2020届高三第二次调研抽测
数学l
参考公式：
柱体体积公式 vtt体 ＝ Sh 中S柱体底面积h高．
填空题：题14题题5分70分．请答案填写答题卡相应位置．
1 知复数z满足 z(I + 2i) 3 + 4i ( i虚数单位〉lzl_L
2 知集合 A { 1 a2 4 } B { 2ns*0实数a值生·
3 图九位评委出分数茎叶统计图掉高分 低分剩
数均分_L I ← l
7 I 7 8
8124468
9 I 3 4
（第3题）
While I< 9
S ← 2 I+ 1
I ←1+2
End While
Print S
4 执行图示伪代码输出结果_A_ （第4题）
5 甲乙丙丁4名学生参加两企业实企业两 甲乙两
恰 企业 概率�
6 函数 f(x）＝ 萨定义域i
7 知双曲线＿L1右准线渐线交点抛物线y2 2px 实数p值4 12
A
8 知高3圆柱接直径5球该圆柱体积
9 知等数列｛a｝项均正数32 a1+2a5 值�－
10面直角坐标系 xOy 中知圆Cx 2 +(y1)2 1圆C’ ： （x+2fj)2 + y2 6
直线 lykx+3 圆C相切圆C’ 相交A B 两点弦 AB长A」
11知函数 f(x)x(21）关x等式 f(x i 2x2a)+ f(ax3）运0意
x e[l 3］恒成立实数取值范围_L
数学 l试卷A第1 页（ 4 页）126ABC中知 a b c 分角A B C边．b c 成等数列
(b+c)(bc)a2 lac＿＿＿＋＿＿＿值 · tanA tanC
13图知半圆0直径 AB8点P弦AC （包含端点 A C）动点点Q
弧走．60AC等边三角形满足苟·OPOOP·ᡆ值·
14函数 f(x)x2 +ax+b (a be R）区间
(0 1］零点Xo 王 ＋_L_l） ＼ 4 9x0 3 J
值＿＿＿＿＿＿ A
（第13题〉
二解答题：题 6 题 90 分．请答题卡指定区域作答．解答时应写出文字
说明证明程演算步骤．
15 （题满分14分〉
图面直角坐标系x句中A单位圆x轴正半轴交点P单位圆
点 LAOP＝ α点P单位圆逆时针方
旋转角β点舱中3 el 旦 lI 6 3 I
(1）点P坐标（匀β＝旦时求ab 值：飞5 5 4
(2）α二号求bz 旷取值范围．
16 （题满分14分〉
图四棱锥 PABCD中底面 ABCD 矩形
PAJ_面ABCD PAAD E F 分
棱础PC中点．求证＝
(I) EF II 面 PAD
(2）面 PCE面 PCD
数学l 试卷 第2页〈4页〉
y
A x
（第15题〉
p
（第16题〉17 （题满分 14 分）
中国高铁快速发展群众出行带巨便利极促进区域济社会发展．知
某条高铁线路通车发车时间间隔t （单位：分钟〉满足5运（：：：三25 t e N
＊
测算
高铁载客量发车时间间隔t相关＝20运tζ25时高铁满载状态载客量1000
： 5：：三t<20时载客量会满载基础减少减少 数（20t)2 成正发
车时间5分钟时载客量100．记发车间隔时间t分钟时高铁载客量P(t)
(1）求 P(t） 表达式：
(2）该线路发革时间间隔t分钟时净收入 Q(t) 1 P(t) 40t 2 + 650t …2000 （元）4
发车时间间隔少时单位时间净收益年
18 （题满分 16 分〉
面直角坐标系中知椭圆C：丢＋云 ＝ l(a>b>O） 离心率i 右焦点F
右准线距离 3
(1）求椭圆C方程：
ω 点F作直线I （X轴重合）椭圆C交M N 两点设点A(10)
①£1A阳面积手求直线l方程：
②点M 作Y轴垂直直线l’ 直线NA 交点P
求证：点P条定直线． y
（第18题）
数学 l试卷第3 页（ 4 页〉19 （题满分16分）
知函数 f(x)lnx+2ax (aeR ) g(x)x2 +12f(x)
(I）α ＝－1时
①求函数 f(x） 点A(l f(l））处切线方程：
②较 f(m） f（乡：
ω α＞0时＼ixe(l+oo）时 g(x） 沈阳（x）唯零点证明： a20 （题满分16分〉
旦旦
知数列｛an ｝前n项积丑满足汇＝ 3 2 ( n e N• ）数列｛ι ）首项2
满足n懶＝ (n +1） ι （nεN ）．
( 1)求数列｛ a} ｛ι ｝通项公式：
(2）记集合M{nlλa cb11bn+l (IOn+5) neN丁集合M元素数2求
实数λ取值范围：
(3）否存正整数p q r a1 +a 2 ＋ … ＋αq bP +r·a q 成立？ 果存
请写出 p＇ q r满足条件：果存请说明理．
数学l试卷 第4页（4页）2020 届高三늌次调研抽测
数学H （附加题）
21 题包括A B2题 题10分 20分． 答案写答题卡相应位置．
解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
A选修牛2：矩阵变换
设点（xy） 矩阵M应变换作点xx+y)
(1）求矩阵M
(2）直线lx2y5 矩阵M应变换作直线l’ 求直线l’ 方程．
B 选修44：极坐标参数万程
Ix 3t+l 面直角坐标系x命中 知直线l参数方程｛ ( t 参数） 曲线C
ly4t+3
Ix＝ α＋acosθ 参数方程｛ ． （θ参数 atO） 直线l曲线C恒公点 求实
Lyasmθ
数a取值范围．
数学川试卷 第1页（2页）22 ［必做题题满分10分．解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
某校高年级模仿中国诗词会节目举办学校诗词会进入正赛条件z电
脑机抽取10首古诗参赛者够正确背诵6首进入正赛．学生甲参赛
背诵首古诗正确概率均j
(1）求甲进入正赛概率：
(2）进入正赛采积分淘汰制规z电脑机抽取4首古诗 首古诗背
诵正确加2分错误减1分．难度增加甲背诵首古诗正确概率 ·
求甲正赛中积分X概率分布列数学期．
23 ［必做题题满分10分．解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
已知抛物线C y2 2x 焦点F准线 I p 抛物线C异顶点动点．
）点P作准线l垂线垂足H6PHF6POF 面积21求
点P坐标：
(2）点M（÷M作条直线m抛物线C交两点 A B 两直线
PA PB 斜率2求点P坐标．
数学II试卷 第2页（2页）数学试卷答案 第 1 页 （ 8 页）
2020 届高三第二次调研抽测
数学参考答案评分建议
填空题：题 14 题题 5 分 70 分．
1． 5 2． 1
2 3． 85 4． 15 5． 1
3 6．  1| 0 5x x ≤ 7． 3
2
8． 12 9． 4 2 10． 15 11． 4 0a ≤ ≤ 12． 3 2
4 13．8
14． 1
144 解析 （法）x0
2＋ax0＋b＝0 b＝－(x0
2＋ax0)
ab(x0
4＋ 1
9x0
－1
3)＝－a(x0
2＋ax0)(x0
4＋ 1
9x0
－1
3)＝－ 1
36 a(x0＋a)(3x0－2)2
a≥0 a≤－x0 时－ 1
36 a(x0＋a)(3x0－2)2≤0．
－x0＜a＜0 时令 f(x)＝(x＋a)(3x－2)2x∈(01］．
f ′(x)＝27x2－(24－18a)x＋4－12a＞9x2－24x＋4－12a＞(3x－2)2－12(a＋x)＞0．
f(x)(01］单调增(x＋a)(3x－2)2≤1＋a．
ab(x0
4＋ 1
9x0
－1
3)≤－ 1
36a(1＋a)≤ 1
144．
（法二）法 ab(x0
4＋ 1
9x0
－1
3)＝－ 1
36 a(x0＋a)(3x0－2)2
a≥0 a≤－x0 时－ 1
36 a(x0＋a)(3x0－2)2≤0．
－x0＜a＜0 时－ 1
36 a(x0＋a)(3x0－2)2≤ 1
144 x0
2(3x0－2)2≤ 1
144．
二解答题：题 6 题 90 分．
15．解（1） cos( )4a    sin( )4b    …… 2 分
1 1cos( )sin( ) sin(2 ) cos 24 4 2 2 2ab            ． …… 4 分
3cos 5  21 1 7cos2 (2cos 1)2 2 50ab       ． …… 6 分
（2） cos( )6a    sin( )6b   
2 2 2 2sin ( ) cos ( ) cos(2 )6 6 3b a             ． …… 10 分
2
6 3      52 3 3 3       
1cos(2 ) 13 2       
2 2 1 12b a       ． …… 14 分数学试卷答案 第 2 页 （ 8 页）
B C
D A
P
E
G
F
16．证（1）图取 PD 中点 G连接 AGFG．
E 棱 AB 中点底面 ABCD 矩形
AE∥CD 1
2AE CD ．…… 2 分
F G 分棱 PC PD 中点
FG∥CD 1
2FG CD
AE∥FG AE FG ．
四边形 AEFG 行四边形 …… 4 分
EF∥AG．
EF  面 PAD AG  面 PAD
EF ∥面 PAD． …… 6 分
（2） PA AD G 分棱 PD 中点
AG PD ．
EF∥AG EF PD ． …… 8 分
PA  面 ABCDCD  面 ABCD
PA CD ．
底面 ABCD 矩形 AD CD ．
PA AD  面 PAD PA AD A
CD  面 PAD ． …… 10 分
AG  面 PAD CD AG ．
EF∥AG EF CD ．
CD PD  面 PCDCD PD D
EF⊥面 PCD． …… 12 分
EF  面 PCE
面 PCE⊥面 PCD． …… 14 分
17．解（1）5 20t ≤ 时妨设
2( ) 1000 (20 )P t k t   ．
(5) 100P  解 4k  …… 3 分

21000 4(20 ) 5 20()
1000 20 25
t t tP t
t t
*
*
N
N
≤
≤ ≤
     
…… 5 分
（2）① 5 20t ≤ 时 2 3( ) ( ) 40 650 2000 500 20004
tQ t P t t t t t        数学试卷答案 第 3 页 （ 8 页）
2( ) 2000( ) 500Q ty t tt t     5 20t ≤ t  *N ． …… 7 分
设 2 2000( ) 500f      5 20 ≤

3
2 2
2( 1000)2000( ) 2f    
    
5 10 ≤ 时 ( ) 0f   ( )f  单调递增
10 20  时 ( ) 0f   ( )f  单调递减
max( ) (10) 200f f   ．
10t  时 ( )Q t
t 取值 200． …… 10 分
② 20 25t≤ ≤ 时 2( ) 40 900 2000Q t t t  
( ) 50( ) 900 40( )Q ty t tt t    20 25t≤ ≤ t  *N ．
设 50( ) 900 40( )g      20 25≤ ≤

2
2 2
40( 50)50( ) 40(1 ) 0g   
      ( )g  单调递减
max( ) (20) 0g g   ．
20t  时 ( )Q t
t 取值 0． …… 13 分
综发车时间间隔 10 分钟时单位时间净收益 ( )Q t
t …… 14 分
18．解（1）题意：
2
2 2 2
1
2
3
c
a
a
c
a b c
 
 

 

解： 2
3
a
b
 

椭圆C 方程
22
14 3
yx   …… 4 分
（2）① 直线l 斜率存时方程 1x 
时 3(1 )2M 3(1 )2N  合题意 …… 5 分
直线l 斜率存时设方程 ( 1)y k x 

22
14 3
( 1)
yx
y k x
  
  
消 y ： 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k     数学试卷答案 第 4 页 （ 8 页）
设  1M x y1  2 2N x y
题意 0 
2
1 2 2
8
3 4
kx x k  

2
1 2 2
4 12
3 4
kx x k
  


2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
12 | | 1( ) | | ( ) 4 3 4
k ky y k x x k x x x x k
        
…… 8 分
5( 0)2A △AMN 面积 6 3
5
1 2
6 31 5( 1)2 2 5y y    
2
2
12 | | 1 8 3
53 4
k k
k
 

解 3k  
直线l 方程 3( 1)y x   …… 10 分
② 直线l 斜率存时直线 NA 方程： 2 2 5 0x y  
令 3
2y  4x 
直线 NA l 交点 P 坐标 3(4 )2 …… 11 分
直线l 斜率存时①知
2
1 2 2
8
3 4
kx x k  
2
1 2 2
4 12
3 4
kx x k
  
直线 NA 方程：  2
2
5
2
5
2
yy
x
x


令 1y y       
 
1 1 2
2 2
2 2
51 15 2
2 1
5 5
2 2y k x k x
x y k x
x x  
   
 
   
 
1 2 1 2 2
2
5 4 4 12
1
kx x x x k k x
k x
    
 
 
 
3 3
22 2
2
4 12 5 8 4 4 123 4 3 4
1
k k k k k xk k
k x
       
 
 
3 3
22 2
2
4 12 5 8 4 4 123 4 3 4
1
k k k k k xk k
k x
       
 
 
2
2
4 1 41
k x
k x
 
直线 NA l 交点 P 坐标 1(4 )y
综述点 P 条定直线 4x  ． …… 16 分
19．解（1）① 1a   时 ( ) ln 2f x x x  1( ) 2f x x   (1) 1f   
 1A   切线方程  2 1y x    1 0x y   …… 4 分 数学试卷答案 第 5 页 （ 8 页）
② 令 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ln 2 (ln ) 2ln 2h m f m f m m m mm m m m        

2
2 2
2( 1)2 2( ) 2 0m mh m m m m
        ( )h m (0 )  单调递减
(1) 0h 
0 1m  时 ( ) 0h m  1( )()f m f m
1m  时 ( ) 0h m  1( )()f m f m
1m  时 ( ) 0h m  1( )()f m f m …… 8 分
（2）题意 2 1 2ln 4 0x x ax   ≥
22( 2 1)2( ) 2 4 x axg x x ax x
     
令 ( ) 0g x  解 2 1x a a  
0a  2 1 1a a   ( )g x  1   唯零点 2
0 1x a a  
 01x x 时 ( ) 0g x   g x  01 x 单调递减
 0x x   时 ( ) 0g x   g x  0x   单调递增
min 0( )()g x g x …… 10 分
( ) 0g x ≥  1   恒成立 ( ) 0g x 唯解
0
0
( ) 0
( ) 0
g x
g x
 
 
0
0
2
0 0 0
22 4 0
1 2ln 4 0
x ax
x x ax
   
    
…… 12 分
消 a ：  2
0 0 00
0
1 2ln 022x x xx x    2
0 02ln 3 0x x   
令 2
0 0 0( ) 2ln 3h x x x     0 0
0
2 2h x xx   
 0 0h x   1   恒成立  0h x  1   单调递减
 1 2 0h    2 2ln 2 1 0h     01 2x  …… 14 分
 0
0
1
2
1a x x   1 单调递增
3
4a  …… 16 分
20．解（1）
( 1)
23
n n
nT

 2n≥ 时
 
  
1
2 1
1 2
1 2
3 3
3
n n
nn
n n n
n
Ta T


 

   数学试卷答案 第 6 页 （ 8 页）
1n  时 1 1 1a T  适合式
13n
na  ． …… 3 分
1 ( 1)n nnb n b   1
1
n nb b
n n
 
数列 nb
n
   
常数数列
1
1 21
nb b bn   
2nb n ． …… 6 分
（2）（1）知等式  1 10 5n n na b b n ≤  
1
4 ( 1) 10 5
3n
n n n

 ≤ ．
设  
1
4 ( 1) 10 5( ) 3n
n n nf n 
 
   
1
4( 1)( 2) 10 15 4 ( 1) 10 5( 1) ( ) 3 3n n
n n n n n nf n f n 
      
240( 1)( 2 2 3)
3n
n n n   
(1) (2) (3) (4)f f f f   ． …… 8 分
560 400(1) 120 (2) 200 (3) (4)3 3f f f f   
 
1
4 ( 1) 10 5
3n
n n n

 ≤ 2 解
400 560
3 3 ≤ ． …… 10 分
（3）假设存正整数 p q r ．
2 1
1 2
3 11 3 3 3 2
qq
qa a a           
13 1 4 2 3q qp r     ．（）
2r ≥ 1 12 3 4 3 3 1q q qr     ≥ （）成立
1r 
13 1
4
q
p
  ． …… 12 分
q 奇数
1q  时 0p  成立
1q≥ 时设 *2 1q k k  N
1 23 1 3 1 9 1
4 4 4
q k k
p
      Z ．…… 14 分
q 偶数设 2q k *k N

2 1 1 13 1 3 9 1 9 1 134 4 4 2
k k k
p
          数学试卷答案 第 7 页 （ 8 页）

19 1
4
k   Z pZ ．
综述 q 1 奇数时 1r 
13 1
4
q
p
  q 偶数时存．
…… 16 分
数学Ⅱ（附加题）
21．题包括 AB 2 题题 10 分 20 分．
A．解（1）设 a b
c d
    
M 题意 2a b x x
c d y x y
               
M
2ax by x  cx dy x y   恒成立
2 0 1 1a b c d   
2 0
1 1
    
M ． …… 4 分
（2）设点( )x y 直线 l 矩阵 M 应变换作点 ( )x y  直线l
2x x  y x y  
1
2x x 1
2y y x  
代入直线 2 5x y  3 4 10 0x y   
直线l 方程3 4 10 0x y   ． …… 10 分
B．解 3 1
4 3
x t
y t
 
  
消参数t 直线l 普通方程 4 3 5 0x y   …… 3 分
cos
sin
x a a
y a


 
 
消参数 曲线C 普通方程 2 2 2( )x a y a   …6 分
直线l 圆 C 恒公点
2 2
4 5
4 ( 3)
a a
 
≤ …… 8 分
实数 a 取值范围 5
9a ≤ 5a≥ ． …… 10 分
22．解（1）甲进入正赛概率      10 10 10
6 7 10
10 10 10
1 1 1+ + +2 2 2P CC C  …… 2 分
   10
6 7 10
10 10 10
1 193+ + + 2 512C CC  ．
答：甲进入正赛概率 193
512
． …… 4 分
（2）甲积分 X 取值 8 分5 分2 分1 分4 分
 4
4
4
2 16( 8) 5 625P XC      3 1
3
4
2 3 96( 5) 5 5 625P XC   数学试卷答案 第 8 页 （ 8 页）
   2 2
2
4
2 3 216( 2) 5 5 625P XC      1 3
1
4
2 3 216( 1) 5 5 625P XC   
 4
0
4
3 81( 4) 5 625P XC   
X 概率分布列
X 8 5 2 1 4
P 16
625
96
625
216
625
216
625
81
625
16 96 216 216 81 4( ) 8 5 2 1 4625 625 625 625 625 5E X           
答： 甲正赛中积分 X 数学期 4
5 ． …… 10 分
23．解（1）设点
2
( )2
tP t 抛物线 C 2 2y x 焦点 F 1( 0)2 准线 l 方程 1
2x   ．
PH l
2 1
2 2
tPH   ．
△PHF △POF 面积 21
2 1PH OF 
2 1
2 2 21
2
t 
 解 1t  
点 P 坐标 1 12  ． …… 4 分
（2）设直线 m 方程 1( )2y k x 

2
1( )2
2
y k x
y x
  
 
2 2 0ky y k   ．
24 4 0k    1 1k   ．
设
2 2
1 2
1 2( )()2 2
y yA y B y 1 2
2y y k  1 2 1y y 
 1 2
2 22 2 21 21 2
22 22 2 22 1
2 2 2 2
PA PB
tt y t y kk k t y t yy yt t t tk
           

22( 1) ( 2 1) 0t t t k     满足条件 k 恒成立 1t 
点 P 坐标 1 12 ． …… 10 分

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