1 / 46 二二二二次函数的定义次函数的定义次函数的定义次函数的定义、、、、图象与性质图象与性质图象与性质图象与性质 一、 二次函数的定义 二、 二次函数的图象 三、 二次函数的性质 1. 点的坐标（顶点坐标及与 x y， 轴交点） 2. 二次函数的系数与图像的关系 3. 二次函数的单调性 4. 二次函数性质综合 一、 二次函数的定义 1. 【易】（2011 年河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料）下列函数关系中，是二 次函数的是 ( ) A．在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体质量 x 之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系 C．等边三角形的周长 C 与边长 a 之间的关系 D．圆心角为 120 ° 的扇形面积 S 与半径 R 之间的关系 【答案】D 2. 【易】下列函数关系中，可以看作二次函数 ( )2 0y ax bx ca= ++ ≠ 模型的是（ ） A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B．我国人口的自然增长率为 1% ，这样我国总人口数随年份变化的关系 C．矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D．圆的周长与半径之间的关系 【答案】C 3. 【易】下列具有二次函数关系的是（ ） A．正方形的周长 y 与边长 x B．速度一定时，路程 s 与时间 t C．三角形的高一定时，面积 y 与底边长 x D．正方形的面积 y 与边长 x 【答案】D 4. 【易】自由落体 21 2 h gt= （ g 为常量）， h 与t 之间的关系是（ ） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上答案都不对 【答案】C 5. 【易】函数 2y ax bx c= + + （ a b c， ， 是常数）是二次函数的条件是（ ） 2 / 46 A． 0 0 0a b c≠ ≠ ≠，， B． 0 0 0a b c< ≠ ≠，， C． 0 0 0a b c> ≠ ≠，， D． 0a ≠ 【答案】D 6. 【易】（2012 年海淀区九年级第一学期期中练习）一元二次方程 23 4 5 0xx − − = 的二次 项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．3 4 5− −，， B．3 4 5−， ， C．3 4 5， ， D．3 4 5−，， 【答案】A 7. 【易】（虹口区第一学期初三年级数学学科）下列函数中，是二次函数的为（ ） A． 2 1y x= + B． 2 2( 2)y x x= − − C． 2 2y x = D． 2 ( 1)y x x= + 【答案】D 8. 【易】（2010 年北京 166 中学初三上期中）下列函数中 y 是 x 的二次函数的是（ ） A． 2 1 2 1y x x = + + B． 2 13 1 2 y x x= + + C． 2 2 3y x x= + + D． 2 2 1y ax x= + + 【答案】B 9. 【易】下列函数不属于二次函数的是（ ） A． ( )( )1 2y x x= − + B． ()21 1 2 y x= + C． 21 3y x= − D． ()2 22 3 2y x x= + − 【答案】D 10. 【易】（2011 年北京市日坛中学初三期中）已知函数 () 2 22 my m x −= + 是二次函数，则m 等于（ ） A． 2± B． 2± C． 2− D．2 【答案】D 11. 【易】若 () 2 22 my m x −= − 是二次函数，则 m 等于（ ） A． 2± B． 2 C． 2− D．不能确定 【答案】C 12. 【中】若 ( ) 22 2 1a ay a ax − −= + 是二次函数，那么（ ） A． 1a = − 或 3a = B． 1a ≠ − 且 0a ≠ C． 1a = − D． 3a = 3 / 46 【答案】D 13. 【中】（天津市耀华嘉诚第一学期九年级第二次月考）函数 2 4( 2) ( 3)m mymx mxm− −=+ +−+ 是二次函数，则 m 的值为（ ） A．1 或 6− B．1 C． 2− 或 3 D．3 【答案】D 14. 【易】已知二次函数 ()23 2 1y x= − + ，当 3x = 时， y 的值为（ ） A． 4 B． 4− C． 3 D． 3− 【答案】A 15. 【易】说出下列二次函数的二次项系数 a ，一次项系数 b 和常数项 c ⑴在 25 2y x x= + 中， a = ________，b = ________，c = ________． ⑵在 ()22 3 4y x= − + 中， a = ________，b = ________，c = ________． 【答案】⑴5 2 0， ， ⑵ 2 12 22−，， 16. 【中】已知函数 () 2 11 3mym x x+= − + ，当 m = _______ 时，它是二次函数． 【答案】 1− 17. 【中】 m = ________，函数 ( ) 22 1 8m my m x mx−= − −− 是二次函数． 【答案】 2 18. 【中】如果函数 () 2 21 1k ky k x kx− +=− +− 是关于 x 的二次函数，则 k =________ ． 【答案】0 19. 【中】 ( ) ()2 2 22 3 1ym m x m xm= −− +−+ 是关于 x 的二次函数要满足的条件是 ________． 【答案】 3m ≠ 且 1m ≠ − 20. 【中】（2012 年北京四中第一学期初三年级数学期中试卷）已知 2 2 1( 1) ( 3)m mymx mxm− −=+ +−+ ，当 m 为何值时，是二次函数？ 【答案】依题设，若原函数为二次函数，则有 2 1 0 2 1 2 m m m + ≠  − − = 解得 3m = 4 / 46 二、 二次函数的图象 21. 【易】函数 2 1y x= − + 的图象大致为（ ） 【答案】B 22. 【易】（2011 年昭通）函数 2y ax a= + 与 ()0ay ax = ≠ ，在同一坐标系中的图象可能是 （ ） 【答案】D 23. 【易】（2013 年南宁市初中毕业升学考试数 学试卷）已知二次函数 ()² 0y ax bx c c= ++ ≠ 的图像如图所示，下列说法错误的是：（ ） A．图像关于直线 1x = 对称 B．函数 ()² 0y ax bx c c= ++ ≠ 的最小值是 4− C． 1− 和 3 是方程 ()² 0 0ax bx c c+ += ≠ 的两个根 D．当 1x < 时， y 随 x 的增大而增大 DCBA y -1 O y x -1 xOx y O 1 y O x 1 A B C D x y OO x y O x yy xO 5 / 46 【答案】D 24. 【易】（黔东南州 2013 年初中毕业升学统一考试数学试题）二次函数 2y ax bx c= + + 的 图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． 0a < ， 0b < ， 0c > ， 2 4 0b ac− > B． 0a > ， 0b < ， 0c > ， 2 4 0b ac− < C． 0a < ， 0b > ， 0c < ， 2 4 0b ac− > D． 0a < ， 0b > ， 0c > ， 2 4 0b ac− > 【答案】D 25. 【易】（2012 学年度第一学期西城实验学校初三数学期中检测试题 ）函数 2y ax= 与 ( )0 0y ax b a b=+ > >， 在同一坐标系中的大致图象是（ ） 【答案】C 26. 【易】（三帆中学 2011—2012 学年度九年级上数学期中测试题）在同一坐标系中，一次 函数 y ax b= + 与二次函数 2y bx a= + 的图象可能是（ ） y xO xO y O y x O x x y O y A B C D 6 / 46 【答案】C 27. 【易】（2009 年普陀区九年级上期末考试）如果一次函数 y ax b= + 的图像经过二、三、 四象限，那么二次函数 2y ax bx= + 的图像只可能是（ ） 【答案】C 28. 【易】（天津市耀华嘉诚第一学期九年级第二次月考）在同一直角坐标系中，一次函数 y mx n= + 和二次函数 2y mx n= + 的图像大致为( ) 【答案】D 29. 【易】（2011 年北京市月坛中学初三年级第一学期数学期中试卷）函数 2 2 1y ax x= − + 和 y ax a= + （ a 是常数，且 0a ≠ ）在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ） DCBA y O y xxOx y O y O x x O y O y x O x x y O y A B C D xO y O y x O x x y O y A B C D 7 / 46 【答案】A 30. 【易】如图所示，当 0b < 时，函数 y ax b= + 与 2y ax bx c= + + 在同一坐标系内的图象 可能是 【答案】B 31. 【易】（2011 年昌平二中初三期中考试试卷）二次函数 2 ( 0)y ax bx c a= ++ ≠ 与 y ax c= + 的图象为下图中的（ ） 【答案】D 32. 【中】（2011 年北京市第十三中学九年级数学期中）如图，如果函数 y kx b= + 的图象在 第二、三、四象限，那么函数 2 1y kx bx= + − 的图象大致是（ ） DCBA y O y xx O x y O y O x xO y O y x O x x y O y AB C D D．C．B．A． x y O OO x yy x y x O 8 / 46 【答案】D 33. 【中】（北京 154 中学初三（上）数学期中试卷）在同一直角坐标系中，函数 y mx m= + 和函数 2 2 2y mx x=− + + （ m 是常数，且 0m ≠ ）的图象可能．．是（ ） 【答案】D 34. 【中】（鄂州市 2013 年初中毕业生学业水平考试数学试题）小轩从如图所示的二次函数 ( )2 0y ax bx ca= ++ ≠ 的图象中，观察得出了下面五条信息：① 0ab > ，② 0a b c+ + < ， ③ 2 0b c+ > ，④ 2 4 0a b c− + > ，⑤ 3 2 a b= ．你认为其中正确信息的个数有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】D 35. 【中】（2011 年北京市第 156 中学初三期中）已知：a b c> > ，且 0a b c+ + = ，则二次 函数 2y ax bx c= + + 的图象可能是下列图象中的（ ） OO O O -1-1 11 xxxx yyyy y xO x= 1 3 2 1 1 b B A 9 / 46 【答案】C 36. 【中】（2013 年十堰市初中毕业生学业考试数学试题）如图，二次函数 ( )2 0y ax bx ca= ++ ≠ 的图象的顶点在第一象限，且过点 ( )0 1， 和 ( )1 0− ， ．下列结论： ① 0ab < ，② 2 4b a> ，③0 2a b c< + + < ，④ 0 1b< < ，⑤当 1x > − 时， 0y > ，其中正 确结论的个数是（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【答案】B ∵二次函数 2 0y ax bx c a= ++ ≠（ ）过点 0 1（ ， ）和 1 0−（ ， ）， ∴ 1c = ， 0a b c− + = ． ①∵抛物线的对称轴在 y 轴右侧，∴ 0 2 bx a = − ＞ ， ∴ a 与b 异号，∴ 0ab ＜ ，正确； ②∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点，∴ 2 4 0b ac− ＞ ， ∵ 1c = ，∴ 2 4 0b a− ＞ ， 2 4b a＞ ，正确； ④∵抛物线开口向下， 0a∴ ＜ ， 0ab∵ ＜ ， 0b∴ ＞ ． ∵ 0a b c− + = ， 1c = ， 1a b∴ = − ， ∵ 0a＜ ， 1 0b∴ − ＜ ， 1b＜ ， ∴ 0 1b＜ ＜ ，正确； ③ 0a b c− + =∵ ， a c b∴ + = ， ∴ 2 0abc b+ + = ＞ ． ∵ 1b＜ ， 1c = ， 0a＜ ， ∴ 1 11 2022abcab a a++=++ ++=+ +=＜ ＜ ， ∴ 0 2a b c+ +＜ ＜ ，正确； ⑤抛物线 2y ax bx c= + + 与 x 轴的一个交点为 1 0−（ ， ）， A B C D 1 1 1 1 11 11O O OO x xxx yy yy y xO -1 1 10 / 46 设另一个交点为 0x（ ， ），则 0 0x ＞ ，由图可知，当 0 1x x −＞ ＞ 时， 0y＞ ，错误； 综上所述，正确的结论有①②③④． 37. 【中】（2010 年北京东城期末）设 0b > ，二次函数 2 2 1y ax bx a= + + − 的图象为下列之 一 则 a 的值为（ ） A． 1 5 2 − − B． 1 5 2 − + C． 1− D． 1 【答案】C 38. 【中】（2011 年东城二模）用 { }min a b， 表示 a b， 两数中的最小数，若函数 2 2min{ 1,1 }y x x= − − ，则 y 的图象为（ ） 【答案】A 39. 【中】（2011 年威海）二次函数 2 2 3y x x= − − 的图象如图所示．当 0y < 时，自变量 x 的取值范围是（ ） 1 2 y xO21 O y x y O x-1 1x y O 1-1 x y 0 A 1-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 x y 0 B x y 0 C x y 0 D 321 -1 y O x-1 1 11 / 46 A． 1 3x− < < B． 1x < − C． 3x > D． 3x < − 或 3x > 【答案】A 40. 【易】在平面直角坐标系中用描点发画二次函数 2 2 3y x x= − + 的图象． 【答案】略 41. 【易】⑴ 在同一直角坐标系下，画出二次函数 2 2 21 2 yxy xy x= =− =−，， 和 22y x= 的 图象． ⑵ 在同一直角坐标系下，画出二次函数 2 2 1y x y x= = +， 和 2 1y x= − 的图象． 【答案】 42. 【易】画出下列函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值 ⑴ 21 2 1 2 y x x= − + ；⑵ 22 8 8y x x=− + − . 【答案】⑴ 将函数 21 2 1 2 y x x= − + 转化为顶点式： 21 2 1 2 y x x= − + 21 ( 2) 1 2 x= − − 所以，函数图象开口向上，对称轴为 2x = ，顶点坐标为 ( )2 1E −， ，最小值 1y = − . 与 y 轴的交点 ( )0 1A ， ；点 A 关于对称轴对称的点 ( )4 1B ， . 与 x 轴的交点：令 21 2 1 0 2 x x− + = ，解得： 1 2 2x = + ， 2 2 2x = − . -1 1 1 y=x 2-1 y=x2+1 y=x2 y=- 1 2 x2y=-x 2 y=x 2 y=2x 2 9 4 4 1 3 2- 3 2 -2 -1 21 OO y x y x 4 E D C BA 图2 O y x 31 E DC BA 图3 O y x 12 / 46 即：与 x 轴的交点为： ( )2 2 0C + ， ， ( )2 2 0D − ， 所以函数图象如图⑵； (2) 将函数 22 8 8y x x=− + − 转化为顶点式： 22 8 8y x x=− + − 22( 2)x= − − 所以，函数图象开口向下，对称轴为 2x = ，顶点坐标为 ( )2 0E ， ， 最大值 0y = ， 与 y 轴的交点 ( )0 8A −， ；点 A 关于对称轴对称的点 ( )4 8B −， ， 与 x 轴的交点：令 22 8 80x x− + −= ，解得： 1 2 2x x= = ，. 即：与 x 轴的交点为： (2 ， 0) ， 当 1x = 时， 2y = − ；当 3x = ， 2y = − ．设 ( )1 2C −， ， ( )3 2D −， ． 所以函数图象如图⑶． 三、 二次函数的性质 1. 点的坐标 43. 【易】（2011 年哈尔滨中考）在抛物线 2 1y x= − + 上的一个点是( ) A． ( )1 0， B． ( )0 0， C． ( )0 1−， D．( )1 1， 【答案】A 44. 【易】（浦东区九年级第一学期期末）对于抛物线 ()22y x= + ，下列说法正确的是（ ） A．最低点坐标是 ( )2 0− ， B．最高点坐标是 ( )2 0− ， C．最低点坐标是 ( )0 2−， D．最高点坐标是 ( )0 2−， 【答案】A 45. 【易】（2012 年北京市西城区第一学期期末试卷）抛物线 2( 1) 1y x= − + 的顶点坐标为 （ ） A． ( )1 1， B． ( )1 1−， C． ( )1 1− ， D．( )1 1− −， 【答案】A 46. 【易】（2012 年大兴区第一学期期末检测试卷）抛物线 22( 2) 5y x= − − 的顶点坐标是 （ ） 13 / 46 A． ( )5 2− −， B． ( )2 5− −， C． ( )2 5−， D．( )5 2− ， 【答案】C 47. 【易】（2011 年京市第一六六中学第一学期期中考试试卷）对于抛物线 21 ( 5) 33y x=− − + ， 下列说法正确的是（ ） A．开口向下，顶点坐标 ( )5 3， B．开口向上，顶点坐标 ( )5 3， C．开口向下，顶点坐标 ( )5 3− ， D．开口向上，顶点坐标 ( )5 3− ， 【答案】A 48. 【易】（2013 年兰州市初中毕业生数学学业考试）二次函数 22 1 3y x=− − +（） 的图象的 顶点坐标是（ ） A．（ 1，3） B．（ 1− ，3） C．（ 1， 3− ） D．（ 1− ， 3− ） 【答案】A 49. 【易】（上海市初中毕业统一学业考试）抛物线 ()22y xm n= + + （ m n， 是常数）的顶 点坐标是（ ） A． ( )m n， B． ( )m n− ， C． ( )m n−， D． ( )m n− −， 【答案】B 50. 【易】（泰安市高中段学校招生考试）抛物线 22 8 1y x x=− + − 的顶点坐标为（ ） A． ( )2 7− ， B． ( )2 25− −， C． ( )2 7， D．( )2 9−， 【答案】C 51. 【易】（2012 年广西北海中考）已知二次函数 2 4 5y x x=− − − 的顶点坐标为（ ） A． ( )2 1− −， B． ( )2 1， C． ( )2 1−， D．( )2 1− ， 【答案】A 52. 【易】（天津市耀华中学初三第二次月考）二次函数 2 2 3y x x= − − 的对称轴和顶点坐标 分别是（ ） A． 1x = − ， ( )1 4− −， B． 1x = ， ( )1 4−， 14 / 46 C． 1x = − ， ( )1 4− ， D． 1x = ， ( )1 4， 【答案】B 53. 【易】（中考浙江温州）抛物线 2 3 2y x x= − + 与 y 轴交点的坐标是（ ） A． ( )0 2， B． ( )1 0， C． ( )0 3−， D．( )0 0， 【答案】A 54. 【中】若抛物线 2 2y x xm= − + 的最低点的纵坐标为 n ，则 m n− 的值是（ ） A． 1− B． 0 C．1 D． 2 【答案】C 55. 【中】（天津市耀华中学初三第二次月考）已知抛物线 ( )2 2 9yx k x= − + + 的顶点在坐 标轴上，则 k 的值共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 56. 【中】（2011 年第一学期期中考试）抛物经 ( )2 0y x x pp= ++ ≠ 与 x 轴相交，其中一个 交点的横坐标是 P ，那么该抛物线的顶点的坐标是（ ） A． ( )0 2−， B． 1 9 2 4  −   ， C． 1 9 2 4  −   ， D． 1 9 2 4  − −   ， 【答案】D 57. 【易】（2011 年河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料）抛物线 ()22y x= − 的顶 点坐标是 __________． 【答案】( )2 0， 58. 【易】（郴州市初中毕业考试试卷）抛物线 ()23 1 5y x=− − + 的顶点坐标为 __________． 【答案】( )1 5， 59. 【易】（2011 年深圳实验初二下期末）二次函数 ()22 3 5y x= − − 的顶点坐标为 ． 【答案】( )3 5−， 15 / 46 60. 【易】（2011 年淮安）抛物线 2 2 3y x x= − + 的顶点坐标是 ． 【答案】( )1 2， 61. 【易】（2010 北京二中初三上质量检测）抛物线 2 2 8y x x= − − 与 y 轴 的交点坐标为 ________ 【答案】( )0 8−， 62. 【易】二次函数 2 2 3y x x= + − 的顶点坐标为 _______________，它与 x轴的交点坐标为 ____________ 与 y 轴的交点坐标为 ________________． 【答案】( )1 4− −， ； ( ) ( )30 10− ，，， ；( )0 3−， 63. 【易】（卢湾区九年级上期末）抛物线 21 ( 2) 1 2 y x= − − 与 y 轴的交点坐标是 ． 【答案】( )0 1， 64. 【易】已知抛物线 ( )2 1yx m xm= − + + 与 y 轴交于点 ( )0 3P −， ，则 m = ． 【答案】 3m = − 65. 【中】（2010 年海淀区二模）若抛物线 2 6yx xk= − + 的顶点的纵坐标为 n ，则 k n− 的 值为 ． 【答案】9 66. 【易】（西城一模）已知抛物线 2 ( 2) 3 20y x m xm=−+ + + − 经过点 (1 3)−， ，求抛物线 与 x 轴交点的坐标及顶点的坐标． 【答案】∵抛物线 2 ( 2) 3 20y x m xm=−+ + + − 经过 (1 3)−， 点， ∴ 21 ( 2)3 20 3m m−+ + + − =− ． 整理，得 4 19 3m − = − ． 解得 4m = ∴二次函数的解析式为 2 6 8y x x=− + − 令 0y = ，可得 2 6 8 0x x− + −= ． 16 / 46 解得 1 22, 4x x= = ∴抛物线与 x 轴的交点坐标为 (2 0) (4 0)，，， ∵ 2 26 8 ( 3) 1yxx x=− + −=− − + ， ∴抛物线的顶点坐标为 ( )3 1， 2. 二次函数系数与图像的关系 67. 【易】（2011 年北京市日坛中学初三期中）已知二次函数 ( )2 0y ax bx c a= ++ ≠ 的图象 如图所示，有下列四个结论正确的是（ ） A． 0a > B． 0b < C． 0c < D． 2 4 0b ac− < 【答案】B 68. 【易】（2011 年第一学期西城实验学校初三年级数学期中检测试题）已知二次函数 2y ax bx c= + + 的图象如图所示，则 a 、b 、 c 满足（ ） A． 0 0 0a b c< < <，， B． 0 0 0a b c< < >，， C． 0 0 0a b c< > >，， D． 0 0 0a b c> < >，， 【答案】C 69. 【易】（2011 年北京市第八十中学第一学期初三）已知二次函数 2y ax bx c= + + 的图象 如图所示，那么下列错误的是（ ） 4题 O 1 y x x y O 17 / 46 A． 0a < B． 0c > C． 2 4 0b ac− > D． 0ab < 【答案】D 70. 【易】（2012 年初三深圳实验第一次月考）已知抛物线 ( )2 0y ax bx ca= + + ≠ 在平面直 角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A． 0a > B． 0b < C． 0c < D． 0a b c+ + > 【答案】D 71. 【易】（枣庄市全市高中段招生统一考试）二次函数 2y ax bx c= + + 的图象如图所示， 则下列关系式中错误．．的是（ ） A． 0a < B． 0c > C． 2 4 0b ac− > D． 0a b c+ + > 【答案】D 72. 【易】（2013 年实验中学部月考）已知抛物线 ( )2 0y ax bx ca= + + ≠ 在平面直角坐标系 中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） y xO O y x1 1-1 x y O O y x1 18 / 46 A． 0a > B． 0b < C． 0c < D． 0a b c+ + > 【答案】D 73. 【易】（2012 年海淀区九年级上期末）已知二次函数 2y ax bx c= + + 的图象如右图所示， 则下列结论中正确的是 ( ) A． 0a > B． 0c < C． 042 <− acb D． 0a b c+ + > 【答案】D 74. 【易】（2011 年河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料）二次函数 2y ax bx c= + + （ 0a ≠ ）的图象如图所示，则下列结论： ① 0a > ； ② 0c > ； ③ 2 4 0b ac− > ，其中正确的个数是（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】C 75. 【易】（2013 年襄阳市初中毕业生学业考试数学试题）二次函数 2y x bx c=− + + 的图像 如图所示：若点 ( )1 2A x y， ， ( )2 2B x y， 在此函数图像上， 1 2 1x x< < ，则 1y 与 2y 的大小 关系（ ） A． 1 2y y≤ B． 1 2y y< C． 1 2y y≥ D． 1 2y y> 1 1 xO y O x y 19 / 46 【答案】B 76. 【易】（2013 年湖南省株洲中考数学题）二次函数 22 8y x mx= + + 的图象如图所示，则 m 的值是（ ） A． 8− B． 8 C． 8± D． 6 【答案】B 77. 【易】（湖南省张家界市 2013 年初中毕业学业考试数学试卷）若正比例函数 y mx= ( )0m ≠ ， y 随 x 的增大而减小，则它和二次函数 2y mx m= + 的图象大致是（ ） 【答案】A 78. 【易】（2013 年长沙市初中毕业学业水平考试数学试卷）二次函数 2y ax bx c= + + 的图 象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） A． 0a > B． 0c = C． 2 4 0b ac− > D． 0a b c+ + > 【答案】D 1 y xO y xOA A B C D O O O O x x x x yyyy 20 / 46 79. 【易】(吉林省 2013 年初中毕业生学业考试数学试题 )如图，在平面直角坐标系中，抛 物线所表示的函数解析式为 ()22y xh k=− − + ，则下列结论正确的是（ ） A． 0h > ， 0k > B． 0h < ， 0k > C． 0h < ， 0k < D． 0h > ， 0k < 【答案】A 80. 【易】（2011 年河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料）如图 1 所示的抛物线是 二次函数 2 23 1y ax x a= − + − 的图象，那么 a 的值是 【答案】 1− 81. 【易】（2011 年四川雅安中考）已知二次函数 2y ax bx c= + + 的图像如图，其对称轴 1−=x ，给出下列结果① 2 4b ac> ；② 0>abc ；③ 2 0a b+ = ；④ 0a b c+ + > ； ⑤ 0a b c− + < ，则正确的结论是（ ） 1 1 y xO y xO 21 / 46 A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤ 【答案】D 82. 【中】（2012 年九年级第一模拟试题）小明从二次函数 2y ax bx c= + + 的图象（如图） 中观察得到了下面五条信息：① 0c < ； ② 0abc > ；③ 0a b c− + > ；④ 2 3 0a b− = ； ⑤ 4 0c b− > ；你认为正确的信息是 ( ) A． ①②③⑤ B． ①②③④ C． ①③④⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 83. 【中】（2011 年北京市朝阳外国语学校初二期中）已知二次函数 2y ax bx c= + + 的图象 如右图，下列结论正确的是（ ） ① 0abc > ；② 2 4 0b ac− > ；③ 2 0a b+ > ；④ 4 2 0a b c− + < A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 84. 【中】（2013 山东滨州）如图，二次函数 2y ax bx c= + + （ 0a ≠ ）的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，且对称轴为 1x = ，点 B 坐标为 ( )1 0－ ， ．则下面的四个结论： 3 2 1 1O x y x= 1 3 -1 xO y 1 -1 1 x y 22 / 46 ① 2 0a b+ = ；② 4 2 0a b c− + ＜ ；③ 0ac > ；④当 0y＜ 时， 1x < − 或 2x＞ ．其中正确的 个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B. 85. 【中】（德州市 2013 年初中学业考试数学试题）函数 2y x bx c= + + 与 y x= 的图象如图 所示，有以下结论： ① 2 4 0b c− > ；② 1 0b c+ + = ；③ 3 6 0b c+ + = ；④当1 3x< < 时， ( )2 1 0x b xc+ − +< ； 其中正确的个数是：（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 86. 【中】(2013 年齐齐哈尔市初中学业考试数学试卷 )数形结合是数学中常用的思想方法， 试运用这一思想方法确定函数 2 1y x= + 与 3y x = 的交点的横坐标 0x 的取值范围是（ ） A． 00 1x< < B． 01 2x< < C． 02 3x< < D． 01 0x− < < 【答案】B 87. 【中】(2013 年山东日照初中学业考试 )如图，已知抛物线 2 1 4y x x= − + 和直线 2 2y x= ．我 们约定：当 x 任取一值时， x 对应的函数值分别为 1y 、 2y ，若 1 2y y≠ ，取 1y 、 2y 中的 较小值记为 M ；若 1 2y y= ，记 1 2M y y= = ． -1 x=1 C B A O x y 3 3 1 1 O x y 23 / 46 下列判断： ①当 2x > 时， 2M y= ；②当 0x < 时， x 值越大， M 值越大； ③使得 M 大于 4 的 x 值不存在；④若 2M = ，则 1x = ．其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 88. 【中】（菏泽市 2013 年初中学业水平考试）已知 0b < ，二次函数 2 2 1y ax bx a= + + − 的 图像为下列四个图像之一，试根据图像分析， a 的值应等于（ ） A． 2− B． 1− C．1 D．2 【答案】C 89. 【中】（2011 年北京市第一六六中学第一学期期中考试试卷）已知二次函数 2 ( 0)y ax bx ca= ++ ≠ 的图象如图所示，给出以下结论：① 0abc < ②当 1x = 时，函数有 最大值．③当 1x = − 或 3x = 时，函数 y 的值都等于 0．④ 4 2 0a b c+ + < 其中正确结论的 个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 4 y1 y2 y xO 2 A B C D 1 1-1 -1 O O O O y x y x y xx y -1 O y x3 24 / 46 90. 【中】（2011 年北京市第十三中学九年级数学期中）如图所示，二次函数 ()2 0y ax bx c a= + + ≠ 的图像经过 ()1 2− ， ，且与 x轴交点的横坐标分别为 1x ， 2x ，其 中 12 1x− < <− ， 20 1x< < ，下列结论⑴ 4 2 0a b c− + < ；⑵ 2 0a b− < ；⑶ 3 0a b− > ；⑷ 2 8 4b a ac+ < ：其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 91. 【中】（浙江省 2013 年初中毕业生学业考试（湖州市））如图，在10 10× 的网格中，每 个小方格都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。若抛物线经过图中 的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物 线的 “内接格点三角形 ”。以O 为 坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线 OB 的两个交点之间 的距离为 3 2 ，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点， 则满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】C 92. 【中】（巴中市 2013 年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）已知二次函数 ()2 0y ax bx ca= ++ ≠ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） 1-1-2 2 x y O C B A y xO 25 / 46 A． 0ac > B．当 1x > 时，y 随 x 的增大而减小 C． 2 0b a− = D． 3x = 是关于 x 的方程 ()2 0 0ax bx c a+ += ≠ 的一个根 【答案】D 93. 【中】（成都市 2013 年高中阶段教育学校统一招生考试）在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 y kx= （ k 为常数）与抛物线 21 2 3 y x= − 交于 A ，B 两点，且 A 点在 y 轴左侧，P 点的坐标为 (0 4)−， ，连接 PA PB， .有以下说法：① 2PO PA PB= ⋅ ；②当 0k > 时， ()()PA AO PB BO+ − 的值随 k 的增大而增大；③当 3 3 k = − 时， 2BP BO BA= ⋅ ；④ PAB△ 面积的最小值为 4 6 . 其中正确的是 _______.（写出所有正确说法的序号） 【答案】③④ 94. 【中】（达州市 2013 年高中阶段教育学校招生数学统一考试）二次函数 2y ax bx c= + + 的图象如图所示，反比例函数 by x = 与一次函数 y cx a= + 在同一平面直角坐标系中的大 致图象是（ ） 1 x= 1 y xO y xO y xOO x yy xOO x y 26 / 46 A． B． C． D． 【答案】B 95. 【中】（雅安市 2013 年初中毕业暨高中阶段教育学校招生考试数学试卷）二次函数 2y ax bx c= + + 的图象如图所示，则一次函数 y ax b= + 与反比例函数 cy x = 在同一平面 直角坐标系中的大致图象为（ ） A． B． C． D ． 【答案】B 96. 【中】（广安市 2013 年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）已知二次函数 2y ax bx c= + + 的图象如图所示，对称轴是直线 1x = ，下列结论：① 0abc > ，② 2 0a b+ = ，③ 2 4 0b ac− < ，④ 4 2 0a b c+ + > ，其中正确的是（ ） A．①③ B．只有② C．②④ D．③④ 【答案】C 97. 【中】（2011 广西崇左）已知：二次函数 ()2 0y ax bx ca= ++ ≠ 的图象如图所示，下列 结论中：① 0abc > ；② 2 0a b+ < ；③ ()a b m am b+ < + （ 1m ≠ 的实数）；④()2 2a c b+ < ； ⑤ 1a > .其中正确的项是（ ） A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④ y xO x= 1 27 / 46 【答案】A 98. 【中】（2010 年天津市初中毕业生学业考试试卷）已知二次函数 2y ax bx c= + + ( 0a ≠ ) 的图象如图所示，有下列结论：① 2 4 0b ac− > ；② 0abc > ；③8 0a c+ > ；④ 9 3 0a b c+ + < ．其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 99. 【中】（2012 年广西玉林中考）二次函数 ( )2 0y ax bx c a= ++ ≠ 的图像如图所示，其对称 轴为 1x = ，有如下结论： ① 1c < ；② 2 0a b+ = ；③ 2 4b ac< ；④若方程 2 0ax bx c+ + = 的两个根为 1x ， 2x ，则 1 2 2x x+ = ，则结论正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 2 y O x1-1 1 1O x y 28 / 46 100. 【中】（2013 年遵义市初中毕业生学业考试数学试题卷）二次函数 的图象如图所示，若 ， ， ，则、、中， 值小于 0 的数有（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 101. 【中】(四川省绵阳市 2013 年中考数学真题试题 )二次函数 2y ax bx c= + + 的图象如图所 示 ，给出下列结论：① 2 0a b+ > ；② b a c> > ；③若 1 1m n−< < < ，则 bm n a + < − ； ④ 3 2a c b+ < .其中正确的结论是 _________（写出你认为正确的所有结论序号）. 【答案】①③④ ∵抛物线开口向下， 0a∴ ＜ ， 2 0a∴ ＜ ， 对称轴 1 22 0 2 bx baab a =− − ∴+＞ ， ＜ ， ＞ ， 故选项①正确； ∵ 2b a− ＜ ，∴ 2 0b a a−＞ ＞ ＞ ， 令抛物线解析式为 21 1 2 2 y x bx=− + − ， 此时 a c= ，欲使抛物线与 x 轴交点的横坐标分别为 1 2 和 2， ( )2 0y ax bx cx= ++ ≠ M a b c= + − 4 2N a bc= − + 2P a b= − M N P 1 1 y xO 29 / 46 则 1 +22 2 12 2 b  × − −  =  ，解得： 5 4b = ， ∴抛物线 21 5 1 2 4 2y x x=− + − ， 符合 “开口向下，与 x 轴的一个交点的横坐标在 0 与 1 之间， 对称轴在直线 1x = 右侧 ”的特点，而此时 a c= ，（其实 a c＞ ， a c＜ ， a c= 都 有可能）， 故②选项错误； ∵ 1 1m n− ＜ ＜ ＜ ， 2 2m n− +＜ ＜ ， ∴抛物线对称轴为： 1 22 b b bx m na a a − −= − +＞ ， ＞ ， ＜ ， 故选项③正确； 当 1x = 时， 0a b c+ + ＞ ， 2 0a b+ ＞ ，3 2 0a b c+ + ＞ ， ∴3 2a c b+ −＞ ， 3 2a c b∴− − ＜ ， ∵ 0a＜ 0b， ＞ ， 0c＜ ， ∴3 3 22ac acb b+=−− =＜ ，故④选项正确． 故答案为：①③④． 102. 【中】（四川省资阳市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试数学）如图，抛物线 ( )2 0y ax bx ca= ++ ≠ 过点 ( )1 0， 和点 ( )0 2−， ，且顶点在第三象限，设 P a b c= − + ， 则 P 的取值范围是（ ） A． 4 0P− < < B． 4 2P− < <− C． 2 0P− < < D． 1 0P− < < 【答案】A ∵二次函数的图象开口向上， ∴ 0a＞ ， ∵对称轴在 y 轴的左边， ∴ 02 b a − ＜ ， ∴ 0b＞ ， ∵图象与 y 轴的交点坐标是 0 2−（ ， ），过 1 0（， ）点， 代入得： 2 0a b+ − = ， ∴ 2a b= − ， 2b a= − ， 2 1O y x 30 / 46 ∴ 2 2 2y ax a x= +− −（）， 把 1x = − 代入得： 2 224ya a a=− − −= −（）， ∵ 0b＞ ， ∴ 2 0b a= − ＞ ， ∴ 2a＜ ， ∵ 0a＞ ， ∴ 0 2a＜ ＜ ， ∴ 0 2 4a＜ ＜ ， ∴ 42 40a− −＜ ＜ ， 即 4 0P− ＜ ＜ ， 故选 A． 103. 【易】（宁波市 2013 年中考数学卷）如图，二次函数 2y ax bx c= + + 的图象开口向上， 对称轴为直线 1x = ，图象经过 ( )3 0， ，下列结论中，正确的一项是（ ） A. 0abc < B. 2 0a b+ < C. 0a b c− + < D. 24 0ac b− < 【答案】D 104. 【中】（浙江省 2013 年初中毕业生学业考试（义乌市卷））如图，抛物线 2y ax bx c= + + 与 x 轴交于点 ( )1 0A − ， ，顶点坐标为 ( )1 n， ，与 y 轴的交点在 ( )0 2， 、( )0 3， 之间（包 含端点），则下列结论：①当 3x > 时， 0y < ；②3 0a b+ > ；③ 21 3a− −≤ ≤ ；④3 4n≤ ≤ 中，正确的是 A．①② B．③④ C．①④ D．①③ 【答案】D 31 y xO x=1 O A y x 31 / 46 105. 【中】(2013 年齐齐哈尔市初中学业考试数学试卷 )已知二次函数 ( )2 0y ax bx ca= ++ ≠ 的图象经过点 ( )1 0x ， 、（ 2，0），且 12 1x− < <− ，与 y 轴正半轴的交点在（0，2）的下 方，则下列结论：① 0abc < ；② 2 4b ac> ；③ 2 1<0a b+ + ；④ 2 0a c+ > ．则其中正确 结论的序号是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 106. 【中】（2012 年湖北天门中考）已知二次函数 2y ax bx c= + + 的图象如图所示，它与 x 轴 的两个交点分别为 ( ) ( )10 30− ，，， ．对于下列命题：① 2 0b a− = ；② 0abc < ；③ 2 4 0a b c− + < ；④8 0a c+ > ．其中正确的有（ ） A． 3 B． 2 C．1 D．0 【答案】B 107. 【中】（2011 年天津市河西区初中毕业生学业考试模拟试卷（二）数学）已知二次函数 ( )2 0y ax bx c a= ++ ≠ 的图象如图所示，有下列结论：① 0abc > ；② 2 4 0b ac− > ；③ 3 0a c+ > ；④ 2 3c b< ；其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 108. 【中】（2011 年天津市河北区初中毕业生学业考试模拟试卷（三））已知二次函数 2y ax bx c= + + 的图象如图所示，记 2 2pabc abqabc ab=−++ + =+++ −， ，则 p 与 q 的大小关系为（ ） 3 y O x-1 32 / 46 A． p q> B． p q= C． p q< D．不能确定 【答案】C 109. 【中】（2010 年上海闸北区九年级上期末）已知二次函数 2y x bx c=− + + 的图象经过点 ( )2 0， ，且与 y 轴交于点 B ，若 1OB = ，则该二次函数解析式中，一次项系数 b 为 ． 【答案】 3 2 ， 5 2 110. 【中】（2012 年玉林市中考题）二次函数 的图象与 x 轴围城的封闭区域 内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有 ________ 个. 【答案】7 画出草图，得整数点为 (2 0) (2 1) (2 2) (1 0) (1 1) (3 0) (3 1)，，，，，，，，，，，，， 111. 【中】已知二次函数 ( )2 0y ax bx ca= ++ ≠ 的图象如图所示，有下列 4 个结论：① 0abc < ； ②b a c> + ；③ 2 0a b− = ；④ 2 4 0b ac− < ．其中正确的结论有 个． 【答案】两个 112. 【中】（2012 年北京四中第一学期初三年级数学期中试卷）已知二次函数 2y ax bx c= + + 满足：⑴ a b c< < ； ⑵ 0a b c+ + = ；⑶图象与 x 轴有 2 个交点，且两交点间的距离 小于 2；则以下结论中正确的有 ． ① 0a < ；② 0a b c− + < ；③ 0c > ；④ 2 0a b− > ；⑤ 1 2 4 b a − < 【答案】①②③⑤ 113. 【中】（2010 年密云二模）二次函数 2y ax bx c= + + 的图象如图所示，给出下列说法： 1 y xO 4 9)2( 2 +−−= xy 33 / 46 ① 0ab < ；②方程 2 0ax bx c+ + = 的根为 1 21 3x x= − =， ； ③ 0a b c+ + > ；④当 1x > 时， y 随 x 值的增大而增大； ⑤当 0y > 时， 1 3x− < < ．其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序 号）． 【答案】①②④ 114. 【中】（2011 年天津市塘沽初三年级总复习质量检测（二）数学学科试卷）已知二次函 数 ( )2 0y ax bx c a= ++ ≠ 的图象如图所示，有下列结论：① 0ac > ；② 2 0ax bx c+ + = 的 两根之和大于 0；③ y 随 x 的增大而增大；④ 0a b c− + < ．其中，正确结论的序号是 （把你认为正确的结论的序号都填上）． 【答案】②④ 115. 【难】第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初三第 1 试）二次函数 2y ax bx c= + + 的 图象如图所示，已知 2OB OA= ，OA OC< ，则 a ，b ，c 满足的关系式是 ． 【答案】 2 4ac b− = − 3. 二次函数的单调性 O x y 31 21 O x y 1 C B A O x y 34 / 46 116. 【易】（2009 年卢湾区九年级上期末）若点 ( ) ( )1 22 3A y B y，，， 是二次函数 22( 1) 1y x= − − 图像上的两点，则 1 2y y， 的大小关系是（ ）． A． 21 yy < B． 21 yy = C． 21 yy > D．不能确定． 【答案】A 117. 【中】（天津市耀华嘉诚第一学期九年级第二次月考）已知点 1 2 3(1 ) (2 ) (2 )AyB yC y− −，， ， ， ， 在函数 2 12( 1) 2 y x= + − 上，则 1 2 3y y y， ， 的大小关系 是（ ） A． 1 2 3y y y> > B． 1 3 2y y y> > C． 3 1 2y y y> > D． 2 1 3y y y> > 【答案】B 118. 【中】（2011 江苏省常州中考）已知二次函数 2 1 5 y x x=− + − ，当自变量 x 取 m 时对应 的值大于 0 ，当自变量 x 分别取 1m − 、 1m + 时对应的函数值为 1y 、 2y ，则 1y 、 2y 必 须满足 （ ） A． 1 20 0y y> >， B． 1 20 0y y< <， C． 1 20 0y y< >， D． 1 20 0y y> <， 【答案】B 119. 【中】（2012 年北京师范大学附属实验中学第一学期初三年级数学期中试卷） 二次函数 2y ax bx c= + + ，其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示： x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 4 1 0 1 4 …… 已知点 ( ) ( )11 22Ax y Bx y，，， 在函数的图象上，则当 11 2x< < ， 23 4x< < 时， 1y 与 2y 的大小关系正确的是（ ） A． 1 2y y> B． 1 2y y< C． 1 2y y≥ D． 1 2y y≤ 【答案】B 120. 【中】（2012 年三帆中学九年级上数学期中测试题）已知二次函数 ( )( )2 1y x xa= + − ， 其中 0a > ，若当 2x ≤ 时， y 随 x 增大而减小，当 2x≥ 时 y 随 x 增大而增大，则 a 的 值是（ ） A．3 B．5 C．7 D．不确定 【答案】B 35 / 46 121. 【易】（2013 年贵阳市初中毕业生学业数学考试试题卷）已知二次函数 2 2 2y x mx= + + ， 当 2x > 时， y 的值随 x 值的增大而增大，则实数 m 的取值范围是 _______． 【答案】 2m −≥ 122. 【易】抛物线 22 1y x= − + 在 y 轴右侧部分呈 _________ 趋势（填“上升 ”，“下降 ”）； 【答案】下降 123. 【易】（徐汇区初三上期末）已知二次函数 2( 2) 4y x=− − + ，当 2x > 时，若 y 随着 x 的 增大而 （填增大、不变或减少）． 【答案】减少 124. 【易】（2011 年河南省中考）点 1(2 )A y， 、 2(3 )B y， 是二次函数 2 2 1y x x= − + 的图象上 两点，则 1y 与 2y 的大小关系为 1y 2y （填“＞”、“＜”、“＝”）. 【答案】＜ 125. 【易】（黄浦区第一学期期终基础学业测评）已知抛物线 2y ax bx c= + + 的开口向下， 对称轴为直线 1x = ，若点 ( )11A y− ， 与 ( )22B y− ， 是此抛物线上的两点，则 1y ______ 2y . （填“ > ”或“< ”） 【答案】 > 126. 【易】（2012 年石景山区第一学期期末考试试卷）已知抛物线 ( )2 0y ax bx ca= ++ > 过 ( ) ( ) ( ) ( )1 200 20 3 4O A ByCy−，，，，，，， 四点，则 1y 2y （填“>”、“<” 或“=”）． 【答案】 > 127. 【中】（北京市陈经纶中学期中统练初三数学）已知：二次函数的表达式为 24 8y x x= − + ． ⑴写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； ⑵求图象与 x轴的交点坐标； ⑶画出该函数图象； ⑷若点 ( )11A y− ， 、 2 1 2B y    ， 在该函数图象上，试比较 1y 与 2y 的大小． 【答案】⑴对称轴： 1x = 顶点坐标 ( )1 4， 36 / 46 ⑵与 x 轴交点坐标 ( ) ( )00 20，，， ⑶略 ⑷ 1 2y y< 128. 【中】（2010 年北京市东城区初三年级综合练习） 已知：二次函数 2y ax bx c= + + ( 0)a ≠ 中的 x y， 满足下表： x … 1− 0 1 2 3 … y … 0 3− 4− 3− m … ⑴ m 的值为 ； ⑵若 1( )A p y， ， 2( 1 )B p y+ ， 两点都在该函数的图象上，且 0p < ，试比较 1y 与 2y 的大 小． 【答案】⑴ 0m = ． ⑵∵ 0p < ，∴ 1 1p p< + < ， 又因为抛物开口向上，对称轴为 1x = ，∴ 1 2y y> ． 129. 【中】（2013 年杭州市各类高中招生文化考试）已知抛物线 ( )2 1 0y ax bx ca= ++ ≠ 与 x 轴 相交于点 A ， B （点 A ， B 在原点 O 两侧），与 y 轴相交于点 C ，且点 A ，C 在一次函 数 2 3 4y x n= + 的图象上，线段 AB 长为 16 ，线段 OC 长为 8 ，当 1y 随着 x 的增大而减小 时，求自变量 x 的取值范围 . 【答案】根据 OC 长为 8 可得一次函数中的 n 的值为 8 或 8− . 分类讨论：⑴ 8n = 时，易得 ( )6 0A − ， 如图 ∵抛物线过 A 、C 两点，且与 x 轴交点 A ， B 在原点两侧 ∴抛物线开口向下，则 0a < ∵ 16AB = ，且 ( )6 0A − ， ， ∴ ( )10 0B ， ，而 A ， B 关于对称轴对称 ∴对称轴直线 1 2 6 10 22 2 x xx + − += = = 要使 1y 随着 x 的增大而减小，且 0a < ， 2x∴ ＞ ⑵ 8n = − 时，易得 ( )6 0A ， ∵抛物线过 A 、C 两点，且与 x 轴交点 A ， B 在原点两侧 ∴抛物线开口向上，则 0a > 37 / 46 ∵ 16AB = ，且 ( )6 0A ， ， ∴ ( )10 0B − ， ，而 A B， 关于对称轴对称 ∴对称轴直线 1 2 6 10 22 2 x xx + −= = =− 要使 1y 随着 x 的增大而减小，且 0a > ，∴ 2x < − 130. 【中】（2010 年广东广州）已知抛物线 2 2 2y x x=− + + ． ⑴ 该抛物线的对称轴是 ________，顶点坐标 ________； ⑵ 选取适当的数据填入下表，并在图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x … … y … … ⑶若该抛物线上两点 ( ) ( )11 22Ax y Bx y，，， 的横坐标满足 1 2 1x x> > ，试比较 1y 与 2y 的 大小． 【答案】⑴ 1x = ；( )1 3， ⑵ x … -1 0 1 2 3 … y … 1 2 3 2 1 … 6,0() 10,0() 0,8() B C A y xO O x y 38 / 46 ⑶因为在对称轴 1x = 右侧，y 随 x 的增大而减小，又 1 2 1x x> > ，所以 1 2y y< ． 4. 二次函数性质综合 131. 【易】（2011 年深圳实验初二下期末） 下列二次函数的图像不经过第三象限的是（ ） A． ()21y x= − − B． ()22 2y x= + − C． 22 5y x x= + D． ( )( )3 4y x x= − − 【答案】D 132. 【易】（初三数学期中）下列对抛物线 2 2y x= + 描述错误的是（ ） A. 抛物线开口向上，最小值是 2 B. 抛物线的对称轴是 2x = C. 当 0x > 时， y 随 x 的增大而增大 D. 抛物线与 x 轴没有交点 【答案】B 133. 【易】（2011 年湖南永州）由二次函数 1)3(2 2 +−= xy ，可知（ ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 3−=x [来源 :Z §xx §k.Com] C．其最小值为 1 D．当 3<x 时，y 随 x 的增大而增大 【答案】C 134. 【易】（2011 长沙中考）关于 x 的二次函数 ()21 2y x=− − + ，下列说法正确的是（ ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 ( )1 2− ， C．当 1x > 时， y 随 x 的增大而减小 D．图象与 y 轴的交点坐标为 ( )0 2， 【答案】C O x y 39 / 46 135. 【易】（2011 年深圳市初中毕业生学业考试）对抛物线 2 2 3y x x=− + − 而言，下列结论 正确的是（ ） A．与 x 轴有两个交点 B．开口向上 C．与 y 轴交点坐标是 ( )0 3， D．顶点坐标是 ( )1 2−， 【答案】D 136. 【易】（2012 年深圳外国语初三月考）二次函数 2y ax bx c= + + 的图象如图所示，下列 结论错误的是（ ） A． 0ab < B． 0ac < C．当 2x < 时，函数值随 x 增大而增大；当 2x > 时，函数值随 x 增大而减小 D．二次函数 2y ax bx c= + + 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 2 0ax bx c+ + = 的根 【答案】B 137. 【易】（2012 年北京市西城区第一学期期末试卷）如图，抛物线 2y ax bx c= + + 经过点 ( )1 0− ， ，对称轴为 1x = ，则下列结论中正确的是（ ） A． 0a > B．当 1x > 时， y 随 x 的增大而增大 C． 0c < D． 3x = 是一元二次方程 2ax bx c+ + 的一个根 【答案】D y xO 2 O y x-1 1 40 / 46 138. 【易】（2011 年山西省初中毕业生学业考试）已知二次函数 2y ax bx c= + + 的图象如图 所示，对称轴为直线 1x = ，则下列结论正确的是（ ） A． 0ac > B．方程 2 0ax bx c+ + = 的两根是 1 21 3x x= − =， C． 2 0a b− = D．当 0x > 时， y 随 x 的增大而减小 【答案】B 139. 【易】（天津市耀华中学第一学期九年级第二次月考）若二次函数 2 1 2 y x= + 与二次函数 2y x k= − + 图像的顶点重合，下列结论不正确是（ ） A．这两个函数图像有相同的对称轴 B．这两个函数图像的开口方向相反 C．方程 2 0x k− + = 没有实数根 D．二次函数 2y x k= − + 的最大值为 1 2 【答案】C 140. 【易】（徐汇区初三上期末）已知二次函数 2y ax bx c= + + 的 y 与 x 的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 5− 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与 y 轴交于负半轴； C．当 3x = 时， 0y < D．方程 2 0ax bx c+ + = 有两个相等实数根． 【答案】C 141. 【易】（普陀区第一学期九年级）如果二次函数 ( ) ()2 21 1 2yk x k x= + +− + ，那么它的 图象的开口向 __.... 【答案】上 142. 【易】（2013 年浙江省初中毕业生学业考试（嘉兴卷））若一次函数 0y ax b a= ≠＋（ ）的 图象与 x 轴的交点坐标为 ( )2 0- ， ，则抛物线 2y ax bx= ＋ 的对称轴为（ ） O y x31 x 1− y 41 / 46 A 直线 1x = B 直线 2x = - C 直线 1x = - D 直线 4x = - 【答案】C 143. 【易】（河南省实验中学内部 2011 年中考数学第一轮复习资料）二次函数 2y ax bx c= + + 通过配方可得 2 2 4( )2 4 b ac by a x a a −= + + ，其抛物线关于直线 x = 对称，顶点坐标为 （ ， ）. 当 0a > 时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点， 当 x = 时， y 有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当 0a < 时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 x = 时， y 有最 （“大”或“小”）值是 【答案】 24 2 2 4 b b acb a a a  −− −   ，， ⑴上；低； 2 b a − ；小； 24 4 ac b a − ⑵下；高； 2 b a − ；大； 24 4 ac b a − 144. 【易】（2012 年海淀区九年级上期末） 抛物线 2y ax bx c= + + 上部分点的横坐标 x ，纵 坐标 y 的对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 －4 －4 0 8 … ⑴根据上表填空： ①抛物线与 x 轴的交点坐标是 和 ； ②抛物线经过点 （ 3− ， ）； ③在对称轴右侧， y 随 x 增大而 ； ⑵试确定抛物线 2y ax bx c= + + 的解析式 . 【答案】⑴①( ) ( )20 10− ，，， ②8 ③增大 ⑵ 22 2 4y x x= + − 145. 【易】（2012 年石景山区第一学期期末考试试卷）已知：函数 3 1 4 5mymx x−= + − 是二次 函数． ⑴求 m 的值； ⑵写出这个二次函数图象的对称轴： ，顶点坐标： ； 42 / 46 ⑶求图象与 x 轴的交点坐标． 【答案】⑴ 1m = ⑵ 2x = − ；( 2 9)− −， ； ⑶由 2 4 5 0x x+ − = ，解得； 1 21 5x x= = −， ∴ (1 0) 5 0−， ，（ ，） 146. 【易】（2011 年北京师范在学附属实验中学初三期中试卷） 抛物线 ( )2 1y x m=− + − 与 y 轴交于 ( )0 3， 点． ⑴ 求出 m 的值并画出这条抛物线； ⑵ 求它与 x轴的交点和抛物线顶点的坐标； ⑶ x取什么值时，抛物线在 x轴上方？ ⑷ x在什么范围变化时， y 的值随 x值的增大而减小？ 【答案】⑴ 4m = ，图略 ⑵与 x 轴的交点 ( ) ( )30 30− ，，， ，顶点坐标 ( )0 3， ⑶ 3 3x− < < ⑷ 0x > 147. 【易】(大庆地区 2013 年中考数学模拟试题 )（1）求二次函数 2 4 1y x x= − + 图象的顶点 坐标，并指出当 x 在何范围内取值时， y 随 x 的增大而减小； （2）若二次函数 2 4yx xc= − + 的图象与坐标轴有 2 个交点，求字母 c 应满足的条件． 【答案】⑴ ()22 41 2 3yx x x= − += − − ， 所以顶点坐标为（2， 3− ）， 当 2x < 时， y 随 x 的增大而减小； ⑵ 2 4yx xc= − + 的图像与 y 轴有且只有一个交点（0，c ）， 当（0，c ）仅在 y 轴上，不在 x 轴上，即 0c ≠ 时， 图像应与 x 轴有唯一交点， 此时 ()24 4 0c− − = ， 4c = ； 当（0，c ）既在 y 轴上，又在 x 轴上，即 0c = 时， 图像应与 x 轴有两个交点，此时 2 4y x x= − ， 与坐标轴的两个交点为（0，0），（ 4，0），满足题意． 所以 0c = 或 4c = 时该二次函数图像与坐标轴有 2 个交点． 43 / 46 148. 【中】（荆门市 2013 年初中毕业生学业水平及升学考试数学试题卷）若抛物线 2y x bx c= + + 与 x 轴只有一个交点，且过点 ( )A m n， ， ( 6 )B m n+ ， ．则 n = _______． 【答案】9 149. 【中】（2011 年北京市第一六六中学第一学期期中考试试卷）已知：二次函数 2 4 5y x x= − − ⑴ 写出此函数的开口方向、顶点坐标和对称轴方程； ⑵ 求出抛物线与坐标轴的交点坐标； ⑶ 列表并在所给的表格中画出函数图像； ⑷ 当 x取何值时， y 随 x增大而减小； ⑸ 当 x取何值时，函数 y 有最值？其最值是多少？ ⑹ 由 2y x= 的图像如何得到 2 4 5y x x= − − 的图像； ⑺ 当0 6x< < 时，写出 y 的取值范围 【答案】⑴开口向上，顶点坐标为 ( )2 9−， ， 2x = ⑵与 x 轴交点 ( ) ( )10 50− ，，， 与 y 轴交点 ( )0 5−， ⑶略 ⑷ 2x < ⑸当 2x = 时， min 9y = − ⑹向右平移 2 个单位，向下平移 9 个单位 ⑺ 9 7x− <≤ 150. 【中】（“宇振杯”上海市竞赛题）某学生为了描点作函数 )0(2 ≠++= acbxaxy 的图象， 取自变量的 7 个值： 721 ... xxx <<< ，且 672312 ... xxxxxx −==−=− ，分别算出对应的 y 的值，列表如下： x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y 51 107 185 285 407 549 717 但由于粗心算错了其中一个 y 值，请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？请说明 理由 . 【答案】549 是被算错的值，其正确值应该是 551. 设 dxxxxxx =−==−=− 672312 ...，且 ix 对应的函数值为 iy ，计算 kkk yy −=∆ +1 的值，并由此导出 kk ∆−∆ +1 为一常数，这是解本题的关键 . 44 / 46 解 设 dxxxxxx =−==−=− 672312 ...，且 ix 对应的函数值为 iy ，则 ，故 2 11 2)(2 adxxad kkkk =−=∆−∆ ++ （常数） 由给出的数据 1 :51 107 185 285 407 549 717 : 56 78 100 122 142 168 : 22 22 22 20 26 k k k k y + ∆ ∆ − ∆ 得 由此可见，549 是被算错的值，其正确值应该是 551. 151. 【中】（2013 年兰州市初中毕业生数学学业考试）如图，以扇形 OAB 的顶点 O 为原点， 半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为 ( )2 0， ，若抛物线 21 2y x k= + 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，则实数 k 的取值范围是 _________． 【答案】 12 2k− < < 由图可知， 45AOB∠ = ° ， ∴直线 OA 的解析式为 y x= ， 联立 21 2 y x y x k +   ＝ ＝ 消掉 y 得， 2 2 2 0x x k− + = ， 22 412 0k=− −×× =△ （ ） ， 即 1 2k = 时，抛物线与 OA 有一个交点， 此交点的横坐标为 1， ∵点 B 的坐标为（2，0）， ∴ 2OA = ， ∴点 A 的坐标为 2 2（ ，）， ∴交点在线段 AO 上； 当抛物线经过点 2 0B（，）时， kkk yy −=∆ +1 )(2])[(])[()()( 2222 1 2 1 bdadadxxdxbxdxacbxaxcbxax kkkkkkkkk ++=−++−+=++−++= ++ y x O A B45° 2 第 20 题图 45 / 46 1 4 0 22 k k×+= =−，解得 ， ∴要使抛物线 21 2y x k= + 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，实数 k 的取值范围是 12 2k− ＜ ＜ ． 故答案为： 12 2k− ＜ ＜ ． 152. 【中】（2011 年北京五中分校第一学期期中初三数学）已知二次函数 ( )2 0y x x aa= −+ > ， 其顶点为 （用含 a的代数式表示），当自变量 x取 m 时，其相应的函数值 小于 0，那么当 x取 1m− 时，函数值 0 ．（横线处填写“ > ”、“ > ”或“= ”） 【答案】 1 1 2 4a −   ， ； > 153. 【中】（天津市耀华中学初三第二次月考）已知抛物线 2y ax= 的开口比抛物线 23y x= 的 开口宽且开口向下，则 a 的取值范围是（ ） A． 3a < B． 3 0a− < < C． 0 3a< < D． 3a > 【答案】B 154. 【中】定义 [ ]a b c， ， 为函数 2y ax bx c= + + 的特征数，下面给出特征数为 [ ]2 14 2 1m m m− −，， 的函数的一些结论：①当 1 2m = 时，函数图象的顶点坐标是 1 2 4  −   1 ， ；②当 1m = − 时，函数在 1x > 时， y 随 x 的增大而减小；③无论 m 取何值， 函数图象都经过同一个点，其中所有的正确结论有 ．（填写正确结论的序号） 【答案】① 155. 【中】(2012 年湖州市中考题 )如图，已知点 ，O 为坐标原点， P 是线段 OA 上 任意一点（不含端点 AO、 ），过 OP、 两点的二次函数 1y 和过 AP、 两点的二次函数 2y 的图象开口均乡下，它们的顶点分别为 CB、 ，射线 OB 与 AC 相交于 D ，当 3== ADOD 时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）. A． 5 B． 53 4 C．3 D．4 )0,4(A 46 / 46 【答案】A 过 B 作 BF OA⊥ 于 F ，过 D 作 DE OA⊥ 于 E ，过 C 作CM OA⊥ 于 M ， ∵ BF OA⊥ ， DE OA⊥ ， CM OA⊥ ， ∴ BF DE CM∥ ∥ ， ∵ 3OD AD= = ， DE OA⊥ ， ∴ 1 22OE EA OA= = = ， 由勾股定理得： 5DE = ， 设 2 0P x（，），根据二次函数的对称性得出 OF PF x= = ， ∵ BF DE CM∥ ∥ ， ∴ OBF ODE△ ∽△ ， ACM ADE△ ∽△ ， ∴ BF OF DE OE = ，CM AM DE AE = ， ∵ 1 1 4 2 22 2AM PM OA OP x x= = − = −=−（）（）， 即 解得： ∴ 故选 A． y2y1 MPF E D C B A y xO 25 BF x= ， 2 25 CM x−= ， 5 2BF x= ， 55 2CM x= − ， 5BF CM+ = ．