2014·重庆卷(文科数学)
1．[2014·重庆卷] 实部－2虚部1复数应点位复面( )
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
1．B [解析] 条件知复数复面应点(－21)位第二象限．
2．[2014·重庆卷] 等差数列{an}中a1＝2a3＋a5＝10a7＝( )
A．5 B．8 C．10 D．14
2．B [解析] 题意a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10解d＝1a7＝a1＋6d＝2＋6＝8
3．[2014·重庆卷] 某中学高中生3500初中生1500．解学生学情况分层抽样方法该校学生中抽取容量n样已知高中生中抽取70n( )
A．100 B．150
C．200 D．250
3．A [解析] 题意＝解n＝100
4．[2014·重庆卷] 列函数偶函数( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
4．D [解析] A中f(－x)＝－x－1f(x)非奇非偶函数B中f(－x)＝(－x)2－x＝x2－xf(x)非奇非偶函数C中f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)f(x)奇函数D中f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)f(x)偶函数．选D
5．[2014·重庆卷] 执行图11示程序框图输出s值( )
图11
A．10 B．17
C．19 D．36
5．C [解析] 第次循环结束s＝0＋2＝2k＝2×2－1＝3第二次循环结束s＝2＋3＝5k＝2×3－1＝5第三次循环结束s＝5＋5＝10k＝2×5－1＝9第四次循环结束s＝10＋9＝19k＝2×9－1＝17>10时退出循环．输出s值19
6．[2014·重庆卷] 已知命题p：意x∈R总|x|≥0q：x＝1方程x＋2＝0根．列命题真命题( )
A．p∧綈q B．綈p∧q
C．綈p∧綈q D．p∧q
6．A [解析] 题意知 p真命题q假命题綈q真命题p∧綈q真命题．
7．[2014·重庆卷] 某体三视图图12示该体体积( )
图12
A．12 B．18 C．24 D．30
7．C [解析] 三视图知该体直三棱柱掉三棱锥．三棱柱底面两直角边长分34直角三角形高5截锥体底面两直角边长分34直角三角形高3该体体积V＝×3×4×5－××3×4×3＝24
8．[2014·重庆卷] 设F1F2分双曲线－＝1(a＞0b＞0)左右焦点双曲线存点P(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab该双曲线离心率( )
A B C．4 D
8．D [解析] ∵||PF1|－|PF2||＝2a∴4a2＝b2－3ab两边a2－3·－4＝0解＝4∴e＝＝＝＝
9．[2014·重庆卷] log4(3a＋4b)＝log2a＋b值( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
9．D [解析] log4(3a＋4b)＝log23a＋4b＝ab＋＝1a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4 仅＝a＝4＋2 b＝2 ＋3时等号成立值7＋4
10．[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－mx－m(－11]仅两零点实数m取值范围( )
A∪
B∪
C∪
D∪
10．A [解析] 作出函数f(x)图图示．函数g(x)＝f(x)－mx－m零点方程f(x)－mx－m＝0根函数y＝f(x)函数y＝m(x＋1)图交点．函数y＝m(x＋1)图恒定点P(－10)图易知两交点边界四条中kPO＝0kPA＝kPB＝－2第四条P点曲线y＝－3切线PCy＝m(x＋1)(m≠0)代入y＝－3mx
2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0Δ＝(2m＋3)2－4m(m＋2)＝4m＋9＝0m＝－kPC＝－图知满足条件实数m取值范围∪
11．[2014·重庆卷] 已知集合A＝{3451213}B＝{235813}A∩B＝________．
11．{3513} [解析] 集合交集定义知A∩B＝{3513}．
12．[2014·重庆卷] 已知量ab夹角60°a＝(－2－6)|b|＝a·b＝________．
12．10 [解析] ∵|a|＝＝2
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10
13．[2014·重庆卷] 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图点横坐标缩短原半坐标变右移单位长度y＝sin x图f＝________．
13 [解析] 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图点横坐标缩短原半y＝sin(2ωx＋φ)图右移单位长度y＝sin2ωx－＋φ＝sin图．题意知sin＝sin x2ω＝1－＋φ＝2kπ(k∈Z)－≤φ≤ω＝φ＝f(x)＝sinf＝sin＝sin＝
14．[2014·重庆卷] 已知直线x－y＋a＝0圆心C圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交AB两点AC⊥BC实数a值________．
14．06 [解析] ∵圆C标准方程(x＋1)2＋(y－2)2＝9∴圆心C(－12)半径3∵AC⊥BC∴|AB|＝3∵圆心直线距离d＝＝∴|AB|＝2＝2＝3 (a－3)2＝9∴a＝0a＝6
15．[2014·重庆卷] 某校早8：00开始课假设该校学生张王早7：30～7：50间校该时间段时刻校等张王少早5分钟校概率________．(数字作答)
15 [解析] 设张校时间x王校时间y(xy)成面中点．试验全部结果构成区域Ω＝正方形区域面积SΩ＝×＝事件A表示张王早5分钟构成区域A＝(xy)x－y≥≤x≤≤y≤图中阴影部分面积SA＝××＝概型问题P
(A)＝＝
16．[2014·重庆卷] 已知{an}首项1公差2等差数列Sn表示{an}前n项．
(1)求anSn
(2)设{bn}首项2等数列公q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0求{bn}通项公式前n项Tn
16．解：(1){an}首项a1＝1公差d＝2等差数列
an＝a1＋(n－1)d＝2n－1
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝＝＝n2
(2)(1)a4＝7S4＝16q2－(a4＋1)q＋S4＝0q2－8q＋16＝0
(q－4)2＝0q＝4
b1＝2{bn}公q＝4等数列
bn＝b1qn－1＝2×4n－1＝22n－1
{bn}前n项Tn＝＝(4n－1)．
17．[2014·重庆卷] 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)频率分布直方图图13示．
图13
(1)求频率分布直方图中a值
(2)分求出成绩落[5060)[6070)中学生数
(3)成绩[5070)学生中选2求2成绩[6070)中概率．
17．解：(1)直方图知组距10
(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1
解a＝＝0005
(2)成绩落[5060)中学生数2×0005×10×20＝2
成绩落[6070)中学生数3×0005×10×20＝3
(3)记成绩落[5060)中2A1A2成绩落[6070)中3B1B2B3成绩[5070)学生中选2基事件10(A1A2)(A1B1)(A1B2)(A1B3)(A2B1)(A2B2)(A2B3)(B1B2)(B1B3)(B2B3)．
中2成绩[6070)中基事件3(B1B2)(B1B3)(B2B3)．
求概率P＝
18．[2014·重庆卷] △ABC中角ABC边分abca＋b＋c＝8
(1)a＝2b＝求cos C值
(2)sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C
△ABC面积S＝sin C求ab值．
18．解：(1)题意知c＝8－(a＋b)＝
余弦定理cos C＝＝
＝－
(2)sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C
sin A·＋sin B·＝2sin C
化简sin A＋sin Acos B＋sin B＋sin Bcos A＝4sin C
sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin Csin A＋sin B＝3sin C
正弦定理知a＋b＝3ca＋b＋c＝8a＋b＝6
S＝absin C＝sin Cab＝9a2－6a＋9＝0解a＝3b＝3
19．[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝＋－ln x－中a∈R曲线y＝f(x)点(1f(1))处切线垂直直线y＝x
(1)求a值
(2)求函数f(x)单调区间极值．
19．解：(1)f(x)求导f′(x)＝－－f(x)点(1f(1))处切线垂直直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2解a＝
(2)(1)知f(x)＝＋－ln x－
f′(x)＝令f′(x)＝0解x＝－1x＝5
x＝－1f(x)定义域(0＋∞)舍．
x∈(05)时f′(x)＜0f(x)(05)减函数x∈(5＋∞)时f′(x)＞0f(x)(5＋∞)增函数．知函数f(x)x＝5时取极值f(5)＝－ln 5
20．[2014·重庆卷] 图14示四棱锥PABCD中底面O中心菱形PO⊥底面ABCDAB＝2∠BAD＝MBC点
BM＝
(1)证明：BC⊥面POM
(2)MP⊥AP求四棱锥PABMO体积．
图14
20．解：(1)证明：图示四边形ABCD菱形O菱形中心连接OBAO⊥OB∠BAD＝OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1
BM＝∠OBM＝△OBM中OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋－2×1××cos＝OB2＝OM2＋BM2OM⊥BM
PO⊥底面ABCDPO⊥BCBC面POM两条相交直线OMPO垂直BC⊥面POM
(2)(1)OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos＝
设PO＝aPO⊥底面ABCD知△POA直角三角形PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3
△POM直角三角形PM2＝PO2＋OM2＝a2＋连接AM△ABM中AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋－2×2××cos＝
已知MP⊥AP△APM直角三角形
PA2＋PM2＝AM2a2＋3＋a2＋＝
解a＝a＝－(舍)PO＝
时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB
＝·AO·OB＋·BM·OM
＝××1＋××
＝
四棱锥PABMO体积V四棱锥PABMO＝·S四边形ABMO·PO＝××＝
21．[2014·重庆卷] 图15设椭圆＋＝1(a＞b＞0)左右焦点分F1F2点D椭圆DF1⊥F1F2＝2△DF1F2面积
(1)求该椭圆标准方程．
(2)否存圆心y轴圆圆x轴方椭圆两交点圆两交点处两条切线相互垂直分焦点？存求出圆方程存请说明理．
图15
21．解：(1)设F1(－c0)F2(c0)中c2＝a2－b2
＝2 |DF1|＝＝c
S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝c＝1
|DF1|＝DF1⊥F1F2|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝|DF2|＝
2a＝|DF1|＋|DF2|＝2 a＝b2＝a2－c2＝1
求椭圆标准方程＋y2＝1
(2)图示设圆心y轴圆C椭圆＋y2＝1相交P1(x1y1)P2(x2y2)两交点y1＞0y2＞0F1P1F2P2圆C切线F1P1⊥F2P2圆椭圆称性易知x2＝－x1y1＝y2
(1)知F1(－10)F2(10)＝(x1＋1y1)＝(－x1－1y1)．F1P1⊥F2P2－(x1＋1)2＋y＝0
椭圆方程1－＝(x1＋1)23x＋4x1＝0解x1＝－x1＝0
x1＝0时P1P2重合题设求圆存．
x1＝－时P1P2分F1P1F2P2垂直直线交点圆心C设C(0y0)CP1⊥F1P1·＝－1
y1＝|x1＋1|＝y0＝
圆C半径|CP1|＝＝
综存满足题设条件圆方程
x2＋＝
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1．[2014·重庆卷] 实部－2虚部1复数应点位复面( )
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
1．B [解析] 条件知复数复面应点(－21)位第二象限．
2．[2014·重庆卷] 等差数列{an}中a1＝2a3＋a5＝10a7＝( )
A．5 B．8 C．10 D．14
2．B [解析] 题意a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10解d＝1a7＝a1＋6d＝2＋6＝8
3．[2014·重庆卷] 某中学高中生3500初中生1500．解学生学情况分层抽样方法该校学生中抽取容量n样已知高中生中抽取70n( )
A．100 B．150
C．200 D．250
3．A [解析] 题意＝解n＝100
4．[2014·重庆卷] 列函数偶函数( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
4．D [解析] A中f(－x)＝－x－1f(x)非奇非偶函数B中f(－x)＝(－x)2－x＝x2－xf(x)非奇非偶函数C中f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)f(x)奇函数D中f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)f(x)偶函数．选D
5．[2014·重庆卷] 执行图11示程序框图输出s值( )
图11
A．10 B．17
C．19 D．36
5．C [解析] 第次循环结束s＝0＋2＝2k＝2×2－1＝3第二次循环结束s＝2＋3＝5k＝2×3－1＝5第三次循环结束s＝5＋5＝10k＝2×5－1＝9第四次循环结束s＝10＋9＝19k＝2×9－1＝17>10时退出循环．输出s值19
6．[2014·重庆卷] 已知命题p：意x∈R总|x|≥0q：x＝1方程x＋2＝0根．列命题真命题( )
A．p∧綈q B．綈p∧q
C．綈p∧綈q D．p∧q
6．A [解析] 题意知 p真命题q假命题綈q真命题p∧綈q真命题．
7．[2014·重庆卷] 某体三视图图12示该体体积( )
图12
A．12 B．18 C．24 D．30
7．C [解析] 三视图知该体直三棱柱掉三棱锥．三棱柱底面两直角边长分34直角三角形高5截锥体底面两直角边长分34直角三角形高3该体体积V＝×3×4×5－××3×4×3＝24
8．[2014·重庆卷] 设F1F2分双曲线－＝1(a＞0b＞0)左右焦点双曲线存点P(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab该双曲线离心率( )
A B C．4 D
8．D [解析] ∵||PF1|－|PF2||＝2a∴4a2＝b2－3ab两边a2－3·－4＝0解＝4∴e＝＝＝＝
9．[2014·重庆卷] log4(3a＋4b)＝log2a＋b值( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
9．D [解析] log4(3a＋4b)＝log23a＋4b＝ab＋＝1a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4 仅＝a＝4＋2 b＝2 ＋3时等号成立值7＋4
10．[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－mx－m(－11]仅两零点实数m取值范围( )
A∪
B∪
C∪
D∪
10．A [解析] 作出函数f(x)图图示．函数g(x)＝f(x)－mx－m零点方程f(x)－mx－m＝0根函数y＝f(x)函数y＝m(x＋1)图交点．函数y＝m(x＋1)图恒定点P(－10)图易知两交点边界四条中kPO＝0kPA＝kPB＝－2第四条P点曲线y＝－3切线PCy＝m(x＋1)(m≠0)代入y＝－3mx
2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0Δ＝(2m＋3)2－4m(m＋2)＝4m＋9＝0m＝－kPC＝－图知满足条件实数m取值范围∪
11．[2014·重庆卷] 已知集合A＝{3451213}B＝{235813}A∩B＝________．
11．{3513} [解析] 集合交集定义知A∩B＝{3513}．
12．[2014·重庆卷] 已知量ab夹角60°a＝(－2－6)|b|＝a·b＝________．
12．10 [解析] ∵|a|＝＝2
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10
13．[2014·重庆卷] 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图点横坐标缩短原半坐标变右移单位长度y＝sin x图f＝________．
13 [解析] 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图点横坐标缩短原半y＝sin(2ωx＋φ)图右移单位长度y＝sin2ωx－＋φ＝sin图．题意知sin＝sin x2ω＝1－＋φ＝2kπ(k∈Z)－≤φ≤ω＝φ＝f(x)＝sinf＝sin＝sin＝
14．[2014·重庆卷] 已知直线x－y＋a＝0圆心C圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交AB两点AC⊥BC实数a值________．
14．06 [解析] ∵圆C标准方程(x＋1)2＋(y－2)2＝9∴圆心C(－12)半径3∵AC⊥BC∴|AB|＝3∵圆心直线距离d＝＝∴|AB|＝2＝2＝3 (a－3)2＝9∴a＝0a＝6
15．[2014·重庆卷] 某校早8：00开始课假设该校学生张王早7：30～7：50间校该时间段时刻校等张王少早5分钟校概率________．(数字作答)
15 [解析] 设张校时间x王校时间y(xy)成面中点．试验全部结果构成区域Ω＝正方形区域面积SΩ＝×＝事件A表示张王早5分钟构成区域A＝(xy)x－y≥≤x≤≤y≤图中阴影部分面积SA＝××＝概型问题P
(A)＝＝
16．[2014·重庆卷] 已知{an}首项1公差2等差数列Sn表示{an}前n项．
(1)求anSn
(2)设{bn}首项2等数列公q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0求{bn}通项公式前n项Tn
16．解：(1){an}首项a1＝1公差d＝2等差数列
an＝a1＋(n－1)d＝2n－1
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝＝＝n2
(2)(1)a4＝7S4＝16q2－(a4＋1)q＋S4＝0q2－8q＋16＝0
(q－4)2＝0q＝4
b1＝2{bn}公q＝4等数列
bn＝b1qn－1＝2×4n－1＝22n－1
{bn}前n项Tn＝＝(4n－1)．
17．[2014·重庆卷] 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)频率分布直方图图13示．
图13
(1)求频率分布直方图中a值
(2)分求出成绩落[5060)[6070)中学生数
(3)成绩[5070)学生中选2求2成绩[6070)中概率．
17．解：(1)直方图知组距10
(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1
解a＝＝0005
(2)成绩落[5060)中学生数2×0005×10×20＝2
成绩落[6070)中学生数3×0005×10×20＝3
(3)记成绩落[5060)中2A1A2成绩落[6070)中3B1B2B3成绩[5070)学生中选2基事件10(A1A2)(A1B1)(A1B2)(A1B3)(A2B1)(A2B2)(A2B3)(B1B2)(B1B3)(B2B3)．
中2成绩[6070)中基事件3(B1B2)(B1B3)(B2B3)．
求概率P＝
18．[2014·重庆卷] △ABC中角ABC边分abca＋b＋c＝8
(1)a＝2b＝求cos C值
(2)sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C
△ABC面积S＝sin C求ab值．
18．解：(1)题意知c＝8－(a＋b)＝
余弦定理cos C＝＝
＝－
(2)sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C
sin A·＋sin B·＝2sin C
化简sin A＋sin Acos B＋sin B＋sin Bcos A＝4sin C
sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin Csin A＋sin B＝3sin C
正弦定理知a＋b＝3ca＋b＋c＝8a＋b＝6
S＝absin C＝sin Cab＝9a2－6a＋9＝0解a＝3b＝3
19．[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝＋－ln x－中a∈R曲线y＝f(x)点(1f(1))处切线垂直直线y＝x
(1)求a值
(2)求函数f(x)单调区间极值．
19．解：(1)f(x)求导f′(x)＝－－f(x)点(1f(1))处切线垂直直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2解a＝
(2)(1)知f(x)＝＋－ln x－
f′(x)＝令f′(x)＝0解x＝－1x＝5
x＝－1f(x)定义域(0＋∞)舍．
x∈(05)时f′(x)＜0f(x)(05)减函数x∈(5＋∞)时f′(x)＞0f(x)(5＋∞)增函数．知函数f(x)x＝5时取极值f(5)＝－ln 5
20．[2014·重庆卷] 图14示四棱锥PABCD中底面O中心菱形PO⊥底面ABCDAB＝2∠BAD＝MBC点
BM＝
(1)证明：BC⊥面POM
(2)MP⊥AP求四棱锥PABMO体积．
图14
20．解：(1)证明：图示四边形ABCD菱形O菱形中心连接OBAO⊥OB∠BAD＝OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1
BM＝∠OBM＝△OBM中OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋－2×1××cos＝OB2＝OM2＋BM2OM⊥BM
PO⊥底面ABCDPO⊥BCBC面POM两条相交直线OMPO垂直BC⊥面POM
(2)(1)OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos＝
设PO＝aPO⊥底面ABCD知△POA直角三角形PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3
△POM直角三角形PM2＝PO2＋OM2＝a2＋连接AM△ABM中AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋－2×2××cos＝
已知MP⊥AP△APM直角三角形
PA2＋PM2＝AM2a2＋3＋a2＋＝
解a＝a＝－(舍)PO＝
时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB
＝·AO·OB＋·BM·OM
＝××1＋××
＝
四棱锥PABMO体积V四棱锥PABMO＝·S四边形ABMO·PO＝××＝
21．[2014·重庆卷] 图15设椭圆＋＝1(a＞b＞0)左右焦点分F1F2点D椭圆DF1⊥F1F2＝2△DF1F2面积
(1)求该椭圆标准方程．
(2)否存圆心y轴圆圆x轴方椭圆两交点圆两交点处两条切线相互垂直分焦点？存求出圆方程存请说明理．
图15
21．解：(1)设F1(－c0)F2(c0)中c2＝a2－b2
＝2 |DF1|＝＝c
S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝c＝1
|DF1|＝DF1⊥F1F2|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝|DF2|＝
2a＝|DF1|＋|DF2|＝2 a＝b2＝a2－c2＝1
求椭圆标准方程＋y2＝1
(2)图示设圆心y轴圆C椭圆＋y2＝1相交P1(x1y1)P2(x2y2)两交点y1＞0y2＞0F1P1F2P2圆C切线F1P1⊥F2P2圆椭圆称性易知x2＝－x1y1＝y2
(1)知F1(－10)F2(10)＝(x1＋1y1)＝(－x1－1y1)．F1P1⊥F2P2－(x1＋1)2＋y＝0
椭圆方程1－＝(x1＋1)23x＋4x1＝0解x1＝－x1＝0
x1＝0时P1P2重合题设求圆存．
x1＝－时P1P2分F1P1F2P2垂直直线交点圆心C设C(0y0)CP1⊥F1P1·＝－1
y1＝|x1＋1|＝y0＝
圆C半径|CP1|＝＝
综存满足题设条件圆方程
x2＋＝
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