高中数学知识架构
（完整）
作者 靳老师
班 级_____________
姓 名______________
目录
预备部分 初中知识复6
第部分 集合运算7
第二部分 方程等式8
(绝值方程等式次二次方程等式)
第三部分 函数11
(常数函数次函数二次函数指数函数数函数三角函数简谐振动)
第四部分 函数性质18
(单调性奇偶性反函数周期性图移伸缩导性定积分)
第五部分 数列23
(等差数列等数列)
第六部分 命题简易逻辑25
(原命题否命题逆命题逆否命题非全称量词存量词)
第七部分 量26
(点线面垂直行二维量三维量)
第八部分 直线圆方程32
(点斜式斜截式两点式截距式般式点线距离公式
定分点公式)
第九部分 圆锥曲线34
(椭圆双曲线抛物线弦长公式)
第十部分 统计37
(机抽样线性回独立性检验)
第十部分 概率41
(排列组合古典概型概型两点分布超分布二项分布正态分布期方差)
第十二部分 复数运算44
(实部虚部虚数单位i加法减法法法)
第十三部分 推理证明46
数学（必修1）教A版
第章 集合函数概念
11 集合
12函数表示
13 函数基性质
第二章 基初等函数(Ⅰ)
21 指数函数
22 数函数
23 幂函数
第三章 函数应
31 函数方程
32 函数模型应
（必修2）教A版
第章 空间体
11 空间体结构
12 空间体三视图直观图
13 空间体表面积体积
第二章 点直线面间位置关系
21空间点直线面间位置关系
22 直线面行判定性质
23 直线面垂直判定性质
第三章 直线方程
31 直线倾斜角斜率
32 直线方程
33 直线交点坐标距离公式
第四章 圆方程
41 圆方程
42直线圆位置关系
43空间直角坐标系
（必修3）教A版
第章 算法初步
11 算法程序框图
12 基算法语句
13 算法案例
第二章 统计
21 机抽样
22 样估计总体
23 变量间相关关系
第三章 概率 31 机事件概率 32 古典概型 33 概型
（必修4）教A版
第章 三角函数
11意角弧度制
12 意角三角函数
13 三角函数诱导公式
14 三角函数图性质
15 函数图
16 三角函数模型简单应
第二章 面量
21 面量实际背景基概念
22 面量线性运算
23 面量基定理坐标表示
24 面量数量积
25 面量应举例
第三章 三角恒等变形
31 两角差正弦余弦正切公式
32 简单三角恒等变形
（必修5）教A版
第章 解三角形
11 正弦定理余弦定理
12 应举例
第二章 数列
21 数列概念简单表示法
22 等差数列
23 等差数列前n项
24 等数列
25 等数列前n项
第三章 等式
31等关系等式
32 元二次等式解法
33 二元次等式(组)简单线性
34 基等式
文（选修11）教版
理（选修21）教版
第章 常逻辑语
11 命题关系
第章 常逻辑语
11命题关系
12 充分条件必条件
13 简单逻辑联结词
14 全称量词存量词
12充分条件必条件
13简单逻辑联结词
14全称量词存量词
第二章 圆锥曲线方程
21 椭圆
22 双曲线
23 抛物线
第二章 圆锥曲线方程
21曲线方程
22椭圆
23双曲线
24抛物线
第三章 导数应
31 变化率导数
32 导数计算
33 导数研究函数中应
34 生活中优化问题举例
第三章 空间量立体
31空间量运算
32立体中量方法
文（选修12）教版
理（选修22）教育版
第章 统计案例
11 回分析基思想初步应
12 独立性检验基思想初步应
第章 导数应
11变化率导数
12导数计算
13导数研究函数中
应
14生活中优化问题举例
15定积分概念
16微积分基定理
17定积分简单应
第二章 推理证明
21 合情推理演绎推理
22 直接证明间接证明
第二章 推理证明
21合情推理演绎推理
22直接证明间接证明
23数学纳法
第三章 数系扩充复数引入
31 数系扩充复数概念
32 复数代数形式四运算
第三章 数系扩充复数引入
31数系扩充复数概念
32复数代数形式四运算
第四章 框图
41 流程图
42 结构图
理（选修23）教版
第章 计数原理
11分类加法计数原理分步法计数原理
12排列组合
13二项式定理
第二章 机变量分布
21离散型机变量分布列
22二项式应
23离散型机变量均值方差
24正态分布
第三章 统计案例
31回分析基思想初步应
32独立性检验基思想初步应
理（选修45）教版
第章 等式绝值等式
11等式
12绝值等式
第二章 证明等式基方法
21较法
22综合法分析法
23反证法放缩法
第三章 柯西等式排序等式
31二维形式柯西等式
32般形式柯西等式
33排序等式
第四章 数学纳法证明等式
41数序纳法
42数学纳法证明等式
初中知识复
∞
+∞
0
1
1实数轴
2完全方公式
3方差公式
4运算
5中点坐标公式
6勾股定理
勾股数组 345 6810 51213
第部分 集合运算（必修1）
1集合定义干指定象集起
2表示法
a：{012}列举法
b：{x|x>2}描述法
c ： 文氏图法
d特殊符号：
空集
N然数集 正整数集(然数集合中掉零)
Z整数集 Q理数集
R实数集 C复数集
3集合中元素具性质：
①
②
③
4关系
a集合元素关系(否属关系)(AB代表集合m代表元素)
mA关系
b集合集合关系(否包含关系)
AB关系
定理1空集意集合子集意非空集合真子集
定理2：集合A中元素数n时A
5运算
文氏图
数学表达式
种运算
说明
取AB公元素
取AB元素
相全集I求A补集
第二部分 方程等式
1 方程定义含未知量等式(初中)
2 ①绝值方程(初中)
|xa|表示数轴点x点a距离
例1求解
分析：图示
解：
例2求解
分析：图示
解：
②绝值等式（必修5）
形态1
图(1)
形态2
图(2)
3①元次方程（初中）
形元次方程
例1
②元次等式（必修5）
定理等式两侧时加者减数等式改变符号时者负数改变等式符号 (正数变号)
4①元二次方程（初中）
形元二次方程
解法(公式法)
（第步首先计算）判式
（第二步确定属面类型）
解法二(十字交叉法)
例
分析
(错) ()
解
注法关键系数ac拆分成两数积拆分数交叉相必须等系数b元二次方程拆分
定理(韦达定理)(名根系数关系)
元二次方程解情况
②元二次等式（必修5）
形态1求解
解令
形态2求解
解
步骤总结：1解等式先解等式2画草图号
形态3求解
解
解集
5基等式（必修5）
1)源
①
②
2)基等式注意事项
口诀1正2定3相等
①1正指参加运算量必须正数
②2定指参加运算量定值积定值
③3相等指参加运算量相等时均值等式取等号
第三部分 函数
1 定义集合A中元素x应法f集合B中唯元素y应称整体函数 （必修1）
记作
2 函数三素（必修1）
①定义域值域
定义域般情况会出题目没出时定义域默认函数表达式意义变量取值范围
常见陷阱处
①分母零 ②偶次根号量等零
③底数位置量零等1
④真数位置量零
⑤双零结构
例 求定义域
解
定义域
②应法
谓应法指运算混合物掌握运算四八
加ß>减 ßà 方ßà开方 指数ß>数
常见函数
a常数函数
b次函数
c二次函数
d指数函数
e数函数
f三角函数
具体（注意：学函数核心点学系数）
a常数函数图行x轴条直线 （必修2）
b次函数（必修2）
通式
例
图直线(两点确定条直线)
①系数a
图坡增函数
图坡减函数
②系数b决定图y轴截距
c二次函数
通式
例
图抛物线
系数a
图开口
图开口
系数ba决定称轴 顶点坐标
系数c决定图y轴截距
表达式外形式
(般式)
(顶点式)
(双根式)
de指数函数数函数(必修1)
运算法 指数运算 数运算
指数运算数运算关系
时
指数函数数函数区联系
函
数
性
质
指数函数
数函数
表达式
图
函数存条件
底数满足
单调性
时减函数î时增函数ì
f三角函数 （必修4）
1角：端点两条射线组成图形
（图示）
a顶点原点x正半轴出发处
逆时针旋转角正角（角1）
时针旋转角负角 （角2）
b角两种单位制
角度制 (特点头圆圈)
弧度制 (弧度制中表示角需身影)
c角终边相角组成集合
角终边条直线角组成集合
3a三角函数定义设角终边意点(原点)
b角三角函数关系式
c诱导公式
口诀奇变偶变符号象限
(注奇偶指奇数倍偶数倍符号指做锐角原函数相应象限符号)
d常三角函数值
角
函
数
0
0
1
1
0
0
1
e图(五点作图法)
f差公式
g辅助角公式
(中角 符号确定)
h倍角公式
(降幂公式)
i 正弦型函数 (简谐振动)
科学实验工程技术某现象中常会碰种周期运动简谐运动正弦型函数
表示 中振幅角频率 初相角正周期
j解三角形题目
两边第三边两边第三边
角
面积公式
正弦定理余弦定理（必修5）
定理
正弦定理
余弦定理
格局（暗示）
边角应
两边夹角边
公式
公式变形
解情况
互补角正弦值相等
角解两
互补角余弦值相反
角解
第四部分 函数性质
1单调性奇偶性(必修1)
性
质
项
目
单调性 (名增减性)
奇偶性 (名称性)
范围
某区间A定整定义域
整定义域
判定
质
较变量x变量y变化趋势步增函数异步减函数
定义域关原点称情况较f(x)f(x)两表达式
相等偶函数相反奇函数余情况非奇非偶函数
图
坡增函数坡减函数
图关y轴称偶函数
图关原点称奇函数
补充
1区间A>0
A增函数
区间A<0
A减函数
2单调函数定反函数二者相单调性
1定义域关原点称函数具奇偶性必充分条件
2奇函数f(x)x0处定义必然f(0)0
例已知函数f(2)7求f(2)值
分析
解令 知 奇函数
2反函数
什样函数反函数
答满足应函数反函数
果函数反函数求
答步骤1求原函数值域2原函数表达式求反函数表达式
3互换xy写出结
例求函数反函数
解 步利次函数单调性
互换
求反函数
原函数反函数什联系
答1二者定义域值域相互交错
2坐标系两函数图关直线yx称
3周期性
判定函数f(x)满足f(x)f(x+T)
f(x)周期函数 T函数周期
定理函数关两条直线称f(x)周期函数2|ba|周期
例已知f(x)3周期奇函数f(1)7求f(4)
解f(x)奇函数f(1)7f(1)7
∵3f(x)周期
∴f(4) f(1+3) f(1)7
4函数图象移伸缩
前 yf(x) yf(ax+b)
图已知 图未知
注1加减运算决定移 运算决定伸缩
2(序方面)剥洋葱(手法方面)反操作
3 处仅变量x例变量y法样适
例 已知(前) 求()
yf(x) yf(2x3)
yf[2(x32)]
手法
1)y坐标变图水右移3单位
2)y坐标变x坐标压缩原12倍
手法
1) y坐标变x坐标压缩原12倍
2) y坐标变图水右移32单位
5导性(选修1122)
1)常导数公式
①
导数运算式
导数意义
函数处导数值函数处切线斜率值K
K
导数出题目
A求切线
B求函数单调区间
C求函数极值值
例求极值[03]值
解
2
（22）
2
>0
0
<0
0
>0
增
减
增
处极值
处极值
[03]值
值
D定积分（选修22）
(1)表示曲边梯
形(阴影)面积
(2)定积分性质
(3)牛莱公式(微积分基定理)
原函数 导函数
例汽车速度时间曲线图示求汽车1分钟路程
解速度时间曲线知
行驶路程
答汽车分钟路程1350m
第五部分 数列
1
等差数列
等数列
定义
第二项开始项减前项等固定常数样数列等差数列
第二项开始项前项等固定常数样数列等数列
通项公式
式
①时
错位相消
②时
中项定理
成等差
成等
桥梁公式
2特殊数列求
拆分型
例数列求
解
混合型
例数列中数列
中求前n项
解
第六部分 命题简易逻辑(选修1121)
1定义够判断真假陈述句命题
2关系
例
原命题 逆命题
否命题 逆否命题
定理果两命题具互逆否关系真假
3充分条件必条件
判断原
限制条件强 > 限制条件弱
(限制条件越强应区间数越越少)
4真值表 (中1’表真 0’表假)
P
q
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
5全称量词存量词
名称
符号
命题
代表
全称量词
全称命题
意
存量词
特称命题
存
第七部分 (必修2)量
(面量(必修4)空间量选修(21))
1
公理
记忆事
公理1图示
学生家学校两点线决定生
揭示两点确定条直线
公理2图示
揭示两面相交化会仅交点交条直线
开课
公理3图示
揭示现实中行车条腿放稳
停放行车
公理4图示
揭示行传递性
楼梯
2等角定理
等角定理略
图
(果考虑方两角互补)
3空间线面位置关系
1)行关系
角色
行判定定理
行性质定理
线
线
①中位线 ②行四边形
③梯形 ④倾斜角 ⑤斜率
线
面
符号语言
符号语言
面
面
符号语言
符号语言
2)垂直关系
角色
垂直判定定理
垂直性质定理
线
线
①角成 ②
勾股定理
线
面
符号语言
符号语言
面
面
符号语言
符号语言
4三垂线定理
点O垂足点A斜足
已知斜线PA面a射影OA
原命题
垂直射影垂直斜线
逆命题
垂直斜线垂直射影
5常见体表面积体积公式(指母线长指圆半径)
体
表面积
体积
图
柱体
锥体
球体
6量
1)a面量基定理
果面两线量面量实数
b 空间量基定理
果空间中面三量空间量组实数
2)量方量(数量)较 (图象线段)
（图示）
量坐标 (线段终点坐标)(线段始点坐标)
3) 移公式
点 方移新点
4)两点距离公式
①面两点距离公式
设面两点
②空间中两点距离公式
设空间中两点
5) 量运算
运算
法
二维(必修4)
三维(理科选修21)
加法
减法
数
数量积
垂直
(夹角)
行
(线)
模
满足勾股定理
第八部分 直线圆方程(必修2)
1直线
名称
细
方程
斜截式
斜率k直线y轴截距b
点斜式
直线点斜率k
两点式
直线点
截距式
直线x轴y轴
截距分
般式
2直线斜率三种求法
已知直线L两点
已知直线L倾斜角
利求导(适求曲线切线)
备注①斜率分类
②已知直线斜率分
3圆
圆
标准方程
般方程
表达式
圆心
半径
4点直线距离公式定分点公式
点线距离
定分点公式
设分
(公式特殊情况中点坐标公式)
5直线圆位置关系
讨直线圆位置关系时首先求出圆心直线距离OA
OA>r相离 OAr相切 OA
椭圆双曲线第二定义：
设点M面点点M定点(焦点)距离点M定直线(相应准线)距离等常数e
①时轨迹椭圆（e椭圆离心率）
②时轨迹双曲线（e双曲线离心率）
3抛物线
图形
方程
图形
方程
注：点具性抛物线点M定点距离点M定直线距离值常数e(离心率) (e1)
4弦长公式
直线L：圆锥曲线C（椭圆双曲线抛物线皆）交点
例1：已知直线交AB两点求
解
例2
已知 MRS中点
第十部分 统计
1统计核心思想局部代表整体 （必修3）
利局部性质特征代表整体性质特征理讲严谨甚说错误现实中时样做应该局部代表整体种手法够理满足严谨性求者说够说服承认种手法
2收集数手法
类
点
特点
适范围
例子
简单机抽样
抽样程中体抽取概率相等
总体中逐抽取
总体中数较少
摸彩球
系统抽样
总体均分成堆确定间隔堆抽取
总体中数较
班中选组长
分层抽样
总体分成层层例进行抽取
总体差异明显部分组成
老中青体检
3应（选修12选修23）
第种问题 变量间相互关系回分析
例：果想知道高三男学生身高体重什关系应做
数选取根抽样方法适分层抽样者简单机抽样获数数表(身高解释变量体重预测变量)
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重kg
48
57
50
54
64
61
43
59
计算体重均值
(kg)
果身高体重没关系身高体重应545kg事实样应该某种关系表格直观太少通画图增强直观性
做散点图
图出样点呈条状分布身高体重较线性相关关系(眼睛观察粗略判断)定量计算判断相关系数r知识r关知识
两变量相关系数计算公式
注 称西格玛’n数组数
判断标准
例中r0798表明体重身高强线性相关关系线性回方程似刻画间关系
设两变量线性回方程 斜率截距
中
根面公式计算
回方程
检验模型拟合效果
种方法通残差判断模型拟合效果判断原始数中否数 中(实际值减预测值)
图出第样点第六样点残差较需确认采集两样点程中否错误
外相关指数刻画回效果(越拟合效果越)公式
方关系
名称
数值
产生原
总偏差方
解释变量机误差引起
残差方
机误差引起
回方
(总偏差方)(残差方)
解释变量引起
第二种问题检验两分类变量否关系独立性检验
假设两分类变量XY样频数列联表
总计
总计
推断述HXY关系
方法两种
第种通三维柱形图二维条形图粗略判断两变量否关系
三维柱形图中角线两数值积次角线两数值积相差越 结H成立性越
二维条形图中两值相差越结H成立性越
第二种定量计算法
步骤假设两变量没关系
计算推出概率事件中
中
查表
050
040
025
015
010
005
0025
0010
0005
0001
0455
0708
1323
2072
2706
3841
5024
6635
7879
10828
判断两变量种程度关系
例某医院患心脏病住院665名男性病中214秃顶772名患心脏病住院男性病中175秃顶求否99握认秃顶患心脏病关系什
解根题意列联表
患心脏病
病患
总计
秃顶
214
175
389
秃顶
451
597
1048
总计
665
772
1437
99握认秃顶患心脏病关
第十部分 概率（必修3）
1排列组合 (选修23)
排列
组合
定义
n元素中取出m元素排列数记
n元素中取出m元素组合数记
公式
性质
2古典概形(投骰子摸球抽卡片)
3概形(等车染色等)
4注意事项
事件概率区间[01]
事件A事件B满足时称AB互斥时
加法公式
加限制条件(全集)
已知事件A发生条件B发生性条件概率(理科)
特殊情形AB相互独立时法公式
5离散型机变量（选修23）
定义离散型机变量X取值应概率分表格
X
称X分布列
常见分布列
a两点分布机变量X两种取值中种概率p
X
0
1
P
1p
p
b超分布
N件产品中含M件次品现取n件中恰X件次品事件{Xk}发生概率分布
0
1
…
k
…
n
…
…
c二项分布
n次独立重复试验中次试验中事件A发生概率pn次试验中A恰发生k次概率分布
0
1
…
k
…
n
…
…
离散型机变量期方差
两点分布
二项分布
超分布
期
p
np
方差
P(1p)
np(1p)
6连续性机变量（选修23）
正态分布
正态分布密度曲线
果实数a
称X分布正态分布记作
正态曲线特点
注1曲线x轴方关称处达峰值
2曲线x轴间面积1
3定时 越曲线越瘦高 越曲线越矮胖
第十二部分 复数运算（选修12选修22）
1复数运算需产生实部虚部两部分组成
2表示形式
代数形式 中实部虚部(包括)
注复数运算时需注意
次幂开始出现循环4运算周期
形式线段(量相)
复数分类
3复数运算
量
运
算
加法
减法
法
法
注轭复数具轭关系两复数实部相虚部相反
复数轭复数实数(模方)
第十三部分 推理证明
1 （选修12选修22）
(般à特)
(特à般)
(合情理)
(特à特)
2 证明（选修12选修22）
3数学纳法（选修22）
步骤 1证明命题n1成立
2假设nk时命题成立基础证明出nk+1时命题成立
3综合12知命题证明完成
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班 级_____________
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目录
预备部分 初中知识复6
第部分 集合运算7
第二部分 方程等式8
(绝值方程等式次二次方程等式)
第三部分 函数11
(常数函数次函数二次函数指数函数数函数三角函数简谐振动)
第四部分 函数性质18
(单调性奇偶性反函数周期性图移伸缩导性定积分)
第五部分 数列23
(等差数列等数列)
第六部分 命题简易逻辑25
(原命题否命题逆命题逆否命题非全称量词存量词)
第七部分 量26
(点线面垂直行二维量三维量)
第八部分 直线圆方程32
(点斜式斜截式两点式截距式般式点线距离公式
定分点公式)
第九部分 圆锥曲线34
(椭圆双曲线抛物线弦长公式)
第十部分 统计37
(机抽样线性回独立性检验)
第十部分 概率41
(排列组合古典概型概型两点分布超分布二项分布正态分布期方差)
第十二部分 复数运算44
(实部虚部虚数单位i加法减法法法)
第十三部分 推理证明46
数学（必修1）教A版
第章 集合函数概念
11 集合
12函数表示
13 函数基性质
第二章 基初等函数(Ⅰ)
21 指数函数
22 数函数
23 幂函数
第三章 函数应
31 函数方程
32 函数模型应
（必修2）教A版
第章 空间体
11 空间体结构
12 空间体三视图直观图
13 空间体表面积体积
第二章 点直线面间位置关系
21空间点直线面间位置关系
22 直线面行判定性质
23 直线面垂直判定性质
第三章 直线方程
31 直线倾斜角斜率
32 直线方程
33 直线交点坐标距离公式
第四章 圆方程
41 圆方程
42直线圆位置关系
43空间直角坐标系
（必修3）教A版
第章 算法初步
11 算法程序框图
12 基算法语句
13 算法案例
第二章 统计
21 机抽样
22 样估计总体
23 变量间相关关系
第三章 概率 31 机事件概率 32 古典概型 33 概型
（必修4）教A版
第章 三角函数
11意角弧度制
12 意角三角函数
13 三角函数诱导公式
14 三角函数图性质
15 函数图
16 三角函数模型简单应
第二章 面量
21 面量实际背景基概念
22 面量线性运算
23 面量基定理坐标表示
24 面量数量积
25 面量应举例
第三章 三角恒等变形
31 两角差正弦余弦正切公式
32 简单三角恒等变形
（必修5）教A版
第章 解三角形
11 正弦定理余弦定理
12 应举例
第二章 数列
21 数列概念简单表示法
22 等差数列
23 等差数列前n项
24 等数列
25 等数列前n项
第三章 等式
31等关系等式
32 元二次等式解法
33 二元次等式(组)简单线性
34 基等式
文（选修11）教版
理（选修21）教版
第章 常逻辑语
11 命题关系
第章 常逻辑语
11命题关系
12 充分条件必条件
13 简单逻辑联结词
14 全称量词存量词
12充分条件必条件
13简单逻辑联结词
14全称量词存量词
第二章 圆锥曲线方程
21 椭圆
22 双曲线
23 抛物线
第二章 圆锥曲线方程
21曲线方程
22椭圆
23双曲线
24抛物线
第三章 导数应
31 变化率导数
32 导数计算
33 导数研究函数中应
34 生活中优化问题举例
第三章 空间量立体
31空间量运算
32立体中量方法
文（选修12）教版
理（选修22）教育版
第章 统计案例
11 回分析基思想初步应
12 独立性检验基思想初步应
第章 导数应
11变化率导数
12导数计算
13导数研究函数中
应
14生活中优化问题举例
15定积分概念
16微积分基定理
17定积分简单应
第二章 推理证明
21 合情推理演绎推理
22 直接证明间接证明
第二章 推理证明
21合情推理演绎推理
22直接证明间接证明
23数学纳法
第三章 数系扩充复数引入
31 数系扩充复数概念
32 复数代数形式四运算
第三章 数系扩充复数引入
31数系扩充复数概念
32复数代数形式四运算
第四章 框图
41 流程图
42 结构图
理（选修23）教版
第章 计数原理
11分类加法计数原理分步法计数原理
12排列组合
13二项式定理
第二章 机变量分布
21离散型机变量分布列
22二项式应
23离散型机变量均值方差
24正态分布
第三章 统计案例
31回分析基思想初步应
32独立性检验基思想初步应
理（选修45）教版
第章 等式绝值等式
11等式
12绝值等式
第二章 证明等式基方法
21较法
22综合法分析法
23反证法放缩法
第三章 柯西等式排序等式
31二维形式柯西等式
32般形式柯西等式
33排序等式
第四章 数学纳法证明等式
41数序纳法
42数学纳法证明等式
初中知识复
∞
+∞
0
1
1实数轴
2完全方公式
3方差公式
4运算
5中点坐标公式
6勾股定理
勾股数组 345 6810 51213
第部分 集合运算（必修1）
1集合定义干指定象集起
2表示法
a：{012}列举法
b：{x|x>2}描述法
c ： 文氏图法
d特殊符号：
空集
N然数集 正整数集(然数集合中掉零)
Z整数集 Q理数集
R实数集 C复数集
3集合中元素具性质：
①
②
③
4关系
a集合元素关系(否属关系)(AB代表集合m代表元素)
mA关系
b集合集合关系(否包含关系)
AB关系
定理1空集意集合子集意非空集合真子集
定理2：集合A中元素数n时A
5运算
文氏图
数学表达式
种运算
说明
取AB公元素
取AB元素
相全集I求A补集
第二部分 方程等式
1 方程定义含未知量等式(初中)
2 ①绝值方程(初中)
|xa|表示数轴点x点a距离
例1求解
分析：图示
解：
例2求解
分析：图示
解：
②绝值等式（必修5）
形态1
图(1)
形态2
图(2)
3①元次方程（初中）
形元次方程
例1
②元次等式（必修5）
定理等式两侧时加者减数等式改变符号时者负数改变等式符号 (正数变号)
4①元二次方程（初中）
形元二次方程
解法(公式法)
（第步首先计算）判式
（第二步确定属面类型）
解法二(十字交叉法)
例
分析
(错) ()
解
注法关键系数ac拆分成两数积拆分数交叉相必须等系数b元二次方程拆分
定理(韦达定理)(名根系数关系)
元二次方程解情况
②元二次等式（必修5）
形态1求解
解令
形态2求解
解
步骤总结：1解等式先解等式2画草图号
形态3求解
解
解集
5基等式（必修5）
1)源
①
②
2)基等式注意事项
口诀1正2定3相等
①1正指参加运算量必须正数
②2定指参加运算量定值积定值
③3相等指参加运算量相等时均值等式取等号
第三部分 函数
1 定义集合A中元素x应法f集合B中唯元素y应称整体函数 （必修1）
记作
2 函数三素（必修1）
①定义域值域
定义域般情况会出题目没出时定义域默认函数表达式意义变量取值范围
常见陷阱处
①分母零 ②偶次根号量等零
③底数位置量零等1
④真数位置量零
⑤双零结构
例 求定义域
解
定义域
②应法
谓应法指运算混合物掌握运算四八
加ß>减 ßà 方ßà开方 指数ß>数
常见函数
a常数函数
b次函数
c二次函数
d指数函数
e数函数
f三角函数
具体（注意：学函数核心点学系数）
a常数函数图行x轴条直线 （必修2）
b次函数（必修2）
通式
例
图直线(两点确定条直线)
①系数a
图坡增函数
图坡减函数
②系数b决定图y轴截距
c二次函数
通式
例
图抛物线
系数a
图开口
图开口
系数ba决定称轴 顶点坐标
系数c决定图y轴截距
表达式外形式
(般式)
(顶点式)
(双根式)
de指数函数数函数(必修1)
运算法 指数运算 数运算
指数运算数运算关系
时
指数函数数函数区联系
函
数
性
质
指数函数
数函数
表达式
图
函数存条件
底数满足
单调性
时减函数î时增函数ì
f三角函数 （必修4）
1角：端点两条射线组成图形
（图示）
a顶点原点x正半轴出发处
逆时针旋转角正角（角1）
时针旋转角负角 （角2）
b角两种单位制
角度制 (特点头圆圈)
弧度制 (弧度制中表示角需身影)
c角终边相角组成集合
角终边条直线角组成集合
3a三角函数定义设角终边意点(原点)
b角三角函数关系式
c诱导公式
口诀奇变偶变符号象限
(注奇偶指奇数倍偶数倍符号指做锐角原函数相应象限符号)
d常三角函数值
角
函
数
0
0
1
1
0
0
1
e图(五点作图法)
f差公式
g辅助角公式
(中角 符号确定)
h倍角公式
(降幂公式)
i 正弦型函数 (简谐振动)
科学实验工程技术某现象中常会碰种周期运动简谐运动正弦型函数
表示 中振幅角频率 初相角正周期
j解三角形题目
两边第三边两边第三边
角
面积公式
正弦定理余弦定理（必修5）
定理
正弦定理
余弦定理
格局（暗示）
边角应
两边夹角边
公式
公式变形
解情况
互补角正弦值相等
角解两
互补角余弦值相反
角解
第四部分 函数性质
1单调性奇偶性(必修1)
性
质
项
目
单调性 (名增减性)
奇偶性 (名称性)
范围
某区间A定整定义域
整定义域
判定
质
较变量x变量y变化趋势步增函数异步减函数
定义域关原点称情况较f(x)f(x)两表达式
相等偶函数相反奇函数余情况非奇非偶函数
图
坡增函数坡减函数
图关y轴称偶函数
图关原点称奇函数
补充
1区间A>0
A增函数
区间A<0
A减函数
2单调函数定反函数二者相单调性
1定义域关原点称函数具奇偶性必充分条件
2奇函数f(x)x0处定义必然f(0)0
例已知函数f(2)7求f(2)值
分析
解令 知 奇函数
2反函数
什样函数反函数
答满足应函数反函数
果函数反函数求
答步骤1求原函数值域2原函数表达式求反函数表达式
3互换xy写出结
例求函数反函数
解 步利次函数单调性
互换
求反函数
原函数反函数什联系
答1二者定义域值域相互交错
2坐标系两函数图关直线yx称
3周期性
判定函数f(x)满足f(x)f(x+T)
f(x)周期函数 T函数周期
定理函数关两条直线称f(x)周期函数2|ba|周期
例已知f(x)3周期奇函数f(1)7求f(4)
解f(x)奇函数f(1)7f(1)7
∵3f(x)周期
∴f(4) f(1+3) f(1)7
4函数图象移伸缩
前 yf(x) yf(ax+b)
图已知 图未知
注1加减运算决定移 运算决定伸缩
2(序方面)剥洋葱(手法方面)反操作
3 处仅变量x例变量y法样适
例 已知(前) 求()
yf(x) yf(2x3)
yf[2(x32)]
手法
1)y坐标变图水右移3单位
2)y坐标变x坐标压缩原12倍
手法
1) y坐标变x坐标压缩原12倍
2) y坐标变图水右移32单位
5导性(选修1122)
1)常导数公式
①
导数运算式
导数意义
函数处导数值函数处切线斜率值K
K
导数出题目
A求切线
B求函数单调区间
C求函数极值值
例求极值[03]值
解
2
（22）
2
>0
0
<0
0
>0
增
减
增
处极值
处极值
[03]值
值
D定积分（选修22）
(1)表示曲边梯
形(阴影)面积
(2)定积分性质
(3)牛莱公式(微积分基定理)
原函数 导函数
例汽车速度时间曲线图示求汽车1分钟路程
解速度时间曲线知
行驶路程
答汽车分钟路程1350m
第五部分 数列
1
等差数列
等数列
定义
第二项开始项减前项等固定常数样数列等差数列
第二项开始项前项等固定常数样数列等数列
通项公式
式
①时
错位相消
②时
中项定理
成等差
成等
桥梁公式
2特殊数列求
拆分型
例数列求
解
混合型
例数列中数列
中求前n项
解
第六部分 命题简易逻辑(选修1121)
1定义够判断真假陈述句命题
2关系
例
原命题 逆命题
否命题 逆否命题
定理果两命题具互逆否关系真假
3充分条件必条件
判断原
限制条件强 > 限制条件弱
(限制条件越强应区间数越越少)
4真值表 (中1’表真 0’表假)
P
q
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
5全称量词存量词
名称
符号
命题
代表
全称量词
全称命题
意
存量词
特称命题
存
第七部分 (必修2)量
(面量(必修4)空间量选修(21))
1
公理
记忆事
公理1图示
学生家学校两点线决定生
揭示两点确定条直线
公理2图示
揭示两面相交化会仅交点交条直线
开课
公理3图示
揭示现实中行车条腿放稳
停放行车
公理4图示
揭示行传递性
楼梯
2等角定理
等角定理略
图
(果考虑方两角互补)
3空间线面位置关系
1)行关系
角色
行判定定理
行性质定理
线
线
①中位线 ②行四边形
③梯形 ④倾斜角 ⑤斜率
线
面
符号语言
符号语言
面
面
符号语言
符号语言
2)垂直关系
角色
垂直判定定理
垂直性质定理
线
线
①角成 ②
勾股定理
线
面
符号语言
符号语言
面
面
符号语言
符号语言
4三垂线定理
点O垂足点A斜足
已知斜线PA面a射影OA
原命题
垂直射影垂直斜线
逆命题
垂直斜线垂直射影
5常见体表面积体积公式(指母线长指圆半径)
体
表面积
体积
图
柱体
锥体
球体
6量
1)a面量基定理
果面两线量面量实数
b 空间量基定理
果空间中面三量空间量组实数
2)量方量(数量)较 (图象线段)
（图示）
量坐标 (线段终点坐标)(线段始点坐标)
3) 移公式
点 方移新点
4)两点距离公式
①面两点距离公式
设面两点
②空间中两点距离公式
设空间中两点
5) 量运算
运算
法
二维(必修4)
三维(理科选修21)
加法
减法
数
数量积
垂直
(夹角)
行
(线)
模
满足勾股定理
第八部分 直线圆方程(必修2)
1直线
名称
细
方程
斜截式
斜率k直线y轴截距b
点斜式
直线点斜率k
两点式
直线点
截距式
直线x轴y轴
截距分
般式
2直线斜率三种求法
已知直线L两点
已知直线L倾斜角
利求导(适求曲线切线)
备注①斜率分类
②已知直线斜率分
3圆
圆
标准方程
般方程
表达式
圆心
半径
4点直线距离公式定分点公式
点线距离
定分点公式
设分
(公式特殊情况中点坐标公式)
5直线圆位置关系
讨直线圆位置关系时首先求出圆心直线距离OA
OA>r相离 OAr相切 OA
椭圆双曲线第二定义：
设点M面点点M定点(焦点)距离点M定直线(相应准线)距离等常数e
①时轨迹椭圆（e椭圆离心率）
②时轨迹双曲线（e双曲线离心率）
3抛物线
图形
方程
图形
方程
注：点具性抛物线点M定点距离点M定直线距离值常数e(离心率) (e1)
4弦长公式
直线L：圆锥曲线C（椭圆双曲线抛物线皆）交点
例1：已知直线交AB两点求
解
例2
已知 MRS中点
第十部分 统计
1统计核心思想局部代表整体 （必修3）
利局部性质特征代表整体性质特征理讲严谨甚说错误现实中时样做应该局部代表整体种手法够理满足严谨性求者说够说服承认种手法
2收集数手法
类
点
特点
适范围
例子
简单机抽样
抽样程中体抽取概率相等
总体中逐抽取
总体中数较少
摸彩球
系统抽样
总体均分成堆确定间隔堆抽取
总体中数较
班中选组长
分层抽样
总体分成层层例进行抽取
总体差异明显部分组成
老中青体检
3应（选修12选修23）
第种问题 变量间相互关系回分析
例：果想知道高三男学生身高体重什关系应做
数选取根抽样方法适分层抽样者简单机抽样获数数表(身高解释变量体重预测变量)
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重kg
48
57
50
54
64
61
43
59
计算体重均值
(kg)
果身高体重没关系身高体重应545kg事实样应该某种关系表格直观太少通画图增强直观性
做散点图
图出样点呈条状分布身高体重较线性相关关系(眼睛观察粗略判断)定量计算判断相关系数r知识r关知识
两变量相关系数计算公式
注 称西格玛’n数组数
判断标准
例中r0798表明体重身高强线性相关关系线性回方程似刻画间关系
设两变量线性回方程 斜率截距
中
根面公式计算
回方程
检验模型拟合效果
种方法通残差判断模型拟合效果判断原始数中否数 中(实际值减预测值)
图出第样点第六样点残差较需确认采集两样点程中否错误
外相关指数刻画回效果(越拟合效果越)公式
方关系
名称
数值
产生原
总偏差方
解释变量机误差引起
残差方
机误差引起
回方
(总偏差方)(残差方)
解释变量引起
第二种问题检验两分类变量否关系独立性检验
假设两分类变量XY样频数列联表
总计
总计
推断述HXY关系
方法两种
第种通三维柱形图二维条形图粗略判断两变量否关系
三维柱形图中角线两数值积次角线两数值积相差越 结H成立性越
二维条形图中两值相差越结H成立性越
第二种定量计算法
步骤假设两变量没关系
计算推出概率事件中
中
查表
050
040
025
015
010
005
0025
0010
0005
0001
0455
0708
1323
2072
2706
3841
5024
6635
7879
10828
判断两变量种程度关系
例某医院患心脏病住院665名男性病中214秃顶772名患心脏病住院男性病中175秃顶求否99握认秃顶患心脏病关系什
解根题意列联表
患心脏病
病患
总计
秃顶
214
175
389
秃顶
451
597
1048
总计
665
772
1437
99握认秃顶患心脏病关
第十部分 概率（必修3）
1排列组合 (选修23)
排列
组合
定义
n元素中取出m元素排列数记
n元素中取出m元素组合数记
公式
性质
2古典概形(投骰子摸球抽卡片)
3概形(等车染色等)
4注意事项
事件概率区间[01]
事件A事件B满足时称AB互斥时
加法公式
加限制条件(全集)
已知事件A发生条件B发生性条件概率(理科)
特殊情形AB相互独立时法公式
5离散型机变量（选修23）
定义离散型机变量X取值应概率分表格
X
称X分布列
常见分布列
a两点分布机变量X两种取值中种概率p
X
0
1
P
1p
p
b超分布
N件产品中含M件次品现取n件中恰X件次品事件{Xk}发生概率分布
0
1
…
k
…
n
…
…
c二项分布
n次独立重复试验中次试验中事件A发生概率pn次试验中A恰发生k次概率分布
0
1
…
k
…
n
…
…
离散型机变量期方差
两点分布
二项分布
超分布
期
p
np
方差
P(1p)
np(1p)
6连续性机变量（选修23）
正态分布
正态分布密度曲线
果实数a
称X分布正态分布记作
正态曲线特点
注1曲线x轴方关称处达峰值
2曲线x轴间面积1
3定时 越曲线越瘦高 越曲线越矮胖
第十二部分 复数运算（选修12选修22）
1复数运算需产生实部虚部两部分组成
2表示形式
代数形式 中实部虚部(包括)
注复数运算时需注意
次幂开始出现循环4运算周期
形式线段(量相)
复数分类
3复数运算
量
运
算
加法
减法
法
法
注轭复数具轭关系两复数实部相虚部相反
复数轭复数实数(模方)
第十三部分 推理证明
1 （选修12选修22）
(般à特)
(特à般)
(合情理)
(特à特)
2 证明（选修12选修22）
3数学纳法（选修22）
步骤 1证明命题n1成立
2假设nk时命题成立基础证明出nk+1时命题成立
3综合12知命题证明完成
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