1993年普通高等学校招生全国统考试
数学(理工农医类)
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷13页第Ⅱ卷49页150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题68分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前考生务必姓名准考证号考试科目铅笔涂写答题卡．
2．题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答试题卷．
3．考试结束监考试卷答题卡收回．
选择题：题17题题4分68分．题出四选项中项符合题目求
(1)函数f (x)sinx+cosx正周期 ( )
(A) 2π
(B)
(C) π
(D)
(2)果双曲线焦距6两条准线间距离4该双曲线离心率 ( )
(A)
(B)
(C)
(D) 2
(3)直线3x－4y+50关x轴称直线方程 ( )
(A) 3x+4y－50
(B) 3x+4y+50
(C) －3x+4y－50
(D) －3x+4y+50
(4)极坐标方程表示曲线 ( )
(A) 焦点准线距离椭圆
(B) 焦点准线距离双曲线右支
(C) 焦点准线距离椭圆
(D) 焦点准线距离双曲线右支
(5)[－11] ( )
(A) 增函数奇函数
(B) 增函数偶函数
(C) 减函数奇函数
(D) 减函数偶函数
(6)值 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(7) 集合 ( )
(A) MN
(B)
(C)
(D) Ø
(8)sin20ºcos70º+sin10ºsin50º值 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)参数方程 表示 ( )
(A) 双曲线支支点
(B) 抛物线部分部分
(C) 双曲线支支点
(D) 抛物线部分部分
(10)ab意实数a>b ( )
(A) a2>b2
(B)
(C) lg(a－b)>0
(D)
(11)动圆两圆x2+y21x2+y2－8x+120外切动圆圆心轨迹 ( )
(A) 圆
(B) 椭圆
(C) 双曲线支
(D) 抛物线
(12)圆柱轴截面周长l定值圆柱体积值 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(13)(+1)4(x－1)5展开式中x4系数 ( )
(A) －40
(B) 10
(C) 40
(D) 45
(14)直角梯形角45º底长底长梯形绕底直线旋转周成旋转体全面积(5+)π旋转体体积 ( )
(A) 2π
(B)
(C)
(D)
(15)已知a1a2…a8项零等数列公式q≠1 ( )
(A) a1+ a8> a4+ a5
(B) a1+ a8< a4+ a5
(C) a1+ a8 a4+ a5
(D) a1+ a8a4+ a5关系已知条件确定
(16)设三命题：
甲：相交两直线lm面α面β．
乙：lm中少条β相交．
丙：αβ相交．
甲成立时 ( )
(A) 乙丙充分必条件
(B) 乙丙必充分条件
(C) 乙丙充分必条件
(D) 乙丙充分条件丙必条件
(17)数字1234填入标号1234四方格里格填数字方格标号填数字均相填法 ( )
(A) 6种
(B) 9种
(C) 11种
(D) 23种
第Ⅱ卷(非选择题82分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷6页钢笔圆珠笔直接答试题卷中答题卡填涂．
2．答卷前密封线项目填写清楚．
二填空题：题6题题4分24分．答案填题中横线．
(18) ________________
(19)双曲线1圆x2+y21没公点实数k取值范围_________________
(20)12…10十数中取出四数奇数______________种取法(数字作答)．
(21)设f (x)4x－2x+1f－1(0)_____________
(22)建造容积8m3 深2m长方体盖水池．果池底池壁造价方米分120元80元水池低总造价________________元
(23)图ABCD正方形EAB中点△DAE△CBE分虚线DECE折起AEBE重合记AB重合点P面PCD面ECD成二面角__________度
三解答题：题5题58分．解题应写出文字说明演算步骤．
(24)(题满分10分)
已知f (x)loga(a>0a≠1)．
(Ⅰ)求f (x)定义域
(Ⅱ)判断f (x)奇偶性予证明
(Ⅲ)求f (x)>0x取值范围．
(25)(题满分12分)
已知数列
Sn前n项．计算
观察述结果推测出计算Sn公式数学纳法加证明．
(26)(题满分12分)
已知：面α∩面β直线a．
αβ垂直面γ行直线b．
求证：(Ⅰ)a⊥γ
(Ⅱ)b⊥γ．
(27)(题满分12分)
面积1△PMN中tg∠PMNtg∠MNP－2．建立适坐标系求MN焦点点P椭圆方程．
(28)(题满分12分)
设复数求θ．
1993年普通高等学校招生全国统考试
数学试题(理工农医类)参考解答评分标准
说明：
1．解答指出题考查知识力出种种解法供参考果考生解法解答根试题考查容评分标准制定相应评分细．
2．计算题考生解答某步出现错误时果继部分解答未改变该题容难度视影响程度决定继部分分超该部分正确解答应分数半果继部分解答较严重错误分．
3．解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数．
4．整数分数．选择题填空题中间分．
选择题：题考查基知识基运算．题4分满分68分．
(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B
二填空题：题考查基知识基运算．题4分满分24分．
(18) (19){k||k|>} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30
三解答题
(24)题考查函数奇偶性数函数性质等式性质解法等基知识运算力．满分12分．
解 (Ⅰ)数函数定义知． ——1分
果－1果等式组解． ——4分
f (x)定义域(－11)
(Ⅱ) ∵
∴ f (x)奇函数． ——6分
(Ⅲ)(ⅰ)a>1loga等价
①
(Ⅰ)知1－x>0①等价1+x>1－x等价x>0．a>1x∈(01)时f(x)>0． ——9分
(ⅱ)00<． ②
(Ⅰ)知1－x>0②等价－10． ——12分
(25)题考查观察分析纳力数学纳法．满分10分．
解 ． ——4分
证明：
(Ⅰ)n1时等式成立． ——6分
(Ⅱ)设nk时等式成立
——7分
知nk+1时等式成立． ——9分
根(Ⅰ)(Ⅱ)知等式n∈N成立． ——10分
(26)题考查直线面行垂直两面垂直基础知识空间想象力逻辑思维力．满分12分．
证法(Ⅰ)设α∩γABβ∩γAC．γ取点Pγ作直线PM⊥ABPN⊥AC． ——1分
∵ γ⊥α
∴ PM⊥α．
aα
∴ PM⊥a．
理PN⊥a． ——4分
PMγPNγ
∴ a⊥γ． ——6分
(Ⅱ)a取点QbQ作面交α直线a1交β直线a2． ——7分
∵ b∥α∴ b∥a1．
理b∥a2． ——8分
∵ a1a2Q行b
∵ a1a2重合．
a1αa2β
∴ a1a2αβ交线重合a． ——10分
∵ b∥a1∴ b∥a．
a⊥γ
∴ b⊥γ． ——12分
注：第Ⅱ部分未证明b∥a直接断定b⊥γ该部分分．
证法二(Ⅰ)a取点PP作直线a′⊥γ． ——1分
∵ α⊥γP∈α
∴ a′α．
理a′β． ——3分
见a′αβ交线．
a′重合a． ——5分
a′⊥γ
∴ a⊥γ． ——6分
(Ⅱ)α取a点b该点作面α交直线c．法b作面β交直线d． ——7分
∵ b∥αb∥β．
∴ b∥cb∥d． ——8分
cβdβ见cd重合．c∥d．
c∥β． ——9分
∵ c∥βcαα∩βa
∴ c∥a． ——10分
∵ b∥ca∥cba重合(bαaα)
∴ b∥a． ——11分
a⊥γ
∴ b⊥γ． ——12分
注：第Ⅱ部分未证明b∥a直接断定b⊥γ该部分分．
(27)题考查坐标系椭圆概念性质直线方程综合应力．满分12分．
解法图MN直线x轴MN垂直分线y轴建立直角坐标系设MN焦点点P椭圆方程焦点M (－c0)N (c0)． —1分
tgMtgαtg(π－∠MNP)2直线PM直线PN方程分y(x+c)y2(x－c)．二方程联立解xcycP点坐标(cc)． ——5分
△MNP中|MN|2cMN高点P坐标
题设条件S△MNP1∴ cP点坐标． ——7分
两点间距离公式
．
． ——10分
b2a2－c2求椭圆方程
． ——12分
解法二解法P点坐标． ——7分
∵ 点P椭圆a2b2+c2．
∴ ．
化简3b4－8b2－30．
解b23b2 (舍)． ——10分
a2b2+c23+．
求椭圆方程． ——12分
解法三解法建立坐标系． ——1分
∵ ∠P∠α－∠PMN
∴ ．
∴ ∠P锐角．
∴ sinPcosP．
S△MNP|PM|·|PN|sinP1∴ |PM|·|PN|． ——4分
∵ |PM|+|PN|2a|MN|2c余弦定理
(2c)2|PM|2+|PN|2－2|PM|·|PN|cosP
(|PM|+|PN|)2－2|PM|·|PN|(1+cosP)
(2a)2－2·－2··
∴ c2a2－3b23． ——7分
sinMsinN正弦定理
∴ ．
∴ ac． ——10分
∴ a2b2+c23+．
∴ a2．
求椭圆方程． ——12分
(28)题考查复数基概念运算三角函数式恒等变形综合解题力．满分12分．
解法
——2分
． ——5分
． ——6分
(ⅰ)时时
适合题意． ——10分
(ⅱ)时时
适合题意舍．
综合(ⅰ)(ⅱ)知． ——2分
解法二
．
记．
． ——2分
． ——5分
∵
①
②
③
∴ ——8分
①成立时②恒成立应满足
(ⅰ) (ⅱ) ——10分
解(ⅰ)．(ⅱ)解．
综合(ⅰ)(ⅱ) ． ——12分
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数学(理工农医类)
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷13页第Ⅱ卷49页150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题68分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前考生务必姓名准考证号考试科目铅笔涂写答题卡．
2．题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答试题卷．
3．考试结束监考试卷答题卡收回．
选择题：题17题题4分68分．题出四选项中项符合题目求
(1)函数f (x)sinx+cosx正周期 ( )
(A) 2π
(B)
(C) π
(D)
(2)果双曲线焦距6两条准线间距离4该双曲线离心率 ( )
(A)
(B)
(C)
(D) 2
(3)直线3x－4y+50关x轴称直线方程 ( )
(A) 3x+4y－50
(B) 3x+4y+50
(C) －3x+4y－50
(D) －3x+4y+50
(4)极坐标方程表示曲线 ( )
(A) 焦点准线距离椭圆
(B) 焦点准线距离双曲线右支
(C) 焦点准线距离椭圆
(D) 焦点准线距离双曲线右支
(5)[－11] ( )
(A) 增函数奇函数
(B) 增函数偶函数
(C) 减函数奇函数
(D) 减函数偶函数
(6)值 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(7) 集合 ( )
(A) MN
(B)
(C)
(D) Ø
(8)sin20ºcos70º+sin10ºsin50º值 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)参数方程 表示 ( )
(A) 双曲线支支点
(B) 抛物线部分部分
(C) 双曲线支支点
(D) 抛物线部分部分
(10)ab意实数a>b ( )
(A) a2>b2
(B)
(C) lg(a－b)>0
(D)
(11)动圆两圆x2+y21x2+y2－8x+120外切动圆圆心轨迹 ( )
(A) 圆
(B) 椭圆
(C) 双曲线支
(D) 抛物线
(12)圆柱轴截面周长l定值圆柱体积值 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(13)(+1)4(x－1)5展开式中x4系数 ( )
(A) －40
(B) 10
(C) 40
(D) 45
(14)直角梯形角45º底长底长梯形绕底直线旋转周成旋转体全面积(5+)π旋转体体积 ( )
(A) 2π
(B)
(C)
(D)
(15)已知a1a2…a8项零等数列公式q≠1 ( )
(A) a1+ a8> a4+ a5
(B) a1+ a8< a4+ a5
(C) a1+ a8 a4+ a5
(D) a1+ a8a4+ a5关系已知条件确定
(16)设三命题：
甲：相交两直线lm面α面β．
乙：lm中少条β相交．
丙：αβ相交．
甲成立时 ( )
(A) 乙丙充分必条件
(B) 乙丙必充分条件
(C) 乙丙充分必条件
(D) 乙丙充分条件丙必条件
(17)数字1234填入标号1234四方格里格填数字方格标号填数字均相填法 ( )
(A) 6种
(B) 9种
(C) 11种
(D) 23种
第Ⅱ卷(非选择题82分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷6页钢笔圆珠笔直接答试题卷中答题卡填涂．
2．答卷前密封线项目填写清楚．
二填空题：题6题题4分24分．答案填题中横线．
(18) ________________
(19)双曲线1圆x2+y21没公点实数k取值范围_________________
(20)12…10十数中取出四数奇数______________种取法(数字作答)．
(21)设f (x)4x－2x+1f－1(0)_____________
(22)建造容积8m3 深2m长方体盖水池．果池底池壁造价方米分120元80元水池低总造价________________元
(23)图ABCD正方形EAB中点△DAE△CBE分虚线DECE折起AEBE重合记AB重合点P面PCD面ECD成二面角__________度
三解答题：题5题58分．解题应写出文字说明演算步骤．
(24)(题满分10分)
已知f (x)loga(a>0a≠1)．
(Ⅰ)求f (x)定义域
(Ⅱ)判断f (x)奇偶性予证明
(Ⅲ)求f (x)>0x取值范围．
(25)(题满分12分)
已知数列
Sn前n项．计算
观察述结果推测出计算Sn公式数学纳法加证明．
(26)(题满分12分)
已知：面α∩面β直线a．
αβ垂直面γ行直线b．
求证：(Ⅰ)a⊥γ
(Ⅱ)b⊥γ．
(27)(题满分12分)
面积1△PMN中tg∠PMNtg∠MNP－2．建立适坐标系求MN焦点点P椭圆方程．
(28)(题满分12分)
设复数求θ．
1993年普通高等学校招生全国统考试
数学试题(理工农医类)参考解答评分标准
说明：
1．解答指出题考查知识力出种种解法供参考果考生解法解答根试题考查容评分标准制定相应评分细．
2．计算题考生解答某步出现错误时果继部分解答未改变该题容难度视影响程度决定继部分分超该部分正确解答应分数半果继部分解答较严重错误分．
3．解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数．
4．整数分数．选择题填空题中间分．
选择题：题考查基知识基运算．题4分满分68分．
(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B
二填空题：题考查基知识基运算．题4分满分24分．
(18) (19){k||k|>} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30
三解答题
(24)题考查函数奇偶性数函数性质等式性质解法等基知识运算力．满分12分．
解 (Ⅰ)数函数定义知． ——1分
果－1
f (x)定义域(－11)
(Ⅱ) ∵
∴ f (x)奇函数． ——6分
(Ⅲ)(ⅰ)a>1loga等价
①
(Ⅰ)知1－x>0①等价1+x>1－x等价x>0．a>1x∈(01)时f(x)>0． ——9分
(ⅱ)0
(Ⅰ)知1－x>0②等价－1
(25)题考查观察分析纳力数学纳法．满分10分．
解 ． ——4分
证明：
(Ⅰ)n1时等式成立． ——6分
(Ⅱ)设nk时等式成立
——7分
知nk+1时等式成立． ——9分
根(Ⅰ)(Ⅱ)知等式n∈N成立． ——10分
(26)题考查直线面行垂直两面垂直基础知识空间想象力逻辑思维力．满分12分．
证法(Ⅰ)设α∩γABβ∩γAC．γ取点Pγ作直线PM⊥ABPN⊥AC． ——1分
∵ γ⊥α
∴ PM⊥α．
aα
∴ PM⊥a．
理PN⊥a． ——4分
PMγPNγ
∴ a⊥γ． ——6分
(Ⅱ)a取点QbQ作面交α直线a1交β直线a2． ——7分
∵ b∥α∴ b∥a1．
理b∥a2． ——8分
∵ a1a2Q行b
∵ a1a2重合．
a1αa2β
∴ a1a2αβ交线重合a． ——10分
∵ b∥a1∴ b∥a．
a⊥γ
∴ b⊥γ． ——12分
注：第Ⅱ部分未证明b∥a直接断定b⊥γ该部分分．
证法二(Ⅰ)a取点PP作直线a′⊥γ． ——1分
∵ α⊥γP∈α
∴ a′α．
理a′β． ——3分
见a′αβ交线．
a′重合a． ——5分
a′⊥γ
∴ a⊥γ． ——6分
(Ⅱ)α取a点b该点作面α交直线c．法b作面β交直线d． ——7分
∵ b∥αb∥β．
∴ b∥cb∥d． ——8分
cβdβ见cd重合．c∥d．
c∥β． ——9分
∵ c∥βcαα∩βa
∴ c∥a． ——10分
∵ b∥ca∥cba重合(bαaα)
∴ b∥a． ——11分
a⊥γ
∴ b⊥γ． ——12分
注：第Ⅱ部分未证明b∥a直接断定b⊥γ该部分分．
(27)题考查坐标系椭圆概念性质直线方程综合应力．满分12分．
解法图MN直线x轴MN垂直分线y轴建立直角坐标系设MN焦点点P椭圆方程焦点M (－c0)N (c0)． —1分
tgMtgαtg(π－∠MNP)2直线PM直线PN方程分y(x+c)y2(x－c)．二方程联立解xcycP点坐标(cc)． ——5分
△MNP中|MN|2cMN高点P坐标
题设条件S△MNP1∴ cP点坐标． ——7分
两点间距离公式
．
． ——10分
b2a2－c2求椭圆方程
． ——12分
解法二解法P点坐标． ——7分
∵ 点P椭圆a2b2+c2．
∴ ．
化简3b4－8b2－30．
解b23b2 (舍)． ——10分
a2b2+c23+．
求椭圆方程． ——12分
解法三解法建立坐标系． ——1分
∵ ∠P∠α－∠PMN
∴ ．
∴ ∠P锐角．
∴ sinPcosP．
S△MNP|PM|·|PN|sinP1∴ |PM|·|PN|． ——4分
∵ |PM|+|PN|2a|MN|2c余弦定理
(2c)2|PM|2+|PN|2－2|PM|·|PN|cosP
(|PM|+|PN|)2－2|PM|·|PN|(1+cosP)
(2a)2－2·－2··
∴ c2a2－3b23． ——7分
sinMsinN正弦定理
∴ ．
∴ ac． ——10分
∴ a2b2+c23+．
∴ a2．
求椭圆方程． ——12分
(28)题考查复数基概念运算三角函数式恒等变形综合解题力．满分12分．
解法
——2分
． ——5分
． ——6分
(ⅰ)时时
适合题意． ——10分
(ⅱ)时时
适合题意舍．
综合(ⅰ)(ⅱ)知． ——2分
解法二
．
记．
． ——2分
． ——5分
∵
①
②
③
∴ ——8分
①成立时②恒成立应满足
(ⅰ) (ⅱ) ——10分
解(ⅰ)．(ⅱ)解．
综合(ⅰ)(ⅱ) ． ——12分
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