中学高考——2014·重庆（理科数学）

2014·重庆卷(理科数学)
1．[2014·重庆卷] 复面表示复数i(1－2i)点位(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
1．A　[解析] i(1－2i)＝2＋i复面应点(21)位第象限．
2．[2014·重庆卷] 意等数列{an}列说法定正确(　　)
A．a1a3a9成等数列
B．a2a3a6成等数列
C．a2a4a8成等数列
D．a3a6a9成等数列
2．D　[解析] 等数列中ana2na3n…成等数列a3a6a9成等数列．
3．[2014·重庆卷] 已知变量xy正相关观测数算样均数x＝3y＝35该观测数算线性回方程(　　)
A．y^＝04x＋23 B．y^＝2x－24
C．y^＝－2x＋95 D．y^＝－03x＋44
3．A　[解析] 变量xy正相关线性回方程中x系数应零排BDx＝3y＝35分代入AB中方程A满足选A
4．[2014·重庆卷] 已知量a＝(k3)b＝(14)c＝(21)(2a－3b)⊥c实数k＝(　　)
A．－ B．0
C．3 D
4．C　[解析] ∵2a－3b＝2(k3)－3(14)＝(2k－3－6)(2a－3b)⊥c∴(2k－3)×2＋(－6)＝0解k＝3
5．[2014·重庆卷] 执行图1­1示程序框图输出k值6判断框填入条件(　　)

图1­1　　　
A．s> B．s>
C．s> D．s>
5．C　[解析] 第次循环结束s＝1×＝k＝8第二次循环结束s＝×＝k＝7第三次循环结束s＝×＝k＝6时退出循环输出k＝6判断框填s>
6．[2014·重庆卷] 已知命题p：意x∈R总2x>0q：x>1x>2充分必条件列命题真命题(　　)
A．p∧q B．綈p∧綈q
C．綈p∧q D．p∧綈q
6．D　[解析] 根指数函数图知p真命题．x>1x>2必充分条件q假命题綈q真命题p∧綈q真命题．
7．[2014·重庆卷] 某体三视图图1­2示该体表面积(　　)

图1­2
A．54 B．60 C．66 D．72
7．B　[解析] 三视图知该体直三棱柱掉三棱锥三棱柱底面两直角边长分34直角三角形高5截锥体底面两直角边边长分34直角三角形高3表面积S＝×3×4＋＋×4＋×5＋3×5＝60
8．[2014·重庆卷] 设F1F2分双曲线－＝1(a>0b>0)左右焦点双曲线存点P|PF1|＋|PF2|＝3b|PF1|·|PF2|＝ab该双曲线离心率(　　)
A B C D．3
8．B　[解析] 妨设P双曲线右支点根双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a联立|PF1|＋|PF2|＝3b方相减|PF1|·|PF2|＝题设条件＝ab整理＝∴e＝＝＝＝
9．[2014·重庆卷] 某次联欢会安排3歌舞类节目2品类节目1相声类节目演出序类节目相邻排法种数(　　)
A．72 B．120 C．144 D．168
9．B　[解析] 分两步进行：(1)先3歌舞进行全排排法A种(2)品相声插入歌舞分开两歌舞间节目插法2A种．两歌舞间两节目时插法CAA种．计数原理节目排法A(2A＋CAA)＝120(种)．
10．[2014·重庆卷] 已知△ABC角ABC满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋面积S满足1≤S≤2记abc分ABC边列等式定成立(　　)
A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>16
C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
10．A　[解析] A＋B＋C＝πA＋C＝π－BC＝π－(A＋B)已知等式sin 2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋sin 2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋
sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋
2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋
2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝sin Asin Bsin C＝
1≤S≤21≤bcsin A≤2正弦定理a＝2Rsin Ab＝2Rsin Bc＝2Rsin C1≤2R2·sin Asin Bsin C≤21≤≤22≤R≤2　bc(b＋c)>abc＝8R3sin Asin Bsin C＝R3≥8
11．[2014·重庆卷] 设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}A＝{12358}B＝{13579}(∁UA)∩B＝________．
11．{79}　[解析] 题知∁UA＝{467910}
∴(∁UA)∩B＝{79}．
12．[2014·重庆卷] 函数f(x)＝log2·log(2x)值________．
12．－　[解析] f(x)＝log2 ·log(2x)＝log2 x·2log2(2x)＝log2x·(1＋log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－x＝时函数f(x)取值－
13．[2014·重庆卷] 已知直线ax＋y－2＝0圆心C圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交AB两点△ABC等边三角形实数a＝________．
13．4±　[解析] 题意知圆圆心C(1a)半径r＝2圆心C直线ax＋y－2＝0距离d＝＝∵△ABC等边三角形∴|AB|＝r＝2|AB|＝2∴2＝2a2－8a＋1＝0解a＝4±
14．[2014·重庆卷] 圆外点P作圆切线PA(A切点)作割线PBC次交圆BCPA＝6AC＝8BC＝9AB＝________．
14．4　[解析] 根题意作出图形图示切割线定理PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)36＝PB·(PB＋9)∴PB＝3∴PC＝12弦切角定理知∠PAB＝∠PCA∠APB＝∠CPA∴△PAB∽△PCA∴＝AB＝＝＝4

15．[2014·重庆卷] 已知直线l参数方程(t参数)坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C极坐标方程ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥00≤θ<2π)直线l曲线C公点极径ρ＝________．
15 　[解析] 题意直线l普通方程x－y＋1＝0曲线C面直角坐标方程y2＝4x联立直线l曲线C方程解直线l曲线C公点极径ρ＝＝
16．[2014·重庆卷] 等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2意实数x恒成立实数a取值范围________．
16　[解析] 令f(x)＝|2x－1|＋|x＋2|①x<－2时f(x)＝－2x＋1－x－2＝－3
x－1>5②－2≤x≤时f(x)＝－2x＋1＋x＋2＝－x＋3≤f(x)≤5③x>时f(x)＝2x－1＋x＋2＝3x＋1>综合①②③知f(x)≥等式恒成立需a2＋a＋2≤解－1≤a≤
17．[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图关直线x＝称图相邻两高点距离π
(1)求ωφ值
(2)f＝求cos值．
17．解：(1)f(x)图相邻两高点距离πƒ(x)正周期T＝πω＝＝2
f(x)图关直线x＝称
2×＋φ＝kπ＋k＝0±1±2…
－≤φ＜
φ＝－
(2)(1)ƒ＝sin(2×－)＝
sin＝
＜α＜0＜α－＜
cos＝＝＝
cos
＝sin α
＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝
18．[2014·重庆卷] 盒中装9张写数字卡片中4张卡片数字13张卡片数字22张卡片数字3盒中取3张卡片．
(1)求取3张卡片数字完全相概率
(2)X表示取3张卡片数字中位数求X分布列数学期．
(注：三数abc满足a≤b≤c称b三数中位数)
18．解：(1)古典概型中概率计算公式知求概率P＝＝
(2)X值123
P(X＝1)＝＝
P(X＝2)＝＝
P(X＝3)＝＝
X分布列

X
1
2
3
P



E(X)＝1×＋2×＋3×＝
19．[2014·重庆卷]图1­3示四棱锥P­ABCD中底面O中心菱形PO⊥底面ABCDAB＝2∠BAD＝MBC点BM＝MP⊥AP
(1)求PO长
(2)求二面角A­PM­C正弦值．

图1­3
19．解：(1)图示连接ACBD四边形ABCD菱形AC∩ BD＝OAC⊥BDO坐标原点方分x轴y轴z轴正方建立空间直角坐标系O ­xyz

∠BAD＝
OA＝AB·cos＝OB＝AB·sin＝1
O(000)A(00)B(010)C(－00)＝(010)＝(－－10)．
BM＝BC＝2知＝＝
＝＋＝
M
设P(00a)a＞0＝(－0a)＝MP⊥AP·＝0－＋a2＝0a＝a＝－(舍)PO＝
(2)(1)知＝＝＝设面APM法量n1＝
(x1y1z1)面PMC法量n2＝(x2y2z2)．
n1·＝0 n1·＝0
取n1＝
n2·＝0n2·＝0
取n2＝(1－－2)．
法量n1n2夹角余弦值
cos〈n1n2〉＝＝－
求二面角A­PM­C正弦值
20．[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(abc∈R)导函数f′(x)偶函数曲线y＝f(x)点(0f(0))处切线斜率4－c
(1)确定ab值
(2)c＝3判断f(x)单调性
(3)f(x)极值求c取值范围．
20．解：(1)f(x)求导f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－cf′(x)偶函数知f′(－x)＝f′(x)2(a－b)(e2x－e－2x)＝0式总成立a＝b
f′(0)＝2a＋2b－c＝4－ca＝1b＝1
(2)c＝3时f(x)＝e2x－e－2x－3x
f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝1>0
f(x)R增函数．
(3)(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c2e2x＋2e－2x≥2＝4仅x＝0时等号成立．
面分三种情况进行讨：
c<4时意x∈Rf′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0时f(x)极值．
c＝4时意x≠0f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0时f(x)极值．
c>4时令e2x＝t注意方程2t＋－c＝0两根t12＝>0f′(x)＝0两根x1＝ln t1x2＝ln t2
x1x2时f′(x)>0
f(x)x＝x2处取极值．
综f(x)极值c取值范围(4＋∞)．
21．[2014·重庆卷] 图1­4示设椭圆＋＝1(a>b>0)左右焦点分F1F2点D椭圆DF1⊥F1F2＝2△DF1F2面积
(1)求椭圆标准方程
(2)设圆心y轴圆椭圆x轴方两交点圆两交点处两条切线相互垂直分焦点求圆半径．

图1­4
21．解：(1)设F1(－c0)F2(c0)中c2＝a2－b2
＝2|DF1|＝＝c
S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝c＝1
|DF1|＝DF1⊥F1F2|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝|DF2|＝
2a＝|DF1|＋|DF2|＝2a＝b2＝a2－c2＝1
求椭圆标准方程＋y2＝1
(2)图示设圆心y轴圆C椭圆＋y2＝1相交P1(x1y1)P2(x2y2)两交点y1>0y2>0F1P1F2P2圆C切线F1P1⊥F2P2圆椭圆称性易知x2＝－x1y1＝y2|P1P2|＝2|x1|

(1)知F1(－10)F2(10)＝(x1＋1y1)＝(－x1－1y1)．F1P1⊥F2P2－(x1＋1)2＋y＝0椭圆方程1－＝(x1＋1)23x＋4x1＝0解x1＝－x1＝0
x1＝0时P1P2重合时题设求圆存．
x1＝－时P1P2分F1P1F2P2垂直直线交点圆心C
F1P1F2P2圆C切线F1P1⊥F2P2知CP1⊥CP2|CP1|＝|CP2|圆C半径|CP1|＝|P1P2|＝|x1|＝
22．[2014·重庆卷] 设a1＝1an＋1＝＋b(n∈N*)．
(1)b＝1求a2a3数列{an}通项公式．
(2)b＝－1问：否存实数ca2n22．解：(1)方法：a2＝2a3＝＋1
题设条件知
(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1
{(an－1)2}首项0公差1等差数列
(an－1)2＝n－1an＝＋1(n∈N*)．
方法二：a2＝2a3＝＋1
写a1＝＋1a2＝＋1a3＝＋1猜想an＝＋1
面数学纳法证明式．
n＝1时结显然成立．
假设n＝k时结成立ak＝＋1
ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1
说n＝k＋1时结成立．
an＝＋1(n∈N*)．
(2)方法：设f(x)＝－1an＋1＝f(an)．
令c＝f(c)c＝－1解c＝
面数学纳法证明命题
a2nn＝1时a2＝f(1)＝0a3＝f(0)＝－1a2<假设n＝k时结成立a2k易知f(x)(－∞1]减函数
c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2
1>c>a2k＋2>a2
f(x)(－∞1]减函数c＝f(c)c综存 c＝a2n方法二：设f(x)＝－1an＋1＝f(an)．
先证：0≤an≤1(n∈N*)．　　①
n＝1时结明显成立．
假设n＝k时结成立0≤ak≤1
易知f(x)(－∞1]减函数
0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝－1<1
0≤ak＋1≤1说n＝k＋1时结成立．①成立．
证：a2nn＝1时a2＝f(1)＝0a3＝f(a2)＝f(0)＝－1a2假设n＝k时结成立a2k①f(x)(－∞1]减函数
a2k＋1＝f(a2k)>f(a2k＋1)＝a2k＋2
a2(k＋1)＝f(a2k＋1)说n＝k＋1时②成立．②切n∈N*成立．
②a2n<－1
(a2n＋1)2a2n<　③
①②f(x)(－∞1]减函数f(a2n)>f(a2n＋1)a2n＋1>a2n＋2
a2n＋1>－1解a2n＋1>　④
综②③④知存c＝a2n
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