置图示
__________
8量线定理：量线仅唯实数．
设中仅时量线．
例8(2013陕西文) 已知量 实数等（ ）
A B C D0
9三点线定理：三点线利量减法法
（线）
例9（2007江西理15）图中点中点点直线分
交直线两点
值 ．
10面量数量积：
（1） ．零量量数量积．
（2） 运算律：①②③．
（3）性质：设非零量 ①．
②时反时
③ 量模：．
④ 数量积等式：．
例10（2013湖南）已知单位量量满足值
（ ）
A B C D
（4）坐标运算：
① 设两非零量．
② ．
例11（2011全国新课标卷）设量满足（ ）
A B． C． D．
③ 设．
例12（2013山东文）面直角坐标系中已知
实数值
④ 设非零量夹角
．
注：夹角数量积中存涉夹角时需构造数量积
例13（2006天津）设量夹角 ．
例14（2007辽宁）量线量夹角（ ）
A B C D
11面量三角形：
① 面积公式：：量邻边三角形面积公式
代数：量邻边三角形面积公式
例15（2010辽宁）面三点线设面积等（ ）
A B
C D
例16（2013福建理）四边形中该四边形面积（ ）
A． B． C． D．
② 量三角形心：
（1）重心G：中线交点（中线三等分点）
坐标
注：重心量加法行四边形法紧密相关
（2）垂心H：高交点
（3）外心N：中垂线交点直角三角形外心斜边中点
（4）心I：角分线交点
例17（2009宁夏海南理）已知面
点次
（ ）
A 重心 外心 垂心 B 重心 外心 心
C 外心 重心 垂心 D 外心 重心 心
例18（2010湖北）已知点满足存实数
成立（ ）
A B C D
例19面点设满足条件
（ ）
A外心 B心 C重心 D垂心
三三角恒等变换
1两角差正弦余弦正切公式：
⑴（交叉相符号相反）
⑵
⑶（交叉相符号致）
⑷
⑸（）
⑹（）．
注中包含两角两角正弦余弦正切均存
例1
例2已知
例3化简
2二倍角正弦余弦正切公式：
（1）．
（2）
注二倍角余弦三公式中具体选需视情况定般选
消掉
般选消掉
般选式分解约分
（3）．
例4化简：
例5
（Ⅰ）求 （Ⅱ）求取值范围
3降次扩角公式：．
4辅助角公式：中．
注辅助角公式两角差公式逆应数情况里辅助角特殊角
例5求满足取值范围
四解三角形
1正弦定理：中分角边外接圆半径
．
例1已知求
2正弦定理变形公式：
① ②
③ ④．
例2中求值
3三角形面积公式：．
例3中＝
4余弦定理：中
．
5余弦定理推：．
例4中求三角形角
6三角形形状：设角边：
①②③．
例5已知锐角三角形边长13取值范围
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