23 等腰三角形性质定理课时步练20202021年数学浙教新版八（）
．选择题（6题）
1．等腰三角形面积24方厘米腰长8厘米．底边动点PP两腰距离（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
2．图△ABC中AB＝ACAD⊥BCDBE⊥ACE两角关系中成立（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠2 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠C
3．图△ABC中AB＝BC点DACBD⊥BC．设∠BDC＝α∠ABD＝β（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
4．等腰三角形腰高腰夹角等30°等腰三角形顶角等（ ）
A．30° B．60° C．30°150° D．60°120°
5．等腰三角形周长16cm中边长4cm该等腰三角形腰长（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm6cm D．4cm8cm
6．等腰三角形角角30°等腰三角形顶角度数（ ）
A．80° B．40° C．80°40° D．法确定
二．填空题（10题）
7．已知△ABC中AB＝AC∠B＝50°果D边BC中点∠CAD＝ 度．
8．图△ABC中AB＝AC＝2PBC意点PE⊥AB点EPF⊥AC点FS△ABC＝1PE+PF＝ ．
9．图Rt△ABC中∠C＝90°AF＝EF．∠CFE＝72°∠B＝ °．
10．△ABC中DEBCEA＝EBDA＝DC∠EAD＝30°∠BAC＝ ．
11．等腰三角形角70°等腰三角形顶角 ．
12．图△ABC中AD分∠BAC点P线段AD动点PE⊥AD交BC延长线点E．∠ACB＝84°BD＝DA∠E＝ °．（补充知识：等腰三角形两底角相等．）
13．图示等腰三角形ABC底边8cm腰长5cm动点P（BC重合）底边BC1cms速度移动P运动 秒时△ACP直角三角形．
14．已知△ABC中AB＝ACADBC边中线∠BAD＝40°．点E边AC点△ADE等腰三角形∠EDC度数 ．
15．图△ABC中AB＝AC∠B＝40°D线段BC动点（点BC重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段ACE．四结：
①∠CDE＝∠BAD
②DBC中点时DE⊥AC
③△ADE等腰三角形时∠BAD＝20°
④∠BAD＝30°时BD＝CE．
中正确结 （认正确结序号填）．
16．图△ABA1中∠B＝28°AB＝A1BA1B取点C延长AA1A2A1A2＝A1C连接A2C．完成列问题：
（1）∠A1A2C度数等 度
（2）果继续A2C取点D延长A1A2A3A2A3＝A2D连接A3D…进行An顶点锐角度数等 度．
三．解答题（8题）
17．图BE△ABC角分线AB取点DDB＝DE．
（1）求证：DE∥BC
（2）∠A＝65°∠AED＝45°求∠EBC度数．
18．图△ABC中∠A＝∠ABCDE垂直分BC交BC点D交AC点E．
（1）AB＝5BC＝8求△ABE周长
（2）BE＝BA求∠C度数．
19．图△ABC中∠ABC＝70°AB＝AC＝8DBC中点点N线段ADNM∥AC交AB点MBN＝3．
（1）求∠CAD度数
（2）求△BMN周长．
20．图△ABC中AB＝ACAB垂直分线交AB点N交BC延长线点M∠BAC＝40°．
（1）∠NMB＝
（2）果题中∠BAC度数改70°余条件变∠NMB＝
（3）发现什样规律性？试证明
（4）题中∠BAC改钝角规律性认识否需加修改？
21．已知△ABC中∠ABC＝∠ACB点D射线CB点点D作DE⊥AC点E．
（1）图1点D线段BC时请直接写出∠BAC∠EDC数量关系： ．
（2）图2点DCB延长线时画出图形探究∠BAC∠EDC数量关系说明理．
（3）（2）条件点F线段BC点点F作FG⊥AC点G连接AF∠AFG＝∠CFG∠BAF＝∠BFA延长EDAB交点K求∠EKA度数．
22．已知：图△ABC中CD⊥BA交BA延长线点D∠ABC＝∠ACB．
（1）∠DCB＝64°求∠BAC度数．
（2）图2点B作BE∥AC交DC延长线点E连接AE交BC点G．∠DCA＝2∠CAE求∠CGE度数．
（3）图3（2）条件点E作EF⊥BC交BC延长线点F．MNAE两点CM⊥CN∠ACM＝15°∠CNM+∠NCF＝145°求∠CAE度数．
23．图已知等腰△ABC中AB＝AC∠A＜90°CD△ABC高BE△ABC角分线CDBE交点P．
（1）∠A＝44°时求∠BPD度数
（2）设∠A＝x°∠EPC＝y°请含x代数式表示y说明理．
24． △ABC中AB＝ACAC边中线BD三角形周长分1018两部分求腰长AB．
参考答案
．选择题（6题）
1．解：已知：△ABC中PE⊥ABEPF⊥ACFAB＝AC＝8厘米△ABC面积24方厘米P底边BC动点．
求：PE+PF值．
解：连接AP
∵PE⊥ABPF⊥AC
∴S△ABP＝AB•PES△ACP＝AC•PF
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABCS△ABC＝24
∴AB•PE+AC•PF＝24
∴AB(PE+PF)＝24
∴PE+PF＝＝6cm
选：B．
2．解：∵△ABC中AB＝ACAD⊥BC
∴AD分∠BAC
∴∠1＝∠2
A正确符合题意
∵AD⊥BCDBE⊥AC
∴∠ADC＝∠BEC
∵∠C＝∠C
∴∠3＝∠2
B正确符合题意
∵∠4△ABF外角
∴∠4≠∠5
C错误符合题意
Rt△AEF中∠4＝90°﹣∠2
Rt△ADC中∠C＝90°﹣∠2
∴∠4＝∠C
D正确符合题意
选：C．
3．解：∵AB＝BC
∴∠A＝∠C
∵α﹣∠A＝βα+∠C＝90°
∴2α＝90°+β
∴2α﹣β＝90°
选：D．
4．解：高三角形部时图1
∵∠ABD＝30°BD⊥AC
∴∠A＝60°
∴顶角60°
高三角形外部时图2
∵∠ABD＝30°BD⊥ACD
∴∠BAD＝60°
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°
∴顶角120°．
选：D．
5．解：4cm腰长时底边16﹣4×2＝8（cm）
∵4+4＝8
∴4cm4cm8cm组成三角形
4cm底边时腰长×（16﹣4）＝6（cm）
4cm6cm6cm够组成三角形
综述腰长6cm．
选：B．
6．解：△ABC中设∠A＝x∠B＝x+30°分情况讨：
∠A＝∠C底角时2x+（x+30°）＝180°解x＝50°顶角∠B＝80°
∠B＝∠C底角时2（x+30°）+x＝180°解x＝40°顶角∠A＝40°．
等腰三角形顶角度数80°40°．
选：C．
二．填空题（10题）
7．解：∵AB＝AC∠B＝50°
∴∠C＝∠B＝50°
∵D边BC中点
∴AD⊥BC
∴∠CAD＝40°
答案：40．
8．解：图示连接APS△ABC＝S△ACP+S△ABP
∵PE⊥AB点EPF⊥AC点F
∴S△ACP＝AC×PFS△ABP＝AB×PE
∵S△ABC＝1AB＝AC＝2
∴1＝AC×PF+AB×PE
1＝×2×PF+×2×PE
∴PE+PF＝1
答案：1．
9．解：∵AF＝EF
∴∠A＝∠AEF
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°
∴∠A＝×72°＝36°
Rt△ABC中∠A＝36°
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
答案：54．
10．解：∵∠EAD＝30°
∴∠AED+∠ADE＝150°
∵EA＝EBDA＝DC
∴∠B＝∠BAE∠C＝∠CAD
∵∠AED+∠ADE＝∠B+∠BAE+∠C+∠CAD
∴∠BAE+∠CAD＝75°
∴∠BAC＝105°．
答案：105°．
11．解：题分两种情况
①70°角顶角时顶角度数70°
②70°角底角时顶角度数180°﹣2×70°＝40°
∴等腰三角形顶角40°70°．
答案：70°40°．
12．解：∵BD＝AD
∴∠B＝∠BAD
∵AD分∠BAC
∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠B
∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°∠ACB＝84°
∴∠B+2∠B+84°＝180°
解∠B＝32°
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B
∴∠ADC＝64°
∵PE⊥AD交BC延长线点E．
∴∠E+∠ADC＝90°
解∠E＝26°．
答案26．
13．解：A作AD⊥BCD
∵AB＝AC＝5cm
∴BD＝CD＝BC＝4（cm）
∴AD＝＝＝3（cm）
分两种情况：
①点P运动t秒PA⊥AC时图1
PB＝tPC＝8﹣t
∵AP2＝PC2﹣AC2＝PD2+AD2
∴（8﹣t）2﹣52＝（4﹣t）2+32
解：t＝175s
②AP⊥BC时图2
∵AB＝AC
∴PB＝PC＝BC＝4（cm）
∴t＝4s
综述P运动175s4s秒时△ACP直角三角形
答案：1754．
14．解：∵AB＝ACADBC边中线∠BAD＝40°
∴∠CAD＝∠BAD＝40°∠ADC＝90°
①AE1＝DE1时
∠ADE1＝∠CAD＝40°
∠E1DC＝90°﹣40°＝50°
②AE2＝AD时
∠ADE2＝∠AE2D＝（180°﹣40°）÷2＝70°
∠E2DC＝90°﹣70°＝20°．
∠EDC度数50°20°．
答案：50°20°．
15．解：①∵AB＝AC
∴∠B＝∠C＝40°
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB
∴∠BAD＝∠CDE①正确
②∵DBC中点AB＝AC
∴AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∴∠CDE＝50°
∵∠C＝40°
∴∠DEC＝90°
∴DE⊥AC②正确
③∵∠C＝40°
∴∠AED＞40°
∴∠ADE≠∠AED
∵△ADE等腰三角形
∴AE＝DE
∴∠DAE＝∠ADE＝40°
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°
∴∠BAD＝60°③错误
④∵∠BAD＝30°
∴∠CDE＝30°
∴∠ADC＝70°
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°
∴∠DAC＝∠ADC
∴CD＝AC
∵AB＝AC
∴CD＝AB
∴△ABD≌△DCE（ASA）
∴BD＝CE④正确
答案：①②④．
16．解：（1）△ABA1中∠B＝28°AB＝A1B
∴∠BA1A＝＝＝76°
∵A1A2＝A1C∠BA1A△A1A2C外角
∴∠A1A2C＝∠BA1A＝×76°＝38°
（2）理∠DA3A2＝19°∠EA4A3＝95°
∴An顶点锐角度数等度．
答案：38．
三．解答题（8题）
17．解：（1）∵BE△ABC角分线
∴∠DBE＝∠EBC
∵DB＝DE
∴∠DEB＝∠DBE
∴∠DEB＝∠EBC
∴DE∥BC
（2）∵DE∥BC
∴∠C＝∠AED＝45°
△ABC中∠A+∠ABC+∠C＝180°
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE△ABC角分线
∴∠DBE＝∠EBC＝．
18．解：（1）∵∠A＝∠ABC
∴AC＝BC
∵DEBC垂直分线
∴BE＝CE
∴△ABE周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC＝AB+BC
∵AB＝5BC＝8
∴△ABE周长＝5+8＝13
（2）∵BE＝BA
∴∠A＝∠AEB
∵BE＝CE
∴∠EBC＝∠C
∴∠A＝∠AEB＝∠EBC+∠C＝2∠C
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠C＝180°
解：∠C＝36°．
19．解：（1）∵AB＝AC
∴△ABC等腰三角形
∵∠ABC＝70°
∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°
∵DBC中点
∴AD分∠BAC
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝×40°＝20°
∠CAD度数20°．
（2）∵NM∥AC
∴∠ANM＝∠CAD
∵∠CAD＝∠BAD
∴∠ANM＝∠BAD
∴AM＝NM
∴△BMN周长＝MB+BN+NM＝AB+BN
∵AB＝8BN＝3
∴△BMN周长＝8+3＝11．
△BMN周长11．
20．解：（1）∵AB＝AC∠BAC＝40°
∴
∴∠CDM＝∠ADN＝90°﹣∠A＝50°
∴∠NMB＝∠ACB﹣∠CDM＝20°．
答案：20°．
（2）∵AB＝AC∠BAC＝70°
∴
∴∠CDM＝∠ADN＝90°﹣∠A＝20°
∴∠NMB＝∠ACB﹣∠CDM＝35°．
答案：35°．
（3）述规律：等腰三角形腰垂直分线底边相交成锐角等顶角半．
证明：设∠A＝α
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣α）
∵∠BNM＝90°
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝90°﹣（180°﹣α）＝α
（4）（1）中∠A改钝角（3）中猜想结然成立．
证明：设∠A＝α
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣α）
∵∠BNM＝90°
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝90°﹣（180°﹣α）＝α．
21．（1）图1中作AH⊥BCH．
∵AB＝ACAH⊥BC
∴∠BAH＝∠CAH
∵DE⊥AC
∴∠AHC＝∠CED＝90°
∴∠C+∠CAH＝90°∠C+∠EDC＝90°
∴∠CAH＝∠EDC
∴∠BAC＝2∠EDC．
答案∠BAC＝2∠EDC．
（2）图2中结：∠BAC＝2∠EDC．
理：∵AB＝ACAH⊥BC
∴∠BAH＝∠CAH
∵DE⊥AC
∴∠AHC＝∠CED＝90°
∴∠C+∠CAH＝90°∠C+∠EDC＝90°
∴∠CAH＝∠EDC
∴∠BAC＝2∠EDC．
（3）图2中设∠C＝∠FAC＝∠ABC＝x∠BAF＝∠BFA＝2x
∴5x＝180°
∴x＝36°
∴∠EAK＝∠ABC+∠C＝72°
∵KE⊥EC
∴∠E＝90°
∴∠EKA＝90°﹣72°＝18°．
22．（1）解：图1中作AH⊥BCH．
∵∠ABC＝∠ACB
∴AB＝AC
∵AH⊥BC
∴∠BAH＝∠CAH
∵∠ADC＝∠AHC＝90°
∴∠HAD+∠DCB＝180°
∵∠BAH+∠HAD＝180°
∴∠BAH＝∠DCB
∵∠BAC＝2∠BAH
∴∠BAC＝2∠DCB＝128°．
（2）解：图2中
∵AC∥BE
∴∠CAE＝∠AEB∠ACB＝∠CBE∠DCA＝∠DEB
∵∠DCA＝2∠CAE∠ABC＝∠ACB
∴∠ABC＝∠CBE＝∠DBE∠BED＝2∠AEB
∴∠AEC＝∠AEB＝∠DEB
∴∠CGE＝∠AEB+∠CBE＝∠DEB+∠DBE＝×90°＝45°．
（3）解：设∠ABC＝∠ACB＝x∠AEB＝∠AEC＝∠CAE＝y∠CNG＝z．
∵∠CNG+∠NCF＝145°∠NCF＝∠CGN+∠CNG∠CGN＝∠CAG+∠ACG
∴z+x+y+z＝145°①
∵∠CMN+∠CNM＝90°
∴x+15°+z＝90°②
∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2x∠DCA＝∠CAE+∠AEC＝2y
∴2x+2y＝90°③
①②③x＝25°y＝20°z＝50°
∴∠CAE＝20°．
23．解：（1）∵AB＝AC∠A＝44°
∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣44）°÷2＝68°
∵CD⊥AB
∴∠BDC＝90°
∵BE分∠ABC
∴∠ABE＝∠CBE＝34°
∴∠BPD＝90°﹣34°＝56°
（2）∵∠A＝x°
∴∠ABC＝（180﹣x）°÷2＝（90﹣）°
（1）：∠ABP＝∠ABC＝（45﹣）°∠BDC＝90°
∴∠EPC＝y°＝∠BPD＝90°﹣（45﹣）°＝（45+）°
yx关系式y＝45+．
24．解：图示设等腰三角形腰长AB＝AC＝2xBC＝y
∵BD腰中线
∴AD＝DC＝x
AB+AD长102x+x＝10
解x＝
x+y＝18
+y＝18
解y＝时组成三角形应舍．
AB+AD长182x+x＝18
解x＝6
x+y＝10
6+y＝10
解y＝4
等腰三角形腰长12．
答案：12．
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．选择题（6题）
1．等腰三角形面积24方厘米腰长8厘米．底边动点PP两腰距离（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
2．图△ABC中AB＝ACAD⊥BCDBE⊥ACE两角关系中成立（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠2 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠C
3．图△ABC中AB＝BC点DACBD⊥BC．设∠BDC＝α∠ABD＝β（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
4．等腰三角形腰高腰夹角等30°等腰三角形顶角等（ ）
A．30° B．60° C．30°150° D．60°120°
5．等腰三角形周长16cm中边长4cm该等腰三角形腰长（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm6cm D．4cm8cm
6．等腰三角形角角30°等腰三角形顶角度数（ ）
A．80° B．40° C．80°40° D．法确定
二．填空题（10题）
7．已知△ABC中AB＝AC∠B＝50°果D边BC中点∠CAD＝ 度．
8．图△ABC中AB＝AC＝2PBC意点PE⊥AB点EPF⊥AC点FS△ABC＝1PE+PF＝ ．
9．图Rt△ABC中∠C＝90°AF＝EF．∠CFE＝72°∠B＝ °．
10．△ABC中DEBCEA＝EBDA＝DC∠EAD＝30°∠BAC＝ ．
11．等腰三角形角70°等腰三角形顶角 ．
12．图△ABC中AD分∠BAC点P线段AD动点PE⊥AD交BC延长线点E．∠ACB＝84°BD＝DA∠E＝ °．（补充知识：等腰三角形两底角相等．）
13．图示等腰三角形ABC底边8cm腰长5cm动点P（BC重合）底边BC1cms速度移动P运动 秒时△ACP直角三角形．
14．已知△ABC中AB＝ACADBC边中线∠BAD＝40°．点E边AC点△ADE等腰三角形∠EDC度数 ．
15．图△ABC中AB＝AC∠B＝40°D线段BC动点（点BC重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段ACE．四结：
①∠CDE＝∠BAD
②DBC中点时DE⊥AC
③△ADE等腰三角形时∠BAD＝20°
④∠BAD＝30°时BD＝CE．
中正确结 （认正确结序号填）．
16．图△ABA1中∠B＝28°AB＝A1BA1B取点C延长AA1A2A1A2＝A1C连接A2C．完成列问题：
（1）∠A1A2C度数等 度
（2）果继续A2C取点D延长A1A2A3A2A3＝A2D连接A3D…进行An顶点锐角度数等 度．
三．解答题（8题）
17．图BE△ABC角分线AB取点DDB＝DE．
（1）求证：DE∥BC
（2）∠A＝65°∠AED＝45°求∠EBC度数．
18．图△ABC中∠A＝∠ABCDE垂直分BC交BC点D交AC点E．
（1）AB＝5BC＝8求△ABE周长
（2）BE＝BA求∠C度数．
19．图△ABC中∠ABC＝70°AB＝AC＝8DBC中点点N线段ADNM∥AC交AB点MBN＝3．
（1）求∠CAD度数
（2）求△BMN周长．
20．图△ABC中AB＝ACAB垂直分线交AB点N交BC延长线点M∠BAC＝40°．
（1）∠NMB＝
（2）果题中∠BAC度数改70°余条件变∠NMB＝
（3）发现什样规律性？试证明
（4）题中∠BAC改钝角规律性认识否需加修改？
21．已知△ABC中∠ABC＝∠ACB点D射线CB点点D作DE⊥AC点E．
（1）图1点D线段BC时请直接写出∠BAC∠EDC数量关系： ．
（2）图2点DCB延长线时画出图形探究∠BAC∠EDC数量关系说明理．
（3）（2）条件点F线段BC点点F作FG⊥AC点G连接AF∠AFG＝∠CFG∠BAF＝∠BFA延长EDAB交点K求∠EKA度数．
22．已知：图△ABC中CD⊥BA交BA延长线点D∠ABC＝∠ACB．
（1）∠DCB＝64°求∠BAC度数．
（2）图2点B作BE∥AC交DC延长线点E连接AE交BC点G．∠DCA＝2∠CAE求∠CGE度数．
（3）图3（2）条件点E作EF⊥BC交BC延长线点F．MNAE两点CM⊥CN∠ACM＝15°∠CNM+∠NCF＝145°求∠CAE度数．
23．图已知等腰△ABC中AB＝AC∠A＜90°CD△ABC高BE△ABC角分线CDBE交点P．
（1）∠A＝44°时求∠BPD度数
（2）设∠A＝x°∠EPC＝y°请含x代数式表示y说明理．
24． △ABC中AB＝ACAC边中线BD三角形周长分1018两部分求腰长AB．
参考答案
．选择题（6题）
1．解：已知：△ABC中PE⊥ABEPF⊥ACFAB＝AC＝8厘米△ABC面积24方厘米P底边BC动点．
求：PE+PF值．
解：连接AP
∵PE⊥ABPF⊥AC
∴S△ABP＝AB•PES△ACP＝AC•PF
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABCS△ABC＝24
∴AB•PE+AC•PF＝24
∴AB(PE+PF)＝24
∴PE+PF＝＝6cm
选：B．
2．解：∵△ABC中AB＝ACAD⊥BC
∴AD分∠BAC
∴∠1＝∠2
A正确符合题意
∵AD⊥BCDBE⊥AC
∴∠ADC＝∠BEC
∵∠C＝∠C
∴∠3＝∠2
B正确符合题意
∵∠4△ABF外角
∴∠4≠∠5
C错误符合题意
Rt△AEF中∠4＝90°﹣∠2
Rt△ADC中∠C＝90°﹣∠2
∴∠4＝∠C
D正确符合题意
选：C．
3．解：∵AB＝BC
∴∠A＝∠C
∵α﹣∠A＝βα+∠C＝90°
∴2α＝90°+β
∴2α﹣β＝90°
选：D．
4．解：高三角形部时图1
∵∠ABD＝30°BD⊥AC
∴∠A＝60°
∴顶角60°
高三角形外部时图2
∵∠ABD＝30°BD⊥ACD
∴∠BAD＝60°
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°
∴顶角120°．
选：D．
5．解：4cm腰长时底边16﹣4×2＝8（cm）
∵4+4＝8
∴4cm4cm8cm组成三角形
4cm底边时腰长×（16﹣4）＝6（cm）
4cm6cm6cm够组成三角形
综述腰长6cm．
选：B．
6．解：△ABC中设∠A＝x∠B＝x+30°分情况讨：
∠A＝∠C底角时2x+（x+30°）＝180°解x＝50°顶角∠B＝80°
∠B＝∠C底角时2（x+30°）+x＝180°解x＝40°顶角∠A＝40°．
等腰三角形顶角度数80°40°．
选：C．
二．填空题（10题）
7．解：∵AB＝AC∠B＝50°
∴∠C＝∠B＝50°
∵D边BC中点
∴AD⊥BC
∴∠CAD＝40°
答案：40．
8．解：图示连接APS△ABC＝S△ACP+S△ABP
∵PE⊥AB点EPF⊥AC点F
∴S△ACP＝AC×PFS△ABP＝AB×PE
∵S△ABC＝1AB＝AC＝2
∴1＝AC×PF+AB×PE
1＝×2×PF+×2×PE
∴PE+PF＝1
答案：1．
9．解：∵AF＝EF
∴∠A＝∠AEF
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°
∴∠A＝×72°＝36°
Rt△ABC中∠A＝36°
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
答案：54．
10．解：∵∠EAD＝30°
∴∠AED+∠ADE＝150°
∵EA＝EBDA＝DC
∴∠B＝∠BAE∠C＝∠CAD
∵∠AED+∠ADE＝∠B+∠BAE+∠C+∠CAD
∴∠BAE+∠CAD＝75°
∴∠BAC＝105°．
答案：105°．
11．解：题分两种情况
①70°角顶角时顶角度数70°
②70°角底角时顶角度数180°﹣2×70°＝40°
∴等腰三角形顶角40°70°．
答案：70°40°．
12．解：∵BD＝AD
∴∠B＝∠BAD
∵AD分∠BAC
∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠B
∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°∠ACB＝84°
∴∠B+2∠B+84°＝180°
解∠B＝32°
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B
∴∠ADC＝64°
∵PE⊥AD交BC延长线点E．
∴∠E+∠ADC＝90°
解∠E＝26°．
答案26．
13．解：A作AD⊥BCD
∵AB＝AC＝5cm
∴BD＝CD＝BC＝4（cm）
∴AD＝＝＝3（cm）
分两种情况：
①点P运动t秒PA⊥AC时图1
PB＝tPC＝8﹣t
∵AP2＝PC2﹣AC2＝PD2+AD2
∴（8﹣t）2﹣52＝（4﹣t）2+32
解：t＝175s
②AP⊥BC时图2
∵AB＝AC
∴PB＝PC＝BC＝4（cm）
∴t＝4s
综述P运动175s4s秒时△ACP直角三角形
答案：1754．
14．解：∵AB＝ACADBC边中线∠BAD＝40°
∴∠CAD＝∠BAD＝40°∠ADC＝90°
①AE1＝DE1时
∠ADE1＝∠CAD＝40°
∠E1DC＝90°﹣40°＝50°
②AE2＝AD时
∠ADE2＝∠AE2D＝（180°﹣40°）÷2＝70°
∠E2DC＝90°﹣70°＝20°．
∠EDC度数50°20°．
答案：50°20°．
15．解：①∵AB＝AC
∴∠B＝∠C＝40°
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB
∴∠BAD＝∠CDE①正确
②∵DBC中点AB＝AC
∴AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∴∠CDE＝50°
∵∠C＝40°
∴∠DEC＝90°
∴DE⊥AC②正确
③∵∠C＝40°
∴∠AED＞40°
∴∠ADE≠∠AED
∵△ADE等腰三角形
∴AE＝DE
∴∠DAE＝∠ADE＝40°
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°
∴∠BAD＝60°③错误
④∵∠BAD＝30°
∴∠CDE＝30°
∴∠ADC＝70°
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°
∴∠DAC＝∠ADC
∴CD＝AC
∵AB＝AC
∴CD＝AB
∴△ABD≌△DCE（ASA）
∴BD＝CE④正确
答案：①②④．
16．解：（1）△ABA1中∠B＝28°AB＝A1B
∴∠BA1A＝＝＝76°
∵A1A2＝A1C∠BA1A△A1A2C外角
∴∠A1A2C＝∠BA1A＝×76°＝38°
（2）理∠DA3A2＝19°∠EA4A3＝95°
∴An顶点锐角度数等度．
答案：38．
三．解答题（8题）
17．解：（1）∵BE△ABC角分线
∴∠DBE＝∠EBC
∵DB＝DE
∴∠DEB＝∠DBE
∴∠DEB＝∠EBC
∴DE∥BC
（2）∵DE∥BC
∴∠C＝∠AED＝45°
△ABC中∠A+∠ABC+∠C＝180°
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE△ABC角分线
∴∠DBE＝∠EBC＝．
18．解：（1）∵∠A＝∠ABC
∴AC＝BC
∵DEBC垂直分线
∴BE＝CE
∴△ABE周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC＝AB+BC
∵AB＝5BC＝8
∴△ABE周长＝5+8＝13
（2）∵BE＝BA
∴∠A＝∠AEB
∵BE＝CE
∴∠EBC＝∠C
∴∠A＝∠AEB＝∠EBC+∠C＝2∠C
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠C＝180°
解：∠C＝36°．
19．解：（1）∵AB＝AC
∴△ABC等腰三角形
∵∠ABC＝70°
∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°
∵DBC中点
∴AD分∠BAC
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝×40°＝20°
∠CAD度数20°．
（2）∵NM∥AC
∴∠ANM＝∠CAD
∵∠CAD＝∠BAD
∴∠ANM＝∠BAD
∴AM＝NM
∴△BMN周长＝MB+BN+NM＝AB+BN
∵AB＝8BN＝3
∴△BMN周长＝8+3＝11．
△BMN周长11．
20．解：（1）∵AB＝AC∠BAC＝40°
∴
∴∠CDM＝∠ADN＝90°﹣∠A＝50°
∴∠NMB＝∠ACB﹣∠CDM＝20°．
答案：20°．
（2）∵AB＝AC∠BAC＝70°
∴
∴∠CDM＝∠ADN＝90°﹣∠A＝20°
∴∠NMB＝∠ACB﹣∠CDM＝35°．
答案：35°．
（3）述规律：等腰三角形腰垂直分线底边相交成锐角等顶角半．
证明：设∠A＝α
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣α）
∵∠BNM＝90°
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝90°﹣（180°﹣α）＝α
（4）（1）中∠A改钝角（3）中猜想结然成立．
证明：设∠A＝α
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣α）
∵∠BNM＝90°
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝90°﹣（180°﹣α）＝α．
21．（1）图1中作AH⊥BCH．
∵AB＝ACAH⊥BC
∴∠BAH＝∠CAH
∵DE⊥AC
∴∠AHC＝∠CED＝90°
∴∠C+∠CAH＝90°∠C+∠EDC＝90°
∴∠CAH＝∠EDC
∴∠BAC＝2∠EDC．
答案∠BAC＝2∠EDC．
（2）图2中结：∠BAC＝2∠EDC．
理：∵AB＝ACAH⊥BC
∴∠BAH＝∠CAH
∵DE⊥AC
∴∠AHC＝∠CED＝90°
∴∠C+∠CAH＝90°∠C+∠EDC＝90°
∴∠CAH＝∠EDC
∴∠BAC＝2∠EDC．
（3）图2中设∠C＝∠FAC＝∠ABC＝x∠BAF＝∠BFA＝2x
∴5x＝180°
∴x＝36°
∴∠EAK＝∠ABC+∠C＝72°
∵KE⊥EC
∴∠E＝90°
∴∠EKA＝90°﹣72°＝18°．
22．（1）解：图1中作AH⊥BCH．
∵∠ABC＝∠ACB
∴AB＝AC
∵AH⊥BC
∴∠BAH＝∠CAH
∵∠ADC＝∠AHC＝90°
∴∠HAD+∠DCB＝180°
∵∠BAH+∠HAD＝180°
∴∠BAH＝∠DCB
∵∠BAC＝2∠BAH
∴∠BAC＝2∠DCB＝128°．
（2）解：图2中
∵AC∥BE
∴∠CAE＝∠AEB∠ACB＝∠CBE∠DCA＝∠DEB
∵∠DCA＝2∠CAE∠ABC＝∠ACB
∴∠ABC＝∠CBE＝∠DBE∠BED＝2∠AEB
∴∠AEC＝∠AEB＝∠DEB
∴∠CGE＝∠AEB+∠CBE＝∠DEB+∠DBE＝×90°＝45°．
（3）解：设∠ABC＝∠ACB＝x∠AEB＝∠AEC＝∠CAE＝y∠CNG＝z．
∵∠CNG+∠NCF＝145°∠NCF＝∠CGN+∠CNG∠CGN＝∠CAG+∠ACG
∴z+x+y+z＝145°①
∵∠CMN+∠CNM＝90°
∴x+15°+z＝90°②
∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2x∠DCA＝∠CAE+∠AEC＝2y
∴2x+2y＝90°③
①②③x＝25°y＝20°z＝50°
∴∠CAE＝20°．
23．解：（1）∵AB＝AC∠A＝44°
∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣44）°÷2＝68°
∵CD⊥AB
∴∠BDC＝90°
∵BE分∠ABC
∴∠ABE＝∠CBE＝34°
∴∠BPD＝90°﹣34°＝56°
（2）∵∠A＝x°
∴∠ABC＝（180﹣x）°÷2＝（90﹣）°
（1）：∠ABP＝∠ABC＝（45﹣）°∠BDC＝90°
∴∠EPC＝y°＝∠BPD＝90°﹣（45﹣）°＝（45+）°
yx关系式y＝45+．
24．解：图示设等腰三角形腰长AB＝AC＝2xBC＝y
∵BD腰中线
∴AD＝DC＝x
AB+AD长102x+x＝10
解x＝
x+y＝18
+y＝18
解y＝时组成三角形应舍．
AB+AD长182x+x＝18
解x＝6
x+y＝10
6+y＝10
解y＝4
等腰三角形腰长12．
答案：12．
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