绝密★启前
2022年普通高等学校招生全国统考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前考生务必黑色碳素笔姓名准考证号考场号座位号填写答题卡认真核准条形码准考证号姓名考场号座位号科目规定位置贴条形码
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1 （ ）
A B C D
答案C
解析
分析轭复数概念复数运算解
详解
选 ：C
2 某社区通公益讲座普社区居民垃圾分类知识．解讲座效果机抽取10位社区居民讲座前讲座回答份垃圾分类知识问卷10位社区居民讲座前讲座问卷答题正确率图：
（ ）
A 讲座前问卷答题正确率中位数
B 讲座问卷答题正确率均数
C 讲座前问卷答题正确率标准差讲座正确率标准差
D 讲座问卷答题正确率极差讲座前正确率极差
答案B
解析
分析图表信息结合中位数均数标准差极差概念逐项判断解
详解讲座前中位数错
讲座问卷答题正确率剩全部等讲座问卷答题正确率均数B
讲座前问卷答题正确率更加分散讲座前问卷答题正确率标准差讲座正确率标准差C错
讲座问卷答题正确率极差
讲座前问卷答题正确率极差错
选B
3 设全集集合（ ）
A B C D
答案D
解析
分析解方程求出集合B集合运算解
详解题意
选：D
4 图网格纸绘制面体三视图网格正方形边长1该面体体积（ ）
A 8 B 12 C 16 D 20
答案B
解析
分析三视图原体棱柱体积公式解
详解三视图原体图
该直四棱柱体积
选：B
5 函数区间图象致（ ）
A B
C D
答案A
解析
分析函数奇偶性结合指数函数三角函数性质逐项排解
详解令
奇函数排BD
时排C
选：A
6 时函数取值（ ）
A B C D 1
答案B
解析
分析根题意知解根解出．
详解函数定义域题知函数递增递减时取值满足题意．
选：B
7 长方体中已知面面成角均（ ）
A B AB面成角
C D 面成角
答案D
解析
分析根线面角定义长方体结构特征求出．
详解图示：
妨设题长方体结构特征知面成角面成角解．
AA错误
B作易知面面成角B错误
CC错误
D面成角．D正确．
选：D．
8 沈括梦溪笔谈中国古代科技史杰作中收录计算圆弧长度会圆术图O圆心OA半径圆弧CAB中点D．会圆术出弧长似值s计算公式：．时（ ）
A B C D
答案B
解析
分析连接分求出根题中公式出答案
详解解：图连接
中点
三点线
选：B
9 甲乙两圆锥母线长相等侧面展开图圆心角侧面积分体积分．（ ）
A B C D
答案C
解析
分析设母线长甲圆锥底面半径乙圆锥底面圆半径根圆锥侧面积公式结合圆心角分表示利勾股定理分求出两圆锥高根圆锥体积公式解
详解解：设母线长甲圆锥底面半径乙圆锥底面圆半径
甲圆锥高
乙圆锥高
选：C
10 椭圆左顶点A点PQ均C关y轴称．直线斜率积C离心率（ ）
A B C D
答案A
解析
分析设根斜率公式结合题意根表示整理结合离心率公式解
详解解：
设
椭圆离心率
选：A
11 设函数区间恰三极值点两零点取值范围（ ）
A B C D
答案C
解析
分析取值范围取值范围结合正弦函数性质等式组解．
详解解：题意
函数区间恰三极值点两零点图象示：
解．
选：C．
12 已知（ ）
A B C D
答案A
解析
分析结合三角函数性质构造函数利导数解
详解
设
单调递增
选：A
二填空题：题4题题5分20分
13 设量夹角余弦值_________．
答案
解析
分析设夹角题意根数量积定义求出根数量积运算律计算．
详解解：设夹角夹角余弦值
．
答案：．
14 双曲线渐线圆相切_________．
答案
解析
分析首先求出双曲线渐线方程圆方程化标准式圆心坐标半径题意圆心直线距离等圆半径方程解．
详解解：双曲线渐线
妨取圆圆心半径
题意圆心渐线距离
解（舍）．
答案：．
15 正方体8顶点中选44点面概率________．
答案
解析
分析根古典概型概率公式求出．
详解正方体顶点中取结果点面求概率．
答案：．
16 已知中点D边BC．取值时________．
答案##
解析
分析设利余弦定理表示出结合基等式解
详解设
中
中
仅时等号成立
取值时
答案：
三解答题：70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．第17～21题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分．
17 记数列前n项．已知．
（1）证明：等差数列
（2）成等数列求值．
答案（1）证明见解析
（2）．
解析
分析（1）题意根作差证
（2）（1）等中项性质求出通项公式前项根二次函数性质计算．
问1详解
解：①
时②
①②
公差等差数列．
问2详解
解：（1）
成等数列
解
时．
18 四棱锥中底面．
（1）证明：
（2）求PD面成角正弦值．
答案（1）证明见解析
（2）
解析
分析（1）作利勾股定理证明根线面垂直性质面根线面垂直性质证
（2）点原点建立空间直角坐标系利量法出答案
问1详解
证明：四边形中作
四边形等腰梯形
面面
面
面
问2详解
解：图点原点建立空间直角坐标系
设面法量
取
面成角正弦值
19 甲乙两学校进行体育赛赛设三项目项目胜方10分负方0分没局．三项目赛结束总分高学校获冠军．已知甲学校三项目中获胜概率分050408项目赛结果相互独立．
（1）求甲学校获冠军概率
（2）X表示乙学校总分求X分布列期．
答案（1）
（2）分布列见解析
解析
分析（1）设甲三项目中获胜事件次记根甲获冠军少获胜两项目利互斥事件概率加法公式相互独立事件法公式求出
（2）题知取值分计算出应概率列出分布列求出期．
问1详解
设甲三项目中获胜事件次记甲学校获冠军概率
．
问2详解
题知取值
分布列
0
10
20
30
016
044
034
006
期
20 设抛物线焦点F点F直线交CMN两点．直线MD垂直x轴时．
（1）求C方程
（2）设直线C交点分AB记直线倾斜角分．取值时求直线AB方程．
答案（1）
（2）
解析
分析（1）抛物线定义解
（2）设点坐标直线韦达定理斜率公式差角正切公式基等式设直线结合韦达定理解
问1详解
抛物线准线x轴垂直时点M横坐标p
时
抛物线C方程
问2详解
设直线
斜率公式
直线代入抛物线方程
理
直线MNAB倾斜角分
设
仅时等号成立
时设直线
代入抛物线方程
直线
点睛关键点点睛：解决题关键利抛物线方程斜率进行化简利韦达定理出坐标间关系
21 已知函数．
（1）求a取值范围
（2）证明：两零点环．
答案（1）
（2）证明见解析
解析
分析（1）导数确定函数单调性值解
（2）利分析法转化证明条件利导数证
问1详解
定义域
令
单调递减
单调递增
取值范围
问2详解
题知零点1零点1
妨设
证证
证
证
证
证
面证明时
设
设
单调递增
令
单调递减
综
点睛关键点点睛 ：题极值点偏移问题关键点通分析法构造函数证明等式
函数常出现需掌握
（二）选考题：10分．请考生第2223题中选题作答．果做做第题计分．
[选修44：坐标系参数方程]
22 直角坐标系中曲线参数方程（t参数）曲线参数方程（s参数）．
（1）写出普通方程
（2）坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程求交点直角坐标交点直角坐标．
答案（1）
（2）交点坐标交点坐标．
解析
分析(1)消普通方程
(2)曲线方程化成普通方程联立求解解出．
问1详解
普通方程．
问2详解
普通方程
普通方程．
联立解：交点坐标
联立解：交点坐标．
[选修45：等式选讲]
23 已知abc均正数证明：
（1）
（2）．
答案（1）见解析 （2）见解析
解析
分析（1）根利柯西等式证
（2）（1）结合已知根权方等式证
问1详解
证明：柯西等式
仅时取等号
问2详解
证明：（1）
权方等式知
仅时取等号
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2022年普通高等学校招生全国统考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前考生务必黑色碳素笔姓名准考证号考场号座位号填写答题卡认真核准条形码准考证号姓名考场号座位号科目规定位置贴条形码
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1 （ ）
A B C D
答案C
解析
分析轭复数概念复数运算解
详解
选 ：C
2 某社区通公益讲座普社区居民垃圾分类知识．解讲座效果机抽取10位社区居民讲座前讲座回答份垃圾分类知识问卷10位社区居民讲座前讲座问卷答题正确率图：
（ ）
A 讲座前问卷答题正确率中位数
B 讲座问卷答题正确率均数
C 讲座前问卷答题正确率标准差讲座正确率标准差
D 讲座问卷答题正确率极差讲座前正确率极差
答案B
解析
分析图表信息结合中位数均数标准差极差概念逐项判断解
详解讲座前中位数错
讲座问卷答题正确率剩全部等讲座问卷答题正确率均数B
讲座前问卷答题正确率更加分散讲座前问卷答题正确率标准差讲座正确率标准差C错
讲座问卷答题正确率极差
讲座前问卷答题正确率极差错
选B
3 设全集集合（ ）
A B C D
答案D
解析
分析解方程求出集合B集合运算解
详解题意
选：D
4 图网格纸绘制面体三视图网格正方形边长1该面体体积（ ）
A 8 B 12 C 16 D 20
答案B
解析
分析三视图原体棱柱体积公式解
详解三视图原体图
该直四棱柱体积
选：B
5 函数区间图象致（ ）
A B
C D
答案A
解析
分析函数奇偶性结合指数函数三角函数性质逐项排解
详解令
奇函数排BD
时排C
选：A
6 时函数取值（ ）
A B C D 1
答案B
解析
分析根题意知解根解出．
详解函数定义域题知函数递增递减时取值满足题意．
选：B
7 长方体中已知面面成角均（ ）
A B AB面成角
C D 面成角
答案D
解析
分析根线面角定义长方体结构特征求出．
详解图示：
妨设题长方体结构特征知面成角面成角解．
AA错误
B作易知面面成角B错误
CC错误
D面成角．D正确．
选：D．
8 沈括梦溪笔谈中国古代科技史杰作中收录计算圆弧长度会圆术图O圆心OA半径圆弧CAB中点D．会圆术出弧长似值s计算公式：．时（ ）
A B C D
答案B
解析
分析连接分求出根题中公式出答案
详解解：图连接
中点
三点线
选：B
9 甲乙两圆锥母线长相等侧面展开图圆心角侧面积分体积分．（ ）
A B C D
答案C
解析
分析设母线长甲圆锥底面半径乙圆锥底面圆半径根圆锥侧面积公式结合圆心角分表示利勾股定理分求出两圆锥高根圆锥体积公式解
详解解：设母线长甲圆锥底面半径乙圆锥底面圆半径
甲圆锥高
乙圆锥高
选：C
10 椭圆左顶点A点PQ均C关y轴称．直线斜率积C离心率（ ）
A B C D
答案A
解析
分析设根斜率公式结合题意根表示整理结合离心率公式解
详解解：
设
椭圆离心率
选：A
11 设函数区间恰三极值点两零点取值范围（ ）
A B C D
答案C
解析
分析取值范围取值范围结合正弦函数性质等式组解．
详解解：题意
函数区间恰三极值点两零点图象示：
解．
选：C．
12 已知（ ）
A B C D
答案A
解析
分析结合三角函数性质构造函数利导数解
详解
设
单调递增
选：A
二填空题：题4题题5分20分
13 设量夹角余弦值_________．
答案
解析
分析设夹角题意根数量积定义求出根数量积运算律计算．
详解解：设夹角夹角余弦值
．
答案：．
14 双曲线渐线圆相切_________．
答案
解析
分析首先求出双曲线渐线方程圆方程化标准式圆心坐标半径题意圆心直线距离等圆半径方程解．
详解解：双曲线渐线
妨取圆圆心半径
题意圆心渐线距离
解（舍）．
答案：．
15 正方体8顶点中选44点面概率________．
答案
解析
分析根古典概型概率公式求出．
详解正方体顶点中取结果点面求概率．
答案：．
16 已知中点D边BC．取值时________．
答案##
解析
分析设利余弦定理表示出结合基等式解
详解设
中
中
仅时等号成立
取值时
答案：
三解答题：70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．第17～21题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分．
17 记数列前n项．已知．
（1）证明：等差数列
（2）成等数列求值．
答案（1）证明见解析
（2）．
解析
分析（1）题意根作差证
（2）（1）等中项性质求出通项公式前项根二次函数性质计算．
问1详解
解：①
时②
①②
公差等差数列．
问2详解
解：（1）
成等数列
解
时．
18 四棱锥中底面．
（1）证明：
（2）求PD面成角正弦值．
答案（1）证明见解析
（2）
解析
分析（1）作利勾股定理证明根线面垂直性质面根线面垂直性质证
（2）点原点建立空间直角坐标系利量法出答案
问1详解
证明：四边形中作
四边形等腰梯形
面面
面
面
问2详解
解：图点原点建立空间直角坐标系
设面法量
取
面成角正弦值
19 甲乙两学校进行体育赛赛设三项目项目胜方10分负方0分没局．三项目赛结束总分高学校获冠军．已知甲学校三项目中获胜概率分050408项目赛结果相互独立．
（1）求甲学校获冠军概率
（2）X表示乙学校总分求X分布列期．
答案（1）
（2）分布列见解析
解析
分析（1）设甲三项目中获胜事件次记根甲获冠军少获胜两项目利互斥事件概率加法公式相互独立事件法公式求出
（2）题知取值分计算出应概率列出分布列求出期．
问1详解
设甲三项目中获胜事件次记甲学校获冠军概率
．
问2详解
题知取值
分布列
0
10
20
30
016
044
034
006
期
20 设抛物线焦点F点F直线交CMN两点．直线MD垂直x轴时．
（1）求C方程
（2）设直线C交点分AB记直线倾斜角分．取值时求直线AB方程．
答案（1）
（2）
解析
分析（1）抛物线定义解
（2）设点坐标直线韦达定理斜率公式差角正切公式基等式设直线结合韦达定理解
问1详解
抛物线准线x轴垂直时点M横坐标p
时
抛物线C方程
问2详解
设直线
斜率公式
直线代入抛物线方程
理
直线MNAB倾斜角分
设
仅时等号成立
时设直线
代入抛物线方程
直线
点睛关键点点睛：解决题关键利抛物线方程斜率进行化简利韦达定理出坐标间关系
21 已知函数．
（1）求a取值范围
（2）证明：两零点环．
答案（1）
（2）证明见解析
解析
分析（1）导数确定函数单调性值解
（2）利分析法转化证明条件利导数证
问1详解
定义域
令
单调递减
单调递增
取值范围
问2详解
题知零点1零点1
妨设
证证
证
证
证
证
面证明时
设
设
单调递增
令
单调递减
综
点睛关键点点睛 ：题极值点偏移问题关键点通分析法构造函数证明等式
函数常出现需掌握
（二）选考题：10分．请考生第2223题中选题作答．果做做第题计分．
[选修44：坐标系参数方程]
22 直角坐标系中曲线参数方程（t参数）曲线参数方程（s参数）．
（1）写出普通方程
（2）坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程求交点直角坐标交点直角坐标．
答案（1）
（2）交点坐标交点坐标．
解析
分析(1)消普通方程
(2)曲线方程化成普通方程联立求解解出．
问1详解
普通方程．
问2详解
普通方程
普通方程．
联立解：交点坐标
联立解：交点坐标．
[选修45：等式选讲]
23 已知abc均正数证明：
（1）
（2）．
答案（1）见解析 （2）见解析
解析
分析（1）根利柯西等式证
（2）（1）结合已知根权方等式证
问1详解
证明：柯西等式
仅时取等号
问2详解
证明：（1）
权方等式知
仅时取等号
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