典型抗量子公钥加密算法分析
摘：量子计算机便种理计算量限台行计算机果采种量子计算机穷举法暴力破解密码时间进行种状态运算现数密码技术产生密文完全破译量子计算机高挂空中达摩克利斯剑威胁抗量子密码算法应运生文研究容典型抗量子公钥加密算法（NTRU公钥加密算法）具体实现中简单介绍该加密算法实现程中需解数学基础包括环项式法项式求逆等阐述NTRU公钥加密算法中公私钥产生加密解密具体流程
关键词：抗量子攻击NTRU公钥加密算法环项式运算密钥生成加密解密
1绪
量子计算机概念早英国牛津学物理学家DavidDeutsch美国科学家RichardFeynman20世纪80年代提出量子理中定义粒子时具数状态采种具备状态粒子进行数学运算时间完成种状态结果运算假设采1粒子表示01两种状态采128样粒子完成时间计算出2128种状态结果量子计算机旦现世计算量现市面存超级计算机计算量完全数量级现代密码体系中种加密算法RSA公钥加密算法（基整数分解数学问题困难性）ECC公钥加密算法（基椭圆曲线离散数问题）完全采量子计算机进行暴力破解现代密码体系安全性遭受重威胁简单说量子计算机够帮助黑客更快闯算法陷门道难关特处10状态典计算机量子计算机够时代表10种状态量子特——谓叠加现象外通谓纠缠现象量子特间够远距离条件相互影响现象作需添加少数额外量子特够计算机处理力呈指数级升拥300量子特量子计算机表达观察宇宙中全部原子总数更值假设量子计算机够克服身特性带某固限制终完全相较短时间测试加密密钥潜排列抗量子加密种新加密方法探索方够利现典计算机实现具足抵御未量子攻击力中种防御方式进步增加数字密钥便持续提升黑客利算力进行暴力破解时需搜索总体排列数量举例说果密钥128位加倍256位够快速增加Grover算法时量子计算机需搜索全部排列数量种方法涉更杂陷门函数意味着Shor样算法难帮助量子计算机成功破解密钥容研究员正探索种样方法包括基格子密码学超奇异构密钥交换等相新奇实现途径具体方法新方法目标尝试种者种够广泛采方法类美国国家标准技术研究院2016年启动项流程旨制定政府量子加密标准目前已初69提案缩26表示初步标准草案会2022年前正式公布加密技术需深深嵌入众系统中标准制定面着巨压力找行途径实现新技术需投入量时间年美国国家科学院研究报告指出业界花十年时间全面推出种够广泛部署加密方法——中然存缺陷考虑量子计算发展速度世界许已没时间应波新安全威胁2017年5月3日世界第台光量子计算机诞生台计算机真正中国制造中国科技学中国科学院阿里巴巴量子计算实验室浙江学中国科学院物理等单位协完成研发2020年12月4日中国科学技术学宣布该校潘建伟等成功构建76光子量子计算原型机九章九章中国科学技术学潘建伟团队中科院海微系统国家行计算机工程技术研究中心合作成功构建76光子量子计算原型机求解数学算法高斯玻色取样需200秒突破国成全球第二（第IBMQSystemOne）实现量子优越性（国外称量子霸权）国家
2NTRU加密算法原理
量子计算机现世够保持机密性暴力破解够抵御出破译旧存活密码称量子密码（PostQuantumCryptography）NTRU（NumberTheoryResearchUnit）加密算法便量子公钥加密算法中典型算法20世纪90年代美国三名数学家密码学家JHoffsteinJPipherJHSilverman首先提出NTRU公钥加密算法NTRU公钥加密算法仅够抵御出现量子计算机暴力破译密码算法基数学问题现市面数采RSAECC椭圆曲线算法更难破解现阶段研究NTRU公钥加密算法基数学困难问题难量子计算机暴力破解仅加解密速度方面NTRU流程相简单步骤简洁运算速度现数加密算法更胜筹公钥系统相容易实现总说理相信量子公钥加密算法（NTRU）完全未公钥密码体系中占导位11NTRU算法参数NTRU公钥加密算法中关键参数三整数参数（Npq）四N1次整数系项式集合该算法加密解密程均项式截断环RZ[X]（XN1）运算整数pq需素数必须满足gcd（pq）1q必须远远p设：L（d1d2）意味着项式F属R项式中d1系数1d2系数1剩余系数均0项式集合：Lf（dfdf1）（1）Lg（dgdg1）（2）Lr（drdr1）（3）Lm定义：m属项式Rm系数位区间（p1）2（p1）2间（4）12密钥生成NTRU公钥加解密程中绝部分运算发生项式截断环RZ[X]（XN1）通解该加密算法加解密流程知加密时需项式h项式r想解密时需私钥f密文项式e相项式a原明文时会私钥f模p逆Fp项式a相解密明文m妨设私钥f项中系数1系数+1数相等均d样扩展欧里算法时简单出私钥f模p逆Fp1通设置私钥f项式中正负系数数提高NTRU加密算法运算速率机生成两次数高N1次项式fg分属LfLgFpFq分项式f模算法参数pq逆需扩展欧里算法FpFq否存进行验证扩展欧里算法：设存整数ab定存整数xy满足：ax+bygcd（ab）（5）b0时存xy组解组解均根组求第组解xy必定存时递算法求b0时返回x1y0根x1y2y1x2k*y2层解断返回原解整数ab扩展项式设存项式a（x）b（x）定存u（x）v（x）满足u（x）a（x）+v（x）b（x）gcd（a（x）b（x））（6）种前提妨设私钥项式fa（x）b（x）（xN1）（x1）（xN1+xN2+……+x+1）代入算出第层项式私钥f模pq逆元基础合理推测存gcd（fxN1）1mod2存项式u（x）项式v（x）满足：u（x）f+v（x）（xN1）1mod2（7）中项式u（x）私钥f项式截断环Z2[X]（XN1）求出逆元私钥f项式截断环Z2[X]（XN1）逆元步步提升模数值提升模qFq私钥f模2情况逆元Fq*f1mod2Fq*f2k+1进行赋值带入新私钥进行运算：Fq*fFq*（2f*Fq）*fFq*f*（2f*Fq）（1+2k）*（212k）（1+2k）*（12k）14k*kmodq（8）计算出私钥f模416256等数值逆元q般选2n推出私钥q模2存逆元模q定存相应逆元综公钥项式h（x）Fq*gmodp私钥项式f（x）13明文加密先机产生明文消息项式m（x）该明文项式属Lm该明文系数超N1次机产生项式r（x）该r（x）项式次数超N1次进行计算e（x）h（x）*r（x）+m（x）modq计算出项式e（x）明文加密产生密文14密文解密密文项式e（x）私钥f进行计算出项式af*emodq计算Fq*amodp计算值明文m项式a系数需限制区间[p2p2]项式参数模q情形会改变正确密文解密
3NTRU算法具体实现
量子计算机发展目前广泛应RSAECC等公钥密码体制构成严重威胁面量子计算机挑战国际掀起抗量子计算公钥密码研究热潮种方案采量子密码DNA密码等基非数学难题新型密码极具潜力新型密码研究处初级阶段深入系统研究完善种方案采基数学难题够抗量子计算攻击密码基量子计算机擅长计算数学问题构造密码便抗量子计算攻击31公私密钥生成生成NTRU公私密钥时需先进行参数选择方便起见已dfdgdr定义dvoidKeyGeneration（intLf[]intU[]intg[]inth[]）函数密钥生成函数通输入LfU项式g生成私钥f公钥h保证私钥f项式中系数11数相f*Fq1mod2NTUR算法原理中知fmod2逆元存fmodq逆元必定出密钥生成函数中需断提高f模值完成密钥生成32明文加密程voidEncryption（inth[]intLr[]intm[]inte[]）通该函数实现输入明文消息项式m加密通具体er*h+mmodq算法密文e33密文解密程voidDecryption（inte[]intLf[]inta[]intFp[]）通该函数实现加密密文e解密运行该函数时首先需先进行af*emodq运算该项式系数位[p2p2]间计算amod结果明文m34实现界面选取参数Npq分11332加解密结果图1示
4总结
项式模运算中求逆元运算直接选择模q运算较困难代码实现起复杂会密钥生成速度够快捷选择模2求逆步步提升模q求逆元（q取值般n正整数）样密钥生成够更快捷完成提升整算法实现高效性截断项式环项式运算直接外部进行运算较耗费时间环RZ[X]（XN1）两项式运算（例项式模加模模逆运算）直接分解具体功函数简化算法具体加解密实现流程体现该算法实现高效性NTRU加密算法十全十美旧存着解密错误问题通断选择合适参数测试出错概率出参数Nq均解密成功性具定影响具体代码实现NTRU加解密程中力足编程水限够特明显优化该算法实现程相信着该领域断探索学未定会出现更高效加解密实现方式典型量子公钥加密算法中NTRU加密算法具备着重潜力够抵抗量子计算机量子分析未定会成公钥加密算法体系热点
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摘：量子计算机便种理计算量限台行计算机果采种量子计算机穷举法暴力破解密码时间进行种状态运算现数密码技术产生密文完全破译量子计算机高挂空中达摩克利斯剑威胁抗量子密码算法应运生文研究容典型抗量子公钥加密算法（NTRU公钥加密算法）具体实现中简单介绍该加密算法实现程中需解数学基础包括环项式法项式求逆等阐述NTRU公钥加密算法中公私钥产生加密解密具体流程
关键词：抗量子攻击NTRU公钥加密算法环项式运算密钥生成加密解密
1绪
量子计算机概念早英国牛津学物理学家DavidDeutsch美国科学家RichardFeynman20世纪80年代提出量子理中定义粒子时具数状态采种具备状态粒子进行数学运算时间完成种状态结果运算假设采1粒子表示01两种状态采128样粒子完成时间计算出2128种状态结果量子计算机旦现世计算量现市面存超级计算机计算量完全数量级现代密码体系中种加密算法RSA公钥加密算法（基整数分解数学问题困难性）ECC公钥加密算法（基椭圆曲线离散数问题）完全采量子计算机进行暴力破解现代密码体系安全性遭受重威胁简单说量子计算机够帮助黑客更快闯算法陷门道难关特处10状态典计算机量子计算机够时代表10种状态量子特——谓叠加现象外通谓纠缠现象量子特间够远距离条件相互影响现象作需添加少数额外量子特够计算机处理力呈指数级升拥300量子特量子计算机表达观察宇宙中全部原子总数更值假设量子计算机够克服身特性带某固限制终完全相较短时间测试加密密钥潜排列抗量子加密种新加密方法探索方够利现典计算机实现具足抵御未量子攻击力中种防御方式进步增加数字密钥便持续提升黑客利算力进行暴力破解时需搜索总体排列数量举例说果密钥128位加倍256位够快速增加Grover算法时量子计算机需搜索全部排列数量种方法涉更杂陷门函数意味着Shor样算法难帮助量子计算机成功破解密钥容研究员正探索种样方法包括基格子密码学超奇异构密钥交换等相新奇实现途径具体方法新方法目标尝试种者种够广泛采方法类美国国家标准技术研究院2016年启动项流程旨制定政府量子加密标准目前已初69提案缩26表示初步标准草案会2022年前正式公布加密技术需深深嵌入众系统中标准制定面着巨压力找行途径实现新技术需投入量时间年美国国家科学院研究报告指出业界花十年时间全面推出种够广泛部署加密方法——中然存缺陷考虑量子计算发展速度世界许已没时间应波新安全威胁2017年5月3日世界第台光量子计算机诞生台计算机真正中国制造中国科技学中国科学院阿里巴巴量子计算实验室浙江学中国科学院物理等单位协完成研发2020年12月4日中国科学技术学宣布该校潘建伟等成功构建76光子量子计算原型机九章九章中国科学技术学潘建伟团队中科院海微系统国家行计算机工程技术研究中心合作成功构建76光子量子计算原型机求解数学算法高斯玻色取样需200秒突破国成全球第二（第IBMQSystemOne）实现量子优越性（国外称量子霸权）国家
2NTRU加密算法原理
量子计算机现世够保持机密性暴力破解够抵御出破译旧存活密码称量子密码（PostQuantumCryptography）NTRU（NumberTheoryResearchUnit）加密算法便量子公钥加密算法中典型算法20世纪90年代美国三名数学家密码学家JHoffsteinJPipherJHSilverman首先提出NTRU公钥加密算法NTRU公钥加密算法仅够抵御出现量子计算机暴力破译密码算法基数学问题现市面数采RSAECC椭圆曲线算法更难破解现阶段研究NTRU公钥加密算法基数学困难问题难量子计算机暴力破解仅加解密速度方面NTRU流程相简单步骤简洁运算速度现数加密算法更胜筹公钥系统相容易实现总说理相信量子公钥加密算法（NTRU）完全未公钥密码体系中占导位11NTRU算法参数NTRU公钥加密算法中关键参数三整数参数（Npq）四N1次整数系项式集合该算法加密解密程均项式截断环RZ[X]（XN1）运算整数pq需素数必须满足gcd（pq）1q必须远远p设：L（d1d2）意味着项式F属R项式中d1系数1d2系数1剩余系数均0项式集合：Lf（dfdf1）（1）Lg（dgdg1）（2）Lr（drdr1）（3）Lm定义：m属项式Rm系数位区间（p1）2（p1）2间（4）12密钥生成NTRU公钥加解密程中绝部分运算发生项式截断环RZ[X]（XN1）通解该加密算法加解密流程知加密时需项式h项式r想解密时需私钥f密文项式e相项式a原明文时会私钥f模p逆Fp项式a相解密明文m妨设私钥f项中系数1系数+1数相等均d样扩展欧里算法时简单出私钥f模p逆Fp1通设置私钥f项式中正负系数数提高NTRU加密算法运算速率机生成两次数高N1次项式fg分属LfLgFpFq分项式f模算法参数pq逆需扩展欧里算法FpFq否存进行验证扩展欧里算法：设存整数ab定存整数xy满足：ax+bygcd（ab）（5）b0时存xy组解组解均根组求第组解xy必定存时递算法求b0时返回x1y0根x1y2y1x2k*y2层解断返回原解整数ab扩展项式设存项式a（x）b（x）定存u（x）v（x）满足u（x）a（x）+v（x）b（x）gcd（a（x）b（x））（6）种前提妨设私钥项式fa（x）b（x）（xN1）（x1）（xN1+xN2+……+x+1）代入算出第层项式私钥f模pq逆元基础合理推测存gcd（fxN1）1mod2存项式u（x）项式v（x）满足：u（x）f+v（x）（xN1）1mod2（7）中项式u（x）私钥f项式截断环Z2[X]（XN1）求出逆元私钥f项式截断环Z2[X]（XN1）逆元步步提升模数值提升模qFq私钥f模2情况逆元Fq*f1mod2Fq*f2k+1进行赋值带入新私钥进行运算：Fq*fFq*（2f*Fq）*fFq*f*（2f*Fq）（1+2k）*（212k）（1+2k）*（12k）14k*kmodq（8）计算出私钥f模416256等数值逆元q般选2n推出私钥q模2存逆元模q定存相应逆元综公钥项式h（x）Fq*gmodp私钥项式f（x）13明文加密先机产生明文消息项式m（x）该明文项式属Lm该明文系数超N1次机产生项式r（x）该r（x）项式次数超N1次进行计算e（x）h（x）*r（x）+m（x）modq计算出项式e（x）明文加密产生密文14密文解密密文项式e（x）私钥f进行计算出项式af*emodq计算Fq*amodp计算值明文m项式a系数需限制区间[p2p2]项式参数模q情形会改变正确密文解密
3NTRU算法具体实现
量子计算机发展目前广泛应RSAECC等公钥密码体制构成严重威胁面量子计算机挑战国际掀起抗量子计算公钥密码研究热潮种方案采量子密码DNA密码等基非数学难题新型密码极具潜力新型密码研究处初级阶段深入系统研究完善种方案采基数学难题够抗量子计算攻击密码基量子计算机擅长计算数学问题构造密码便抗量子计算攻击31公私密钥生成生成NTRU公私密钥时需先进行参数选择方便起见已dfdgdr定义dvoidKeyGeneration（intLf[]intU[]intg[]inth[]）函数密钥生成函数通输入LfU项式g生成私钥f公钥h保证私钥f项式中系数11数相f*Fq1mod2NTUR算法原理中知fmod2逆元存fmodq逆元必定出密钥生成函数中需断提高f模值完成密钥生成32明文加密程voidEncryption（inth[]intLr[]intm[]inte[]）通该函数实现输入明文消息项式m加密通具体er*h+mmodq算法密文e33密文解密程voidDecryption（inte[]intLf[]inta[]intFp[]）通该函数实现加密密文e解密运行该函数时首先需先进行af*emodq运算该项式系数位[p2p2]间计算amod结果明文m34实现界面选取参数Npq分11332加解密结果图1示
4总结
项式模运算中求逆元运算直接选择模q运算较困难代码实现起复杂会密钥生成速度够快捷选择模2求逆步步提升模q求逆元（q取值般n正整数）样密钥生成够更快捷完成提升整算法实现高效性截断项式环项式运算直接外部进行运算较耗费时间环RZ[X]（XN1）两项式运算（例项式模加模模逆运算）直接分解具体功函数简化算法具体加解密实现流程体现该算法实现高效性NTRU加密算法十全十美旧存着解密错误问题通断选择合适参数测试出错概率出参数Nq均解密成功性具定影响具体代码实现NTRU加解密程中力足编程水限够特明显优化该算法实现程相信着该领域断探索学未定会出现更高效加解密实现方式典型量子公钥加密算法中NTRU加密算法具备着重潜力够抵抗量子计算机量子分析未定会成公钥加密算法体系热点
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