必修1
第章 集合函数概念
集合关概念
1集合含义：某指定象集起成集合中象元素
2集合中元素三特性： 1元素确定性2元素互异性3元素序性
非负整数集（然数集）记作：N
正整数集 N* N+ 整数集Z 理数集Q 实数集R
关属概念
集合元素通常写拉丁字母表示：a集合A元素说a属集合A 记作 a∈A 相反a属集合A 记作 aA
二集合间基关系
集合身子集AA
②真子集果ABB A说集合A集合B真子集记作A B(B A)
3 含元素集合做空集记Φ
规定 空集集合子集 空集非空集合真子集
三集合运算
1．交集定义：般属A属B元素组成集合做AB交集．(找公部分)记作A∩B(读作A交B)A∩B{x|x∈Ax∈B}．
2集定义：般属集合A属集合B元素组成集合做AB集（AB中元素）记作：A∪B(读作AB)A∪B{x|x∈Ax∈B}．
4全集补集
（1）补集：设S集合AS子集（ ）S中属A元素组成集合做S中子集A补集（余集）（A剩元素组成集合）
四函数关概念
定义域补充
函数式意义实数x集合称函数定义域求函数定义域时列等式组：(1)分式分母等零 (2)偶次方根开方数零 (3)数式真数必须零(4)指数数式底必须零等1 (5)果函数基函数通四运算结合成定义域部分意义x值组成集合（6）指数零底等零 (6)实际问题中函数定义域保证实际问题意义
(注意：求出等式组解集函数定义域)
构成函数三素：定义域应关系值域
4．解区间概念
（1）区间分类：开区间闭区间半开半闭区间（2）穷区间（3）区间数轴表示．
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数yf(x)定义域I果定义域I某区间D意两变量aba果区间D意两变量值aba注意：1 函数单调性定义域某区间性质函数局部性质
2 必须区间D意两变量aba（2） 图象特点
果函数yf(x)某区间增函数减函数说函数yf(x)区间具(严格)单调性单调区间增函数图象左右升减 函数图象左右降
(3)函数单调区间单调性判定方法
(A) 定义法：取ab∈Da (B)图象法(图象升降)_ (C)复合函数单调性
复合函数f[g(x)]单调性构成函数ug(x)yf(u)单调性密切相关
注意：1函数单调区间定义域子区间 单调性相区间起写成集 8．函数奇偶性
（1）偶函数
般函数f(x)定义域意xf(－x)f(x)f(x)做偶函数．
（2）．奇函数
般函数f(x)定义域意xf(－x)—f(x)f(x)做奇函数．
注意：1 函数奇函数偶函数称函数奇偶性函数奇偶性函数整体性质函数没奇偶性奇函数偶函数
2 函数奇偶性定义知函数具奇偶性必条件定义域意x－x定定义域变量（定义域关原点称）．
3具奇偶性函数图象特征
偶函数图象关y轴称奇函数图象关原点称．
总结：利定义判断函数奇偶性格式步骤：1 首先确定函数定义域判断定义域否关原点称2 确定f(－x)f(x)关系3 作出相应结：f(－x) f(x) f(－x)－f(x) 0f(x)偶函数f(－x) －f(x) f(－x)＋f(x) 0f(x)奇函数．
注意：函数定义域关原点称函数具奇偶性必条件．首先函数定义域否关原点称称函数非奇非偶函数称(1)根定义判定 (2)时判定f(x)±f(x)较困难考虑根否f(x)±f(x)0f(x)f(x)±1判定 (3)利定理助函数图象判定
10．函数（）值（定义见课）
（1）利二次函数性质（配方法）求函数（）值
（2）利图象求函数（）值
（3）利函数单调性判断函数（）值：果函数yf(x)区间[ab]单调递增区间[bc]单调递减函数yf(x)xb处值f(b)果函数yf(x)区间[ab]单调递减区间[bc]单调递增函数yf(x)xb处值f(b)
第二章 基初等函数
指数函数
0正分数指数幂等00负分数指数幂没意义
3．实数指数幂运算性质
（1）·
（2）
（3）．
（二）指数函数性质
1指数函数概念：般函数做指数函数（exponential function）中x变量函数定义域R．
注意：指数函数底数取值范围底数负数零1．
2指数函数图象性质
a>1
0
图象特征
函数性质
xy轴正负方限延伸
函数定义域R
图象关原点y轴称
非奇非偶函数
函数图象x轴方
函数值域R+
函数图象定点（01）
左右
图象逐渐升
左右
图象逐渐降
增函数
减函数
第象限图象坐标1
第象限图象坐标1
第二象限图象坐标1
第二象限图象坐标1
注意：利函数单调性结合图象出：
（1）[ab]值域
（2）取遍正数仅
（3）指数函数总
（4）时
二数函数
（）数
1．数概念：般果数做底数记作：（— 底数— 真数— 数式）
说明： 注意底数限制
注意数书写格式．
两重数：
常数：10底数
然数：理数底数数．
数式指数式互化
数式 指数式
数底数 ← → 幂底数
数 ← → 指数
真数 ← → 幂
（二）数运算性质
果：（1）·＋（2）－（3） ．
注意：换底公式（）．
利换底公式推导面结
（1）
（2）．
（二）数函数
1数函数概念：函数做数函数中变量函数定义域（0+∞）．
注意： 数函数定义指数函数类似形式定义注意辨
（2）数函数指数函数联系xy位置
： 数函数称数型函数．
2数函数性质：
a>1
0
图象特征
函数性质
函数图象y轴右侧
函数定义域（0＋∞）
图象关原点y轴称
非奇非偶函数
y轴正负方限延伸
函数值域R
函数图象定点（10）
左右图象逐渐升
左右图象逐渐降
增函数
减函数
第象限图象坐标0
第象限图象坐标0
第二象限图象坐标0
第二象限图象坐标0
三幂函数
1幂函数定义：般形函数称幂函数中常数．
2幂函数性质纳．
（1）幂函数（0+∞）定义图象点（11）
（2）时幂函数图象通原点区间增函数．特时幂函数图象凸时幂函数图象凸
（3）时幂函数图象区间减函数．第象限 右边趋原点时图象轴右方限逼轴正半轴趋时 图象轴方限逼轴正半轴．
第三章 函数应
方程根函数零点
1函数零点概念：函数成立实数 做函数零点
2函数零点意义：函数零点方程实数根函数图象轴交点横坐标：
方程实数根函数图象轴交点函数零点．
3函数零点求法：
求函数零点：
（代数法）求方程实数根
（法）求根公式方程函数图象联系起利函数性质找出零点．
必修2
第章 立体初步
1特殊体表面积公式（c底面周长h高斜高l母线）
2柱体锥体台体体积公式
3 球体表面积体积公式：
4．空间体三视图
定义三视图：正视图（光线体前面面正投影）侧视图（左右）
俯视图（）
注：正视图反映物体高度长度俯视图反映物体长度宽度侧视图反映物体高度宽度
3空间体直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原x轴行线段然x行长度变
②原y轴行线段然y行长度原半
第二章 直线面位置关系
21空间点直线面间位置关系
1 面含义：面限延展
2 三公理：
（1）公理1：果条直线两点面条直线面
符号表示
L
A
·
α
A∈L
B∈L > L α
A∈α
B∈α
C
·
B
·
A
·
α
公理1作：判断直线否面
（2）公理2：条直线三点面
符号表示：ABC三点线 > 面α
A∈αB∈αC∈α
公理2作：确定面
P
·
α
L
β
（3）公理3：果两重合面公点条该点公直线
符号表示：P∈α∩β >α∩βLP∈L
公理3作：判定两面否相交
212 空间中直线直线间位置关系
1 空间两条直线三种关系：
面直线
相交直线：面公点
行直线： 面没公点
异面直线： 面没公点
2 公理4：行条直线两条直线互相行
符号表示：设abc三条直线
>a∥c
a∥b
c∥b
强调：公理4实质说行具传递性面空间性质适
公理4作：判断空间两条直线行
3 等角定理：空间中果两角两边分应行两角相等互补
4 注意点：
① a＇b＇成角ab相互位置确定O选择关
简便点O般取两直线中条
② 两条异面直线成角θ∈(0 )
③ 两条异面直线成角直角时说两条异面直线互相垂直记作a⊥b
④ 两条直线互相垂直面垂直异面垂直两种情形
⑤ 计算中通常两条异面直线成角转化两条相交直线成角
213 — 214 空间中直线面面面间位置关系
1直线面三种位置关系：
（1）直线面 —— 数公点
（2）直线面相交 —— 公点
（3）直线面行 —— 没公点
指出：直线面相交行情况统称直线面外a α表示
a α a∩αA a∥α
22直线面行判定性质
221 直线面行判定
1直线面行判定定理：面外条直线面条直线行该直线面行
简记：线线行线面行
符号表示：
a α
b β > a∥α
a∥b
222 面面行判定
1两面行判定定理：面两条交直线面行两面行
符号表示：
a β
b β
a∩b P >β∥α
a∥α
b∥α
2判断两面行方法三种：
（1）定义
（2）判定定理
（3）垂直条直线两面行
223 — 224直线面面面行性质
1直线面行性质定理：条直线面行条直线面面交线该直线行
简记：线面行线线行
符号表示：
a ∥α
a β > a∥b
α∩β b
作：利该定理解决直线间行问题
2两面行性质定理：果两行面时第三面相交交线行
符号表示：
α∥β
α∩γ a > a∥b
β∩γ b
作：面面行出直线直线行
23直线面垂直判定性质
231直线面垂直判定
1定义：果直线L面α意条直线垂直说直线L面α互相垂直记作L⊥α直线L做面α垂线面α做直线L垂面图直线面垂直时唯公点P做垂足
P
a
L
2直线面垂直判定定理：条直线面两条相交直线垂直该直线面垂直
注意点： a)定理中两条相交直线条件忽视
b)定理体现直线面垂直直线直线垂直互相转化数学思想
232面面垂直判定
1二面角概念：表示空间直线出发两半面组成图形
A
梭 l β
B
α
2二面角记法：二面角αlβαABβ
3两面互相垂直判定定理：面面垂线两面垂直
233 — 234直线面面面垂直性质
1直线面垂直性质定理：垂直面两条直线行
2两面垂直性质定理： 两面垂直面垂直交线直线面垂直
第三章 直线方程
（1）直线倾斜角
定义：x轴正直线方间成角直线倾斜角特直线x轴行重合时规定倾斜角0度倾斜角取值范围0°≤α＜180°
（2）直线斜率
①定义：倾斜角90°直线倾斜角正切做条直线斜率直线斜率常k表示斜率反映直线轴倾斜程度
直线lx轴行重合时 α0° k tan0°0
直线lx轴垂直时 α 90° k 存
时 时 时存
②两点直线斜率公式： （ P1(x1y1)P2(x2y2)x1≠x2）
注意面四点：(1)时公式右边意义直线斜率存倾斜角90°
(2)kP1P2序关
(3)求斜率通倾斜角直线两点坐标直接求
(4)求直线倾斜角直线两点坐标先求斜率
（3）直线方程
①点斜式：直线斜率k点
注意：直线斜率0°时k0直线方程yy1
直线斜率90°时直线斜率存方程点斜式表示．l点横坐标等x1方程xx1
②斜截式：直线斜率k直线y轴截距b
③两点式：（）直线两点
④截矩式：中直线轴交点轴交点轴轴截距分
⑤般式：（AB全0）
注意：式适范围 特殊方程：
行x轴直线：（b常数） 行y轴直线：（a常数）
（6）两直线行垂直 时
注意：利斜率判断直线行垂直时注意斜率存否
（7）两条直线交点
相交
交点坐标方程组组解
方程组解 方程组数解重合
（8）两点间距离公式：设面直角坐标系中两点
（9）点直线距离公式：点直线距离
（10）两行直线距离公式
已知两条行线直线般式方程：
：距离
第四章 圆方程
1圆定义：面定点距离等定长点集合圆定点圆心定长圆半径
2圆方程
（1）标准方程圆心半径r
点圆位置关系：
>点圆外
点圆
<点圆
（2）般方程
时方程表示圆时圆心半径
（3）求圆方程方法：
般采定系数法：先设求确定圆需三独立条件利圆标准方程需求出abr利般方程需求出DEF
外注意利圆性质：弦中垂线必原点确定圆心位置
3直线圆位置关系：
直线圆位置关系相离相切相交三种情况：
（1）设直线圆圆心l距离
（2）圆外点切线：①k存验证否成立②k存设点斜式方程圆心该直线距离半径求解k方程定两解
(3)圆点切线方程：圆(xa)2+(yb)2r2圆点(x0y0)点切线方程(x0a)(xa)+(y0b)(yb) r2
必修三
：辗转相法更相减损术（1）辗转相法欧里德算法辗转相法求公约数步骤：
①较数m较数n商余数 ②＝0nmn公约数≠0数n余数商余数③＝0mn公约数≠0数余数商余数…… 次计算直＝0时求公约数
（2）更相减损术
①意出两正数判断否偶数2约简执行第二步②较数减较数接着较数差较数减数继续操作直数相等止数（等数）求公约数
（3）辗转相法更相减损术区：
①求公约数方法计算辗转相法法更相减损术减法计算次数辗转相法计算次数相较少特两数字区较时计算次数区较明显
②结果体现形式辗转相法体现结果相余数0更相减损术减数差相等
8：秦九韶算法排序 （1）秦九韶算法概念：
f(x)anxn+an1xn1+…+a1x+a0求值问题
f(x)anxn+an1xn1+…+a1x+a0( anxn1+an1xn2+…+a1)x+a0 (( anxn2+an1xn3+…+a2)x+a1)x+a0
(( anx+an1)x+an2)x++a1)x+a0
求项式值时首先计算层括号次项式值v1anx+an1然外逐层计算次项式值v2v1x+an2 v3v2x+an3 vnvn1x+a0
样n次项式求值问题转化成求n次项式值问题
第二章：统计
1：简单机抽样
类
点
特点
相互关系
适范围
简单机抽样
抽样程中体抽取机会相等
总体中逐抽取
总体中体数较少
系统抽样
总体均匀分成部分事先确定规部分抽取
起时部分抽样时采简单机抽样
总体中数较
分成抽样
总体分成层分层进行抽取
层抽样时采简单机抽样
总体差异明显部分组成
4：样数字特征估计总体数字特征
（1）样均值：
（2）样标准差：
样估计总体时果抽样方法较合理样反映总体信息样信息会偏差机抽样中种偏差避免
（3）众数：样数中频率分布值应样数（）
（4）中位数：样数中累计频率15时应样数值（）
第三章：概 率
2：概率基性质
（1）必然事件概率1事件概率00≤P(A)≤1
（2）事件包含事件交事件相等事件
（3）A∩B事件A∩B称事件A事件B互斥
（4）A∩B事件A∪B必然事件称事件A事件B互立事件
（5）事件AB互斥时满足加法公式：P(A∪B) P(A)+ P(B)
事件AB立事件A∪B必然事件P(A∪B) P(A)+ P(B)1P(A)1—P(B)
（6）互斥事件立事件区联系互斥事件指事件A事件B次试验中会时发生具体包括三种情形：① 事件A发生事件B发生②事件A发生事件B发生③事件A事件B时发生立事件指事件A 事件B仅发生包括两种情形④事件A发生B发生⑤事件B发生事件A发生立事件互斥事件特殊情形
3：基事件
（1）基事件：基事件次试验中发生基结果中试验中分简单机事件
（2）基事件特点：①两基事件互斥②事件（事件外）表示成基事件
4：古典概型：
（1）古典概型条件：古典概型种特殊数学模型种模型满足两条件：
①试验结果限性结果等性②基事件必须限
（2）古典概型解题步骤
①求出总基事件数
②求出事件A包含基事件数然利公式
5：概型
（1）概率模型：果事件发生概率构成该事件区域长度（面积体积）成例称样概率模型概率模型
（2）概型概率公式：
（3）概型特点：①试验中出现结果（基事件）限②基事件出现性相等．
注意：概型种概率模型古典概型区试验结果限特点区域均匀分布机事件概率机事件区域形状位置关值域该区域关果事件区域单点单点长度面积体积均0出现概率0事件果机事件区域全部区域扣单点出现概率1必然事件
综：必然事件概率1事件概率0
概率1事件定必然事件概率0事件定事件
必修4
第章 三角函数（初等函数二）
3角终边相角集合
7弧度制角度制换算公式：．
8扇形圆心角半径弧长周长面积．
9设意角终边意点坐标原点距离．
10三角函数象限符号：第象限全正第二象限正弦正第三象限正切正第四象限余弦正．
11三角函数线：．
Pv
x
y
A
O
M
T
12角三角函数基关系：
15正弦函数余弦函数正切函数图象性质：
函
数
性
质
图象
定义域
值域
值
时
时．
时
时．
值值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增函数
减函数．
增函数
减函数．
增函数．
称性
称中心
称轴
称中心
称轴
称中心
称轴
第二章 面量
16量：方量．
数量：没方量．
线段三素：起点方长度．
零量：长度量．
单位量：长度等单位量．
行量（线量）：方相相反非零量．零量量行．
相等量：长度相等方相量．
17量加法运算：
⑴三角形法特点：首尾相连．
⑵行四边形法特点：起点．
⑶三角形等式：．
⑷运算性质：
①交换律：
②结合律：
③．
⑸坐标运算：设．
18量减法运算：
⑴三角形法特点：起点连终点方指减量．
⑵坐标运算：设．
设两点坐标分．
23面量数量积：
⑴．零量量数量积．
⑵性质：设非零量①．②时反时．③．
⑷坐标运算：设两非零量．
．
设．
设非零量夹角．
第三章 三角恒等变换
24两角差正弦余弦正切公式：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸（）
⑹（）．
25二倍角正弦余弦正切公式：
⑴．
⑵（）．
⑶．
26中．
必修5
第章 解三角形
1正弦定理：中分角边外接圆半径．
2正弦定理变形公式：①
②③
④．
（正弦定理解决两类问题：1已知两边中边角求余量2已知两角边求余量）
3三角形面积公式：．
4余弦定理：中．
5余弦定理推：．
(余弦定理解决问题：1已知两边夹角求余量2已知三边求角)
6判断三角形形状：设角边：①
②③．
附：三角形四心
重心：三角形三条中线交点
外心：三角形三边垂直分线相交点
心：三角形三角分线相交点
垂心：三角形三边高相交点
第二章 数列
11果数列第2项起项前项差等常数数列称等差数列常数称等差数列公差．符号表示注：数列等差数列三种方法：
① ②2() ③(常数
12三数组成等差数列成简单等差数列称等差中项．称等差中项．
13等差数列首项公差．
14通项公式变形：①②③
④⑤．
15等差数列（）等差数列（）．
16等差数列前项公式：①②．③
18果数列第项起项前项等常数数列称等数列常数称等数列公．符号表示：（注：①等数列中会出现值0项②号位值号）
注：数列等数列四种方法：
① ②()
③(非零常数)
④正数列{}成等充条件数列{}（）成等数列
19中间插入数成等数列称等中项．称等中项．（注：出成等）
20等数列首项公．
21通项公式变形：①
22等数列（）等数列（）．
23等数列前项公式：①．②
24意数列{}前项通项关系：
③非零常数列等数列等差数列（非零等数列）
附：数列求常方法
1 公式法适等差等数列转化等差等数列数列
2裂项相消法适中{ }项0等差数列c常数部分理数列含阶数列等
3错位相减法适中{ }等差数列项0等数列
4倒序相加法 类似等差数列前n项公式推导方法
第三章 等式
元二次等式求解：
特例① 元次等式ax>b解讨
②元二次等式ax2+bx+c>0(a>0)解讨
二次函数
（）图象
元二次方程
两相异实根
两相等实根
实根
R
a<0等式先a化正表做
11设两正数称正数算术均数称正数均数．
12均值等式定理： ．
13常基等式：
① ②
③ ④．
14极值定理：设正数：
⑴（定值）时积取值．⑵（积定值）时取值．
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第章 集合函数概念
集合关概念
1集合含义：某指定象集起成集合中象元素
2集合中元素三特性： 1元素确定性2元素互异性3元素序性
非负整数集（然数集）记作：N
正整数集 N* N+ 整数集Z 理数集Q 实数集R
关属概念
集合元素通常写拉丁字母表示：a集合A元素说a属集合A 记作 a∈A 相反a属集合A 记作 aA
二集合间基关系
集合身子集AA
②真子集果ABB A说集合A集合B真子集记作A B(B A)
3 含元素集合做空集记Φ
规定 空集集合子集 空集非空集合真子集
三集合运算
1．交集定义：般属A属B元素组成集合做AB交集．(找公部分)记作A∩B(读作A交B)A∩B{x|x∈Ax∈B}．
2集定义：般属集合A属集合B元素组成集合做AB集（AB中元素）记作：A∪B(读作AB)A∪B{x|x∈Ax∈B}．
4全集补集
（1）补集：设S集合AS子集（ ）S中属A元素组成集合做S中子集A补集（余集）（A剩元素组成集合）
四函数关概念
定义域补充
函数式意义实数x集合称函数定义域求函数定义域时列等式组：(1)分式分母等零 (2)偶次方根开方数零 (3)数式真数必须零(4)指数数式底必须零等1 (5)果函数基函数通四运算结合成定义域部分意义x值组成集合（6）指数零底等零 (6)实际问题中函数定义域保证实际问题意义
(注意：求出等式组解集函数定义域)
构成函数三素：定义域应关系值域
4．解区间概念
（1）区间分类：开区间闭区间半开半闭区间（2）穷区间（3）区间数轴表示．
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数yf(x)定义域I果定义域I某区间D意两变量aba
2 必须区间D意两变量aba
果函数yf(x)某区间增函数减函数说函数yf(x)区间具(严格)单调性单调区间增函数图象左右升减 函数图象左右降
(3)函数单调区间单调性判定方法
(A) 定义法：取ab∈Da
复合函数f[g(x)]单调性构成函数ug(x)yf(u)单调性密切相关
注意：1函数单调区间定义域子区间 单调性相区间起写成集 8．函数奇偶性
（1）偶函数
般函数f(x)定义域意xf(－x)f(x)f(x)做偶函数．
（2）．奇函数
般函数f(x)定义域意xf(－x)—f(x)f(x)做奇函数．
注意：1 函数奇函数偶函数称函数奇偶性函数奇偶性函数整体性质函数没奇偶性奇函数偶函数
2 函数奇偶性定义知函数具奇偶性必条件定义域意x－x定定义域变量（定义域关原点称）．
3具奇偶性函数图象特征
偶函数图象关y轴称奇函数图象关原点称．
总结：利定义判断函数奇偶性格式步骤：1 首先确定函数定义域判断定义域否关原点称2 确定f(－x)f(x)关系3 作出相应结：f(－x) f(x) f(－x)－f(x) 0f(x)偶函数f(－x) －f(x) f(－x)＋f(x) 0f(x)奇函数．
注意：函数定义域关原点称函数具奇偶性必条件．首先函数定义域否关原点称称函数非奇非偶函数称(1)根定义判定 (2)时判定f(x)±f(x)较困难考虑根否f(x)±f(x)0f(x)f(x)±1判定 (3)利定理助函数图象判定
10．函数（）值（定义见课）
（1）利二次函数性质（配方法）求函数（）值
（2）利图象求函数（）值
（3）利函数单调性判断函数（）值：果函数yf(x)区间[ab]单调递增区间[bc]单调递减函数yf(x)xb处值f(b)果函数yf(x)区间[ab]单调递减区间[bc]单调递增函数yf(x)xb处值f(b)
第二章 基初等函数
指数函数
0正分数指数幂等00负分数指数幂没意义
3．实数指数幂运算性质
（1）·
（2）
（3）．
（二）指数函数性质
1指数函数概念：般函数做指数函数（exponential function）中x变量函数定义域R．
注意：指数函数底数取值范围底数负数零1．
2指数函数图象性质
a>1
0
图象特征
函数性质
xy轴正负方限延伸
函数定义域R
图象关原点y轴称
非奇非偶函数
函数图象x轴方
函数值域R+
函数图象定点（01）
左右
图象逐渐升
左右
图象逐渐降
增函数
减函数
第象限图象坐标1
第象限图象坐标1
第二象限图象坐标1
第二象限图象坐标1
注意：利函数单调性结合图象出：
（1）[ab]值域
（2）取遍正数仅
（3）指数函数总
（4）时
二数函数
（）数
1．数概念：般果数做底数记作：（— 底数— 真数— 数式）
说明： 注意底数限制
注意数书写格式．
两重数：
常数：10底数
然数：理数底数数．
数式指数式互化
数式 指数式
数底数 ← → 幂底数
数 ← → 指数
真数 ← → 幂
（二）数运算性质
果：（1）·＋（2）－（3） ．
注意：换底公式（）．
利换底公式推导面结
（1）
（2）．
（二）数函数
1数函数概念：函数做数函数中变量函数定义域（0+∞）．
注意： 数函数定义指数函数类似形式定义注意辨
（2）数函数指数函数联系xy位置
： 数函数称数型函数．
2数函数性质：
a>1
0
图象特征
函数性质
函数图象y轴右侧
函数定义域（0＋∞）
图象关原点y轴称
非奇非偶函数
y轴正负方限延伸
函数值域R
函数图象定点（10）
左右图象逐渐升
左右图象逐渐降
增函数
减函数
第象限图象坐标0
第象限图象坐标0
第二象限图象坐标0
第二象限图象坐标0
三幂函数
1幂函数定义：般形函数称幂函数中常数．
2幂函数性质纳．
（1）幂函数（0+∞）定义图象点（11）
（2）时幂函数图象通原点区间增函数．特时幂函数图象凸时幂函数图象凸
（3）时幂函数图象区间减函数．第象限 右边趋原点时图象轴右方限逼轴正半轴趋时 图象轴方限逼轴正半轴．
第三章 函数应
方程根函数零点
1函数零点概念：函数成立实数 做函数零点
2函数零点意义：函数零点方程实数根函数图象轴交点横坐标：
方程实数根函数图象轴交点函数零点．
3函数零点求法：
求函数零点：
（代数法）求方程实数根
（法）求根公式方程函数图象联系起利函数性质找出零点．
必修2
第章 立体初步
1特殊体表面积公式（c底面周长h高斜高l母线）
2柱体锥体台体体积公式
3 球体表面积体积公式：
4．空间体三视图
定义三视图：正视图（光线体前面面正投影）侧视图（左右）
俯视图（）
注：正视图反映物体高度长度俯视图反映物体长度宽度侧视图反映物体高度宽度
3空间体直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原x轴行线段然x行长度变
②原y轴行线段然y行长度原半
第二章 直线面位置关系
21空间点直线面间位置关系
1 面含义：面限延展
2 三公理：
（1）公理1：果条直线两点面条直线面
符号表示
L
A
·
α
A∈L
B∈L > L α
A∈α
B∈α
C
·
B
·
A
·
α
公理1作：判断直线否面
（2）公理2：条直线三点面
符号表示：ABC三点线 > 面α
A∈αB∈αC∈α
公理2作：确定面
P
·
α
L
β
（3）公理3：果两重合面公点条该点公直线
符号表示：P∈α∩β >α∩βLP∈L
公理3作：判定两面否相交
212 空间中直线直线间位置关系
1 空间两条直线三种关系：
面直线
相交直线：面公点
行直线： 面没公点
异面直线： 面没公点
2 公理4：行条直线两条直线互相行
符号表示：设abc三条直线
>a∥c
a∥b
c∥b
强调：公理4实质说行具传递性面空间性质适
公理4作：判断空间两条直线行
3 等角定理：空间中果两角两边分应行两角相等互补
4 注意点：
① a＇b＇成角ab相互位置确定O选择关
简便点O般取两直线中条
② 两条异面直线成角θ∈(0 )
③ 两条异面直线成角直角时说两条异面直线互相垂直记作a⊥b
④ 两条直线互相垂直面垂直异面垂直两种情形
⑤ 计算中通常两条异面直线成角转化两条相交直线成角
213 — 214 空间中直线面面面间位置关系
1直线面三种位置关系：
（1）直线面 —— 数公点
（2）直线面相交 —— 公点
（3）直线面行 —— 没公点
指出：直线面相交行情况统称直线面外a α表示
a α a∩αA a∥α
22直线面行判定性质
221 直线面行判定
1直线面行判定定理：面外条直线面条直线行该直线面行
简记：线线行线面行
符号表示：
a α
b β > a∥α
a∥b
222 面面行判定
1两面行判定定理：面两条交直线面行两面行
符号表示：
a β
b β
a∩b P >β∥α
a∥α
b∥α
2判断两面行方法三种：
（1）定义
（2）判定定理
（3）垂直条直线两面行
223 — 224直线面面面行性质
1直线面行性质定理：条直线面行条直线面面交线该直线行
简记：线面行线线行
符号表示：
a ∥α
a β > a∥b
α∩β b
作：利该定理解决直线间行问题
2两面行性质定理：果两行面时第三面相交交线行
符号表示：
α∥β
α∩γ a > a∥b
β∩γ b
作：面面行出直线直线行
23直线面垂直判定性质
231直线面垂直判定
1定义：果直线L面α意条直线垂直说直线L面α互相垂直记作L⊥α直线L做面α垂线面α做直线L垂面图直线面垂直时唯公点P做垂足
P
a
L
2直线面垂直判定定理：条直线面两条相交直线垂直该直线面垂直
注意点： a)定理中两条相交直线条件忽视
b)定理体现直线面垂直直线直线垂直互相转化数学思想
232面面垂直判定
1二面角概念：表示空间直线出发两半面组成图形
A
梭 l β
B
α
2二面角记法：二面角αlβαABβ
3两面互相垂直判定定理：面面垂线两面垂直
233 — 234直线面面面垂直性质
1直线面垂直性质定理：垂直面两条直线行
2两面垂直性质定理： 两面垂直面垂直交线直线面垂直
第三章 直线方程
（1）直线倾斜角
定义：x轴正直线方间成角直线倾斜角特直线x轴行重合时规定倾斜角0度倾斜角取值范围0°≤α＜180°
（2）直线斜率
①定义：倾斜角90°直线倾斜角正切做条直线斜率直线斜率常k表示斜率反映直线轴倾斜程度
直线lx轴行重合时 α0° k tan0°0
直线lx轴垂直时 α 90° k 存
时 时 时存
②两点直线斜率公式： （ P1(x1y1)P2(x2y2)x1≠x2）
注意面四点：(1)时公式右边意义直线斜率存倾斜角90°
(2)kP1P2序关
(3)求斜率通倾斜角直线两点坐标直接求
(4)求直线倾斜角直线两点坐标先求斜率
（3）直线方程
①点斜式：直线斜率k点
注意：直线斜率0°时k0直线方程yy1
直线斜率90°时直线斜率存方程点斜式表示．l点横坐标等x1方程xx1
②斜截式：直线斜率k直线y轴截距b
③两点式：（）直线两点
④截矩式：中直线轴交点轴交点轴轴截距分
⑤般式：（AB全0）
注意：式适范围 特殊方程：
行x轴直线：（b常数） 行y轴直线：（a常数）
（6）两直线行垂直 时
注意：利斜率判断直线行垂直时注意斜率存否
（7）两条直线交点
相交
交点坐标方程组组解
方程组解 方程组数解重合
（8）两点间距离公式：设面直角坐标系中两点
（9）点直线距离公式：点直线距离
（10）两行直线距离公式
已知两条行线直线般式方程：
：距离
第四章 圆方程
1圆定义：面定点距离等定长点集合圆定点圆心定长圆半径
2圆方程
（1）标准方程圆心半径r
点圆位置关系：
>点圆外
点圆
<点圆
（2）般方程
时方程表示圆时圆心半径
（3）求圆方程方法：
般采定系数法：先设求确定圆需三独立条件利圆标准方程需求出abr利般方程需求出DEF
外注意利圆性质：弦中垂线必原点确定圆心位置
3直线圆位置关系：
直线圆位置关系相离相切相交三种情况：
（1）设直线圆圆心l距离
（2）圆外点切线：①k存验证否成立②k存设点斜式方程圆心该直线距离半径求解k方程定两解
(3)圆点切线方程：圆(xa)2+(yb)2r2圆点(x0y0)点切线方程(x0a)(xa)+(y0b)(yb) r2
必修三
：辗转相法更相减损术（1）辗转相法欧里德算法辗转相法求公约数步骤：
①较数m较数n商余数 ②＝0nmn公约数≠0数n余数商余数③＝0mn公约数≠0数余数商余数…… 次计算直＝0时求公约数
（2）更相减损术
①意出两正数判断否偶数2约简执行第二步②较数减较数接着较数差较数减数继续操作直数相等止数（等数）求公约数
（3）辗转相法更相减损术区：
①求公约数方法计算辗转相法法更相减损术减法计算次数辗转相法计算次数相较少特两数字区较时计算次数区较明显
②结果体现形式辗转相法体现结果相余数0更相减损术减数差相等
8：秦九韶算法排序 （1）秦九韶算法概念：
f(x)anxn+an1xn1+…+a1x+a0求值问题
f(x)anxn+an1xn1+…+a1x+a0( anxn1+an1xn2+…+a1)x+a0 (( anxn2+an1xn3+…+a2)x+a1)x+a0
(( anx+an1)x+an2)x++a1)x+a0
求项式值时首先计算层括号次项式值v1anx+an1然外逐层计算次项式值v2v1x+an2 v3v2x+an3 vnvn1x+a0
样n次项式求值问题转化成求n次项式值问题
第二章：统计
1：简单机抽样
类
点
特点
相互关系
适范围
简单机抽样
抽样程中体抽取机会相等
总体中逐抽取
总体中体数较少
系统抽样
总体均匀分成部分事先确定规部分抽取
起时部分抽样时采简单机抽样
总体中数较
分成抽样
总体分成层分层进行抽取
层抽样时采简单机抽样
总体差异明显部分组成
4：样数字特征估计总体数字特征
（1）样均值：
（2）样标准差：
样估计总体时果抽样方法较合理样反映总体信息样信息会偏差机抽样中种偏差避免
（3）众数：样数中频率分布值应样数（）
（4）中位数：样数中累计频率15时应样数值（）
第三章：概 率
2：概率基性质
（1）必然事件概率1事件概率00≤P(A)≤1
（2）事件包含事件交事件相等事件
（3）A∩B事件A∩B称事件A事件B互斥
（4）A∩B事件A∪B必然事件称事件A事件B互立事件
（5）事件AB互斥时满足加法公式：P(A∪B) P(A)+ P(B)
事件AB立事件A∪B必然事件P(A∪B) P(A)+ P(B)1P(A)1—P(B)
（6）互斥事件立事件区联系互斥事件指事件A事件B次试验中会时发生具体包括三种情形：① 事件A发生事件B发生②事件A发生事件B发生③事件A事件B时发生立事件指事件A 事件B仅发生包括两种情形④事件A发生B发生⑤事件B发生事件A发生立事件互斥事件特殊情形
3：基事件
（1）基事件：基事件次试验中发生基结果中试验中分简单机事件
（2）基事件特点：①两基事件互斥②事件（事件外）表示成基事件
4：古典概型：
（1）古典概型条件：古典概型种特殊数学模型种模型满足两条件：
①试验结果限性结果等性②基事件必须限
（2）古典概型解题步骤
①求出总基事件数
②求出事件A包含基事件数然利公式
5：概型
（1）概率模型：果事件发生概率构成该事件区域长度（面积体积）成例称样概率模型概率模型
（2）概型概率公式：
（3）概型特点：①试验中出现结果（基事件）限②基事件出现性相等．
注意：概型种概率模型古典概型区试验结果限特点区域均匀分布机事件概率机事件区域形状位置关值域该区域关果事件区域单点单点长度面积体积均0出现概率0事件果机事件区域全部区域扣单点出现概率1必然事件
综：必然事件概率1事件概率0
概率1事件定必然事件概率0事件定事件
必修4
第章 三角函数（初等函数二）
3角终边相角集合
7弧度制角度制换算公式：．
8扇形圆心角半径弧长周长面积．
9设意角终边意点坐标原点距离．
10三角函数象限符号：第象限全正第二象限正弦正第三象限正切正第四象限余弦正．
11三角函数线：．
Pv
x
y
A
O
M
T
12角三角函数基关系：
15正弦函数余弦函数正切函数图象性质：
函
数
性
质
图象
定义域
值域
值
时
时．
时
时．
值值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增函数
减函数．
增函数
减函数．
增函数．
称性
称中心
称轴
称中心
称轴
称中心
称轴
第二章 面量
16量：方量．
数量：没方量．
线段三素：起点方长度．
零量：长度量．
单位量：长度等单位量．
行量（线量）：方相相反非零量．零量量行．
相等量：长度相等方相量．
17量加法运算：
⑴三角形法特点：首尾相连．
⑵行四边形法特点：起点．
⑶三角形等式：．
⑷运算性质：
①交换律：
②结合律：
③．
⑸坐标运算：设．
18量减法运算：
⑴三角形法特点：起点连终点方指减量．
⑵坐标运算：设．
设两点坐标分．
23面量数量积：
⑴．零量量数量积．
⑵性质：设非零量①．②时反时．③．
⑷坐标运算：设两非零量．
．
设．
设非零量夹角．
第三章 三角恒等变换
24两角差正弦余弦正切公式：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸（）
⑹（）．
25二倍角正弦余弦正切公式：
⑴．
⑵（）．
⑶．
26中．
必修5
第章 解三角形
1正弦定理：中分角边外接圆半径．
2正弦定理变形公式：①
②③
④．
（正弦定理解决两类问题：1已知两边中边角求余量2已知两角边求余量）
3三角形面积公式：．
4余弦定理：中．
5余弦定理推：．
(余弦定理解决问题：1已知两边夹角求余量2已知三边求角)
6判断三角形形状：设角边：①
②③．
附：三角形四心
重心：三角形三条中线交点
外心：三角形三边垂直分线相交点
心：三角形三角分线相交点
垂心：三角形三边高相交点
第二章 数列
11果数列第2项起项前项差等常数数列称等差数列常数称等差数列公差．符号表示注：数列等差数列三种方法：
① ②2() ③(常数
12三数组成等差数列成简单等差数列称等差中项．称等差中项．
13等差数列首项公差．
14通项公式变形：①②③
④⑤．
15等差数列（）等差数列（）．
16等差数列前项公式：①②．③
18果数列第项起项前项等常数数列称等数列常数称等数列公．符号表示：（注：①等数列中会出现值0项②号位值号）
注：数列等数列四种方法：
① ②()
③(非零常数)
④正数列{}成等充条件数列{}（）成等数列
19中间插入数成等数列称等中项．称等中项．（注：出成等）
20等数列首项公．
21通项公式变形：①
22等数列（）等数列（）．
23等数列前项公式：①．②
24意数列{}前项通项关系：
③非零常数列等数列等差数列（非零等数列）
附：数列求常方法
1 公式法适等差等数列转化等差等数列数列
2裂项相消法适中{ }项0等差数列c常数部分理数列含阶数列等
3错位相减法适中{ }等差数列项0等数列
4倒序相加法 类似等差数列前n项公式推导方法
第三章 等式
元二次等式求解：
特例① 元次等式ax>b解讨
②元二次等式ax2+bx+c>0(a>0)解讨
二次函数
（）图象
元二次方程
两相异实根
两相等实根
实根
R
a<0等式先a化正表做
11设两正数称正数算术均数称正数均数．
12均值等式定理： ．
13常基等式：
① ②
③ ④．
14极值定理：设正数：
⑴（定值）时积取值．⑵（积定值）时取值．
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