高中文科数学 必修1知识点
第章 集合函数概念
111集合含义表示
（1）集合概念
集合中元素具确定性互异性序性
（2）常数集记法
表示然数集表示正整数集表示整数集表示理数集表示实数集
（3）集合元素间关系
象集合关系者两者必居
（4）集合表示法
①然语言法：文字叙述形式描述集合
②列举法：集合中元素列举出写括号表示集合
③描述法：{|具性质}中集合代表元素
④图示法：数轴韦恩图表示集合
（5）集合分类
①含限元素集合做限集②含限元素集合做限集③含元素集合做空集()
112集合间基关系
（6）子集真子集集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
（
A中元素属B
(1)AA
(2)
(3)
(4)
真子集
AB
（BA）
B中少元素属A
（1）（A非空子集）
(2)
集合
相等
A中元素属BB中元素属A
(1)AB
(2)BA
（7）已知集合元素子集真子集非空子集非空真子集
113集合基运算
（8）交集集补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
（1）
（2）
（3）
集
（1）
（2）
（3）
补集
1 2
补充知识含绝值等式元二次等式解法
（1）含绝值等式解法
等式
解集
成整体化成型等式求解
（2）元二次等式解法
判式
二次函数图象
元二次方程根
（中
实根
解集
解集
〖12〗函数表示
121函数概念
（1）函数概念
①设两非空数集果某种应法集合中数集合中唯确定数应样应（包括集合应法）做集合函数记作．
②函数三素定义域值域应法．
③定义域相应法相两函数函数．
（2）区间概念表示法
①设两实数满足实数集合做闭区间记做满足实数集合做开区间记做满足实数集合做半开半闭区间分记做满足实数集合分记做．
注意：集合区间前者等者必须
．
（3）求函数定义域时般遵循原：
①整式时定义域全体实数．
②分式函数时定义域分母零切实数．
③偶次根式时定义域开方式非负值时实数集合．
④数函数真数零数指数函数底数中含变量时底数须零等1．
⑤中．
⑥零（负）指数幂底数零．
⑦限基初等函数四运算合成函数时定义域般基初等函数定义域交集．
⑧求复合函数定义域问题般步骤：已知定义域复合函数定义域应等式解出．
⑨含字母参数函数求定义域根问题具体情况需字母参数进行分类讨．
⑩实际问题确定函数定义域函数意义外符合问题实际意义．
（4）求函数值域值
求函数值常方法求函数值域方法基相．事实果函数值域中存（）数数函数（）值．求函数值值域实质相提问角度．求函数值域值常方法：
①观察法：较简单函数通观察直接值域值．
②配方法：函数解析式化成含变量方式常数然根变量取值范围确定函数值域值．
③判式法：函数化成系数含关二次方程时实数必须确定函数值域值．
④等式法：利基等式确定函数值域值．
⑤换元法：通变量代换达化繁简化难易目三角代换代数函数值问题转化三角函数值问题．
⑥反函数法：利函数反函数定义域值域互逆关系确定函数值域值．
⑦数形结合法：利函数图象方法确定函数值域值．
⑧函数单调性法．
122函数表示法
（5）函数表示方法
表示函数方法常解析法列表法图象法三种．
解析法：数学表达式表示两变量间应关系．列表法：列出表格表示两变量间应关系．图象法：图象表示两变量间应关系．
（6）映射概念
①设两集合果某种应法集合中元素集合中唯元素应样应（包括集合应法）做集合映射记作．
②定集合集合映射．果元素元素应元素做元素象元素做元素原象．
〖13〗函数基性质
131单调性（）值
（1）函数单调性
①定义判定方法
函数
性 质
定义
图象
判定方法
函数
单调性
果属定义域I某区间意两变量值x1x2x1< x2时f(x1)
（1）利定义
（2）利已知函数单调性
（3）利函数图象（某区间图
象升增）
（4）利复合函数
果属定义域I某区间意两变量值x1x2x1< x2时f(x1)>f(x2)说f(x)区间减函数．
（1）利定义
（2）利已知函数单调性
（3）利函数图象（某区间图
象降减）
（4）利复合函数
②公定义域两增函数增函数两减函数减函数增函数减减函数增函数减函数减增函数减函数．
y
x
o
③复合函数令增增增减减增增减减减增减．
（2）√函数图象性质
分增函数分减函数．
（3）（）值定义
①般设函数定义域果存实数满足：（1）意
（2）存．称函数 值记作．
②般设函数定义域果存实数满足：（1）意（2）存．称函数值记作．
132奇偶性
（4）函数奇偶性
①定义判定方法
函数
性 质
定义
图象
判定方法
函数
奇偶性
果函数f(x)定义域意xf(－x)－f(x)函数f(x)做奇函数．
（1）利定义（先判断定义域否关原点称）
（2）利图象（图象关原点称）
果函数f(x)定义域意xf(－x)f(x)函数f(x)做偶函数．
（1）利定义（先判断定义域否关原点称）
（2）利图象（图象关y轴称）
②函数奇函数处定义．
③奇函数轴两侧相称区间增减性相偶函数轴两侧相称区间增减性相反．
④公定义域两偶函数（奇函数）（差）偶函数（奇函数）两偶函数（奇函数）积（商）偶函数偶函数奇函数积（商）奇函数．
〖补充知识〗函数图象
（1）作图
利描点法作图：
①确定函数定义域 ②化解函数解析式
③讨函数性质（奇偶性单调性） ④画出函数图象．
利基函数图象变换作图：
准确记忆次函数二次函数反例函数指数函数数函数幂函数三角函数等种基初等函数图象．
①移变换
②伸缩变换
③称变换
（2）识图
定函数图象图象左右分范围变化趋势称性等方面研究函数定义域值域单调性奇偶性注意图象函数解析式中参数关系．
（3）图
函数图象形象显示函数性质研究数量关系问题提供形直观性探求解题途径获问题结果重工具．重视数形结合解题思想方法．
第二章 基初等函数(Ⅰ)
〖21〗指数函数
211指数指数幂运算
（1）根式概念
①果做次方根．奇数时次方根符号表示偶数时正数正次方根符号表示负次方根符号表示0次方根0负数没次方根．
②式子做根式里做根指数做开方数．奇数时意实数偶数时．
③根式性质：奇数时偶数时 ．
（2）分数指数幂概念
①正数正分数指数幂意义：．0正分数指数幂等0．
②正数负分数指数幂意义：．0负分数指数幂没意义． 注意口诀：底数取倒数指数取相反数．
（3）分数指数幂运算性质
① ②
③
212指数函数性质
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
0
1
0
1
函数做指数函数
图象
定义域
值域
定点
图象定点时．
奇偶性
非奇非偶
单调性
增函数
减函数
函数值
变化情况
变化 图象影响
第象限越图象越高第二象限越图象越低．
〖22〗数函数
221数数运算
（1） 数定义
①做底数记作中做底数做真数．
②负数零没数．
③数式指数式互化：．
（2）重数恒等式
．
（3）常数然数
常数：然数：（中…）．
（4）数运算性质 果
①加法： ②减法：
③数： ④
⑤ ⑥换底公式：
222数函数性质
（5）数函数
函数
名称
数函数
定义
函数做数函数
图象
0
1
0
1
定义域
值域
定点
图象定点时．
奇偶性
非奇非偶
单调性
增函数
减函数
函数值
变化情况
变化 图象影响
第象限越图象越低第四象限越图象越高．
(6)反函数概念
设函数定义域值域式子中解出式子．果中值通式子中唯确定值应式子表示函数函数做函数反函数记作惯改写成．
（7）反函数求法
①确定反函数定义域原函数值域②原函数式中反解出
③改写成注明反函数定义域．
（8）反函数性质
①原函数反函数图象关直线称．
②函数定义域值域分反函数值域定义域．
③原函数图象反函数图象．
④般函数反函数必须单调函数．
〖23〗幂函数
（1）幂函数定义
般函数做幂函数中变量常数．
（2）幂函数图象
（3）幂函数性质
①图象分布：幂函数图象分布第二三象限第四象限图象．幂函数偶函数时图象分布第二象限(图象关轴称)奇函数时图象分布第三象限(图象关原点称)非奇非偶函数时图象分布第象限．
②定点：幂函数定义图象通点．
③单调性：果幂函数图象原点增函数．果幂函数图象减函数第象限图象限接轴轴．
④奇偶性：奇数时幂函数奇函数偶数时幂函数偶函数．（中互质）奇数奇数时奇函数奇数偶数时偶函数偶数奇数时非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数时图象直线方图象直线方时图象直线方图象直线方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式三种形式
①般式：②顶点式：③两根式：（2）求二次函数解析式方法
①已知三点坐标时宜般式．
②已知抛物线顶点坐标称轴关（）值关时常顶点式．
③已知抛物线轴两交点横线坐标已知时选两根式求更方便．
（3）二次函数图象性质
①二次函数图象条抛物线称轴方程顶点坐标．
②时抛物线开口函数递减递增时时抛物线开口函数递增递减时．
③二次函数时图象轴两交点．
（4）元二次方程根分布
元二次方程根分布二次函数中重容部分知识初中代数中涉尚够系统完整解决方法偏重二次方程根判式根系数关系定理（韦达定理）运面结合二次函数图象性质系统分析元二次方程实根分布．
设元二次方程两实根．令四方面分析类问题：①开口方： ②称轴位置： ③判式： ④端点函数值符号．
①k＜x1≤x2
②x1≤x2＜k
③x1＜k＜x2 af(k)＜0
④k1＜x1≤x2＜k2
⑤仅根x1（x2）满足k1＜x1（x2）＜k2 f(k1)f(k2)0时考虑f(k1)0f(k2)0两种情况否符合
⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2
结直接⑤推出．
（5）二次函数闭区间值
设区间值值令．
（Ⅰ）时（开口）
① ② ③
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
① ②
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
(Ⅱ)时(开口)
① ② ③
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
① ②．
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
第三章 函数应
方程根函数零点
1函数零点概念：函数成立实数做函数零点
2函数零点意义：函数零点方程实数根函数图象轴交点横坐标：
方程实数根函数图象轴交点函数零点．
3函数零点求法：
求函数零点：
（代数法）求方程实数根
（法）求根公式方程函数图象联系起利函数性质找出零点．
4二次函数零点：
二次函数．
１）△＞０方程两等实根二次函数图象轴两交点二次函数两零点．
２）△＝０方程两相等实根（二重根）二次函数图象轴交点二次函数二重零点二阶零点．
３）△＜０方程实根二次函数图象轴交点二次函数零点．
高中数学 必修2知识点
第章 空间体
11柱锥台球结构特征
12空间体三视图直观图
1 三视图：
正视图：前 侧视图：左右 俯视图：
2 画三视图原：
长齐高齐宽相等
3直观图：斜二测画法
4斜二测画法步骤：
（1）行坐标轴线然行坐标轴
（2）行y轴线长度变半行xz轴线长度变
（3）画法写
5 斜二测画法画出长方体步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
13 空间体表面积体积
（ ）空间体表面积
1棱柱棱锥表面积： 面面积
2 圆柱表面积 3 圆锥表面积
4 圆台表面积 5 球表面积
（二）空间体体积
1柱体体积 2锥体体积
3台体体积 4球体体积
D
C
B
A
α
第二章 直线面位置关系
21空间点直线面间位置关系
211
1 面含义：面限延展
2 面画法表示
（1）面画法：水放置面通常画成行四边形锐角画成450横边画成邻边2倍长（图）
（2）面通常希腊字母αβγ等表示面α面β等表示面行四边形四顶点者相两顶点写字母表示面AC面ABCD等
3 三公理：
（1）公理1：果条直线两点面条直线面
符号表示
L
A
·
α
A∈L
B∈L > L α
A∈α
B∈α
公理1作：判断直线否面
C
·
B
·
A
·
α
（2）公理2：条直线三点面
符号表示：ABC三点线 > 面α
A∈αB∈αC∈α
公理2作：确定面
（3）公理3：果两重合面公点条该点公直线
P
·
α
L
β
符号表示：P∈α∩β >α∩βLP∈L
公理3作：判定两面否相交
212 空间中直线直线间位置关系
1 空间两条直线三种关系：
面直线
相交直线：面公点
行直线：面没公点
异面直线： 面没公点
2 公理4：行条直线两条直线互相行
符号表示：设abc三条直线
>a∥c
a∥b
c∥b
强调：公理4实质说行具传递性面空间性质适
公理4作：判断空间两条直线行
3 等角定理：空间中果两角两边分应行两角相等互补
4 注意点：
① a＇b＇成角ab相互位置确定O选择关简便点O般取两直线中条
② 两条异面直线成角θ∈(0 )
③ 两条异面直线成角直角时说两条异面直线互相垂直记作a⊥b
④ 两条直线互相垂直面垂直异面垂直两种情形
⑤ 计算中通常两条异面直线成角转化两条相交直线成角
213 — 214 空间中直线面面面间位置关系
1直线面三种位置关系：
（1）直线面 —— 数公点
（2）直线面相交 —— 公点
（3）直线面行 —— 没公点
指出：直线面相交行情况统称直线面外a α表示
a α a∩αA a∥α
22直线面行判定性质
221 直线面行判定
1直线面行判定定理：面外条直线面条直线行该直线面行
简记：线线行线面行
符号表示：
a α
b β > a∥α
a∥b
222 面面行判定
1两面行判定定理：面两条交直线面行两面行
符号表示：
a β
b β
a∩b P β∥α
a∥α
b∥α
2判断两面行方法三种：
（1）定义
（2）判定定理
（3）垂直条直线两面行
223 — 224直线面面面行性质
1定理：条直线面行条直线面面交线该直线行
简记：线面行线线行
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β b
作：利该定理解决直线间行问题
2定理：果两面时第三面相交交线行
符号表示：
α∥β
α∩γ a a∥b
β∩γ b
作：面面行出直线直线行
23直线面垂直判定性质
231直线面垂直判定
1定义
果直线L面α意条直线垂直说直线L面α互相垂直记作L⊥α直线L做面α垂线面α做直线L垂面图直线面垂直时唯公点P做垂足
L
p
α
2判定定理：条直线面两条相交直线垂直该直线面垂直
注意点： a)定理中两条相交直线条件忽视
b)定理体现直线面垂直直线直线垂直互相转化数学思想
232面面垂直判定
1二面角概念：表示空间直线出发两半面组成图形
A
梭 l β
B
α
2二面角记法：二面角αlβαABβ
3两面互相垂直判定定理：面面垂线两面垂直
233 — 234直线面面面垂直性质
1定理：垂直面两条直线行
2性质定理： 两面垂直面垂直交线直线面垂直
章知识结构框图
面（公理1公理2公理3公理4）
空间直线面位置关系
面面位置关系
直线面位置关系
第三章 直线方程
31直线倾斜角斜率
31倾斜角斜率
1直线倾斜角概念：直线lx轴相交时 取x轴作基准 x轴正直线l方间成角α做直线l倾斜角特直线lx轴行重合时 规定α 0°
2 倾斜角α取值范围： 0°≤α＜180° 直线lx轴垂直时 α 90°
3直线斜率
条直线倾斜角α(α≠90°)正切值做条直线斜率斜率常写字母k表示 k tanα
⑴直线lx轴行重合时 α0° k tan0°0
⑵直线lx轴垂直时 α 90° k 存
知 条直线l倾斜角α定存斜率k定存
4 直线斜率公式
定两点P1(x1y1)P2(x2y2)x1≠x2两点坐标表示直线P1P2斜率：
斜率公式 ky2y1x2x1
312两条直线行垂直
1两条直线斜率重合果行斜率相等反果斜率相等行
注意 面等价两条直线重合斜率存前提成立缺少前提结成立．果k1k2 定L1∥L2
2两条直线斜率果互相垂直斜率互负倒数反果斜率互负倒数互相垂直
321 直线点斜式方程
1 直线点斜式方程：直线点斜率
2直线斜截式方程：已知直线斜率轴交点
322 直线两点式方程
1直线两点式方程：已知两点中 yy1yy2xx1xx2
2直线截距式方程：已知直线轴交点A轴交点B中
323 直线般式方程
1直线般式方程：关二元次方程（AB时0）
2种直线方程间互化
33直线交点坐标距离公式
331两直线交点坐标
1出例题：两直线交点坐标
L1 ：3x+4y20 L1：2x+y +20
解：解方程组 x2y2
L1L2交点坐标M（22）
332 两点间距离
两点间距离公式
333 点直线距离公式
1．点直线距离公式：
点直线距离：
2两行线间距离公式：
已知两条行线直线般式方程：
：距离
第四章 圆方程
411 圆标准方程
1圆标准方程：
圆心A(ab)半径r圆方程
2点圆关系判断方法：
（1）>点圆外 （2）点圆
（3）<点圆
412 圆般方程
1圆般方程：
2圆般方程特点：
(1)①x2y2系数相等0． ②没xy样二次项．
(2)圆般方程中三特定系数DEF求出三系数圆方程确定．
(3)圆标准方程相较种特殊二元二次方程代数特征明显圆标准方程指出圆心坐标半径特征较明显
421 圆圆位置关系
1点直线距离判断直线圆位置关系．
设直线：圆：圆半径圆心直线距离判直线圆位置关系点：
（1）时直线圆相离（2）时直线圆相切
（3）时直线圆相交
422 圆圆位置关系
两圆位置关系．
设两圆连心线长判圆圆位置关系点：
（1）时圆圆相离（2）时圆圆外切
（3）时圆圆相交
（4）时圆圆切（5）时圆圆含
423 直线圆方程应
1利面直角坐标系解决直线圆位置关系
2程方法
坐标法解决问题步骤：
第步：建立适面直角坐标系坐标方程表示问题中元素面问题转化代数问题
第二步：通代数运算解决代数问题
第三步：代数运算结果翻译成结．
431空间直角坐标系
1点M应着唯确定序实数组分PQR轴坐标
2序实数组应着空间直角坐标系中点
3空间中意点M坐标序实数组表示该数组做点M空间直角坐标系中坐标记M做点M横坐标做点M坐标做点M竖坐标
432空间两点间距离公式
1空间中意点点间距离公式
高中数学 必修3知识点
第章 算法初步
111 算法概念
1算法概念：
数学现代意义算法通常指计算机解决某类问题程序步骤程序步骤必须明确效够限步完成
2 算法特点
(1)限性：算法步骤序列限必须限操作停止限
(2)确定性：算法中步应该确定效执行确定结果应模棱两
(3)序性正确性：算法初始步骤开始分干明确步骤步骤确定继步骤前步步前提执行完前步进行步步准确误完成问题
(4)唯性：求解某问题解法定唯问题算法
(5)普遍性：具体问题设计合理算法解决心算计算器计算限事先设计步骤加解决
112 程序框图
1程序框图基概念：
（）程序构图概念：程序框图称流程图种规定图形指线文字说明准确直观表示算法图形
程序框图包括部分：表示相应操作程序框带箭头流程线程序框外必文字说明
（二）构成程序框图形符号作
程序框
名称
功
起止框
表示算法起始结束流程图少
输入输出框
表示算法输入输出信息算法中需输入输出位置
处理框
赋值计算算法中处理数需算式公式等分写处理数处理框
判断框
判断某条件否成立成立时出口处标明Y成立时标明否N
学部分知识时候掌握图形形状作规画程序框图规：
1标准图形符号2框图般左右方画3判断框外数流程图符号进入点退出点判断框具超退出点唯符号4判断框分两类类判断框否两分支判断仅两结果类分支判断种结果5图形符号描述语言非常简练清楚
（三）算法三种基逻辑结构：序结构条件结构循环结构
1序结构：序结构简单算法结构语句语句间框框间序进行干次执行处理步骤组成算法离开种基算法结构
序结构程序框图中体现流程线程序框
连接起序执行算法步骤示意图中A框B
框次执行执行完A框指定操作接着执
A
B
行B框指定操作
2条件结构：
条件结构指算法中通条件判断
根条件否成立选择流算法结构
条件P否成立选择执行A框B框P条件否成立执行A框B框时执行A框B框A框B框执行判断结构判断框
3循环结构：算法中常会出现某处开始定条件反复执行某处理步骤情况循环结构反复执行处理步骤循环体显然循环结构中定包含条件结构循环结构称重复结构循环结构细分两类：
（1）类型循环结构左图示功定条件P成立时执行A框A框执行完毕判断条件P否成立果然成立执行A框反复执行A框直某次条件P成立止时执行A框离开循环结构
（2）类直型循环结构右图示功先执行然判断定条件P否成立果P然成立继续执行A框直某次定条件P成立止时执行A框离开循环结构
A
成立
成立
P
成立
P
成立
A
型循环结构 直型循环结构
注意：1循环结构某条件终止循环需条件结构判断循环结构中定包含条件结构允许死循环2循环结构中计数变量累加变量计数变量记录循环次数累加变量输出结果计数变量累加变量般步执行累加次计数次
121 输入输出语句赋值语句
1输入语句
图形计算器格式
INPUT提示容变量
INPUT 提示容变量
（1）输入语句般格式
（2）输入语句作实现算法输入信息功（3）提示容提示户输入什样信息变量指程序运行时值变化量（4）输入语句求输入值具体常数函数变量表达式（5）提示容变量间分号隔开输入变量变量变量间逗号隔开
2输出语句
PRINT提示容表达式
图形计算器格式
Disp 提示容变量
（1）输出语句般格式
（2）输出语句作实现算法输出结果功（3）提示容提示户输入什样信息表达式指程序输出数（4）输出语句输出常量变量表达式值字符
3赋值语句
变量＝表达式
图形计算器格式
表达式变量
（1）赋值语句般格式
（2）赋值语句作表达式代表值赋变量（3）赋值语句中＝称作赋值号数学中等号意义赋值号左右两边换赋值号右边表达式值赋赋值号左边变量（4）赋值语句左边变量名字表达式右边表达式数常量算式（5）变量次赋值
注意：①赋值号左边变量名字表达式：2X错误②赋值号左右换ABBA含义运行结果③利赋值语句进行代数式演算（化简式分解解方程等）④赋值号数学中等号意义
1．2．2条件语句
1条件语句般格式两种：（1）IF—THEN—ELSE语句（2）IF—THEN语句2IF—THEN—ELSE语句
IF—THEN—ELSE语句般格式图1应程序框图图2
否
满足条件？
语句1
语句2
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
图1 图2
分析：IF—THEN—ELSE语句中条件表示判断条件语句1表示满足条件时执行操作容语句2表示满足条件时执行操作容END IF表示条件语句结束计算机执行时首先IF条件进行判断果条件符合执行THEN面语句1条件符合执行ELSE面语句2
3IF—THEN语句
满足条件？
语句
否
（图4）
IF—THEN语句般格式图3应程序框图图4
IF 条件 THEN
语句
END IF
（图3）
注意：条件表示判断条件语句表示满足条件时执行操作容条件满足时结束程序END IF表示条件语句结束计算机执行时首先IF条件进行判断果条件符合执行THEN边语句条件符合直接结束该条件语句转执行语句
1．2．3循环语句
循环结构循环语句实现应程序框图中两种循环结构般程序设计语言中型（WHILE型）直型（UNTIL型）两种语句结构WHILE语句UNTIL语句
1WHILE语句
满足条件？
循环体
否
（1）WHILE语句般格式 应程序框图
WHILE 条件
循环体
WEND
（2）计算机遇WHILE语句时先判断条件真假果条件符合执行WHILEWEND间循环体然检查述条件果条件符合次执行循环体程反复进行直某次条件符合止时计算机执行循环体直接跳WEND语句接着执行WEND语句型循环时称前测试型循环
2UNTIL语句
（1）UNTIL语句般格式 应程序框图
满足条件？
循环体
否
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
（2）直型循环称测试型循环UNTIL型循环结构分析计算机执行该语句时先执行次循环体然进行条件判断果条件满足继续返回执行循环体然进行条件判断程反复进行直某次条件满足时执行循环体跳LOOP UNTIL语句执行语句先执行循环体进行条件判断循环语句
分析：型循环直型循环区：（先学生讨纳）
（1） 型循环先判断执行直型循环先执行判断
WHILE语句中条件满足时执行循环体UNTIL语句中条件满足时执行循环
131辗转相法更相减损术
1辗转相法欧里德算法辗转相法求公约数步骤：
（1）：较数m较数n商余数（2）：＝0nmn公约数≠0数n余数商余数（3）：＝0mn公约数≠0数余数商余数…… 次计算直＝0时求公约数
2更相减损术
国早期求公约数问题算法更相减损术九章算术中更相减损术求公约数步骤：半者半半者副置分母•子数少减更相减损求等等数约
翻译：（1）：意出两正数判断否偶数2约简执行第二步（2）：较数减较数接着较数差较数减数继续操作直数相等止数（等数）求公约数
例2 更相减损术求9863公约数
分析：（略）
3辗转相法更相减损术区：
（1）求公约数方法计算辗转相法法更相减损术减法计算次数辗转相法计算次数相较少特两数字区较时计算次数区较明显
（2）结果体现形式辗转相法体现结果相余数0更相减损术减数差相等
132秦九韶算法排序
1秦九韶算法概念：
f(x)anxn+an1xn1+…+a1x+a0求值问题
f(x)anxn+an1xn1+…+a1x+a0( anxn1+an1xn2+…+a1)x+a0 (( anxn2+an1xn3+…+a2)x+a1)x+a0
(( anx+an1)x+an2)x++a1)x+a0
求项式值时首先计算层括号次项式值v1anx+an1
然外逐层计算次项式值
v2v1x+an2 v3v2x+an3 vnvn1x+a0
样n次项式求值问题转化成求n次项式值问题
2两种排序方法：直接插入排序泡排序
1直接插入排序
基思想：插入排序思想读排第１数放入数组第１元素中读入数已存入数组数进行较确定排列中应处位置．该位置元素推移位置读入新数填入空出位置中．（算法简单举例说明）
2泡排序
基思想：次较相邻两数放前面放面首先较第1数第2数数放前数放然较第2数第3数直较两数第趟结束定沉重复程第1数开始第2数 排序程中总数前数相气泡升泡排序
133进位制
1概念：进位制种记数方式限数字位置表示数值数字符号数称基数基数n称n进位制简称n进制现常十进制通常10阿拉伯数字09进行记数数进位制表示：十进数57二进制表示111001八进制表示71十六进制表示39代表数值样
般k整数k基数k进制表示：
表示种进位制数般数字右脚加注表示111001(2)表示二进制数34(5)表示5进制数
第二章 统计
211简单机抽样
1．总体样
统计学中 研究象全体做总体．
研究象做体．
总体中体总数做总体容量．
研究总体关性质般总体中机抽取部分：
研究称样．中体数称样容量．
2．简单机抽样纯机抽样总体中加分组划类排队等完全
机抽取调查单位特点：样单位抽中性相（概率相等）样单位完全独立彼间定关联性排斥性简单机抽样种抽样形式基础通常总体单位间差异程度较数目较少时采种方法
3．简单机抽样常方法：
（1）抽签法⑵机数表法⑶计算机模拟法⑷统计软件直接抽取
简单机抽样样容量设计中考虑：①总体变异情况②允许误差范围③概率保证程度
4．抽签法
（1）调查象群体中象编号
（2）准备抽签工具实施抽签
（3）样中体进行测量调查
例：请调查学校学生做喜欢体育活动情况
5．机数表法：
例：利机数表班级中抽取10位学参加某项活动
212系统抽样
1．系统抽样（等距抽样机械抽样）：
总体单位进行排序计算出抽样距离然固定抽样距离抽取样第样采简单机抽样办法抽取
K（抽样距离）N（总体规模）n（样规模）
前提条件：总体中体排列研究变量说应机存某种研究变量相关规分布调查允许条件样开始抽样次样特点果明显差说明样总体中分布承某种循环性规律种循环抽样距离重合
2．系统抽样等距抽样实际中常抽样方法抽样框求较低实施较简单更重果某种调查指标相关辅助变量供总体单元辅助变量序排队话系统抽样提高估计精度
213分层抽样
1．分层抽样（类型抽样）：
先总体中单位某种特征标志（性年龄等）划分成干类型层次然类型层次中采简单机抽样系抽样办法抽取子样子样合起构成总体样
两种方法：
1．先分层变量总体划分干层层总体中例层中抽取
2．先分层变量总体划分干层层中元素分层序整齐排列系统抽样方法抽取样
2．分层抽样异质性较强总体分成质性较强子总体抽取子总体中样分代表该子总体样进代表总体
分层标准：
（1）调查分析研究变量相关变量作分层标准
（2）保证层部质性强层间异质性强突出总体结构变量作分层变量
（3）明显分层区分变量作分层变量
3．分层例问题：
（1）例分层抽样：根种类型层次中单位数目占总体单位数目重抽取子样方法
（2）例分层抽样：层次总体中重太样量会非常少时采该方法便层次子总体进行专门研究进行相互较果样资料推断总体时需先层数资料进行加权处理调整样中层例数恢复总体中层实际例结构
222样数字特征估计总体数字特征
1均值：
2．样标准差：
3．样估计总体时果抽样方法较合理样反映总体信息样信息会偏差机抽样中种偏差避免
然样数分布均值标准差总体真正分布均值标准差估计种估计合理特样量时确实反映总体信息
4．（1）果组数中数加减常数标准差变
（2）果组数中数常数k标准差变原k倍
（3）组数中值值标准差影响区间应
掉高分掉低分中科学道理
232两变量线性相关
1概念
（1）回直线方程
（2）回系数
2．二法
3．直线回方程应
（1）描述两变量间存关系利直线回方程定量描述两变量间存数量关系
（2）利回方程进行预测预报子（变量x）代入回方程预报量（变量Y）进行估计体Y值容许区间
（3）利回方程进行统计控制规定Y值变化通控制x范围实现统计控制目标已空气中NO2浓度汽车流量间回方程通控制汽车流量控制空气中NO2浓度
4．应直线回注意事项
（1）做回分析实际意义
（2）回分析前先作出散点图
（3）回直线外延
第三章 概 率
311 —312机事件概率概率意义
1基概念：
（1）必然事件：条件S定会发生事件相条件S必然事件
（2）事件：条件S定会发生事件相条件S事件
（3）确定事件：必然事件事件统称相条件S确定事件
（4）机事件：条件S发生发生事件相条件S机事件
（5）频数频率：相条件S重复n次试验观察某事件A否出现称n次试验中事件A出现次数nA事件A出现频数称事件A出现例fn(A)事件A出现概率：定机事件A果着试验次数增加事件A发生频率fn(A)稳定某常数常数记作P（A）称事件A概率
（6）频率概率区联系：机事件频率指事件发生次数nA试验总次数n值具定稳定性总某常数附摆动着试验次数断增种摆动幅度越越常数做机事件概率概率数量反映机事件发生性频率量重复试验前提似作事件概率
313 概率基性质
1基概念：
（1）事件包含事件交事件相等事件
（2）A∩B事件A∩Bф称事件A事件B互斥
（3）A∩B事件A∪B必然事件称事件A事件B互立事件
（4）事件AB互斥时满足加法公式：P(A∪B) P(A)+ P(B)事件AB立事件A∪B必然事件P(A∪B) P(A)+ P(B)1P(A)1—P(B)
2概率基性质：
1）必然事件概率1事件概率00≤P(A)≤1
2）事件AB互斥时满足加法公式：P(A∪B) P(A)+ P(B)
3）事件AB立事件A∪B必然事件P(A∪B) P(A)+ P(B)1P(A)1—P(B)
4）互斥事件立事件区联系互斥事件指事件A事件B次试验中会时发生具体包括三种情形：（1）事件A发生事件B发生（2）事件A发生事件B发生（3）事件A事件B时发生立事件指事件A 事件B仅发生包括两种情形（1）事件A发生B发生（2）事件B发生事件A发生立事件互斥事件特殊情形
321 —322古典概型机数产生
1（1）古典概型条件：试验结果限性结果等性
（2）古典概型解题步骤
①求出总基事件数
②求出事件A包含基事件数然利公式P（A）
331—332概型均匀机数产生
1基概念：
（1）概率模型：果事件发生概率构成该事件区域长度（面积体积）成例称样概率模型概率模型
（2）概型概率公式：
P（A）
（2） 概型特点：1）试验中出现结果（基事件）限2）基事件出现性相等．
高中数学 必修4知识点
第章 三角函数
2角顶点原点重合角始边轴非负半轴重合终边落第象限称第象限角．
第象限角集合
第二象限角集合
第三象限角集合
第四象限角集合
终边轴角集合
终边轴角集合
终边坐标轴角集合
3角终边相角集合
4长度等半径长弧圆心角做弧度．
5半径圆圆心角弧长角弧度数绝值．
6弧度制角度制换算公式：．
7扇形圆心角半径弧长周长面积．
Pv
x
y
A
O
M
T
8设意角终边意点坐标原点距离．
9三角函数象限符号：第象限全正第二象限正弦正
第三象限正切正第四象限余弦正．
10三角函数线：．
11角三角函数基关系：．
12函数诱导公式：
．
．
．
．
口诀：函数名称变符号象限．
．．
口诀：正弦余弦互换符号象限．
13①图象点左（右）移单位长度函数图象函数图象点横坐标伸长（缩短）原倍（坐标变）函数图象函数图象点坐标伸长（缩短）原倍（横坐标变）函数图象．
②数图象点横坐标伸长（缩短）原倍（坐标变）函数
图象函数图象点左（右）移单位长度函数图象函数图象点坐标伸长（缩短）原倍（横坐标变）函数图象．
14函数性质：
①振幅：②周期：③频率：④相位：⑤初相：．
函数时取值 时取值．
15正弦函数余弦函数正切函数图象性质：
函
数
性
质
图象
定义域
值域
值
时
时．
时
时．
值值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增函数
减函数．
增函数
减函数．
增函数．
称性
称中心
称轴
称中心
称轴
称中心
称轴
第二章 面量
16量：方量． 数量：没方量．
线段三素：起点方长度． 零量：长度量．
单位量：长度等单位量．
行量（线量）：方相相反非零量．零量量行．
相等量：长度相等方相量．
17量加法运算：
⑴三角形法特点：首尾相连．
⑵行四边形法特点：起点．
⑶三角形等式：．
⑷运算性质：①交换律：
②结合律：③．
⑸坐标运算：设．
18量减法运算：
⑴三角形法特点：起点连终点方指减量．
⑵坐标运算：设．
设两点坐标分．
19量数运算：
⑴实数量积量运算做量数记作．
①
②时方方相时方方相反时．
⑵运算律：①②③．
⑶坐标运算：设．
20量线定理：量线仅唯实数．
设中仅时量线．
21面量基定理：果面两线量面意量实数．（线量作面量组基底）
22分点坐标公式：设点线段点坐标分时点坐标．（
23面量数量积：
⑴．零量量数量积．
⑵性质：设非零量①．②时反时．③．
⑶运算律：①②③．
⑷坐标运算：设两非零量．
． 设．
设非零量夹角．
第三章 三角恒等变换
24两角差正弦余弦正切公式：
⑴⑵
⑶⑷
⑸ （）
⑹ （）．
25二倍角正弦余弦正切公式：
⑴．
⑵
升幂公式
降幂公式．
⑶．
26
（两判断符号更加）
27合变形两三角函数差化三角函数角次方 形式中．
28三角变换运算化简程中运较变换提高三角变换力学会创设条件灵活运三角公式掌握运算化简方法技．常数学思想方法技巧：
（1）角变换：三角化简求值证明中表达式中出现较相异角根角角间差倍半互补互余关系运角变换沟通条件结中角差异问题获解角变形：
①二倍二倍二倍二倍
②问：
③④
⑤等等
（2）函数名称变换：三角变形中常常需变函数名称名函数三角函数中正余弦基础通常化切弦变异名名
（3）常数代换：三角函数运算求值证明中时需常数转化三角函数值例常数1代换变形：
（4）幂变换：降幂三角变换时常方法次数较高三角函数式般采降幂处理方法常降幂公式： 降幂非绝时需升幂理式常升幂化理式常升幂公式：
（5）公式变形：三角公式变换应熟练掌握三角公式逆变形应
：
（中 ）
（6）三角函数式化简运算通常：角名形幂四方面入手
基规：见切化弦异角化角复角化单角异名化名高次化低次理化理特殊值特殊角三角函数互化
：
高中数学 必修5知识点
（）解三角形：
1正弦定理：中分角边
(外接圆半径)
2正弦定理变形公式：①
②③
3三角形面积公式：．
4余弦定理：中推：
（二）数列：
1数列关概念：
（1） 数列：定次序排列列数数列序数列定义然数N*限子集{123…n}函数
（2） 通项公式：数列第n项ann间函数关系公式表示公式该数列通项公式
（3） 递推公式：已知数列{an}第1项（前项）项an前项an1（前项）公式表示公式该数列递推公式
2．数列表示方法：
（1） 列举法：13579… （2）图象法：（n an）孤立点表示
（3） 解析法：通项公式表示 （4）递推法：递推公式表示
3．数列分类：
4．数列{an}前n项间关系
5．等差数列等数列结：
等差数列
等数列
定义
二公式
1．
2．
1．
2．
三性质
1．
称等差中项
2．（）
3．成等差数列
1．
称等中项
2．（）
3．成等数列
（三）等式
1．
2等式性质： ① ② ③
④⑤
⑥ ⑦
⑧．
结：代数式较证明通常作差较法：作差化积（商）判断结
字母较选择填空题中常采特值法验证
3元二次等式解法：
（1）化成标准式：（2）求出应元二次方程根
（3）画出应二次函数图象 （4）根等号方取出相应解集
线性规划问题：
1．解线性约束条件目标函数行域行解优解
2．线性规划问题：求线性目标函数线性约束条件值值问题．
3．解线性规划实际问题步骤：
（1）数列成表格（2）列出约束条件目标函数（3）根求值方法：①画：画行域②移：移目标函数致行直线③求：求值点坐标④答求值 （4）验证
两类目标函数意义
①直线截距②两点距离圆半径
4均值定理： ．
称正数算术均数称正数均数．
5均值定理应：设正数
⑴（定值）时积取值．
⑵（积定值）时取值．
注意：应时候必须注意正二定三等三条件时成立
选修1112知识点
第部分 简单逻辑语
1命题：语言符号式子表达判断真假陈述句
真命题：判断真语句假命题：判断假语句
2形式命题中称命题条件称命题结
3原命题： 逆命题：
否命题： 逆否命题：
4四种命题真假性间关系：
（1）两命题互逆否命题相真假性
（2）两命题互逆命题互否命题真假性没关系．
5充分条件必条件．
充条件（充分必条件）．
利集合间包含关系： 例：AB充分条件BA必条件ABAB充条件
6逻辑联结词：⑴(and) ：命题形式⑵（or）：命题形式
⑶非（not）：命题形式
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
7⑴全称量词——意等表示
全称命题p： 全称命题p否定p：
⑵存量词——存少等表示
特称命题p： 特称命题p否定p：
第二部分 圆锥曲线
1面两定点距离等常数（）点轨迹称椭圆．
：
两定点称椭圆焦点两焦点距离称椭圆焦距．
2椭圆性质：
焦点位置
焦点轴
焦点轴
图形
标准方程
范围
顶点
轴长
短轴长 长轴长
焦点
焦距
称性
关轴轴原点称
离心率
3面两定点距离差绝值等常数（）点轨迹称双曲线．：
两定点称双曲线焦点两焦点距离称双曲线焦距．
4双曲线性质：
焦点位置
焦点轴
焦点轴
图形
标准方程
范围
顶点
轴长
虚轴长 实轴长
焦点
焦距
称性
关轴轴称关原点中心称
离心率
渐线方程
5实轴虚轴等长双曲线称等轴双曲线．
6面定点条定直线距离相等点轨迹称抛物线．定点称抛物线焦点定直线称抛物线准线．
7抛物线性质：
标准方程
图形
顶点
称轴
轴
轴
焦点
准线方程
离心率
范围
8抛物线焦点作垂直称轴交抛物线两点线段称抛物线通径．
9焦半径公式：
点抛物线焦点
点抛物线焦点
第三部分 导数应
1函数均变化率：
2导数定义：点处导数记作．
3函数点处导数意义曲线点处切线斜率．
4常见函数导数公式：
①② ③④
⑤⑥ ⑦⑧
5导数运算法：
．
6某区间函数区间单调递增
函数区间单调递减．
7求函数极值方法：解方程．时：
果附左侧右侧极值
果附左侧右侧极值．
8求函数值值步骤：
求函数极值
函数极值端点处函数值较中值值．
9导数实际问题中应：优化问题
第四部分 复数
1．概念：
(1) za+bi∈Rb0 (ab∈R)z z2≥0
(2) za+bi虚数b≠0(ab∈R)
(3) za+bi纯虚数a0b≠0(ab∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0
(4) a+bic+diaccd(abcd∈R)
2．复数代数形式运算：设z1 a + bi z2 c + di (abcd∈R)：
(1) z 1±z2 (a + b)± (c + d)i
(2) z1z2 (a+bi)·(c+di)＝（acbd）+ (ad+bc)i
(3) z1÷z2 (z2≠0)
3．重结：
(1) ⑷
(2) 性质：T4
(3)
4．运算律：（1）
5．轭性质：⑴ ⑵ ⑶ ⑷
6．模性质：⑴⑵⑶⑷
第五部分 统计案例
1．线性回方程
①变量间两类关系：函数关系相关关系
②制作散点图判断线性相关关系
③线性回方程：（二法）
注意：线性回直线定点
2．相关系数（判定两变量线性相关性）：
注：⑴>0时变量正相关 <0时变量负相关
⑵① 越接1两变量线性相关性越强② 接0时两变量间存线性相关关系
3．回分析中回效果判定：
⑴总偏差方：⑵残差：⑶残差方： ⑷回方：－⑸相关指数
注：①知越说明残差方越模型拟合效果越
②越接1回效果越
4．独立性检验（分类变量关系）：
机变量越说明两分类变量关系越强反越弱
第六部分 推理证明
．推理：
⑴合情推理：纳推理类推理根已事实观察分析较联想进行纳类然提出猜想推理称合情推理
①纳推理：某类食物部分象具某特征推出该类事物全部象具特征推理者事实概括出般结推理称纳推理简称纳
注：纳推理部分整体般推理
②类推理：两类象具类似中类象某已知特征推出类象具特征推理称类推理简称类
注：类推理特殊特殊推理
⑵演绎推理：般原理出发推出某特殊情况结种推理演绎推理
注：演绎推理般特殊推理
三段演绎推理般模式包括：⑴前提已知般结⑵前提研究特殊情况⑶结 根般原理特殊情况出判断
二．证明
⒈直接证明
⑴综合法
般利已知条件某数学定义定理公理等系列推理证推导出证明结成立种证明方法做综合法综合法推法导果法
⑵分析法
般证明结出发逐步寻求成立充分条件直证明结结判定明显成立条件（已知条件定义定理公理等）种证明方法分析法分析法逆推证法执果索法
2．间接证明反证法
般假设原命题成立正确推理出矛盾说明假设错误证明原命题成立种证明方法反证法
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第章 集合函数概念
111集合含义表示
（1）集合概念
集合中元素具确定性互异性序性
（2）常数集记法
表示然数集表示正整数集表示整数集表示理数集表示实数集
（3）集合元素间关系
象集合关系者两者必居
（4）集合表示法
①然语言法：文字叙述形式描述集合
②列举法：集合中元素列举出写括号表示集合
③描述法：{|具性质}中集合代表元素
④图示法：数轴韦恩图表示集合
（5）集合分类
①含限元素集合做限集②含限元素集合做限集③含元素集合做空集()
112集合间基关系
（6）子集真子集集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
（
A中元素属B
(1)AA
(2)
(3)
(4)
真子集
AB
（BA）
B中少元素属A
（1）（A非空子集）
(2)
集合
相等
A中元素属BB中元素属A
(1)AB
(2)BA
（7）已知集合元素子集真子集非空子集非空真子集
113集合基运算
（8）交集集补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
（1）
（2）
（3）
集
（1）
（2）
（3）
补集
1 2
补充知识含绝值等式元二次等式解法
（1）含绝值等式解法
等式
解集
成整体化成型等式求解
（2）元二次等式解法
判式
二次函数图象
元二次方程根
（中
实根
解集
解集
〖12〗函数表示
121函数概念
（1）函数概念
①设两非空数集果某种应法集合中数集合中唯确定数应样应（包括集合应法）做集合函数记作．
②函数三素定义域值域应法．
③定义域相应法相两函数函数．
（2）区间概念表示法
①设两实数满足实数集合做闭区间记做满足实数集合做开区间记做满足实数集合做半开半闭区间分记做满足实数集合分记做．
注意：集合区间前者等者必须
．
（3）求函数定义域时般遵循原：
①整式时定义域全体实数．
②分式函数时定义域分母零切实数．
③偶次根式时定义域开方式非负值时实数集合．
④数函数真数零数指数函数底数中含变量时底数须零等1．
⑤中．
⑥零（负）指数幂底数零．
⑦限基初等函数四运算合成函数时定义域般基初等函数定义域交集．
⑧求复合函数定义域问题般步骤：已知定义域复合函数定义域应等式解出．
⑨含字母参数函数求定义域根问题具体情况需字母参数进行分类讨．
⑩实际问题确定函数定义域函数意义外符合问题实际意义．
（4）求函数值域值
求函数值常方法求函数值域方法基相．事实果函数值域中存（）数数函数（）值．求函数值值域实质相提问角度．求函数值域值常方法：
①观察法：较简单函数通观察直接值域值．
②配方法：函数解析式化成含变量方式常数然根变量取值范围确定函数值域值．
③判式法：函数化成系数含关二次方程时实数必须确定函数值域值．
④等式法：利基等式确定函数值域值．
⑤换元法：通变量代换达化繁简化难易目三角代换代数函数值问题转化三角函数值问题．
⑥反函数法：利函数反函数定义域值域互逆关系确定函数值域值．
⑦数形结合法：利函数图象方法确定函数值域值．
⑧函数单调性法．
122函数表示法
（5）函数表示方法
表示函数方法常解析法列表法图象法三种．
解析法：数学表达式表示两变量间应关系．列表法：列出表格表示两变量间应关系．图象法：图象表示两变量间应关系．
（6）映射概念
①设两集合果某种应法集合中元素集合中唯元素应样应（包括集合应法）做集合映射记作．
②定集合集合映射．果元素元素应元素做元素象元素做元素原象．
〖13〗函数基性质
131单调性（）值
（1）函数单调性
①定义判定方法
函数
性 质
定义
图象
判定方法
函数
单调性
果属定义域I某区间意两变量值x1x2x1< x2时f(x1)
（1）利定义
（2）利已知函数单调性
（3）利函数图象（某区间图
象升增）
（4）利复合函数
果属定义域I某区间意两变量值x1x2x1< x2时f(x1)>f(x2)说f(x)区间减函数．
（1）利定义
（2）利已知函数单调性
（3）利函数图象（某区间图
象降减）
（4）利复合函数
②公定义域两增函数增函数两减函数减函数增函数减减函数增函数减函数减增函数减函数．
y
x
o
③复合函数令增增增减减增增减减减增减．
（2）√函数图象性质
分增函数分减函数．
（3）（）值定义
①般设函数定义域果存实数满足：（1）意
（2）存．称函数 值记作．
②般设函数定义域果存实数满足：（1）意（2）存．称函数值记作．
132奇偶性
（4）函数奇偶性
①定义判定方法
函数
性 质
定义
图象
判定方法
函数
奇偶性
果函数f(x)定义域意xf(－x)－f(x)函数f(x)做奇函数．
（1）利定义（先判断定义域否关原点称）
（2）利图象（图象关原点称）
果函数f(x)定义域意xf(－x)f(x)函数f(x)做偶函数．
（1）利定义（先判断定义域否关原点称）
（2）利图象（图象关y轴称）
②函数奇函数处定义．
③奇函数轴两侧相称区间增减性相偶函数轴两侧相称区间增减性相反．
④公定义域两偶函数（奇函数）（差）偶函数（奇函数）两偶函数（奇函数）积（商）偶函数偶函数奇函数积（商）奇函数．
〖补充知识〗函数图象
（1）作图
利描点法作图：
①确定函数定义域 ②化解函数解析式
③讨函数性质（奇偶性单调性） ④画出函数图象．
利基函数图象变换作图：
准确记忆次函数二次函数反例函数指数函数数函数幂函数三角函数等种基初等函数图象．
①移变换
②伸缩变换
③称变换
（2）识图
定函数图象图象左右分范围变化趋势称性等方面研究函数定义域值域单调性奇偶性注意图象函数解析式中参数关系．
（3）图
函数图象形象显示函数性质研究数量关系问题提供形直观性探求解题途径获问题结果重工具．重视数形结合解题思想方法．
第二章 基初等函数(Ⅰ)
〖21〗指数函数
211指数指数幂运算
（1）根式概念
①果做次方根．奇数时次方根符号表示偶数时正数正次方根符号表示负次方根符号表示0次方根0负数没次方根．
②式子做根式里做根指数做开方数．奇数时意实数偶数时．
③根式性质：奇数时偶数时 ．
（2）分数指数幂概念
①正数正分数指数幂意义：．0正分数指数幂等0．
②正数负分数指数幂意义：．0负分数指数幂没意义． 注意口诀：底数取倒数指数取相反数．
（3）分数指数幂运算性质
① ②
③
212指数函数性质
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
0
1
0
1
函数做指数函数
图象
定义域
值域
定点
图象定点时．
奇偶性
非奇非偶
单调性
增函数
减函数
函数值
变化情况
变化 图象影响
第象限越图象越高第二象限越图象越低．
〖22〗数函数
221数数运算
（1） 数定义
①做底数记作中做底数做真数．
②负数零没数．
③数式指数式互化：．
（2）重数恒等式
．
（3）常数然数
常数：然数：（中…）．
（4）数运算性质 果
①加法： ②减法：
③数： ④
⑤ ⑥换底公式：
222数函数性质
（5）数函数
函数
名称
数函数
定义
函数做数函数
图象
0
1
0
1
定义域
值域
定点
图象定点时．
奇偶性
非奇非偶
单调性
增函数
减函数
函数值
变化情况
变化 图象影响
第象限越图象越低第四象限越图象越高．
(6)反函数概念
设函数定义域值域式子中解出式子．果中值通式子中唯确定值应式子表示函数函数做函数反函数记作惯改写成．
（7）反函数求法
①确定反函数定义域原函数值域②原函数式中反解出
③改写成注明反函数定义域．
（8）反函数性质
①原函数反函数图象关直线称．
②函数定义域值域分反函数值域定义域．
③原函数图象反函数图象．
④般函数反函数必须单调函数．
〖23〗幂函数
（1）幂函数定义
般函数做幂函数中变量常数．
（2）幂函数图象
（3）幂函数性质
①图象分布：幂函数图象分布第二三象限第四象限图象．幂函数偶函数时图象分布第二象限(图象关轴称)奇函数时图象分布第三象限(图象关原点称)非奇非偶函数时图象分布第象限．
②定点：幂函数定义图象通点．
③单调性：果幂函数图象原点增函数．果幂函数图象减函数第象限图象限接轴轴．
④奇偶性：奇数时幂函数奇函数偶数时幂函数偶函数．（中互质）奇数奇数时奇函数奇数偶数时偶函数偶数奇数时非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数时图象直线方图象直线方时图象直线方图象直线方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式三种形式
①般式：②顶点式：③两根式：（2）求二次函数解析式方法
①已知三点坐标时宜般式．
②已知抛物线顶点坐标称轴关（）值关时常顶点式．
③已知抛物线轴两交点横线坐标已知时选两根式求更方便．
（3）二次函数图象性质
①二次函数图象条抛物线称轴方程顶点坐标．
②时抛物线开口函数递减递增时时抛物线开口函数递增递减时．
③二次函数时图象轴两交点．
（4）元二次方程根分布
元二次方程根分布二次函数中重容部分知识初中代数中涉尚够系统完整解决方法偏重二次方程根判式根系数关系定理（韦达定理）运面结合二次函数图象性质系统分析元二次方程实根分布．
设元二次方程两实根．令四方面分析类问题：①开口方： ②称轴位置： ③判式： ④端点函数值符号．
①k＜x1≤x2
②x1≤x2＜k
③x1＜k＜x2 af(k)＜0
④k1＜x1≤x2＜k2
⑤仅根x1（x2）满足k1＜x1（x2）＜k2 f(k1)f(k2)0时考虑f(k1)0f(k2)0两种情况否符合
⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2
结直接⑤推出．
（5）二次函数闭区间值
设区间值值令．
（Ⅰ）时（开口）
① ② ③
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
① ②
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
(Ⅱ)时(开口)
① ② ③
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
① ②．
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
第三章 函数应
方程根函数零点
1函数零点概念：函数成立实数做函数零点
2函数零点意义：函数零点方程实数根函数图象轴交点横坐标：
方程实数根函数图象轴交点函数零点．
3函数零点求法：
求函数零点：
（代数法）求方程实数根
（法）求根公式方程函数图象联系起利函数性质找出零点．
4二次函数零点：
二次函数．
１）△＞０方程两等实根二次函数图象轴两交点二次函数两零点．
２）△＝０方程两相等实根（二重根）二次函数图象轴交点二次函数二重零点二阶零点．
３）△＜０方程实根二次函数图象轴交点二次函数零点．
高中数学 必修2知识点
第章 空间体
11柱锥台球结构特征
12空间体三视图直观图
1 三视图：
正视图：前 侧视图：左右 俯视图：
2 画三视图原：
长齐高齐宽相等
3直观图：斜二测画法
4斜二测画法步骤：
（1）行坐标轴线然行坐标轴
（2）行y轴线长度变半行xz轴线长度变
（3）画法写
5 斜二测画法画出长方体步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
13 空间体表面积体积
（ ）空间体表面积
1棱柱棱锥表面积： 面面积
2 圆柱表面积 3 圆锥表面积
4 圆台表面积 5 球表面积
（二）空间体体积
1柱体体积 2锥体体积
3台体体积 4球体体积
D
C
B
A
α
第二章 直线面位置关系
21空间点直线面间位置关系
211
1 面含义：面限延展
2 面画法表示
（1）面画法：水放置面通常画成行四边形锐角画成450横边画成邻边2倍长（图）
（2）面通常希腊字母αβγ等表示面α面β等表示面行四边形四顶点者相两顶点写字母表示面AC面ABCD等
3 三公理：
（1）公理1：果条直线两点面条直线面
符号表示
L
A
·
α
A∈L
B∈L > L α
A∈α
B∈α
公理1作：判断直线否面
C
·
B
·
A
·
α
（2）公理2：条直线三点面
符号表示：ABC三点线 > 面α
A∈αB∈αC∈α
公理2作：确定面
（3）公理3：果两重合面公点条该点公直线
P
·
α
L
β
符号表示：P∈α∩β >α∩βLP∈L
公理3作：判定两面否相交
212 空间中直线直线间位置关系
1 空间两条直线三种关系：
面直线
相交直线：面公点
行直线：面没公点
异面直线： 面没公点
2 公理4：行条直线两条直线互相行
符号表示：设abc三条直线
>a∥c
a∥b
c∥b
强调：公理4实质说行具传递性面空间性质适
公理4作：判断空间两条直线行
3 等角定理：空间中果两角两边分应行两角相等互补
4 注意点：
① a＇b＇成角ab相互位置确定O选择关简便点O般取两直线中条
② 两条异面直线成角θ∈(0 )
③ 两条异面直线成角直角时说两条异面直线互相垂直记作a⊥b
④ 两条直线互相垂直面垂直异面垂直两种情形
⑤ 计算中通常两条异面直线成角转化两条相交直线成角
213 — 214 空间中直线面面面间位置关系
1直线面三种位置关系：
（1）直线面 —— 数公点
（2）直线面相交 —— 公点
（3）直线面行 —— 没公点
指出：直线面相交行情况统称直线面外a α表示
a α a∩αA a∥α
22直线面行判定性质
221 直线面行判定
1直线面行判定定理：面外条直线面条直线行该直线面行
简记：线线行线面行
符号表示：
a α
b β > a∥α
a∥b
222 面面行判定
1两面行判定定理：面两条交直线面行两面行
符号表示：
a β
b β
a∩b P β∥α
a∥α
b∥α
2判断两面行方法三种：
（1）定义
（2）判定定理
（3）垂直条直线两面行
223 — 224直线面面面行性质
1定理：条直线面行条直线面面交线该直线行
简记：线面行线线行
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β b
作：利该定理解决直线间行问题
2定理：果两面时第三面相交交线行
符号表示：
α∥β
α∩γ a a∥b
β∩γ b
作：面面行出直线直线行
23直线面垂直判定性质
231直线面垂直判定
1定义
果直线L面α意条直线垂直说直线L面α互相垂直记作L⊥α直线L做面α垂线面α做直线L垂面图直线面垂直时唯公点P做垂足
L
p
α
2判定定理：条直线面两条相交直线垂直该直线面垂直
注意点： a)定理中两条相交直线条件忽视
b)定理体现直线面垂直直线直线垂直互相转化数学思想
232面面垂直判定
1二面角概念：表示空间直线出发两半面组成图形
A
梭 l β
B
α
2二面角记法：二面角αlβαABβ
3两面互相垂直判定定理：面面垂线两面垂直
233 — 234直线面面面垂直性质
1定理：垂直面两条直线行
2性质定理： 两面垂直面垂直交线直线面垂直
章知识结构框图
面（公理1公理2公理3公理4）
空间直线面位置关系
面面位置关系
直线面位置关系
第三章 直线方程
31直线倾斜角斜率
31倾斜角斜率
1直线倾斜角概念：直线lx轴相交时 取x轴作基准 x轴正直线l方间成角α做直线l倾斜角特直线lx轴行重合时 规定α 0°
2 倾斜角α取值范围： 0°≤α＜180° 直线lx轴垂直时 α 90°
3直线斜率
条直线倾斜角α(α≠90°)正切值做条直线斜率斜率常写字母k表示 k tanα
⑴直线lx轴行重合时 α0° k tan0°0
⑵直线lx轴垂直时 α 90° k 存
知 条直线l倾斜角α定存斜率k定存
4 直线斜率公式
定两点P1(x1y1)P2(x2y2)x1≠x2两点坐标表示直线P1P2斜率：
斜率公式 ky2y1x2x1
312两条直线行垂直
1两条直线斜率重合果行斜率相等反果斜率相等行
注意 面等价两条直线重合斜率存前提成立缺少前提结成立．果k1k2 定L1∥L2
2两条直线斜率果互相垂直斜率互负倒数反果斜率互负倒数互相垂直
321 直线点斜式方程
1 直线点斜式方程：直线点斜率
2直线斜截式方程：已知直线斜率轴交点
322 直线两点式方程
1直线两点式方程：已知两点中 yy1yy2xx1xx2
2直线截距式方程：已知直线轴交点A轴交点B中
323 直线般式方程
1直线般式方程：关二元次方程（AB时0）
2种直线方程间互化
33直线交点坐标距离公式
331两直线交点坐标
1出例题：两直线交点坐标
L1 ：3x+4y20 L1：2x+y +20
解：解方程组 x2y2
L1L2交点坐标M（22）
332 两点间距离
两点间距离公式
333 点直线距离公式
1．点直线距离公式：
点直线距离：
2两行线间距离公式：
已知两条行线直线般式方程：
：距离
第四章 圆方程
411 圆标准方程
1圆标准方程：
圆心A(ab)半径r圆方程
2点圆关系判断方法：
（1）>点圆外 （2）点圆
（3）<点圆
412 圆般方程
1圆般方程：
2圆般方程特点：
(1)①x2y2系数相等0． ②没xy样二次项．
(2)圆般方程中三特定系数DEF求出三系数圆方程确定．
(3)圆标准方程相较种特殊二元二次方程代数特征明显圆标准方程指出圆心坐标半径特征较明显
421 圆圆位置关系
1点直线距离判断直线圆位置关系．
设直线：圆：圆半径圆心直线距离判直线圆位置关系点：
（1）时直线圆相离（2）时直线圆相切
（3）时直线圆相交
422 圆圆位置关系
两圆位置关系．
设两圆连心线长判圆圆位置关系点：
（1）时圆圆相离（2）时圆圆外切
（3）时圆圆相交
（4）时圆圆切（5）时圆圆含
423 直线圆方程应
1利面直角坐标系解决直线圆位置关系
2程方法
坐标法解决问题步骤：
第步：建立适面直角坐标系坐标方程表示问题中元素面问题转化代数问题
第二步：通代数运算解决代数问题
第三步：代数运算结果翻译成结．
431空间直角坐标系
1点M应着唯确定序实数组分PQR轴坐标
2序实数组应着空间直角坐标系中点
3空间中意点M坐标序实数组表示该数组做点M空间直角坐标系中坐标记M做点M横坐标做点M坐标做点M竖坐标
432空间两点间距离公式
1空间中意点点间距离公式
高中数学 必修3知识点
第章 算法初步
111 算法概念
1算法概念：
数学现代意义算法通常指计算机解决某类问题程序步骤程序步骤必须明确效够限步完成
2 算法特点
(1)限性：算法步骤序列限必须限操作停止限
(2)确定性：算法中步应该确定效执行确定结果应模棱两
(3)序性正确性：算法初始步骤开始分干明确步骤步骤确定继步骤前步步前提执行完前步进行步步准确误完成问题
(4)唯性：求解某问题解法定唯问题算法
(5)普遍性：具体问题设计合理算法解决心算计算器计算限事先设计步骤加解决
112 程序框图
1程序框图基概念：
（）程序构图概念：程序框图称流程图种规定图形指线文字说明准确直观表示算法图形
程序框图包括部分：表示相应操作程序框带箭头流程线程序框外必文字说明
（二）构成程序框图形符号作
程序框
名称
功
起止框
表示算法起始结束流程图少
输入输出框
表示算法输入输出信息算法中需输入输出位置
处理框
赋值计算算法中处理数需算式公式等分写处理数处理框
判断框
判断某条件否成立成立时出口处标明Y成立时标明否N
学部分知识时候掌握图形形状作规画程序框图规：
1标准图形符号2框图般左右方画3判断框外数流程图符号进入点退出点判断框具超退出点唯符号4判断框分两类类判断框否两分支判断仅两结果类分支判断种结果5图形符号描述语言非常简练清楚
（三）算法三种基逻辑结构：序结构条件结构循环结构
1序结构：序结构简单算法结构语句语句间框框间序进行干次执行处理步骤组成算法离开种基算法结构
序结构程序框图中体现流程线程序框
连接起序执行算法步骤示意图中A框B
框次执行执行完A框指定操作接着执
A
B
行B框指定操作
2条件结构：
条件结构指算法中通条件判断
根条件否成立选择流算法结构
条件P否成立选择执行A框B框P条件否成立执行A框B框时执行A框B框A框B框执行判断结构判断框
3循环结构：算法中常会出现某处开始定条件反复执行某处理步骤情况循环结构反复执行处理步骤循环体显然循环结构中定包含条件结构循环结构称重复结构循环结构细分两类：
（1）类型循环结构左图示功定条件P成立时执行A框A框执行完毕判断条件P否成立果然成立执行A框反复执行A框直某次条件P成立止时执行A框离开循环结构
（2）类直型循环结构右图示功先执行然判断定条件P否成立果P然成立继续执行A框直某次定条件P成立止时执行A框离开循环结构
A
成立
成立
P
成立
P
成立
A
型循环结构 直型循环结构
注意：1循环结构某条件终止循环需条件结构判断循环结构中定包含条件结构允许死循环2循环结构中计数变量累加变量计数变量记录循环次数累加变量输出结果计数变量累加变量般步执行累加次计数次
121 输入输出语句赋值语句
1输入语句
图形计算器格式
INPUT提示容变量
INPUT 提示容变量
（1）输入语句般格式
（2）输入语句作实现算法输入信息功（3）提示容提示户输入什样信息变量指程序运行时值变化量（4）输入语句求输入值具体常数函数变量表达式（5）提示容变量间分号隔开输入变量变量变量间逗号隔开
2输出语句
PRINT提示容表达式
图形计算器格式
Disp 提示容变量
（1）输出语句般格式
（2）输出语句作实现算法输出结果功（3）提示容提示户输入什样信息表达式指程序输出数（4）输出语句输出常量变量表达式值字符
3赋值语句
变量＝表达式
图形计算器格式
表达式变量
（1）赋值语句般格式
（2）赋值语句作表达式代表值赋变量（3）赋值语句中＝称作赋值号数学中等号意义赋值号左右两边换赋值号右边表达式值赋赋值号左边变量（4）赋值语句左边变量名字表达式右边表达式数常量算式（5）变量次赋值
注意：①赋值号左边变量名字表达式：2X错误②赋值号左右换ABBA含义运行结果③利赋值语句进行代数式演算（化简式分解解方程等）④赋值号数学中等号意义
1．2．2条件语句
1条件语句般格式两种：（1）IF—THEN—ELSE语句（2）IF—THEN语句2IF—THEN—ELSE语句
IF—THEN—ELSE语句般格式图1应程序框图图2
否
满足条件？
语句1
语句2
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
图1 图2
分析：IF—THEN—ELSE语句中条件表示判断条件语句1表示满足条件时执行操作容语句2表示满足条件时执行操作容END IF表示条件语句结束计算机执行时首先IF条件进行判断果条件符合执行THEN面语句1条件符合执行ELSE面语句2
3IF—THEN语句
满足条件？
语句
否
（图4）
IF—THEN语句般格式图3应程序框图图4
IF 条件 THEN
语句
END IF
（图3）
注意：条件表示判断条件语句表示满足条件时执行操作容条件满足时结束程序END IF表示条件语句结束计算机执行时首先IF条件进行判断果条件符合执行THEN边语句条件符合直接结束该条件语句转执行语句
1．2．3循环语句
循环结构循环语句实现应程序框图中两种循环结构般程序设计语言中型（WHILE型）直型（UNTIL型）两种语句结构WHILE语句UNTIL语句
1WHILE语句
满足条件？
循环体
否
（1）WHILE语句般格式 应程序框图
WHILE 条件
循环体
WEND
（2）计算机遇WHILE语句时先判断条件真假果条件符合执行WHILEWEND间循环体然检查述条件果条件符合次执行循环体程反复进行直某次条件符合止时计算机执行循环体直接跳WEND语句接着执行WEND语句型循环时称前测试型循环
2UNTIL语句
（1）UNTIL语句般格式 应程序框图
满足条件？
循环体
否
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
（2）直型循环称测试型循环UNTIL型循环结构分析计算机执行该语句时先执行次循环体然进行条件判断果条件满足继续返回执行循环体然进行条件判断程反复进行直某次条件满足时执行循环体跳LOOP UNTIL语句执行语句先执行循环体进行条件判断循环语句
分析：型循环直型循环区：（先学生讨纳）
（1） 型循环先判断执行直型循环先执行判断
WHILE语句中条件满足时执行循环体UNTIL语句中条件满足时执行循环
131辗转相法更相减损术
1辗转相法欧里德算法辗转相法求公约数步骤：
（1）：较数m较数n商余数（2）：＝0nmn公约数≠0数n余数商余数（3）：＝0mn公约数≠0数余数商余数…… 次计算直＝0时求公约数
2更相减损术
国早期求公约数问题算法更相减损术九章算术中更相减损术求公约数步骤：半者半半者副置分母•子数少减更相减损求等等数约
翻译：（1）：意出两正数判断否偶数2约简执行第二步（2）：较数减较数接着较数差较数减数继续操作直数相等止数（等数）求公约数
例2 更相减损术求9863公约数
分析：（略）
3辗转相法更相减损术区：
（1）求公约数方法计算辗转相法法更相减损术减法计算次数辗转相法计算次数相较少特两数字区较时计算次数区较明显
（2）结果体现形式辗转相法体现结果相余数0更相减损术减数差相等
132秦九韶算法排序
1秦九韶算法概念：
f(x)anxn+an1xn1+…+a1x+a0求值问题
f(x)anxn+an1xn1+…+a1x+a0( anxn1+an1xn2+…+a1)x+a0 (( anxn2+an1xn3+…+a2)x+a1)x+a0
(( anx+an1)x+an2)x++a1)x+a0
求项式值时首先计算层括号次项式值v1anx+an1
然外逐层计算次项式值
v2v1x+an2 v3v2x+an3 vnvn1x+a0
样n次项式求值问题转化成求n次项式值问题
2两种排序方法：直接插入排序泡排序
1直接插入排序
基思想：插入排序思想读排第１数放入数组第１元素中读入数已存入数组数进行较确定排列中应处位置．该位置元素推移位置读入新数填入空出位置中．（算法简单举例说明）
2泡排序
基思想：次较相邻两数放前面放面首先较第1数第2数数放前数放然较第2数第3数直较两数第趟结束定沉重复程第1数开始第2数 排序程中总数前数相气泡升泡排序
133进位制
1概念：进位制种记数方式限数字位置表示数值数字符号数称基数基数n称n进位制简称n进制现常十进制通常10阿拉伯数字09进行记数数进位制表示：十进数57二进制表示111001八进制表示71十六进制表示39代表数值样
般k整数k基数k进制表示：
表示种进位制数般数字右脚加注表示111001(2)表示二进制数34(5)表示5进制数
第二章 统计
211简单机抽样
1．总体样
统计学中 研究象全体做总体．
研究象做体．
总体中体总数做总体容量．
研究总体关性质般总体中机抽取部分：
研究称样．中体数称样容量．
2．简单机抽样纯机抽样总体中加分组划类排队等完全
机抽取调查单位特点：样单位抽中性相（概率相等）样单位完全独立彼间定关联性排斥性简单机抽样种抽样形式基础通常总体单位间差异程度较数目较少时采种方法
3．简单机抽样常方法：
（1）抽签法⑵机数表法⑶计算机模拟法⑷统计软件直接抽取
简单机抽样样容量设计中考虑：①总体变异情况②允许误差范围③概率保证程度
4．抽签法
（1）调查象群体中象编号
（2）准备抽签工具实施抽签
（3）样中体进行测量调查
例：请调查学校学生做喜欢体育活动情况
5．机数表法：
例：利机数表班级中抽取10位学参加某项活动
212系统抽样
1．系统抽样（等距抽样机械抽样）：
总体单位进行排序计算出抽样距离然固定抽样距离抽取样第样采简单机抽样办法抽取
K（抽样距离）N（总体规模）n（样规模）
前提条件：总体中体排列研究变量说应机存某种研究变量相关规分布调查允许条件样开始抽样次样特点果明显差说明样总体中分布承某种循环性规律种循环抽样距离重合
2．系统抽样等距抽样实际中常抽样方法抽样框求较低实施较简单更重果某种调查指标相关辅助变量供总体单元辅助变量序排队话系统抽样提高估计精度
213分层抽样
1．分层抽样（类型抽样）：
先总体中单位某种特征标志（性年龄等）划分成干类型层次然类型层次中采简单机抽样系抽样办法抽取子样子样合起构成总体样
两种方法：
1．先分层变量总体划分干层层总体中例层中抽取
2．先分层变量总体划分干层层中元素分层序整齐排列系统抽样方法抽取样
2．分层抽样异质性较强总体分成质性较强子总体抽取子总体中样分代表该子总体样进代表总体
分层标准：
（1）调查分析研究变量相关变量作分层标准
（2）保证层部质性强层间异质性强突出总体结构变量作分层变量
（3）明显分层区分变量作分层变量
3．分层例问题：
（1）例分层抽样：根种类型层次中单位数目占总体单位数目重抽取子样方法
（2）例分层抽样：层次总体中重太样量会非常少时采该方法便层次子总体进行专门研究进行相互较果样资料推断总体时需先层数资料进行加权处理调整样中层例数恢复总体中层实际例结构
222样数字特征估计总体数字特征
1均值：
2．样标准差：
3．样估计总体时果抽样方法较合理样反映总体信息样信息会偏差机抽样中种偏差避免
然样数分布均值标准差总体真正分布均值标准差估计种估计合理特样量时确实反映总体信息
4．（1）果组数中数加减常数标准差变
（2）果组数中数常数k标准差变原k倍
（3）组数中值值标准差影响区间应
掉高分掉低分中科学道理
232两变量线性相关
1概念
（1）回直线方程
（2）回系数
2．二法
3．直线回方程应
（1）描述两变量间存关系利直线回方程定量描述两变量间存数量关系
（2）利回方程进行预测预报子（变量x）代入回方程预报量（变量Y）进行估计体Y值容许区间
（3）利回方程进行统计控制规定Y值变化通控制x范围实现统计控制目标已空气中NO2浓度汽车流量间回方程通控制汽车流量控制空气中NO2浓度
4．应直线回注意事项
（1）做回分析实际意义
（2）回分析前先作出散点图
（3）回直线外延
第三章 概 率
311 —312机事件概率概率意义
1基概念：
（1）必然事件：条件S定会发生事件相条件S必然事件
（2）事件：条件S定会发生事件相条件S事件
（3）确定事件：必然事件事件统称相条件S确定事件
（4）机事件：条件S发生发生事件相条件S机事件
（5）频数频率：相条件S重复n次试验观察某事件A否出现称n次试验中事件A出现次数nA事件A出现频数称事件A出现例fn(A)事件A出现概率：定机事件A果着试验次数增加事件A发生频率fn(A)稳定某常数常数记作P（A）称事件A概率
（6）频率概率区联系：机事件频率指事件发生次数nA试验总次数n值具定稳定性总某常数附摆动着试验次数断增种摆动幅度越越常数做机事件概率概率数量反映机事件发生性频率量重复试验前提似作事件概率
313 概率基性质
1基概念：
（1）事件包含事件交事件相等事件
（2）A∩B事件A∩Bф称事件A事件B互斥
（3）A∩B事件A∪B必然事件称事件A事件B互立事件
（4）事件AB互斥时满足加法公式：P(A∪B) P(A)+ P(B)事件AB立事件A∪B必然事件P(A∪B) P(A)+ P(B)1P(A)1—P(B)
2概率基性质：
1）必然事件概率1事件概率00≤P(A)≤1
2）事件AB互斥时满足加法公式：P(A∪B) P(A)+ P(B)
3）事件AB立事件A∪B必然事件P(A∪B) P(A)+ P(B)1P(A)1—P(B)
4）互斥事件立事件区联系互斥事件指事件A事件B次试验中会时发生具体包括三种情形：（1）事件A发生事件B发生（2）事件A发生事件B发生（3）事件A事件B时发生立事件指事件A 事件B仅发生包括两种情形（1）事件A发生B发生（2）事件B发生事件A发生立事件互斥事件特殊情形
321 —322古典概型机数产生
1（1）古典概型条件：试验结果限性结果等性
（2）古典概型解题步骤
①求出总基事件数
②求出事件A包含基事件数然利公式P（A）
331—332概型均匀机数产生
1基概念：
（1）概率模型：果事件发生概率构成该事件区域长度（面积体积）成例称样概率模型概率模型
（2）概型概率公式：
P（A）
（2） 概型特点：1）试验中出现结果（基事件）限2）基事件出现性相等．
高中数学 必修4知识点
第章 三角函数
2角顶点原点重合角始边轴非负半轴重合终边落第象限称第象限角．
第象限角集合
第二象限角集合
第三象限角集合
第四象限角集合
终边轴角集合
终边轴角集合
终边坐标轴角集合
3角终边相角集合
4长度等半径长弧圆心角做弧度．
5半径圆圆心角弧长角弧度数绝值．
6弧度制角度制换算公式：．
7扇形圆心角半径弧长周长面积．
Pv
x
y
A
O
M
T
8设意角终边意点坐标原点距离．
9三角函数象限符号：第象限全正第二象限正弦正
第三象限正切正第四象限余弦正．
10三角函数线：．
11角三角函数基关系：．
12函数诱导公式：
．
．
．
．
口诀：函数名称变符号象限．
．．
口诀：正弦余弦互换符号象限．
13①图象点左（右）移单位长度函数图象函数图象点横坐标伸长（缩短）原倍（坐标变）函数图象函数图象点坐标伸长（缩短）原倍（横坐标变）函数图象．
②数图象点横坐标伸长（缩短）原倍（坐标变）函数
图象函数图象点左（右）移单位长度函数图象函数图象点坐标伸长（缩短）原倍（横坐标变）函数图象．
14函数性质：
①振幅：②周期：③频率：④相位：⑤初相：．
函数时取值 时取值．
15正弦函数余弦函数正切函数图象性质：
函
数
性
质
图象
定义域
值域
值
时
时．
时
时．
值值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增函数
减函数．
增函数
减函数．
增函数．
称性
称中心
称轴
称中心
称轴
称中心
称轴
第二章 面量
16量：方量． 数量：没方量．
线段三素：起点方长度． 零量：长度量．
单位量：长度等单位量．
行量（线量）：方相相反非零量．零量量行．
相等量：长度相等方相量．
17量加法运算：
⑴三角形法特点：首尾相连．
⑵行四边形法特点：起点．
⑶三角形等式：．
⑷运算性质：①交换律：
②结合律：③．
⑸坐标运算：设．
18量减法运算：
⑴三角形法特点：起点连终点方指减量．
⑵坐标运算：设．
设两点坐标分．
19量数运算：
⑴实数量积量运算做量数记作．
①
②时方方相时方方相反时．
⑵运算律：①②③．
⑶坐标运算：设．
20量线定理：量线仅唯实数．
设中仅时量线．
21面量基定理：果面两线量面意量实数．（线量作面量组基底）
22分点坐标公式：设点线段点坐标分时点坐标．（
23面量数量积：
⑴．零量量数量积．
⑵性质：设非零量①．②时反时．③．
⑶运算律：①②③．
⑷坐标运算：设两非零量．
． 设．
设非零量夹角．
第三章 三角恒等变换
24两角差正弦余弦正切公式：
⑴⑵
⑶⑷
⑸ （）
⑹ （）．
25二倍角正弦余弦正切公式：
⑴．
⑵
升幂公式
降幂公式．
⑶．
26
（两判断符号更加）
27合变形两三角函数差化三角函数角次方 形式中．
28三角变换运算化简程中运较变换提高三角变换力学会创设条件灵活运三角公式掌握运算化简方法技．常数学思想方法技巧：
（1）角变换：三角化简求值证明中表达式中出现较相异角根角角间差倍半互补互余关系运角变换沟通条件结中角差异问题获解角变形：
①二倍二倍二倍二倍
②问：
③④
⑤等等
（2）函数名称变换：三角变形中常常需变函数名称名函数三角函数中正余弦基础通常化切弦变异名名
（3）常数代换：三角函数运算求值证明中时需常数转化三角函数值例常数1代换变形：
（4）幂变换：降幂三角变换时常方法次数较高三角函数式般采降幂处理方法常降幂公式： 降幂非绝时需升幂理式常升幂化理式常升幂公式：
（5）公式变形：三角公式变换应熟练掌握三角公式逆变形应
：
（中 ）
（6）三角函数式化简运算通常：角名形幂四方面入手
基规：见切化弦异角化角复角化单角异名化名高次化低次理化理特殊值特殊角三角函数互化
：
高中数学 必修5知识点
（）解三角形：
1正弦定理：中分角边
(外接圆半径)
2正弦定理变形公式：①
②③
3三角形面积公式：．
4余弦定理：中推：
（二）数列：
1数列关概念：
（1） 数列：定次序排列列数数列序数列定义然数N*限子集{123…n}函数
（2） 通项公式：数列第n项ann间函数关系公式表示公式该数列通项公式
（3） 递推公式：已知数列{an}第1项（前项）项an前项an1（前项）公式表示公式该数列递推公式
2．数列表示方法：
（1） 列举法：13579… （2）图象法：（n an）孤立点表示
（3） 解析法：通项公式表示 （4）递推法：递推公式表示
3．数列分类：
4．数列{an}前n项间关系
5．等差数列等数列结：
等差数列
等数列
定义
二公式
1．
2．
1．
2．
三性质
1．
称等差中项
2．（）
3．成等差数列
1．
称等中项
2．（）
3．成等数列
（三）等式
1．
2等式性质： ① ② ③
④⑤
⑥ ⑦
⑧．
结：代数式较证明通常作差较法：作差化积（商）判断结
字母较选择填空题中常采特值法验证
3元二次等式解法：
（1）化成标准式：（2）求出应元二次方程根
（3）画出应二次函数图象 （4）根等号方取出相应解集
线性规划问题：
1．解线性约束条件目标函数行域行解优解
2．线性规划问题：求线性目标函数线性约束条件值值问题．
3．解线性规划实际问题步骤：
（1）数列成表格（2）列出约束条件目标函数（3）根求值方法：①画：画行域②移：移目标函数致行直线③求：求值点坐标④答求值 （4）验证
两类目标函数意义
①直线截距②两点距离圆半径
4均值定理： ．
称正数算术均数称正数均数．
5均值定理应：设正数
⑴（定值）时积取值．
⑵（积定值）时取值．
注意：应时候必须注意正二定三等三条件时成立
选修1112知识点
第部分 简单逻辑语
1命题：语言符号式子表达判断真假陈述句
真命题：判断真语句假命题：判断假语句
2形式命题中称命题条件称命题结
3原命题： 逆命题：
否命题： 逆否命题：
4四种命题真假性间关系：
（1）两命题互逆否命题相真假性
（2）两命题互逆命题互否命题真假性没关系．
5充分条件必条件．
充条件（充分必条件）．
利集合间包含关系： 例：AB充分条件BA必条件ABAB充条件
6逻辑联结词：⑴(and) ：命题形式⑵（or）：命题形式
⑶非（not）：命题形式
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
7⑴全称量词——意等表示
全称命题p： 全称命题p否定p：
⑵存量词——存少等表示
特称命题p： 特称命题p否定p：
第二部分 圆锥曲线
1面两定点距离等常数（）点轨迹称椭圆．
：
两定点称椭圆焦点两焦点距离称椭圆焦距．
2椭圆性质：
焦点位置
焦点轴
焦点轴
图形
标准方程
范围
顶点
轴长
短轴长 长轴长
焦点
焦距
称性
关轴轴原点称
离心率
3面两定点距离差绝值等常数（）点轨迹称双曲线．：
两定点称双曲线焦点两焦点距离称双曲线焦距．
4双曲线性质：
焦点位置
焦点轴
焦点轴
图形
标准方程
范围
顶点
轴长
虚轴长 实轴长
焦点
焦距
称性
关轴轴称关原点中心称
离心率
渐线方程
5实轴虚轴等长双曲线称等轴双曲线．
6面定点条定直线距离相等点轨迹称抛物线．定点称抛物线焦点定直线称抛物线准线．
7抛物线性质：
标准方程
图形
顶点
称轴
轴
轴
焦点
准线方程
离心率
范围
8抛物线焦点作垂直称轴交抛物线两点线段称抛物线通径．
9焦半径公式：
点抛物线焦点
点抛物线焦点
第三部分 导数应
1函数均变化率：
2导数定义：点处导数记作．
3函数点处导数意义曲线点处切线斜率．
4常见函数导数公式：
①② ③④
⑤⑥ ⑦⑧
5导数运算法：
．
6某区间函数区间单调递增
函数区间单调递减．
7求函数极值方法：解方程．时：
果附左侧右侧极值
果附左侧右侧极值．
8求函数值值步骤：
求函数极值
函数极值端点处函数值较中值值．
9导数实际问题中应：优化问题
第四部分 复数
1．概念：
(1) za+bi∈Rb0 (ab∈R)z z2≥0
(2) za+bi虚数b≠0(ab∈R)
(3) za+bi纯虚数a0b≠0(ab∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0
(4) a+bic+diaccd(abcd∈R)
2．复数代数形式运算：设z1 a + bi z2 c + di (abcd∈R)：
(1) z 1±z2 (a + b)± (c + d)i
(2) z1z2 (a+bi)·(c+di)＝（acbd）+ (ad+bc)i
(3) z1÷z2 (z2≠0)
3．重结：
(1) ⑷
(2) 性质：T4
(3)
4．运算律：（1）
5．轭性质：⑴ ⑵ ⑶ ⑷
6．模性质：⑴⑵⑶⑷
第五部分 统计案例
1．线性回方程
①变量间两类关系：函数关系相关关系
②制作散点图判断线性相关关系
③线性回方程：（二法）
注意：线性回直线定点
2．相关系数（判定两变量线性相关性）：
注：⑴>0时变量正相关 <0时变量负相关
⑵① 越接1两变量线性相关性越强② 接0时两变量间存线性相关关系
3．回分析中回效果判定：
⑴总偏差方：⑵残差：⑶残差方： ⑷回方：－⑸相关指数
注：①知越说明残差方越模型拟合效果越
②越接1回效果越
4．独立性检验（分类变量关系）：
机变量越说明两分类变量关系越强反越弱
第六部分 推理证明
．推理：
⑴合情推理：纳推理类推理根已事实观察分析较联想进行纳类然提出猜想推理称合情推理
①纳推理：某类食物部分象具某特征推出该类事物全部象具特征推理者事实概括出般结推理称纳推理简称纳
注：纳推理部分整体般推理
②类推理：两类象具类似中类象某已知特征推出类象具特征推理称类推理简称类
注：类推理特殊特殊推理
⑵演绎推理：般原理出发推出某特殊情况结种推理演绎推理
注：演绎推理般特殊推理
三段演绎推理般模式包括：⑴前提已知般结⑵前提研究特殊情况⑶结 根般原理特殊情况出判断
二．证明
⒈直接证明
⑴综合法
般利已知条件某数学定义定理公理等系列推理证推导出证明结成立种证明方法做综合法综合法推法导果法
⑵分析法
般证明结出发逐步寻求成立充分条件直证明结结判定明显成立条件（已知条件定义定理公理等）种证明方法分析法分析法逆推证法执果索法
2．间接证明反证法
般假设原命题成立正确推理出矛盾说明假设错误证明原命题成立种证明方法反证法
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