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2010 年普通高等学校招生全国统考试（天津卷）
数学（理工类）
试卷分第Ⅰ卷 （选择题） 第Ⅱ卷 （非选择题） 两部分 150 分考试时 120 分钟
第Ⅰ卷 1 3 页第Ⅱ卷 4 11 页考试结束试卷答题卡交回
祝位考生考试利
第Ⅰ卷
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡规定位置粘贴考
试条形码
2． 题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦
干净选涂答案标号答试卷效
3． 卷 10 题题 5 分 50 分
参考公式：
·果事件 AB 互斥 ·果事件 A B相互独立
P(A∪B)P(A)+P(B) P(AB)P(A)P(B)
·棱柱体积公式 VSh 棱锥体积公式 V1
3
sh
中 S 标示棱柱底面积 中 S 标示棱锥底面积
h 表示棱柱高 h 示棱锥高
． 选择题： 题出四选项中项符合题目求
（1）i 虚数单位复数
1 3
1 2
i
i
(A)1 ＋i (B)5 ＋5i (C)55i (D)1 －i
（2）函数 f(x) 2 3x
x 零点区间
(A) （2 1 ）(B) （10 ）(C) （01 ）(D) （12 ）
（3）命题 f(x) 奇函数 f(x) 奇函数否命题
(A) f(x) 偶函数 f(x) 偶函数
（B） f(x) 奇函数 f(x) 奇函数
（C） f(x) 奇函数 f(x) 奇函数12999 数学网 www12999com
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（D） f(x) 奇函数 f(x) 奇函数
（4）阅读右边程序框图输出 s 值 7 判断框填写
(A)i ＜3 （B）i ＜ 4
（C）i ＜ 5 （D）i ＜6
(5) 已知双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)
x y
a b
a b
条渐线方程 y 3 x 焦点抛
物线 2
24y x 准线双曲线方程
（A）
2 2
1
36 108
x y
（B）
2 2
1
9 27
x y
（C）
2 2
1
108 36
x y
（D）
2 2
1
27 9
x y
（6）已知 na 首项 1 等数列 ns na 前 n 项 3 69 s s 数列
1
na
前 5 项
（A） 1 5
8
5 （B） 3 1
1 6
5 （C） 3 1
1 6
（ D） 1 5
8
（ 7 ） △ ABC 中 角 ABC 边 分 abc 2 2
3a b bc 12999 数学网 www12999com
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sin 2 3 sinC B A
（A） 03 0 （B）
06 0 （C）
0120 （D）
0150
（8）函数 f(x)
2
1
2
log 0
log ( ) 0
x x
x x f(a)>f(a) 实数 a 取值范围
（A）（1 0）∪（ 01） （B）（ ∞ 1 ）∪（ 1+ ∞）
（C）（1 0）∪（ 1+ ∞） （D）（ ∞ 1 ）∪（ 01 ）
(9) 设集合 A || | 1 || | 2 x x a x R B x x b x R A B 实数 ab 必满足
（A） | | 3a b （B） | | 3a b
（C） | | 3a b （D） | | 3a b
(10) 图四种颜色图中 ABCDEF 六点涂色求点涂种颜色
图中条线段两端点涂颜色涂色方法
（A）288 种 （ B）264 种 （C） 240 种 （D）168 种
2010 年普通高等学校招生全国统考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1． 答卷前密封线项目填写清楚
2． 钢笔圆珠笔直接答试卷
3． 卷 12 题 100 分
二．填空题：题 6 题题 4 分 24 分答案天灾题中横线
（11）甲乙两 10 天中天加工零件数茎叶图表示图中间列数12999 数学网 www12999com
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字表示零件数十位数两边数字表示零件数位数 10 天甲乙两
日加工零件均数分
（ 12 ） 体 三 视 图 图 示 体 体 积
（13）已知圆 C圆心直线
1
(
1
x
t
y t
参 数 ） x 轴交点圆 C 直线 x+y+30
相切圆 C方程
（14）图四边形 ABCD圆 O接四边形 延长 AB DC相交点 P
PB 1 PC 1

PA 2 PD 3
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B C
A D
值
（15）图 ABC 中 AD AB 3BC BD
1AD AC AD
（16）设函数 2
( ) 1f x x 意
2

3
x 2
4 ( ) ( 1) 4 ( )
x
f m f x f x f m
m
恒成立实数 m 取值范围
三解答题：题 6 题 76 分解答题写出文字说明证明程演算步骤
（17）（题满分 12 分）
已知函数 2
( ) 2 3 sin cos 2 cos 1( )f x x x x x R
（Ⅰ）求函数 ( )f x 正周期区间 0
2
值值
（Ⅱ） 0 0
6
( )
5 4 2
f x x 求 0cos 2 x 值
（18） （题满分 12 分）
某射手次射击击中目标概率 2
3
次射击结果互影响
（Ⅰ）假设名射手射击 5 次求恰 2 次击中目标概率12999 数学网 www12999com
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（Ⅱ）假设名射手射击 5 次求 3 次连续击中目标外 2 次未击中目标概率
（Ⅲ）假设名射手射击 3 次次射击击中目标 1 分未击中目标 0 分 3 次射
击中 2 次连续击中外 1 次未击中额外加 1 分 3 次全击中额外加 3
分记 射手射击 3 次总分数求 分布列
（19）（题满分 12 分）
图长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 E F 分棱 BC 1CC
点 2CF AB CE 1 1 2 4AB AD AA
（1） 求异面直线 E F 1A D 成角余弦值
（2） 证明 A F 面 A ED
（3） 求二面角 1A ED F 正弦值12999 数学网 www12999com
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（20）（题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
2 2 1( 0
x y
a b
a b
）离心率
3
2
e 连接椭圆四顶点菱形面积
4
（1） 求椭圆方程
（2） 设直线 l 椭圆相交两点 A B 已知点 A 坐标（ 0a ）点
0(0 )Q y 线段 A B 垂直分线 4Q A Q B 求 0y 值
（21）（题满分 14 分）
已知函数 ( ) ( )x
f x xc x R
（Ⅰ）求函数 ( )f x 单调区间极值
（Ⅱ）已知函数 ( )y g x 图象函数 ( )y f x 图象关直线 1x 称证明
1x 时 ( ) ( )f x g x
（Ⅲ）果 1 2x x 1 2( ) ( )f x f x 证明 1 2 2x x12999 数学网 www12999com
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（22）（题满分 14 分）
数列 na 中 1 0a 意
*
k N 2 1ka 2 ka 2 1ka 成等差数列公差 kd
（Ⅰ） kd 2 k 证明 2 ka 2 1ka 2 2ka 成等数列（ *k N ）
（Ⅱ）意 *
k N 2 ka 2 1ka 2 2ka 成等数列公 kq
2010 年普通高等学校招生全国统考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
选择题：题考查基知识基运算题 5 分满分 50 分
（1）A （ 2）B （3）B （4）D （5）B
（6）C （ 7）A （8）C （9）D （ 10）B
二填空题：题考查基知识基运算题 4 分满分 24 分
（11）2423 （12）
1 0
3
（13） 2 2
( 1) 2x y
（14） 6
6
（15） 3 (16) 3 3
2 2
三解答题
（17）题考查二倍角正弦余弦两角正弦函数 sin( )y A x 性
质角三角函数基关系 两角差余弦等基础知识考查基运算力满分 12 分12999 数学网 www12999com
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（1）解： 2
( ) 2 3 sin cos 2 cos 1f x x x x
2( ) 3 (2 sin cos ) (2 cos 1) 3 sin 2 cos 2 2 sin(2 )
6
f x x x x x x x
函数 ( )f x 正周期
( ) 2 sin 2
6
f x x 区间 0
6
增函数区间
6 2
减函数
(0) 1 2 1
6 2
f f f 函数 ( )f x 区间 0
2
值 2值
1
（Ⅱ）解：（ 1）知 0 0( ) 2 sin 2
6
f x x
0
6( )
5
f x 0
3sin 2
6 5
x
0
4 2
x 0
2 7
2
6 3 6
x

2
0 0
4
cos 2 1 sin 2
6 6 5
x x

0 0 0 0
3 4 3cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin
6 6 6 6 6 6 10
x x x x
18 题考查二项分布概率计算公式离散型机变量分布列互斥事件相
互独立事件等基础知识考查运概率知识解决实际问题力满分 12 分
（1）解：设 X 射手 5 次射击中击中目标次数 X ~ 2
5
3
B 5 次射击中恰
2 次击中目标概率
2 2
2
5
2 2 40( 2) 1
3 3 243
P X C
（Ⅱ）解：设第 i 次射击击中目标事件 ( 1 2 3 4 5)iA i 射手 5 次射击中
3 次连续击中目标外 2 次未击中目标事件 A 12999 数学网 www12999com
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1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( )P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A

3 2 3 2 3
2 1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3 3

8
8 1
（Ⅲ）解：题意知 取值 01 2 3 6
3
1 2 3
1 1
( 0) ( )
3 27
P P A A A
1 2 3 1 2 3 1 2 3( 1) ( ) ( ) ( )P P A A A P A A A P A A A

2 2
2 1 1 2 1 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 9
1 2 3
2 1 2 4( 2) ( )
3 3 3 27
P P A A A
1 2 3 1 2 3( 3) ( ) ( )P P A A A P A A A
2 2
2 1 1 1 8
3 3 3 3 27
1 2 3( 6) ( )P P A A A
3
2 8
3 27
分布列
（19）题考查异面直线成角 直线面垂直 二面角等基础知识
考查空间量解决立体问题方法考查空间想象力运算力推理
证力满分 12 分
方法：图示建立空间直角坐标系
点 A 坐标原点设 1AB 题意 (0 2 0)D
(1 21)F 1 (0 0 4)A
3
1 0
2
E
（ 1） 解：易 1
0 1
2
E F 1 (0 2 4)A D12999 数学网 www12999com
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1
1
1
3
cos
5
EF A D
EF A D
EF A D
异面直线 E F 1A D 成角余弦值
3
5
（ 2） 证明：已知 (1 21)AF 1
3
1 4
2
EA 1
1 0
2
E D
A F · 1E A 0 A F · E D 0 1AF EA AF ED 1EA ED E
A F 面 1A ED
(3) 解：设面 E F D 法量 ( )u x y z
0
0
u EF
u ED

1
0
2
1
0
2
y z
x y
妨令 X1 (1 2 1u ）（ 2）知 A F 面 1A ED 法量
2cos
3
| |
A FA F
|A F|
uu
u
5
sin
3AFu
二面角 1A ED F 正弦值
5
3
方法二：（1）解：设 AB1 AD2AA14CF1CE 1
2
链接 B1CBC1设 B1C BC1 交点 M易知 A1D∥B1C
1
C E C F 1

C B C C 4
知 EF∥BC1
BMC 异 面 直 线 EF A1D 成 角 易 知
BMCM 1
1
B C 5
2

2 2 2
3
c o s
2 5
BM C M BC
BM C
BM C M
异面直线 FE
A1D成角余弦值 3
5
（2）证明：连接 AC设 AC DE交点 N
1
2
C D EC
BC AB

Rt DCE Rt CBA CDE BCA 90CDE CED
90BCA CED AC⊥ DE CC1⊥ DE 1CC AC C DE⊥面 ACF12999 数学网 www12999com
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AF⊥DE
连接 BF理证 B1C⊥面 ABF AF⊥B1C AF⊥A1D 1DE A D D
AF⊥面 A1ED
(3) 解：连接 A1NFN （ 2）知 DE⊥面 ACF NF 面 ACF A 1N 面 ACF DE
⊥NFDE⊥A1N 1A N F 二面角 A1EDF 面角
易 知 R t C N E R t C CN E C
BC A C
5AC
5
5
C N
2 2
1
30
5
Rt NC F N F C F C N Rt A AN中 中 2 2
1 1
4 30
5
NA A A A N
连接 A1C1A 1F 2 2
1 1 1 1 1 1 14Rt A C F A F A C C F中
2 2 2
1 1
1 1
1
2cos
2 3
A N FN A FRt A N F A N F
A N FN
中 1
5sin
3
A N F
二面角 A1DEF 正弦值
5
3
（20）题考察椭圆标准方程性质直线方程 面量等基础知识考
查代数方法研究圆锥曲线性质数形结合思想考查运算推理力满分 12 分
（1）解： 3
e
2
c
a

2 2
3 4a c
2 2 2
c a b 2a b
题意知
1
2 2 4 2
2
a b ab
解方程组
2
2
a b
ab
a2b1
椭圆方程
2
2
1
4
x
y
(2) 解：（ 1）知 A（20 ）设 B 点坐标（ x1 y 1） 直线 l 斜率 k直线 l
方程 yk(x+2)
AB 两点坐标满足方程组 2
2
( 2)
1
4
y k x
x
y12999 数学网 www12999com
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方程组消 Y 整理 2 2 2 2
(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k

2
1 2
16 4
2
1 4
k
x
k

2
1 12 2
2 8 4

1 4 1 4
k k
x y
k k

设线段 AB中点 M M坐标
2
2 2
8 2
( )
1 4 1 4
k k
k k
分两种情况：
（1） k0 时点 B 坐标（ 20 ）线段 AB垂直分线 y 轴
0 0 0( 2 y ) (2 2Q A Q B y Q A Q B y） 4 2
（2） K 0 时线段 AB垂直分线方程
2
2 2
2 1 8
( )
1 4 1 4
k k
Y x
k k k
令 x0解 0 2
6
1 4
k
y
k
0 1 1 0( 2 y ) ( Q A Q B x y y ）
2
1 0 1 0 2 2 2 2
2(2 8 ) 6 4 62 ( ( )
1 4 1 4 1 4 1 4
k k k kQ A Q B x y y y
k k k k
）
4 2
2 2
4(16 15 1) 4
(1 4 )
k k
k

整理 2
0
14 2 14
7 2
7 5
k k y
综 0 0
2 14
2 2
5
y y
（21）题考查导数应 利导数研究函数单调性极值等基础知识 考查运
算力函数思想分析解决问题力满分 14 分
（Ⅰ）解： f ’ ( ) (1 ) x
x x e
令 f ’(x)0 解 x1
x 变化时 f ’(x) f(x) 变化情况表12999 数学网 www12999com
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X ( 1 ) 1 ( 1 )
f ’(x) + 0
f(x) 极值
f(x) ( 1 ) 增函数 ( 1 ) 减函数
函数 f(x) x1 处取极值 f(1) f(1) 1
e
（Ⅱ）证明：题意知 g(x)f(2x) g(x)(2x) 2x
e
令 F(x)f(x)g(x) 2
( ) ( 2)x x
F x xe x e
2 2
＇( ) ( 1)( 1)x x
F x x e e
x>1 时2x2>0 2x2
e 1 0 0 Fx
e ’(x)>0 函数 F（ x）[1+
∞) 增函数
F(1) 1 1
e e 0 x>1 时 F(x)>F(1)0 f(x)>g(x)
Ⅲ) 证明：（1）
1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 0 ) ) 1x x x x x x1 2 （ ） f(x f(x 矛 盾
（2） 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 0 ) ) x x x x x x1 2 （ ） f(x f(x 矛 盾
根（ 1）（2） 1 2 1 2( 1)( 1) 0 1 1x x x x 妨 设
（Ⅱ）知 )2f(x > )2g(x )2g(x )2f(2x )2f(x > )2f(2x
)1f(x > )2f(2x 2 1x 22 1x （Ⅰ）知函数 f(x) 区间（ ∞ 1）
事增函数 1x > 22 x 1 2x x >2
(22) 题考查等差数列定义通项公式 前 n 项公式 等数列定义 数列求
等基础知识 考查运算力 推理证力 综合分析解决问题力分类讨思
想方法满分 14 分
（Ⅰ）证明：题设 *
4 2 1 2 1a a k k Nk k

1 3 1( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 3a a a a a a a ak k k k k
4 4( 1) 4 1k k12999 数学网 www12999com
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2k(k+1)
1a 0
2 2
2 ( 1) 2 2 2( 1) 2 1 2 2 1 2 2a k k a a k k a kk k k k
1 12 1 2 2 2 2 2 1
2 2 1 2 1 2
a a a ak kk k k k
a k a k a a
k k k k

*
2 2 2 1 2 2kd k k N a a ak k k时 意 成等数列
（Ⅱ）证法： （i ）证明： 2 2 1 2 1ka a ak k 成等差数列 2 2 1 2 2a a ak k k 成
等数列 2 1 2 1 12 22 2 1 2 1
2 2 1
k
a a
k ka a a qk k k a a qk k k
1q ≠1 时知 kq ≠1k *N
1 1 1 1 11 1( 2)
1 111 1 1 12 1
1
k
q q q q
k k k k
q
k

1
1qk
等差数列公差 1
（Ⅱ）证明： 1 0a 2 2a 3 4a 1
4
2
2
q 1
11q
1 （Ⅰ）
*11 1 1
1
k
kk k q k N
q kk


2
*
2
2 2 2 1 1 2 2 1
2 1 2 2
a a ak k k k k k N
a a k a kk k k
（ ）


2 2 2
2 *
2 2 2 2
( 1) 22 2 2 14 2 2 2 ( 1)
2 2 1 2( 1) ( 2) 1
2 2 2 4 2
k
a a a k kk k ka a k a a k k k N
k ka a a k k k
k k
分两种情况进行讨：
（1） n 偶数时设 n2m( *
m N )
m1
2
2
2 2
n
k k
k
n
a

m≥ 212999 数学网 www12999com
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2 2 2 21
2
2 1 1 12 2 1
(2 ) (2 1) 4
2
n m m m
k k k kk k k
k k k k
a a a k
+
2 21 1 1
1 1 1
4 4 1 4 4 1 1 1 1
2 2 2
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 1
1 1 3 1
2 2( 1) (1 ) 2
2 2
m m m
k k k
k k k k
m m
k k k k k k k k
m m n
m n

2 2
2 2
3 1 3
2 2 2 4 6 8
2 2
n n
k kk k
k k
n n n
a n a

(2) n 奇数时设 n2m+1（ *
m N ）
22 2 22
2 2 2 1
(2 1) 3 1 (2 1)4
2 2 2 ( 1)
n m
k kk k m
k k m mm
a a a m m m
1 1 3 14 2
2 2( 1) 2 1
m n
m n

2
2
3 1
2
2 1
n
k k
k
n
a n

2
2
3
2 2 3 5 7
2
n
k k
k
n n
a
···
综合（ 1）（2）知意 2n n N
2
2
3
2 2
2
n
k k
k
n
a
证法二：（i ）证明：题设 2 1 2 2 2 2 ( 1)k k k k k k k kd a a q a a a q
2
1 2 2 2 1 2 2 2 ( 1)k k k k k k k k k kd a a q a q a a q q 1k k kd q d
2 3 2 2 1 1
1 2
2 2 2 2 2 2
1
1 1 1k k k k k k
k
k k k k k k k
a a d d d q
q
a a q a q a q
1 1q 知 1 *kq k N
1
1 1 1
1
1 1 1 1
k
k k k k
q
q q q q


1
1kq
等差数列公差 1
（ii ）证明： 1 20 2a a 1 2 1 2d a a
3 2 1 4a a d 3
1
2
2aq
a

1
1 1
1q
（ i ）知 1
1kq
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公差 1 等差数列等差数列通项公式 1
1kq
1 1k k
1
k
k
q
k

1 1k
k
k
d k
q
d k

1 2
1 1 2 1
1 2
1 2 1
k k k
k k
d d d d k k k
d d d d k k
1 2d
2kd k
（ i ）知 2
2 1 22 1 2 *k ka k k a k k N
证法

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