2014·全国新课标卷Ⅰ(文科数学)
1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M＝{x|－1＜x＜3}N＝{－2＜x＜1}M∩N＝( )
A．(－21) B．(－11)
C．(13) D．(－23)
1．B [解析] 利数轴知M∩N＝{x|－12． [2014·全国新课标卷Ⅰ] tan α＞0( )
A．sin α＞0 B．cos α＞0
C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0
2．C [解析]
sin 2α＝＝>0选C
3．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设z＝＋i|z|＝( )
A B C D．2
3．B [解析] z＝＋i＝＋i＝＋i|z|＝
4．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知双曲线－＝1(a＞0)离心率2a＝( )
A．2 B C D．1
4．D [解析] c2＝a2＋3e＝＝＝2a2＝1a＝1
5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)g(x)定义域Rf(x)奇函数g(x)偶函数列结中正确( )
A．f(x)g(x)偶函数
B．|f(x)|g(x)奇函数
C．f(x)|g(x)|奇函数
D．|f(x)g(x)|奇函数
5．C [解析] f(x)奇函数g(x)偶函数f(－x)＝－f(x)g(－x)＝g(x)f(－x)·
g(－x)＝－f(x)g(x)f(x)g(x)奇函数A错
|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)偶函数B错
f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|奇函数C正确
|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|f(x)g(x)偶函数D错．
6．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设DEF分△ABC三边BCCAAB中点＋＝( )
A B
C D
6．A [解析] EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝AC＋AB＝AD
7． [2014·全国新课标卷Ⅰ] 函数①y＝
cos|2x|②y＝|cos x|③y＝cos④y＝tan中正周期π函数( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
7．A [解析] 函数y＝cos|2x|＝cos 2x正周期π①正确函数y＝cos x图中位x轴方图变位x轴方图称翻转x轴方y＝|cos x|图天正周期π②正确函数y＝cos正周期π③正确函数y＝tan正周期④正确．
8．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 图11网格纸格正方形粗实线画出体三视图体( )
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
8．B [解析] 俯视图矩形出体三棱锥四棱锥直观图图三棱柱．
9．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 执行图11程序框图输入abk分123输出M＝( )
图11
A B C D
9．D [解析] 第次循环M＝a＝2b＝n＝2
第二次循环M＝a＝b＝n＝3
第三次循环M＝a＝b＝n＝4
时n>k(n＝4k＝3)结束循环输出M＝
10．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知抛物线C：y2＝x焦点FA(x0y0)C点|AF|＝x0x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
10．A [解析] 抛物线方程y2＝x知p＝|AF|＝x0＋＝x0＋＝x0x0＝1
11．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设xy满足约束条件z＝x＋ay值7a＝( )
A．－5 B．3
C．－53 D．5－3
11．B [解析] a<0时作出相应行域知目标函数z＝x＋ay存值．
a≥0时作出行域图易知－＞－1a＞1时目标函数A点取值．A知zmin＝＋＝7解a＝3－5(舍)．
图225
12．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1f(x)存唯零点x0x0＞0a取值范围( )
A．(2＋∞) B．(1＋∞)
C．(－∞－2) D．(－∞－1)
12．C [解析] 显然a＝0时函数两零点符合．a≠0时f′(x)＝3ax2－6x＝0x1＝0x2＝a>0时函数f(x)(－∞0)单调递增单调递减f(0)＝1函数f(x)存0零点符合题意a<0时函数f(x)(0＋∞)单调递减单调递增需f>0解a<－2选C
13．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 2数学书1语文书书架机排成行2数学书相邻概率________．
13 [解析] 2数学书记数1数23书(数1数2语)(数1语数2)(数2数1语)(数2语数1)(语数1数2)(语数2数1)6种排法中2数学书相邻排法4种应概率P＝＝
14．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 甲乙丙三位学问否ABC三城市时甲说：城市乙没B城市．乙说：没C城市．丙说：三城市．
判断乙城市________．
14．A [解析] 甲没B城市乙没C城市三城市知三城市A甲两城市城市乙乙A城市．
15．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝f(x)≤2成立x取值范围________．
15．(－∞8] [解析] x<1时ex－1≤2x<1x≥1时x≤2解1≤x≤8综合知x取值范围x≤8
16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 图13测量山高MN选择A座山山顶C测量观测点．A点测M点仰角∠MAN＝60°C点仰角∠CAB＝45°∠MAC＝75°C点测∠MCA＝60°已知山高BC＝100 m山高MN＝________m
图13
16．150 [解析] Rt△ABC中BC＝100∠CAB＝45°AC＝100△MAC中∠MAC＝75°∠MCA＝60°∠AMC＝45°正弦定理＝AM
＝×100 ＝100Rt△AMN中MN＝sin 60°×100＝150
17．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{an}递增等差数列a2a4方程x2－5x＋6＝0根．
(1)求{an}通项公式
(2)求数列前n项．
17．解：(1)方程x2－5x＋6＝0两根23
题意a2＝2a4＝3
设数列{an}公差da4－a2＝2d
d＝a1＝
{an}通项公式an＝n＋1
(2)设前n项Sn(1)知＝
Sn＝＋＋…＋＋
Sn＝＋＋…＋＋
两式相减
Sn＝＋－＝＋－Sn＝2－
18．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 某企业生产某种产品中抽取100件测量产品项质量指标值测量结果频数分布表：
质量指标
值分组
[7585)
[8595)
[95105)
[105115)
[115125)
频数
6
26
38
22
8
(1)答题卡作出数频率分布直方图
(2)估计种产品质量指标值均值方差(组中数该组区间中点值作代表)
(3)根抽样调查数否认该企业生产种产品符合质量指标值低95
产品少占全部产品80规定？
18．解：(1)频率分布直方图：
(2)质量指标值样均数
x＝80×006＋90×026＋100×038＋110×022＋120×008＝100
质量指标值样方差s2＝(－20)2×006＋
(－10)2×026＋0×038＋102×022＋202×008＝104种产品质量指标值均数估计值100方差估计值104
(3)质量指标值低95产品占例估计值038＋022＋08＝068
该估计值08认该企业生产种产品符合质量指标值低95产品少占全部产品80规定．
19． [2014·全国新课标卷Ⅰ] 图14三棱柱ABC A1B1C1中侧面BB1C1C菱形B1C中点OAO⊥面BB1C1C
图14
(1)证明：B1C⊥AB
(2)AC⊥AB1∠CBB1＝60°BC＝1求三棱柱ABC A1B1C1高．
19．解：(1)证明：连接BC1OB1CBC1交点．
侧面BB1C1C菱形B1C⊥BC1
AO⊥面BB1C1CB1C⊥AO
BC1∩AO＝OB1C⊥面ABO
AB⊂面ABOB1C⊥AB
(2)作OD⊥BC垂足D连接AD作OH⊥AD垂足H
BC⊥AOBC⊥ODAO∩OD＝O
BC⊥面AODOH⊥BC
OH⊥ADAD∩BC＝D
OH⊥面ABC
∠CBB1＝60°△CBB1等边三角形BC＝1OD＝
AC⊥AB1OA＝B1C＝
OH·AD＝OD·OAAD＝＝OH＝
OB1C中点点B1面ABC距离三棱柱ABC A1B1C1高
20．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(22)圆C：x2＋y2－8y＝0点P动直线l圆C交AB两点线段AB中点MO坐标原点．
(1)求M轨迹方程
(2)|OP|＝|OM|时求l方程△POM面积．
20．解：(1)圆C方程化x2＋(y－4)2＝16
圆心C(04)半径4
设M(xy)CM＝(xy－4)MP＝(2－x2－y)．
题设知CM·MP＝0x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0(x－1)2＋(y－3)2＝2
点P圆C部M轨迹方程(x－1)2＋(y－3)2＝2
(2)(1)知M轨迹点N(13)圆心半径圆．
|OP|＝|OM|O线段PM垂直分线P圆NON⊥PM
ON斜率3直线l斜率－
l方程y＝－x＋
|OM|＝|OP|＝2 O直线l距离
|PM|＝△POM面积
21．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)曲线y＝f(x)点(1
f(1))处切线斜率0
(1)求b
(2)存x0≥1f(x0)＜求a取值范围．
21．解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b
题设知f′(1)＝0解b＝1
(2)f(x)定义域(0＋∞)
(1)知f(x)＝aln x＋x2－x
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
(i)a≤≤1x∈(1＋∞)时f′(x)>0f(x)(1＋∞)单调递增．
存x0≥1f(x0)<充条件f(1)<－1<解－－1(ii)1
x∈时f′(x)<0
x∈时f′(x)>0
f(x)单调递减单调递增．
存x0≥1f(x0)<充条件f<
f＝aln＋＋>合题意．
(iii)a>1 f(1)＝－1＝<符合题意．
综a取值范围(－－1－1)∪(1＋∞)．
22．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－1：证明选讲
图15四边形ABCD⊙O接四边形AB延长线DC延长线交点ECB＝CE
图15
(1)证明：∠D＝∠E
(2)设AD⊙O直径AD中点MMB＝MC证明：△ADE等边三角形．
22．证明：(1)题设知ABCD四点圆
∠D＝∠CBE
已知∠CBE＝∠E∠D＝∠E
(2)设BC中点N连接MNMB＝MC知MN⊥BC点O直线MN．
AD⊙O直径MAD中点
OM⊥ADMN⊥AD
AD∥BC∠A＝∠CBE
∠CBE＝∠E∠A＝∠E
(1)知∠D＝∠E△ADE等边三角形．
23．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系参数方程
已知曲线C：＋＝1直线l：(t参数)．
(1)写出曲线C参数方程直线l普通方程
(2)曲线C意点P作l夹角30°直线交l点A求|PA|值值．
23．解：(1)曲线C参数方程(θ参数)
直线l普通方程2x＋y－6＝0
(2)曲线C意点P(2cos θ3sin θ)直线l距离d＝|4cos θ＋3sin θ－6|
|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|
中α锐角tan α＝
sin(θ＋α)＝－1时|PA|取值
值
sin(θ＋α)＝1时|PA|取值
值
24．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－5：等式选讲
a＞0b＞0＋＝
(1)求a3＋b3值
(2)否存ab2a＋3b＝6？请说明理．
24．解：(1)＝＋≥ab≥2仅a＝b＝时等号成立．
a3＋b3≥2 ≥4
仅a＝b＝时等号成立．
a3＋b3值4
(2)(1)知2a＋3b≥2 ≥4
4 >6存ab2a＋3b＝6
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1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M＝{x|－1＜x＜3}N＝{－2＜x＜1}M∩N＝( )
A．(－21) B．(－11)
C．(13) D．(－23)
1．B [解析] 利数轴知M∩N＝{x|－1
A．sin α＞0 B．cos α＞0
C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0
2．C [解析]
sin 2α＝＝>0选C
3．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设z＝＋i|z|＝( )
A B C D．2
3．B [解析] z＝＋i＝＋i＝＋i|z|＝
4．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知双曲线－＝1(a＞0)离心率2a＝( )
A．2 B C D．1
4．D [解析] c2＝a2＋3e＝＝＝2a2＝1a＝1
5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)g(x)定义域Rf(x)奇函数g(x)偶函数列结中正确( )
A．f(x)g(x)偶函数
B．|f(x)|g(x)奇函数
C．f(x)|g(x)|奇函数
D．|f(x)g(x)|奇函数
5．C [解析] f(x)奇函数g(x)偶函数f(－x)＝－f(x)g(－x)＝g(x)f(－x)·
g(－x)＝－f(x)g(x)f(x)g(x)奇函数A错
|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)偶函数B错
f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|奇函数C正确
|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|f(x)g(x)偶函数D错．
6．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设DEF分△ABC三边BCCAAB中点＋＝( )
A B
C D
6．A [解析] EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝AC＋AB＝AD
7． [2014·全国新课标卷Ⅰ] 函数①y＝
cos|2x|②y＝|cos x|③y＝cos④y＝tan中正周期π函数( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
7．A [解析] 函数y＝cos|2x|＝cos 2x正周期π①正确函数y＝cos x图中位x轴方图变位x轴方图称翻转x轴方y＝|cos x|图天正周期π②正确函数y＝cos正周期π③正确函数y＝tan正周期④正确．
8．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 图11网格纸格正方形粗实线画出体三视图体( )
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
8．B [解析] 俯视图矩形出体三棱锥四棱锥直观图图三棱柱．
9．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 执行图11程序框图输入abk分123输出M＝( )
图11
A B C D
9．D [解析] 第次循环M＝a＝2b＝n＝2
第二次循环M＝a＝b＝n＝3
第三次循环M＝a＝b＝n＝4
时n>k(n＝4k＝3)结束循环输出M＝
10．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知抛物线C：y2＝x焦点FA(x0y0)C点|AF|＝x0x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
10．A [解析] 抛物线方程y2＝x知p＝|AF|＝x0＋＝x0＋＝x0x0＝1
11．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设xy满足约束条件z＝x＋ay值7a＝( )
A．－5 B．3
C．－53 D．5－3
11．B [解析] a<0时作出相应行域知目标函数z＝x＋ay存值．
a≥0时作出行域图易知－＞－1a＞1时目标函数A点取值．A知zmin＝＋＝7解a＝3－5(舍)．
图225
12．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1f(x)存唯零点x0x0＞0a取值范围( )
A．(2＋∞) B．(1＋∞)
C．(－∞－2) D．(－∞－1)
12．C [解析] 显然a＝0时函数两零点符合．a≠0时f′(x)＝3ax2－6x＝0x1＝0x2＝a>0时函数f(x)(－∞0)单调递增单调递减f(0)＝1函数f(x)存0零点符合题意a<0时函数f(x)(0＋∞)单调递减单调递增需f>0解a<－2选C
13．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 2数学书1语文书书架机排成行2数学书相邻概率________．
13 [解析] 2数学书记数1数23书(数1数2语)(数1语数2)(数2数1语)(数2语数1)(语数1数2)(语数2数1)6种排法中2数学书相邻排法4种应概率P＝＝
14．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 甲乙丙三位学问否ABC三城市时甲说：城市乙没B城市．乙说：没C城市．丙说：三城市．
判断乙城市________．
14．A [解析] 甲没B城市乙没C城市三城市知三城市A甲两城市城市乙乙A城市．
15．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝f(x)≤2成立x取值范围________．
15．(－∞8] [解析] x<1时ex－1≤2x<1x≥1时x≤2解1≤x≤8综合知x取值范围x≤8
16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 图13测量山高MN选择A座山山顶C测量观测点．A点测M点仰角∠MAN＝60°C点仰角∠CAB＝45°∠MAC＝75°C点测∠MCA＝60°已知山高BC＝100 m山高MN＝________m
图13
16．150 [解析] Rt△ABC中BC＝100∠CAB＝45°AC＝100△MAC中∠MAC＝75°∠MCA＝60°∠AMC＝45°正弦定理＝AM
＝×100 ＝100Rt△AMN中MN＝sin 60°×100＝150
17．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{an}递增等差数列a2a4方程x2－5x＋6＝0根．
(1)求{an}通项公式
(2)求数列前n项．
17．解：(1)方程x2－5x＋6＝0两根23
题意a2＝2a4＝3
设数列{an}公差da4－a2＝2d
d＝a1＝
{an}通项公式an＝n＋1
(2)设前n项Sn(1)知＝
Sn＝＋＋…＋＋
Sn＝＋＋…＋＋
两式相减
Sn＝＋－＝＋－Sn＝2－
18．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 某企业生产某种产品中抽取100件测量产品项质量指标值测量结果频数分布表：
质量指标
值分组
[7585)
[8595)
[95105)
[105115)
[115125)
频数
6
26
38
22
8
(1)答题卡作出数频率分布直方图
(2)估计种产品质量指标值均值方差(组中数该组区间中点值作代表)
(3)根抽样调查数否认该企业生产种产品符合质量指标值低95
产品少占全部产品80规定？
18．解：(1)频率分布直方图：
(2)质量指标值样均数
x＝80×006＋90×026＋100×038＋110×022＋120×008＝100
质量指标值样方差s2＝(－20)2×006＋
(－10)2×026＋0×038＋102×022＋202×008＝104种产品质量指标值均数估计值100方差估计值104
(3)质量指标值低95产品占例估计值038＋022＋08＝068
该估计值08认该企业生产种产品符合质量指标值低95产品少占全部产品80规定．
19． [2014·全国新课标卷Ⅰ] 图14三棱柱ABC A1B1C1中侧面BB1C1C菱形B1C中点OAO⊥面BB1C1C
图14
(1)证明：B1C⊥AB
(2)AC⊥AB1∠CBB1＝60°BC＝1求三棱柱ABC A1B1C1高．
19．解：(1)证明：连接BC1OB1CBC1交点．
侧面BB1C1C菱形B1C⊥BC1
AO⊥面BB1C1CB1C⊥AO
BC1∩AO＝OB1C⊥面ABO
AB⊂面ABOB1C⊥AB
(2)作OD⊥BC垂足D连接AD作OH⊥AD垂足H
BC⊥AOBC⊥ODAO∩OD＝O
BC⊥面AODOH⊥BC
OH⊥ADAD∩BC＝D
OH⊥面ABC
∠CBB1＝60°△CBB1等边三角形BC＝1OD＝
AC⊥AB1OA＝B1C＝
OH·AD＝OD·OAAD＝＝OH＝
OB1C中点点B1面ABC距离三棱柱ABC A1B1C1高
20．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(22)圆C：x2＋y2－8y＝0点P动直线l圆C交AB两点线段AB中点MO坐标原点．
(1)求M轨迹方程
(2)|OP|＝|OM|时求l方程△POM面积．
20．解：(1)圆C方程化x2＋(y－4)2＝16
圆心C(04)半径4
设M(xy)CM＝(xy－4)MP＝(2－x2－y)．
题设知CM·MP＝0x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0(x－1)2＋(y－3)2＝2
点P圆C部M轨迹方程(x－1)2＋(y－3)2＝2
(2)(1)知M轨迹点N(13)圆心半径圆．
|OP|＝|OM|O线段PM垂直分线P圆NON⊥PM
ON斜率3直线l斜率－
l方程y＝－x＋
|OM|＝|OP|＝2 O直线l距离
|PM|＝△POM面积
21．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)曲线y＝f(x)点(1
f(1))处切线斜率0
(1)求b
(2)存x0≥1f(x0)＜求a取值范围．
21．解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b
题设知f′(1)＝0解b＝1
(2)f(x)定义域(0＋∞)
(1)知f(x)＝aln x＋x2－x
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
(i)a≤≤1x∈(1＋∞)时f′(x)>0f(x)(1＋∞)单调递增．
存x0≥1f(x0)<充条件f(1)<－1<解－－1
x∈时f′(x)<0
x∈时f′(x)>0
f(x)单调递减单调递增．
存x0≥1f(x0)<充条件f<
f＝aln＋＋>合题意．
(iii)a>1 f(1)＝－1＝<符合题意．
综a取值范围(－－1－1)∪(1＋∞)．
22．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－1：证明选讲
图15四边形ABCD⊙O接四边形AB延长线DC延长线交点ECB＝CE
图15
(1)证明：∠D＝∠E
(2)设AD⊙O直径AD中点MMB＝MC证明：△ADE等边三角形．
22．证明：(1)题设知ABCD四点圆
∠D＝∠CBE
已知∠CBE＝∠E∠D＝∠E
(2)设BC中点N连接MNMB＝MC知MN⊥BC点O直线MN．
AD⊙O直径MAD中点
OM⊥ADMN⊥AD
AD∥BC∠A＝∠CBE
∠CBE＝∠E∠A＝∠E
(1)知∠D＝∠E△ADE等边三角形．
23．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系参数方程
已知曲线C：＋＝1直线l：(t参数)．
(1)写出曲线C参数方程直线l普通方程
(2)曲线C意点P作l夹角30°直线交l点A求|PA|值值．
23．解：(1)曲线C参数方程(θ参数)
直线l普通方程2x＋y－6＝0
(2)曲线C意点P(2cos θ3sin θ)直线l距离d＝|4cos θ＋3sin θ－6|
|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|
中α锐角tan α＝
sin(θ＋α)＝－1时|PA|取值
值
sin(θ＋α)＝1时|PA|取值
值
24．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－5：等式选讲
a＞0b＞0＋＝
(1)求a3＋b3值
(2)否存ab2a＋3b＝6？请说明理．
24．解：(1)＝＋≥ab≥2仅a＝b＝时等号成立．
a3＋b3≥2 ≥4
仅a＝b＝时等号成立．
a3＋b3值4
(2)(1)知2a＋3b≥2 ≥4
4 >6存ab2a＋3b＝6
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