高三数学试题卷（四页）——第 1 页
第学期期末调研测试卷
高三数学
注意事项：
1．科目考试分试题卷答题卷考生须答题纸作答．
2．试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分 4 页全卷满分 150
分考试时间 120 分钟．
第 Ⅰ 卷 （选择题 40 分）
选择题（题 10 题题 4 分 40 分．题出四选项中
项符合题目求）
1 集合  21  xxA 集合  | 2 2 4xB x   A B 
A  1 2 B  1 2 C  0 2 D  0 2
2 已知复数
i21
i24

z （ i 虚数单位）复数 z 模 z
A．1 B． 2 C． 2 D． 4
3 已知等差数列 na 公差 2 1 3 4a a a 成等数列 2a 
A 4 B 6 C 8 D 10
4 实数 x y 满足约束条件
1
0
0
y
y x
y x

  
  
目标函数 1yz x
  0x 取值范围
A ( 22) B ( 2) (2 )   C ( 2] [2 )   D [ 22]
5 Rx 13 x 1x 
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充条件 D 充分必条件
6已知双曲线
22
116 4
yx   左右焦点分 1 2F F 2F 直线l 交双曲线 QP 两
点 PQ 长 5 1PQF 周长
A 13 B 18 C 21 D 26高三数学试题卷（四页）——第 2 页
7 已知离散型机变量 满足二项分布 ~ (3 )B p p  10 增时
A． ( )D  减 B． ( )D  增
C． ( )D  先减增 D． ( )D  先增减
8 已知函数
22 0
( ) 1 0
x x x
f x
xx
    
函数 ( ) ( )g x f x x m   恰三零点实数 m
取值范围
A 1( 2) ( 0]4
   B 1(2 ) [0 )4
 
C 1( 2 ] [0 )4
   D 1( 2) [0 )4

9 已知实数 a b c 满足 2 2 22 1a b c   2ab c 值
A 3
4 B 9
8 C 1 D 4
3
10 三棱锥 ABCS  中 ABC 正三角形设二面角 CABS  ABCS 
BCAS  面角分 ( )2
       面结正确
A
1 1 1
tan tan tan    值负数 B 3
2
    
C       D
1 1 1
tan tan tan    值恒正数
第 Ⅱ 卷 （非选择题部分 110 分）
注意事项：
钢笔签字笔试题卷中题目做答题卷做试题卷效．
二填空题（题 7 题空题题 6 分单空题题 4 分 36 分）
11．某体三视图图示（单位：cm）该体体
积 ▲ cm3表面积 ▲ cm2高三数学试题卷（四页）——第 3 页
12．二项式
61 



 
xx 展开式中常数项等 ▲ 理项 ▲ 项
13 已知直线  R mmyx 2 椭圆 159
22
 yx 相交 BA 两点 AB
值 ▲
7
30AB 实数 m 值 ▲
14．设 ABC 三边 a b c 角分 A B C 2 2 23b a c  tan
tan
C
B  ▲
Atan 值 ▲
15．现 5 编号球中黑色球 2 白色球 2 红色球 1 机排
成列相颜色球相邻概率 ▲
16．意 ]1[ ex 关 x 等式  R axaaxaxx lnln 2 恒成立实数 a
取值范围 ▲
17．正方形 ABCD 边长 2 E M 分 BC AB 中点点 P C 圆心CE
半径圆动点点 N 正方形 ABCD 边运动 PNPM  值 ▲
三解答题（题 5 题 74 分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．）
18．(题满分 14 分)
已知函数  
4
1
3sinsin 



  xxxf  Rx
(Ⅰ)求 




3
f 值  xf 正周期
(Ⅱ)设锐角 ABC 三边 a b c 角分 A B C
4
1
2




 Af 2a 
求b c 取值范围高三数学试题卷（四页）——第 4 页
19．(题满分 15 分)
图三棱锥 ABCD  中 AD CD 4 2AB BC  BCAB 
(Ⅰ)求证： AC BD
(Ⅱ)二面角 D AC B  150 4 7BD  时
求三角形 DBC 中线 BM 面 ABC 成角正弦值
20．(题满分 15 分)
已知 nS 数列 na 前 n项已知 11 a  1 2n nnS n S   Nn
(Ⅰ)求数列 na 通项公式
(Ⅱ)设     Nnn
ab nn
n 14
41 2 数列 nb 前 n 项 nP
11 2020nP   求正整数 n 值
21．(题满分 15 分)
已知点 F 抛物线C 2 4y x 焦点直线l 抛物线C 相切点  0 0P x y （ 0 0y  ）
连接 PF 交抛物线点 A 点 P 作l 垂线交抛物线C 点 B
(Ⅰ) 10 y 求直线l 方程
(Ⅱ)求三角形 PAB 面积 S 值
22．(题满分 15 分)
已知函数     xxxxf a lnlog 2   1a
（Ⅰ）求证：  f x  1 + 单调递增
（Ⅱ）关 x 方程   1f x t  区间  0 三零点求实数t 值
（Ⅲ）意  aaxx 1
21
     1e21  xfxf 恒成立（ e 然数底
数）求实数 a 取值范围
A
B
C
D
M1
第学期期末高三调研测试
数学参考答案评分标准
选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C B C A D D A B D
二填空题：
1156 2876  12 15 4 13
3
10 1 14 22 4
15 2
5 16  1 17 51
三解答题：
18．(题满分 14 分)
已知函数  
4
1
3sinsin 



  xxxf  Rx ．
(Ⅰ)求 




3
f 值  xf 正周期
(Ⅱ)设锐角 ABC 三边 a b c 角分 A B C
4
1
2




 Af 2a 
求b c 取值范围．
解：(Ⅰ)   3 3 1 1
3 2 2 4 2   f 2 分
  23 3 31 cos21 1 1 1 1sin sin cos sin sin cos sin 22 2 4 2 2 4 4 4 4
            
xf x x x x x x x x
 1 sin 22 6  x 5 分
 xf 正周期 6 分
(Ⅱ)(Ⅰ)知      1 1 1sin sin2 2 6 4 6 2      Af A A A ABC 角
6 6  A

3 A 8 分
   22 4 4 4sin sinsin sin sin 32 3 3 3sinsin 33
        



a b c c b B c BA B C B

   32 34 4sin sin sin cos 4sin3 2 2 63 3
              
 b c B B B B B 10 分2
ABC 锐角三角形
0 2
6 220 3 2
     
    

 
 
B
B
C B
12 分
 2
6 3 3   B 2 3 4  b c 14 分
19．(题满分 15 分)
图三棱锥 ABCD  中 AD CD 4 2AB BC  BCAB 
(Ⅰ)求证： AC BD
(Ⅱ)二面角 D AC B  150 4 7BD  时
求三角形 DBC 中线 BM 面 ABC 成角正弦值
(Ⅰ)证明：取 AC 中点O 连 BO DO AD CD AB BC  AC BO AC DO BO DO
面 BOD  BO DO O AC 面 BOD BD 面 BOD AC BD 6 分
(Ⅱ)(Ⅰ)知 BOD 二面角 D AC B  面角 150BOD   8 分
AC 面 BOD 知面 BOD  面 ABC 面 BOD 作 Oz OB Oz  面 ABC
图建系易 4OB  BOD 中余弦定理 4 3OD  点坐标
     0 4 0 4 0 0 0 4 0A B C  6 0 2 3D   3 2 3M   7 2 3BM  
12 分
面 ABC 法量  0 0 1n  13 分
BM 面 ABC 成角正弦值 3 42sin 2856
n BM
n BM
   

 

  15 分
解：(Ⅰ)知 BOD 二面角 D AC B  面角 150BOD   8 分
作 DP BO P AC 面 BOD 知 DP  面 ABC 30DOP   易 4OB 
BOD 中余弦定理 4 3OD  sin 2 3DP DO DOP   10 分
M DC 中点 M 面 ABC 距离 1 32d DP  11 分
4 7 8 4 2BD DC BC   2 2 2 5 14cos 2 28
BD BC CDDBC BD BC
   
2 21 1 2 2 142 2BM BM BD BC BD BC BD BC            
 13 分
BM 面 ABC 成角正弦值 3 42sin 282 14
d
BM    15 分
A
B
C
D
M3
20．(题满分 15 分)
已知 nS 数列 na 前 n项已知 11 a  1 2n nnS n S   Nn
(Ⅰ)求数列 na 通项公式
(Ⅱ)设     Nnn
ab nn
n 14
41 2 数列 nb 前 n 项 nP
11 2020nP   求正整数 n 值
解：(Ⅰ)   1
1
22 

   n
n n
n
S nnS n S S n
1 分
2n 时 1 2 34 2
1
1 2 3 3 2 1
 
  
       n n n
n
n n n
S S S SS SS SS S S S S S
 11 1 5 34 11 2 3 3 2 1 2
           
n nn n n
n n n 3 分
1 1 1 S a 成立  1
2
n
n nS 5 分
2n 时    
1
1 1
2 2
     n n n
n n n na S S n 1 1a 成立 na n 7 分
(Ⅱ)(Ⅰ)知      2
4 1 11 1 2 1 2 14 1
     
n n
n
nb n nn
10 分
     1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 13 3 5 5 7 2 1 2 1 2 1                 
n n n
nP n n n
12 分
20191 11 2 1 2020 2    nP nn 14 分
n值1010 15 分
21．(题满分 15 分)
已知点 F 抛物线 C 2 4y x 焦点直线l 抛物线C 相切点  0 0P x y （ 0 0y  ）连接 PF 交
抛物线点 A 点 P 作l 垂线交抛物线C 点 B
(Ⅰ) 10 y 求直线l 方程
(Ⅱ)求三角形 PAB 面积 S 值
解：(Ⅰ) 0 1y  1 14P 
  
1 分
设直线l 方程   11 4t y x   2 分
 
2
11 4
4
t y x
y x
   
 
2 4 4 1 0y ty t    3 分
直线 l 抛物线C 相切  216 4 4 1 0t t     解 1
2t  4 分
求直线l 方程  1 112 4y x   12 2y x  5 分4
方法二： 0 1y  1 14P 
  
切线直线l 方程  0 02y y x x  12 4y x    
5 分
(Ⅱ)设切线l 方程  0 0t y y x x  
2
1
14
yA y 
  

2
2
24
yB y 
  

A F P三点线 FA FP
 
2
1
114
yFA y    

2
0
014
yFP y   
 

化简 1 0 4y y   6 分
2
0 0
4 4A y y
  
 
7 分
 0 0
2 4
t y y x x
y x
    
2
0 04 4 4 0y ty ty x   
直线 l 抛物线C 相切 02 4y t 0
2
yt  8 分
直线 PB 方程  0
0 02
yy y x x   
3
0
0 02 2 04
yy x y y   
点 A 直线 PB 距离
 
3
0 220
00
2 2
0 0 0
4 2 44
4 4 4
yy yyd
y y y
  
 
  
10 分

3
0
0 0
2
2 2 04
4
yy x y y
y x
    
 
 2 3
0 0 08 8 0y y y y y    0 2
0
8y y y
   2 0
0
8y yy
  
2 0 02 2
0 0 0
4 4 81 1 2PB y y yy y y
        12 分
 22
0
022
0 00 0
41 1 4 81 22 2 4 4PAB
y
S d PB yy yy y


      
 
32
0
0
41
4
y
y
   
 
14 分
33
0 0
0 0
1 4 1 42 164 4y yy y
             
等号成立仅 0
0
4y y
 0 2y  时等号成立
时三角形 PAB 面积 S 值1615 分5
22．(题满分 15 分)
已知函数     xxxxf a lnlog 2   1a
（Ⅰ）求证：  f x  1 + 单调递增
（Ⅱ）关 x 方程   1f x t  区间  0 三零点求实数t 值
（Ⅲ）意  aaxx 1
21
     1e21  xfxf 恒成立（ e 然数底数）求实数 a
取值范围
解：（Ⅰ）   1 1＇ 1 +2log lnaf x xx x a
   2 分
1 1a x    1 1＇ 1 +2log 0lnaf x xx x a
    3 分
 f x  1 + 单调递增 4 分
(II) 0 1x  时分 11 <0x
 12log 0lna x x a
 
 ＇ 0f x  5 分
结合第（I）题    min 1f x f 6 分
 1 1 1t f
2t 8 分
（Ⅲ）(II)知  f x 11a   单调递减 1 a 单调递增
      1
max max f x f a f a 9 分
   1f a f a  1 2lna a a  
令   1 2lng x x x x    
2
2 2 1＇ 1 1 0g x x x x
         
   1 0g a g 
   maxf x f a 11 分
       1
1 2 1 2 max 1 lnx x a a f x f x f a f a a        
需 ln 1a a e   13 分
  lnh x x x  单调性
解1 a e  15 分

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