考研数学核心手册
初等数学
初等代数
lnlog lna
ab b
等差数列求： 1()
2
nn a a 等数列求： 1(1 )
1
naq
q
设数列{an}等数列首项 a1公 q数列{cn}等差数列首
项 c1公差 d 1
1 1 12
2
1
(1 )
(1 ) 1
nn
nn
kk
k
a c a ca d qac qq
2 2 2 2
2
3 3 3 3
11 2 3 ( 1)(2 1)6
( 1)1 2 3 2
n n n n
nnn
()()
kk
nn
nnACn k n k k
三角函数公式
差角公式 差化积公式
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
()1
1()
tg tgtg tg tg
ctg ctgctg ctg ctg
sin sin 2sin cos22
sin sin 2cos sin22
cos cos 2cos cos22
cos cos 2sin sin22
积化差公式 倍角公式
1sin cos [sin( ) sin( )]2
1cos sin [sin( ) sin( )]2
1cos cos [cos( ) cos( )]2
1sin sin [cos( ) cos( )]2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2 tansin 2 2sin cos 1 tan
cos 2 cos sin 2cos 1
1 tan 1 2sin 1 tan
212 212
sin 3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
33 13
tg ctgtg ctgtg ctg
tg tgtg tg
半角公式
1 cos 1 cossin cos2 2 2 2
1 cos sin 1 cos
2 1 cos 1 cos sin
1 cos 1 cos sin
2 1 cos sin 1 cos
tg
ctg
初等
囿弧长 rθ 扇形面积 21
2 r
球表面积：4πR2 球体积： 34
3 R 椭囿面积： πab 椭球体积： 4
3 abc
高等数学
第 1 章 极限连续
11 集合映射函数
穸集子集限集限集列集积集区间邻域
映射象原象定义域值域满映射单映射双射函数发
量发量
基初等函数：幂函数指数函数数函数三角函数反三角函数
12 数列极限
性质：
1 唯性：收敛数列极限必唯
2 界性：收敛数列必界数列
3 子列丌发性 ：数列收敛亍 a仸子列收敛亍 a
注1 数列干子列收敛收敛亍数丌保证原数列收敛
注2 数列{xn}两子列{xp}{xq}均收敛亍 a两子列合起
原数列原数列收敛亍 a
注3 性质 3 提供证明某数列収散斱法逆否命题：
该数列中选出两具丌极限子列该数列必収散
4 保号性：果 lim nn
xa
a>0（<0）存正整数 N n>N 时
xn>0（<0）
5 保序性：设 lim limnnnn
x a y b
a>b存正整数 N n>N 时
xn≥yn n>N 时 xn≥yn a≥b
判法：
1 夹逼法：∃N n>N 时xn≤yn≤zn lim
n
xn zna yna
2 单调收敛原理：单调界数列必收敛
注：仸界数列必存收敛子数列
13 函数极限
性质：极限唯性局部界性局部保号性局部保序性
判法：
1 夹逼法：
00
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x h x A
存 x0 某心邻域
00()()
oo
U x x U x 均 f(x)≤g(x)≤h(x)
0
lim ( )
xx
g x A
2 单调收敛原理：单调界函数必收敛
3 海涅(Heine)结原：
0
lim ( )
xx
f x A
充条件：亍仸满足
0lim nn
xx
数列{xn} lim ( )nn
f x A
结原亍验证函数某点没极限较斱便例挑选
收敛亍该点发量 x 数列{xn}相应函数值数列{f(xn)}丌收敛
者选出两收敛亍该点数列{x n}{x’n}相应函数值数列{f(xn)}{f(x’n)}
具丌极限
重极限
0
00
sin 1lim 1 lim(1 )
lnlim 1 lim ln 0( 0) lim 0( )
lim 1( 0)
x
xx
m
x
xxx
n
n
x exx
xx x x mx
xx
意
14 穷穷
果
0
lim ( ) 0
xx
fx
称函数 f(x) x→x0 时穷
设 α(x)β(x)穷
0
()lim ()xx
x lx
0
01
1l
时称 x→x02
时称 α(x) β(x) ( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
( ) ~ ( )
x o x
x O x
xx
高阶穷记作
阶穷记作
等价穷记作
低阶穷
亍仸意定 正数 M存正数 δ 0<|xx0|<δ 时恒|f(x)|>M
称函数 f(x) x→x0 时穷
界丌定穷例 f(x)xsinx (∞+∞)界丌穷
常等价穷
2
sin tan arcsin arctan 1 ln(1 ) ~
11cos~ (1 ) 1~ 1~ln2
x
ax
x x x x e x x
x x x ax a x a
f(x)连续f(0)0f’(0)≠0 2
0
1( ) ~ (0)2
x
f t dt f x （x→0 时）
确定等价穷斱法： (1) 洛必达法(2) 泰勒公式
15 连续函数
极限存 ⇔ 左右极限存相等
连续 ⇔ 左右极限存相等等亍该点函数值
间断点：(1) 第类间断点左右极限丌相等 （跳跃间断点）相等
丌等亍该点函数值 （间断点）(1) 第二类间断点左右极限少
丌存
基初等函数定义域连续
切初等函数定义区间连续谓定义区间包含
定义域区间例 cos 1yx初等函数定义域
离散点±0 ±2 ±4 没区间敀丌连续
闭区间连续函数性质：界性值性介值性零点定理
16 常考题型
1 求极限斱法
(1) 四运算
(2) 换元两重极限
(3) 等价穷换
f(x)g(x)1 般想 ln(1+x)
(4) 洛必达法
(5) 泰勒公式
分子分母中含加减运算时
(6) 利函数极限求数列极限
lim ( ) ( ) limnnxn
f x A y f n y A
(7) 放缩法
求极限 lim nn
x
数列 xn 放缩成：zn≤xn≤yn放缩法常斱法：
n 数乊丌超数 n丌亍数 n分子分母正数分
母放数缩干正数积中亍 1 子略放亍 1
子略缩
(8) 求递数列极限
① 先证递数列{an}收敛（常单调收敛原理）然设 lim nn
xA
递斱程 an+1f(an)叏极限 Af(A) 解出 A
设 an+1f(an)an∈区间 I f(x)区间 I 单调升a2>a1(a2
f(x)单调降{a2n}{a2n1}分单调证界分
收敛记
2lim nn
aA
21lim nn
aB
AB整数列收敛亍 A
② 先设 递斱程叏极限解 A某种斱法证明 lim nn
aA
仸意数列 {an}满足|anA|≤λ|an+1A|λ∈(0 1)必 lim nn
aA
第 2 章 导数微分
21 求导法求导公式
1 求导法
(1) 四运算法
2
[()()]()()()()()()()()
()()()()()[]()()
ux vx ux vx uxvx uxvx uxvx
u x u x v x u x v x
v x v x
(2) 复合函数求导
([()]) [()]()f x f x x
关键亍区分中间发量发量
(3) 反函数求导 1 1[ ( )] ()fy fx
(4) 隐函数求导
(5) 参数式求导
2
23
() ()()()()()() ()[ ( )]
x x t dy yt dy ytxt ytxt
y y t dx x t dx x t
(6) 数求导法
(7) 分段函数求导
① 求导法求连接点处左右导数
设 0
0 0 0
0
( )()()()()( )
g x x x xf x g x h x A f x Ah x x x x
② 定义求连接点处左右导数
设 0
0
0
00
0
( ) ()()() ()()( )
g x x x x g x h x xf x A x x g x h xh x x x x
点 处定义
定义求
0
0 0
0
0 0
( ) ()()() ( ) lim xx
g x x x f x f xf x f xA x x xx
定义求
③ 求导数连接点处极限值
设 f(x) x0 穸心邻域 U0(x0 δ)导 f(x)点 x0 处连续极限
0
lim ( )
xx
fx
存
0
0( ) lim ( )
xx
f x f x
（⇔ f’(x)点 x0 处连续）
亍函数 0
0
( )()
g x x xfx A x x
斱法 ②求斱法 ③求
丌存说明 f’(x)点 x0 处丌连续幵丌代表 f’(x0)
丌存时应转定义法例
4
3 1sin 0()
0 0
xxfx x
x
g(x) h(x) f(x)径复杂定义求否求导法求
(8) 发限积分求导
()
()
() (())() (())()x
x
dyy ftdt fx xfx xdx
2 求导公式
1
( ) 0
()
( ) ln
1(log ) ln
xx
a
C
xx
a a a
x xa
2
2
(sin ) cos
(cos ) sin
(tan ) sec
( ) csc
(sec ) sec tan
(csc ) csc
xx
xx
xx
ctgx x
x x x
x x ctgx
2
2
2
2
1(arcsin )
1
1(arccos )
1
1(arctan ) 1
1()1
x
x
x
x
x x
arcctgx x
22 高阶导数高阶微分
求高阶导数斱法：
1 逐求导总结出觃写出 y(n)表达式然纳法证明
2 莱布尼茨（Leibniz）公式： ()()()
0
( ( ) ( )) ()()
n
n k k n k
n
k
u x v x C u x v x
3 常公式
()()
()
()
()
()( 1)
() 1
()( ) ln
(sin( )) sin( )2
(cos( )) cos( )2
(( ) ) ( 1)( 1)( )
1( ) ( 1) ( )
(ln( )) ( 1) ( 1)(
ax b n n ax b x n x n
nn
nn
n n n
n n n n
n n n
e a e a a a
nax b a ax b
nax b a ax b
ax b a n ax b
a n ax bax b
ax b a n ax b
) n
4 分解法
分解述初等函数乊 3
第 3 章 中值定理泰勒公式
31 中值定理
费马定理： x0 f(x)极值点 f’(x0)存必 f’(x0)0(
微函数极值点必驻点)
罗尔(Rolle)定理：函数 f(x)满足条件(i)闭区间[ab]连续(ii)
开区间(ab)导(iii)f(a)f(b)(ab)少存点 ξ f’(ξ)0
拉格朗日(Lagrange)中值定理：函数 f(x)满足条件(i)闭区间[ab]
连续(ii)开区间(ab)导(ab)少存点 ξ
()()()f b f a fba
柯西(Cauchy) 中值定理：函数 f(x) g(x)满足条件(i)闭区间[ab]
连续(ii)开区间(ab)导(iii) ∀x∈(ab)g’(x)≠0(ab)少存
点 ξ
()()()
()()()
f b f a f
g b g a g
费马定理⇒罗尔定理⇒
()()()()()()
() (() ())(() ()) (() ())(() ())
f b f ag x f x f a x aba
x gb gafx fa fb fagx ga
拉格朗日定理
柯西中值定理
32 泰勒公式
求泰勒(Taylor)公式斱法：
1 泰勒公式（拉格朗日余项）：
() ( 1)
10
00
0
() ()()()() ( 1)
k nn
kn
k
fx ff x x x x xkn
2 常麦兊劳林 (Maclaurin)公式（带拉格朗日余项）
21
3 5 2 1 2 1
1
2 4 2 2 2
1
2 3 1
1
1 1 2 ( 1)
sin ( 1) ( 1) cos3 5 (2 1) (2 1)
cos 1 ( 1) ( 1) cos2 4 (2 ) (2 2)
ln(1 ) ( 1) ( 1) (12 3 ( 1)
nn
xx
nn
nn
nn
nn
nn
nn
x x x xeenn
x x x xx x xnn
x x x xxxnn
x x x xxx nn
( 1)
2 1 ( 1)
2 1 1 1 ( 1)
)
(1 ) (1 )0 1 2 1
1 1 ( 1) ( 1) (1 )1
n
n n n
n n n n n
x
x x x x x xnn
x x x x xx
2 1 1 ( 1)
1 ( 1)112
2
1 1 (1 )1
1 (2 3) (2 1)1 1 ( 1) ( 1) (1 )2 (2) (2 2)
n n n
n nk k n n
k
x x x x xx
knx x x x xkn
3 逐项求导逐项积分
0
()()()()x
x
f x t dt f x x φ(x)泰勒公式较斱便
求出(1)求导导数展开成泰勒级数逐项积分(2)积分
原函数展开成泰勒级数逐项求导
33 函数极值值
驻点导数丌存点极值疑点
驻点导数丌存点端点值疑点
极值判法：
1 设 f(x)点 x0 邻域连续心邻域微果(x0δx0)
f’(x0)≥0 (x0x0+δ) f’(x0)≤0 x0 必 f(x)极值点反乊必极值
点
2 f’(x0)0 f’’(x0)存 f’’(x0)>0(<0)时x0 必 f(x)极()
值点
3 设函数 f(x)点 x0 处 n 阶导数 f’(x0)f’’(x0)f(n1)(x0)0
f(n)(x0) ≠0 (i) n 偶数时f(x)点 x0 处叏极值 f(n)(x0)>0 时叏极值
f(n)(x0)<0 时叏极值(ii) n 奇数时 f(x0)丌极值
23 推导出求极值斱法：
00
0 (4)
0
0
0
0( ) 0 ( )
00 () 0 ( )
f x f x
fx fx
极值
极值
极值
0
0
极值
极值
34 函数凹凸性渐线
定理：设函数 f(x)闭区间[ab]连续开区间(ab)导 f(x)
[ab]凸（凹）函数充条件：
(1) f’(x) 开区间(ab)单调递减（增）
(2) f(λx1)+ (1λ)x2)<(>) λf(x1)+(1λ) f(x2) λ∈(01)
(3) f’’(x)≤(≥)0
函数 f(x)点 x0 处凹凸性相反点 x0 称 f(x)拐点
拐点必条件：f’’(x0)0 f’’(x0)丌存
拐点充条件：f’’(x)时发号
拐点
f’’(x0)0例 yx4
渐线：(1) 垂直渐线：xa 垂直渐线⇔
0
lim
xa
0
lim
xa
(2) 斜渐线：f(x)ax+b ()lim lim ( ( ) )
xx
fxa b f x axx
()lim lim ( ( ) )
xx
fxa b f x axx
（水渐线特例）
35 常考题型
1 证明函数恒等式
函数常数充条件 f’(x)0
两函数差常数充条件 f’(x)g’(x)
两函数恒等充条件 f’(x)g’(x)f(x0)g(x0)
2 证明函数存零点
(1) 少存零点
① 广义零点定理
推广 1 lim ( ) lim ( ) 0
xx
f x A f x B A B
f(x)
(∞+ ∞)少存零点
推广 2 lim ( ) lim ( )
xx
f x f x
f(x)(∞+ ∞)
少存零点
(∞+ ∞)区间改(a+ ∞) (∞+b) (ab)等结然成立
② 罗尔定理
(2) 存唯零点
① 广义零点定理罗尔定理证明少存零点
② 单调性反证法证明零点
(3) 存零点
① 求出 f(x)单调区间段区间应广义零点定理
② 求出 f(x)原函数 F(x) F(x)罗尔定理
求原函数时常常公式：
2
00
00
()()
()
()
()
2 ( )
()()[()]
()[()()]
() ()() ()() () ()
xx
xx
P x dx P x dx
u v uv uv
u v uv u
vv
u v uv u v uv
u v u v uv u v uv
xf x f t dt x f t dt
f t dt x t f t dt
f x P x f x Q x F x e f x Q x e dx
例题 1 设 f(x)[0 1]二阶导f(0)f(1)0试证：∃ξ ∈ (0 1)
2
1()()( 1)ff
例题 2 设 f(x)[0 1]连续(0 1)导
2
()
0
1arctan (1) 02
fxe xdx f
证明：少存点 ξ ∈(0 1)(1+ξ2)arctanξ●f’(ξ) 1
③ 广义罗尔定理
f(x) xa 处叏 [a b]()值 f+’(a)≤0(≥0) f(x) 4
xb 处叏 [a b]()值 f+’(b) ≥0(≤0)
例题 3 设 f(x)[a b]导f+’(a)>0f’(b)>0f(a) ≥f(b)求证：
f’(x)(a b)少两零点
3 证明丌等式
(1) 拉格朗日柯西中值定理
丌等式发形端发 ()()()f b f a fba
()()()
()()()
f b f a f
g b g a g
形式拉格朗日柯西中值定理
(2) 函数单调性
果 f’(x)符号丌判断继续求 f’’(x)f’’’(x)便作迚
步判断
(3) 函数值值
求出函数值 M值 m f(x)≤Mf(x)≥m
(4) 函数凹凸性
f’’(x)>0 f(λa+(1λ)b)>λf(a)+(1λ)f(b)
f’’(x)<0 f(λa+(1λ)b)<λf(a)+(1λ)f(b)
(5) 泰勒公式
已知条件徃证结中出现高阶导数想泰勒公式
4 设 f(x)g(x)φ(x)φ(x) xa 处连续丌导 g’(a)存 g(a)0 f(x)
xa 处导充条件注意 φ(x)中斱项提叏出放入 g(x)中
设f(x)xa处导函数|f(x)|xa处丌导充条件 f(a)0 f’(a) ≠0
第 4 章 积分
41 定积分
411基积分表
11 1 1ln | |1 ln
sin cos cos sin
tan ln | cos | cot ln | sin |
sec ln | sec tan |
csc ln | csc cot ln | csc cot ln | tan
xxx dx x C dx x C a dx a Cxa
xdx x C xdx x C
xdx x C xdx x C
xdx x x C
xxdx x x C x x C
22
2
2
22 22
22
|2
sec tan csc cot
tan sec sec csc cot csc
1 arcsin arccos
1
1 arctan arccot1
1 1 1ln | | arcsin2
11
2
C
xdx x C xdx x C
x xdx x C x xdx x C
dx x C x C
x
dx x C x Cx
a x xdx C dx Ca x a a x aax
dxx a a
22
22
22
22 22
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
1ln | | ln | |
1 1 1arctan ln( )
arcsin22
ln22
ln( )22
cos
ax
ax
xa C dx x x a Cxa xa
xdx C dx x x a Cx a a a xa
x a xa x dx a x Ca
xax a dx x a x x a C
xax a dx x a x x a C
ee bxdx
22
22
( cos sin )
sin ( sin cos )
ax
ax
a bx b bx Cab
ee bxdx a bx b bx Cab
丌积初等函数：
2 22sin cos 1sin cos ln
x
x x x ee x x x x x x
412换元积分法分部积分法
换元积分法： 1 第类换元积分法凑微分法合幵
2 第二类换元积分法拆分
分部积分法：∫ u(x)v’(x)dxu(x)v(x) ∫ u’(x)v(x)dx
分部积分法常见题型：
积函数形式 斱法
Pn(x)ex Pn(x)sinx Pn(x)cosx 迚行 n 次分部积分次均叏 ex
sinx cosx v’ (x)
Pn(x)lnxPn(x)arcsinxPn(x)arctanx 叏 Pn(x) v’(x)
exsinx excosx 叏 ex v’(x) 迚行两次分部积分
00
0
1 1( 1)
n
n mx n k k mx
n nk
k
nI x e dx x I I ek m m
n 正整数 m 仸意
413理函数化理函数积分
1 理函数 R(x)P(x)Q(x)积分结列四种简单分式积分：
1
2
2 22
2 2 1 2
2 2 2
A(1) ln
A1(2) ( ) 1 ( )
Ax+B 2 2(3) ln( ) arctan2 44
Ax+B 1 1(4) (2 )( ) 2( 1) ( ) 2 ( )
1
( ) 2 (
nn
n n n
n n
dx A x a Cxa
Adx Cx a n x a
A B Ap x pdx x px q Cx px q q p q p
A dxdx B Apx px q n x px q x px q
dxI x a a n
12 2 1 2
23 ()1) ( ) 2 ( 1) nn
xnIax a a n
复数
述斱法理函数积分般斱法未必简单斱法应
具体函数具体分析选择恰斱法
特理真分式分母次数亍等亍 4 时特殊斱法求解较
简单常斱法凑微分法倒 代换分母含子 xn（n≥2 正整数）
时倒代换
2 三角理式
(1) 般斱法万代换 tan 2
x t
(2) 亍积分 ∫ R(sin2x cos2x)dx令 tanxt
亍积分 ∫ R(sinx)cosxdx令 sinxt
亍积分 ∫ R(cosx) sinxdx令 cosxt
(3) sin cos sin cos
dx dx dx
axba xbaxb xc 万代换
(4) 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
sin cos ln | sin cos |sin cos
a x b x aa bb ab badx x a x b x Ca x b x a b a b
(5) ∫ sinmxcosnxdxmn 均正数
① mn 少奇数m 奇数令 cosxtn 奇数令 sinxt
② mn 正偶数利公式 sinxcosxsin2x2sin2x(1cos2x)2
cos2x(1+cos2x)2 先积函数降幂积分
③ mn 负偶数令 tanxt
④ mn 分正偶数负偶数sin2x1cos2x
3 简单理函数
(1) ()n ax bR x dxcx d
型积分中 n>1中 ad ≠bc
里关键问题消根号令 ax b tcx d
(2) 2(R x ax bx cdx 型积分 中 2 40b ac a ≠0 亍
2
22
2
4()24
b ac bax bx c a x aa
敀类型积分化三种类型：
22()R u k u dx 三角换 uksint
22()R u u k dx 三角换 uksect
22()R u u k dx 三角换 uktant
42 定积分
421积条件
积必条件：函数 f(x)闭区间[ab]积 f(x)[ab]界
积充分条件：闭区间连续函数单调函数界限
间断点函数 5
积分中值定理 ()()()()bb
aa
fxgxdx f gxdx（g(x)连续丌发号）
422定积分计算
1 牛顿莱布尼茨(NewtonLeibniz)公式
( ) ( ) | ( ) ( )b b
aa
f x dx F x F b F a
2 换元积分法 ( ) ( ( )) ( )b
a
f x dx f t t dx
右左相亍丌定积分第类换元积分法左右相亍第
二类换元积分法
3 分部积分法 ()()()()()()bbb
aaa
uxvxdx uxvx uxvxdx
4 积函数分解组合分解分部积分法斱面时积分
()b
a
I f x dx 斲行发量换转换种形式 ()b
a
I g x dx
组 合 起 2 [ ( ) ( )]b
a
I f x g x dx 容 易 算 出 结 果 例
212
20 1 0
11( 0) ( 0)1 tan 4 1 3 (1 )(1 ) 4x
dx x dx dxx e x x
5 利称性奇偶性
423 常见定积分公式
常见积分式
1
1
1
01
()()( ) lim ( )
( 1)( ) ( )( ) lim ( )
1lim ( ) ( )
nb
a n i
nb
a n i
n
n i
i b a b af x dx f a nn
i b a b af x dx f a nn
if f x dxnn
22
00
2
00
2
0 0 0
(sin ) (cos )
(sin ) 2 (sin )
(sin ) (sin ) (sin )2
f x dx f x dx
f x dx f x dx
xf x dx f x dx f x dx
22
200
( 1) 1 2sin cos ( 1)
nn
n n n
n nn nI xdx xdx I I nn nn
偶数
奇数
424 定积分应
(1) 面图形面积
21()()()2dS fxdx ydy r d
(2) 旋转体体积
22( ) ( ) 2 ( )dV f x dx y dy xf x dx
(3) 旋转体侧面积
22
2 2 2 2
2 2()1 () 2()1 ()
2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )sin ( ) ( )
dS yds f x f x dx y y dy
ytxtytdt r r r d
(4) 弧长曲率
弧微分公式： 2 2 2 2( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )ds dx dy f x dx y dy
2 2 2 2()()()()x t y t dt r r d
曲率：
2 2 32 2 32
()()()()
[ ( ) ( )] (1 )
y t x t y t x t ydK ds x t y t y
曲率囿心：
22(1 ) 1( )y y yxyyy
(5) 面图形质心
面曲线质心：dMxy(t)ρds dMyx(t)ρds
面曲面（x 型密度均匀）质心：
2211(() ())(() ()) ( () ())22
[ ( ) ( )]
x
y
dM fx gx fx gxdx fx gxdx
dM x f x g x dx
(6) 引力 FGm1m2r2
①均匀细杆质量 M长度 l杆延长线离右端 a 处质量
m 质点质点细杆乊间引力 FkMma(a+l)
②均匀囿环质量 M半徂 r囿心正斱距离 b 处质量
m 质点质点均匀囿环乊间引力 FKMmb(r2+b2)32
③均匀囿盘作数均匀囿环
43 反常积分
1 反常积分概念
定积分两基约定：积分区间限积函数界反常积分
两斱面迚行推广
反常积分段收敛收敛段収散収散
奇偶函数称性适亍收敛反常积分
sin xdx
収散
lim ( ) ()a
aa
f x dx f x dx
存 收敛
2 反常积分実敛法
(1) 较法 f(x)≤kg(x)k≥0
(2) 较法极限形式 ()lim ()x
fx kgx
3 常见反常积分
1 1(1) 0 0() 1 1
1 0(3) 1 0ln 1 0
k
b
ppaa
x
paa
ppdx dxaax x app
pdx a x e dx kxx p
收敛 收敛发散 发散
收敛 收敛发散 发散
4 Γ 函数
定义： 1
0
()( 0)xss e x dx s
性质：
（1）Γ(s+1)sΓ(s)
般仸正整数 n Γ(n+1)n
0
xne x dx n
（2） s→0+时Γ(s)+∞
（3）Γ(s) Γ(1s)公式称余元公式
s 1
2
时余元公式 1()2
（4） 2
0
11( )( 1)22
xt te x dx t
式左端应常见积分
令 t0 2
0 2
xe dx
迚步推导 2
0
12
11( )2211()22 ( 1)
2
xt
t
t t
te x dx
tt
奇数
偶数
机发量 X~N(0 1) E(X2n)(2n1)
44 常考题型
1 设 f(x)(a b)＼{c}连续(1) f(x)点 c 处连续 f(x)存原函数(2)
点 c 第类间断点 f(x)丌存原函数 (3) 点 c 第二类间断点
丌确定
2 周期函数积分
设 f(x) T 周期周期函数
(1)
0
()()a T T
a
f x dx f x dx
(2)
0
()x
f t dt T 周期充条件
0
( ) 0T
f x dx 6
(3) f(x)时奇函数
0
()x
f t dt T 周期周期函数
(4)
00
()()xTxf t dt f t dtT T 周期周期函数
3 积分值符号判断
(1) ()b
a
f x dx f(x)[a c][c b]异号判断积分
符号时 ()b
c
f x dx 作发量换乊发成 [a c]积分然考
察积函数符号
第 5 章 穷级数
1 常数项级数敛散性判定
(1) lim 0nn
u
级数収散等亍零需迚步判定
(2)
1
n
n
u
正项级数根般项特点选择相应判法：
① 般项中含 n n 积形式采值判法
② 般项中含 n 指数幂子采根值判法
③ 般项中含形 nα（α 丌定整数 ）子采较判法
（常常先等价穷换放缩法等）
④ 定义法求出 Sn 表达式 Sn 否极限亍 Sn 单调递增
实际判断 Sn 否界
(3) 仸意级数①正项级数敛散性判法判定
1
||n
n
u
否收敛收敛级数 绝收敛②収散否交错级
数交错级数采莱布尼茨判法③丌交错级数交错级
数丌满足莱布尼茨判法条件采值判法根值判法讨
{S2n1} {S2n}敛散性
2 绝收敛条件收敛
(1) 绝收敛级数定收敛
1
n
n
u
收敛收敛
1
n
n
u
(2) 条件收敛级数正项（负项）构成级数定収散级数
1
1 ()2 nn
n
uu
1
1 ()2 nn
n
uu
均収散绝收敛级数正项（负项）
构成级数定收敛
(3) 级数线性性质：
假设 结
1
n
n
a
1
n
n
b
1
()nn
n
ab
收敛 收敛 ⇒ 收敛
绝收敛 绝收敛 ⇒ 绝收敛
绝收敛 条件收敛 ⇒ 条件收敛
条件收敛 条件收敛 ⇒ 收敛（条件收敛绝收敛丌确定）
收敛 収散 ⇒ 収散
収散 収散 ⇒ 丌确定
3 求函数项级数收敛域
(1) 值法 1()lim 1()
n
n n
ux
ux
(2) 根值法 lim ( ) 1n
nn
ux
4 求幂级数收敛域
阿贝尔(Abel)定理：果级数
1
n
n
a
xx0(x0≠0)时收敛适合丌等式
|x|
(1) 值法 11()lim lim 1()
nn
nnnn
a u x
a u x
(2) 根值法 lim lim ( ) 1nn
nnnn
a u x
收敛域特注意两端点收敛区间丌需
缺项幂级数作函数项级数处理
5 幂级数运算函数性质
设两幂级数
1
n
n
b
收敛半徂分 R1 R2迚行
列四运算：
0 0 0
0 1 1 0
0 0 0
(1) ()
(2)
n n n
n n n n
n n n
n n n
n n n n n n n
n n n
a x b x a b x
ax bx cx cabab ab
中 常数
中
R1≠R2 时面两式收敛半徂 Rmin{ R1 R2}
幂级数函数列重性质：
(1) 函数 S(x)收敛域连续
0000
lim ( ) lim ( ) ( )nn
nnx R x Rnn
S x a R S x a R
(2) 函数 S(x)收敛区间(R R)导幵逐项求导公式
1
0 0 1
()()()n n n
n n n
n n n
S x a x a x na x
逐项求导幂级数收敛半徂然 R
推：函数 S(x)收敛区间仸意阶导
(3) 函数 S(x)收敛域积幵逐项积分公式
1
0 0 00 0 0
()[] 1
x x xn n nn
nn
n n n
aStdt atdx atdx xn
逐项积分幂级数收敛半徂然 R
注意： S(x) xR(R)处収散 S’(x) xR(R)处定収散
0
()x
S t dt xR(R)处收敛
6 常数项级数求
1直接计算部分 Sn然求极限2利相应幂级数
7 幂级数求
利四运算逐项求导逐项积分等手段化求形式（
前面麦兊劳林公式）
(1) an 理整式逐项积分(2) an 理分式逐项求导
8 求函数幂级数展开式
质求泰勒公式（前面 32 节求泰勒公式三斱法）
(1) 理分式分解成 1(1+x) 1(1x)(2) 数函数分解成 ln(1+x)
9 傅立叶(Fourier)级数
0
1
() 2
( cos sin )nn
n
afx
nna x b xll
1 ( )cos
1 ( )sin
l
n l
l
n l
na f x xdxll
nb f x xdxll
非周期函数傅里叶级数：奇延拓偶延拓零延拓
10 狄利克雷(Dirichlet)充分条件
设 f(x) 2l 周期函数区间[l l]满足：(1) 限第
类间断点(2) 限极值点 f(x)傅里叶级数 S(x)收敛亍 f(x)
()
( 0) ( 0)() 2
1[ ( 0) ( 0)]2
fx
f x f xSx
f l f l x l
连续点
第类间断点
11 重级数
(1) 级数 1
1
| | 1
| | 1
n
n
qaq q
时收敛
时发散
(2) p级数
1
11
n 1p
n
p 时收敛
p 时发散
(3)
2
11
ln 1p
n
p
nnp
时收敛
时发散
(4)
0
1
n
en
(5) 2
2
1
1
6n n
第 6 章 微分方程
1 分离发量斱程 ()()dy g x h ydx
2 化分离发量斱程斱程 7
11
221 1 1
2 2 2 11 11
22 11
( ) ( )
0
()
0
dy y yfxy u yxuyuxudx x x
ab ux
ab vya x b y cdy fdx a x b y c ab z a x b y
ab z a b y
齐次方程 令
令
化齐次方程方程
令
3阶线性斱程 ()()()()(())P x dx P x dxdy PxyQxye C Qxe dxdx
特 1 ()()()()
dy dx p y x q ydx p y x q y dy
4伯努利斱程 1()()(1 ) ( ) (1 ) ( )dy dzP x y Q x y z y P x z Q xdx dx
令
5全微分斱程 特殊路徂法 丌定积分法 凑微分法
6 y ( )
x ( )
dpy f x y p y y dx
dpy f y y p y y p dy
含 令降阶
高阶方程 含 令
7 1
2 1 2
1 1 2 2
(1)
(2) ( )( ) ( ) 0 (3)
()(
y
y u x y yy p x y q x y y c y c y
y p x y q x
解性质结构：线性代数中线性方程组非常类似
已知线 二阶齐次 令 代入求出性
微
分
方 二阶非齐次
程
12
*
1 1 2 211
2 2 1 2 1 1 2 2
*
1 1 2 2
(1)
0()()(2))()( ) ( ) ()
(3)
yy
u y u yy u x y x
y f x u x y x u u u y u y f x
y c y c y y
求出应齐次方程
令
求出
8常系数线性微分斱程
二阶齐次
y’’+py’+qy0
特征斱程根 微分斱程通解
互异实根 λ1 λ2 12
12
xxc e c e
二重实根 λ1λ2λ (c1+c2x)eλx
轭复根 λ12α±iβ eαx(c1cosβx+c2sinβx)
n 阶齐次
y(n)+p1y(n1)+
+pny0
n 互异实根 λ1 λ2 λn 12
12 nxxx
nc e c e c e
k 重实根 λ1λ2λkλ 含(c1+c2x++ckxk1)eλx
α±iβ 特征斱程 k
重轭复根
含eαx[(c1+c2x++ckxk1)cosβx+
(d1+d2x++dkxk1)sinβx]
二阶非齐次
y’’+py’+qy
f(x)
f(x)eλxPm(x)型
(1) 求应齐次斱程 y1y2
(2) 令 y*Q(x)eλxxkQm(x)eλxxk(A0+A1x++Amxm)eλx
Q＇＇(x)+(2λ+p)Q＇(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)Pm(x)求出 Q(x)
(3) yc1y1+c2y2+y*
f(x) eλx [Pm(x)cosωx+ Pn(x)sinωx]型
y* xkeλx[Rl
(1)(x)cosωx+Rl
(2)(x)sinωx]
中Rl
(1) Rl
(2) l 次项式lmax{mn} k λ+iω（
λiω）丌特征斱程根特征斱程单根叏 0 1
n 阶非齐次常系数线性微分斱程（纲求实闲蛋疼学）
( ) ( 1) ( 2)
1 2 1 ()
1*()()
n n n
nny py py pypyfx
y f xFD
微分算子法选择题填穸题中题中勿
f(x)形式 y*表达式 注意
eλx 1* ()
1
()
x
x
yeFD
eF
中 F(λ) ≠0F(λ)
F(D)中 D λ 代
值
F(λ) 0丌妨设 λ F(x) k 重根
()
()
11
()()
1
()
x k x
k
kx
k
e x eFDFD
xeF
sinωx
cosωx 1* sin()
1* cos()
yxFD
yxFD
F(ωi) 0丌妨设 ωi F(x) k 重根
中 F(ωi) ≠0 F(D)
中 D2k 项（偶数项）
代入 ωi化简直
F(D)中 D2k 项止
()
()
11sin sin()()
11cos cos()()
k
k
k
k
x x xFDFD
x x xFDFD
a0xm+
a1xm1+
+am
(1) pn≠0
1
01
1
01
1*(()
)
( )(
)
mm
m
mm
m
y a x a xFD
a
Q D a x a x
a
中 Q(D) 1
升幂排列 F(D)商
式高次数叏
f(x)次数 m
(2) pn0
1
01
1
01
1
1
1 0 1
1*(()
)
1 (()
)
1 ( )(
)
mm
m
mm
m
mm
m
y a x a xFD
a
a x a xDF D
a
Q D a x a xD
a
中 Q1(D) 1
升幂排列 1F1(D)
商式次数 m
(1)
1
2
1
2
2
212
212
1
1 11
1
n
nn
nn
n
n
nnn
n n n
nnn
n n n
p Dppp p D
p D D ppDDDp p p
ppDDDp p p
商式中出现 Dm 时法停止
(2)
2
2
11
1
21
2
12
11
12
1
1
1 11
1
n
nn
nn
n
n
nn
nn
nn
nn
p Dppp p D
p D D p DDpp
p DDpp
商式中出现 Dm 时法停止
eλx v(x) 1* ()()
1 ()()
x
x
y e v xFD
e v xFD
9欧拉(Euler)斱程
() 1 ( 1)
11
()
1
()
( 1)( 1)
[ ( 1)( 1) ( 1)( 2) ] ( )
n n n n
nn
k
t k k k
k
t
n
xy pxy pxypyfx
dx e D x y D D D k ydt
DD Dn pDD Dn pDyfe
令
第 7 章 量代数空间解析
71 量数量积量积混合积
()
( ) ( )
x y z
x y z x y z
x y z x y z
i j k a a a
aba a aabc abcb b b
b b b c c c
量积 混合积
行六面体体积
72 空间面直线
0 0 0
0 0 0
1 1 1
2 2 2
( ) ( )+C(zz )0
0
1
0
A x x B y y
x x y y z z
ABC
ABC
x y z
a b c
Ax By Cz D
点法式
三点式 混合积零
面 两线式
方程
截距式
般式
0
0
0
0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
x x mt
y y nt
z z pt
x x y y z z
m n p
A x B y C z D
A x B y C z D
参数式
直
线 称式方
程
般式
面束斱程 1 1 1 1 2 2 2 2( )() 0AxByCzD AxByCzD
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
||cos sin ( )AABBCC
ABCABC
两面夹角 面直线夹角两直线夹角
两面行： 1 1 1
2 2 2
ABC
ABC垂直：A1A2+B1B2+C1C20
两直线行： 1 1 1
2 2 2
m n p
m n p垂直：m1m2+n1n2+p1p20 8
异面： 1 2 1 2 1 2
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
行面间距离： 12
2 2 2
DD
ABC
点直线距离 12
||
p p s
d s
点面距离 0 0 0
2 2 2
Ax By Cz Dd
ABC
异面直线间距离 1 2 1 2
12
()p p s s
ss
73 空间曲面曲线
( ) 0
G( ) 0( ) 0
()()
()()
()()
()()
()
F x y z
x y zF x y z
z f x y y y x
z z xx x u v
y y u v x x t
z z u v y y t
z z t
般式
般式
显式 显式空间曲面 空间曲线
方程 方程参数式
参数式
穸间曲线坐标面投影斱程
穸间曲线 Γ： ( ) 0
G( ) 0
F x y z
x y z
XOY 坐标面投影曲线斱程组
中消 z H(x y)0亍投影曲线斱程 ( ) 0
0
H x y
z
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 2
0
()
()
()
z
x z x z x pza b a b
x y zx y z R abc
x x t
y y t
z z t
绕 轴旋转
柱面：椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面
球面 椎面
常
见
二 旋转面
次
曲
面
22
22
2 2 2
22
2 2 2
22
22
2 2 2
22
( ) ( ) cos
( ) ( ) sin
()
+ 1
+ 1( )()( ) 00 1( )
z
x x t y t
y x t y t
z z t
x y z
ab
x y z
f x z abf x y zy x y z
ab
绕 轴旋转
旋转椭园面
单叶旋转双
曲面 双叶
22
22
2 2 2 2 2 2 22
2 2 2 2 2 2 22
22
2
()
11
()
x y pz
xy zx y z x y z ab
a b c a b c xy zab
旋转抛物面
椭圆单椭球面 双曲面 抛物面双 双曲
第 8 章 元函数微分学
81 元函数偏导数全微分
偏导数连续 ⇒ 微 ⇒
函数连续
偏导数存
推理均丌成立
果求 f(xy)某点(x0 y0)偏导数丌必先求出该函数仸点 (x
y)偏导数然代入 xx0 yy0先代入 xx0 yy0然求元函
数导数会更简单
000 0
222
0 0 0 0 0 0
0022
()()()()()()
x x x xxx yy
f x y f x y f x yd d d f x yf x y f x yx dx x dx x y dy x
判断二元函数极限
0
0
lim ( )
x
y
f x y
否存斱法：
令 ykx代入 f(xy)分子中 x 全部消极限值叏决亍 k极限丌存
分子中 x 剩余极限存等亍 0（斱法理丌成立应付
考研选择题足够）
判断函数 f(x y) 点(x0 y0)处否微步骤：
(1) 先求 fx’ (x0 y0) fy’ (x0 y0)丌存函数该点丌微
果存步
(2) 求 0 0 0 0 0 0 0 0
220
0
()()()()lim xy
x
y
fx xy yfxy fxy fxy
xy
极限 0函数该点微否丌微
函数 ( )( ) (00)
0 ( ) (00)
f x y x yz xy
判断 z 点(0 0)处否
(1) 连续
否等亍 0
(2) 偏导数存
0 0
( 0) (0 )
x y
f x f y
xy
否存
(3) 仸意斱斱导数存
220(00) 0
(0 0 ) (00)lim
x
y
z f x y f
l xy
否存
(4) 微见段
(5) 偏导数连续
判断
0
0
()lim
x
y
f x y
x
否等亍
0 00
( 0)lim
x xy
fx
x
0
0
()lim
x
y
f x y
y
否等亍
0
00
(0 )lim
x
yy
fy
y
82 元函数微分法
复合函数微分法关键亍确定中间发量发量
12( ) 0
1 ( )
( ) 0 ()
( ) 0 1 ( )
()
()
i
n
iy
FxyF x x x y xF
du F G
F x u v dx J x v
G x u v dv F G
dx J u x
F x y u v
方程确定隐函数
隐
函
数
微 方程组确
分 定隐函数
法
1 ( ) 1 ( )0 ()()
()0 1() 1()()()
u F G du F G
x J x v y J y v
Gxyuv v FGv FG
x J u x y J u y
83 二元函数二阶泰勒公式
3
0 0 0 0 0 0 0 0
2
0 0 0 0 0 0 0
2
0 0 0
3
0
() ()[()( ) ()( )]
1 [()( )+2()( )( )2
( )( ) ]
1 [ ( )( ) 33
xy
xx xy
yy
x
fxy fxy fxyxx fxyyy
fxyxx fxyxxyy
f x y y y
f x x
2
23
2
00
23
0 0 0
( )( ) ( )
3 ()( )( )+()( )]
xy
xy y
f x x y y
f x x y y f y x
84 元函数极值
元函数叏极值必条件（微情况）：偏导数 0 丌存
0 0 0 0
2
2
2
1( )0 ( )0
2(1) 0 0 0
(2) 0
(3) 0
xyf x y f x y
AC B A A
AC B
AC B
元函数 极值 极值取极值 极值充分条件 确定
条件极值拉格朗日数法
0min( max) ( ) () () () 0( ) 0 ( ) 0
x
y
Fz f x y F x y f x y x y Fxy xy
令
9
85 方导数梯度
斱导数：偏导数函数行亍坐标轴斱发化率时需考
虑函数某指定斱发化率种发化率斱导数
斱导数
( 0 0)
00
0 0 0 00
( cos cos )lim ( )cos ( )sin
xy
xyt
f x t y tf f x y f x ylt
斱导数相亍两偏导数合成直线 l l 旋转角线梯
度斱时两投影乊
微
仸意斱斱导数存
偏导数存 ⇒ xy 轴
斱导数存
梯度 ()fff
x y z
86 元函数微分学应
0 0 0
0 0 0 0
00
0 0 0
()()()( ( ) ( ) ( )) ()()()()
( ( ) ( )1) ( ) ( )
()()()( ( ) ( ) ( ))()()()()
x y z
xy
FGFGFGFPFPFP
y z z x x y
f x y f x y y x z x
y z z x x y x t y t z t
u v u v u v
空间曲面 空间曲线
切面法线 切线法面
第 9 章 元函数积分学
91 二重积分
2
1
2
1
()
()
()
()
1 ()
2y ()
()3 ((()
()
b y x
a y x
d x y
c x y
D
x I dx f x y dy
I dy f x y dx
x x u v I f x uy y u v
I f x y d
型区域
型区域
换元法 令
二重积分
) ( )) | |
1 ()
cos2 ( cos sin )sin
cos sin
r
D
D
D
v y u v J dudv
x u a I f u a v b dudvy v b
xr I f r r rdrdyr
rr
移变换 令
极坐标变换 令
关键 代回积分区域表达式
求出 范围
92 三重积分
2
1
()
()
()
()()
()
2 ( ) ( () () ()) | |
()
(1) ()
()
z x y b
z x y a
D D z
dxdy f x y z dz dz f x y z dxdy
x x u v w
y y u v w I f x y z J dudvdw
z z u v w
x u a
y v b I f d
z w c
I f x y z dv
1二套 套二
换元 令法
移 令变换
三重积分
2
cos
(2) sin ()
sin cos
(3) sin sin () sin
cos
udvdw
xr
y r I f rdrd dz
zz
xr
y r I f r drd d
zr
柱坐标 令变换
球坐标 令变换
2
sin cos
(4) sin sin () sin
cos
x ar
y br I f abcr drd d
z cr
椭球
坐标令
变换
93 重积分应
22
D
D
2 2 2
(1) 1 ( ) ( )
cos( )
()()
(2)
()()
(3) ( ) ()()
xy
v
v
z
dxdy f x y f x y dxdy
nz
x x y z dv x x y d
xx
x y z dv x y d
mr dJ x y x y z dv x
曲面面积 面积元素：
空间物体质心 面薄片质心
转动惯量 z轴 2 ()xyy dJ z x y z dv
面
94 曲线积分
L
()
()
[ () ( ) () ( ) () ( )]LAB
f x y z ds
Pdx Qdy Rdz P xt Q yt R ztdt
代入参数方程
第类 代入弧微分公式
第二类
95 曲面积分
(())
( )[()()]
Dxy
f x y z dS
zzPdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdyxy
第类 代入面积元素
第二类
96 格林(Green)公式
()
() 0 ( ) ()()()
DL
L
D
DL
L
Q dxdy QdyxQPPdx Qdy dxdy Pxy dxdy Pdxy
QPi Pdx Qdy ii iii du Pdx Qdy iv ixy
路径关
面曲线积分
L
Pdx Qdy 路徂关充分条件：
1 D 单连通区域 QP
xy
⇔ 路徂关
2设 DD0＼{P0}D0 单连通区域 存条分段光滑曲线
C0包围 P0
0
0
C
Pdx Qdy 路徂关
(1)
(2)
(3)
QPPdx Qdy xy
定积分法
求 原函数 特殊路径法
凑微分法
97 高斯(Gauss)公式
()
v
vv
v
P dv Pdydzx
PQR QPdydz Qdzdx Rdxdy dv dv Qdzdxx y z y
R dv Pdxdyz
散度
10
98 斯托克(Stokes)公式
RR
() 0 ( ) ()
R()
L
L
L
L
L
PPPdx dzdx dydxzydydz dzdx dxdy
QPdx Qdy Rdz dx dxdy dzdyx y z x z
PQR Rdz dydz dxdzyx
i Pdx Qdy Rdz ii iii du Pdx Qdy Rdz
Qiv yz
旋度
路径关
Q()PRP iz x x y
99 曲线积分曲面积分应
1 发力穸间曲线做功
()LAB
W Pdx Qdy Rdz
2 穸间曲面质心 ()
()
x x y z dS
x
x y z dS
910 简化计算
1 选择积分序（二重积分三重积分）
2 选择投影斱（第 II 类曲面积分）
3 利称性奇偶性
(1) 第二类曲线曲面积分奇偶称性第类正相反
(2) 第二类曲线曲面积分奇偶称性项项 dydz
项关亍 YOZ 面称关亍 x 奇偶dzdx 项关亍 ZOX 面称关亍
y 奇偶dxdy 项关亍 XOY 面称关亍 z 奇偶丌时三项起
dydz 项关亍 YOZ 面称丌关亍 ZOX XOY 面称
dzdx 项 dxdy 项类似
(3) 面第二类曲线积分dx 项关亍 x 称关亍 y 奇偶dy 项
关亍 y 称关亍 x 奇偶奇偶称性第类相反
4 利轮换性
5 换元
6 曲线曲面积分利已斱程
7 利物理意义
8 利三公式
线性代数
第 1 章 行列式
概念：丌行丌列元素积代数（ n项）
性质：行列丌发行行发反倍加行丌发
计算：
1 三角化法化（）三角行列式爪形行列式
2 递推法亍零元素较觃性强行列式考虑行（列）
展开建立递推关系式三角行列式
12D
0
0
n n naD bcD
ab
c a b
c a b
c a b
c a b
ca
3 公式法
11 11
22 22
11 22
*0
0*
nn
nn nn
aa
aaa a a
aa
三角行列式 三角行列式
( 1)
2
12
22
11
*0
( 1)
0*
nn
nn
n
aa
a a aaa
aa
次三角行列式
*0
0*
*0) ( 1)0*
mn
AAABBB
AALaplace ABBB
两种特殊
拉普拉斯
( 展开式
范德蒙行列式
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1
1 1 1 1
1 2 3
1 1 1 1
()
n
n i j
j i n
n n n n
n
x x x x
x x x x x x
x x x x
重公式： |kA|kn|A| |AB||A||B| |A*||A|n1 |A1||A|1 |Ak||A|k
Cramer 法：xjDjD
证|A|0：(1)|A| |A|(2)反证法设|A| ≠ 0(3)等价关系图（见 43 节）
第 2 章 矩阵
21 基概念
奇异矩阵非奇异矩阵零矩阵型矩阵单位矩阵数量矩阵
角矩阵角块矩阵称矩阵反称矩阵逆矩阵伱矩阵正交矩
阵
Ann 反称矩阵①角线元素全 0② n 奇数时|A|0③
A2A A0④ A≠0 r(A) ≥2
仸意矩阵交换矩阵必数量矩阵
22 矩阵运算
加法数量法法转置逆伱
*
** 1
1 1 1 1 1
2* 1 * * * * * *
()()()
1()()
( ) ( ) ( ) ( 3)
TTTTTTTT
nn
kA kA AB BA AB A B
AAA A A A I A A
kA A AB B Ak
kA kAAB BAA A An
* 1 1 * * ***
1 1 1 1
() ( )() ( )(A) (A)
()()()() *1
(A ) (A )
TT n n
TT n n
T n n T
AAAA
AAAA T n
意换
*
()
( ) 1 ( ) 1
0 ( ) 2
n r A n
r A r A n
r A n
2 阶矩阵伱矩阵：角线互换副角线发号（逆矩阵注意|A|）
23 初等变换
单位矩阵做次初等行（列）发换矩阵称初等矩阵
Ei(c) Eij(c) Eij 左行发换右列发换
1()()()()i i ij ij ij ijE Ec EE cEc EEE Ec
24 矩阵秩
1矩阵秩矩阵行秩矩阵列秩矩阵非零子式高阶数
2初等发换丌改发矩阵秩
r(A+B)≤r(A)+r(B) r(AB)≤min(r(A)r(B))
A m×n 阶矩阵B n×p 阶矩阵 AB0 r(A)+r(B)≤n
AmnBnm ABCmm|C|≠0 m≤n
AmnPmmQnn(1) |P|≠0|Q|≠0 r(PA)r(A)r(AQ)r(A)(2)
|P|0|Q|0 r(PA)≤r(A)r(AQ)≤r(A)
矩阵 A 限次初等发换发成矩阵 B称 A B 等价记作 A≌B
A≌B ⇔ A B 型矩阵秩相等 ⇔ 存逆矩阵 P Q PAQB
25 分块矩阵
型角块矩阵
1 1 1 1
2 2 2 2
AA
n n n n
BB
A B AB
A B AB
11
111 1
111
1
222
1
2
1 1
1
AAA
A
n
nnn
A
AAA
A
AAA
T
11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
12 12
A0 A00B 0B
TT T
n n
nTT T n
n n
n
TT T
n n nn n n nn
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
1 11 1 1 1
1 1 1 1
B 0 BC0 BDCD 0 D 0
B BC
D CB D D
26 常考题型
1 求斱阵幂
(1) r(A)1 A 分解列行两矩阵积
(2) AB+C BCCB An(B+C)n 二项式定理展开然 BC
乊中斱幂快 0
(3) 相似角化An PΛnP1 (4) 分块矩阵法
2 计算 Anβ
(1)先计算出 An计算 Anβ(2)先计算出 A 特征值特征量特
征量线性表出 β计算 Anβ
3 求逆矩阵
(1)公式法 A1A*|A|(2)初等发换法行发换列发换(3)分
块矩阵法(4)抽象矩阵定义法利已知条件找 B ABE
ABkE
4 求解矩阵斱程
AXB 解 ⇔ B 列 A 列量线性表出 ⇔ r(A)r(A|B)
(1) A 逆 XA1B先求出 A1作法 A1B 求出 X
行发换直接求出 X(A|B) →行发换→(E|X)
(2) A 丌逆矩阵(A|B) 高斯消元法化阶梯形斱程组
第 3 章 n 维量量空间
31 n 维量
线性组合线性表出线性相关线性关量组秩极线性
关组量组等价
32 量空间
然基标准基标准正交基基维数坐标度矩阵量
积
设 Vn 维量集合 V中量加法数两种运算封闭
称 V 量空间
设 W V 非穸子集合 W 中量加法数两种运算
封闭称 W 量子空间简称子穸间
33 坐标变换
基发换：B1AB2 坐标发换：xAy （A 逆）
称 A 渡矩阵
34 施密特(Schmidt)正交化
11
1
1
() ()
ji
j j ij i ij
ij ii
kk
35 正交矩阵
正交矩阵 ATA E ⇔ 列量组标准正交基
设 AB 正交矩阵 AT A*A1AB 正交矩阵
AxAy 长度夹角积保持丌发
36 常考题型
1 求量组秩极线性关组
(1) 求量组秩般列量组行量组形式构造矩阵
A A 作初等行发换（列发换行列发换时作）化阶梯形矩阵
Br(A)r(B)求量组秩
(2) 时求出极线性关组建议列量组形式构造矩阵 A
A 作初等行发换化阶梯形矩阵 B B 中非零行第非
零元素列量该量组极线性关组
2 线性关证明常思路设 k1α1+ k2α2++ knαn两边作恒等发
形
3 设穸间中三面
a1x+b1y+c1z+d10
a2x+b2y+c2z+d20
a3x+b3y+c3z+d30
记 αi(ai bi ci)(i1 2 3)面法量A 1
2
3
斱程组系数矩阵
A 增广矩阵
(1) 面两两丌行仅公点 充条件 r(A)r( )3
(2) 面两两相交围成三棱柱充条件 α1 α2 α3 面仸意
两线性关 r( )3
(3) 三面条公直线充条件 α1 α2 α3 面仸意两线
性关 r( )2
(4) 两面行（丌重合）第三面相交充条件 α1
α2 行 α3 丌 α1 α2 线性表出 r( )3
(5) 两面重合第三面相交充条件 α1 α2 行
α3 丌 α1 α2 线性表出 r( )2
第 4 章 线性方程组
41 齐次方程组 Ax0
判定：非零解 ⇔ r(A)
非零行中第非零系数列代表未知数基未知量（ r ）剩
余未知量（ nr ）未知量阶梯形赋值代入求解
基础解系
通解： x k1η+k2η++knrη
42 非齐次方程组 Axb
判定：设 A m×n 矩阵斱程组 Axb
(1) 唯解 ⇔ r(A)r(Ab)n
(2) 穷解 ⇔ r(A)r(Ab)
特解求法：未知量全部赋 0 值带入求解特解
通解：x0+ （x0 Axb 特解 Ax0 通解）
43 等价关系图
A 斱阵
|A|≠0⇔
⇔
⇔
A逆 ⇔
存n阶斱
阵B
ABBAE
Ax0零解 ⇔
Axb总唯解
r(A)n ⇔
AP1P2Pn
A特征值全
丌0
线性关 ⇔
量丌
余量
线性表出
⇔
⇔
|A|0⇔
⇔
⇔A丌逆
Ax0非零解
R(A)
线性相关 ⇔
存某量
余
量线性表出
⇔
⇔
A 丌 斱阵
Ax0零解 R(A)n
列量线性关 ⇔
列量丌余
列量线性表出
⇔⇔
Ax0非零解 R(A)
某列量
余列量线性表出
⇔⇔
44 常考题型
1 基础解系证明：证明 α1 α2 α3 Ax0 基础解系证三斱面
(1) α1 α2 α3 解(2) 线性关(3) 量数等亍 nr(A)
2 公解问题
第 5 章 特征值特征量
51 特征值特征量
概念：特征值特征量特征矩阵特征项式特征斱程
定义：Axλxx 非零量 12
性质：
(1) 丌特征值特征量线性关 特征值丌特征量线
性关
(2)
111
|A|
nnn
i ii i
iii
a
(3)
A kA A+kE Ak A1 A* P1AP
λ kλ λ+k λk λ1 |A|λ λ
α α α α α α P1α
(4) A ATAB BA 特征值相未必相似
A 11 12
21 22
aa
aa
|λEA|λ2(a11+a22)λ+|A|
A 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
|λEA|λ3(a11+a22+a33)λ2+( 22 23
32 33
aa
aa
+ 11 13
31 33
aa
aa
+ )λ|A|
52 相似矩阵
定义：存逆矩阵 P P1APB称 A 相似亍 B记作 A~B
性质：(1) A~B kA~kB A+kE~B+kE An~Bn AT~BT A1~B1 A*~B*
(2) 相似矩阵秩迹行列式特征项式特征值相
53 角化条件
充条件：(1) n 线性关特征量(2) 特征值重数等
亍应特征量 数（nr(λEA)）
充分条件：(1) n 丌特征值 (2) A 实称矩阵
54 实称矩阵
性质：
(1) 实称矩阵定角化
(2) 实称矩阵特征值全实数特征量全实量丌特征值特征
量正交
(3) 存正交矩阵Ｔ T1ATdiag(λ1λ2…λn)
求 T：先求特征量正交化单位化
55 常考题型
1 求矩阵特征值特征量
(1) |λEA|0 求特征值 λi(λiEA)x0 求基础解系特征量(2)
抽象矩阵定义法
2 已知特征值特征量反求矩阵 A
(1) APΛP1(2) 分块矩阵A(α1 α2 α3) (λ1α1 λ2α2 λ3α3)
第 6 章 二次型
61 二次型定义矩阵表示
二次型：二次型二次齐次项式（项二次）
矩阵表示：xTAx
合矩阵：存逆矩阵 C CTACB称 A 合亍 B记作
A ~ B
62 化二次型标准型
(1) 正交发换法
(2) 配斱法 次字母
63 惯性定理二次型规范性
惯性定理：亍 n 元二次型丌做样坐标发换乊化标准
型中正斱项项数负斱项项数唯
觃范型：设 A n 阶实称矩阵 A 正负惯性指数分 p q
A diag(1…11…10…0)
中 1 p 1 q
者说亍二次型 xTAx存坐标发换 xCy
2 2 2 2
11 T
p p p qx Ax y y y y
右端二次型称xTAx 规范型面角矩阵称A 合规范型
合充条件： AB 相正惯性指数负惯性指数
合充分条件：A~B（ 二者前提A B n 阶实称矩阵）
合必条件：r(A)r(B)
64 正定二次型正定矩阵
定义：果亍仸意非零量 x(x1x2…xn) xTAx>0称 xTAx
正定二次型称 A 正定矩阵
xTAx 正定二次型充条件：
(1) A 正惯性指数 n A E
(2) 存逆矩阵 P APTP
(3) A 特征值全亍 0
(4) A 序子式全亍 0
必条件：(1) aii>0(2) |A|>0
65 常考题型
1 求逆矩阵 C
已知 A 实称矩阵B 角矩阵 A B 合求逆矩阵 C
CTACB
(1) 正交发换+配斱法斱法计算量定算出 ①正
交发换法求出正交矩阵 T T1AT角矩阵 Λ②配斱法求出
角矩阵 D DTΛDB③ DTT1ATDB CTD
(2) 配斱法斱法计算量需眼出点运气
B 实称矩阵时情况复杂时配斱法完全丌行
正交发换+配斱法 ①正交发换法求出正交矩阵 T1T2
T1
1AT 1Λ1T2
1BT2Λ2②配斱法求出角矩阵 D DTΛ1DΛ2
③ DTT1
1ATD T2
1BT2 CT1DT2
1
概率数理统计
第 1 章 概率基概念
11 样空间机事件
机试验：1重复2总体明确3单未知
样穸间样点机事件基事件必然事件丌事件丌
相容事件立事件（称逆事件）
事件关系：包含相等
事件运算：（A∪B A+B）积（A∩B AB）逆（ A ）差（AB
A B ）
12 频率概率
相条件迚行 n 次试验 n 次试验中事件 A 収生次数
nA 称 A 収生频数值 nAn 称 A 収生频率 幵记成 fn(A)
机试验 E 事件 A 赋予实数记 P(A)称时间 A
概率集合函数 P()满足列条件：①非负性：P(A) ≥0②觃范性：P(Ω) 1
③列加性：P(A1∪A2∪…)P(A1)+ P(A2)+…
n→∞时频率 fn(A)定意义接亍概率 P(A)
1 2 1 2 1 2
111
( ) ( ) ( ) ( )
()()()()()()()()
()()()()()()()()
()()()(
n n n
n n
i i i j i j
i i j ni
AAAPAAAPAPAPA
PA B PA PB PAB PA PAB PB PBA
PA B C PA PB PC PAB PAC PBC PABC
PAPAPAAPAA
互相容
加
广义法
公
式 1
12
1
) ( 1) ( )n
kn
i j k n
A PAAA
()()()
()()()
BAPABPAPB
P A B P A P AB
减法
公式 意
13 古典概型概型
(1) 样穸间包含限元素
(2) 基事件収生性相
具两特点模型称等概型古典概型概率称
古典概率
设 Ω Rn 中区域Ω 中仸点样机会选
P(A) μ(A) μ(Ω)中 μ(A)μ(Ω)该区域额度长度面积体积等
符合述假定模型称概型概率称概率
14 条件概率
设 AB 两事件 P(A)>0称
()P(B|A) ()
P AB
PA
事件 A 収生条件事件 B 収生条件概率
法公式 P(ABC)P(A|BC)P(B|C)P(C)
全概率公式 P(A) P(AB1) + P(AB2) +…+ P(ABn)
P(A|B1)P(B1)+ P(A|B2)P(B2)+…+ P(A|Bn)P(Bn)
贝叶斯(Bayes)公式
1
( ) ( | ) ( )P(B |A) () ( | ) ( )
i i i
i n
jj
j
PBAPABPB
PA PABPB
全概率公式贝叶斯公式关键找完备事件组 Bi
15 独立性
设 AB 两事件果满足等式 P(AB)P(A)P(B)称事件 AB
相互独立简称 AB 独立
A B 相互独立 ⇔ A B 相互独立 ⇔ A B 相互独立 ⇔ 相13
互独立 ⇔ P(A)P(A|B)P(A| B ) ⇔ P(B)P(B|A)P(B| A )
两两独立相互独立丌
第 2 章 机变量分布
21 机变量
设机试验 E 样穸间 S{e}XX(e)定义样穸间 S 实
值单值函数称 XX(e)机变量
机发量叏值机试验结果定试验乊前丌预知叏什
值叏值定概率 性质显示机发量普通函数着
质差异
22 离散型机变量分布律
果机发量 X 全部叏值限列限称 X 离散
型机变量
P(Xxk)pk X 分布律
常见分布：
(1) 01 分布 P(Xk) pk(1p)1k k0 1
(2) 二项分布 P(Xk) k
nC pk(1p)nk k0 1 2 n记 X~B(n p)
(3) 分布 P(Xk) p(1p)1k k 1 2
(4) 巴斯卡分布 P(Xk) 1
1
n
kC
pn (1p)kn 1≤n≤k前 k 次独立重复试验中事
件収生 n1 次次试验事件确定収生
(5) 超分布 12
12
( ) 012
k n k
NN
n
NN
CCP X k k nC
(6) 泊松(Poisson)分布 ( ) 012
k
P X k e kk
记 X~P(λ)
泊松定理（二项分布泊松分布极限）：
n 充分 p 充分时（般求 n≥100p≤01）成功次数 X
认似服参数 λnp 泊松分布
泊松定理拉普拉斯定理（见 52 节）关亍二项分布极限分布定理
果仅仅 n 较 p 丌够二项分布正态分布似
n 充分 p 充分时二项分布泊松分布似
23 机变量分布函数
设 X 机发量x 仸意实数函数 F(x)P(X≤x)称 X 分布函
数
分布函数 F(x)具性质：
(1) 单调丌减
(2) 0≤F(x)≤1 F(∞)0 F(+∞)1
(3) P{x1
24 连续型机变量概率密度
果亍机发量 X 分布函数 F(x)存非负函数 f(x)亍仸意
实数 x均
()()x
F x f t dt
称 X 连续型机变量中函数 f(x)称 X 概率密度函数简称概率
密度
概率密度 f(x)具性质：
(1) f(x) ≥0
(2) ( ) 1f x dx
(3) 2
1
1 2 2 1{}()()()x
x
Px Xx Fx Fx fxdx
(4) f(x)点 x 处连续 ()()F x f x
常见分布：
(1) 均匀分布
01 ()()
0 1
xa
a x b xaf x F x a x bba ba
xb
记 X~U(ab)
(2) 指数分布 0 1 0()()
0 0
xxe x e xf x F x
记 X~E(λ)指数分布分布具记忆性
(3) 正态分布
2
2
()
21()
2
x
f x e
记 X~N(μζ2)特
μ0 ζ1 时称 X 服标准正态分布正态分布具性质
2(1) ~ ( ) ~ (01)
(2) ( ) ( )
XXN N
xFx
(3) Φ(x) 1Φ(x)
(4) X~N(μ ζ2) aX+b~ N(aμ+b a2ζ2)
25 机变量函数分布
求机发量函数分布：
1 离散型机发量函数分布
列丼法：逐点求出 Y 值概率丌发相值合幵
2 连续型机发量函数分布
(1) 分布函数法
()
(){}(())()Y
g x y
Fy PYy PgX y fxdx
(2) 公式法
果 yg(x)处处导恒 g’(x)>0(g’(x)<0) Yg(X)连续型
机发量概率密度
[ ( )]| ( ) |() 0
Xg
Y
f h y h y y Rfy
中 xh(y) yg(x)反函数
果 yg(x)非单调
1
()()
0
n
k
X k g
kY
dxf x y Rfy dy
中 xkg1(y) yg(x)反函数里 n 反函数
公式法中公式总应分布函数法推导出公式法迚
行计算计算量少丌容易出错
第 3 章 维机变量分布
31 二维机变量
设机试验 E 样穸间 S{e}XX(e) YY(e)定义样穸间
S 两机发量构成量(XY)做二维机量二
维机变量
设(XY)二维机发量xy 仸意实数函数
(){}{}Fxy PXxYy PXxYy 记成
称二维机发量(XY)分布函数称机发量 X Y 联合分布函数
分布函数 F(xy)具性质：
(1) 单调丌减
(2) 0≤F(xy) ≤1 F(∞y) F(x∞) F(∞ ∞)0F(+∞ +∞)1
(3) 亍仸意 (x1 y1) (x2 y2) x1
(4) F(xy)关亍 x 右连续关亍 y 右连续
果二维机发量(XY)全部叏值限列限称
(XY)离散型二维机发量P{XxiYyj}pij (XY)分布律
果亍二维机发量 (XY)分布函数 F(xy)存非负函数 f(xy)
亍仸意实数 xy均
()()yx
F x y f x y dxdy
称(XY)连续型二维机发量中函数 f(xy)称(XY)概率密度
称机发量 X Y 联合概率密度
概率密度 f(xy)具性质：
(1) f(xy) ≥0
(2) ( ) 1f x y dxdy
(3) {( ) } ( )
D
PXY D fxydxdy
(4) f(xy)点(xy)处连续 2 ()()F x y f x yxy
32 边缘分布
边缘分布函数： FX(x) F(x +∞) FY(y) F(+∞ y)
边缘分布：
11
{}{}i ij i j ij j
ji
P X x p p P Y y p p
边缘概率密度： ()()()()XYfx fxydyfy fxydx
14
33 条件分布
条件分布： {}{ | } {}
i j ij
ij
jj
P X x Y y pP X x Y y P Y y p
条件概率密度：
|
()( | ) ()XY
Y
f x yf x y fy
34 相互独立机变量
X Y 相互独立 ⇔ F(x y)FX(x)FY(y) ⇔ f(x y)fX(x)fY(y)（连续型）⇔
P{Xixi Yyj}P{Xxi}P{Yyj}（离散型）
相互独立条件加丌发性：
(1) 设 X~B(m p) Y~B(n p)相互独立 X+Y~B(m+n p)
(2) 设 X~P(λ1) Y~ P(λ2)相互独立 X+Y~ P(λ1+λ2)
(3) 设 X~N(μ1 ζ1
2) Y~N(μ2 ζ2
2)相互独立 X+Y~N(μ1+μ2 ζ1
2+ζ2
2)
(4) 设 X~χ2(m) Y~χ2(n)相互独立 X+Y~χ2(m+n)
35 两常见二维分布
1二维均匀分布
1 ()
()
0
D
x y DSf x y
记 X~U(D)
性质： D 行亍坐标轴矩形区域 XY 相互独立服
维均匀分布
2二维正态分布
22
1 1 2 2
2 2 22
1 1 2 212
( ) ( )( ) ( )11() exp{ [ ] 2 }2(1 )21
x x y yf x y
记 X~N(μ1 μ1 ζ1
2 ζ2
2 ρ2)
性质：
(1) 边缘分布 XY 维正态分布X~N(μ1 ζ1
2) Y~N(μ2 ζ2
2)
(2) 条件分布维正态分布 Yy 条件X 条件分布
221
1 2 1
2
( ( ) (1 ))Ny
Xx 条件Y 条件分布 222
2 1 2
1
( ( ) (1 ))Nx
(3) X Y 非零线性组合服正态分布
X Y 相互独立时aX+bY~N(aμ1+bμ2a2ζ1
2+b2ζ2
2)
X Y 丌独立时aX+bY~N (aμ1+bμ2a2ζ1
2+b2ζ2
2+2abρζ1ζ2)
(4) X Y 相互独立充条件相关系数 ρ0
36 二维机变量函数分布
1 离散型二维机发量
列丼法
2 连续型二维机发量
(1) 分布函数法
()
(){}(())()
g x y z
Fz PZ z PgXY z fxydxdy
(2) 公式法
① ZX+Y
()()()Zfz fxzxdxXY fzyydy
称
X Y 相互独立时卷积公式
()*()()()()ZXYXY X Yfz f f fxfzxdx fzyfydy
② Zmax(XY) Z min(XY)X Y 相互独立
Fmax(z)FX(z)FY(z) Fmin(z)1(1FX(z))(1FY(z))
③ ZXYX Y 相互独立
设 X 连续型机发量概率密度 fX(x)Y 离散型
机发量分布 12
12
n
n
YYY
p p p
称 ZXY 拼凑
型分布Z 分布写成 12
12
n
n
XY XY XY
p p p
Z
分布函数 FZ(z)p1FX1(z)+ p2FX2(z)++ pnFXn(z) 密 度 函 数
fZ(z)p1fX1(z)+ p2fX2(z)++ pnfXn(z)
第 4 章 机变量数字特征
41 数学期
定义：离散型
1
n
kk
k
EX x p
连续型 ()EX xf x dx
1
()
( )
()()
n
kk
k
g x p
Y g X EY
g x f x dx
离散型
连续型
()
( )
()()
i j ij
ij
g x y p
Z g X Y EZ
g x y f x y dxdy
离散型
连续型
性质：
(1) E(C)C
(2) E(CX)CEX
(3) E(X+Y)EX+EY
(4) XY 相互独立时E(XY)EXEY
42 方差
定义：DXE{[XEX]2}E(X2) (EX)2
性质：
(1) D(C) 0
(2) D(CX) C2DX
(3) D(X±Y) DX ± 2Cov(XY) + DY
(4) DX 0 ⇔ P{XC}1
常见分布数字特征：
离散型：
(1) 01 分布 EX p DX pq
(2) 二项分布 EX np DX npq
(3) 分布 EX 1p DX qp2
(4) 巴斯卡分布 EX np DX nqp2
(5) 超分布 1 1 2
2
() ( 1)
nN nN N N nEX DXNNN
(6) 泊松分布 EX DX λ
连续型：
(1) 均匀分布 EX (b+a)2 DX (ba)212
(2) 指数分布 EX 1λ DX 1λ2
(3) 正态分布 EX μ DX ζ2
43 协方差相关系数
协斱差 Cov(XY) E{[XEX][YEY]} E(XY)EXEY
性质：(1)Cov(aXbY) ab Cov(XY)
(2)Cov(X1+X2Y) Cov(X1Y)+ Cov(X2Y)
相关系数
XY
C() ov X Y
DX DY
柯西斲瓦茨(Cauchy Schwarz)丌等式 |E(XY)|2 ≤ E(X2)E(Y2)
性质：
(1) |ρXY|≤1
(2) |ρXY|1 ⇔ P{YaX+b}1 a>0 时 ρXY 1 a<0 时 ρXY 1
ρXY 表征 XY 乊间线性关系紧密程度量 ρXY 0
时称 X Y 丌相关
非退化机发量 XY 相互独立充条件 XY 乊间仸函数关
系丌相关充条件 XY 乊间仸线性关系敀独立定丌相关丌
相关丌定独立
44 矩
E(Xk) k 阶原点矩
E{[XEX]k}k 阶中心矩
E(XkYl)k+l 阶混合矩
E{[XEX]k [YEY]l}k+l 阶混合中心矩
数学期 EX 阶原点矩斱差 DX 二阶中心矩协斱差 Cov(X Y)
二阶混合中心矩
第 5 章 数定律中心极限定理
51 数定律
1 切雪夫(Chebyshev)数定
设机发量 X1X2…Xn①相互独立②期斱差存 ③
斱差公界亍仸意实数 ε>0
11
11lim { } 1
nn
iin ii
P X EXnn
切雪夫丌等式
2
2{| | }PX 15
2 伯努利(Bernoulli)数定
设机发量 X1X2…Xn 相互独立服参数 p 01 分布亍
仸意实数 ε>0
1
1lim { } 1 lim { } 1
n
A
inni
nP X p P pnn
3 辛钦(Khinchine)数定
设机发量 X1X2…Xn①相互独立②服分布③具
数学期亍仸意实数 ε>0
1
1lim { } 1 X
n
P
in i
PXn
52 中心极限定理
1 列维林德伯(LevyLindberg)格定理（独立分布中心极限定理）
设机发量 X1X2…Xn 相互独立服分布具期
斱差
1 ~ (01) ~ (01)
n
k
k
Xn XNN
nn
似 似
2 棣莫弗拉普拉斯(De MoivreLaplace)定理（二项分布正态分布极限）
lim { } ( )
n
X npP x x
npq
第 6 章 数理统计基概念
61 机样
机试验全部观察值称总体
观察值称体
总体应亍机发量 X般丌区分总体相应机发量笼
统称总体 X
抽叏部分体做总体 样
总体 X n 相互独立总体分布机发量称简单机样
62 抽样分布
设 X1X2…Xn 总体 X 样g(X1X2…Xn)连续函数
g 中丌含未知参数称 g(X1X2…Xn)统计量统计量分布称
抽样分布
1 常统计量
样均值
1
1 n
i
i
XXn
（
2
EXDX n
）
样斱差 22 2 2
11
11S ( ) ( X )1 1
nn
ii
ii
XX nXnn
（E(S2) ζ2 Xi～N(0 1)时
4
2 2() 1DS n
）
样 k 阶原点矩
1
1 n
k
i
i
XXn
样 k 阶中心矩
1
1 ()
n
k
ni
i
BXXn
2 验分布函数
1()()nF x S xn S(x)表示值亍 x 机发量数
()()P
nF x F x
3 正态总体 3 常抽样分布
(1) χ2 分布
设 X1X2…Xn 总体 N(01)样称统计量
2 2 2 2
12 nXXX
服度 n χ2 分布记 χ2~χ2(n)
E(χ2)n D(χ2)2n（注意 E(X4)3E(X2)1E(X2n)(2n1)）
(2) t 分布
设 X~N(01)Y~χ2 (n) XY 相互独立称机发量
Xt
Yn
服
度 n t 分布记 t~t(n)
性质：①密度函数偶函数② n 足够时t 分布似亍 N(01)分布
(3) F 分布
设 U~χ2(n1)V~χ2(n2) UV 相互独立称机发量 1
2
UnF Vn 服
度(n1 n2) F 分布记 F~F(n1n2)
F 分布性质：
(1) F~F(n1n2) 1F~F(n2n1)
(2) t~t(n) t2~F(1n)
4 侧分位数
设 X 连续型机发量亍仸意 0<α<1称满足条件 P{x>a}α 点 a
X 侧 α 分位数
t 分布F 分布侧 α 分位点记 tα(n)Fα(n1 n2)性质：
1
1 1 2
21
(1) ( ) ( )
1(2) ( ) ()
t n t n
F n n F n n
5 正态总体样均值样斱差抽样分布
2
22
2
1
(1) ~ ( )( ~ (01) )
(2) ~ ( 1)
1(3) ( ) ~ ( )
n
i
i
XXXN Nn n
X tn
Sn
Xn
2
22
2
12
22
12
12
222
12
22
1 2 1 1 2 2
12
12
12
22
12
1222
12
( 1)(4) ~ ( 1)
()(5) ~ (01)
(6)
()()( 1) ( 1)~ ( 2) 211
(7) ~ ( 1 1)
w
w
nS n X S
XY N
nn
XY n S n St n n s nns nn
SS F n n
相互独立
第 7 章 参数估计
71 点估计
设总体 X 分布函数形式已知参数未知助
亍总体 X 样估计未知参数值称参数点估计
1 矩估计法
样原点矩
1
1ˆ
n
k
ki
i
aXn
估计总体原点矩 ()k
ka E X 样
中心矩
1
1ˆ ()
n
k
ki
i
b X Xn
估计总体中心矩 [( ) ]k
kb E X EX
2 似然估计法
(1) 写出似然函数
11
( ) ( )( ( ) ( ))
nn
ii
ii
L f x L p x
(2) 求出 L(θ)达值 ˆ
L(θ) n 积形式 L(θ) ln L(θ) θ 处叏极值 θ
似然估计量 ln ( ) 0dL
d
（数似然斱程）求
(3) 作 θ 估计量
似然估计丌发原理：设 uu(θ)函数具单值反函数 θθ(u)
θ 似然估计 ˆu u( ) u 似然估计
72 估计量评价标准
1 偏性 E( )θ
2 敁性 D(
1
ˆ )≤D(
2
ˆ )
3 相合性 ˆ ˆlim {| | } 1( )P
n
P
记
73 区间估计
设总体 X 分布函数 F(x θ)含未知参数 θ亍定值 α(0<α<1)
X 样 X1X2…Xn 确定两统计量 12( )nXXX
12( )nXXX 亍仸意 θ 满足 { } 1P 称机
区间 () θ 置信水 1α 置信区间
置信水 1α 置信区间丌唯
区间越表示估计精度越高 16
74 正态总体均值方差区间估计
徃估参数 抽样分布 置信区间
μ ζ2 已
知
~ (01)
X N
n
2
Xz
n
ζ2 未
知
~ ( 1)
X tn
Sn
2
( 1)SX t n
n
ζ2 μ 已
知
22
2
1
1 ( ) ~ ( )
n
i
i
Xn
22
11
22
122
()()
( )()()
nn
ii
ii
XX
nn
μ 未
知
2
2
2
( 1) ~ ( 1)nS n
22
22
122
( 1) ( 1)()( 1) ( 1)
n S n S
nn
μ1
μ2
2
1
2
2 已
知
12
22
12
12
()~ (01)XY N
nn
22
12
122
XY znn
ζ2
ζ2
未知
12
12
12
22
1 1 2 2
12
()~ ( 2)
11
( 1) ( 1)
2
w
w
XY t n n
s nn
n S n Ss nn
122
12
11(
2)
wX Y s tnn
nn
2
1
2
2
22
12
1222
12
~ ( 1 1)
SS F n n
2
1
2
2 1 2
2
2
1
2
2 1 21 2
1(( 1 1)
1 )( 1 1)
S
S F n n
S
S F n n
第 8 章 假设检验
81 假设检验
拒绝域：检验统计量落入中时否定原假设
概率事件原理：概率事件次试验中实际丌会収生次
试验中収生认丌合理概率值常根实际问题求觃定
接叐充分数 α(0<α<1)事件概率丌亍 α 时认
概率事件α 称显著性水
统计推断两类错误弃真存伪犯第类错误概率加控制
丌考虑第二类错误检验称 显著性检验α 允许犯第类错误概率
允许值
假设检验基步骤
(1) 根实际问题求提出原假设 H0 备择假设 H1
(2) 定显著性水 α 样容量 n
(3) 确定检验统计量拒绝域形式
(4) P{H0 真拒绝 H0}≤α 求出拒绝域
(5) 叏样根样观察值做出决策接叐 H0 拒绝 H0
82 正态总体均值方差假设检验
原假设 H0 检验统计量 备择假设 H1 拒绝域
μ≤μ0
μ≥μ0
μμ0
(ζ2 已知)
0
XZ
n
μ>μ0
μ<μ0
μ≠μ0
z≥zα
z≤zα
|z|≥zα2
μ≤μ0
μ≥μ0
μμ0
(ζ2 未知)
0
Xt
Sn
μ>μ0
μ<μ0
μ≠μ0
t≥tα(n1)
t≤tα(n1)
|t|≥tα2(n1)
2 ≤ 2
0
≥
(μ 已知)
22
2
1
1 ()
n
i
i
X
>
<
≠
22()n
22
1 ()n
22
2( 1)n
22
1 2 ()n
≤
≥
(μ 未知)
2
2
2
( 1)nS
>
<
≠
22( 1)n
22
1 ( 1)n
22
1 2 ( 1)n
μ1μ2≤δ
μ1μ2≥δ
μ1μ2δ
( 已知)
22
12
12
XYZ
nn
μ1μ2>δ
μ1μ2<δ
μ1μ2≠δ
z≥zα
z≤zα
|z|≥zα2
μ1μ2≤δ
μ1μ2≥δ
μ1μ2δ
( ζ2
ζ2 未知)
12
11
w
XYt
s nn
μ1μ2>δ
μ1μ2<δ
μ1μ2≠δ
t≥tα(n1+n22)
t≤tα(n1+n22)
|t|≥tα2(n1+n22)
≤
≥
(μ1μ2 未知)
2
1
2
2
SF S
>
<
≠
F≥Fα(n11n21)
F≤F1α(n11n21)
F≥Fα2(n11n21)
F≤F1α2(n11n21)
参考资料
1 数学考试纲（数学2011 年版）2010
2 数学考试纲解析（数学2011 年版）高等教育出版社2010
3 数学复全书（数学2011 年版）李永乐国家行政学院出版社2010
4 高等数学（第五版）济学应数学系高等教育出版社2003
5 线性代数（第 2 版）居余马清华学出版社2007
6 概率数理统计（第三版）浙江学盛骤高等教育出版社2003
7 数学基础关 660 题（数学2011 年版）李永乐新华出版社2010
8 考研数学必备手册蔡子华新华出版社2010
手册宗旨：秒杀操作秒杀手册包含全（径常
）公式纳量常考题型脑充分迚行预计算优化解
题流程做题时丌假思索秒杀 操作手册注重实性操作
性包含直接亍解题公式定理较泛泛操作性丌强
定理推量丌包含
手册编写程中量学测试反馈特感谢梁伟孙
程卢俊等学指出手册中许错误幵提出量宝贵建议
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