2022年普通高等学校招生全国统考试（全国乙卷）
数 学（理科）
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名座位号填写答题卡
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求
1．设全集集合M满足（ ）
A． B． C． D．
2．已知中ab实数（ ）
A． B． C． D．
3．已知量满足（ ）
A． B． C．1 D．2
4．嫦娥二号卫星完成探月务继续进行深空探测成国第颗环绕太阳飞行造行星研究嫦娥二号绕日周期球绕日周期值数列：…类推中．（ ）
A． B． C． D．
5．设F抛物线焦点点AC点（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．执行边程序框图输出（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．正方体中EF分中点（ ）
A．面面 B．面面
C．面面 D．面面
8．已知等数列前3项168（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
9．已知球O半径1四棱锥顶点O底面四顶点均球O球面该四棱锥体积时高（ ）
A． B． C． D．
10．某棋手甲乙丙三位棋手赛盘盘赛结果相互独立．已知该棋手甲乙丙赛获胜概率分．记该棋手连胜两盘概率p（ ）
A．p该棋手甲乙丙赛次序关 B．该棋手第二盘甲赛p
C．该棋手第二盘乙赛p D．该棋手第二盘丙赛p
11．双曲线C两焦点C实轴直径圆记D作D切线C交MN两点C离心率（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数定义域均R．图关直线称（ ）
A． B． C． D．
二填空题：题4题题5分20分．
13．甲乙等5名学中机选3名参加社区服务工作甲乙入选概率____________．
14．四点中三点圆方程____________．
15．记函数正周期T零点值____________．
16．知分函数（）极值点极值点．a取值范围____________．
三解答题：70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．第17~21题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答．
（）必考题：60分．
17．（12分）
记角边分已知．
（1）证明：
（2）求周长．
18．（2分）
图四面体中E中点．
（1）证明：面面
（2）设点F面积时求面成角正弦值．
19．（12分）
某年环境治理已荒山改造成绿水青山．估计林区某种树木总材积量机选取10棵种树木测量棵树根部横截面积（单位：）材积量（单位：）数：
样号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总
根部横截面积
004
006
004
008
008
005
005
007
007
006
06
材积量
025
040
022
054
051
034
036
046
042
040
39
计算．
（1）估计该林区种树木均棵根部横截面积均棵材积量
（2）求该林区种树木根部横截面积材积量样相关系数（精确001）
（3）现测量该林区种树木根部横截面积种树木根部横截面积总．已知树木材积量根部横截面积似成正．利数出该林区种树木总材积量估计值．
附：相关系数．
20．（12分）
已知椭圆E中心坐标原点称轴x轴y轴两点．
（1）求E方程
（2）设点直线交EMN两点M行x轴直线线段AB交点T点H满足．证明：直线HN定点．
21．（12分）
已知函数
（1）时求曲线点处切线方程
（2）区间恰零点求a取值范围．
（二）选考题10分．请考生第2223题中选题作答．果做做第题计分．
22．[选修44：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系中曲线C参数方程（t参数）．坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系已知直线l极坐标方程．
（1）写出l直角坐标方程
（2）lC公点求m取值范围．
23．[选修45：等式选讲]（10分）
已知abc正数证明：
（1）
（2）．
2022年普通高等学校招生全国统考试
数学（理科）
参考答案
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名座位号填写答题卡．
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效．
3．考试结束试卷答题卡交回．
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1 A 2 A 3 C 4 D 5 B 6 B 7 A 8 D 9 C 10D 11 C 12 D
二填空题：题4题题5分20分．
13
14
15
16
三解答题：0分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．第17~21题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答．
（）必考题：60分．
17
（1）
证明：
（2）
解：
（1）
余弦定理
周长
18
（1）
E中点
中
E中点
面面
面面面
（2）
连接（1）知面面
时面积
等边三角形
E中点
中
坐标原点建立图示空间直角坐标系
设面法量
取
设面成角正弦值
面成角正弦值
19
（1）
样中10棵种树木根部横截面积均值
样中10棵种树木材积量均值
估计该林区种树木均棵根部横截面积
均棵材积量
（2）
（3）
设该林区种树木总材积量估计值
已知树木材积量根部横截面积似成正
解．
该林区种树木总材积量估计
20
（1）
解：设椭圆E方程
解
椭圆E方程：
（2）
①点直线斜率存直线代入
代入AB方程
求HN方程：
点
②点直线斜率存设
联立
联立
求时
代入整理
代入
显然成立
综直线HN定点
21
（1）
定义域
时切点切线斜率2
曲线点处切线方程
（2）
设
单调递增
没零点合题意
单调递增
单调递增
没零点合题意
(1)单调递增
存
单调递减
单调递增
唯零点
没零点唯零点
(2)
设
单调递增
存
单调递减
单调递增
存
单调递增单调递减
唯零点零点
唯零点
符合题意
区间恰零点求取值范围
（二）选考题10分．请考生第2223题中选题作答．果做做第题计分．
[选修44：坐标系参数方程]
22
（1）
l：
化简
整理l直角坐标方程：
（2）
联立lC方程代入
中
化简
lC公点解
令令
称轴开口
m取值范围
[选修45：等式选讲]
23
（1）
证明：
仅时取等号．
（2）
证明：
仅时取等号．
2022年普通高等学校招生全国统考试
数学（理科）
参考答案
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名座位号填写答题卡．
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效．
3．考试结束试卷答题卡交回．
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1 A 2 A 3 C 4 D 5 B 6 B 7 A 8 D 9 C 10D 11 C 12 D
二填空题：题4题题5分20分．
13
14
15
16
三解答题：0分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．第17~21题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答．
（）必考题：60分．
17
（1）
证明：
（2）
解：
（1）
余弦定理
周长
18
（1）
E中点
中
E中点
面面
面面面
（2）
连接（1）知面面
时面积
等边三角形
E中点
中
坐标原点建立图示空间直角坐标系
设面法量
取
设面成角正弦值
面成角正弦值
19
（1）
样中10棵种树木根部横截面积均值
样中10棵种树木材积量均值
估计该林区种树木均棵根部横截面积
均棵材积量
（2）
（3）
设该林区种树木总材积量估计值
已知树木材积量根部横截面积似成正
解．
该林区种树木总材积量估计
20
（1）
解：设椭圆E方程
解
椭圆E方程：
（2）
①点直线斜率存直线代入
代入AB方程
求HN方程：
点
②点直线斜率存设
联立
联立
求时
代入整理
代入
显然成立
综直线HN定点
21
（1）
定义域
时切点切线斜率2
曲线点处切线方程
（2）
设
单调递增
没零点合题意
单调递增
单调递增
没零点合题意
(1)单调递增
存
单调递减
单调递增
唯零点
没零点唯零点
(2)
设
单调递增
存
单调递减
单调递增
存
单调递增单调递减
唯零点零点
唯零点
符合题意
区间恰零点求取值范围
（二）选考题10分．请考生第2223题中选题作答．果做做第题计分．
[选修44：坐标系参数方程]
22
（1）
l：
化简
整理l直角坐标方程：
（2）
联立lC方程代入
中
化简
lC公点解
令令
称轴开口
m取值范围
[选修45：等式选讲]
23
（1）
证明：
仅时取等号．
（2）
证明：
仅时取等号．
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数 学（理科）
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名座位号填写答题卡
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求
1．设全集集合M满足（ ）
A． B． C． D．
2．已知中ab实数（ ）
A． B． C． D．
3．已知量满足（ ）
A． B． C．1 D．2
4．嫦娥二号卫星完成探月务继续进行深空探测成国第颗环绕太阳飞行造行星研究嫦娥二号绕日周期球绕日周期值数列：…类推中．（ ）
A． B． C． D．
5．设F抛物线焦点点AC点（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．执行边程序框图输出（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．正方体中EF分中点（ ）
A．面面 B．面面
C．面面 D．面面
8．已知等数列前3项168（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
9．已知球O半径1四棱锥顶点O底面四顶点均球O球面该四棱锥体积时高（ ）
A． B． C． D．
10．某棋手甲乙丙三位棋手赛盘盘赛结果相互独立．已知该棋手甲乙丙赛获胜概率分．记该棋手连胜两盘概率p（ ）
A．p该棋手甲乙丙赛次序关 B．该棋手第二盘甲赛p
C．该棋手第二盘乙赛p D．该棋手第二盘丙赛p
11．双曲线C两焦点C实轴直径圆记D作D切线C交MN两点C离心率（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数定义域均R．图关直线称（ ）
A． B． C． D．
二填空题：题4题题5分20分．
13．甲乙等5名学中机选3名参加社区服务工作甲乙入选概率____________．
14．四点中三点圆方程____________．
15．记函数正周期T零点值____________．
16．知分函数（）极值点极值点．a取值范围____________．
三解答题：70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．第17~21题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答．
（）必考题：60分．
17．（12分）
记角边分已知．
（1）证明：
（2）求周长．
18．（2分）
图四面体中E中点．
（1）证明：面面
（2）设点F面积时求面成角正弦值．
19．（12分）
某年环境治理已荒山改造成绿水青山．估计林区某种树木总材积量机选取10棵种树木测量棵树根部横截面积（单位：）材积量（单位：）数：
样号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总
根部横截面积
004
006
004
008
008
005
005
007
007
006
06
材积量
025
040
022
054
051
034
036
046
042
040
39
计算．
（1）估计该林区种树木均棵根部横截面积均棵材积量
（2）求该林区种树木根部横截面积材积量样相关系数（精确001）
（3）现测量该林区种树木根部横截面积种树木根部横截面积总．已知树木材积量根部横截面积似成正．利数出该林区种树木总材积量估计值．
附：相关系数．
20．（12分）
已知椭圆E中心坐标原点称轴x轴y轴两点．
（1）求E方程
（2）设点直线交EMN两点M行x轴直线线段AB交点T点H满足．证明：直线HN定点．
21．（12分）
已知函数
（1）时求曲线点处切线方程
（2）区间恰零点求a取值范围．
（二）选考题10分．请考生第2223题中选题作答．果做做第题计分．
22．[选修44：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系中曲线C参数方程（t参数）．坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系已知直线l极坐标方程．
（1）写出l直角坐标方程
（2）lC公点求m取值范围．
23．[选修45：等式选讲]（10分）
已知abc正数证明：
（1）
（2）．
2022年普通高等学校招生全国统考试
数学（理科）
参考答案
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名座位号填写答题卡．
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效．
3．考试结束试卷答题卡交回．
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1 A 2 A 3 C 4 D 5 B 6 B 7 A 8 D 9 C 10D 11 C 12 D
二填空题：题4题题5分20分．
13
14
15
16
三解答题：0分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．第17~21题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答．
（）必考题：60分．
17
（1）
证明：
（2）
解：
（1）
余弦定理
周长
18
（1）
E中点
中
E中点
面面
面面面
（2）
连接（1）知面面
时面积
等边三角形
E中点
中
坐标原点建立图示空间直角坐标系
设面法量
取
设面成角正弦值
面成角正弦值
19
（1）
样中10棵种树木根部横截面积均值
样中10棵种树木材积量均值
估计该林区种树木均棵根部横截面积
均棵材积量
（2）
（3）
设该林区种树木总材积量估计值
已知树木材积量根部横截面积似成正
解．
该林区种树木总材积量估计
20
（1）
解：设椭圆E方程
解
椭圆E方程：
（2）
①点直线斜率存直线代入
代入AB方程
求HN方程：
点
②点直线斜率存设
联立
联立
求时
代入整理
代入
显然成立
综直线HN定点
21
（1）
定义域
时切点切线斜率2
曲线点处切线方程
（2）
设
单调递增
没零点合题意
单调递增
单调递增
没零点合题意
(1)单调递增
存
单调递减
单调递增
唯零点
没零点唯零点
(2)
设
单调递增
存
单调递减
单调递增
存
单调递增单调递减
唯零点零点
唯零点
符合题意
区间恰零点求取值范围
（二）选考题10分．请考生第2223题中选题作答．果做做第题计分．
[选修44：坐标系参数方程]
22
（1）
l：
化简
整理l直角坐标方程：
（2）
联立lC方程代入
中
化简
lC公点解
令令
称轴开口
m取值范围
[选修45：等式选讲]
23
（1）
证明：
仅时取等号．
（2）
证明：
仅时取等号．
2022年普通高等学校招生全国统考试
数学（理科）
参考答案
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名座位号填写答题卡．
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效．
3．考试结束试卷答题卡交回．
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1 A 2 A 3 C 4 D 5 B 6 B 7 A 8 D 9 C 10D 11 C 12 D
二填空题：题4题题5分20分．
13
14
15
16
三解答题：0分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．第17~21题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答．
（）必考题：60分．
17
（1）
证明：
（2）
解：
（1）
余弦定理
周长
18
（1）
E中点
中
E中点
面面
面面面
（2）
连接（1）知面面
时面积
等边三角形
E中点
中
坐标原点建立图示空间直角坐标系
设面法量
取
设面成角正弦值
面成角正弦值
19
（1）
样中10棵种树木根部横截面积均值
样中10棵种树木材积量均值
估计该林区种树木均棵根部横截面积
均棵材积量
（2）
（3）
设该林区种树木总材积量估计值
已知树木材积量根部横截面积似成正
解．
该林区种树木总材积量估计
20
（1）
解：设椭圆E方程
解
椭圆E方程：
（2）
①点直线斜率存直线代入
代入AB方程
求HN方程：
点
②点直线斜率存设
联立
联立
求时
代入整理
代入
显然成立
综直线HN定点
21
（1）
定义域
时切点切线斜率2
曲线点处切线方程
（2）
设
单调递增
没零点合题意
单调递增
单调递增
没零点合题意
(1)单调递增
存
单调递减
单调递增
唯零点
没零点唯零点
(2)
设
单调递增
存
单调递减
单调递增
存
单调递增单调递减
唯零点零点
唯零点
符合题意
区间恰零点求取值范围
（二）选考题10分．请考生第2223题中选题作答．果做做第题计分．
[选修44：坐标系参数方程]
22
（1）
l：
化简
整理l直角坐标方程：
（2）
联立lC方程代入
中
化简
lC公点解
令令
称轴开口
m取值范围
[选修45：等式选讲]
23
（1）
证明：
仅时取等号．
（2）
证明：
仅时取等号．
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