微积分教程
微积分（Calculus）高等数学中研究函数微分积分关概念应数学分支数学基础学科容包括极限微分学积分学应微分学包括求导数运算套关变化率理函数速度加速度曲线斜率等均套通符号进行讨积分学包括求积分运算定义计算面积体积等提供套通方法
微积分基介绍
微积分学基定理指出求定积分求导函数互逆运算[限代入定积分积分值微分导数值变量增量积]两种理统成微积分学原两者中意者起点讨微积分学教学中微分学般会先引入
微积分学微分学积分学总称种数学思想限细分’微分限求’积分十七世纪半叶牛顿莱布尼茨完成许数学家参加准备工作分独立建立微积分学建立微积分出发点直观穷量理基础牢固限概念法已拥代数公式进行演算直十九世纪柯西维尔斯特拉斯建立极限理康托尔等建立严格实数理门学科严密化
学微积分学首步理解极限引入必性：代数已熟悉概念代数法处理限概念必须利代数处理代表限量时精心构造极限概念极限定义中知道概念绕数0麻烦相反引入程意量说数零意义时量取意满足德尔塔区间该意量说极限该数——认投机取巧实性证明样定义算较完善出正确推性概念成功
微积分实际应联系着发展起天文学力学化学生物学工程学济学等然科学社会科学应科学等分支中越越广泛应特计算机发明更助应断发展
客观世界切事物粒子宇宙始终运动变化着数学中引入变量概念运动现象数学加描述
函数概念产生运加深科学技术发展需门新数学分支继解析产生微积分学微积分学门学科数学发展中位十分重说继欧氏全部数学中创造
微积分质
参考文献 刘里鹏割圆术走穷——揭秘微积分长沙：湖南科学技术出版社2009
1．文字表述：
增量限趋零割线限趋切线曲线限趋直线直代曲线性化方法解决非线性问题微积分理精髓
2．式子表示：
微积分基方法
微积分基原理告诉微分积分互逆运算微积分精髓告诉解决非线性问题质原化曲直现实生活中会遇非线性问题解决样问题没统方法呢？
研究思考总结笔者认微积分基方法：先微分积分
笔者现教材没注意基问题总结基教材讲积分时重复古限细分取极限思想讲弧长时取极限讲面积时取极限约等号发样仅学生听满头雾水牵强附会嫌实懂微积分质基方法根需重复
微积分学建立
微积分成门学科说十七世纪微分积分思想古代已产生
公元前三世纪古希腊阿基米德研究解决抛物弓形面积球球冠面积螺线面积旋转双曲体体积问题中隐含着代积分学思想作微分学基础极限理说早古代较清楚述国庄周著庄子书天篇中记尺棰日取半万世竭三国时期刘徽割圆术中提割弥细失弥割割割圆周体失矣朴素典型极限概念
十七世纪许科学问题需解决问题成促微积分产生素结起约四种类型问题：第类研究运动时候直接出现求时速度问题第二类问题求曲线切线问题第三类问题求函数值值问题第四类问题求曲线长曲线围成面积曲面围成体积物体重心体积相物体作物体引力
十七世纪许著名数学家天文学家物理学家解决述类问题作量研究工作法国费马笛卡尔罗伯瓦笛沙格英国巴罗瓦里士德国开普勒意利卡瓦列利等提出许建树理微积分创立做出贡献
十七世纪半叶前工作基础英国科学家牛顿德国数学家莱布尼茨分国度里独研究完成微积分创立工作然十分初步工作功绩两貌似毫相关问题联系起切线问题（微分学中心问题）求积问题(积分学中心问题)
牛顿莱布尼茨建立微积分出发点直观穷量门学科早期称穷分析正现数学中分析学分支名称源牛顿研究微积分着重运动学考虑莱布尼茨侧重学考虑
牛顿1671年写流数法穷级数书直1736年出版书里指出变量点线面连续运动产生否定前认变量穷元素静止集合连续变量做流动量流动量导数做流数牛顿流数术中提出中心问题：已知连续运动路径求定时刻速度（微分法）已知运动速度求定时间路程(积分法)
德国莱布尼茨博学学者1684年发表现世界认早微积分文献篇文章长古怪名字种求极极切线新方法适分式理量种新方法奇妙类型计算样篇说理颇含糊文章划时代意义已含现代微分符号基微分法1686年莱布尼茨发表第篇积分学文献历史伟符号学者创设微积分符号远远优牛顿符号微积分发展极影响现微积分通符号时莱布尼茨精心选
微积分学创立极推动数学发展初等数学束手策问题运微积分迎刃解显示出微积分学非威力
前面已提门科学创立决某业绩必定少努力积累量成果基础某总结完成微积分样
幸欣赏微积分宏伟功效余提出谁门学科创立者时候竟然引起场悍然波造成欧洲陆数学家英国数学家长期立英国数学时期里闭关锁国囿民族偏见拘泥牛顿流数术中停步前数学发展整整落百年
实牛顿莱布尼茨分独立研究体相时间里先完成较特殊牛顿创立微积分莱布尼茨早10年左右正式公开发表微积分理莱布尼茨牛顿发表早三年研究长处短处时候民族偏见关发明优先权争竟1699年始延续百年
应该指出历史项重理完成历段时间样牛顿莱布尼茨工作完善穷穷量问题说十分含糊牛顿穷量时候零时候零限量莱布尼茨圆说基础方面缺陷终导致第二次数学危机产生
直19世纪初法国科学学院科学家柯西首微积分理进行认真研究建立极限理德国数学家维尔斯特拉斯进步严格化极限理成微积分坚定基础微积分进步发展开
新兴具量前途科学成吸引着广科学工作者微积分历史闪烁着样明星：瑞士雅科布•贝努利兄弟约翰•贝努利欧拉法国拉格朗日柯西……
欧氏古中世纪代数学种常量数学微积分真正变量数学数学中革命微积分高等数学分支局限解决力学中变速问题驰骋代现代科学技术园里建立数清丰功伟绩
微积分基容
研究函数量方面研究事物运动变化微积分基方法种方法做数学分析
广义说数学分析包括微积分函数等许分支学科现般已惯数学分析微积分等起数学分析成微积分义词提数学分析知道指微积分微积分基概念容包括微分学积分学
微分学容包括：极限理导数微分等
积分学容包括：定积分定积分等
微积分科学应联系着发展起初牛顿应微积分学微分方程第谷浩瀚天文观测数进行分析运算万引力定律进步导出开普勒行星运动三定律微积分学成推动代数学发展强引擎时极推动天文学物理学化学生物学工程学济学等然科学社会科学应科学分支中发展学科中越越广泛应特计算机出现更助应断发展
元微分
定义： 设函数y f(x)某区间定义x0x0 + Δx区间果函数增量Δy f(x0 + Δx) – f(x0)表示 Δy AΔx0 + o(Δx0)（中A赖Δx常数）o(Δx0)Δx高阶穷称函数f(x)点x0微AΔx称作函数点x0相应变量增量
Δx微分记作dydy Adx
通常变量x增量 Δx称变量微分记作dxdx Δx函数y f(x)微分记作dy f＇(x)dx函数微分变量微分商等该函数导数导数做微商
意义
设Δx曲线y f(x)点M横坐标增量Δy曲线点M应Δx坐标增量dy曲线点M切线应Δx坐标增量|Δx|时|Δy－dy||Δy|(高阶穷)点M附切线段似代曲线段
元微分
元微分全微分两变量偏导数相应元微分增量表示
ΔZA*ΔX+B*ΔY+ο(ρ)函数Z点（xy)处全增量（中AB赖ΔXΔYxy关ρ[（x∧2+y∧2)]∧(1＼2)A*ΔX+B*ΔYZ点全微分
总说微分学核心思想便直代曲微邻域段切线段代曲线简化计算程
积分两种：定积分定积分
定积分微分逆运算知道函数导函数反求原函数应定积分作仅量应求通俗说求曲边三角形面积巧妙求解方法积分特殊性质决定
函数定积分（称原函数）指族函数族函数导函数恰前函数
中：[F(x) + C]＇ f(x)
实变函数区间[ab]定积分实数等该函数原函数b值减a值
定积分定积分定义迥然定积分求图形面积求微元元素累加定积分求原函数通称积分呢？牛顿莱布尼茨贡献毫相关两事物紧密联系起详见牛顿——莱布尼茨公式
阶微分高阶微分
函数阶导数应微分称阶微分
阶微分微分称二阶微分
n阶微分微分称(n+1)阶微分
d(n)yf(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n阶导数d(n)y指n阶微分dx^n指dxn次方)
含未知函数ytf(t)yt差分Dyt D2yt…函数方程称常差分方程(简称差分方程)出现差分方程中差分高阶数称差分方程阶n阶差分方程般形式
F(tytDyt… Dnyt)0
中Ftyt Dyt… Dnyt已知函数Dnyt定方程中出现
含两两函数值ytyt+1…函数方程称(常)差分方程出现差分方程中未知函数标差称差分方程阶n阶差分方程般形式
F(tytyt+1…yt+n)0
中Ftytyt+1…yt+n已知函数ytyt+n定差分方程中出现
常微分方程偏微分方程总称含变量未知函数微商（偏微商）方程称常（偏）微分方程未知函数元函数微分方程称常微分方程未知函数元函出现元函数偏导数方程称偏微分方程
微积分诞生重意义
微积分诞生继Euclid建立数学发展里程碑式事件微积分诞生前类基处农耕文明时期解析诞生新时代序曲新时代开端旧数学作总结代数融体引发出变量概念变量全新概念研究运动提供基础
推导出量宇宙定律必须等样时代准备方面思想产生牛顿莱布尼茨拉普拉斯样批够开创未科学活动提供方法指出方领袖必须等创立必少工具——微积分没微积分推导宇宙定律17世纪天开发知识宝库中领域丰富微积分创立许新学科提供源泉
微积分建立类头脑伟创造部微积分发展史类步步顽强认识客观事物历史类理性思维结晶出整套科学方法开创科学新纪元加强加深数学作恩格斯说：
切理成中未必什17世纪半叶微积分发现样作类精神高胜利果某方类精神纯粹惟功绩正里
微积分类力握运动程微积分工业革命工业生产现代化社会航天飞机宇宙飞船等现代化交通工具微积分直接果微积分帮助万引力定律发现牛顿公式描述太阳行星作球附物体作尘埃遥远天体运动行宇宙中没角落定律包含范围类认识史次空前飞跃仅具伟科学意义具深远社会影响强力证明宇宙数学设计摧毁笼罩天体神秘义迷信神学场空前巨席卷代世界科学运动开始毫疑问微积分发现世界代科学开端
微积分优先权争
历史微积分两位科学家牛顿莱布尼茨时发现创立微积分方面莱布尼茨牛顿功绩相两位数学家微积分学领域中卓越贡献概括起：总结出处理种关问题般方法认识求积问题切线问题互逆特征揭示出微分学积分学间质联系建立微积分学基定理出微积分概念法公式符号理微积分学进步发展奠定坚实重基础总创立作门独立学科微积分学
微积分种数学分析方法正式诞生解决许初等数学法作答实际问题逐渐引起科学家社会士重视时带关谁先建立微积分问题争牛顿莱布尼茨世时开始出现种争英国欧洲陆国少科学家卷入场旷日持久尖锐复杂战场战持续100年时间
创造发表年代较牛顿创造微积分基定理莱布尼茨更早前者奠基1665—1667年者1672—1676年莱布尼茨牛顿更早发表微积分成果发明微积分荣誉应属两
第二次数学危机微积分逻辑严格化
微积分诞生数学迎次空前繁荣时期18世纪数学产生重深远影响牛顿莱布尼茨微积分缺乏清晰严谨逻辑基础初创时期避免科学巨需战胜逻辑顾忌需做事情太急攫取新成果基问题先放放正达朗贝尔说：前进会产生信心数学史发展证明创造总领先形式化逻辑基础
微积分发展程中出现样局面：方面微积分创立立科学技术获应迅速发展方面微积分学理时严密出现越越悖谬数学发展遇深刻令安危机例时穷量作零限量等式两端消时令穷量零忽略计矛盾引起数学界极争时爱尔兰教唯心义哲学家贝克莱嘲笑穷量已死幽灵贝克莱牛顿导数定义进行批判
时牛顿导数定义：
x增长x+o时x立方（记x^3）成（x+o）立方（记(x+o）^3)x^3+3 x^2o+ 3x o^2+ o^3xx^3增量分o3 x^2o+ 3x o^2+ o^3两增量x增量分13 x^2+ 3x o+ o^2然增量消失13 x^2知道结果正确推导程确实存着明显偷换假设错误：证前部分假设o0证部分取0o底0呢？著名贝克莱悖种微积分基础引发危机数学史称第二次数学危机次危机引发牛顿直接关系历史求微积分严格基础
第补救第二次数学危机提出真正见意见达朗贝尔1754年指出必须理代时粗糙极限理未提供样理早微积分严格化拉格朗日避免穷推理时明确极限概念拉格朗日试图整微积分建立泰勒展开式基础样考虑函数范围太窄极限概念法讨穷级数收敛问题拉格朗日幂级数工具代数方法未解决微积分奠基问题
19世纪出现批杰出数学家积极微积分奠基工作努力中包括捷克哲学家BBolzano著穷悖明确提出级数收敛概念极限连续变量较深入解
分析学奠基法国数学家柯西1821—1823年间出版分析教程穷计算讲义数学史划时代著作里出数学分析系列基概念精确定义
分析基础做更深步理解求发生1874年时德国数学家外尔斯特拉斯构造没导数连续函数构造条没切线连续曲线直观概念矛盾认识极限概念连续性微性收敛性实数系赖想象深奥黎曼发现柯西没必定积分限制连续函数黎曼证明积函数连续定积分存柯西积分改进Riemann积分
事实明白分析建立完善基础方面需深挖步：理解实数系更深刻性质项工作终外尔斯特拉斯完成数学分析完全实数系导出脱离知觉理解直观样数学分析基概念通实数基运算表述出微积分严格化工作终接封顶关限概念没完全弄清楚领域德国数学家Cantor做出杰出贡献
总第二次数学危机核心微积分基础稳固柯西贡献微积分建立极限基础外尔斯特拉斯贡献逻辑构造实数建立分析基础逻辑序
实数系——极限——微积分
18世纪分析学
驱动18世纪微积分学断前发展动力物理学需物理问题表达般微分方程形式18世纪称数学史英雄世纪微积分应天文学力学光学热学等领域获丰硕成果数学身发展出元微分学重积分学微分方程穷级数理变分法扩展数学研究范围
中著名数速降线问题：快降曲线问题难题变分法理轻易举解决
微积分现代发展
类然认识永远会止步微积分门学科现代直发展着列举例子足说明类认识微积分水断深化
RiemannCauchy积分含义扩展Lebesgue引进测度概念进步Riemann积分含义扩展例著名Dirichilet函数Riemann积分积Lebesgue积分便积
前苏联著名数学师伯列夫确定偏微分方程解存性唯性建立广义函数广义导数概念概念引入仅赋予微分方程解新含义更重泛函分析等现数学工具应微分方程理中开辟微分方程理新天
国数学泰斗陈省身先生研究微分领域便利微积分理研究门学科类认识时间空间性质发挥巨作门学科然活跃前久国数学家朱熹曹怀东完成封顶庞加莱猜想便属领域
元微积分学中Newton—Leibniz公式物Green公式Ostrogradsky—Gauss公式典Stokes公式观念者技术层次Newton—Leibniz公式推广着数学身发展需解决问题需仅仅考虑欧式空间中微积分够必微积分演出舞台欧式空间进步拓展般微分流形微分流形外微分式扮演着重角色外微分式积分微分流形Stokes公式产生典Green公式Ostrogradsky—Gauss公式Stokes公式统
微积分发展历史表明认识生动直观开始进达抽象思维感性认识理性认识程类客观世界规律性认识具相性受时代局限着类认识深入认识步步低级高级全面较全面发展类然探索永远会终点
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微积分（Calculus）高等数学中研究函数微分积分关概念应数学分支数学基础学科容包括极限微分学积分学应微分学包括求导数运算套关变化率理函数速度加速度曲线斜率等均套通符号进行讨积分学包括求积分运算定义计算面积体积等提供套通方法
微积分基介绍
微积分学基定理指出求定积分求导函数互逆运算[限代入定积分积分值微分导数值变量增量积]两种理统成微积分学原两者中意者起点讨微积分学教学中微分学般会先引入
微积分学微分学积分学总称种数学思想限细分’微分限求’积分十七世纪半叶牛顿莱布尼茨完成许数学家参加准备工作分独立建立微积分学建立微积分出发点直观穷量理基础牢固限概念法已拥代数公式进行演算直十九世纪柯西维尔斯特拉斯建立极限理康托尔等建立严格实数理门学科严密化
学微积分学首步理解极限引入必性：代数已熟悉概念代数法处理限概念必须利代数处理代表限量时精心构造极限概念极限定义中知道概念绕数0麻烦相反引入程意量说数零意义时量取意满足德尔塔区间该意量说极限该数——认投机取巧实性证明样定义算较完善出正确推性概念成功
微积分实际应联系着发展起天文学力学化学生物学工程学济学等然科学社会科学应科学等分支中越越广泛应特计算机发明更助应断发展
客观世界切事物粒子宇宙始终运动变化着数学中引入变量概念运动现象数学加描述
函数概念产生运加深科学技术发展需门新数学分支继解析产生微积分学微积分学门学科数学发展中位十分重说继欧氏全部数学中创造
微积分质
参考文献 刘里鹏割圆术走穷——揭秘微积分长沙：湖南科学技术出版社2009
1．文字表述：
增量限趋零割线限趋切线曲线限趋直线直代曲线性化方法解决非线性问题微积分理精髓
2．式子表示：
微积分基方法
微积分基原理告诉微分积分互逆运算微积分精髓告诉解决非线性问题质原化曲直现实生活中会遇非线性问题解决样问题没统方法呢？
研究思考总结笔者认微积分基方法：先微分积分
笔者现教材没注意基问题总结基教材讲积分时重复古限细分取极限思想讲弧长时取极限讲面积时取极限约等号发样仅学生听满头雾水牵强附会嫌实懂微积分质基方法根需重复
微积分学建立
微积分成门学科说十七世纪微分积分思想古代已产生
公元前三世纪古希腊阿基米德研究解决抛物弓形面积球球冠面积螺线面积旋转双曲体体积问题中隐含着代积分学思想作微分学基础极限理说早古代较清楚述国庄周著庄子书天篇中记尺棰日取半万世竭三国时期刘徽割圆术中提割弥细失弥割割割圆周体失矣朴素典型极限概念
十七世纪许科学问题需解决问题成促微积分产生素结起约四种类型问题：第类研究运动时候直接出现求时速度问题第二类问题求曲线切线问题第三类问题求函数值值问题第四类问题求曲线长曲线围成面积曲面围成体积物体重心体积相物体作物体引力
十七世纪许著名数学家天文学家物理学家解决述类问题作量研究工作法国费马笛卡尔罗伯瓦笛沙格英国巴罗瓦里士德国开普勒意利卡瓦列利等提出许建树理微积分创立做出贡献
十七世纪半叶前工作基础英国科学家牛顿德国数学家莱布尼茨分国度里独研究完成微积分创立工作然十分初步工作功绩两貌似毫相关问题联系起切线问题（微分学中心问题）求积问题(积分学中心问题)
牛顿莱布尼茨建立微积分出发点直观穷量门学科早期称穷分析正现数学中分析学分支名称源牛顿研究微积分着重运动学考虑莱布尼茨侧重学考虑
牛顿1671年写流数法穷级数书直1736年出版书里指出变量点线面连续运动产生否定前认变量穷元素静止集合连续变量做流动量流动量导数做流数牛顿流数术中提出中心问题：已知连续运动路径求定时刻速度（微分法）已知运动速度求定时间路程(积分法)
德国莱布尼茨博学学者1684年发表现世界认早微积分文献篇文章长古怪名字种求极极切线新方法适分式理量种新方法奇妙类型计算样篇说理颇含糊文章划时代意义已含现代微分符号基微分法1686年莱布尼茨发表第篇积分学文献历史伟符号学者创设微积分符号远远优牛顿符号微积分发展极影响现微积分通符号时莱布尼茨精心选
微积分学创立极推动数学发展初等数学束手策问题运微积分迎刃解显示出微积分学非威力
前面已提门科学创立决某业绩必定少努力积累量成果基础某总结完成微积分样
幸欣赏微积分宏伟功效余提出谁门学科创立者时候竟然引起场悍然波造成欧洲陆数学家英国数学家长期立英国数学时期里闭关锁国囿民族偏见拘泥牛顿流数术中停步前数学发展整整落百年
实牛顿莱布尼茨分独立研究体相时间里先完成较特殊牛顿创立微积分莱布尼茨早10年左右正式公开发表微积分理莱布尼茨牛顿发表早三年研究长处短处时候民族偏见关发明优先权争竟1699年始延续百年
应该指出历史项重理完成历段时间样牛顿莱布尼茨工作完善穷穷量问题说十分含糊牛顿穷量时候零时候零限量莱布尼茨圆说基础方面缺陷终导致第二次数学危机产生
直19世纪初法国科学学院科学家柯西首微积分理进行认真研究建立极限理德国数学家维尔斯特拉斯进步严格化极限理成微积分坚定基础微积分进步发展开
新兴具量前途科学成吸引着广科学工作者微积分历史闪烁着样明星：瑞士雅科布•贝努利兄弟约翰•贝努利欧拉法国拉格朗日柯西……
欧氏古中世纪代数学种常量数学微积分真正变量数学数学中革命微积分高等数学分支局限解决力学中变速问题驰骋代现代科学技术园里建立数清丰功伟绩
微积分基容
研究函数量方面研究事物运动变化微积分基方法种方法做数学分析
广义说数学分析包括微积分函数等许分支学科现般已惯数学分析微积分等起数学分析成微积分义词提数学分析知道指微积分微积分基概念容包括微分学积分学
微分学容包括：极限理导数微分等
积分学容包括：定积分定积分等
微积分科学应联系着发展起初牛顿应微积分学微分方程第谷浩瀚天文观测数进行分析运算万引力定律进步导出开普勒行星运动三定律微积分学成推动代数学发展强引擎时极推动天文学物理学化学生物学工程学济学等然科学社会科学应科学分支中发展学科中越越广泛应特计算机出现更助应断发展
元微分
定义： 设函数y f(x)某区间定义x0x0 + Δx区间果函数增量Δy f(x0 + Δx) – f(x0)表示 Δy AΔx0 + o(Δx0)（中A赖Δx常数）o(Δx0)Δx高阶穷称函数f(x)点x0微AΔx称作函数点x0相应变量增量
Δx微分记作dydy Adx
通常变量x增量 Δx称变量微分记作dxdx Δx函数y f(x)微分记作dy f＇(x)dx函数微分变量微分商等该函数导数导数做微商
意义
设Δx曲线y f(x)点M横坐标增量Δy曲线点M应Δx坐标增量dy曲线点M切线应Δx坐标增量|Δx|时|Δy－dy||Δy|(高阶穷)点M附切线段似代曲线段
元微分
元微分全微分两变量偏导数相应元微分增量表示
ΔZA*ΔX+B*ΔY+ο(ρ)函数Z点（xy)处全增量（中AB赖ΔXΔYxy关ρ[（x∧2+y∧2)]∧(1＼2)A*ΔX+B*ΔYZ点全微分
总说微分学核心思想便直代曲微邻域段切线段代曲线简化计算程
积分两种：定积分定积分
定积分微分逆运算知道函数导函数反求原函数应定积分作仅量应求通俗说求曲边三角形面积巧妙求解方法积分特殊性质决定
函数定积分（称原函数）指族函数族函数导函数恰前函数
中：[F(x) + C]＇ f(x)
实变函数区间[ab]定积分实数等该函数原函数b值减a值
定积分定积分定义迥然定积分求图形面积求微元元素累加定积分求原函数通称积分呢？牛顿莱布尼茨贡献毫相关两事物紧密联系起详见牛顿——莱布尼茨公式
阶微分高阶微分
函数阶导数应微分称阶微分
阶微分微分称二阶微分
n阶微分微分称(n+1)阶微分
d(n)yf(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n阶导数d(n)y指n阶微分dx^n指dxn次方)
含未知函数ytf(t)yt差分Dyt D2yt…函数方程称常差分方程(简称差分方程)出现差分方程中差分高阶数称差分方程阶n阶差分方程般形式
F(tytDyt… Dnyt)0
中Ftyt Dyt… Dnyt已知函数Dnyt定方程中出现
含两两函数值ytyt+1…函数方程称(常)差分方程出现差分方程中未知函数标差称差分方程阶n阶差分方程般形式
F(tytyt+1…yt+n)0
中Ftytyt+1…yt+n已知函数ytyt+n定差分方程中出现
常微分方程偏微分方程总称含变量未知函数微商（偏微商）方程称常（偏）微分方程未知函数元函数微分方程称常微分方程未知函数元函出现元函数偏导数方程称偏微分方程
微积分诞生重意义
微积分诞生继Euclid建立数学发展里程碑式事件微积分诞生前类基处农耕文明时期解析诞生新时代序曲新时代开端旧数学作总结代数融体引发出变量概念变量全新概念研究运动提供基础
推导出量宇宙定律必须等样时代准备方面思想产生牛顿莱布尼茨拉普拉斯样批够开创未科学活动提供方法指出方领袖必须等创立必少工具——微积分没微积分推导宇宙定律17世纪天开发知识宝库中领域丰富微积分创立许新学科提供源泉
微积分建立类头脑伟创造部微积分发展史类步步顽强认识客观事物历史类理性思维结晶出整套科学方法开创科学新纪元加强加深数学作恩格斯说：
切理成中未必什17世纪半叶微积分发现样作类精神高胜利果某方类精神纯粹惟功绩正里
微积分类力握运动程微积分工业革命工业生产现代化社会航天飞机宇宙飞船等现代化交通工具微积分直接果微积分帮助万引力定律发现牛顿公式描述太阳行星作球附物体作尘埃遥远天体运动行宇宙中没角落定律包含范围类认识史次空前飞跃仅具伟科学意义具深远社会影响强力证明宇宙数学设计摧毁笼罩天体神秘义迷信神学场空前巨席卷代世界科学运动开始毫疑问微积分发现世界代科学开端
微积分优先权争
历史微积分两位科学家牛顿莱布尼茨时发现创立微积分方面莱布尼茨牛顿功绩相两位数学家微积分学领域中卓越贡献概括起：总结出处理种关问题般方法认识求积问题切线问题互逆特征揭示出微分学积分学间质联系建立微积分学基定理出微积分概念法公式符号理微积分学进步发展奠定坚实重基础总创立作门独立学科微积分学
微积分种数学分析方法正式诞生解决许初等数学法作答实际问题逐渐引起科学家社会士重视时带关谁先建立微积分问题争牛顿莱布尼茨世时开始出现种争英国欧洲陆国少科学家卷入场旷日持久尖锐复杂战场战持续100年时间
创造发表年代较牛顿创造微积分基定理莱布尼茨更早前者奠基1665—1667年者1672—1676年莱布尼茨牛顿更早发表微积分成果发明微积分荣誉应属两
第二次数学危机微积分逻辑严格化
微积分诞生数学迎次空前繁荣时期18世纪数学产生重深远影响牛顿莱布尼茨微积分缺乏清晰严谨逻辑基础初创时期避免科学巨需战胜逻辑顾忌需做事情太急攫取新成果基问题先放放正达朗贝尔说：前进会产生信心数学史发展证明创造总领先形式化逻辑基础
微积分发展程中出现样局面：方面微积分创立立科学技术获应迅速发展方面微积分学理时严密出现越越悖谬数学发展遇深刻令安危机例时穷量作零限量等式两端消时令穷量零忽略计矛盾引起数学界极争时爱尔兰教唯心义哲学家贝克莱嘲笑穷量已死幽灵贝克莱牛顿导数定义进行批判
时牛顿导数定义：
x增长x+o时x立方（记x^3）成（x+o）立方（记(x+o）^3)x^3+3 x^2o+ 3x o^2+ o^3xx^3增量分o3 x^2o+ 3x o^2+ o^3两增量x增量分13 x^2+ 3x o+ o^2然增量消失13 x^2知道结果正确推导程确实存着明显偷换假设错误：证前部分假设o0证部分取0o底0呢？著名贝克莱悖种微积分基础引发危机数学史称第二次数学危机次危机引发牛顿直接关系历史求微积分严格基础
第补救第二次数学危机提出真正见意见达朗贝尔1754年指出必须理代时粗糙极限理未提供样理早微积分严格化拉格朗日避免穷推理时明确极限概念拉格朗日试图整微积分建立泰勒展开式基础样考虑函数范围太窄极限概念法讨穷级数收敛问题拉格朗日幂级数工具代数方法未解决微积分奠基问题
19世纪出现批杰出数学家积极微积分奠基工作努力中包括捷克哲学家BBolzano著穷悖明确提出级数收敛概念极限连续变量较深入解
分析学奠基法国数学家柯西1821—1823年间出版分析教程穷计算讲义数学史划时代著作里出数学分析系列基概念精确定义
分析基础做更深步理解求发生1874年时德国数学家外尔斯特拉斯构造没导数连续函数构造条没切线连续曲线直观概念矛盾认识极限概念连续性微性收敛性实数系赖想象深奥黎曼发现柯西没必定积分限制连续函数黎曼证明积函数连续定积分存柯西积分改进Riemann积分
事实明白分析建立完善基础方面需深挖步：理解实数系更深刻性质项工作终外尔斯特拉斯完成数学分析完全实数系导出脱离知觉理解直观样数学分析基概念通实数基运算表述出微积分严格化工作终接封顶关限概念没完全弄清楚领域德国数学家Cantor做出杰出贡献
总第二次数学危机核心微积分基础稳固柯西贡献微积分建立极限基础外尔斯特拉斯贡献逻辑构造实数建立分析基础逻辑序
实数系——极限——微积分
18世纪分析学
驱动18世纪微积分学断前发展动力物理学需物理问题表达般微分方程形式18世纪称数学史英雄世纪微积分应天文学力学光学热学等领域获丰硕成果数学身发展出元微分学重积分学微分方程穷级数理变分法扩展数学研究范围
中著名数速降线问题：快降曲线问题难题变分法理轻易举解决
微积分现代发展
类然认识永远会止步微积分门学科现代直发展着列举例子足说明类认识微积分水断深化
RiemannCauchy积分含义扩展Lebesgue引进测度概念进步Riemann积分含义扩展例著名Dirichilet函数Riemann积分积Lebesgue积分便积
前苏联著名数学师伯列夫确定偏微分方程解存性唯性建立广义函数广义导数概念概念引入仅赋予微分方程解新含义更重泛函分析等现数学工具应微分方程理中开辟微分方程理新天
国数学泰斗陈省身先生研究微分领域便利微积分理研究门学科类认识时间空间性质发挥巨作门学科然活跃前久国数学家朱熹曹怀东完成封顶庞加莱猜想便属领域
元微积分学中Newton—Leibniz公式物Green公式Ostrogradsky—Gauss公式典Stokes公式观念者技术层次Newton—Leibniz公式推广着数学身发展需解决问题需仅仅考虑欧式空间中微积分够必微积分演出舞台欧式空间进步拓展般微分流形微分流形外微分式扮演着重角色外微分式积分微分流形Stokes公式产生典Green公式Ostrogradsky—Gauss公式Stokes公式统
微积分发展历史表明认识生动直观开始进达抽象思维感性认识理性认识程类客观世界规律性认识具相性受时代局限着类认识深入认识步步低级高级全面较全面发展类然探索永远会终点
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