初中数学复习试卷 反比例函数与面积1


    1 / 54 反比例函数的反比例函数的反比例函数的反比例函数的面积问题面积问题面积问题面积问题 一、 三角形中的面积问题 二、 四边形中的面积问题 三、 常考模型 四、 复杂图形与面积 一、 三角形中的面积问题 1. 【易】(2009 年山东德城初中毕业考试)如图, P 是反比例函数 6=y x 在第一象限分支 上的一个动点, ⊥PA x 轴,随着 x 的逐渐增大,△APO 的面积将( ) A.增大 B.减小 C.不变 D.无法确定 【答案】C 2. 【易】(2010 年北京文汇期中)如图,在直角坐标系中,点 A 是 x 轴正半轴上的一个定 点,点 B 是双曲线 3=y x ()0>x 上的一个动点,当点 B 的横坐标逐渐增大时,△OAB 的 面积将( ) A.不变 B.逐渐增大 C.逐渐减小 D.先增大后减小 【答案】C A P O y x B x y O A 2 / 54 3. 【易】已知 M 是反比例函数 ()0= ≠ky k x 图像上一点, ⊥MA x 轴于 A ,若 4=△ AOMS , 则这个反比例函数的解析式是( ) A. 8=y x B. 8= −y x C. 8=y x 或 8= −y x D. 4=y x 或 4= −y x 【答案】C 4. 【易】(2011 年北京西城外国语学校初二数学期中)如图,点 A 在反比例函数的图象上, 且 6=△ ABOS ,则此反比例函数的解析式是( ) A. 12= −y x B. 12=y x C. 6=y x D. 3= −y x 【答案】A 5. 【易】(2011 湖北鄂州)反比例函数 = ky x 的图象如图所示,点 M 是该函数图象上一点, MN 垂直于 x 轴,垂足是点 N ,如果 2=△MONS ,则 k 的值为( ) A. 2 B. 2− C.4 D. 4− 【答案】D 6. 【易】如图,A 是反比例函数 = ky x 图像上一点,过点 A 作 ⊥AB x 轴于点 B ,点 P 在 y 轴上,△ABP 的面积为 1,则 k 的值为( ) A B O x y N M O y x 3 / 54 A.1 B. 2 C. 1− D. 2− 【答案】D 7. 【易】(2013 年首师大二附中第二学期期中初二年级数学练习)如图,过点 A 作 ⊥AB x 轴于点 B ,过点 C 作 ⊥CD y 轴于点 D ,记△AOB 的面积为 1S , △COD 的面积为 2S , 则( ) A. 1 2 >S S B. 1 2 =S S C. 1 2 <S S D.无法确定 【答案】B 8. 【易】(2013 年北京市铁路第二中学第二学期初二年级期中数学试卷) 如图,正比例函数 =y x 与反比例函数 4=y x 的图象交于 A 、B 两点,过点 A 作 ⊥AC x 轴于点 C ,则△BOC 的面积是( ) A.4 B. 3 C. 2 D.1 【答案】C y P B A x O O DC B A y x 1 0 1-1-1 C A B y x 4 / 54 9. 【易】如图,A 、B 是函数 2=y x 的图象上关于原点对称的任意两点, ∥BC x 轴, ∥AC y 轴,△ABC 的面积记为 S ,则( ) A. 2=S B. 4=S C. 2 4< <S D. 4>S 【答案】B 10. 【易】(2011 年广西玉林市中考数学试卷)如图,是反比例函数 1= ky x 和 2= ky x( 1 2 <k k ) 在第一象限的图象,直线 ∥AB x 轴,并分别交两条曲线于 、A B 两点,若 2=△ AOBS , 则 2 1 −k k 的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 11. 【易】(2009 年深圳)如图,反比例函数 4= −y x 的图像与直线 1 3 = −y x 的交点为 A 、B , 过点 A 做 y 轴的平行线与过点 B 作 x 轴的平行线相交于点 C ,则△ABC 的面积为( ) x CB A y O 5 / 54 A.8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 12. 【易】(2010 年孝感)双曲线 4=y x 和 2=y x 在第一象限内的图像如图所示,作一条平行 于 y 轴的直线分别交双曲线与 A 、B 两点,连接 OA、OB,则△AOB 的面积为( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 13. 【易】(永州市 2013 年初中毕业学业考试试卷数学试题卷)如图,两个反比例函数 4y x = 和 2y x = 在第一象限内的图象分别是 1C 和 2C ,设点 P 在 1C 上,PA x⊥ 轴于点 A ,交 2C 于点 B ,则 POB△ 的面积为 ________. BC A x O y A B O y x 6 / 54 【答案】1 14. 【易】(湖南省张家界市 2013 年初中毕业学业考试数学试卷)如 图,直线 2x = 与反比 例函数 2y x = , 1y x = − 的图象分别交于 A B, 两点,若点 P 是 y 轴上任意一点,则 PAB△ 的面积是 ________. 【答案】 3 2 15. 【易】(2010 年眉山)如图,已知双曲线 ()0= <ky kx 经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的 中点 D ,且与直角边 AB 相交于点 C ,若点 A 的坐标为 ()6 4− , ,则△AOC 的面积为 ( ) A.12 B.9 C. 6 D. 4 C2 C1 A B P y xO y x x=2 O B A D C B A xO y 7 / 54 【答案】B 16. 【易】(五中分校反比例练习)双曲线 1=y x 与 2=y x 在第一象限内的图象如图所示,作 一条平行于 y 轴的直线分别交双曲线于 、A B 两点,连接 、OA OB ,则△AOB 的面积为 ( ) A. 1 2 B.1 C.2 D.3 【答案】A 17. 【易】(2013 年宣武外国语实验学校第二学期期中考试试题初二数学) 反比例函数 = ky x 在第一象限内的图象如图,MP 垂直 x 轴于点 P ,如果 △MOP 的面积 为 3,那么 k 的值是 ___________ 【答案】6 18. 【易】(天津市河西区 2010 年第二学期八年级期末阶段性质量调查数学试卷) 如图,若点 A 在反比例函数 = ky x ( )0≠k 的图象上, ⊥AM x 轴于点 M ,△AMO 的面 积为 3,则 =k ____________ 【答案】 6− y xO B A M P O x y 8 / 54 19. 【易】(2010 年北京西城期中)如图所示, A 、 C 是函数 3=y x 的图象上的任意两点, 过 A 点作 ⊥AB x 轴于点 B ,过 C 点作 ⊥CD y 轴于点 D ,记△AOB 的面积为 1S , △COD 的面积为 2S ,则 1S _____ 2S (在横线上填<、=、>) 【答案】= 20. 【易】(2011 年河南中考最新数学猜题试卷)如图,点 P 是反比例函数 2=y x 上的任意 一点, ⊥PD x 轴于点 D ,则△POD 的面积是 __________. 【答案】1 21. 【易】(2010 年北京三十一中期中)如图,点 A 在反比例函数 = ky x 的图象上, ⊥AB y 轴,垂足为 B ,若 2=△ AOBS ,则反比例函数的解析式为 __________. 【答案】 4=y x y xO A B C D y O x P D B x y O A 9 / 54 22. 【易】(2011 年郑州市中考数学模拟试卷)两位同学在描述同一反比例函数时,甲同学 说:“从这个反比例函数图象上任意一点向 x 轴、 y 轴作垂线,与两坐标轴所围成的矩 形面积为 6 .”乙同学说:“这个反比例函数图象与直线 = −y x 有两个交点.”你认为这 两位同学所描述的反比例函数的表达式是 ___________. 【答案】 6= −y x 23. 【易】过反比例函数 ()0= ≠ky kx 图象上一点 A ,分别作 x 轴, y 轴的垂线,垂足分别 为 B 、C ,如果 △ABC 的面积为 3,则 k 的值为 ___________ 【答案】6 或 6− 24. 【易】如图,是反比例函数 1=y x 和 5=y x 在第一象限的图象,直线 ∥AB x 轴,并分别 交两条曲线于 A 、 B 两点,C 是 x 轴上的一个动点,则 =△ABCS ________. 【答案】 2 25. 【易】如图,点 A 在双曲线 4=y x 上,B 、C 在双曲线 1=y x 上,且 ∥AB x 轴, ∥AC y 轴,则 =△ABCS __________. 【答案】 9 8 A B O y xC B y= 1 x y= 4 x C x y O A 10 / 54 26. 【易】(2011 年桂林市初中毕业升学考试试卷)双曲线 1y 、 2y 在第一象限的图像如图, 1 4=y x ,过 1y 上的任意一点 A ,作 x 轴的平行线交 2y 于 B ,交 y 轴于 C ,若 1∆ =AOBS , 则 2y 的解析式是 __________. 【答案】 2 2y x = 27. 【易】(2009 年海淀二模)如图,点 A 在反比例函数 = ky x 的图象上 , ⊥AB x 轴于 B , 点 C 在 x 轴上,且 =CO OB , 2=△ ABCS ,确定此反比例函数的解析式. 【答案】设 ( ),A x y ,连接 OA,则 ,= =OB xBA y ∵ =CO OB ∴ =△ △AOB ACOS S ∴ 1 12 = =△ △AOB ABCS S y1= 4 x y xO C BA C B A y xO O x y A BC 11 / 54 ∴ 1 1 12 2 = ⋅= =△AOBS OB BA xy . ∴ 2= =k xy . ∴反比例函数的解析式为 2=y x . 28. 【易】(2011 年天津市河西区初中毕业生学业考试模拟试卷(一)数学) 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 = ky x ( )0 0> >,x k 的图象经过点 ( )1 2,A , ( )( )1>,bm n m ,过点 B 作 y 轴的垂线,垂足为 C . ⑴ 求该反比例函数解析式; ⑵ 当△ABC 面积为 2 时,求点 B 的坐标. 【答案】⑴ 2=y x ;⑵ 23 3      , 29. 【易】(2009 年长春市初中毕业生学业考试数学试题)如图,点 P 的坐标为 32 2      , , 过点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 A ,交双曲线 ()0= >ky xx 于点 N ;作 ⊥PM AN 交 双曲线 ()0= >ky xx 于点 M ,连结 AM,已知 4=PN ⑴ 求 k 的值 . ⑵ 求△APM 的面积 . 【答案】⑴ 9=k ;⑵ 3. 30. 【易】(2013 年四川省宜宾市中考数学试卷)如图,直线 1y x= − 与反比例函数 ky x = 的 图象交于 A B、 两点,与 x 轴交于点 C ,已知点 A的坐标为 ( )1 m− , . 12 / 54 (1)求反比例函数的解析式; (2)若点 ( )1P n −, 是反比例函数图象上一点,过点 P 作 PE x⊥ 轴于点 E ,延长 EP 交 直线 AB 于点 F ,求 CEF△ 的面积. 【答案】(1)将点 A 的坐标代入 1y x= − ,可得: 1 1 2m =− − =− , 将点 1 2A − −(,)代入反比例函数 ky x = , 可得: 1 2 2k =−× − =(), 故反比例函数解析式为: 2y x = . (2)将点 P 的纵坐标 1y = − ,代入反比例函数关系式可得: 2x = − , 将点 F 的横坐标 2x = − 代入直线解析式可得: 3y = − , 故可得 3EF = , 2 1 3CE OE OC= + =+= , 故可得 1 9 2 2 S CEF CE EF= × =△ . 31. 【易】(北京市 2013 八中分校初二数学)如图,一次函数 2y kx= + 的图象与 x 轴交于点 B ,与反比例函数 my x = 的图象的一个交点为 (1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式; (2)过点 A作 AC x⊥ 轴,垂足为 C ,若点 P 在反比例函数图象上,且 PBC△ 的面积 等于 18 ,求 P 点的坐标. 【答案】( 1) 1 22y x= + , 6y x = ;(2) ( )P 1 6, 或 ( )P 1 6− −, P F E C B A y xO ( )2 3A , O C B A y x 13 / 54 32. 【易】(2013 年东营市初中学生学业考试 )如图,在平面直角坐标系中,一次函数 ( )2 0y nx n= + > 的图象与反比例函数 ()0my mx = > 在第一象限内的图象交于点 A ,与 x 轴交于点 B ,线段 5OA = , C 为 x 轴正半轴上一点,且 4sin 5 AOC =∠ . (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)求 AOB△ 的面积. 【答案】(1)过 A 点作 AD x⊥ 轴于点 D , ∵ 4 5 ADsin AOC AO ∠ = = , 5OA = , ∴ 4AD = , 在 Rt AOD△ 中,由勾股定理得: 3DO = , ∵点 A 在第一象限, ∴点 A 的坐标为 3 4( , ), 将 A 的坐标为 3 4( , )代入 my x = , 得 4 3 m= , ∴ 12m = , ∴该反比例函数的解析式为 12y x = , 将 A 的坐标为 3 4( , )代入 2y nx= + 得: 2 3 n = , ∴一次函数的解析式是 2 2 3 y x= + ; (2)在 2 2 3 y x= + 中,令 0y = ,即 2 2 0 3 x + = ,∴ 3x = − , ∴点 B 的坐标是 3 0−( , ) ∴ 3OB = ,又 4AD = , ∴ 1 1• 3 4 6 2 2AOBS OB AD= =××=△ , 则 AOB△ 的面积为 6. A B CO x y D A B CO x y 14 / 54 33. 【易】(2013 年钦州市中考学校招生暨初中数学毕业统一考试)如图,一次函数 y ax b= + 的图象与反比例函数 ky x = 的图象交于 ( )2A m− , , ( )4 2B −, 两点,与 x 轴交于 C 点, 过 A 作 AD x⊥ 轴于 D . ⑴ 求这两个函数的解析式: ⑵ 求 ADC△ 的面积. 【答案】(1)∵反比例函数 ky x = 的图象过 4 2B −(,)点, ∴ 4 2 8k = ×− =−(), ∴反比例函数的解析式为 8y x = − ; ∵反比例函数 ky x = 的图象过点 2A m−(,), ∴ 8 4 2 m = − =− ,即 2 4A −(,). ∵一次函数 y ax b= + 的图象过 2 4A −(,), 4 2B −(,)两点, ∴ 2 4 4 2 a b a b − + + −   = ,= 解得 1 2 a b −  = = ∴一次函数的解析式为 2y x= − + ; (2)∵直线 AB: 2y x= − + 交 x 轴于点 C , ∴ 2 0C(,). ∵ AD x⊥ 轴于 D , 2 4A −(,), ∴ 2 2 4CD = −− =(), 4AD = , ∴ 1 1 4 4 82 2S ADC CD AD=⋅ ⋅ =××=△ . 34. 【易】(2013 年安顺市初中毕业生学业、升学招生考试数学科试题)已知:如图,在平 面直角坐标系 xOy 中,直线 AB 与 x 轴交于点 ( )2 0A − , ,与反比例函数在第一象限内的 图象的交于点 ( )2B n, ,连接 BO,若 4AOBS =△ . ⑴ 求该反比例函数的解析式和直线 AB 的解析式; ⑵ 若直线 AB 与 y 轴的交点为 C ,求 OCB△ 的面积. y x B A C OD 15 / 54 【答案】⑴由 ( )2 0A − , ,得 2OA = . ∵点 ( )2B n, 在第一象限内, 4AOBS =△ , ∴ 1 42 OA n× = , ∴ 4n = ∴点 B 的坐标是 ( )2 4, . 设该反比例函数的解析式为 ()0ay ax = ≠ 将点 B 的坐标代入,得 4 2 a= , ∴ 8a = . ∴反比例函数的解析式为 8y x = . 设直线 AB 的解析式为 ( )0y kx b k= + ≠ 将点 A 、 B 的坐标分别代入,得 2 0 2 4 k b k b − + =  + = , 解得 1 2 k b =  = . ∴直线 AB 的解析式为 2y x= + . ⑵在 2y x= + 中,令 0x = ,得 2y = . ∴点C 的坐标是 ( )0 2, ,∴ 2OC = . ∴ 1 1 2 2 22 2OCB BS OCx= × =××=△ . 35. 【易】(2013 年浙江省初中毕业生学业考试(嘉兴卷))如图,一次函数 1 0y kx k= + ≠( ) 与反比例函数 ()0my mx = ≠ 的图象有公共点 1 2A(,).直线 l x⊥ 轴于点 3 0N(,),与一 次函数和反比例函数的图象分别交于点 B ,C . (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)求 ABC△ 的面积? y x B C A O 16 / 54 【答案】( 1) 1y x= + , 2y x = ;(2) 10 3ABCS =△ 36. 【中】如图,点 A 是反比例函数 = my x ( )0>是常数,m x 上的一个动点,过点 A 做 x 轴、 y 轴的平行线交反比例函数 = ky x ( )0>是常数,k k 于点 B 、C ,当点 A 的横坐标逐渐增 大时,△ABC 的面积( ) A.先变大再变小 B.先变小再变大 C.不变 D.无法判断 【答案】C 37. 【中】(2012 年泸州)如图,在△OAB 中,C 是 AB 的中点,反比例函数 ()0= ≠ky k x 在 第一象限的图像经过 A 、 C 两点,若△OAB 面积为 6 ,则 k 的值为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D.16 【答案】B D y xO 1 1 l N C B A D E y xO 1 1 l N C B A y= m x y= k x C x y O B A C A O y xB 17 / 54 38. 【中】如图,直角坐标系中,O 为原点,等腰三角形 △AOB 的顶点 B 在 x 轴上, =AO AB , 反比例函数 ()0= >ky k x 在第一象限内的图象经过 AB 的中点 C ,若△AOB 的面积是 12 , 则 k 的值是( ) A. 4.5 B. 6 C. 9 D.12 【答案】C 39. 【中】(2012 年通辽)如图,过 x 轴正半轴上的任意一点 P ,作 y 轴的平行线,分别于 反比例函数 6= −y x 和 4=y x 的图像交于 A 、B 两点.若点 C 是 y 轴上任意一点,连接 AC、 BC,则△ABC 的面积为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D.10 【答案】C 40. 【中】(2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习)在 1=y x 的图象中,阴影部分面 积不为 1 的是( ) C A O y xB C x O B P A y x y O O y x O y x O y x 18 / 54 A. B. C. D. 【答案】B 41. 【中】(2013 年海淀实验第二学期初二年级数学学科期中试题)(2012 威海中考)下列 选项中,阴影部分面积最小的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 42. 【中】在反比例函数 4=y x 的图象中,阴影部分的面积不等于 4 的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 43. 【中】(2013 年北京四中第二学期期中测验初二年级数学学科)如图,直线 l 交 y 轴于 点 C ,与双曲线 ()0= <ky k x 交于 A 、B 两点,P 是线段 AB 上的点(不与 A 、B 重合), Q 为线段 BC 上的点(不与 B 、 C 重合),过点 A 、 P 、 Q 分别向 x 轴作垂线,垂足分 别为 D 、E 、F ,连结 OA、OP、OQ,设△AOD 的面积为 1S 、△POE 的面积为 2S 、 △QOF 的面积为 3S ,则有( ) N(-1,-2) N(2,1) M(1,2) M(1,2)N N M M y= 2 x y= 2 x OOOO yyy y x x x x y O x y O x y O x y O x l P Q FED CB A O y x 19 / 54 A. 1 2 3 < <S S S B. 3 1 2 < <S S S C. 3 2 1 < <S S S D. 1 2 3 = =S S S 【答案】B 44. 【中】(2013 学年度理工分校第二学期初二数学期中练习)(2011 东营)如图,直线 l 和 双曲线 1 1 = −y x 交于 A 、 = +y kx b 两点,P 是线段 AB 上的点(不与 ( )0kb ≠ 、B 重合), 过点 A 、 B 、 P 分别向 x 轴作垂线,垂足分别是 C 、 D 、 E ,连接 OA、 OB、 OP, 设 △AOC 面积是 1S 、 △BOD 面积是 2S 、 △POE 面积是 3S 、则( ) A. 1 2 3 < <S S S B. 1 2 3 > >S S S C. 1 2 3 = >S S S D. 1 2 3 = <S S S 【答案】D 45. 【中】(2011 年郑州四中下期初三年级第五次月考)如图所示,点 1A 、 2A 、 3A 在 x 轴 上,且 1 12 23 = =OA AA AA ,分别过点 1A 、 2A 、 3A 作 y 轴的平行线,与反比例函数 ()8 0= >y x x 的图象分别交于点 1B 、 2B 、 3B ,分别过点 1B 、 2B 、 3B 作 x 轴的平行线, 分别与 y 轴交于点 1C 、 2C 、 3C ,连接 1OB、 2OB、 3OB,那么图中阴影部分的面积之 和为( ) A. 7 B. 49 9 C. 8 D. 47 9 【答案】B(利用相似解决) P E DC B A O y x B3 B2 B1 A3A2A1 C3 C2 C1 x y O 20 / 54 46. 【中】(四川省自贡市 2013 年初中毕业生数学试卷)如图,在函数 8 ( 0)y x x = > 的图象 上有点 1P 、 2P 、 3P ……、 nP 、 1nP + ,点 1P 的横坐标为 2,且后面每个点的横坐标与它 前面相邻点的横坐标的差都是 2,过点 1P 、 2P 、 3P ……、 nP 、 1nP + 分别作 x 轴、y 轴的 垂线段,构成若干个矩形,如图所示,将图中阴影部分的面积从左至右依次记为 1S 、 2S 、 3S ……、 nS ,则 1S =________ , nS =________ .(用含 n 的代数式表示) 【答案】 4 ; 8 ( 1)n n + 47. 【中】(初二数学竞赛)如图, 、A B 是反比例函数 2=y x 的图象上的两点. 、AC BD 都 垂直于 x 轴,垂足分别为 、C D . AB 的延长线交 x 轴于点 E .若 、C D 的坐标分别为 ( )1 0, 、 ( )4 0, ,则△BDE 的面积与 △ACE 的面积的比值是( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 1 8 D. 1 16 【答案】D 48. 【中】如图,设点 A ,B 是反比例函数 = ky x 图象上的两点,AC,BD 都垂直于 y 轴, 垂足分别是 C 、 D ,连接 OA,OB,若 OA 交 BD 于点 E ,且 △OBE 的面积是 2011 , 则梯形 AEDC 的面积是( ) S3 S2 S1 P4 P3 P2 P1 8642 y xO y B A C D E xO 21 / 54 A. 2009 B. 2010 C. 2011 D. 2012 【答案】C 49. 【中】(五中分校反比例练习)如图, 、A B 是双曲线 ( 0)= >ky k x 上的点, 、A B 两点 的横坐标分别是 2、a a ,线段 AB 的延长线交 x 轴于点 C ,若 6=△ AOCS .则 =k _________. 【答案】4 50. 【中】(2013 年北京市铁路第二中学第二学期初二年级期中数学试卷) 如图,已知点 A 、 B 、C 在双曲线 6=y x 上, ⊥BD x 轴于 D , ⊥CE y 轴于 E ,点 F 在 x 轴上,且 =AO AF ,则图中阴影部分的面积之和为 __________. 【答案】12 E y D C B A xO y x B A CO E F D B C A y x O 22 / 54 51. 【中】如图, A 、 B 分别是反比例函数 10=y x 和 6=y x 图像上的点过 A 、 B 作 x 轴的垂 线,垂足分别为 C 、 D ,连接 OA、 OB, OA 交 BD 于 E 点, △BOE 的面积为 1S ,四 边形 ACDE 的面积为 2S ,则 1 2 − =S S __________. 【答案】 2− 52. 【中】如图是反比例函数 5=y x 和 3=y x 在第一象限内的图象,在 3=y x 上取点 M ,分 别作两坐标轴的垂线交 5=y x 于点 A 、 B ,连接 OA、 OB,则图中阴影部分的面积为 ______________ 【答案】 2 53. 【中】(2009 年莆田市中考) 如图,在 x 轴的正半轴上依次截取 1 12 23 34 45 = = = =OA AA AA AA AA ,过点 1A 、 2A 、 3A 、 4A 、 5A 分别作 x 轴的垂线与反比例函数 ()2 0= ≠y x x 的图象相交于点 1P 、 2P 、 3P 、 4P 、 5P ,得直角三角形 1 1OP A 、 1 2 2A P A 、 2 3 3A P A 、 3 4 4A P A 、 4 5 5A P A ,并设其面积分别为 1S 、 2S 、 3S 、 4S 、 5S ,则 5S 的值为 __________. E D C x y O B A y= 10 x y= 6 x y= 3 x y= 5 x M A B O y x 23 / 54 【答案】 1 5 54. 【中】(苏州市实验初级中学初二期中)如图,点 、 、E F G 是双曲线 = ky x 上的点,过 、 、E F G ,分别作 、、EB FC GD 垂直于 x 轴,垂足分别为 、 、B C D ,且 = =OB BC CD , △OBE 的面积记为 1S ,△BCF 的面积记为 2S ,△CDG 的面积记为 3S ,若 1 3 2+ =S S , 则 2 =S _______. 【答案】 3 4 55. 【中】(五中分校反比例练习)如图,在第一象限内,点 2 3(,)P , ( )2α ,M 是双曲线 ()0= ≠ky k x 上的两点, ⊥PA x 轴于点 A , ⊥MB x 轴于点 B , PA 与 OM 交于点 C , 则 OAC△ 的面积为 _________. y= 2 x P5P4 P3 P2 P1 A5A4A3A2A1 y xO y xB C DO G F E M(a,2) P(2,3) C A BO y x 24 / 54 【答案】 4 3 56. 【中】(五中分校反比例练习)如图,已知双曲线 ( 0)= >ky k x 经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D ,与直角边 AB 相交于点 C .若△OBC 的面积为 3,则 =k _______. 【答案】2 57. 【中】(2011 年京市铁路第二中学初二数学)如图,已知直线 1 2 =y x 与双曲线 ( 0)= >ky k x 交于 A , B 两点,且点 A 的横坐标为 4. ⑴ 求 k 的值; ⑵ 若双曲线 ( 0)= >ky k x 上一点 C 的纵坐标为 8,求△AOC 的面积; ⑶ 过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 ( 0)= >ky k x 于 ,P Q 两点,( P 点在第一象限), 若由点 ,,,A B P Q 为顶点组成的四边形面积为 24 ,求点 P 的坐标. 【答案】⑴ 8=k ;⑵ 15=△ AOCS ;⑶ ( )8 1,P 或 ( )2 4,P 58. 【中】(2012 年河南省中考题)如图,点 A B、 在反比例函数 = ky x ( k >0, x >0)的 图象上,过点 A B、 作 x 轴的垂线,垂足分别为 M N、 ,延长线段 AB 交 x 轴于点 C , 若 ,= =OM MN NC AOC△ 的面积为 6,则 k 的值为 _______. y x B C D E AO B A O x y 25 / 54 【答案】4 设点 ,    kA x x ,则 3=OC x .由 1 3 62 × ⋅ =kx x 得 4=k . 59. 【中】(2013 年山东日照初中学业考试 )如右图,直线 AB 交双曲线 ky x = 于 A 、B ,交 x 轴于点 C ,B 为线段 AC 的中点,过点 B 作 BM x⊥ 轴于 M ,连结 OA.若 2OM MC= , 12OACS =△ .则 k 的值为 ___________. 【答案】8 60. 【中】(福州市中考题)如图,已知直线 1 2y x= 与双曲线 ky x = ( k >0)交于 A B、 两点,且 A 点的横坐标为 4. (1)求 k 的值; (2)若双曲线 ky x = ( k >0)上一点 C 纵坐标为 8,求 AOC△ 的面积; (3)过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 ky x = ( k >0)于 P Q、 两点( P 点在第一 象限),若由点 A B P Q、、、 为顶点组成的四边形的面积为 24 ,求 P 点的坐标 . 【答案】( 1) (4,2), 8A k = . O NM C B A y x y xCMO B A 26 / 54 (2)就“试一试”中图②解答: (1, 8) , ODFEAOC ODC OAE CFAC SS SSS= − −−=矩形△ △ △ △ 32 4 4 9 15− − − = . (3)∵反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形,∴ ,OP OQ OA OB= = . ∴四边形 APBQ 是平行四边形, 1 1 24 64 4POAS S= =×=平行四边形△ . 设 P 点的坐标为 8,m m      ( m >0 且 m 4≠ ),过点 P A、 分别作 x 轴的垂 线,垂足为 E F、 , ∵点 P A、 在双曲线上,∴ 4POE AOFS S= = △ △ . 若 0< m <4(如图①), ∵ PEFAPOE POA AOFS S S S+ = +梯形△ △ △ , ∴ 6PEFA POAS S= =梯形△ △ , 即 1 82 ( 4)62 mm  + ⋅ − =   ,解得 8 , 2m m= = − (舍去). 故点 P 的坐标是 (2, 4)P 或 (8 , 1)P 61. 【中】(2011 年天津市河北区初中毕业生学业考试模拟试卷(三))如图,一次函数 2= +y kx 的图象与 x 轴交于点 B ,与反比例函数 = my x 的图象的一个交点为 ( )2 3,A . (例3) Q 图②图① O y xx y FE O A P F E A Q P B 27 / 54 ⑴ 分别求出反比例函数和一次函数的解析式; ⑵ 过点 A 作 ⊥AC x 轴,垂足为 C ,若点 P 在反比例函数图象上,且 △PBC 的面积等 于 18 ,求 P 点的坐标. 【答案】⑴ 反比例函数的解析式为 6=y x ,一次函数的解析式为 1 2 2 = +y x ⑵ ( ) ( )1 216 1 6− −,,,P P 62. 【中】(2013 年兰州市初中毕业生数学学业考试)已知反比例函数 1 ky x = 的图象与一次 函数 2y ax b= + 的图象交于点 ( )1 4A , 和点 ( )2B m −, . (1)求这两个函数的表达式; (2)观察图象,当 0x > 时,直接写出 1 2y y> 时自变量 x 的取值范围; (3)如果点 C 与点 A 关于 x 轴对称,求 ABC△ 的面积. 【答案】⑴∵点 ( )1 4A , 在 1 ky x = 的图象上, ∴ 1 4 4k = × = ∴ 1 4y x = ∵点 B 在 1 4y x = 的图象上,∴ 2m = − ∴点 ( )2 2B − −, 又∵点 A 、 B 在一次函数 2y ax b= + 的图象上, ∴ 4 2 2 a b a b + = − + =− y xO B A D C A B O x y 28 / 54 解得 2 2 a b =  = ∴ 2 2 2y x= + ∴这两个函数的表达式分别为: 1 4y x = , 2 2 2y x= + ⑵由图象可知,当 0 1x< < 时, 1 2y y> 成立 ⑶∵点 C 与点 A 关于 x 轴对称,∴ ( )1 4C −, 过点 B 作 BD AC⊥ ,垂足为 D ,则 ( )1 2D −, 于是 ABC△ 的高 ( )1 2 3BD = −− = 底为 ( )4 4 8AC = −− = ∴ 1 1 8 3 12 2 2ABCS AC BD= ⋅ =××=△ 63. 【中】(东营市中考题)( 1)探究新知: 如图①,已知 ABC△ 与 ABD△ 的面积相等,试判断 AB 与 CD 的位置关系,并说明 理由 . (2)结论应用: ①如图②,点 M 、N 在反比例函数 ky x = ( k >0)的图象上,过点 M 作 ME y⊥ 轴, 过点 N 作 NF x⊥ 轴,垂足分别为 E 、 F .试证明: MN ∥ EF. ②若①中的其他条件不变,只改变点 M 、 N 的位置,如图③所示,请判断 MN 与 EF 是否平行 . 【答案】(1)过点 C 、 D 分别作 CG AB⊥ 于G 点, DH AB⊥ 于 H 点,如图①所示 . 图① 图② 图③ y x N M M N E F x y A B C D O O 29 / 54 ∵ ,CAB DABS S= △ △ ∴CG DH= ,∴ //CG = DH.即四边形 CGHD 为平行四 边形,故CD ∥ AB. (2)①如图②,连接 MF、 NE,则 2MEF NEF kS S= = △ △ ,故 MN ∥ EF. ②如图②,当 N 在第三象限的图象上时, MN ∥ EF. 64. 【中】已知 ()3−,,A B n 是一次函数 = +y kx b 的图象 和反比例函数 = my x 的图象的 交点 .线段 2=OA, 30∠ = °AOP. ⑴ 求反比例函数和一次函数的解析式; ⑵ 求△AOB 的面积 . 【答案】⑴ 反比例函数的解析式为 3=y x ,一次函数的解析式为 1 3= + −y x ⑵ 1=△AOBS 65. 【中】(吉林省 2013 年初中毕业生学业考试数学试题 )在平面直角坐标系中,点 3 4A −( ,) 关于 y 轴的对称点为点 B ,连接 AB,反比例函数 ()0ky x x = > 的图象经过点 B ,过点 B 作 BC x⊥ 轴于点 C ,点 P 是该反比例函数图象上任意一点,过点 P 作 PD x⊥ 轴于点 D , 点 Q 是线段 AB 上任意一点,连接 OQ、 CQ. ⑴ 求 k 的值; ⑵ QOC△ 与 POD△ 的面积是否相等,并说明理由. 图① 图② x y E F M N A B C D G H O x y O P B A 30 / 54 【答案】(1)∵点 B 与点 A 关于 y 轴对称, 3 4A −(,), ∴点 B 的坐标为 3 4( , ), ∵反比例函数 0ky x x = ( > )的图象经过点 B . ∴ 4 3 k = , 解得 12k = . (2)相等.理由如下: 设点 P 的坐标为 m n( , ),其中 0m> , 0n> , ∵点 P 在反比例函数 12 0y x x = ( > )的图象上, ∴ 12n m = ,即 12mn = . ∴ 1 1 1• 12 6 2 2 2 S POD OD PD mn= = =×=△ , ∵ 3 4A −(,), 3 4B(,), ∴ AB x∥ 轴, 3OC = , 4BC = , ∵点 Q 在线段 AB 上, ∴ 1 1• 3 4 6 2 2 S QOC OC BC= =××=△ . ∴ S QOC S POD=△ △ . 66. 【中】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 ( )0= ≠+y kx b k 的图象与反比例函 数 ()0my m x = ≠ 的图象交于二、四象限内的 、A B 两点,与 x 轴交于 C 点,点 B 的坐标 为 ( )6 ,n ,线段 2=OA, 45∠ = °AOE. ⑴ 直接写出点 A 的坐标; ⑵ 求该反比例函数和一次函数的解析式; ⑶ 求△AOB 的面积. x y DCO A Q P B 31 / 54 【答案】⑴ ( )1 1A − , ; ⑵ 反比例函数解析式为 1y x = − 一次函数解析式为 1 5 6 6 y x= − + ⑶ △AOB 的面积为 35 12 67. 【中】(2012 武汉市中考题)如图,点 A 在双曲线 ky x = 的第一象限的图象上,AB y⊥ 轴于点 B ,点 C 在 x 轴的正半轴上,且 2OC AB= ,点 E 在线段 AC 上,且 3AE EC= , 点 D 为OB 的中点, 3ADES = △ ,求 k 的值 . 【答案】连接 DC,∵ 3AE EC= , 3ADES =△ ∴ 1, 4CDE ADCS S= = △ △ ,设 ( , )A a b , ∴ 1, 2 , 2 AB a OC a BD OD b= = == . ∵ OBAC ABD ADC OCDS S S S= + +梯形 △ △ △ , ∴ 1 11 11(2) 4 2 2 22 22 aabab ab+ = × ++×× ,得 16 3 ab = . 故 16 3 k ab= = . B COE A x y E D C B A y xO 32 / 54 68. 【中】(2013 年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试)已知点 O 是面直角坐标 系的原点,直线 y xmn=− + + 与双曲线 1y x = 交于两个不同的点 ( )A m n, ( 2m≥ )和 ( )B p q, .直线 y xmn=− + + 与 y 轴交于点 C ,求 OBC△ 的面积 S 的取值范围. 【答案】如图, C 点坐标为 0 m n+( , ), D 点坐标为 0m n+( , ), 则 OCD△ 为等腰直角三角形, ∴点 A 与点 B 关于直线 y x= 对称,则 B 点坐标为 n m( , ), ∴ 21 1 1 2 2 2OBCSS mnn mn n= = +⋅= +△ (), ∵点 A m n(,)在双曲线 1y x = 上, ∴ 1mn = ,即 1n m = ∴ 21 1 1 2 2 S m = + ( ) ∵ 2m ≥ , ∴ 1 10 2m ≤< , ∴ 2 110 4m ≤<( ) , ∴ 1 5 2 8 S ≤< . 69. 【中】如图,在平面直角坐标系中,点 A 在 y 轴正半轴上一点,过点 A 作 X 轴的平行 线,交函数 ()2 0= − <y x x ,的图像于点 B ,交函数 ()6 0= >y x x 的图像于点 C ,过 C 作 y 轴的平行线交 BO 的延长线于点 D . ⑴ 如果点 A 的坐标为 ( )0 2, ,求线段 AB 与线段 CA 的长度之比. ⑵ 如果点 A 的坐标为 ( )0 ,a ,求线段 AB 与线段 CA 的长度之比. ⑶ 在⑴的条件下,求四边形 AODC 的面积. y xD C B A O 33 / 54 【答案】⑴ ∵ ( )0 2,A , ∥BC x 轴, ∴ ( )1 2− ,B , ( )3 2,C , ∴ 1=AB, 3=CA, ∴线段 AB 与线段 CA 的长度之比为 1 3 ⑵ ∵ B 是函数 ()2 0= − <y x x 的一点, C 是函数 ()6 0= >y x x 的一点 ∴ 2 −  ,B aa , 6    ,C aa ∴ 2=AB a , 6=CA a , ∴线段 AB 与线段 CA 的长度之比为 1 3 ⑶ ∵ 1 3 =AB AC, ∴ 1 4 =AB BC, 又∵ =OA a , ∥CD y 轴, ∴ 1 4 = =OA AB CD BC , ∴ 4=CD a , ∴四边形 AODC 的面积为 ()1 64 15 2 = + =×a a a . 70. 【中】(2011 年宁夏区中考数学试题)在 Rt △ABC 中, 90∠ = °C , 30∠ = °A , 2=BC.若 将此三角形的一条直角边 BC 或 AC 与 x 轴重合,并且点 A 或点 B 刚好在反比例函数 ()6 0= >y x x 的图象上 (如图所示 ), D 是斜边与 y 轴的交点,设此时 △ABC 在第一象限 部分的面积分别记作 1 2、S S ,通过计算比较 1 2、S S 的大小. 【答案】如图 1:∵ 90∠ = °C , 30∠ = °A , 2=BC, ∴ 2 3=AC y x D O A CB 34 / 54 ∵点 A 在 6=y x ∴ ( )3 2 3,A 即 3=OC, 2 3= −OB, 2 3 3= −OD, ∴ ()1 1 2 = + ⋅S OD AC OC , ( )1 23323 3 2 = − + × , 3 36 2 = − ; 如图 2:∵ 2=BC, 30∠ = °A , ∴点 B 的纵坐标是 2, 2 3=AC ∴ 6 2= x 解得 3=x , ∴ ( )3 2,B , ∴ 2 3 3= −AO, ∵ =OD OA BC AC , ∴ 2 3 3 2 2 3 −=OD, ∴ 2 3= −OD, ()2 1 2 = + ⋅S OD BC OC , ( )1 2 32 32 = − + × , 3 36 2 = − . 所以 1 2 =S S 35 / 54 71. 【中】如图,正比例函数 1 2 =y x 的图象与反比例函数 ()0= ≠ky kx 在第一象限的图象交 于 A 点,过 A 点作 x 轴的垂线,垂足为 M ,已知 △OAM 的面积为 1. ⑴ 求反比例函数的解析式; ⑵ 如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点(点 B 与点 A 不重合),且 B 点的横坐 标为 1,在 x 轴上求一点 P ,使 +PA PB 最小 . 【答案】⑴ 反比例函数的解析式为 2=y x ; ⑵ 5 03     ,P 72. 【中】(泰州市 2013 年初中毕业、升学统一考试数学试卷 )如图,在平面直角坐标系 xoy 中,直线 2y x= − 与 y 轴相交于点 A ,与反比例函数在第一象限内的图象相交于点 ( 2)B m , . (1)求该反比例函数关系式; (2)将直线 2y x= − 向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点 C,且 ABC△ 的面积为 18 ,求平移后的直线的函数关系式. MO A x y y xO C B A y y x x A A B O O C C B D D 图 1 图 2 S1 S2 36 / 54 【答案】(1)∵点 ( 2)B m , 在直线 2y x= − 上 ∴ 2 2m − = 解得: 4m = ∴点 (4 2)B , 又∵点 (4 2)B , 在反比例函数 ky x = 的图象上 ∴ 8k = ∴反比例函数关系式为: 8y x = (2)设平移后的直线的函数关系式为: y x b= + ,C 点坐标为 8x x     , ∵△ ABC 的面积为 18 ∴ 8 1 1 8 184 2 44 (4) 2 2182 2 2x xx x x  ×+−××−×− −− +=   化简,得: 2 7 8 0x x+ − = 解得: 1 8x = − 2 1x = ∵ 0x > ∴ 1x = ∴C 点坐标为(1,8) 把 C 点坐标(1,8)代入 y x b= + 得: 8 1 b= + ∴ 7b = ∴平移后的直线的函数关系式为: 7y x= + 73. 【中】(巴中市 2013 年高中阶段教育学校招生考试数学试卷)如图 13 ,在平面直角坐 标系 xOy 中,一次函数 ( )0y kx b k= + ≠ 的图象与反比例函数 my x = 的图象交于一,三 象限内的 A B、 两点,直线 AB 与 x 轴交于点 C ,点 B 的坐标为 ( )6 n− , ,线段 OA = 5 , E 为 x 轴正半轴上一点,且 4tan 3AOE =∠ (1)求反比例函数的解析式; (2)求 AOB△ 的面积 y xO E C B A y xO E C B A D 37 / 54 【答案】(1)过点 A 作 AD x⊥ 轴, 在 Rt AOD△ 中,∵ 4 3 ADtan AOE OD ∠ = = , 设 4AD x= , 3OD x= , ∵ 5OA = , 在 Rt AOD△ 中,根据勾股定理解得 4AD = , 3OD = , ∴ 3 4A(,), 把 3 4A(,)代入反比例函数 my x = 中, 解得: 12m = , 则反比例函数的解析式为 12y x = ; (2)把点 B 的坐标为 6 n−( , )代入 12y x = 中, 解得 2n = − , 则 B 的坐标为 6 2− −( , ), 把 3 4A(,)和 6 2B − −(,)分别代入一次函数 0y kx b k= + ≠( )得 3 4 6 2 k b k b + − + −   = ,= 解得 2 3 2 k b   = , = 则一次函数的解析式为 2 23y x= + , ∵点C 在 x 轴上,令 0y = ,得 3x = − 即 3OC = , ∴ 1 134 3292 2AOB AOC BOCS S S= + =××+××=△△ △ . 二、 矩形中的面积问题 74. 【易】(2011 年耀华实验初三四模)如图,正方形 ABOC 的边长为 2 ,反比例函数 ky x = 的图象过点 A ,则 k 的值是( ) A. 2 B. 2− C.4 D. 4− 【答案】B y xB CA O 38 / 54 75. 【易】(2009 年绵阳市中考)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的中心在原点, 顶点 A 、C 在反比例函数 = ky x 的图象上 ∥AB y 轴, ∥AD x 轴,若 ABCD 的面积为 8 , 则 =k ( ) A. 2− B. 2 C. 4− D. 4 【答案】A 76. 【易】(2012 年铁岭)如图,点 A 在双曲线 4=y x 上,点 B 在双曲线 ()0= ≠ky kx 上, ∥AB x 轴,分别过点 A 、 B 向 x 轴做垂线,垂足分别为 D 、C ,若矩形 ABCD 的面积 是8 ,则 k 的值为( ) A.12 B.10 C.8 D.6 【答案】A 77. 【易】如图,双曲线 ()0= >ky kx 经过矩形 OABC 的边 BC 的中点 E ,交 AB 于点 D ,若 梯形 ODBC 的面积为 3,则双曲线的解析式为( ) y xB C A O D A C B DO y x C E DA O y x B 39 / 54 A. 1=y x B. 2=y x C. 3=y x D. 6=y x 【答案】B 78. 【易】(2011 年漳州) 是反比例函数 的图象在第一象限分支上的一个动 点, 轴于点 A, 轴于点 B,随着自变量 x 的增大,矩形 的面积( ) A.不变 B.增大 C.减小 D.无法确定 【答案】A 79. 【易】如图, 、 、 为反比例函数图象上的三个点,分别从 、 、 向 轴 作垂线,构成三个矩形,他们的面积分别是 、 、 ,则 、 、 的大小关系 是( ) A. B. C. D. 【答案】D 80. 【易】(北京市 2013 八中分校初二数学) 如图,四边形 OABC 是平行四边形,点 A在反比例函数 2y x = 上,点 B 在反比例函数 4y x = 上,点C 在 x 轴的正半轴上,四边形 OABC 的面积是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 ( )P x y, 3y x = PA x⊥ PB y⊥ OAPB A B C A B C xy 1S 2S 3S 1S 2S 3S O y A B C x 1 2 3S S S= > 1 2 3S S S< < 1 2 3S S S> > 1 2 3S S S= = O C BA y x 40 / 54 【答案】C 81. 【易】如图, 、 是函数 的图象上关于原点 对称的任意两点, 平行于 轴,交 轴与点 , 平行于 轴,交 轴与点 ,设四边形 面积为 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 82. 【易】如图所示,点 是双曲线 上的一动点,过 作 轴,垂足为 点 ,作 的垂直平分线交双曲线于点 ,交 轴于点 ,当点 在双曲线上从左 到右运动时,四边形 的面积( ) A.逐渐变小 B.由大变小再由小变大 C.由小变大再有大变小 D.不变 【答案】D 83. 【易】(2009 年衡阳市初中毕业学业考试试卷)如图,四边形 OABC 是边长为 1的正方 形,反比例函数 = ky x 的图象过点 B ,则 k 的值为 ___________. A B 1y x = O AC y x C BD y x D ADBC S D xC B A y O 1S = 1 2S< < 2S = 2S > A ()1 0y xx = > A AC y⊥ C AC B x D A ABCD D C B x y O A 41 / 54 【答案】 1− 84. 【易】(2009 年成都市中考)如图,正方形 OABC 的面积是 4 ,点 B 在反比例函数 ( 0 0)= > <,ky k x x 的图象上.若点 R 是该反比例函数图象上异于点 B 的任意一点,过 点 R 分别作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足为 M 、 N ,从矩形 OMRN 的面积中减去其与正方 形OABC 重合部分的面积,记剩余部分的面积为 S .则当 =S m ( m 为常数,且 0 4< <m ) 时,点 R 的坐标是 _______________(用含 m 的代数式表示). 【答案】 48 8 4 2 4 42 − −     − −   ,,,m m m m 85. 【易】(2011 年张家界中考)如图,点 P 是反比例函数 图像上的一点,则矩形 的面积是 __________ 【答案】6 O A C B x y x y O C A B 6y x = PEOF x y EO PF 42 / 54 86. 【易】(2011 年湖南湘西 )如图,已知反比例函数 的图象经过点 . ⑴ 求 k 的值. ⑵ 过点 A 分别作 x 轴和 y 轴的垂线,垂足为 B 和 C,求矩形 的面积. 【答案】⑴ ;⑵ 矩形 的面积 2. 87. 【易】(2009 年昌平二模)如图, 、 是函数 图象上两点,点 、 、 、 分别在坐标轴上,且与点 、 、 构成正方形和长方形.若正方形 的面 积为 6,则长方形 的面积为 __________. 【答案】6 88. 【易】(2010 年北京八中期中)直线 与双曲线 的图像交于 、 两点, 设 点的坐标为 , 则边长分别为 、 的矩形的面积为 ____________, 周长为 ___________. 【答案】 ; . 89. 【易】(2011 年苏州市第十六中学八年级下学期期末模拟考试数学试卷)如图,点 在 函数 的图象上, 轴、 轴,垂足分别为 、 ,则矩形 的面积为 _______. ky x = ( )1 2A , A(1, 2)C BO x y ABOC 2k = ABOC A B ky x = C D E F A B O OCAD OEBF y x F O E D C B A 5y x= − ()4 0y xx = > A B A ( )m n, m n 4 10 P ()2 0y xx = > PA x⊥ PB y⊥ A B OAPB 43 / 54 【答案】 90. 【易】(2009 年北京 161 中期中)如图,点 、 在双曲线 上,分别经过 、 两点向 轴、 轴作垂线段,若 ,则 . 【答案】 91. 【易】(2010 年烟台)如图,在平面直角坐标系中,点 为原点,菱形 的对角 线 在 轴上,顶点 在反比例函数 的图像上,则菱形的面积为 ___________. 【答案】 92. 【易】(2012 年密云二模)如图, 、 两点在反比例函数 的图象上. ⑴ 求该反比例函数的解析式; ⑵ 连结 、 和 ,请直接写出 的面积. B x y O P A 2 A B 3y x = A B x y =1S阴影 1 2S S+ = S2 S1 A O y x B 4 O OABC OB x A 2y x = B x y O A C 4 A B ()0ky xx = > AOBOABAOB△ 44 / 54 【答案】⑴ ∵点 在反比例函数 的图象上, ∴ . ∴反比例函数解析式为 . ⑵ 的面积是 . 93. 【中】(2010 年北海)如图,A 、B 是双曲线 = ky x 上的点分别过 A 、B 两点做 x 轴、y 轴的垂线段, 1S 、 2S 、 3S 分别表示图中三个矩形的面积,若 3 1=S ,且 1 2 4+ =S S ,则 k 的值是( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 94. 【中】双曲线 1 6=y x 与 2 = ky x 在第一象限内的图象如图,作一条平行于 x 轴的直线交 1y 、 2y 于 B 、 A ,连 OA,过 B 作 ∥BC OA ,交 x 轴于 C ,若四边形 OABC 的面积为 3, 则 =k ( ) ( )1 6A , ( 0)my xx = > 1 6 6m xy= =× = 6 ( 0)y xx = > AOB△ 35 2 S3 S2 S1 B x y O A y2= k x y1= 6 x A C BD O y x 45 / 54 A. 2 B. 4 C. 3 D.5 【答案】C 95. 【中】(2012 年贵州黔东南州中考)如图,点 是反比例函数 的图象上 的一点,过点 作平行四边形 ,使点 、 在 轴上,点 在 轴上,则平 行四边形 的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】C 96. 【中】(2012 年首都师大附中第二学期期中考试初二数学)如图,在函数 的图象上,有点 ,若 的横坐标为 ,且以后每点的横坐标 与它前面一个点的横坐标的差都为 ,过点 分别作 轴、 轴 的垂线段,构成若干个矩形如图所示,将图中阴影部分的面积从左到右依次记为 ,则 的值是( ) A. B. C. D. 【答案】D A ()6 0y xx = − < A ABCD B C x D y ABCD O x A B C D y 1 3 6 12 12y x = ( )0x > 123 1n nPPP PP +⋯,,,,, 1P 2 2 123 1n nPPP PP +⋯,,,,, x y 1 2 3 nSSS S⋯,,,, 1 2 3 80SSS S+ + + +⋯ 12 235 26 237 25 320 27 46 / 54 97. 【中】(2011 年首都师大附中第二学期期末考试初二数学)如上右图,正方形 OABC、 ADEF 的顶点 A 、D 、C 在坐标轴上,点 F 在 AB 上,点 B 、E 在函数 ()4 0= >y x x 的 图象上,若阴影部分的面积为 12 4 5− ,则点 E 的坐标是 ______________. 【答案】( )51 51+ −, 98. 【中】(成都市中考题)如图,正方形 OABC 的面积是 4,点 B 在反比例函数 ky x = ( k >0 x <0)的图象上 .若点 R 是该反比例函数图象上异于点 B 的任意一点,过点 R 分别 作 x 轴, y 轴的垂线,垂足为 M N、 ,从矩形 OMRN 的面积中减去其与正方形 OABC 重合部分的面积,记剩余部分的面积为 S .则当 S m= ( m 为常数,且 0< m <4)时, 点 R 的坐标是 _______(用含 m 的代数式表示). 【答案】当 R 点在 B 点左侧时, 8 4,4 2 mR m −   −  ; 当 R 点在 B 左右侧时, 4 8,2 4 mR m −   −  . 99. 【中】(浙江省竞赛题)如图,两个反比例函数 1ky x = 和 2ky x = ( 1k > 2k >0)在第一象 限内的图象依次是曲线 1c 和 2c ,设 P 点在 1c 上,PE x⊥ 轴于点 E ,交 2c 于点 ,A PD y⊥ 轴于点 D ,交 2c 于点 B ,则四边形 PAOB 的面积为( ). G F E D C AO y x B y x CB A O 47 / 54 A. 1 2k k+ B. 1 2k k− C. 1 2k k⋅ D. 1 2 k k 【答案】B 100. 【中】(初三上测试)如图,已知反比例函数 1=y x 的图像上有一点 P ,过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的垂线,垂足分别为 A 、B ,使四边形 OAPB 为正方形.又在反比例函数的图 像上有一点 lP ,过点 lP 分别作 BP 和 y 轴的垂线,垂足分别为 lA 、 lB ,使四边形 l l lBA PB 为正方形,则点 lP 的坐标是 ______________. 【答案】 51 51 2 2  − +     , 101. 【中】(2013 年北京师大附中第二学期期中考试初二数学试卷) 如图,点 是反比例函数 的图象上任意一点, 轴交反比例函数 的图象于点 ,以 为边作平行四边形 ,其中 、 在 轴上,则 ___________. P c2 c1y xO E D B A PlBl Al PB AO y x A ()2 0y xx = > AB x∥ 3y x = − B ABABCD C D x =ABCDS平行四边形 48 / 54 【答案】 102. 【中】(2013 年育英学校八年级第二学期数学期中练习)在反比例函数 的 图象上,有一系列点 , , , , , ,若 的横坐标为 ,且以后每点 的横坐标与它前一个点的横坐标的 ,现分别过点 , , , , , 作 轴 与 轴的垂线段,构成若干个矩形如图所示,将图中阴影部分的面积从左到右依次记 为 , , , , ,则 _______, ______.(用 的代 数式表示 ) 【答案】 , 103. 【中】如图,点 A 在双曲线 上,点 B 在双曲线 上,且 轴,C、D 在 x 轴上,若四边形 为矩形,则它的面积为 __________. 【答案】2 y x y=- 3 x y= 2 x B A C O D 5 12 ( 0)y xx = > 1A 2A 3A ⋯ nA 1nA + 1A 2 2 1A 2A 3A ⋯ nA 1nA + x y 1S 2S 3S ⋯ nS 1S = 1 2 3 ... nSSS S+ + ++ = n 8642 S3 S2 S1 A4 A3 A2 A1 O x y 6 12 1 n n + 1y x = 3y x = AB x∥ ABCD 49 / 54 104. 【中】(2012 广东深圳中考)如图 5,双曲线 与 在第一象限内交于 P、 Q 两点,分别过 P、Q 两点向 x 轴和 y 轴作垂线,已知点 P 坐标为 ,则图中阴影 部分的面积为 ____________. 【答案】4 105. 【中】反比例函数 的图像如图所示,P 是图像上的任意点,过点 P 分别做两坐 标轴的垂线,与坐标轴构成矩形 ,点 D 是对角线 上的动点,连接 、 , 则图中阴影部分的面积是 _________ 【答案】 106. 【中】(东城区 2013 学年度第二学期期末初二数学教学梳一检测) 如图 1 在直角坐标系 xOy 中,反比例函数 ()0my xx = > 的图象经过点 A、B ,过点 A作 x 轴的垂线,垂足为点 ( )1 0C , . ⑴ 若 AOC△ 的面积是 2 ,则 m 的值为 ______;若OB OA= ,则点 B 的坐标是 ______. ⑵ 在⑴的条件下,AB 所在直线分别交 x 轴、y 轴于点 M ,N ,点 P 在 x 轴上,PE AB⊥ 于点 E , EF y⊥ 轴于点 F . ( 0)ky kx = > O⊙ ( )1 3, 5y x = − OAPBOPDADB -2 D BP A O x y 5 2 50 / 54 ①若点 P 是线段 OM 上不与 O , M 重合的任意一点, PM a= .当 a 为何值时, PM PF= ? ②若点 P 是射线 OM 上的一点,设 P 点的横坐标为 x ,由 P , M , E , F 四个点组成 的四边形的面积为 y ,试写出 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围. 图 1 备用图 【答案】( 1)4, ( )4 1, (2)① 20 10 3− ②当 ( )( )5 15 8 x xy − −= 时, 0 5x≤ ≤ 当 ( )( )5 3 5 8 x xy − −= 时, 5x > 107. 【中】(北京市 2013 八中分校初二数学) 如图 1,矩形 ABCD 的边 BC 在 x 轴的正半轴上,点 ( )1E m , 是对角线 BD 的中点,点 A、 E 在反比例函数 ky x = 的图象上. (1) AB 的长为 _________. (2)(如图 2)当矩形 ABCD 是正方形时,将反比例函数 ky x = 的图象沿 y 轴翻折,得 到反比例函数 1ky x = 的图象,求 1k 的值;(要写出计算过程) (3)直线 y x= − 上有一长为 2 动线段 MN,作 MH、 NP 都平行 y 轴交在条件(2) 下,第一象限内的双曲线 ky x = 于点 H 、 P ,问四边形 MHPN 能否为平行四边形(如 图 3)?若能,请求出点 M 的坐标;若不能,请说明理由. A y x A C x y O O 51 / 54 【答案】( 1)2; (2)设 B 点坐标为:( )0x, ,则 A 点坐标为:( )2x, ,E 点坐标为:( )1 1x + , 又因为点 A 和点 E 都在反比例函数 ky x = 上,所以 2 ( 1) 1x x= + × ,解得 1x = ;将点 ( )A 1 2, 代入反比例函数 ky x = 中,得到 2k = ,又因为反比例函数 1ky x = 与反比例函数 ky x = 关于 y 轴对称,所以 1 2k = − . (3)M( )1 1−, . 108. 【中】如图,已知正方形 的面积为 9,点 为坐标原点,点 在 轴上,点 在 轴上,点 在函数 ( , )的图像上,点 ( , )为其双曲线上的 任一点,过点 分别作 轴、 轴的垂线,垂足分别为 、 ,并设矩形 和 正方形 不重合部分的面积为 . ⑴ 求 点的坐标和 的值; ⑵ 当 时,求 点坐标; ⑶ 写出 关于 的函数关系式. 【答案】⑴设 点坐标为 ( , ).则由条件,得 , ,解方程组得 , , 点 的坐标是 ( , ).又由 ,得 . 图1 E D CB A O y x 图2 x y O A B C D E y=-x 图3 N M PH x y O OABC O A x C y B ky x = 0k > 0x > P m n P x y E F OEPF OABC S B k 9 2S = P S m P SF EO C B A y x B x y 9xy = 0x y= > 3x = 3y = B 3 3 ky x = 9k xy= = 52 / 54 甲 乙 ⑵点 的坐标为 ( , ). 当 时,如图甲, , . ∴当 时,有 , 即 .解得 . 故 点的坐标为 . 当 时,如图乙, , . ∴当 时,有 .即 .解得 . 即 点的坐标为 . ⑶参照第⑵题可知,当 时,如图甲, ; 当 时,如图乙, . 109. 【中】在函数 的图像上取三点 、 、 ,由这三点分别向 轴、 轴 作垂线 ①设矩形 、 、 的面积分别为 、 、 ,试比较三者大小. ②设梯形 , 的面积,分别为 , ,试比较二者的大小. ③设 的面积为 ,梯形 的面积为 ,试比较二者的大小. P m n 3m≥ 3AE m= − 1 9PE n m = = 9 2S = 1 9 2AE PE⋅ = () 9 93 2m m − ⋅ = 6m = 1P 36 2      , 0 3m< < 2P F m= 93 3FC n m = −= − 9 2S = 2 9 2P F FC⋅ = 9 93 2m m  ⋅ − =   3 2m = 2P 3 62      , 3m≥ ()1 9 273 9S AEPE m m m = ⋅ = −⋅=− 0 3m< < 2 9 3 9 3SPFFCm mm  = ⋅ =⋅ −=−   ()0ky xx = > A B C x y 1 2AA OA 1 2BB OB 1 2CC OC AS BS CS 2 2AA B B 1 1AA B B 2 2AA B BS 1 1AA B BS AOB△ AOBS△ 1 1AA B B 1 1AA B BS P 1 SF EO C B A y x P 2 S F EO C B A y x 53 / 54 【答案】① ;② ;③ 110. 【中】(2010 年北京七中期中)如图,已知正方形 的面积为 ,点 为坐标原 点,点 、 分别在 轴、 轴上,点 在函数 在一象限的图象上,点 是函数 在一象限的图象上任意一点,过 分别作 轴、 轴的垂线,垂足为 、 ,设矩形 在正方形 以外的部分的面积为 S. ⑴求 点坐标和 的值; ⑵当 时,求点 的坐标; ⑶写出 关于 的函数关系式. 【答案】⑴ 点坐标 , ; ⑵当 时, .,同理可得:当 时, ⑶ 111. 【中】过原点作直线交双曲线 ()0= >ky k x 于点 A 、C 过 A 、C 分别作两坐标轴的平行 线,围成矩形 ABCD,如图所示. ①知矩形 ABCD 的面积等于 8 ,求双曲线的解析式; C2 B2 A2 C1B1A1O C B A y x A B CS S S= = 22 11AABB AABBS S= 1 1 =AOB AA B BS S△ OABC 4 O A C x y B ky x = ( )P m n, ky x = P x y E F OEPFOABC P(m,n) B x y O A C E F B k 3S = P S m B ( )2 2, 4k = 2m > 18 2P     , 0 2m< < 1 82P     , 4 2(0 2) 84 ( 2) m m S mm − < <=  − ≥ 54 / 54 ②若已知矩形 ABCD 的周长为 8 ,能否由此确定双曲线的解析式?如果能够确定,请予 求出;如果不能确定,试说明原因. 【答案】① 2=y x ;②无法确定. 112. 【中】(北京市东城区(南片)2013 学年下学期八年级期末数学考试)在直角坐标平面 内,反比例函数 my x = 的图象经过点 ( )1 4A , 、 ( )B a b, ,过点 A作 x 轴垂线,垂足为 C , 过点 B 作 y 轴垂线,垂足为 D . ⑴ 求反比例函数的解析式; ⑵ 若以 A、 B 、 C 、 D 为顶点的四边形是菱形,点 B 的坐标是 ______;若以 A、 B 、 C 、 D 为顶点的四边形是等腰梯形,点 B 的坐标是 ______; ⑶ ABD△ 的面积为 4 ,求点 B 的坐标. 【答案】( 1) 4y x = (2) ( )2 2, ; ( )4 1, 或 ( )4 1− −, (3) 43 3     , 或 ( )1 4− −, D O C B A y x

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