用量子力学PPT课件

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1. （3）光子的动量光子不仅具有确定的能量 E = hv，而且具有动量。根据相对论知，速度为 V 运动的粒子的能量由右式给出：对于光子，速度 V = C，欲使上式有意义，必须令 0 = 0,即光子静质量为零。根据相对论能动量关系：总结光子能量、动量关系式如下：把光子的波动性和粒子性联系了起来
2. （三）驻波条件为了克服 Bohr 理论带有人为性质的缺陷， de Broglie 把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。例如：氢原子中作稳定圆周运动的电子相应的驻波示意图要求圆周长是波长的整数倍于是角动量：de Broglie 关系代入无能量传播
3. 作业 :试述德布鲁意假定，并写出一个证实这个假定的实验；如果一个自由电子具有100 ev的动能，求其德布鲁意波长。已知：
4. 物质粒子也具有波粒二象性，其描述波的物理量和粒子的动量与能量的关系为戴维逊，革末的电子衍射实验首先直接证明了这个假设 P = h/λ  λ= h/p
5. 三维情况：其中注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。
6. 作业
7. (2) 粒子的状态由未归一化的波函数描述，请问测量该粒子的坐标位于到之间的几率是多少？
8. (2)(1)1.4.6
9. （二）动量空间（表象）的波函数波函数Ψ (r,t) 可用各种不同动量的平面波表示，下面我们给出简单证明。展开系数令则 Ψ可按Фp 展开
10. 1. 粒子的状态由归一化的波函数描述，请问 a) 测量该粒子的坐标位于x1到x2之间的几率是多少？ b）测量该粒子动量的x分量位于P1到P2之间的几率是多少作业
11. 坐标位于到之间的几率 b) 动量的x分量位于到之间的几率其中
12. 比较上面二式得两点结论：体系状态用坐标表象中的波函数 ψ(r) 描写时，坐标 x 的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：三维情况：
13. （2）动能算符
14. （3）角动量算符
15. 作业 1. 一维谐振子处在如下归一化基态，求（1）动量的几率分布函数（2）动能的平均值；
16. （1）
17. 动量几率分布函数为：
18. （2）
19. （2）几率流密度与时间无关
20. 作业1.什么是定态？某一量子态的波函数为, 问：这个态是否定态?
21. 定态由波函数描述，状态的能量有确定值，在定态中几率密度和几率流密度不随时间而变是定态
22. 2.写出定态薛定谔方程，设有一维粒子处在本征波函数：描述的态中运动，其中为已知常数，且有试求位势和能量 E。
23. 由S.eq：所以得
24. 作业粒子在一维无限深势阱　　　　　　　　　　　　　　中运动。试： 1）写出粒子的定态能级和波函数； 2）若某时刻粒子处于状态：求粒子能量的可能值及相应的几率；
25. （1）定态能级和波函数（2）波函数可用本征函数展开为：处在态上的几率是这时能量是处在态上的几率是这时能量是。原2a对称势阱结果导出
26. 厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：从上式出发，可导出厄密多项式的递推关系：应用实例例：已知 H0 = 1, H1=2ξ，则根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2下面给出前几个厄密多项式具体表达式： H0=1 H2=4ξ2-2 H4 = 16ξ4-48ξ2+12 H1=2ξ H3=8ξ3-12ξ H5=32ξ5-160ξ3+120ξ基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的递推关系：
27. 求解小结：
28. （三）实例解：（1）三维谐振子 Hamilton 量例1. 求三维谐振子各向同性能级，并讨论它的简并情况
29. （2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值为：则波函数三方向的分量分别满足如下三个方程：因此，设能量本征方程的解为：如果系统 Hamilton 量可以写成则必有：
30. （3）简并度当 N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一N值的 n1, n2, n3 有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下：当n1 , n2 确定后， n3 = N - n1 - n2，也就确定了，不增加不同组合的数目。故对给定N，{n1 , n2, n3 }可能组合数即简并度为：
31. 解：Schrodinger方程：求能量本征值和本征函数。例2. 荷电 q 的谐振子，受到沿 x 向外电场  的作用，其势场为：（1）解题思路势V(x)是在谐振子势上叠加上-q  x项，该项是x 的一次项，而振子势是二次项。如果我们能把这样的势场重新整理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的线性谐振子的结果。
32. （2）改写 V(x)
33. （3）Hamilton量进行坐标变换：则 Hamilton 量变为：
34. 作业1.求一维谐振子在第一激发态下找到粒子几率最大的位置。 2. 粒子在二维谐振子势中运动。求： 1）粒子的定态能级和相应的波函数； 2）讨论最低的三个能级的简并度；
35. 3.粒子在半壁一维谐振子势阱中运动。试：）利用一维谐振子势阱问题的解，考虑波函数的连续性，写出本问题中粒子的定态能级和归一化的波函数。 2）求本问题的基态时找到粒子几率最大的位置。（已知：一维谐振子波函数为：）
36. 1.2.（1）定态能级和相应的波函数（2）J=简并度
37. 3．（1）定态能级和归一化的波函数（2）找到粒子几率最大的位置
38. 量子力学中最基本的对易关系。若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ，则称 Ô 和 Û 反对易。写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。注意：当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。例如：
39. （6）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0 上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
40. (11)厄密共轭算符由此可得：:转置算符的定义厄密共轭算符亦可写成：算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô+ 定义:可以证明: (Ô Â)+ = Â+ Ô+ (Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â+ Ô+
41. 作业试述厄密算符的定义。如果都是厄密算符，请判断算符和是否厄密算符？2. 求对易关系
42. 若算符满足则为厄密算符为厄密算符；不是厄密算符。 1.2.
43. （二）角动量算符（1）角动量算符的形式根据量子力学基本假定III，量子力学角动量算符为:(I) 直角坐标系角动量平方算符经典力学中，若动量为 p，相对点O 的位置矢量为 r 的粒子绕 O 点的角动量是：由于角动量平方算符中含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此我们采用球坐标较为方便.222
44. 将上面结果代回原式得：则角动量算符在球坐标中的表达式为：
45. 求归一化系数正交性：合记之得正交归一化条件：最后得 Lz 的本征函数和本征值：
46. （3）角动量算符的对易关系证：
47. 小结：
48. 由角动量对易关系：代入平均值公式：同理：例1：证明在 LZ 本征态 Ylm 下，<Lx> = <Ly> = 0
49. 例2：已知空间转子处于如下状态:试问：（1）Ψ是否是 L2 的本征态？（2）Ψ是否是 Lz 的本征态？（3）求 L2 的平均值；（4）在 Ψ 态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的可能值及其相应的几率。
50. 解： Ψ 没有确定的 L2 的本征值，故 Ψ 不是 L2 的本征态。
51. Ψ是 Lz 的本征态，本征值为 。（3）求 L2 的平均值方法 I验证归一化：
52. 归一化波函数方法 II（4）
53. 作业：设是角动量算符的共同本征函数，请问：是动量算符，是角动量算符。求对易关系2.
54. 设是角动量算符的共同本征函数，请问：状态是否的本征函数？若是，写出各自的本征值，若不是写出平均值。3
55. 1.2.它是角动量算符的本征态，本征值为它不是的本征态，的平均值为零3
56. （1）正交性定理III：厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交证：设取复共轭，并注意到 Fm 为实。两边右乘 φn 后积分二式相减得：若Fm≠Fn，则必有：（三）厄密算符的本征函数的正交性[证毕]
57. 展开系数 cn与x无关。由于φn(x)组成完备系，所以体系任一状态ψ(x)可按其展开：为求 cn ，将φm*(x) 乘上式并对 x 积分得：讨论：与波函数ψ(x) 按动量本征函数展开式比较二者完全相同我们知道：ψ(x) 是坐标空间的波函数； c (p) 是动量空间的波函数；则 { cn } 则是 F 空间的波函数，三者完全等价。
58. 量子力学基本假定IV综上所述，量子力学作如下假定：任何力学量算符 F 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系，在任意已归一态ψ(x)中测量力学量 F 得到本征值λn 的几率等于ψ(x)按φn(x)展开式：中对应本征函数φn(x)前的系数 cn 的绝对值平方。
59. 粒子在一维谐振子势中运动，处于下列归一化波函数所描述的状态：其中为一维谐振子能量本征态。2）粒子能量的可能值，相应的几率和能量的平均值；1）求叠加系数作业：
60. 叠加系数满足
61. 定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。例 1：例 2：后续章节讲解
62. 例 3：例 4：
63. （1）测不准关系的严格推导证：II . 测不准关系的严格推导设二厄密算符对易关系为：是算符或普通数测不准关系
64. 对任意实数  均成立由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：两个不对易算符均方偏差关系式测不准关系均方偏差其中：
65. （二）坐标和动量的测不准关系表明：在任何状态下，坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。（1）测不准关系
66. （2）线性谐振子的零点能振子能量被积函数是x 的奇函数n 为实处 n =0于是：
67. 二均方偏差不能同时为零，故 E 最小值也不能是零。为求 E 的最小值，取式中等号。则：
68. 求极值：解得：因均方偏差不能小于零，故取正零点能就是测不准关系所要求的最小能量
69. 例1：利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下，〈Lx〉= 〈Ly〉= 0证：由于在 Lz 本征态 Ylm 中，测量力学量 Lz 有确定值，所以Lz 均方偏差必为零，即则测不准关系：平均值的平方为非负数欲保证不等式成立，必有：同理：作业
70. 例2：L2，LZ 共同本征态 Ylm 下，求测不准关系：解：由例1 可知：
71. 由对易关系：等式两边右乘 Lx 将上式两边在 Ylm 态下求平均：
72. 将上式两边在 Ylm 态下求平均：则测不准关系：
73. 下面列出了前几个径向波函数 R n l 表达式：
74. （1）本征值和本征函数（2）能级简并性能量只与主量子数 n 有关，而本征函数与 n, , m 有关，故能级存在简并。当 n 确定后， = n - nr- 1，所以  最大值为 n - 1。当  确定后，m = 0,±1,±2,...., ±。共 2 + 1 个值。所以对于 E n 能级其简并度为：即对能量本征值En由 n2 个本征函数与之对应，也就是说有 n2 个量子态的能量是 En。 n = 1 对应于能量最小态，称为基态能量，E1 =μZ2 e4 / 2 2，相应基态波函数是 ψ100 = R10 Y00，所以基态是非简并态。当 E < 0 时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。n = nr+  + l  = 0,1,2,... nr = 0,1,2,...（五）总结有心力场下
75. 小结：有心力场
76. 氢原子相对运动定态Schrodinger方程问题的求解上一节已经解决，只要令： Z = 1,  是折合质量即可。于是氢原子能级和相应的本征函数是：（二）氢原子能级和波函数
77. （2）波函数和电子在氢原子中的几率分布1.氢原子的波函数将上节给出的波函数取 Z=1,μ用电子折合质量，就得到氢原子的波函数：
78. 作业1. 氢原子处在状态其中为归一化的径向波函数，为球谐函数。求：测量该氢原子的能量E，角动量平方，角动量的z分量的可能值，相应几率以及这些力学量的平均值。
79. 1. 是能量的本征态，测量能量有确定值也是角动量平方的本征态，测量动量平方有确定值
80. 习题：氢原子处在基态求： (1) r 的平均值； (2)势能 (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。的平均值；
81. (1)
82. (本页无文本内容)
83. (3) 电子出现在r+dr球壳内出现的几率为令当为几率最小位置是最可几半径。
84. (4)
85. (5)
86. 动量几率分布函数
87. 在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。动量本征函数：组成完备系，任一状态Ψ可按其展开展开系数（一）动量表象
88. （1）具有分立本征值的情况设算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函数展开：若Ψ, un都是归一化的，则 an(t) 也是归一化的。
89. 在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵表示：归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
90. 坐标表象：Q表象：假设只有分立本征值，将Φ, Ψ按{un(x)}展开：两边左乘 u*n(x) 并对 x 积分Q表象的表达方式代入（一）力学量算符的矩阵表示
91. F 在 Q 表象中是一个矩阵， Fnm 是其矩阵元Φ=FΨ简写成写成矩阵形式
92. 写成矩阵例 1：求 Lx 在 L2, Lz 共同表象，=1子空间中的矩阵表示。令：　u1 = Y11 u2 = Y10 , u3 = Y1-1 Lx矩阵是3×3矩阵计算中使用了公式由此得Lx矩阵元(Lx)11 = (Lx)22 = (Lx)33 = 0 (Lx)13 = (Lx)31 = 0 (Lx)12 = (Lx)21 = (Lx)23 = (Lx)32 =  /21/2Lz在自身表象中具有最简单形式，是一个对角矩阵，对角元素就是 Lz的本征值。同理可得Ly Lz则 Lx 的矩阵元可如下计算：
93. （2）力学量算符在自身表象中的形式Q的矩阵形式结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。
94. 坐标表象平均值公式在Q表象中式右写成矩阵相乘形式简写成（一）平均值公式
95. 例1： Â 本征函数 um(x) 在自身表象中的矩阵表示。同样将 um(x) 按 Â 的本征函数展开：显然有所以 um(x) 在自身表象中的矩阵表示如下：例如： L2, Lz的共同本征函数 Y11, Y10, Y1-1.在 L2, Lz 的共同表象中的矩阵形式就特别简单。例2：求 Lx本征态在 Lz表象中的矩阵表示，只讨论(=1)情况。Lx的本征方程为：解欲得a1, a2, a3 不全为零的解，必须要求系数行列式等于零λ(-λ2 + 2) = 0 解得本征值λ= 0, ±.
96. 取λ= 代入本征方程得：解得：a1=(1/21/2) a2 a3=(1/21/2) a2 由归一化条件定 a2为简单计取实数同理得另外两个本征值相应本征函数则 =1, Lx =  的本征态可记为：
97. （1）右矢空间前面已经讲过，一个状态通过一组力学量完全集的测量（完全测量）来确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。例如：一维线性谐振子其状态由量子数 n 确定，记为ψn(x)；氢原子的状态由量子数n, l, m 确定，记为ψn l m( r,, )，如此等等。在抽象表象中 Dirac 用右矢空间的一个矢量 | >与量子状态相对应，该矢量称为右矢。|n >  ψn(x)； |n, l, m >  ψn l m 状态 |n > 和 ψn(x) 亦可分别记成 |ψn > 和 |ψn l m >。对力学量的本征态可表示为 |x>, |p>, |Qn> ... 等。(二)态矢量
98. 因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。例如：
99. （3）伴矢量|ψ > 和 <ψ |的关系|ψ >按 Q 的右基矢 |Qn > 展开 |ψ > = a1 |Q1 > + a2 |Q2 > + ... + an |Qn > + ... 展开系数即相当于 Q 表象中的表示：<ψ| 按 Q 的左基矢 <Qn | 展开： <ψ| = a*1 <Q1 | + a*2 <Q2 | + ... + a*n <Qn | + ... 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： ψ+ = (a*1, a*2, ..., a*n, ... )同理某一左矢量 <φ| 亦可按 Q 的左基矢展开： <φ| = b*1 <Q1 | + b*2 <Q2 | +... + b*n <Qn | + ... 定义|ψ>和 <φ| 的标积为：
100. 显然 <φ|ψ>* = <ψ|φ> 这就是用Dirac 表示的波函数归一化条件。由标积定义得:本征态的正交归一化条件可写为：由此可以看出 |ψ> 和 <ψ|的关系：1）在同一确定表象中，各分量互为复共轭； 2）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加； 3）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。

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