高等数学讲义- 无穷级数（数学一和数学三）

高等数学讲义 穷级数(数学数学三)
第八章 穷级数（数学数学三）

引言：谓穷级数穷项相加限项相加质历史穷级数问题引起争例：
ΛΛ+++++1)1(1111n
历史三种法出三种 第种 0)11()11()11(++++ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1ΛΛ 第三种 设S n +++++ΛΛ1
)1(1111

[]S ++Λ11111
1S S 12S 2
1
S 种争说明穷项相加缺乏种正确认识 1) 什穷项相加？考虑？ 2) 穷项相加否定？
3) 穷项相加什情形结合律什情形交换律等性质穷级数基概
念性质需作详细讨
§ 81 常数项级数

（甲） 容点 基概念性质 1 基概念
穷数ΛΛ321n u u u u 次相加表达式ΛΛ+++++∑∞
n n n
u u u u u
3211
称
数项级数（简称级数）
∑n
k k n u S 1
123n u u u u ++++L （Λ321n ）称级数前n 项部分
{})321(Λn S n 称部分数列
S u S u S S n n n n n n ∑∑∞∞
∞
→1
1
)(lim 记收敛称级数存
n n S ∞
→lim 存称级数∑∞
1
n n u 发散发散级数没概念
（注：某特殊含义考虑发散级数基础课考研考试纲中作种求）

2． 基性质 （1） 果
∑∑∑∑∑∞∞
∞∞
∞++1
1
1
1
1
)(n n n n n n n n
n
n n
v b u a bv au
b a v u 等收敛常数皆收敛
（2） 级数中增加减少变更限项级数收敛性变
（3） 收敛级数具结合律级数项意加括号新级数收敛
变发散级数具结合律引言中级数见发散加括号级数情形 （4） 级数
∑∞
1
n n u 收敛必条件
0lim ∞
→n n u
（注：引言中提级数
∑∞
+1
1
)
1(n n 具∞→n lim ()存1
1+n 收敛级数必条件满
足
∑∞
1
n ()
1
1+n 发散调级数
∑
∞
1
n n 1满足∞→n lim 01n ∑∞
1n n 1发散满足收敛级数必条件∞
→n lim 0n u
∑
∞
1
n n u 收敛性尚确定）

3．两类重级数
（1）等级数（级数）
∑∞
0n n ar ()0≠a 1∑∞
0n n ar r
a

1收敛 1≥r 时
∑∞
0
n n
ar
发散
（2）p 级数
∑∞
11n p
n
p>1时∑∞
11n p n 收敛 p ≤1时∑∞
11
n p n
发散
（注：p>1时∑∞11
n p n 般作求面特殊方法知∑∞
1n 6122
πn
）

二正项级数敛散性判法
()Λ3210≥n u n ∑∞
1
n n u 称正项级数时(){}n n n S n S S Λ3211≥+单调
加数列否收敛取决n S 否界
∑
∞
1
n n n S u 收敛界正项级数
较判法基础正项级数判法基础
1 较判法
果皆成立时设u cv N n c n n 00>≥≥>∑∞1
n n v 收敛∑∞1
n n u 收敛果∑∞
1
n n u 发散

∑∞
1
n n
v
发散
2 较判法极限形式
设)321(00Λ≥≥n v u n n ∞
→n lim
A v u n
n
1) 0∑∞
1n n
u

∑∞
1
n n
v
时收敛时发散
2) A0时
∑∞
1
n n
v
收敛
∑∞
1
n n
u
收敛
3) A+∞时
∑∞
1
n n
u
收敛
∑∞
1
n n
v
收敛
3．值判法（达朗倍尔） 设n u >0∞
→n lim
ρ+n
n u u 1
1） ρ∑∞
1
n n
u
收敛
2） ρ>1时(包括ρ+∞)
∑∞
1
n n
u
发散
3） ρ1时判法效（注：果∞
→n lim
n
n u u 1
+存时判法法） 4．根值判法（柯西） 设n u ≥0∞
→n lim
ρn n u
1） ρ∑∞
1
n n
u
收敛
2） ρ>1时(包括ρ+∞)∑∞
1
n n
u
发散
3） ρ1时判法效
事实值判法根值判法等级数较出相应结应时根级数形状选择ρ1情形力数学更精细判法较复杂考研说作求
三交错级数莱布尼兹判法 1．交错级数概念 n u >0
∑
∞
1
n n n u 1)1(+称交错级数
2．莱布尼兹判法 设交错级数
∑
∞
1
n n n u 1)1(+满足：
1）≤+1n u n u )321(Λn
2) ∞
→n lim n u 0
∑
∞
1
n n n u 1
)
1(+收敛01
n n n u 1)1(+四绝收敛条件收敛 1．定理
∑
∞
1
n n u 收敛∑∞
1
n n u 定收敛反然
2．定义
∑
∞
1n n u 收敛称∑∞
1
n n u 绝收敛

∑
∞
1
n n u 收敛∑∞1
n n u 发散称∑∞
1
n n u 条件收敛
3．关性质
1）绝收敛级数具交换律级数中穷项意交换序级数绝收敛变 2）条件收敛级数正项负项构成级数∑
∞
1
n 21（n u +n u ）∑∞
1
n 21（n u —n u ）定发散
4．类重级数 设
∑
∞
1
n ρ
n n 1
)1(+ 1） ρ>1时
∑
∞
1
n ρ
n n 1
)1(+绝收敛 2） 0∑
∞
1
n ρ
n
n 1
)1(+条件收敛 3） ρ≤0时
∑
∞
1
n ρ
n n 1
)1(+发散
（乙） 典型例题
部分数列极限讨级数敛散性
例1． 判定列级数敛散性收敛求级数
1）
∑
∞
1
n )
1()1(1
+++n n n n
2）
∑
∞
1
n n
n 21
2 1）解：
∑
∞
1
n )
1()1(1
+++n n n n
n S ∑
n
k 1
)
1()1(1
+++k k k k

n S ∑
n
k 1
()()



+++2
2
1)1()
1(k k k k k k
∑
n
k 1
1
1
1)111(
++n k k Θ∞→n lim n S 1
∴∑
∞
1
n 1)
1()1(1
+++n n n n 收敛
2）解：
n S n n 21
225232132++++Λ
① 21n S 14322
12232252321++++++n n n n Λ ② ①②21n S 1322
1
2)212121(221+++++n n n Λ
1112
3
223212)211(21++++n n n n n
Θ∞
→n lim n S 3
∴∑
∞
1
n n
n 21
23收敛 例2
设数列{}
∑∞
1
1)(n n n
n a a
n na 证明收敛级数收敛∑∞
0
n n a 收敛
证：题意知∞
→n lim 存A na n

∞
→n lim n S ∞
→n lim
∑n
k k k
S a a
k 1
1)(存
n S )()(3)(2)(1231201++++n n a a n a a a a a a Λ
∑
1

n k k
n a
na

∑1
0n k k
a
n n S na
∞
→n lim
∑1

n k k
a
∞
→n lim n na ∞
→n lim n S S A
级数
∑∞
0
n n
a
S A 收敛
二判法讨级数敛散性 例1． 设级数
∑
∞
1
n )0(≥n n a a 收敛∑
∞
1
n n
a n
收敛 解：
n a n
)1(212
2n a n a n n +≤（均值≤算术均值） 已知
∑
∞
1
n 收敛收敛收敛)1
(2112
1
12n a n a n n n n +∑∑∞
∞
较判法知
∑
∞
1
n n
a n
收敛 例2． 正项数列{}n a 单调减少
∑
∞
1
n n n
a )1(发散问∑∞
1
n n
n a )1
1(
+否收敛？说明理 解：知根莱布尼兹判法果存单调减少0lim 0∴≥∞
→a a a a n n n Θ
∑
∞
1
n (1)0n n a a ∴>收敛假设矛盾样
n
n n n a a a a )1
1()11(11111+≤+∑
∞
1
n n a )11(+收敛较判法知∑∞
1
n n
n a )11(
+收敛 例3． 设
4

tan π
xdx a n n
（1）求
∑
∞
1
n n a a n n 2++值 （2）证明：意正常数0>λ∑∞
1
n λ
n a n
收敛
证明：（1）n a a n n 2++n
1


+40
2)tan 1(tan π
dx x x n
n
1
40
tan tan π
x xd n )
1(1
+
n n
∑
∞
1
n n a a n n 2++∑∞
1n )
1(1+n n 1 （2）40tan π
xdx a n
n 1
20
1n
t
dt t + +≤
1

1
1
n dt t n
λn a n
1)1(1+∴>+11λΘ∑
∞
1
n 1
1+λn 收敛较判法知
∑
∞
1
n λ
n a n
收敛 例4． 设方程证明证明方程唯正实根正整数中01n n
x n nx x +
α>1时级数
∑
∞
1
n αn x 收敛
()1n n f x x nx +证记 10()0n x f x nx n α＇>+>时
[)()0n f x +∞单调增加
(0)10(1)0n n f f n 100n
n n n x nx x +>知
11
0n
n n x x n n
11
()n n
α∞
∑正项级数收敛
α>1时级数
∑
∞
1
n αn x 收敛

§ 82 幂级数
（甲）容点
函数项级数收敛域函数（数学） 1． 函数项级数概念
设)(x u n )321(Λn 皆定义区间I ∑
∞
1
n )(x u n 称区间I 函数项级数
2． 收敛域
设I ∈0x 果常数项级数
∑
∞
1n )(0x u n 收敛称0x 函数项级数∑∞
1
n )(x u n 收敛点果
∑
∞
1
n )(0x u n 发散称0x ∑∞
1
n )(x u n 发散点函数项级数∑∞
1
n )(x u n 收敛点构成集
合称收敛域发散点构成集合发散域
3． 函数
∑
∞
1
n )(x u n 收敛域点x 关)(x S ∑∞
1
n )(x u n ∈x 收敛域
称)(x S 函数项级数
∑
∞
1
n )(x u n 函数定义域函数项级数收敛域
二幂级数收敛域 1． 幂级数概念
∑∞
0
n n
a
n x x )(0称)(0x x 幂级数)210(Λn a n 称幂级数系数常数0
0x
时
∑∞
0
n n
a
n
x 称x 幂级数般讨∑∞
0
n n a n x 关问题作移换出关
∑∞
0
n n
a
n x x )(0关结
2．幂级数收敛域 幂级数
∑∞
0
n n
a
n x 收敛域分三种情形：
（1） 收敛域)(+∞∞
∑∞
0
n n
a
n x x 皆收敛称收敛半径+∞R
（2） 收敛域仅原点原点外幂级数∑∞
0
n n
a
n x 皆发散称收敛半径0R
（3） 收敛域
(][)[]R
R R R R R R R R 称收敛半径中种)(
)0(+∞求幂级数收敛半径R 非常重（1）（2）两种情形收敛域确定（3）情形需讨R ±两点敛散性
11
lim
()()(n n n n n n a l a l R l a l
+→∞
+∞+∞+∞果包括包括收敛半径
00)R l R +∞果述两极限成立方法求收敛 半径面讨

三幂级数性质 1． 四运算 设
∑∞
0
n n
a
n
x ∑∞
21)()(n n n R x x g x b R x x f
)
min()
()()())(()
min()
()()(210
000

210R R x x g x f x b a b a b a x b x a R R x x g x f x b a n n n k n k n n n
n n n
n n n n n ∞
∞
∞
ΛΛ2 分析性质 设幂级数
∑∞
0
n n
a
n
x 收敛半径R > 0S(x )
∑∞
0
n n
a
n x 函数列重性质
（1）逐项求导公式导R R x S )()(
＇)(x S ∑∑∑∞∞
∞＇＇0
1
10
)()(n n n n n
n n n
n x na x a x a 求导幂级数收敛半径变出
公式意阶导数R R x S )()( )321(
)1()1()()
(ΛΛk R x x a k n n n x S
k
n k n n k
（2）逐项积分公式)()(R R x S
∑∑
∞∞
++00
01

1
)(n x
n n n n
n x
x n a dt t a dt t S 幂级数收敛半径变
（3）
∑∞
0
n n
a
n x )()(列性质成立R R x x S
(i)
()

lim ()(lim ()())n
n n n x R
x R n n S x a R S x a R +∞
∞
→→∑∑成立成立
(ii) ))(1)((1)(0
01001∑∑∞
+∞
+++R
n n n R
n n n R n a
dx x S R n a dx x S 成立成立 (iii)
∑∞
11
)(n n n
R R x x
na 定收敛
11
()
(())n n n na x S R S R ∞

+
＇＇∑定成立

()n n n a x x R R ∞
∑果发散逐项求导级数
1
1()n n
n na x
x R R ∞
∑定发散逐项积分级数
1

()1n n
n a x
x R R n ∞
++∑收敛

四幂级数求函数基方法 1．已知函数幂级数展开式（§ 83讨）反 列基公式应熟背：
01(1)
11n
n x
x x
∞

0(2)
n
x
n x e x n ∞
21
0(3)(1)sin (21)n n
n x x x n +∞
20
(4)(1)cos (2)n
n
n x x x n ∞
1

(5)(1)ln(1)(11)1n n
n x x x n +∞
+1
(1)(1)
(6)1(1)
11()
n n n x x x n ααααα∞
+++L 实常数
2逐项求导逐项积分方法等级数求公式
3逐项求导逐项积分方法化函数微分方程求出微分方程解
五利幂级数求函数出关常数项级数 （乙）典型例题
例1 求列幂级数函数 （1）
∑∞
+0
)12(n n n
x

（2）∑∞
+0
21)1(n n n n
x
解：（1）求出收敛半径R1 收敛域（11）

()(21)2n
n
n n n n S x n x nx x ∞∞∞
++∑∑∑
1101
21x
n n x nt dt x ∞＇
+
∑ 11122111n n x x x x x
x x ∞＇＇

++∑ 22
211(11)(1)1(1)x x
x x x x +
+
∈
（2）求出函数出收敛域
[]2
200
(1)2(1)()11n n
n n n n S x x x n n ∞
∞+++∑∑

1(1)441n
n
n
n n n n x x x n ∞∞
∞
+++∑∑∑
120

4
()(1)()411n
n n n S x n x
S x x x x
∞
∞
+
30
1()41n
n S x x n ∞
+∑
1
100

()(1)11x
x
n
n n n x
S t dt n t dt x x x
∞∞
++12
1
()()11(1)x S x x x x ＇∴
11301
1(1)()()441n n
n n n x xS x x n n ∞
∞
++∑∑
4ln(1)
(11)x x ≤11
(1)ln(1)
(11)n n
n t t t n ∞
+l
l
dx
x g x f g f x l n x l n x l x l x l x l l l l Λ
Λπππππ
π
1cos 1sin 0(12)l
l
l l
n n dx xdx n l l ππL
sin
cos 0(12)l
l m n x xdx m n l l
ππ
L
cos cos sin sin 0(12)l
l
l l
m n m n x xdx x xdx m n m n l l l l ππππ≠L
称三角函数系正交
二傅里叶系数傅里叶级数
[]()2(0)f x l l l l >设周期定义积函数 1()cos
012l
n l n a f x xdx n l l
πL 令
1()sin
012l n l n b f x xdx n l l
πL
()n n a b f x 称傅里叶系数
01(cos sin )2n n n a n n a x b x l l
ππ
∞++∑三角级数
[]()(2)f x l l l 称傅里叶级数关周期
01()~(cos sin )2n n n a n n f x a x b x l l
ππ
∞++∑记
()f x 值注意现假设条件傅里叶系数傅里叶级数相关概念 ()f x 知道傅里叶级数否收敛更知道傅里叶级数否收敛

三狄利克雷收敛定理
[]()f x l l 设定义满足
[](1)()f x l l 连续限第类间断点 [](2)()f x l l 限极值点
[]01()(cos sin )()2n n n a n n f x l l a x b x S x l l
ππ
∞++∑傅里叶级数收敛
[][]()()()1
()(0)(0)
()()21
(0)(0)2
f x x l l f x S x f x f x x l l f x f l f l x l

∈++∈++±连续点
第类间断点 述两条件称狄利克雷条件

四正弦级数余弦级数
[]1()2f x l l l 设周期定义满足狄利克雷条件
(1)()0(012)n f x a n L 果奇函数
02()sin (12)l
n n b f x xdx n l l
πL
()f x 时傅里叶级数正弦级数
(2)()0(123)n f x b n L 果偶函数
02()cos (012)l
n n a f x xdx n l l
πL
()f x 时傅里叶级数余弦级数
[][]2()00f x l l 设定义连续限第类间断点限极值点[]()0f x l 列两傅里叶展开式
01(1)
()~cos 2n n a n f x a l
π∞+∑
02()cos (012)l
n n a f x xdx n l l
π
L 中
1
(2)
()~sin
(123)n n n f x b x n l
π
∞
∑L 02()sin l
n n b f x xdx l l
π
中
[][)[](1)()00(2)()0f x l l f x l 中相偶函数扩充定义中相[)[]00l l 奇函数扩充定义出傅里叶级数余弦级数正弦级数
级数收敛函数狄利克雷收敛定理结
()乙典型例题 1()10
51510f x x x ≤≤例展成周期傅里叶级数
15
51(10)cos 55
n n a x xdx π
解
15
15
5
512cos cos 555n n xdx x xdx ππ
15
15
15
25
5
5
1055sin sin ()cos 5
5
5
n n n x x x x n n n π
π
π
πππ
0
00n a n a ∴推演程中没意义重新求
15
05
1
(10)05a x dx
15
5110(10)sin (1)(12)55n
n n b x xdx n n ππ
L
110
(1)()10sin (515)5
n n n f x x x
x n π
π∞

2()2(11)2f x x x +≤≤例函数展成周期傅里叶级数求级数
2
11
n n
∞
∑ ()2f x x +解偶函数展成余弦级数
1
00
0
2(2)5n b a x dx +
1
1

2
(2)cos()2cos 1n a x n x dx x n xdx ππ+
22
2(cos 1)
(12)n n n ππ
L
[]11函数满足狄氏收敛定理
[]22
152(cos 1)
2cos()
112n n x n x n πππ∞++∑
2
2

54cos(21)2(21)k k x
k ππ
∞
++∑ 2
2
22
0054
11022(21)(21)8k k x k k ππ
∞
∞
++∑∑时式 222221010
1111111(21)(2)(21)4n k k k n n k k k n ∞
∞∞∞
∞++++∑∑∑∑∑ 22
22
1014143(21)386n k n
k ππ∞
∞+∑∑
[]3()()n n f x a b f x ππ例设积傅里叶系数试证
222
2
011()()2N
n n n a a b f
x dx π
ππ

++≤∑
N 证明需证明意正整数
222
2
011()()2N n n n a a b f
x dx π
ππ

++≤∑
01
()(cos sin )2N
N n n n a S x a nx b nx ++∑令
()2
2
0()()N f x S x dx f x dx π
π
ππ≤
2
2()()()N N f x S x dx S x dx π
π
π
π
+

222
22220211()2()()22N N
n n n n n n a a f x dx a b a b π
π
ππ+++++∑∑
2222021()()2N
n n n a a b f x dx π
π
π

∴++≤∑
桥流水家古道西风瘦马夕阳西断肠天涯


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