绝密★启前
试卷类型：A
2023年普通高等学校招生全国统考试
新课标Ⅰ卷数学
试卷4页22题满分150分考试时120分钟
注意事项：
1．答题前考生务必黑色字迹钢笔签字笔姓名考生号考场号座位号填写答题卡2B铅笔试卷类型（A）填涂答题卡相应位置条形码横贴答题卡右角条形码粘贴处
2．作答选择题时选出题答案2B铅笔答题卡应题目选项答案信息点涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答案答试卷
3．非选择题必须黑色字迹钢笔签字笔作答答案必须写答题卡题目指定区域相应位置需改动先划掉原答案然写新答案准铅笔涂改液求作答答案效
4．考生必须保持答题卡整洁考试结束试卷答题卡交回
选择题：题8题题5分40分题出四选项中项符合题目求
1 已知集合（ ）
A B C D 2
答案C
解析
分析方法：元二次等式解法求出集合根交集运算解出．
方法二：集合中元素逐代入等式验证解出．
详解方法：
．
选：C．
方法二：代入等式等式成立
．
选：C．
2 已知（ ）
A B C 0 D 1
答案A
解析
分析根复数法运算求出轭复数概念解出．
详解．
选：A．
3 已知量（ ）
A B
C D
答案D
解析
分析根量坐标运算求出根量垂直坐标表示求出．
详解
整理：．
选：D．
4 设函数区间单调递减取值范围（ ）
A B
C D
答案D
解析
分析利指数型复合函数单调性判断列式计算作答
详解函数R单调递增函数区间单调递减
函数区间单调递减解
取值范围
选：D
5 设椭圆离心率分．（ ）
A B C D
答案A
解析
分析根定椭圆方程结合离心率意义列式计算作答
详解
选：A
6 点圆相切两条直线夹角（ ）
A 1 B C D
答案B
解析
分析方法：根切线性质求切线长结合倍角公式运算求解方法二：根切线性质求切线长结合余弦定理运算求解方法三：根切线结合点直线距离公式利韦达定理结合夹角公式运算求解
详解方法：圆心半径
点作圆C切线切点
钝角
法二：圆圆心半径
点作圆C切线切点连接
解
钝角
锐角
方法三：圆圆心半径
切线斜率存切线方程圆心切点距离合题意
切线斜率存设切线方程
整理
设两切线斜率分
解
选：B
7 记数列前项设甲：等差数列乙：等差数列（ ）
A 甲乙充分条件必条件
B 甲乙必条件充分条件
C 甲乙充条件
D 甲乙充分条件乙必条件
答案C
解析
分析利充分条件必条件定义等差数列定义结合数列前n项第n项关系推理判断作答
详解方法1甲：等差数列设首项公差
等差数列甲乙充分条件
反乙：等差数列常数设
两式相减：成立
等差数列甲乙必条件
甲乙充条件C正确
方法2甲：等差数列设数列首项公差
等差数列甲乙充分条件
反乙：等差数列
时两式相减：时式成立
常数
等差数列甲乙必条件
甲乙充条件
选：C
8 已知（ ）．
A B C D
答案B
解析
分析根定条件利角差角正弦公式求出利二倍角余弦公式计算作答
详解
选：B
点睛方法点睛：三角函数求值类型方法
（1）角求值：般出角非特殊角表面较难非特殊角特殊角总定关系．解题时利观察关系结合三角函数公式转化特殊角三角函数．
（2）值求值：出某角三角函数值求外角三角函数值解题关键变角角相具某种关系．
（3）值求角：实质转化值求值关键变角求角含已知角式子表示函数值结合该函数单调区间求角时压缩角取值范围．
二选择题：题4题题5分20分．题出选项中项符合题目求．全部选5分部分选2分选错0分
9 组样数中值值（ ）
A 均数等均数
B 中位数等中位数
C 标准差标准差
D 极差极差
答案BD
解析
分析根题意结合均数中位数标准差极差概念逐项分析判断
详解选项A：设均数均数
没确定关系法判断
例：
例
例A错误
选项B：妨设
知中位数等中位数均B正确
选项C：值值
波动性波动性标准差标准差
例：均数
标准差
均数
标准差
显然C错误
选项D：妨设
仅时等号成立D正确
选：BD
10 噪声污染问题越越受重视．声压级度量声音强弱定义声压级中常数听觉限阈值实际声压．表声源声压级：
声源
声源距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
已知距离燃油汽车混合动力汽车电动汽车处测实际声压分（ ）．
A B
C D
答案ACD
解析
分析根题意知结合数运算逐项分析判断
详解题意知：
选项A：
A正确
选项B：
仅时等号成立B错误
选项C：
C正确
选项D：选项A知：
D正确
选：ACD
11 已知函数定义域（ ）．
A B
C 偶函数 D 极值点
答案ABC
解析
分析方法：利赋值法结合函数奇遇性判断方法判断选项ABC举反例排选项D
方法二：选项ABC判断方法D构造特殊函数进行判断
详解方法：
A令正确
B令B正确
C令
令
函数定义域偶函数正确
D妨令显然符合题设条件时极值错误
方法二：
A令正确
B令B正确
C令
令
函数定义域偶函数正确
D时两边时
设
肘
令令
单调递减单调递增
偶函数单调递增单调递减
显然时极值D错误
选：
12 列物体中够整体放入棱长1（单位：m）正方体容器（容器壁厚度忽略计）（ ）
A 直径球体
B 棱长均四面体
C 底面直径高圆柱体
D 底面直径高圆柱体
答案ABD
解析
分析根题意结合正方体性质逐项分析判断
详解选项A：球体直径正方体棱长
够整体放入正方体A正确
选项B：正方体面角线长
够整体放入正方体B正确
选项C：正方体体角线长
够整体放入正方体C正确
选项D：正方体体角线长
设正方体中心轴称放置圆柱设圆柱底面圆心正方体表面距离
图结合称性知：
解
够整体放入正方体D正确
选：ABD
点睛关键点睛：CD：正方体体角线圆柱轴结合正方体圆柱性质分析判断
三填空题：题4题题5分20分．
13 某学校开设4门体育类选修课4门艺术类选修课学生需8门课中选修2门3门课类选修课少选修1门选课方案________种（数字作答）．
答案64
解析
分析分类讨选修2门3门课选修3门讨具体选修课分配结合组合数运算求解
详解（1）8门课中选修2门选课方案种
（2）8门课中选修3门
①体育类选修课1门选课方案种
②体育类选修课2门选课方案种
综述：选课方案种
答案：64
14 正四棱台中该棱台体积________．
答案##
解析
分析结合图次求利棱台体积公式解
详解图作垂足易知四棱台高
求体积
答案：
15 已知函数区间仅3零点取值范围________．
答案
解析
分析令3根结合余弦函数图性质解
详解
令3根
令3根中
结合余弦函数图性质
答案：
16 已知双曲线左右焦点分．点点轴
离心率________．
答案##
解析
分析方法：利双曲线定义量数积意义关表达式利勾股定理求进利余弦定理齐次方程解
方法二：题意设出点坐标量坐标运算求点代入双曲线关齐次方程解
详解方法：
题意设
中（舍）
中整理
方法二
题意令
点整理
整理解
（舍）
答案：
点睛关键点睛：双曲线焦点三角形解决关键充分利双曲线定义结合勾股定理余弦定理关齐次方程解
四解答题：题6题70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17 已知中．
（1）求
（2）设求边高．
答案（1）
（2）6
解析
分析（1）根角关系两角差正弦公式化简解
（2）利角间三角函数基关系两角正弦公式求正弦定理求出根等面积法求解
问1详解
问2详解
（1）知
正弦定理
18 图正四棱柱中．点分棱．
（1）证明：
（2）点棱二面角时求．
答案（1）证明见解析
（2）1
解析
分析（1）建立空间直角坐标系利量坐标相等证明
（2）设利量法求二面角建立方程求出解
问1详解
坐标原点直线轴建立空间直角坐标系图
条直线
问2详解
设
设面法量
令
设面法量
令
化简
解
19 已知函数．
（1）讨单调性
（2）证明：时．
答案（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析
分析（1）先求导分类讨两种情况结合导数函数单调性关系解
（2）方法：结合（1）中结问题转化恒成立问题构造函数利导数证
方法二：构造函数证进问题转化恒成立问题证
问1详解
定义域
时恒成立
单调递减
时令解
时单调递减
时单调递增
综：时单调递减
时单调递减单调递增
问2详解
方法：
（1）
证证证恒成立
令
令令
单调递减单调递增
恒成立
时恒成立证毕
方法二：
令
单调递增单调递增
时时
单调递减单调递增
仅时等号成立
仅时等号成立
证证证
令
令令
单调递减单调递增
恒成立
时恒成立证毕
20 设等差数列公差．令记分数列前项．
（1）求通项公式
（2）等差数列求．
答案（1）
（2）
解析
分析（1）根等差数列通项公式建立方程求解
（2）等差数列出等差数列性质分类讨解
问1详解
解
解（舍）
问2详解
等差数列
解
等差数列性质知
解（舍）
时解矛盾解
时解
综
21 甲乙两投篮次中投篮规：命中继续投籃末命中换方投篮．前投篮情况甲次投篮命中率均06乙次投篮命中率均08．抽签确定第1次投篮选第1次投篮甲乙概率05．
（1）求第2次投篮乙概率
（2）求第次投篮甲概率
（3）已知：机变量服两点分布．记前次（第1次第次投篮）中甲投篮次数求．
答案（1）
（2）
（3）
解析
分析（1）根全概率公式求出
（2）设题意根数列知识构造等数列解出
（3）先求出两点分布期根题中结等数列求公式求出．
问1详解
记第次投篮甲事件第次投篮乙事件
问2详解
设题知
构造等数列
设解
首项公等数列
．
问3详解
时
．
点睛题第问直接考查全概率公式应两问解题关键根题意找递推式然根数列基知识求解．
22 直角坐标系中点轴距离等点点距离记动点轨迹．
（1）求方程
（2）已知矩形三顶点证明：矩形周长．
答案（1）
（2）见解析
解析
分析（1）设根题意列出方程化简
（2）法：设矩形三顶点分令利放缩法设函数利导数求出值值排边界值
法二：设直线方程抛物线方程联立利弦长公式放缩法利换元法求导求出周长值排边界值
法三：利移坐标系法设点利三角换元角度分类讨结合基等式证明
问1详解
设两边方化简
问2详解
法：设矩形三顶点易知矩形四条边直线斜率均存0
令
理令
设矩形周长称性妨设
易知
令
令解
时时单调递减
时单调递增
时时等号成立矛盾
证
法二：妨设
题意设易知直线斜率均存0
设斜率分称性妨设
直线方程
联立
理
令设
令解
时时单调递减
时单调递增
处取等条件终取等时致
法三：计算方便抛物线移动单位抛物线
矩形变换矩形问题等价矩形周长
设 根称性妨设
介 间
令
①时
② 时
仅时等号成立矩形周长
点睛关键点睛：题第二关键通放缩时简便运算右边式子方设新函数求导排边界值
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绝密★启前
试卷类型：A
2023年普通高等学校招生全国统考试
新课标Ⅰ卷数学
试卷4页22题满分150分考试时120分钟
注意事项：
1．答题前考生务必黑色字迹钢笔签字笔姓名考生号考场号座位号填写答题卡2B铅笔试卷类型（A）填涂答题卡相应位置条形码横贴答题卡右角条形码粘贴处
2．作答选择题时选出题答案2B铅笔答题卡应题目选项答案信息点涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答案答试卷
3．非选择题必须黑色字迹钢笔签字笔作答答案必须写答题卡题目指定区域相应位置需改动先划掉原答案然写新答案准铅笔涂改液求作答答案效
4．考生必须保持答题卡整洁考试结束试卷答题卡交回
选择题：题8题题5分40分题出四选项中项符合题目求
1 已知集合（ ）
A B C D 2
答案C
解析
分析方法：元二次等式解法求出集合根交集运算解出．
方法二：集合中元素逐代入等式验证解出．
详解方法：
．
选：C．
方法二：代入等式等式成立
．
选：C．
2 已知（ ）
A B C 0 D 1
答案A
解析
分析根复数法运算求出轭复数概念解出．
详解．
选：A．
3 已知量（ ）
A B
C D
答案D
解析
分析根量坐标运算求出根量垂直坐标表示求出．
详解
整理：．
选：D．
4 设函数区间单调递减取值范围（ ）
A B
C D
答案D
解析
分析利指数型复合函数单调性判断列式计算作答
详解函数R单调递增函数区间单调递减
函数区间单调递减解
取值范围
选：D
5 设椭圆离心率分．（ ）
A B C D
答案A
解析
分析根定椭圆方程结合离心率意义列式计算作答
详解
选：A
6 点圆相切两条直线夹角（ ）
A 1 B C D
答案B
解析
分析方法：根切线性质求切线长结合倍角公式运算求解方法二：根切线性质求切线长结合余弦定理运算求解方法三：根切线结合点直线距离公式利韦达定理结合夹角公式运算求解
详解方法：圆心半径
点作圆C切线切点
钝角
法二：圆圆心半径
点作圆C切线切点连接
解
钝角
锐角
方法三：圆圆心半径
切线斜率存切线方程圆心切点距离合题意
切线斜率存设切线方程
整理
设两切线斜率分
解
选：B
7 记数列前项设甲：等差数列乙：等差数列（ ）
A 甲乙充分条件必条件
B 甲乙必条件充分条件
C 甲乙充条件
D 甲乙充分条件乙必条件
答案C
解析
分析利充分条件必条件定义等差数列定义结合数列前n项第n项关系推理判断作答
详解方法1甲：等差数列设首项公差
等差数列甲乙充分条件
反乙：等差数列常数设
两式相减：成立
等差数列甲乙必条件
甲乙充条件C正确
方法2甲：等差数列设数列首项公差
等差数列甲乙充分条件
反乙：等差数列
时两式相减：时式成立
常数
等差数列甲乙必条件
甲乙充条件
选：C
8 已知（ ）．
A B C D
答案B
解析
分析根定条件利角差角正弦公式求出利二倍角余弦公式计算作答
详解
选：B
点睛方法点睛：三角函数求值类型方法
（1）角求值：般出角非特殊角表面较难非特殊角特殊角总定关系．解题时利观察关系结合三角函数公式转化特殊角三角函数．
（2）值求值：出某角三角函数值求外角三角函数值解题关键变角角相具某种关系．
（3）值求角：实质转化值求值关键变角求角含已知角式子表示函数值结合该函数单调区间求角时压缩角取值范围．
二选择题：题4题题5分20分．题出选项中项符合题目求．全部选5分部分选2分选错0分
9 组样数中值值（ ）
A 均数等均数
B 中位数等中位数
C 标准差标准差
D 极差极差
答案BD
解析
分析根题意结合均数中位数标准差极差概念逐项分析判断
详解选项A：设均数均数
没确定关系法判断
例：
例
例A错误
选项B：妨设
知中位数等中位数均B正确
选项C：值值
波动性波动性标准差标准差
例：均数
标准差
均数
标准差
显然C错误
选项D：妨设
仅时等号成立D正确
选：BD
10 噪声污染问题越越受重视．声压级度量声音强弱定义声压级中常数听觉限阈值实际声压．表声源声压级：
声源
声源距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
已知距离燃油汽车混合动力汽车电动汽车处测实际声压分（ ）．
A B
C D
答案ACD
解析
分析根题意知结合数运算逐项分析判断
详解题意知：
选项A：
A正确
选项B：
仅时等号成立B错误
选项C：
C正确
选项D：选项A知：
D正确
选：ACD
11 已知函数定义域（ ）．
A B
C 偶函数 D 极值点
答案ABC
解析
分析方法：利赋值法结合函数奇遇性判断方法判断选项ABC举反例排选项D
方法二：选项ABC判断方法D构造特殊函数进行判断
详解方法：
A令正确
B令B正确
C令
令
函数定义域偶函数正确
D妨令显然符合题设条件时极值错误
方法二：
A令正确
B令B正确
C令
令
函数定义域偶函数正确
D时两边时
设
肘
令令
单调递减单调递增
偶函数单调递增单调递减
显然时极值D错误
选：
12 列物体中够整体放入棱长1（单位：m）正方体容器（容器壁厚度忽略计）（ ）
A 直径球体
B 棱长均四面体
C 底面直径高圆柱体
D 底面直径高圆柱体
答案ABD
解析
分析根题意结合正方体性质逐项分析判断
详解选项A：球体直径正方体棱长
够整体放入正方体A正确
选项B：正方体面角线长
够整体放入正方体B正确
选项C：正方体体角线长
够整体放入正方体C正确
选项D：正方体体角线长
设正方体中心轴称放置圆柱设圆柱底面圆心正方体表面距离
图结合称性知：
解
够整体放入正方体D正确
选：ABD
点睛关键点睛：CD：正方体体角线圆柱轴结合正方体圆柱性质分析判断
三填空题：题4题题5分20分．
13 某学校开设4门体育类选修课4门艺术类选修课学生需8门课中选修2门3门课类选修课少选修1门选课方案________种（数字作答）．
答案64
解析
分析分类讨选修2门3门课选修3门讨具体选修课分配结合组合数运算求解
详解（1）8门课中选修2门选课方案种
（2）8门课中选修3门
①体育类选修课1门选课方案种
②体育类选修课2门选课方案种
综述：选课方案种
答案：64
14 正四棱台中该棱台体积________．
答案##
解析
分析结合图次求利棱台体积公式解
详解图作垂足易知四棱台高
求体积
答案：
15 已知函数区间仅3零点取值范围________．
答案
解析
分析令3根结合余弦函数图性质解
详解
令3根
令3根中
结合余弦函数图性质
答案：
16 已知双曲线左右焦点分．点点轴
离心率________．
答案##
解析
分析方法：利双曲线定义量数积意义关表达式利勾股定理求进利余弦定理齐次方程解
方法二：题意设出点坐标量坐标运算求点代入双曲线关齐次方程解
详解方法：
题意设
中（舍）
中整理
方法二
题意令
点整理
整理解
（舍）
答案：
点睛关键点睛：双曲线焦点三角形解决关键充分利双曲线定义结合勾股定理余弦定理关齐次方程解
四解答题：题6题70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17 已知中．
（1）求
（2）设求边高．
答案（1）
（2）6
解析
分析（1）根角关系两角差正弦公式化简解
（2）利角间三角函数基关系两角正弦公式求正弦定理求出根等面积法求解
问1详解
问2详解
（1）知
正弦定理
18 图正四棱柱中．点分棱．
（1）证明：
（2）点棱二面角时求．
答案（1）证明见解析
（2）1
解析
分析（1）建立空间直角坐标系利量坐标相等证明
（2）设利量法求二面角建立方程求出解
问1详解
坐标原点直线轴建立空间直角坐标系图
条直线
问2详解
设
设面法量
令
设面法量
令
化简
解
19 已知函数．
（1）讨单调性
（2）证明：时．
答案（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析
分析（1）先求导分类讨两种情况结合导数函数单调性关系解
（2）方法：结合（1）中结问题转化恒成立问题构造函数利导数证
方法二：构造函数证进问题转化恒成立问题证
问1详解
定义域
时恒成立
单调递减
时令解
时单调递减
时单调递增
综：时单调递减
时单调递减单调递增
问2详解
方法：
（1）
证证证恒成立
令
令令
单调递减单调递增
恒成立
时恒成立证毕
方法二：
令
单调递增单调递增
时时
单调递减单调递增
仅时等号成立
仅时等号成立
证证证
令
令令
单调递减单调递增
恒成立
时恒成立证毕
20 设等差数列公差．令记分数列前项．
（1）求通项公式
（2）等差数列求．
答案（1）
（2）
解析
分析（1）根等差数列通项公式建立方程求解
（2）等差数列出等差数列性质分类讨解
问1详解
解
解（舍）
问2详解
等差数列
解
等差数列性质知
解（舍）
时解矛盾解
时解
综
21 甲乙两投篮次中投篮规：命中继续投籃末命中换方投篮．前投篮情况甲次投篮命中率均06乙次投篮命中率均08．抽签确定第1次投篮选第1次投篮甲乙概率05．
（1）求第2次投篮乙概率
（2）求第次投篮甲概率
（3）已知：机变量服两点分布．记前次（第1次第次投篮）中甲投篮次数求．
答案（1）
（2）
（3）
解析
分析（1）根全概率公式求出
（2）设题意根数列知识构造等数列解出
（3）先求出两点分布期根题中结等数列求公式求出．
问1详解
记第次投篮甲事件第次投篮乙事件
问2详解
设题知
构造等数列
设解
首项公等数列
．
问3详解
时
．
点睛题第问直接考查全概率公式应两问解题关键根题意找递推式然根数列基知识求解．
22 直角坐标系中点轴距离等点点距离记动点轨迹．
（1）求方程
（2）已知矩形三顶点证明：矩形周长．
答案（1）
（2）见解析
解析
分析（1）设根题意列出方程化简
（2）法：设矩形三顶点分令利放缩法设函数利导数求出值值排边界值
法二：设直线方程抛物线方程联立利弦长公式放缩法利换元法求导求出周长值排边界值
法三：利移坐标系法设点利三角换元角度分类讨结合基等式证明
问1详解
设两边方化简
问2详解
法：设矩形三顶点易知矩形四条边直线斜率均存0
令
理令
设矩形周长称性妨设
易知
令
令解
时时单调递减
时单调递增
时时等号成立矛盾
证
法二：妨设
题意设易知直线斜率均存0
设斜率分称性妨设
直线方程
联立
理
令设
令解
时时单调递减
时单调递增
处取等条件终取等时致
法三：计算方便抛物线移动单位抛物线
矩形变换矩形问题等价矩形周长
设 根称性妨设
介 间
令
①时
② 时
仅时等号成立矩形周长
点睛关键点睛：题第二关键通放缩时简便运算右边式子方设新函数求导排边界值
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