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高三第二轮复测试卷
理科数学(二)


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．已知集合 2
2020{ | log (10 3 )}Mxy x x  { | 2020 1}xN y y MN 
A ( 12) B  12 C (12) D  12
2．已知复数
1 i
2z  
实数复数 z 虚部
A 1 B 2 C i D 2i
3． ABC 中角 ABC 边分 a b c sin 3cBa ABC 面积 3 3
2

3 3a b  边c 值
A． 21 B． 3 C． 21 3 D． 21 3
4． x y 满足约束条件
4 0
2 3 3 0
41 0
x y
x y
x y
  
   
   
等差数列 na 满足 14a x a y 前 n 项 nS
74SS 值
A．13 B． 1 C． 5 D．5
5．函数 () sin (cos 1)fx xx  π π 图致






A B C D
6．已知定义 R 奇函数 ()f x 满足 ( 1) (1 )fx fx   ( 10)x  时 ( ) 2axf x  
4
4(1 log 80) 5f  a （ ）
A． 1 B． 2 C．1 D． 2 — 高三理科数学(二)第 2 页( 4 页) —
7．已知函数 ( ) sin( )fx x   （ 0  π π
2 2   ）图相邻两高点间距离
π 函数 ( )f x 图关直线 π
3x  称函数 ( )f x 图右移 π
12
单位长度
( )y gx 图 ( )g x 区间 t t 单调递增t 值
A． π
12 B． π
6 C． π
4 D． π
3
8．四棱锥 P ABCD 中底面 ABCD 正方形PD AC AB  面 PADCD PD 3
四棱锥 P ABCD 顶点球O 球面球O 表面积值
A． π B． 2π C． 4π D．6π
9．已知双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)x yC a ba b   左右焦点分 1F 2F焦距 2c 圆
2 2 2 ( )Dxc y c   存点 M点 M 1F 关双曲线C 条渐线称双曲
线C 离心率e 
A． 5 B． 2 C． 2 D． 3
10．体甲体乙三视图图示体甲
正视图侧视图两全等等腰三角形等腰三
角形高体乙三视图中圆直径相等
体甲体积乙体积 1
4
体甲乙
表面积
A．1 3 B．1 4
C．1 2 D．1 2
11．建设学强国学台贯彻落实总书记关加强学建设学国重指示精
神推动全学力抓手．该台容丰富极满足互联网条件广员干部
民群众样化化便捷化学需求．该款软件设阅读文章视听学两学
板块日答题周答题专项答题挑战答题四答题板块．某六板块学程
中阅读文章视听学两学板块间间隔答题板块学方法
A．192 种 B． 240 种 C． 432 种 D．528种
12 ． 定 义 (0 ) 函 数 ( )f x 导 函 数 ＇( )f x 2( 1) ＇( ) ( ) 2x fxfxx x  
(0 )x   恒成立现述四结：
① 2 (2) 3 (1) 5f f  ② (1) 2f  0 1x  2 1 1( ) 2 2fx x x  
③ (3) 2 (1) 7f f  ④ (1) 2f  1x  2 1 1( ) 2 2fx x x   ．
中正确结编号
A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④
二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分．
13．已知 a b 满足 2 2 3a b a b a      a b 夹角___．
14．数学部推动学发展矛盾直曲
矛盾 着学发展逐渐探究曲直相互转化 — 高三理科数学(二)第 3 页( 4 页) —
：化圆方解决曲直两图形等积问题图设等腰直角三角形 ABC 中
AB BC 90ABC  AC 直径作半圆 AB 直径作半圆 AmB 探究
月牙形面积(图中黑色阴影部分) AOB 面积(图中灰色阴影部分)间关系种关系
整图形中机投掷点该点落图中阴影部分概率_________．
15．已知 AB 抛物线 2 4y x 两动点OA OB 抛物线焦点 F ABF 面
积值_________．
16． ABC 中角 ABC 边分 abc sin sin sin 2sinaAbBcC aB  
2sin 2 tanA B 值_________．

三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分）已知数列 na 满足 1 1( 1) n nn a na a   *n N ．
（Ⅰ）证明：数列 na 等差数列
（Ⅱ）设数列 na 前 n 项 nS 2 1 1a a  意 *n N

1 2 3
1 1 1 1 1 4
3 3nSSSS  求整数 1a 值．

18．（题满分 12 分）图 1等腰梯形 1 2ABF F 中两腰 2 1 2AF BF  底边 6AB 
1 2 4FF  DC AB 三等分点 E 1 2FF 中点分CEDE 四边形 1BCEF
2ADEF 折起 1F 2F 重合点 F图 2 体．图 2 中 MN 分CD
EF 中点．

（Ⅰ）证明： MN  面 ABCD
（Ⅱ）求直线CN 面 ABF 成
角正弦值．


19．（题满分 12 分）设函数 () ( 1)e (2e e)x xf x x a   ．
（Ⅰ）求 ( )f x 单调区间
（Ⅱ）等式 ( ) 0f x  (2 )x   恒成立求整数 a 值．

20．（题满分 12 分）某企业中机抽取 5 名员工测试艺术爱指数 (0 10)x x 
创新灵感指数 (0 10)y y  统计结果表（注：指数值越高素质越优秀）：
艺术爱指数 2 3 4 5 6
创新灵感指数 3 35 4 45 5
（Ⅰ）求创新灵感指数 y 关艺术爱指数 x 线性回方程
（Ⅱ）企业提高员工艺术爱指数求员工选择音乐绘画中进行培训培训音乐次
数t 艺术爱指数 x 提高量 20
0(10 )(1 e )
t
x 
  培训绘画次数t 艺术爱指数 x 提高量
0
10(10 )(1 )10x t  
中 0x 参加培训某员工已达艺术爱指数． — 高三理科数学(二)第 4 页( 4 页) —
（i）艺术爱指数已达 3 员工甲选择参加音乐培训艺术爱指数已达 4 员工乙选择参加绘
画培训培训 20 次估计谁创新灵感指数更高？
（ii）艺术爱指数已达 4 员工参加培训 10 次20 次概率分 2
3
1
3
选择参加
音乐绘画培训概率分 2
3
1
3
估计该员工培训创新灵感指数数学期（精确01）．
附：均值 1 1 nxx xx n
    计算值：
1
2e 06
 1e 037  ．回直线方程 y a bx 
斜率截距二法估计分 1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x xy y
b
x x


 




a y bx  ．

21．（题满分 12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1x yC a b  （ 0a b  ）右焦点 F直线 3 5 2ly x
椭圆C 第象限交点Q 线段OF 垂直分线（O 坐标原点） OQF 面积
3 5
8
．
（Ⅰ）求椭圆C 方程
（Ⅱ） PMN 椭圆接三角形满足 MN x 轴设直线 PMPN x 轴交点分
GH求 2 2OG OH 值求出时点 P 坐标．

（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xoy 中直线 1 4C x  圆 2C 参数方程 1 cos
sin
x
y


 
 
（ 参数）．原点O
极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求 1C 2C 极坐标方程
（Ⅱ）设射线l 极坐标方程 π ( 0 )2   1C 2C 交点分 A B P AB
中点 5 2
2OP  求点 P 极坐标．

23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
设函数   1 +3fx x x   ．
（Ⅰ）求等式   5f x  解集
（Ⅱ）证明： ( )+ ( 4) 8 1fxfx x  ．
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理科数学(二)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D C D D A D C D C B
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13． 2π
3 14． 2
π+1 15．12 16．3 2 2
三解答题(题 6 题 70 分)
17．解析（Ⅰ） 11( 1) nnn a na a  *n N ①
11( 2) ( 1)nnn a n a a  2n  ②
①②： 11( 1) 2( 1) ( 1) 0nnnna n a n a  2n  *n N
1120nnnaa a   2n  *n N 1121nnnnaaaa a a     
数列 na 等差数列
（Ⅱ） 21 1a a  数列 na 公差1意 *n N

123
1111 1 4
33nSSSS     
1
1 1 4
33S  1
3 34 S  1 1a  2 ．
1 1a  时 2 2a  时 1 1S  2 3S 
12
11 1 41 3 3SS    题意矛盾 1 1a  ．
1 2a  时 1na n  时 ( 3) 02n
n nS 
1
1 1 1
2 3S  
123
111 1 1
3nSSSS    
恒成立． 1 2 1 1()33nSn n 

123
111 1211111 1111 1 1(1 )342536 21123nSSSSnnnnn n   
2111 1111 4(1 )323 123 9 3nnn  

综述整数 1a 值 2 ．
18．解析（Ⅰ）四边形 BCEF ADEF 均菱形 AD BC AD BC
四边形 ABCD 行四边形．
AD CD 称性知 90ADC BCD     四边形 ABCD 正方形．
N EF 中点 1EN  1EC  3CN  222NECNCE
CN NE CN BC ．
BC  面CDN MN BC ．
称性知CN DN M CD 中点 MN CD ． — 高三理科数学(二)第 6 页( 4 页) —
MN  面 ABCD．
（Ⅱ）设 AB 中点G M 原点 MG MC MN 分 x yz 轴建立空间直角坐标
系．
2MN  (2 10) (210) (010) (00 2) (10 2)A BCN F ．
(0 1 2)CN   (020)AB  ( 11 2)AF   ．
设面 ABF 法量 ( )n xyz 0
0
n AB
n AF
    
 
 
2 0
2 0
y
xy z
 
．
取 ( 201)n  2sin 3
n CN
n CN


 

 
  直线CN 面 ABF 成角正弦值 2
3
．
19．解析（Ⅰ） ＇() e e ( )exx xf x x a x a   令 ＇( ) 0f x  x a ．
( )x a  时 ＇( ) 0f x  ( )x a  时 ＇( ) 0f x  ．
( )f x 单调递增区间( )a  单调递减区间( )a ．
（Ⅱ） (2 )x  时( 1)e (2e e ) 0x xx a   恒成立等价 (2 )x  时( 1)e
e 2e
x
x
x a 
恒成立
min
( 1)e
e 2e
x
x
xa     
(2 )x  恒成立．
令 ( 1)e( ) e 2e
x
x
xg x  
(2 )x   ． 2
e(e 2e)＇( ) (e 2e)
x x
x
xg x  
．令 () e 2exhx x  (2 )x  
＇( ) e 2e 0xh x    () e 2exhx x  (2 ) 单调递增
2(2) e 4e 0h    2(3) e 6e 0h   
＇( )g x (2 ) 唯零点 0x 0
0 0e 2e (23)x x x  ．
( )g x 0(2 )x 单调递减 0( )x  单调递增

0
0
0
min 0 0
( 1)e( ) ( ) (23)e 2e
x
x
xgxgx x  
整数 a 值 2 ．
20．解析（Ⅰ）设 y a bx 
5
1
1 45 i
i
x x

 
5
1
1 45 i
i
y y

 

5
1
5
2
1
( )( ) 5 1
10 2( )
i i
i
i
i
x xy y
b
x x


 
 



14 4 22a y bx  12 2y x  ．
（ Ⅱ ）（ i ） 员 工 甲 20 次培训估计艺术爱指数达
20
1203 (10 3)(1 e ) 10 7ex    
估计创新灵感指数 11 12 (10 7e) 7(1 )2 2ey     ．
员工乙 20 次培训估计艺术爱指数达 104 (10 4)(1 ) 820 10x  
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估计创新灵感指数 12 8 62y    ．
17(1 ) 62e  培训乙创新灵感指数更高．
（ii）该员工参加 10 次20 次音乐培训创新灵感指数估计分 37
e
 37 e
该员工参加 10 次20 次绘画培训创新灵感指数估计分11
2
6
参加 10 次音乐培训概率 2 2 4
3 3 9  参加 20 次音乐培训概率 1 2 2
3 3 9 
参加 10 次绘画培训概率 2 1 2
3 3 9  参加 20 次音乐培训概率 1 1 1
3 3 9 
创新灵感指数期估计
3 4 3 2 11 2 1 1 12 6(7 ) (7 ) 6 (59 ) 559 e929 99 ee e
EY     ．
21．解析（Ⅰ）题意知 ( 0)F c 3 5( )2 4
c cQ点Q 坐标代入椭圆方程
2 2
2 2
45 14 16
c c
a b 

①
OQF 面积 3 5
8
1 3 5 3 5
2 4 8
c c  1c  ②
2 2 2a b c  ③①②③椭圆方程
2 2
14 3
x y  ．
（Ⅱ）设点 0 0( )Px y 1 1( )Mx y 1 1( )Nx y 直线 PM 方程 0 1
0 0
0 1
( )y yyy xxx x
 
．
令 0y  0 1 1 0
0 1
yx yxx y y
 
0 1 1 0
0 1
yx yxOG y y
 
．
直线 PN 方程 0 1
0 0
0 1
( )y yyy xxx x
 
．
令 0y  0 1 1 0
0 1
yx yxx y y
 
0 1 1 0
0 1
yx yxOH y y
 
．

2 2
2 2 0110 0110 01 10
2 2
0 1 0 1 0 1
( )( )2 2 2yx yx yx yx yx yxOG OH OGOH yy yy yy
      
．

2
2 0
0
33 4
xy  
2
2 1
1
33 4
xy   代入
2 2
0 1 1 0
2 2
0 1
( )( )2 yx yx
y y



2 2
2 20 1
1 0
2 2
0 1
3 3(3 ) (3 )4 42 83 33 34 4
x xx x
x x
 
 
 

2 2 8OG OH  仅 OG OH 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 1
yx yx yx yx
yy yy
  
时取等号． — 高三理科数学(二)第 8 页( 4 页) —
① 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 1
yx yx yx yx
yy yy
  
时化简 1 0 1 0( ) 0yy x x  
根题意知 1 0x x 1 0y  题意符 0 0y  时 0 2x  0 2x 
② 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 1
yx yx yx yx
yy yy
  
时化简 2 2
0 1 1 0yx yx

2
2 0
0
33 4
xy  
2
2 1
1
33 4
xy   代入式化简 0 1 1 0
3(3 )( ) 04 xx x x 
根题意知 1 0x x 0 1
33 04 x x  0 1 4x x  02 2x  12 2x 
0 1 4x x  成立 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 1
yx yx yx yx
yy yy
  
成立．
综 2 2OG OH 值8 时点 P 坐标(20) ( 20) ．
22．解析（Ⅰ） 1 4C x  极坐标方程 cos 4   2
1 cos sin
xC y


 
 
直角坐标方程
2 2 2 0x y x   2C 极坐标方程 2cos  ．
（Ⅱ）设 ( )P   射线l极坐标方程 π ( 0 )2   1C 2C 交点 A B 极坐标
分满足 1
4
cos  2 2cos  ． 5 2
2OP  1 2+ 2 5 2cos2 cos 2
     ．
22cos 5 2 cos 4 0   (2cos 2)(cos 2) 0   ．
2cos 2 π 4  点 P 极坐标 5 2 π( )2 4 ．
23．解析（Ⅰ）   1 +3 5fx x x 
3x  时等式化( 1) ( +3) 5x x  ( 2) ( +4) 0x x  4 3x  
3 1x  时等式化 ( 1) ( +3) 5x x  2( 1) +1 0x   3 1x 
1x  时等式化( 1) ( +3) 5x x  ( 2) ( +4) 0x x  1 2x  ．
原等式解集 4 2x x  ．
（Ⅱ） ()+(4) 1 3 5 1 1(3 5)fxfx xx x x x x x  
1 ( 3 5 ) 8 1xx xx    ．





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高三理科数学（二）选择填空详细解析
1．C解析 2
2020{ | log (10 3 )} { | 5 2}Mxy xx x x   
{ | 2020 1} { | 1}xNyy xx    {|1 2}MN x x    答案选 C．
2．A解析 2 2(1 ) 11 (1 (1
i
i) ii i)
  

1 i
2z  
实数复数 i( )za aR  
答案选 A．
3．D解析 sin 3c B a 正弦定理sin sin 3sinCB A sin 0B 
3sin 3sin sin
A aC B b  ．
ABC 面积 3 3
2
21 3 3 3sin2 2 2ab C a  3a  ．
3 3a b  2 3b  3sin 2C  1cos 2C  ．
根余弦定理 2 2 2 2 cosc ab ab C   21c  3c  答案选 D．
4．C解析等差数列 na 中 1 4a xa y 
3
y xd 
7 4 1 17 21 4 6 3 15 2 53
y xSSadadx xy   
令 2 5z xy  作出行域知点 (0 1) 处取值
7 4 min min( ) 2 0 5 ( 1) 5SS z   答案选 C．
5．D解析判断函数 ( )f x 奇函数排答案 A B (0π)x 时
2＇( ) cos (cos 1) sin ( sin ) 2cos cos 1fxxx x x xx      令 ＇( ) 0f x  1cos 2x 
者cos 1x  （舍）函数 ( )f x 2π(0 )3
单调递减 2π( π)3
单调递增答案选 D．
6．D解析奇函数 ( )f x 满足 ( 1) (1 )fx f x  函数周期 4T 
4 4 4
4(1 log80) (3 log5) ( 1 log5) 5f f f    2
4(1 log 5) 5f  
21 log 5 ( 10)  21 log 5 4(2 ) 5
a  2 4( ) 55
a  2a  答案选 D．
7．A解析题意知 ( )f x 正周期 2πT    解 2  ( ) sin(2 )fx x   ．
函数 ( )f x 图关直线 π
3x  称 2πsin( ) 13   π π6 k   k Z
π π
2 2   π
6  π( ) sin(2 )6fx x  ．函数 ( )f x 图右移 π
12
单位长
度 π π π( ) sin 2( ) sin(2 )12 6 3gx x x     
图 ． 1 1
π ππ2 π 2 2 π2 3 2kx k  — 高三理科数学(二)第 10 页( 4 页) —
（ 1k Z ） 1 1
π 5ππ π12 12kx k   （ 1k Z ） ( )g x  t t 单调递增

π
12
5π
12
t
t
 
 
解 π
12t  π0 12t  t 值 π
12
答案选 A．
8．D解析设 PD x （0 3x  ） 3PD x  AB  面 PAD AB  PD．
AC  PD PD  面 ABCD四棱锥 P ABCD 补形成长方体球O 球心
PB 中点球O 表面积
2 2 2
2 2(3 )4 ( ) 3 ( 1) 2 62π π πxx x x       答案
选 D．
9．C解析题意知 1( 0)F c 2 ( 0)F c 设 1F M 关渐线 by xa 称 1F 该渐
线距离
2 2
bc b
a b


．连接 1F M 记 1F M 该渐线交点 N 1 2F M b N 1F M
中点．连接 2F M 坐标原点O 1 2FF 中点 2ON FM 1 2FMF 直角
1 2F MF 直角三角形勾股定理 2 2 24 4c c b  2 2 23 4( )c c a  2 24c a
2e  答案选 C．
10．D解析三视图知甲圆锥乙球．设球半径 R圆锥底面半径 r 圆锥
高 2h R 母线长 2 2l r h  甲乙体积 14 3 24 4π π3 3R r h
2 22R r 2 24 3lr R r   ．
2 2
1
2 2
2
π π 3 1
4π 8 2
S r rlr rr
S R r
     答案选 D．
11．C解析阅读文章视听学相邻 2 5
2 5A A 种阅读文章视听学
相隔答题模块 2 1 4
2 4 4A C A  种 432 种答案选 C．
12．B解析设函数
2( )( ) 1
fx xg x x
 
  2
2
＇( ) 2 ( 1) ( )
＇( ) ( 1)
fx xx fxx
g x x
     
2
2
( 1)＇() ()( 2)
( 1)
x fxfx x x
x
   

2( 1) ＇( ) ( ) 2x fxfxx x   ＇( ) 0g x  ( )g x (0 ) 单调递减
(1) (2) (3)g g g  整理 2 (2) 3 (1) 5f f  (3) 2 (1) 7f f  ①③正确．
0 1x  时 (1) 2f  ( )g x (0 ) 单调递减 1( ) (1) 2g x g 

2( ) 1
1 2
fx x
x
 
2 1 1( ) 2 2fx x x   ②正确④正确答案选 B．
13． 2π
3
解析 2 2 3a b a b a      22(2 ) 3a b a    22( 2 ) 3a b a    两式— 高三理科数学(二)第 11 页( 4 页) —
相减 b a  代入
21
2a b a    1cos 2
a ba b
a b
 

  
   0a b    
a b 夹角 2π
3
．
14． 2
π+1
解析已知妨设 2 2AC  2AB  图月牙形面积等半圆 AmB 面
积减弓形 I 面积 2 21 1π1 π(2)2 2 AOB AOBSSS 
     月牙形 见月牙形面积
AOB 面积相等 1 2 212AOBS   整图形面积 21 π(2) 1π 12S  
阴影部分面积 2 2AOBS 概型概率计算公式求概率 2
π+1
．
15．12解析设 AB 直线方程 x my t  1 1( )Ax y 2 2( )Bx y ．题意知 1 0y  2 0y 
联立方程组 2 4
x my t
y x
 
 
2 4 4 0y my t  ． 1 2 1 24 4yy myy t  ．
OA OB 1 2 1 2 0xx yy 
2 2
1 2
1 2 04 4
y y y y   解 1 2 16y y 
4t  直线 AB 恒定点 (40)M． (10)F 3MF  ．

2
1 2
1 3 364( 1) 8 122 2 4 2ABF
mS MFyy    仅 0m  时等号成立答
案12 ．
16．3 2 2 解析题意 2 2 2 2a b c ab   2 cos 2ab C ab
2cos 2C  3π π4 4C A B 

2 2
2 2
2
(1 tan ) tansin 2 tan cos 2 tan 1 tan
B BAB B B B
    
．
令 21 tan (12)t B 
2 2
2
(1tan )tan (2 )( 1) 2( ) 3 3 2 21 tan
B B tt tB t t
  

仅时 2t  取等号 2sin 2 tanA B 值3 2 2 答案3 2 2 ．

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