1
2020 届高三年级学期开学考试理科数学试题
选择题：题 12 题题 5 分题出四选项中项符合题
目求．
1．已知集合    120198 2  xyxNxxxM )( NCM R ＝ （ ）
A．[1＋∞） B．（ 1
8
1
2
） C．[ 1
8
1
2
） D．（ 1
2
1]
2．复面复数 2
1
iz i
 
应点关实轴称点 A A 应复数（ ）
A．1 i B．1 i C． 1 i  D． 1 i 
3．已知 03log 2a  012b  sin 789c   a b c 关系（ ）
A． a b c  B． a c b  C． c a b  D． b c a 
4．函数 )0()sin()(   AxAxf 部分图象图
)(xf 解析式（ ）
A．   2 4 3f x sin x     
B．   2 4 3f x sin x     
C．   4 82 3 9f x sin x     
D．   4 82 3 9f x sin x     
5．河南省新郑市京楼遗址位新郑市新村镇杜村孟家沟村西周边区域北距郑州市 35
公里．遗址发现 20 世纪 60 年代群众整土时出土批青铜器玉器等贵重
文物．京楼商代城址保存较完整城址面方形东城墙长约 590 米北城墙长约 602
米南城墙长约 630 米西城墙长约 560 米城墙宽度 10 米～20 米列数中作
整城址面积较准确估算值 （ ）
A．24 万方米 B．25 万方米 C．37 万方米 D．45 万方米
6．2019 年 10 月德国爆发出芳香烃门事件家权威检测机构德国销售奶粉中
机抽检 16 款（德国 4 款法国 8 款荷兰 4 款）中 8 款检测出芳香烃矿物油成分
成分会严重危害婴幼成长奶粉已远销中国．A 区闻讯立组织相关检
测员 8 款品牌奶粉进行抽检已知该区 6 家婴幼品商店售种品牌奶
粉甲乙丙 3 名检测员分负责进行检测少抽检 1 家商店检测商店
重复检测甲检测员检测 2 家商店概率（ ）
A． 11
18
B． 7
18
C． 5
12
D． 7
12
7．设抛物线 2y 4x  焦点 F准线 l P 抛物线点 PA l A 垂足果直线2
AF 斜率 3
3
| |PF  （ ）
A． 2
3
B． 4
3
C． 7
3
D．4
8．已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中点 E 线段 A1D1 中点点 F 线段 DD1 D 三等分点
直线 CEBF 成角余弦值（ ）
A．10 19
57
B． 5 19
57
C． 19
19
D． 3 19
19
9．已知函数 )(xf 图象关原点称满足 0)3()1(  xfxf )42(x 时
   1
2
log 1f x x m＝－ － ＋    2021 1 12
f f
－ ＝ － m （ ）
A． 4
3
B． 3
4
C．－ 4
3
D．－ 3
4
10． Rt ABC 中已知 90 3 4C CA CB P    线段 AB 点
CA CBCP x y
CA CB
   
 
  1 1
x y
 值（ ）
A． 7
6
B． 7
12
C． 7 3
12 3
 D． 7 3
6 3

11．已知双曲线  
2 2
2 2 1 0 0x y a ba b
    左右焦点分 1 2F F 双曲线左支存
点 P 2PF 双曲线条渐线垂直点 H 2 24PF F H 双曲线离心率
（ ）
A． 2 6
3
B． 4
3
C． 13
2
D． 5
3
12． )0( x 03ln)2(2
1  xxxxmx 成立实数 m 取值范围（ ）
A． )2()(  e B． )()0(  e
C． )4()1(  D． )4()0( 
二填空题：题 4 题题 5 分 20 分．3
13．已知二项式 3 1( )nx x
 展开式中项系数 256展开式中常数项______ （
数字作答）
14．记等差数列{ na }前 n 项 nS 2a ＋ 4a ＝18 17S ＝ 459 {  31 n
na－ }前 n 项
nT ＝__________．
15．已知三棱锥 P—ABC 中△PAB 面积 4 3 等边三角形∠ACB＝
4
 点 C 面
PAB 距离时三棱锥 P—ABC 外接球表面积__________．
16．已知函数
 
2
2
log 0 2
( )
3 2
x x
f x
x x
     
方程 ( )f x a 4 实数根
1 2 3 4 1 2 3 4 ( )x x x x x x x x   4
3 4
1 2 3
x x xx x x
  取值范围__________．
三解答题： 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤．第 17～21 题必考题
试题考生必须作答第 2223 题选考题考生根求作答
（）必考题
17．（题满分 12 分）△ABC 中角 ABC 边分 abc sin sin 3b C c B  
  
＝ － ．
（1）求角 B
（2） 1 1 3
2a c
＋ ＝ △ABC 面积 3 求 b．
18．（题满分 12 分）已知等差数列 na 满足： 4 107 19a a  前 n 项 nS ．
（1）求数列 na 通项公式 na nS
（2）
1
1
n
n n
b a a 
 求数列 nb 前 n 项 nT ．
19．（题满分 12 分）图四边形 ABCD 中 AB CD 2
3BCD   四边形
ACFE 矩形CF  面 ABCD AD CD BC CF  
（1）求证： EF  面 BCF
（2）点 M 线段 EF 运动点 M 什位置时
面 MAB 面 FCB 成锐二面角求时
二面角余弦值4
20．（题满分 12 分）
已知椭圆  2 2
2 1 22
x yC aa
   右焦点 F P 椭圆C 点 PF x 轴
2
2PF 
（1）求椭圆C 标准方程
（2）直线l 椭圆C 交 A B 两点线段 AB 中点 M O 坐标原点
2OM  求 AOB 面积值
21．（题满分 12 分）
已知函数 sin)1ln()( xxxxf 
（1）证明：函数 )(xf 区间 )0(  存唯极值点
（2）证明：函数 )(xf 仅两零点．
（二）选考题
请考生第 2223 题中选题作答 2B 铅笔答题卡选题目应题号右侧方
框涂黑选涂题号进行评分涂答涂首题进行评分涂选考题首
题进行评分．
22．（题满分 10 分）选修 4—4：坐标系参数方程
面直角坐标系 xOy 中直线 l 参数方程 2 2
1 2
x t
y t


＝ －
＝－ ＋
（t 参数）．坐标原点O
极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系曲线 C 极坐标方程 4cos ＝ 直线 l
曲线C 交 NM 两点．
（1）求l 普通方程曲线C 直角坐标方程
（2） )10(A 求 ANAM  值．
23．（题满分 10 分）选修 4—5：等式选讲
已知 cba 正数满足 abccba 3 ．
证明：（1） 3 cabcab （2） 2 2 2
1 1 1 3a b c
＋ ＋ ≥ ．1
2020 届高三年级学期开学考试理科数学参考答案
112：CBBA CBBB CCDD
1316：28







)(2
)1(9
)(2
9
奇数
偶数
nn
nn
Tn 3
112 (78)
17 解析
2 分
4 分
6 分
8 分
10 分
12 分
18解析（1）设等差数列 na 公差 d 1
1
3 7
9 19
a d
a d
 
  
…………2 分
解： 1a 1d 2 …………4 分
∴ 1 2( 1) 2 1na n n     2(1 2 1)
2n
n nS n   ． …………6 分
（2）   1
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 1n
n n
b a a n n n n
         
…………8 分
∴数列 nb 前 n 项
1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1nT n n
                         
L …………10 分
1 112 2 1 2 1
n
n n
       …………12 分
19（Ⅰ）证明梯形 ABCD 中∵ AB CD 设 1AD CD BC  
24436)(
62
34)11(
433
2sin2
1)2(
3
2)0(3tan
cos2
3sin2
1sin)3sin(sin0sin0
)3sin(sinsinsin)3sin(sin)1(
222 






accaaccab
caacca
acacS
BBB
BBBBBCC
BCCBBcCb
ABC 题知








2
∵ 2
3BCD   ∴ 2AB  ∴ 2 2 2 2 cos60 3AC AB BC AB BC      
∴ 2 2 2AB AC BC  BC AC ……2 分
∵CF  面 ABCD AC  面 ABCD ∴ AC CF ……4 分
CF BC C ∴ AC  面 BCF ∵ EF AC ∴ EF  面 BCF ……6 分
（Ⅱ）解析分直线 CA CB CF x 轴 y 轴 z 轴建立图示空间直角坐标系
设 1AD CD BC CD    令  0 3FM    
       000 300 010 01C A B M  ……8 分
∴    310 11AB BM     
设   n x y z 面 MAB 法量
0
0
n AB
n BM
  
  

 3 0
0
x y
x y z
      
取 1x   1 3 3n  
∵  100m  面 FCB 法量 ……10 分
∴    2 2
1 1cos
1 3 3 1 3 4
n mn m n m  
  
     
    
∵ 0 3  ∴ 0  时 cos 值 7
7

∴点 M 点 F 重合时面 MAB 面 FCB 成二面角
时二面角余弦值 7
7
……12 分
20解析（1）设椭圆C 焦距  2 0c c  题知点 2 2P c
    
2b  …2 分

2
2
2
2
2 12
c
a
 
 
  

2
2
3
4
c
a
  2 2 2 22a b c c    2 8a  2 6c  3
椭圆C 标准方程
2 2
18 2
x y  ………4 分
（2） AB x 轴时 M 位 x 轴OM AB
2OM  6AB  时 1 32AOBS OM AB    ………5 分
AB 垂直 x 轴时设直线 AB 方程 y kx t  椭圆交  1 1A x y  2 2B x y

2 2
18 2
x y
y kx t
  
  
 2 2 21 4 8 4 8 0k x ktx t    
1 2 2
8
1 4
ktx x k
   

2
1 2 2
4 8
1 4
tx x k
 
2 2
4 1 4 1 4
kt tM k k
 
   
…………7 分
已知 2OM   22
2
2
2 1 4
1 16
k
t k

 
…………8 分
     
2 2
2 22 2
1 2 1 2 2 2
8 4 81 4 1 41 4 1 4
kt tAB k x x x x k k k
                   

   
 
2 2
2
22
16 8 2
1
1 4
k t
k
k
 
 


设O 直线 AB 距离 d
2
2
21
td k
 

   
 
2 2 2
2 2
2 22
16 8 21 14 11 4
AOB
k t tS k kk

 
   
…………10 分
 22
2
2
2 1 4
1 16
k
t k

 
代入化简
 
 
2 2
2
22
192 4 1
1 16
AOB
k k
S
k





令 21 16k p   
 
 2 2
2
2 22
112 1 1192 4 1 4
1 16
AOB
ppk k
S pk

      

2
1 1 43 3 43 3p
           

仅 3p  时取等号时 AOB 面积值 2
综： AOB 面积值 2 ……………12 分4
21证明(1) xxxf cos1
11)( 
)0( x 时函数
1
1

xy xy cos 单调递减
函数 xxy cos1
11  单调递增 …………………………………2 分
010cos11)0( f 01
12cos1
11)( 
f
存唯 )0(0 x 0)( 0  xf )0( 0xx 时 0)(  xf
)( 0 xx 时 0)(  xf ……………………………4 分
)0( 0xx 时函数 )(xf 单调递减 )( 0 xx 时函数 )(xf 单调递增
函数 )(xf 区间 )0(  存唯极值点 …………………………5 分
(2) ① ]01(x 时 xx
xxf cos1)(  0cos01
 xx
x 0)(  xf
区间 ]01( 函数 )(xf 单调递减
0)0( f 0)( xf 时函数 )(xf 零点 0x ………………7 分
② )0( x 时 0)0( f 02ln)1ln()( 2   ef
04
753
12
154
4
3
2
1
32
3
2
1
3
2
3ln32
32ln32
3)13ln(33sin)13ln(3)3(



 ef
(1)知时函数 )(xf 区间 )3(  唯零点 ……………………………9 分
③ )(  x 时令 ))(()1ln()(  xxxxg 011
11)( 
x
x
xxg
时函数 )(xg 单调递增 12ln)1ln()()( 2   egxg
1sin x )(  x 0)( xf
区间 )(  函数 )(xf 没零点 …………………………11 分5
综述函数 )(xf 仅两零点 …………………………12 分
22解析（1）题意： 1  yxl …………………2 分
曲线  cos4 2 C 0422  xyx …………………4 分
（2）题意直线l 参数方程








ty
t
2
21
2
2x
（t 参数）………………5 分
代入 0422  xyx ： 01232  tt ………………8 分
设 NM 应参数分 21tt
232121  ttttANAM ………………10 分
23 证明（1） 33 abccba  （仅 cba  时取等号）…………………1 分
333 abcabc  ： 1abc （仅 1 cba 时取等号） …………………3 分
3 2)(3 abccabcab  1abc
3 cabcab （仅 1 cba 时取等号） …………………5 分
（2）
abba
211
22  （仅 ba  时取等号） …………………6 分
bccb
211
22  （仅 cb  时取等号） …………………7 分
caac
211
22  （仅 ac  时取等号） …………………8 分
三式相加： )111(2)111(2 222 cabcabcba

化
cabcabcba
111111
222 
33111 
abc
abc
abc
cba
cabcab

3111
222 
cba
（仅 1 cba 时取等号） …………………10 分

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