1.[2014·全国卷] 设z=z轭复数( )
A.-1+3i B.-1-3i
C.1+3i D.1-3i
1.D [解析] z====1+3i根轭复数定义轭复数1-3i
2.[2014·全国卷] 设集合M={x|x2-3x-4<0}N={x|0≤x≤5}M∩N=( )
A.(04] B.[04)
C.[-10) D.(-10]
2.B [解析] M={x|x2-3x-4<0}={x|-1
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
3.C [解析] b=cos 55°=sin 35°>sin 33°b>acos 35°<1>1>sin 35°c=tan 35°=>sin 35°c>bc>b>a
4.[2014·全国卷] 量ab满足:|a|=1(a+b)⊥a(2a+b)⊥b|b|=( )
A.2 B
C.1 D
4.B [解析] (a+b)⊥a(a+b)·a=0|a|2+b·a=0(2a+b)⊥b(2a+b)·b=02a·b+|b|2=0|a|2+b·a=0联立2|a|2-|b|2=0|b|=|a|=
5.[2014·全国卷] 6名男医生5名女医生中选出2名男医生1名女医生组成医疗组选法( )
A.60种 B.70种
C.75种 D.150种
5.C [解析] 题意6名男医生中选2名5名女医生中选1名组成医疗组选法CC=75(种).
6.[2014·全国卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)左右焦点F1F2离心率F2直线l交CAB两点.△AF1B周长4C方程( )
A+=1 B+y2=1
C+=1 D+=1
6.A [解析] 根题意△AF1B周长4|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4a=椭圆离心率e==c=1b2=a2-c2=3-1=
2椭圆C方程+=1
7.[2014·全国卷] 曲线y=xex-1点(11)处切线斜率等( )
A.2e B.e
C.2 D.1
7.C [解析] y′=(xex-1)′=ex-1+xex-1y=xex-1点(11)处导数y′|x=1=e1-1+e1-1=2曲线y=xex-1点(11)处切线斜率2
8.[2014·全国卷] 正四棱锥顶点球面.该棱锥高4底面边长2该球表面积( )
A B.16π C.9π D
8.A [解析] 图示正四棱锥底面边长2AE=AC=设球心O球半径ROE=4-ROA=R知△AOE直角三角形根勾股定理OA2=OE2+AE2R2=(4-R)2+2解R=球表面积S=4πR2=4π×=
9.[2014·全国卷] 已知双曲线C离心率2焦点F1F2点AC.|F1A|=2|F2A|cos∠AF2F1=( )
A B C D
9.A [解析] 根题意|F1A|-|F2A|=2a|F1A|=2|F2A||F2A|=2a|F1A|=4a双曲线离心率e==2c=2a|F1F2|=2c=4a△AF1F2中根余弦定理cos∠AF2F1==
=
10.[2014·全国卷] 等数列{an}中a4=2a5=5数列{lg an}前8项等( )
A.6 B.5
C.4 D.3
10.C [解析] 设数列{an}首项a1公q根题意解an=a1qn-1=×=2×lg an=lg 2+(n-4)lg前8项
8lg 2+(-3-2-1+0+1+2+3+4)lg=8lg 2+4lg=4lg=4
11.[2014·全国卷] 已知二面角αlβ60°AB⊂αAB⊥lA垂足CD⊂βC∈l∠ACD=135°异面直线ABCD成角余弦值( )
A B
C D
11.B [解析] 图示面α点C作CF∥AB点F作FE⊥β垂足点E连接CECE⊥l∠ECF=60°点E作DE⊥CE交CD点D1连接FD1妨设FC=2aCE=aEF=a∠ACD=135°∠DCE=45°Rt△DCE中D1E=CE=aCD1=a∴FD1=2a∴cos∠DCF==
12.[2014·全国卷] 函数y=f(x)图函数y=g(x)图关直线x+y=0称y=f(x)反函数( )
A.y=g(x) B.y=g(-x)
C.y=-g(x) D.y=-g(-x)
12.D [解析] 设(x0y0)函数y=f(x)图意点关直线x+y=0称点(-y0-x0).根题意点(-y0-x0)函数y=g(x)图点(x0y0)关直线y=x称点(y0x0)(y0x0)(-y0-x0)关原点称函数y=f(x)反函数图函数y=g(x)图关原点称-y=g(-x)y=-g(-x).
13.[2014·全国卷] 展开式中x2y2系数________.(数字作答)
13.70 [解析] 易知二项展开式通项Tr+1=C=(-1)rCx8-y-4求x2y2系数需满足8-=2-4=2解r=4T5=(-1)4Cx2y2=70x2y2x2y2系数70
14.[2014·全国卷] 设xy满足约束条件z=x+4y值________.
14.5 [解析] 图示满足约束条件行域△ABC部(包括边界) z=x+4y值直线y=-x+z截距时z值.结合题意y=-x+z点A时z取值.
点A坐标(11)
zmax=1+4=5
15.[2014·全国卷] 直线l1l2圆x2+y2=2两条切线.l1l2交点(13)l1l2夹角正切值等________.
15 [解析] 图示根题意OA⊥PAOA=OP=PA==2 tan∠OPA===tan∠APB==
l1l2夹角正切值等
16.[2014·全国卷] 函数f(x)=cos 2x+asin x区间减函数a取值范围________.
16.(-∞2] [解析] f(x)=cos 2x+asin x=-2sin2x+asin x+1令sin x=tf(x)=-2t2+at+1x∈t∈f(x)=-2t2+at+1t∈f(x)=cos 2x+asin x区间减函数f(x)=-2t2+at+1区间减函数称轴x=∴≤a∈(-∞2].
17.[2014·全国卷] △ABC角ABC边分abc已知3acos C=2ccos Atan A=求B
17.解:题设正弦定理
3sin Acos C=2sin Ccos A
3tan Acos C=2sin C
tan A=cos C=2sin C
tan C=
tan B=tan[180°-(A+C)]
=-tan(A+C)
=
=-1
B=135°
18.[2014·全国卷] 等差数列{an}前n项Sn已知a1=10a2整数Sn≤S4
(1)求{an}通项公式
(2)设bn=求数列{bn}前n项Tn
18.解:(1)a1=10a2整数知等差数列{an}公差d整数.
Sn≤S4a4≥0a5≤0
10+3d≥010+4d≤0
解-≤d≤-
d=-3
数列{an}通项公式an=13-3n
(2)bn==Tn=b1+b2+…+bn=++…+==
19.[2014·全国卷] 图11示三棱柱ABC A1B1C1中点A1面ABC射影DAC∠ACB=90°BC=1AC=CC1=2
(1)证明:AC1⊥A1B
(2)设直线AA1面BCC1B1距离求二面角A1 AB C.
19.解:方法:(1)证明:A1D⊥面ABCA1D⊂面AA1C1C面AA1C1C⊥面ABC
BC⊥ACBC⊥面AA1C1C
连接A1C侧面AA1C1C菱形AC1⊥A1C
三垂线定理AC1⊥A1B
(2)BC⊥面AA1C1CBC⊂面BCC1B1面AA1C1C⊥面BCC1B1
作A1E⊥CC1E垂足A1E⊥面BCC1B1
直线AA1∥面BCC1B1A1E直线AA1面BCC1B1距离
A1E=
A1C∠ACC1分线
A1D=A1E=
作DF⊥ABF垂足连接A1F
三垂线定理A1F⊥AB∠A1FD二面角A1 AB C面角.
AD==1DAC中点
DF=tan∠A1FD==cos∠A1FD=
二面角A1 AB Carccos
方法二:C坐标原点射线CAx轴正半轴CB长单位长建立图示空间直角坐标系C xyz题设知A1Dz轴行z轴面AA1C1C.
(1)证明:设A1(a0c).题设a≤2A(200)B(010)=(-210)=(-200)=(a-20c)=+=(a-40c)=(a-1c).||=2=2a2-4a+c2=0①
·=a2-4a+c2=0AC1⊥A1B
(2)设面BCC1B1法量m=(xyz)m⊥m⊥m·=0m·=0=(010)==(a-20c)y=0(a-2)x+cz=0
令x=cz=2-am=(c02-a)点A面BCC1B1距离||·|cos〈m〉|===c
题设A面BCC1B1距离
c=
代入①解a=3(舍)a=1
=(-10).
设面ABA1法量n=(pqr)
n⊥n⊥n·=0n·=0
-p+r=0-2p+q=0
令p=q=2 r=1n=(2 1).
p=(001)面ABC法量
cos〈np〉==
二面角A1 AB Carccos
20.[2014·全国卷] 设工作日甲乙丙丁4需某种设备概率分06050504否需设备相互独立.
(1)求工作日少3需设备概率
(2)X表示工作日需设备数求X数学期.
20.解:记A1表示事件:工作日乙丙中恰i需设备i=012
B表示事件:甲需设备.
C表示事件:丁需设备.
D表示事件:工作日少3需设备.
(1)P(B)=06P(C)=04P(Ai)=C×052i=012
P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B·C)=
P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B·C)=
P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=
0.31
(2)X取值01234分布列
P(X=0)=P(B·A0·C)
=P(B)P(A0)P(C)
=(1-06)×052×(1-04)
=006
P(X=1)=P(B·A0·C+B·A0·C+B·A1·C)=
P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A1)P(C)=06×052×(1-04)+(1-06)×052×04+(1-06)×2×052×(1-04)=025
P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=052×06×04=006
P(X=3)=P(D)-P(X=4)=025
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-006-025-025-006=038
EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=025+2×038+3×025+4×006=2
21.[2014·全国卷] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F直线y=4y轴交点PC交点Q|QF|=|PQ|
(1)求C方程
(2)F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点AMBN四点圆求l方程.
21.解:(1)设Q(x04)代入y2=2pxx0=
|PQ|=|QF|=+x0=+
题设+=×解p=-2(舍)p=2
C方程y2=4x
(2)题意知l坐标轴垂直设l方程x=my+1(m≠0).
代入y2=4xy2-4my-4=0
设A(x1y1)B(x2y2)
y1+y2=4my1y2=-4
线段AB中点D(2m2+12m)
|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).
直线l ′斜率-m
l ′方程x=-y+2m2+3
式代入y2=4x
整理y2+y-4(2m2+3)=0
设M(x3y3)N(x4y4)
y3+y4=-y3y4=-4(2m2+3).
线段MN中点E
|MN|=|y3-y4|=
线段MN垂直分线段ABAMBN四点圆等价|AE|=|BE|=|MN|
|AB|2+|DE|2=|MN|2
4(m2+1)2++=
化简m2-1=0解m=1m=-1
求直线l方程x-y-1=0x+y-1=0
22.[2014·全国卷] 函数f(x)=ln(x+1)-(a>1).
(1)讨f(x)单调性
(2)设a1=1an+1=ln(an+1)证明:
(i)10f(x)(-1a2-2a)增函数
x∈(a2-2a0)f′(x)<0f(x)(a2-2a0)减函数
x∈(0+∞)f′(x)>0f(x)(0+∞)增函数.
(ii)a=2时f′(x)≥0f′(x)=0成立仅x=0f(x)(-1+∞)增函数
(iii)a>2时x∈(-10)f′(x)>0f(x)(-10)增函数
x∈(0a2-2a)f′(x)<0
f(x)(0a2-2a)减函数
x∈(a2-2a+∞)f′(x)>0f(x)(a2-2a+∞)增函数.
(2)(1)知a=2时f(x)(-1+∞)增函数.
x∈(0+∞)时f(x)>f(0)=0ln(x+1)>(x>0).
(1)知a=3时f(x)[03)减函数.
x∈(03)时f(x)
ak+1=ln(ak+1)>ln>=
ak+1=ln(ak+1)≤ln<=
n=k+1时
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