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文科数学(二)


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．已知集合 2
2020{ | log (10 3 )}Mxy x x  { | 2020 1}xN y y MN 
A ( 12) B  12 C (12) D  12
2．已知复数
1 i
2z  
实数复数 z 虚部
A 1 B 2 C i D 2i
3．建设学强国学台贯彻落实总书记关加强学建设学国重指示精神
推动全学力抓手．该台容丰富极满足互联网条件广员干部民
群众样化化便捷化学需求．该款软件设阅读文章视听学两学板
块日答题周答题专项答题挑战答题四答题板块．某校解校教职员工
学强国学台学情况机调查 200 名教职员工中喜欢阅读文章喜欢视听学
教职员工 180 喜欢阅读文章教职员工 90 喜欢视听学教职员工数
调查教职员工总数值估计值 06喜欢阅读文章喜欢视听学教职员工数
A．30 B．60 C．90 D．100
4．已知等差数列 na 中前 n 项 nS 1 1a  11 27mm maa a   满足 45mS 
m 值
A．9 B．10 C．11 D．12
5． x y 满足约束条件
4 0
2 3 3 0
41 0
x y
x y
x y
  
   
   
等差数列 na 满足 14a x a y 前 n 项 nS
74SS 值
A．13 B． 1 C． 5 D．5
6．函数 () sin (cos 1)fx xx  π π 图致





A B C D — 高三文科数学(二)第 2 页( 4 页) —
7．已知定义 R 奇函数 ( )f x 满足 ( 1) (1 )fx f x  ( 10)x  时 ( ) 2axf x 
4
4(1 log 80) 5f   a  （ ）
A． 1 B． 2 C．1 D． 2
8．函数 2 3π() sin 3sin(π )sin( )2fx x xx   点横坐标伸长原 2 倍（坐
标变） ( )g x 图现述四结：
① ( )g x 图关直线 2π
3x  称 ② ( )g x  0π 值域 30 2
 
  

③ ( )g x 图关点 π( 0)6
称
④ ( )g x 图 cosy x 图右移 2π
3
单位长度．中正确结编号
A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④
9．四棱锥 P ABCD 中底面 ABCD 正方形PD AC AB  面 PADCD PD 3
四棱锥 P ABCD 顶点球O 球面球O 表面积值
A． π B． 2π C． 4π D．6π
10．已知双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)x yC a ba b   左右焦点分 1F 2F焦距 2c 圆
2 2 2 ( )Dxc y c   存点 M点 M 1F 关双曲线C 条渐线称
双曲线C 离心率e 
A． 5 B． 2 C． 2 D． 3
11．体甲体乙三视图图示体
甲正视图侧视图两全等等腰三角形等
腰三角形高体乙三视图中圆直径相等
体甲体积乙体积 1
4
体甲乙
表面积
A．1 3 B．1 4
C．1 2 D．1 2
12．设函数 ＇( )f x 奇函数 ( )( )fxx R 导函数 0x  时 2 ( ) ＇( )fx xfx x 
3 ( 1) 1fx x   成立取值范围（ ）
A．( 1) B．( 1)  C．(1 ) D．( 1 ) 

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分．
13．已知 a b 满足 2 2 3a b a b a      a b 夹角_________．
14．数学部推动学发展矛盾直曲
矛盾着学发展逐渐探究曲直相互转化
：化圆方解决曲直两图形等积问题图
设等腰直角三角形 ABC 中 AB BC 90ABC  AC
直径作半圆 AB 直径作半圆 AmB 探究月牙 — 高三文科数学(二)第 3 页( 4 页) —
形面积(图中黑色阴影部分) AOB 面积(图中灰色阴影部分)间关系种关系整
图形中机投掷点该点落图中阴影部分概率_________．
15．已知 AB 抛物线 2 4y x 两动点OA OB 抛物线焦点 F ABF 面
积值_________．
16．已知数列 na 前 n 项 nS 满足 1 1n nSS   （ 2n  *n N ） 1 1a  等式
1
1 2 2 3 1 27
1 1 1 log
n n
na a a a a a 

   意 *n N 恒成立实数 值_________．

三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分）锐角三角形 ABC 中 abc 分角 ABC 边
2 sin cos cosa Ab Cc B  ．
（Ⅰ）求角 A 值
（Ⅱ） 2 3bc   求 cos cosB C
b c 值．



18．（题满分 12 分）图 1等腰梯形 1 2ABF F 中两腰 2 1 2AF BF  底边 6AB 
1 2 4FF  DC AB 三等分点
E 1 2FF 中点分CEDE
四边形 1BCEF 2ADEF 折起 1F
2F 重合点 F图 2 体．
图 2 中 MN 分CDEF
中点．

（Ⅰ）证明： MN  面 ABCD
（Ⅱ）求点C 面 ADEF 距离．

19．（题满分 12 分）某企业中机抽取 5 名员工测试艺术爱指数 (0 10)x x 
创新灵感指数 (0 10)y y  统计结果表（注：指数值越高素质越优秀）：
艺术爱指数 2 3 4 5 6
创新灵感指数 3 35 4 45 5

（Ⅰ）求创新灵感指数 y 关艺术爱指数 x 线性回方程
（Ⅱ）现 5 名员工中选 3 求恰 2 艺术爱指数等 4 概率
（Ⅲ）企业提高员工艺术爱指数求员工选择音乐绘画中进行培训培训音乐次
数t 艺术爱指数 x 提高量 20
0(10 )(1 e )
t
x 
  培训绘画次数t 艺术爱指数 x 提高量
0
10(10 )(1 )10x t  
中 0x 参加培训某员工已达艺术爱指数．艺术爱指数已达
3 员工甲选择参加音乐培训艺术爱指数已达 4 员工乙选择参加绘画培训培训
20 次估计谁创新灵感指数更高？ — 高三文科数学(二)第 4 页( 4 页) —
附：均值 1 1 nxx xx n
    计算值：
1
2e 06
 1e 037  ．回直线方程 y a bx 
斜率截距二法估计分 1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x xy y
b
x x


 




a y bx  ．

20．（题满分 12 分）设函数 21( ) ln ( )2f x x ax a R  ．
（Ⅰ）函数 ( )y fx 极值求实数 a 取值范围
（Ⅱ）设 () ()gx fx x  求函数 ( )g x 单调区间．

21．（题满分 12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1x yC a b  （ 0a b  ）右焦点 F直线 3 5 2ly x
椭圆C 第象限交点Q 线段OF 垂直分线（O 坐标原点） OQF 面积
3 5
8
．
（Ⅰ）求椭圆C 方程
（Ⅱ）椭圆C 左顶点 A点 P 椭圆C 左右顶点外意点点 P 处切线直
线 x a 相交点 B点 B 直线l 交 C M N 两点设直线 AM AN AP 斜率分
AM AN APk k k 问否存实数 等式 + AM AN APk k k 恒成立？存求出实数  值
存请说明理．

（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xoy 中直线 1 4C x  圆 2C 参数方程 1 cos
sin
x
y


 
 
（ 参数）．原点O
极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求 1C 2C 极坐标方程
（Ⅱ）设射线l 极坐标方程 π ( 0 )2   1C 2C 交点分 A B P AB
中点 5 2
2OP  求点 P 极坐标．

23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
设函数   1 +3fx x x   ．
（Ⅰ）求等式   5f x  解集
（Ⅱ）证明： ( )+ ( 4) 8 1fxfx x  ． — 高三文科数学(二)第 5 页( 4 页) —

文科数学(二)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A A C D D A D C D B
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13． 2π
3 14． 2
π+1 15．12 16． 1
3
三解答题(题 6 题 70 分)
17．解析（Ⅰ） 2sin cos cosa A b C c B
正弦定理 22sin sin cos sin cosABCCB 22sin sin( )ABC
22sin sinAA ． ABC 锐角三角形sin 0A  1sin 2A  π
6A  ．
（Ⅱ） 2sin cos cosa A b C c B 两边bc
cos cos 2 sin
2 3
BCaAa a
bcbc bc 

．
余弦定理 222 π2 cos 2 3(2 3) 16abcbc bc bc bc   1a  ．
cos cos 2 3
2 3
BC a
bc 

cos cosBC
bc 值 2 3 ．
18．解析（Ⅰ）四边形 BCEF ADEF 均菱形 AD BC AD BC
四边形 ABCD 行四边形．
AD CD 称性知 90ADC BCD     四边形 ABCD 正方形．
N EF 中点 1EN  1EC  3CN  222NECNCE
CN NE CN BC ． BC  面CDN MN BC ．
称性知CN DN M CD 中点 MN CD ． MN  面 ABCD．
（Ⅱ）三棱锥CADF 中 CADF F ACDVV 12 2 1 32432 3 4 d   2 6
3d  ．
点C 面 ADEF 距离 2 6
3
． — 高三文科数学(二)第 6 页( 4 页) —
19．解析（Ⅰ）设 y a bx 
5
1
1 45 i
i
x x

 
5
1
1 45 i
i
y y

 

5
1
5
2
1
( )( ) 5 1
10 2( )
i i
i
i
i
x xy y
b
x x


 
 



14 4 22a y bx  12 2y x  ．
（Ⅱ）记 5 名员工中艺术爱指数 4 1A 2A艺术爱指数等 4 1B 2B
3B．现 5 中选 3 情况 1 2 1( )A A B 1 2 2( )A A B 1 2 3( )AA B 1 1 2( )AB B
1 1 3( )AB B 1 2 3( )AB B 2 1 2( )A BB 2 1 3( )A BB 2 2 3( )A B B 1 2 3( )BB B 10 种
中恰 2 艺术爱指数等 4 情况 1 1 2( )AB B 1 1 3( )AB B 1 2 3( )AB B
2 1 2( )A BB 2 1 3( )A BB 2 2 3( )A B B 6 种恰 2 艺术爱指数等 4
概率 6 3
10 5P   ．
（ Ⅲ ） 员 工 甲 20 次培训估计艺术爱指数达
20
1203 (10 3)(1 e ) 10 7ex    
估计创新灵感指数 11 12 (10 7e) 7(1 )2 2ey     ．
员工乙 20 次培训估计艺术爱指数达 104 (10 4)(1 ) 820 10x  

估计创新灵感指数 12 8 62y    ． 17(1 ) 62e  培训乙创新灵感指数
更高．
20．解析（Ⅰ）函数 ( )f x 定义域 0   21 1axf x axx x
  
0a  时   0f x   0x  恒成立 ( )y fx 极值．
0a  时需   2 1 0axf x x
   2 1 0ax   两等根
4 0a  0a  ．
（Ⅱ）题意    21ln 02gx x ax xx     21 11 ax xg x axx x
    
0a  时   0g x   0x  恒成立  y gx 单调递增区间 0 ．
0a  时令   2 1 0gx ax x   1 1 4
2
ax a
  1 1 4
2
ax a
 
0x  解 0x    0g x   0x  恒成立  g x 单调递增区间
 0 ． — 高三文科数学(二)第 7 页( 4 页) —
0a  时令   2 1 0gx ax x   1 1 40 2
ax a
  
令   2 1 0gx ax x   1 1 4
2
ax a
 
函数  g x 单调递增区间 1 1 40 2
a
a
    
单调递减区间 1 1 4 2
a
a
     
．
综 0a  时  g x 单调递增区间 0 ．
0a  时  g x 单调递增区间 1 1 40 2
a
a
    
单调递减区间 1 1 4 2
a
a
     
．
21．解析（Ⅰ）题知 ( 0)F c 3 5( )2 4
c cQ点Q 坐标代入椭圆方程

2 2
2 2
45 14 16
c c
a b 

①
OQF 面积 3 5
8
1 3 5 3 5
2 4 8
c c  1c  ②
2 2 2a b c  ③①②③椭圆方程
2 2
14 3
x y  ．
（Ⅱ）设 0 0( )Px y P 点处切线方程 0 0 14 3
xx yy   ．
2x  时点 0
0
3( 2)( 2 )2
xQ y
 令 0
0
3( 2)
2
xn y

设 1 1( )Mx y 2 2( )Nx y 直线l方程 ( 2)y n kx 
联立方程 2 2
( 2)
14 3
y n kx
x y
   
2 2 2(4 3) 8 (2 ) 4(2 ) 12 0k x k k n x k n   

2
1 2 1 22 2
8 (2 ) 4(2 ) 124 3 4 3
k k n k nxx xxk k
   
01 2
1 2 1 2 0
21+ 22 2 2 2 3( 2)AM AN
yy y n nkk kxx xxnx     
． — 高三文科数学(二)第 8 页( 4 页) —
0
0
3( 2)AP
yk x 
+ 2AM AN APk k k 存实数 2  满足题意．
22．解析（Ⅰ） 1 4C x  极坐标方程 cos 4   2
1 cos sin
xC y


 
 
直角坐标方程
2 2 2 0x y x   2C 极坐标方程 2cos  ．
（Ⅱ）设 ( )P   射线l极坐标方程 π ( 0 )2   1C 2C 交点 A B 极坐标
分满足 1
4
cos  2 2cos  ． 5 2
2OP  1 2+ 2 5 2cos2 cos 2
     ．
22cos 5 2 cos 4 0   (2cos 2)(cos 2) 0   ．
2cos 2 π 4  点 P 极坐标 5 2 π( )2 4 ．
23．解析（Ⅰ）   1 +3 5fx x x 
3x  时等式化( 1) ( +3) 5x x  ( 2) ( +4) 0x x  4 3x  
3 1x  时等式化 ( 1) ( +3) 5x x  2( 1) +1 0x   3 1x 
1x  时等式化( 1) ( +3) 5x x  ( 2) ( +4) 0x x  1 2x  ．
原等式解集 4 2x x  ．
（Ⅱ） ()+(4) 1 3 5 1 1(3 5)fxfx xx x x x x x  
1 ( 3 5 ) 8 1xx xx    ．










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高三文科数学（二）选择填空详细解析
1．C解析 2
2020{ | log (10 3 )} { | 5 2}Mxy xx x x   
{ | 2020 1} { | 1}xNyy xx    {|1 2}MN x x    答案选 C．
2．A解析 2 2(1 ) 11 (1 (1
i
i) ii i)
  

1 i
2z  
实数复数 i( )za aR  
答案选 A．
3．A解析设喜欢阅读文章教职员工数 a 喜欢视听学教职员工数b 喜
欢阅读文章喜欢视听学教职员工数c 题意
90
06200
180
a c
b c
a b c
 
  

  
解
60
90
30
a
b
c

 
 
．
喜欢阅读文章喜欢视听学教职员工教 30答案选 A．
4．A解析数列 na 等差数列 1 1 27m m ma a a   3 27ma  9ma  ．
1 1a  (1 9) 452m
mS   解 9m  答案选 A．
5．C解析等差数列 na 中 1 4a xa y 
3
y xd 
7 4 1 17 21 4 6 3 15 2 53
y xSSadadx xy   
令 2 5z xy  作出行域知点 (0 1) 处取值
7 4 min min( ) 2 0 5 ( 1) 5SS z   答案选 C．
6．D解析判断函数 ( )f x 奇函数排答案 A B (0π)x 时
2＇( ) cos (cos 1) sin ( sin ) 2cos cos 1fxxx x x xx      令 ＇( ) 0f x  1cos 2x 
者cos 1x  （舍）函数 ( )f x 2π(0 )3
单调递减 2π( π)3
单调递增答案选 D．
7．D解析奇函数 ( )f x 满足 ( 1) (1 )fx f x  函数周期 4T 
4 4 4
4(1 log80) (3 log5) ( 1 log5) 5f f f    2
4(1 log 5) 5f  
21 log 5 ( 10)  21 log 5 4(2 ) 5
a  2 4( ) 55
a  2a  答案选 D．
8．A解析函数 2 23π() sin 3sin(π )sin( ) sin 3sin cos2fxx xx x xx  
1cos2 3 π 1sin 2 sin(2 )2 2 6 2
x x x   π 1( ) sin( )6 2gx x  函数称轴方程
π ππ6 2x k   2ππ 3x k  （ k Z ）令 0k  2π
3x  ①正确函数— 高三文科数学(二)第 10 页( 4 页) —
称中心横坐标 π π6x k  ππ 6x k  （ k Z ）令 0k  π
6x  ( )g x 图关
点 π 1( )6 2
称③错误 0 πx  π π 5π
6 6 6x   1 πsin( ) 12 6x 
π 30 sin( )6 2x  ②正确外函数 ( )g x 图 cosy x 做移
④错误答案选 A．
9．D解析设 PD x （0 3x  ） 3PD x  AB  面 PAD AB  PD．
AC  PD PD  面 ABCD四棱锥 P ABCD 补形成长方体
球 O 球 心 PB 中 点 球 O 表 面 积
2 2 2
2 2(3 )4 ( ) 3 ( 1) 2 62π π πxx x x       答案选 D．
10．C解析题意知 1( 0)F c 2 ( 0)F c 设 1F M 关渐线 by xa 称 1F 该渐
线距离
2 2
bc b
a b


．连接 1F M 记 1F M 该渐线交点 N 1 2F M b N 1F M
中点．连接 2F M 坐标原点O 1 2FF 中点 2ON FM 1 2FMF 直角
1 2F MF 直角三角形勾股定理 2 2 24 4c c b  2 2 23 4( )c c a  2 24c a
2e  答案选 C．
11．D解析三视图知甲圆锥乙球．设球半径 R圆锥底面半径 r 圆锥高
2h R 母线长 2 2l r h  甲乙体积 14 3 24 4π π3 3R r h 2 22R r
2 24 3lr R r   ．
2 2
1
2 2
2
π π 3 1
4π 8 2
S r rlr rr
S R r
     答案选 D．
12．B解析题意记 2 1() () 3gx xfx x    

2 21 1()()() () ()3 3gx xfx x xfx x gx          
函数 ( )g x 奇函数．
0x  时  ＇( ) 2 ( ) ＇( ) 0gx x fx xfx x   ( )g x 区间(0 ) 单调递增．
函数 ( )g x 奇函数 ( )g x R 单调递增．
等式3 ( 1) 1fx x   1( 1) ( 1) 03fx x 
等价 2 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 (0)3g x x f x x g     

1 0x   解 1x  3 ( 1) 1fx x   成立取值范围( 1)  答案选 B．
13． 2π
3
解析 2 2 3a b a b a      22(2 ) 3a b a    22( 2 ) 3a b a    两式— 高三文科数学(二)第 11 页( 4 页) —
相减 b a  代入
21
2a b a    1cos 2
a ba b
a b
 

  
   0a b    
a b 夹角 2π
3
．
14． 2
π+1
解析已知妨设 2 2AC  2AB  图月牙形面积等半圆 AmB 面
积减弓形 I 面积 2 21 1π1 π(2)2 2 AOB AOBSSS 
     月牙形 见月牙形面积
AOB 面积相等 1 2 212AOBS   整图形面积 21 π(2) 1π 12S  
阴影部分面积 2 2AOBS 概型概率计算公式求概率 2
π+1
．
15．12解析设 AB 直线方程 x my t  1 1( )Ax y 2 2( )Bx y ．题意知 1 0y  2 0y 
联立方程组 2 4
x my t
y x
 
 
2 4 4 0y my t  ． 1 2 1 24 4yy myy t  ．
OA OB 1 2 1 2 0xx yy 
2 2
1 2
1 2 04 4
y y y y   解 1 2 16y y 
4t  直线 AB 恒定点 (40)M． (10)F 3MF  ．

2
1 2
1 3 364( 1) 8 122 2 4 2ABF
mS MFyy    仅 0m  时等号成立答
案12 ．
16．1
3
解析解析：已知 1 1n nSS   （ 2n  *n N ）数列 nS（*n N ）
等 差 数 列 1 1 1S a  nS n 2
nS n ． 2n  时
2 2
1 ( 1) 2 1n n na S S n n n  1 1a  满足式 2 1na n  （*n N ）
1
1 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 22 1 2 1n na a n n n n
  

1 2 2 3 1
11 11111 1111(1 ) (1 )2335 21212 2121n n
n
a a a a a a n n n n
        ．
1
27
log2 1
n nn 
1
27
1log 2 1n  
1
1 2 2 3 1 27
1 1 1 log
n n
na a a a a a 

   意
*n N 恒成立 1
27
1log 3 
1
31 10 ( )27 3  实数 值 1
3
．

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