试卷标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
选择题（24题）
1 已知直线 l 方程 直线倾斜角（ ）
A ． B ． 60° C ． 150° D ． 120°
2 等中项（ ）
A ． B ． C ． D ．
3 椭圆 焦点坐标相（ ）
A ． B ．
C ． D ．
4 已知抛物线方程 抛物线准线方程（ ）
A ． B ． C ． D ．
5 已知方程 表示双曲线 取值范围（ ）
A ． B ．
C ． D ．
6 等差数列 中 值等（ ）
A ． 8 B ． 10 C ． 13 D ． 26
7 直线 曲线 公点直线倾斜角取值范围（ ）
A ． B ． C ． D ．
8 已知 椭圆 左焦点 右顶点 椭圆点 轴 该椭圆离心率（ ）
A ． B ． C ． D ．
9 直线 倾斜角 斜率 （ ）
A ． B ． C ． 1 D ．
10 已知量 2 （ ）
A ． B ． C ． D ．
11 直线 直线 行实数 （ ）
A ． 1 B ． C ． 0 D ．
12 已知三棱柱 点 线段 中点 （ ）
A ． B ．
C ． D ．
13 棱长 2 正方体 中点 M N 分 中点异面直线 成角余弦值（ ）
A ． B ． C ． D ．
14 两直线 直线 关直线 称直线方程（ ）
A ． B ． C ． D ．
15 已知椭圆 两点 中点 直线 斜率等 直线 斜率等（ ）
A ． B ． C ． D ．
16 圆 仅 4 点直线 距离 1 实数 取值范围（ ）
A ． B ． C ． D ．
17 意 方程 表示曲线（ ）
A ．双曲线 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．圆
18 已知 椭圆 点 左右焦点列选项中正确（ ）
A ．椭圆焦距 2 B ．椭圆离心率
C ． D ． 面积值 4
19 已知 等差数列前 项 （ ）
A ．公差 B ．
C ． D ．仅 时
20 面直角坐标系中已知点 圆 圆 存点 实数 值（ ）
A ． B ． C ． D ．
21 列利方量､法量判断线､面位置关系结中正确（ ）
A ．两条重合直线 方量分
B ．直线 l 方量 面 α 法量
C ．两面 α β 法量分
D ．直线 l 方量 面 α 法量
22 列说法正确（ ）
A ． 两点直线方程
B ．点 关直线 称点
C ．直线 两坐标轴围成三角形面积 2
D ．点 轴 轴截距相等直线方程
23 已知曲线 （ ）
A ． 椭圆焦点 轴
B ． 椭圆焦点 轴
C ． 圆半径
D ． 两条直线
24 已知四面体 棱长均 2 列结正确（ ）
A ．异面直线 成角 B ．点 A 面 距离
C ． D ．四面体 外接球体积
二填空题（8题）
1 两行直线 间距离 __________
2 等差数列 前 项 等数列 前 项 （中 实数） 值 __________
3 点 直线 距离值 ________
4 已知双曲线 左焦点 双曲线右支点 中点 半径圆 横坐标 _________
5 两行线 距离 __________
6 中心原点称轴坐标轴椭圆焦点 长轴长短轴长 倍标准方程 ____________ ．
7 果实数 x y 满足等式 值 ______________ ．
8 曲线 直线 两公点时 t 取值范围 __________ ．
三解答题（12题）
1 已知直线 l 1 ： 3 x + y +20 l 2 ： mx +2 y + n 0 ．
（ 1 ） l 1 ⊥ l 2 求 m 值
（ 2 ）求点 直线 l 1 行直线方程
2 已知数列 { a n } 等差数列 a 1 ＋ a 5 ＝ 12 a 4 ＋ a 8 ＝ 0
（ 1 ）求数列 { a n } 通项公式
（ 2 ）等数列 { b n } 满足 b 1 ＝ 8 b 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 求数列 { b n } 通项公式．
3 已知直线 圆 截弦长 ．
（ 1 ）求 值
（ 2 ）求点（ 3 5 ）圆相切直线方程．
4 图抛物线顶点原点圆 圆心恰抛物线焦点
（ 1 ）求抛物线方程
（ 2 ）条直线斜率等 2 抛物线焦点次截抛物线圆 四点求 值
5 已知数列 满足
（ 1 ）证明 等数列求 通项公式
（ 2 ）求数列 落入区间 项
6 已知椭圆 （ ）离心率 ．
（ 1 ）点 椭圆异左右顶点意点 证明点 连线斜率积定值求出该定值
（ 2 ）椭圆短轴长 直线 椭圆交 两点坐标原点 直径圆．判断坐标原点 直线 距离否定值求该定值请说明理．
7 求直线 交点 M 满足列条件直线般式方程．
（ 1 ）点
（ 2 ）直线 垂直．
8 椭圆 长轴长等圆 直径 离心率等 已知直线 交 两点
（ 1 ）求 标准方程
（ 2 ）求弦 长
9 图长方体 中 点 线段 ．
（ 1 ）求异面直线 成角
（ 2 ）二面角 求点 面 距离．
10 已知圆 ．
（ 1 ）求证圆 圆 相交
（ 2 ）求圆 圆 公弦直线方程公弦长
（ 3 ）求点 圆 相切直线方程．
11 图直三棱柱 中 变长 6 等边三角形 D E 分 中点．
（ 1 ）证明： 面
（ 2 ）异面直线 成余弦值 求 面 成角正弦值．
12 面直角坐标系 中已知圆 M 坐标原点 O 圆心曲线 ．
（ 1 ）圆 M 分 x 轴 y 轴交点 A B （原点 O ）求证： 面积定值
（ 2 ）设直线直线： 圆 M 交两点 C D 求圆 M 方程
（ 3 ）设直线 （ 2 ）中求圆 M 交点 E F P 直线 动点直线 圆 M 交点分 G H 求证：直线 定点．
参考答案
选择题
1 C
分析
直线方程斜率倾斜角．
详解
题意直线斜率 倾斜角等
倾斜角 ．
选： C ．
2 C
分析
根等中项定义结果
详解
等中项
选： C
3 A
分析
先确定已知椭圆焦点 x 轴求出焦点坐标接着分求出四选项中曲线焦点坐标已知椭圆焦点坐标进行较答案
详解
椭圆 焦点 轴
椭圆焦点坐标
A 选项双曲线方程 焦点 x 轴 焦点坐标 已知椭圆焦点坐标相
B 选项焦点 x 轴 焦点坐标
C 选项焦点 x 轴 焦点坐标
D 选项焦点 y 轴
选 A
点睛
题考查椭圆双曲线焦点坐标求解考查两种曲线中 间关系
4 D
分析
抛物线方程化标准形式求解
详解
抛物线方程
准线方程
选： D
5 C
分析
双曲线焦点 x 轴 y 轴分写出两种情况双曲线标准方程 解等式答案
详解
双曲线焦点 x 轴双曲线方程 解：
双曲线焦点 y 轴双曲线方程
解：
选 C
点睛
题考查双曲线标准方程求解关键双曲线方程标准形式认识
6 C
分析
根等差数列性质求出 然根等差数列前 项公式 结合等差数列性质求出答案
详解
选： C
7 D
分析
根题意直线 定点 曲线 表示圆心原点半径 1 轴方半圆设直线 半圆相切时切点 进数形结合求解答案
详解
解：根题意直线 定点
曲线 表示圆心原点半径 1 轴方半圆
设直线 半圆相切时切点 图
中
直线 曲线 公点时直线倾斜角取值范围
选： D
8 D
分析
求出 方程解方程答案
详解
代入椭圆方程：
选： D
9 C
分析
直接求倾斜角正切值解
详解
直线 倾斜角
直线斜率
选： ．
10 A
分析
根题意设 2 分析 值进量模计算公式计算答案．
详解
解：根题意量 2
设 2
选： ．
11 B
分析
利行判断方法计算出 值直线重合情况
详解
两直线行 解
时直线 直线 重合题意符
时直线 直线 行符合题意
选： B
12 D
分析
根空间量线性运算求解
详解
解：三棱柱 点 线段 中点
选： D
13 B
分析
先通移两条异面直线移起点 锐角直角异面直线成角三角形中利余弦定理求出角
详解
图 AM 移 E NC 移 F ∠ E F 直线 AM CN 成角补角
边长 2
∴ 余弦定理
直线 AM CN 成角余弦值
选： B
14 D
分析
求出两直线交点直线 取点求出关 称点利点斜式求出直线方程
详解
联立方程 解
直线 取点 关 称点
直线 关直线 称直线方程
选： D
15 D
分析
设 两点坐标代入椭圆方程相减 关系出结．
详解
设
两式相减 整理
．
选： D ．
点睛
方法点睛：遇椭圆弦中点时常常点差法求解．设弦两端点 弦中点 两端点坐标代入椭圆方程相减珀 关系．双曲线弦中点样求解．
16 A
分析
已知直线距离 1 点轨迹已知直线行距离等 1 两条直线根题意两条行线 4 公点利点直线距离公式加计算 取值范围．
详解
解：作出直线 距离 1 点轨迹直线 行
直线 距离等 1 两条直线
圆 圆心原点
原点直线 距离
两条行线中圆心 距离较远条原点距离
圆 4 点直线 距离 1
两条行线圆 4 公点圆 相交．
圆半径
实数 取值范围 ．
选： ．
点睛
题出已知圆四点直线距离等半径求参数取值范围．着重考查圆标准方程直线圆位置关系等知识属中档题．
17 ACD
分析
分讨 范围求方程表示曲线正确选项
详解
时 方程化 时直线
时 时原方程化 时表示椭圆
时 时 化简 表示圆
时 方程化 时直线
时 时原方程化 时表示焦点 轴双曲线
时 原方程 时轨迹存
时 时方程表示轨迹存
时 原方程 时轨迹存
时 时原方程化 时表示焦点 轴双曲线
综述：方程 表示曲线双曲线椭圆圆
选： ACD
18 BD
分析
根方程求 进求焦距离心率判定 AC 根椭圆定义判定 C 错误利椭圆性质求 面积值判定 D
详解
∴
焦距 M 短轴端点时 面积取值
选： BD
19 ABC
分析
根题意结合等差数列前 项 公式性质判断
详解
选项 AB 正确
时 选项 C 正确
D 错
选： ABC
20 BCD
分析
设点 坐标 根题设条件求 圆 存点 转化两圆相交相切列出等式求解
详解
圆 圆心 半径
设点 坐标
整理： 点 轨迹 圆心半径 圆
圆 存点 满足 两圆相交相切
选项 B C D 正确
选： BCD
21 AC
分析
利空间量线量定理数量积运算求解判断
详解
A 两条重合直线 方量分 线 正确
B 直线 l 方量 面 α 法量 错误
C 两面 α β 法量分 正确
D 直线 l 方量 面 α 法量 行
选： AC
22 BC
分析
运直线两点式方程判断 A 正误利称知识判断 B 正误求出直线两坐标轴截距三角形面积判断 C 正误利直线截距相等判断 D 正误．
详解
A ： 时 两点直线方程 A 正确
B ：点 (02) (11) 中点坐标 满足直线方程 两点斜率： −1 点 (02) 关直线 y x +1 称点 (11) B 正确
C ：直线 两坐标轴截距分： 2−2 直线 坐标轴围成三角形面积 C 正确
D ：点 (11) x 轴 y 轴截距相等直线方程 x + y −20 y x D 正确
选： BC
点睛
题考查直线方程直线坐标轴截距点关直线称点注意考虑截距相等时候漏掉截距 情况属基础题．
23 AD
分析
结合选项进行逐项分析求解 时表示椭圆 时表示圆 时表示两条直线
详解
A 化 曲线 表示焦点 轴椭圆 A 正确 B 错误
C 化 时曲线 表示圆心原点半径 圆 C 正确
D 化 时曲线 表示行 轴两条直线 D 正确
选： AD
点睛
题考查曲线方程特征熟知常见曲线方程间区求解关键侧重考查数学运算核心素养
24 BCD
分析
题意画出图形证明 AC ⊥ BD 知 A 错误理 C 正确直接求出 A 底面 距离判断 B 求出正四面体外接球半径进步求外接球体积判断 D ．
详解
图
题意四面体 ABCD 正四面体取底面 BCD 中心 G 连接 CG 延长交 BD E
E BD 中点 CE ⊥ BD 连接 AG AG ⊥ 底面 BCD AG ⊥ BD
AG ∩ CE ＝ G ∴ BD ⊥ 面 ACG AC ⊥ BD A 错误理 C 正确
四面体棱长 2 AC ＝ 2
∴ 点 A 面 BCD 距离 B 正确
设四面体 ABCD 外接球球心 O 半径 R 连接 OC
解 四面体 ABCD 外接球体积 D 正确
选： BCD ．
二填空题
1
分析
根两直线行条件求出 值然利两行线间距离公式求出答案
详解
解
两行线间距离
答案：
2
分析
根前 项通项关系求出数列 通项公式求 值解
详解
时
时
数列 等差数列
数列 等数列
答案：
3
分析
求出直线 定点 坐标 时距离 ．
详解
直线 l 方程整理 直线 l 定点
P 直线 l 距离 仅 时等号成立
答案： ．
点睛
题考查点直线距离求出动直线定点坐标解题关键．样距离定义知 值．
4 ##
分析
根中位线性质求出 根双曲线定义求出 中求出 然根 求出答案
详解
设 中点 双曲线右焦点易知
中点
双曲线定义知
连结
答案：
5
详解
直线 方程化 两行直线 间距离 答案
6
分析
根条件列式求出
详解
已知 解
标准方程
答案：
7 ##
分析
意义圆 点点 距离求出距离答案
详解
实数 x y 满足等式
意义圆 点点 距离
距离值
值
答案：
8
分析
题意 表示 圆心 半径圆 轴 轴右半部分作出图形求出半圆切线出 范围．
详解
解： 表示 圆心 半径圆 轴 轴右半部分图形示：
设直线 半圆相切 解 （舍 ．
直线 恰点 时
直线 曲线 恰两公点
．
答案：
三解答题
1 （ 1 ）
（ 2 ）
分析
（ 1 ）根两直线位置关系求出 值
（ 2 ）根两直线行设出求直线方程然点坐标代入求出
（ 1 ）
l 1 ⊥ l 2
3 m +20 解
（ 2 ）
求直线直线 l 1 行设求直线方程 3 x + y + c 0
点 代入 3+2+ c 0 解
点 直线 l 1 行直线方程
2 （ 1 ） a n ＝ 2 n 12
（ 2 ）
分析
（ 1 ）根等差数列性质 然根等差数列通项公式求出 值
（ 2 ）根（ 1 ）条件求出 b 2 ＝ 24 b 1 ＝ 8 然根等数列通项公式求出 值
（ 1 ）
设等差数列 { a n } 公差 d
a 1 ＋ a 5 ＝ 2 a 3 ＝ 12 a 4 ＋ a 8 ＝ 2 a 6 ＝ 0
解
a n ＝ 10 ＋ 2( n 1) ＝ 2 n 12
（ 2 ）
设等数列 { b n } 公 q
b 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＝ 24 b 1 ＝ 8
－ 8 q ＝－ 24 q ＝ 3
3 （ 1 ） a 1 （ 2 ）
分析
（ 1 ）求出圆心 半径 利圆心直线 距离通勾股定理列方程求解．
（ 2 ）判断点圆位置关系 ① 切线方程斜率存时设方程 圆心切线距离 求解 ② 斜率存判断直线 圆否相切推出结果．
详解
（ 1 ）题意圆心 半径
圆心直线 距离
勾股定理知 代入化简
解
（ 2 ）（ 1 ）知圆 圆外
① 切线方程斜率存时设方程 圆心切线距离 解
切线方程
② 斜率存易知直线 圆相切
综合 ①② 知切线方程
点睛
题考查直线圆位置关系应点直线距离公式应考查计算力．
4 （ 1 ）圆 圆心坐标
抛物线焦点 ……………………3 分
∴ ∴ 抛物线方程 ……………………6 分
1 题意知直线 AD 方程 …………………7 分 代入 0
设
……………………11 分
∴
分析
（ 1 ）设抛物线方程 题意求出焦点坐标进求出结果
（ 2 ）先题意出直线 方程联立直线 抛物线方程求出 圆直径求出结果
详解
（ 1 ）设抛物线方程
圆 圆心恰抛物线焦点 ∴ ．
抛物线方程：
（ 2 ）题意直线 方程
设
．
．
点睛
题考查抛物线方程直线抛物线位置关系抛物线焦点坐标直接求出抛物线方程联立直线抛物线方程结合韦达定理抛物线定义求出弦长进求出结果属常考题型
5 （ 1 ）证明见解析 （ 2 ）
分析
（ 1 ）分析 公 2 等数列利等数列通项解
（ 2 ）解等式 范围利分组求求解
详解
（ 1 ） ∵ ∴
等数列定义知 公 2 等数列
首项 公 2
（ 2 ）令 n 取 4 5 6 7 8 9 10
项
6 （ 1 ）证明见解析定值
（ 2 ）定值
分析
（ 1 ）设 根斜率证明
（ 2 ）根题意椭圆方程 设 分直线 斜率存时 直线 斜率存时设方程 联立方程结合韦达定理量数量积 进求
（ 1 ）
解：设
点 连线斜率积定值
（ 2 ）
解：椭圆离心率 短轴长
解
椭圆方程
设
直线 斜率存时椭圆称性
坐标原点 直径圆
时坐标原点 直线 距离
直线 斜率存时设方程
联立方程
坐标原点 直径圆
整理
坐标原点 直线 距离
综坐标原点 直线 距离
7 （ 1 ）
（ 2 ）
分析
（ 1 ） M 直线 M 求出直线方程．
（ 2 ）直线 M 直线 垂直．设直线方程 M 代入求出直线方程．
（ 1 ）
∵ 直线 直线 交点 M
∴ M （ −1 2 ）
∴ 直线 M （ −1 2 ）
∴ 直线方程
（ 2 ）
∵ 直线 M （ −1 2 ）直线 垂直．
∴ 设直线方程
M （ −1 2 ）代入 c ＝ 4
∴ 求直线方程 ．
8 （ 1 ） （ 2 ）
分析
（ 1 ）题 求出 出椭圆方程
（ 2 ）联立直线椭圆方程弦长公式求出
详解
（ 1 ）题意
椭圆 标准方程
（ 2 ）
设
点睛
方法点睛：解决直线圆锥曲线相交问题常步骤：
（ 1 ）出直线方程设交点
（ 2 ）联立直线曲线方程关 （ ）元二次方程
（ 3 ）写出韦达定理
（ 4 ）求问题题中关系转化 形式
（ 5 ）代入韦达定理求解
9 （ 1 ） （ 2 ） ．
分析
（ 1 ）点 坐标原点分 轴 轴 轴建立空间直角坐标系利空间量法求异面直线 成角
（ 2 ）利空间量法结合二面角 计算出 值求点 坐标进利空间量法求点 面 距离
详解
分 轴 轴 轴建立空间直角坐标系
（ 1 ）
设
异面直线 成角
（ 2 ）面 法量
设面 法量 设点 中
令
解
面 法量
点 面 距离 ．
点睛
利量夹角转化空间角时定注意量夹角空间角定义范围．求二面角根图形确定求角锐角钝角．根量坐标图形中观察法量方确定二面角量 夹角相等互补利量求二面角难点易错点
10 （ 1 ）证明见详解
（ 2 ）
（ 3 ）
分析
（ 1 ）计算两圆心距离两圆半径差关系两圆关系
（ 2 ）两圆方程作差公弦方程利垂径定理公弦长
（ 3 ）直线斜率存时符合题意直线斜率存时设 利点直线距离等半径列方程求解
（ 1 ）
已知圆 圆心 半径
圆心 半径
圆 圆 相交
（ 2 ）
两圆方程相减
圆 圆 公弦直线方程
圆心 公弦距离
公弦长
（ 3 ）
点 直线斜率存时时方程 圆 相切符合题意
点 直线斜率存时设
解
综合点 圆 相切直线方程
11 （ 1 ）证明见详解
（ 2 ）
分析
（ 1 ）先证明四边形 ADFE 行四边形 AE ∥ DF 证
（ 2 ）点 E 坐标原点建立空间直角坐标系设 ＝ 2 t （ t ＞ 0 ）根已知条件求 进求面 法量直线 DE 方量利量公式解．
（ 1 ）
证明：取 中点 F 连接 DF EF
∵ E BC 中点
∴ EF ∥
∵ D 中点
∴ DA ∥
∴ EF ∥ DA EF DA
∴ 四边形 ADFE 行四边形
∴ AE ∥ DF
∵ AE 面 DF 面
∴ AE ∥ 面
（ 2 ）
（ 1 ）题设知 BC EA EF 两两互相垂直点 E 坐标原点 EC EA EF 直线分 x 轴 y 轴 z 轴建立图示空间直角坐标系
设 ＝ 2 t （ t ＞ 0 ）
B (−3 0 0) (3 0 2t) A (0 0) C (3 0 0) D (0 t )
解
设面 法量
取
D (0 )
∴
∴ DE 面 成角正弦值
12 （ 1 ）证明见解析定值
（ 2 ）
（ 3 ）证明见解析
分析
（ Ⅰ ）题意设圆 M 方程 求出圆 M 分 x 轴 y 轴交点 A B 坐标利面积公式 △ AOB 面积定值
（ Ⅱ ） 知 OM ⊥ l 解 t ＝ ±1 验证求圆 M 方程
（ Ⅲ ）设 整理 ① 设直线 GH 方程 y ＝ kx ＋ b 代入 利韦达定理确定直线方程出结．
（ 1 ）
题意设圆 M 方程
．
令 x ＝ 0 令 y ＝ 0 x ＝ 2 t ．
∴ （定值）
（ 2 ）
知 OM ⊥ l ．
解 t ＝ ±1 ．
t ＝ 1 时圆心 直线 距离 半径符合题意
t ＝ −1 时 直线 距离 半径符合题意．
求圆 M 方程 ．
（ 3 ）
设 知
．
代入式
整理 ①
设直线 GH 方程 y ＝ kx ＋ b 代入
整理
．
代入 ① 式整理
解 ．
时直线 GH 方程 定点
时直线 GH 方程 定点
检验定点 E F 线合题意舍．
GH 定点 ．
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姓名：__________ 班级：__________考号：__________
选择题（24题）
1 已知直线 l 方程 直线倾斜角（ ）
A ． B ． 60° C ． 150° D ． 120°
2 等中项（ ）
A ． B ． C ． D ．
3 椭圆 焦点坐标相（ ）
A ． B ．
C ． D ．
4 已知抛物线方程 抛物线准线方程（ ）
A ． B ． C ． D ．
5 已知方程 表示双曲线 取值范围（ ）
A ． B ．
C ． D ．
6 等差数列 中 值等（ ）
A ． 8 B ． 10 C ． 13 D ． 26
7 直线 曲线 公点直线倾斜角取值范围（ ）
A ． B ． C ． D ．
8 已知 椭圆 左焦点 右顶点 椭圆点 轴 该椭圆离心率（ ）
A ． B ． C ． D ．
9 直线 倾斜角 斜率 （ ）
A ． B ． C ． 1 D ．
10 已知量 2 （ ）
A ． B ． C ． D ．
11 直线 直线 行实数 （ ）
A ． 1 B ． C ． 0 D ．
12 已知三棱柱 点 线段 中点 （ ）
A ． B ．
C ． D ．
13 棱长 2 正方体 中点 M N 分 中点异面直线 成角余弦值（ ）
A ． B ． C ． D ．
14 两直线 直线 关直线 称直线方程（ ）
A ． B ． C ． D ．
15 已知椭圆 两点 中点 直线 斜率等 直线 斜率等（ ）
A ． B ． C ． D ．
16 圆 仅 4 点直线 距离 1 实数 取值范围（ ）
A ． B ． C ． D ．
17 意 方程 表示曲线（ ）
A ．双曲线 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．圆
18 已知 椭圆 点 左右焦点列选项中正确（ ）
A ．椭圆焦距 2 B ．椭圆离心率
C ． D ． 面积值 4
19 已知 等差数列前 项 （ ）
A ．公差 B ．
C ． D ．仅 时
20 面直角坐标系中已知点 圆 圆 存点 实数 值（ ）
A ． B ． C ． D ．
21 列利方量､法量判断线､面位置关系结中正确（ ）
A ．两条重合直线 方量分
B ．直线 l 方量 面 α 法量
C ．两面 α β 法量分
D ．直线 l 方量 面 α 法量
22 列说法正确（ ）
A ． 两点直线方程
B ．点 关直线 称点
C ．直线 两坐标轴围成三角形面积 2
D ．点 轴 轴截距相等直线方程
23 已知曲线 （ ）
A ． 椭圆焦点 轴
B ． 椭圆焦点 轴
C ． 圆半径
D ． 两条直线
24 已知四面体 棱长均 2 列结正确（ ）
A ．异面直线 成角 B ．点 A 面 距离
C ． D ．四面体 外接球体积
二填空题（8题）
1 两行直线 间距离 __________
2 等差数列 前 项 等数列 前 项 （中 实数） 值 __________
3 点 直线 距离值 ________
4 已知双曲线 左焦点 双曲线右支点 中点 半径圆 横坐标 _________
5 两行线 距离 __________
6 中心原点称轴坐标轴椭圆焦点 长轴长短轴长 倍标准方程 ____________ ．
7 果实数 x y 满足等式 值 ______________ ．
8 曲线 直线 两公点时 t 取值范围 __________ ．
三解答题（12题）
1 已知直线 l 1 ： 3 x + y +20 l 2 ： mx +2 y + n 0 ．
（ 1 ） l 1 ⊥ l 2 求 m 值
（ 2 ）求点 直线 l 1 行直线方程
2 已知数列 { a n } 等差数列 a 1 ＋ a 5 ＝ 12 a 4 ＋ a 8 ＝ 0
（ 1 ）求数列 { a n } 通项公式
（ 2 ）等数列 { b n } 满足 b 1 ＝ 8 b 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 求数列 { b n } 通项公式．
3 已知直线 圆 截弦长 ．
（ 1 ）求 值
（ 2 ）求点（ 3 5 ）圆相切直线方程．
4 图抛物线顶点原点圆 圆心恰抛物线焦点
（ 1 ）求抛物线方程
（ 2 ）条直线斜率等 2 抛物线焦点次截抛物线圆 四点求 值
5 已知数列 满足
（ 1 ）证明 等数列求 通项公式
（ 2 ）求数列 落入区间 项
6 已知椭圆 （ ）离心率 ．
（ 1 ）点 椭圆异左右顶点意点 证明点 连线斜率积定值求出该定值
（ 2 ）椭圆短轴长 直线 椭圆交 两点坐标原点 直径圆．判断坐标原点 直线 距离否定值求该定值请说明理．
7 求直线 交点 M 满足列条件直线般式方程．
（ 1 ）点
（ 2 ）直线 垂直．
8 椭圆 长轴长等圆 直径 离心率等 已知直线 交 两点
（ 1 ）求 标准方程
（ 2 ）求弦 长
9 图长方体 中 点 线段 ．
（ 1 ）求异面直线 成角
（ 2 ）二面角 求点 面 距离．
10 已知圆 ．
（ 1 ）求证圆 圆 相交
（ 2 ）求圆 圆 公弦直线方程公弦长
（ 3 ）求点 圆 相切直线方程．
11 图直三棱柱 中 变长 6 等边三角形 D E 分 中点．
（ 1 ）证明： 面
（ 2 ）异面直线 成余弦值 求 面 成角正弦值．
12 面直角坐标系 中已知圆 M 坐标原点 O 圆心曲线 ．
（ 1 ）圆 M 分 x 轴 y 轴交点 A B （原点 O ）求证： 面积定值
（ 2 ）设直线直线： 圆 M 交两点 C D 求圆 M 方程
（ 3 ）设直线 （ 2 ）中求圆 M 交点 E F P 直线 动点直线 圆 M 交点分 G H 求证：直线 定点．
参考答案
选择题
1 C
分析
直线方程斜率倾斜角．
详解
题意直线斜率 倾斜角等
倾斜角 ．
选： C ．
2 C
分析
根等中项定义结果
详解
等中项
选： C
3 A
分析
先确定已知椭圆焦点 x 轴求出焦点坐标接着分求出四选项中曲线焦点坐标已知椭圆焦点坐标进行较答案
详解
椭圆 焦点 轴
椭圆焦点坐标
A 选项双曲线方程 焦点 x 轴 焦点坐标 已知椭圆焦点坐标相
B 选项焦点 x 轴 焦点坐标
C 选项焦点 x 轴 焦点坐标
D 选项焦点 y 轴
选 A
点睛
题考查椭圆双曲线焦点坐标求解考查两种曲线中 间关系
4 D
分析
抛物线方程化标准形式求解
详解
抛物线方程
准线方程
选： D
5 C
分析
双曲线焦点 x 轴 y 轴分写出两种情况双曲线标准方程 解等式答案
详解
双曲线焦点 x 轴双曲线方程 解：
双曲线焦点 y 轴双曲线方程
解：
选 C
点睛
题考查双曲线标准方程求解关键双曲线方程标准形式认识
6 C
分析
根等差数列性质求出 然根等差数列前 项公式 结合等差数列性质求出答案
详解
选： C
7 D
分析
根题意直线 定点 曲线 表示圆心原点半径 1 轴方半圆设直线 半圆相切时切点 进数形结合求解答案
详解
解：根题意直线 定点
曲线 表示圆心原点半径 1 轴方半圆
设直线 半圆相切时切点 图
中
直线 曲线 公点时直线倾斜角取值范围
选： D
8 D
分析
求出 方程解方程答案
详解
代入椭圆方程：
选： D
9 C
分析
直接求倾斜角正切值解
详解
直线 倾斜角
直线斜率
选： ．
10 A
分析
根题意设 2 分析 值进量模计算公式计算答案．
详解
解：根题意量 2
设 2
选： ．
11 B
分析
利行判断方法计算出 值直线重合情况
详解
两直线行 解
时直线 直线 重合题意符
时直线 直线 行符合题意
选： B
12 D
分析
根空间量线性运算求解
详解
解：三棱柱 点 线段 中点
选： D
13 B
分析
先通移两条异面直线移起点 锐角直角异面直线成角三角形中利余弦定理求出角
详解
图 AM 移 E NC 移 F ∠ E F 直线 AM CN 成角补角
边长 2
∴ 余弦定理
直线 AM CN 成角余弦值
选： B
14 D
分析
求出两直线交点直线 取点求出关 称点利点斜式求出直线方程
详解
联立方程 解
直线 取点 关 称点
直线 关直线 称直线方程
选： D
15 D
分析
设 两点坐标代入椭圆方程相减 关系出结．
详解
设
两式相减 整理
．
选： D ．
点睛
方法点睛：遇椭圆弦中点时常常点差法求解．设弦两端点 弦中点 两端点坐标代入椭圆方程相减珀 关系．双曲线弦中点样求解．
16 A
分析
已知直线距离 1 点轨迹已知直线行距离等 1 两条直线根题意两条行线 4 公点利点直线距离公式加计算 取值范围．
详解
解：作出直线 距离 1 点轨迹直线 行
直线 距离等 1 两条直线
圆 圆心原点
原点直线 距离
两条行线中圆心 距离较远条原点距离
圆 4 点直线 距离 1
两条行线圆 4 公点圆 相交．
圆半径
实数 取值范围 ．
选： ．
点睛
题出已知圆四点直线距离等半径求参数取值范围．着重考查圆标准方程直线圆位置关系等知识属中档题．
17 ACD
分析
分讨 范围求方程表示曲线正确选项
详解
时 方程化 时直线
时 时原方程化 时表示椭圆
时 时 化简 表示圆
时 方程化 时直线
时 时原方程化 时表示焦点 轴双曲线
时 原方程 时轨迹存
时 时方程表示轨迹存
时 原方程 时轨迹存
时 时原方程化 时表示焦点 轴双曲线
综述：方程 表示曲线双曲线椭圆圆
选： ACD
18 BD
分析
根方程求 进求焦距离心率判定 AC 根椭圆定义判定 C 错误利椭圆性质求 面积值判定 D
详解
∴
焦距 M 短轴端点时 面积取值
选： BD
19 ABC
分析
根题意结合等差数列前 项 公式性质判断
详解
选项 AB 正确
时 选项 C 正确
D 错
选： ABC
20 BCD
分析
设点 坐标 根题设条件求 圆 存点 转化两圆相交相切列出等式求解
详解
圆 圆心 半径
设点 坐标
整理： 点 轨迹 圆心半径 圆
圆 存点 满足 两圆相交相切
选项 B C D 正确
选： BCD
21 AC
分析
利空间量线量定理数量积运算求解判断
详解
A 两条重合直线 方量分 线 正确
B 直线 l 方量 面 α 法量 错误
C 两面 α β 法量分 正确
D 直线 l 方量 面 α 法量 行
选： AC
22 BC
分析
运直线两点式方程判断 A 正误利称知识判断 B 正误求出直线两坐标轴截距三角形面积判断 C 正误利直线截距相等判断 D 正误．
详解
A ： 时 两点直线方程 A 正确
B ：点 (02) (11) 中点坐标 满足直线方程 两点斜率： −1 点 (02) 关直线 y x +1 称点 (11) B 正确
C ：直线 两坐标轴截距分： 2−2 直线 坐标轴围成三角形面积 C 正确
D ：点 (11) x 轴 y 轴截距相等直线方程 x + y −20 y x D 正确
选： BC
点睛
题考查直线方程直线坐标轴截距点关直线称点注意考虑截距相等时候漏掉截距 情况属基础题．
23 AD
分析
结合选项进行逐项分析求解 时表示椭圆 时表示圆 时表示两条直线
详解
A 化 曲线 表示焦点 轴椭圆 A 正确 B 错误
C 化 时曲线 表示圆心原点半径 圆 C 正确
D 化 时曲线 表示行 轴两条直线 D 正确
选： AD
点睛
题考查曲线方程特征熟知常见曲线方程间区求解关键侧重考查数学运算核心素养
24 BCD
分析
题意画出图形证明 AC ⊥ BD 知 A 错误理 C 正确直接求出 A 底面 距离判断 B 求出正四面体外接球半径进步求外接球体积判断 D ．
详解
图
题意四面体 ABCD 正四面体取底面 BCD 中心 G 连接 CG 延长交 BD E
E BD 中点 CE ⊥ BD 连接 AG AG ⊥ 底面 BCD AG ⊥ BD
AG ∩ CE ＝ G ∴ BD ⊥ 面 ACG AC ⊥ BD A 错误理 C 正确
四面体棱长 2 AC ＝ 2
∴ 点 A 面 BCD 距离 B 正确
设四面体 ABCD 外接球球心 O 半径 R 连接 OC
解 四面体 ABCD 外接球体积 D 正确
选： BCD ．
二填空题
1
分析
根两直线行条件求出 值然利两行线间距离公式求出答案
详解
解
两行线间距离
答案：
2
分析
根前 项通项关系求出数列 通项公式求 值解
详解
时
时
数列 等差数列
数列 等数列
答案：
3
分析
求出直线 定点 坐标 时距离 ．
详解
直线 l 方程整理 直线 l 定点
P 直线 l 距离 仅 时等号成立
答案： ．
点睛
题考查点直线距离求出动直线定点坐标解题关键．样距离定义知 值．
4 ##
分析
根中位线性质求出 根双曲线定义求出 中求出 然根 求出答案
详解
设 中点 双曲线右焦点易知
中点
双曲线定义知
连结
答案：
5
详解
直线 方程化 两行直线 间距离 答案
6
分析
根条件列式求出
详解
已知 解
标准方程
答案：
7 ##
分析
意义圆 点点 距离求出距离答案
详解
实数 x y 满足等式
意义圆 点点 距离
距离值
值
答案：
8
分析
题意 表示 圆心 半径圆 轴 轴右半部分作出图形求出半圆切线出 范围．
详解
解： 表示 圆心 半径圆 轴 轴右半部分图形示：
设直线 半圆相切 解 （舍 ．
直线 恰点 时
直线 曲线 恰两公点
．
答案：
三解答题
1 （ 1 ）
（ 2 ）
分析
（ 1 ）根两直线位置关系求出 值
（ 2 ）根两直线行设出求直线方程然点坐标代入求出
（ 1 ）
l 1 ⊥ l 2
3 m +20 解
（ 2 ）
求直线直线 l 1 行设求直线方程 3 x + y + c 0
点 代入 3+2+ c 0 解
点 直线 l 1 行直线方程
2 （ 1 ） a n ＝ 2 n 12
（ 2 ）
分析
（ 1 ）根等差数列性质 然根等差数列通项公式求出 值
（ 2 ）根（ 1 ）条件求出 b 2 ＝ 24 b 1 ＝ 8 然根等数列通项公式求出 值
（ 1 ）
设等差数列 { a n } 公差 d
a 1 ＋ a 5 ＝ 2 a 3 ＝ 12 a 4 ＋ a 8 ＝ 2 a 6 ＝ 0
解
a n ＝ 10 ＋ 2( n 1) ＝ 2 n 12
（ 2 ）
设等数列 { b n } 公 q
b 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＝ 24 b 1 ＝ 8
－ 8 q ＝－ 24 q ＝ 3
3 （ 1 ） a 1 （ 2 ）
分析
（ 1 ）求出圆心 半径 利圆心直线 距离通勾股定理列方程求解．
（ 2 ）判断点圆位置关系 ① 切线方程斜率存时设方程 圆心切线距离 求解 ② 斜率存判断直线 圆否相切推出结果．
详解
（ 1 ）题意圆心 半径
圆心直线 距离
勾股定理知 代入化简
解
（ 2 ）（ 1 ）知圆 圆外
① 切线方程斜率存时设方程 圆心切线距离 解
切线方程
② 斜率存易知直线 圆相切
综合 ①② 知切线方程
点睛
题考查直线圆位置关系应点直线距离公式应考查计算力．
4 （ 1 ）圆 圆心坐标
抛物线焦点 ……………………3 分
∴ ∴ 抛物线方程 ……………………6 分
1 题意知直线 AD 方程 …………………7 分 代入 0
设
……………………11 分
∴
分析
（ 1 ）设抛物线方程 题意求出焦点坐标进求出结果
（ 2 ）先题意出直线 方程联立直线 抛物线方程求出 圆直径求出结果
详解
（ 1 ）设抛物线方程
圆 圆心恰抛物线焦点 ∴ ．
抛物线方程：
（ 2 ）题意直线 方程
设
．
．
点睛
题考查抛物线方程直线抛物线位置关系抛物线焦点坐标直接求出抛物线方程联立直线抛物线方程结合韦达定理抛物线定义求出弦长进求出结果属常考题型
5 （ 1 ）证明见解析 （ 2 ）
分析
（ 1 ）分析 公 2 等数列利等数列通项解
（ 2 ）解等式 范围利分组求求解
详解
（ 1 ） ∵ ∴
等数列定义知 公 2 等数列
首项 公 2
（ 2 ）令 n 取 4 5 6 7 8 9 10
项
6 （ 1 ）证明见解析定值
（ 2 ）定值
分析
（ 1 ）设 根斜率证明
（ 2 ）根题意椭圆方程 设 分直线 斜率存时 直线 斜率存时设方程 联立方程结合韦达定理量数量积 进求
（ 1 ）
解：设
点 连线斜率积定值
（ 2 ）
解：椭圆离心率 短轴长
解
椭圆方程
设
直线 斜率存时椭圆称性
坐标原点 直径圆
时坐标原点 直线 距离
直线 斜率存时设方程
联立方程
坐标原点 直径圆
整理
坐标原点 直线 距离
综坐标原点 直线 距离
7 （ 1 ）
（ 2 ）
分析
（ 1 ） M 直线 M 求出直线方程．
（ 2 ）直线 M 直线 垂直．设直线方程 M 代入求出直线方程．
（ 1 ）
∵ 直线 直线 交点 M
∴ M （ −1 2 ）
∴ 直线 M （ −1 2 ）
∴ 直线方程
（ 2 ）
∵ 直线 M （ −1 2 ）直线 垂直．
∴ 设直线方程
M （ −1 2 ）代入 c ＝ 4
∴ 求直线方程 ．
8 （ 1 ） （ 2 ）
分析
（ 1 ）题 求出 出椭圆方程
（ 2 ）联立直线椭圆方程弦长公式求出
详解
（ 1 ）题意
椭圆 标准方程
（ 2 ）
设
点睛
方法点睛：解决直线圆锥曲线相交问题常步骤：
（ 1 ）出直线方程设交点
（ 2 ）联立直线曲线方程关 （ ）元二次方程
（ 3 ）写出韦达定理
（ 4 ）求问题题中关系转化 形式
（ 5 ）代入韦达定理求解
9 （ 1 ） （ 2 ） ．
分析
（ 1 ）点 坐标原点分 轴 轴 轴建立空间直角坐标系利空间量法求异面直线 成角
（ 2 ）利空间量法结合二面角 计算出 值求点 坐标进利空间量法求点 面 距离
详解
分 轴 轴 轴建立空间直角坐标系
（ 1 ）
设
异面直线 成角
（ 2 ）面 法量
设面 法量 设点 中
令
解
面 法量
点 面 距离 ．
点睛
利量夹角转化空间角时定注意量夹角空间角定义范围．求二面角根图形确定求角锐角钝角．根量坐标图形中观察法量方确定二面角量 夹角相等互补利量求二面角难点易错点
10 （ 1 ）证明见详解
（ 2 ）
（ 3 ）
分析
（ 1 ）计算两圆心距离两圆半径差关系两圆关系
（ 2 ）两圆方程作差公弦方程利垂径定理公弦长
（ 3 ）直线斜率存时符合题意直线斜率存时设 利点直线距离等半径列方程求解
（ 1 ）
已知圆 圆心 半径
圆心 半径
圆 圆 相交
（ 2 ）
两圆方程相减
圆 圆 公弦直线方程
圆心 公弦距离
公弦长
（ 3 ）
点 直线斜率存时时方程 圆 相切符合题意
点 直线斜率存时设
解
综合点 圆 相切直线方程
11 （ 1 ）证明见详解
（ 2 ）
分析
（ 1 ）先证明四边形 ADFE 行四边形 AE ∥ DF 证
（ 2 ）点 E 坐标原点建立空间直角坐标系设 ＝ 2 t （ t ＞ 0 ）根已知条件求 进求面 法量直线 DE 方量利量公式解．
（ 1 ）
证明：取 中点 F 连接 DF EF
∵ E BC 中点
∴ EF ∥
∵ D 中点
∴ DA ∥
∴ EF ∥ DA EF DA
∴ 四边形 ADFE 行四边形
∴ AE ∥ DF
∵ AE 面 DF 面
∴ AE ∥ 面
（ 2 ）
（ 1 ）题设知 BC EA EF 两两互相垂直点 E 坐标原点 EC EA EF 直线分 x 轴 y 轴 z 轴建立图示空间直角坐标系
设 ＝ 2 t （ t ＞ 0 ）
B (−3 0 0) (3 0 2t) A (0 0) C (3 0 0) D (0 t )
解
设面 法量
取
D (0 )
∴
∴ DE 面 成角正弦值
12 （ 1 ）证明见解析定值
（ 2 ）
（ 3 ）证明见解析
分析
（ Ⅰ ）题意设圆 M 方程 求出圆 M 分 x 轴 y 轴交点 A B 坐标利面积公式 △ AOB 面积定值
（ Ⅱ ） 知 OM ⊥ l 解 t ＝ ±1 验证求圆 M 方程
（ Ⅲ ）设 整理 ① 设直线 GH 方程 y ＝ kx ＋ b 代入 利韦达定理确定直线方程出结．
（ 1 ）
题意设圆 M 方程
．
令 x ＝ 0 令 y ＝ 0 x ＝ 2 t ．
∴ （定值）
（ 2 ）
知 OM ⊥ l ．
解 t ＝ ±1 ．
t ＝ 1 时圆心 直线 距离 半径符合题意
t ＝ −1 时 直线 距离 半径符合题意．
求圆 M 方程 ．
（ 3 ）
设 知
．
代入式
整理 ①
设直线 GH 方程 y ＝ kx ＋ b 代入
整理
．
代入 ① 式整理
解 ．
时直线 GH 方程 定点
时直线 GH 方程 定点
检验定点 E F 线合题意舍．
GH 定点 ．
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