初中数学复习试卷 与圆有关的计算


    1/59 与圆有关的计算与圆有关的计算与圆有关的计算与圆有关的计算 一、 弧长计算 二、 扇形面积 三、 圆锥侧面积 四、 正多边形和圆的问题 一、 弧长计算 1. 【易】(菏泽市 2013 年初中学业水平考试)在半径为 5 的半圆中,30 ° 的圆心角所对 弧的弧长为 ______.(结果保留 π ). 【答案】 5π 6 2. 【易】(延庆县 2012 年初三第二次模拟试卷)已知扇形的圆心角为 60 ° ,半径为 6, 则扇形的弧长为( ) A. 6π B. 4π C.3π D. 2π 【答案】D 3. 【易】(长沙市初中毕业试卷)如图,已知 O⊙ 的半径 6OA = , 90AOB∠ = ° ,则 AOB∠ 所对的 AB 的长为( ) A. 2π B.3π C. 6π D. 2π 1 【答案】B 4. 【易】(2011• 宜昌)按图 1 的方法把圆锥的侧面展开,得到图 2,其半径 3OA = ,圆 心角 120AOB∠ = ° ,则 AB 的长为( ) A. π B. 2π C.3π D. 4π 【答案】B 5. 【易】(2012 平谷一模、河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4)如 图,在⊙O 中, 60AOB∠ = , 3cmAB = ,则劣弧 AB 的长为 ________cm . 图2 120° O BA O B A 2/59 【答案】 π 6. 【易】(2010• 广州,2010 年丰台二模)一个扇形的圆心角为 90 ° ,半径为 2,则这个 扇形的弧长为 ________.(结果保留 π ) 【答案】 π 90 π 2 π 180 180 n rl ×= = = . 7. 【易】(2011 东城二模)一个扇形的圆心角为 120 ° ,半径为 1,则这个扇形的弧长为 ________. 【答案】 2 π 3 8. 【易】(山东德城初中毕业考试)在半径为 18 的圆中,120 ° 的圆心角所对的弧长是 ________. 【答案】12 π 9. 【易】(2013 年大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧初中学业数学水 平考试)已知扇形的面积为 ,半径为 3,则该扇形的弧长为 ________(结果保留 ) 【答案】 4 π 3 10. 【易】(南充市 2013 年高中阶段教育学校招生考试数学试卷)点 A B C,, 是半径为 15cm 的圆上三点, 36BAC =∠ °,则 BC 的长为 _____cm. 【答案】6π 11. 【易】(济宁市 2013 年高中阶段学校招生考试)如图, ABC△ 和 A B C′ ′△ 是两个完 全重合的直角三角板, 30B∠ = ° ,斜边长为 10cm .三角板 A B C′ ′ 绕直角顶点 C 顺时 针旋转,当点 A′ 落在 AB 边上时,CA′ 旋转所构成的扇形的弧长为 ________ cm . 【答案】 5 π 3 12. 【易】(湖北省宜昌市初中毕业生学业考试)如图,艳军中学学术报告厅门的上沿是 圆弧形,这条弧所在圆的半径为 1.8 米,所对的圆心角为 100 ° ,则弧长是 ________ 米.( π 3≈ ) BA O 2π π3/59 【答案】3 13. 【易】如图,△ ABC 内接于⊙ ,若⊙ 的半径为 6, ,则 BC 的长为 _____________. 【答案】 4π 14. 【易】(2013 年遵义市初中毕业生学业考试数学试题卷)如图,将边长 1cm 的等边三 角形 ABC 沿直线 l 向右翻动(不滑动),点 B 从开始到结束,所经过的长度为( ) A. 3 πcm 2 B. 22 π cm3  +   C. 4 πcm 3 D.3cm 【答案】C 15. 【易】(2013 年四川省宜宾市中考数学试卷)如图, ABC△ 是正三角形,曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线,其中弧 CD、弧 DE、弧 EF 的圆心依次是 A B C、 、 , 如果 1AB = ,那么曲线 CDEF 的长是 _______. 【答案】 4π 16. 【易】(2013 年安徽省芜湖市中考试卷)如图,将边长为 2 cm 的正方形 ABCD 沿直 线 l 向左翻转(不滑动),当正方形连续翻动 8 次后,正方形的中心 O 经过的路线长 是( )cm . A.8 2 B.8 C.3π D. 4π O O °=∠ 60A O C B A l(A) (C) (B) (B) CB A4/59 【答案】D 17. 【中】(2013 年玉林市防城港市初中毕业数学暨升学考试)如图,实线部分是半径为 15m 的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池 的周长是 __________ m . 【答案】 40 π 18. 【中】(延庆县 2011-2012 学年第一学期期末试卷)如图,边长为 1 的菱形 ABCD 绕 点 A 旋转,当 B 、C 两点恰好落在扇形 AEF 的 EF 上时, BC 的长度等于( ) A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 【答案】C 19. 【中】(2011 年广州中考)如图, AB 切 O⊙ 于点 B , 2 3OA = , 3AB = ,弦 BC OA∥ ,则劣弧 BC 的弧长为( ) A. 3 π 3 B. 3 π 2 C. π D. 3 π 2 【解析】连接 OB,OC, O1 O2 FE D CB A A BC O5/59 ∵ 2 3OA = , 3AB = , ∴ 3OB = , 60BOA∠ = ° , ∵ BC OA∥ , ∴ 60CBO∠ = ° ∵ BOC△ 中,OB OC= , ∴ BOC△ 是等边三角形, 60BOC∠ = ° , BC 所对的圆心角为 60 °, ∴ BC = 圆周长 1 6 × 1 32 3 π π 6 3 = × = 【答案】A 20. 【中】(达州市 2013 年高中阶段教育学校招生数学统一考试)如图,一条公路的转变 处是一段圆弧(即图中弧 CD,点O是弧 CD 的圆心),其中 600CD = 米, E 为弧 CD 上一点,且OE CD⊥ ,垂足为 F , 300 3OF = 米,则这段弯路的长度为( ) A. 200 π 米 B.100 π 米 C. 400 π 米 D.300 π 米 【答案】A 21. 【中】已知:如图, P⊙ 与 x 轴切于点 O ,点 P 的坐标为 ( )1, 0 ,点 A 在 P⊙ 上,且 在第一象限, 150APO∠ = ° , P⊙ 沿 x 轴正方向滚动,当点 A 第一次落在 轴上时, 点 P 的坐标为 ________(结果保留 π ). 【答案】 5 π , 16      22. 【中】(密云县 2010 年初中毕业考试)已知正六边形的边长为 1cm ,分别以它的三个 不相邻的顶点为圆心,1cm 长为半径画弧(如图),则所得到的三条弧的长度之和为 ________ cm (结果保留 π ). O C B A x P A x y O6/59 【答案】 2π 23. 【中】(2011 湖南益阳中考)如图, AB 是 O⊙ 的切线,半径 2OA = ,OB 交 O⊙ 于 C , 30B∠ = ° ,则劣弧 AC 的长是 ________.(结果保留 π ) 【答案】 2 π 3 24. 【中】(郑州市 2010 年数学模拟一)如图,已知扇形 OAB 中, 60AOB∠ °= ,弧 AB 长为 4π , Q⊙ 和弧 AB、OA、OB 分别相切于点 C 、 D 、 E ,求 Q⊙ 的周长为 ( ) A. 4π B.8π C.12 π D.以上都不对 【答案】B 25. 【中】(2013 年恩施州初中毕业学业考试数学试题卷)如图所示,一半径为 1 的圆内 切于一个圆心角为 60 ° 的扇形,则扇形的周长为 _________. 【答案】6 π+ 26. 【中】(西安高新一中初一分班数学真卷)桌面上有一条长 80 厘米的线段,另外有直 径为 1 厘米、2 厘米、3 厘米、4 厘米、5 厘米、8 厘米的圆形纸片若干张,现在用这 些纸片将桌上线段盖住,并且使所用纸片圆周长总和最短,则这个周长总和是 ________ 厘米. Q ED C BA O B A O C 7/59 【解析】如图所示,所有小圆的周长之和与大圆的周长相等,所以此题不论使用直径 为几厘米的圆片几张,都与直径是 80cm 的大圆周长相等,因此这个周长总 和就是直径的 80cm 的圆的周长.3.14 80 251.2(cm)× = 【答案】 251.2 27. 【难】(怀柔一模)如图 1,是用边长为 2cm 的正方形和边长为 2cm 正三角形硬纸片 拼成的五边形 ABCDE,在桌面上由图 1 起始位置将图片沿直线 l 不滑行地翻滚,翻滚 一周后到图 2 的位置.则由点 A 到点 4A 所走路径的长度为( ) A. 10 π 3 cm B. ( )8 3 2 π 3 + cm C.12 2 π 3 cm D.13 π 3 cm 【答案】B 28. 【难】(2013 年武汉市初中毕业生学业考试数学试卷)如图, A⊙ 与 B⊙ 外切于点 D , PC, PD, PE 分别是圆的切线,C , D , E 是切点.若 CED x∠ = ° , ECD y∠ = ° , B⊙ 的半径为 R ,则 DE 的长度是( ) A. ( )π 90 90 x R− B. ( )π 90 90 y R− C. ( )π 180 180 x R− D. ( )π 180 180 y R− 【答案】B 根据题意,由切线长定理可知: PC = PD = PE, 即点 C 、 D 、 E 在以 P 为圆心, PC 长为半径的⊙ P 上, 由圆周角定理得:∠ DPE =2 ∠ ECD = 2y . 如图,连接 BD、 BE,则∠ BDP =∠ BEP =90° , A B C D E A1 B1 D1 E1 A4 B4 C4 D4 E4 …… 图1 图2 P E D C B A8/59 在四边形 BDPE 中,∠ B +∠ BDP +∠ DPE +∠ BEP =360° , 即:∠ B +90°+ 2y +90°=360° , 解得:∠ B =180° 2y− . DE∴ 的长度是: ( ) ( )180 2 π π 90 180 90 yR yR− −= ,故选 B. 29. 【易】(2011 罗湖区初三第二次联考)露露从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片 (如图),用它们恰好能围成一个圆锥模型,若圆的半径为 1,扇形的圆心角等于 120 ° ,则此扇形的半径为( ) A. 3 B. 6 C.3 D.6 【答案】C 30. 【易】(朝阳区 2011-2012 学年九年级第一学期期末统一考试)如图,在纸上剪下一 个圆形和一个扇形的纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型.若该圆的半径为 1,扇形 的圆心角等于 60 ° ,则这个扇形的半径 R 的值是 ________. 【答案】6 31. 【易】(2010 年北京二中分初三期中上)若一个扇形的面积是 12 π ,它的弧长是 4π , 则它的半径是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A 32. 【易】(2012 广东湛江中考)一个扇形的圆心角为 60 ° ,它所对的弧长为 2πcm ,则 这个扇形的半径为( ) A. 6 cm B.12cm C. 2 3 cm D. 4 3 cm 【解析】由扇形的圆心角为 60 ° ,它所对的孤长为 2πcm , 即 60n = ° , 2πl = , 根据弧长公式 π 180 n rl = ,得即 6 cmr = . 【答案】A 33. 【易】(云南省高中招生统一考试数学试题卷)已知圆上一段弧长为 6π ,它所对的圆 心角为 120 ° ,则该圆的半径为 ________. 【答案】9 34. 【易】(东城二模)如图,扇形 OAB 是一个圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边 长为 1,则这个圆锥的底面半径为( ) 9/59 A. 1 2 B. 2 2 C. 2 D. 2 2 【答案】B 35. 【易】(密云二模)如图,现有一个圆心角为 90 ° ,半径为 8cm 的扇形纸片,用它恰 好围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则该圆锥底面圆的半径为( ) A. 4cm B.3cm C. 2cm D.1cm 【答案】C 36. 【易】(大连市 2013 年初中毕业升学考试数学)用一个圆心角为 90 ° ,半径为 32cm 的扇形作为一个圆锥的侧面(接缝处不重叠),则这个圆锥的底面圆的半径为 _____ cm . 【答案】8 37. 【易】(2011 福建三明市中考)用半径为 12cm ,圆心角为 90° 的扇形纸片,围成一个 圆锥的侧面,这个圆锥的底面半径为( ) A.1.5cm B.3cm C. 6 cm D.12cm 【答案】B 38. 【易】(首都师大附中 2013 学年第二学期期末初二数学考试)如图,把一个半径为 12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形,用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面 (衔接处无缝隙且不重叠),则圆锥底面半径等于 ______cm . 【答案】 4 39. 【易】(荆门市 2013 年初中毕业生学业水平及升学考试数学试题卷)若圆锥的侧面展 开图为半圆,则该圆锥的母线 l 与底面半径 r 的关系是( ) A. 2l r= B. 3l r= C.l r= D. 3 2 l r= 【答案】A 40. 【易】(北京市顺义区 2013 届初三第一次统一练习数学试卷)如图,扇形的半径为 6, 圆心角 为120 ° ,用这个扇形围成一个圆锥的侧面,所得圆锥的底面半径为 ______. A B O θ 10 /59 【答案】2 41. 【易】(郑州四中 2010-2011 学年下期初三年级第五次月考)若用半径为 20cm ,圆心 角为 240 ° 的扇形铁皮,卷成一个圆锥容器的侧面(接缝忽略不计),则这个圆锥容器 的底面半径是 ________cm . 【答案】 40 3 42. 【易】(石景山区 2011-2012 学年第一学期期末考试试卷)如图,有一边长为 4 的等 边三角形纸片,要从中剪出三个面积相等的扇形,那 么剪下的其中一个..扇形 ADE (阴影部分)的面积为 ________;若用剪下的一个扇形围成一个圆锥,该圆锥的底面 圆的半径 r 是________. 【答案】 2 3 π ; 1 3 43. 【易】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4)翔宇中学的铅球场 如图所示,已知扇形 AOB 的面积是 236m , AB 的长度为 9 米,那么半径 OA = ________ 米. 【答案】8 44. 【易】(北京市第一六六中学 2010-2011 学年度第一学期期中考试试卷、2010 年北京 171 初三上期中)已知:扇形的圆心角度数 120n = ° ,面积 2300 πcms = , ⑴求扇形的弧长 l . ⑵若把此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的底面半径 r 是多少? 【答案】 20 πcm ;10cm . 45. 【易】(通州区初三年级模拟考试,成都中考)如图,如果从半径为 9cm 的圆形纸片 剪去 1 3 圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆 锥的高为( ) F ED CB A 11 /59 A. 6cm B. cm3 5 C.8cm D. cm5 3 【答案】B 46. 【易】(黑龙江省龙东地区 2013 年初中毕业学业统一考试数学试题)将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥,这个圆锥的高为 _______ cm . 【答案 2 3 47. 【易】(2013 年孝感市高中阶段学校招生考试数学)用半径为 10cm ,圆心角为 216 ° 的扇形做成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为 _______ cm . 【答案】8 48. 【易】(2013 年四川泸州市中考数学真题)如图,从半径为 9cm 的圆形纸片上剪去 1 3 圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高 为________ cm . 【答案】3 5 49. 【易】(广安市二 O 一三年高中阶段教育学校招生考试数学试卷)如图,如果从半径 为 5cm 的圆形纸片上剪去 1 5 圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不 重叠),那么这个圆锥的高是 ______cm. 【答案】3 50. 【易】(2010 东城区初三上联考)已知:一个圆锥的侧面展开图为半径为 30cm ,圆 心角为 120 ° 的扇形,求这圆锥的底面半径和高. 【答案】 120 π 30 20 π 180 l ⋅= = 2π 20 π , 10r r= = 2 230 10 20 2h = − = . 剪剪12 /59 51. 【中】如图,梯形 ABCD 中, AD BC∥ , 90 4 6C AB AD BC∠=° == =,,,以点 A 为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分),则这个扇形做成的圆锥 底面半径是 ________. 【答案】 2 3 3 52. 【中】(石景山二模)如图,在图 1 所示的正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,使之 恰好围成图 2 所示的一个圆锥模型.设圆的半径为 r ,扇形的半径为 R ,则圆的半径 与扇形的半径之间的关系为( ) A. 2R r= B. 9 4 R r= C. 3R r= D. 4R r= 【答案】D 53. 【中】(2011 育才三中一模)如图,矩形 ABCD 中, 4AB = ,以点 B 为圆心, BA 为 半径画弧交 BC 于点 E ,以点 O 为圆心的 O⊙ 与弧 AE,边 AD, DC 都相切,把扇形 BAE 作一个圆锥的侧面,该圆锥的底面圆恰好是 O⊙ ,则 AD 的长为( ) A.4 B. 9 2 C.11 2 D.5 【答案】D 54. 【中】(西城 2011 二模)如图,两同心圆的圆心为 O ,大圆的弦 AB 与小圆相切,切 点为 P .若两圆的半径分别为 2 和 1,则弦长 AB = ________ ;若用阴影部分围成 一个圆锥(OA 与OB 重合),则该圆锥的底面半径长为 ________. A CB D E A CB D O A P B O 图 1 图 2 13 /59 【答案】 , 55. 【易】(门头沟二模)如果圆锥的底面半径为 3,母线长为 5,那么它的侧面展开图的 圆心角是( ) A.180 ° B. 200 ° C. 225 ° D. 216 ° 【答案】D 56. 【易】(成都中考)如图,小丽要制作一个圆锥模型,要求圆锥的母线长为 9 cm ,底 面圆的直径为 10cm ,那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形的纸片的圆心角 度数是( ) A.150 ° B. 200 ° C.180 ° D. 240 ° 【答案】B 57. 【易】(成都中考)若一个圆锥的底面圆的周长是 4πcm ,母线长是 6cm ,则该圆锥 的侧面展开图的圆心角的度数是( ) A. 40 ° B.80 ° C.120 ° D.150 ° 【答案】C 58. 【易】(2010 年北京二中分初三期中上)已知圆锥的底面半径为 3,高为 3 3 ,则圆 锥的侧面展开图的扇形圆心角的度数为( ) A.180 ° B.120 ° C.90 ° D.60 ° 【答案】A 59. 【易】(浙江省 2013 年初中毕业生学业考试绍兴市试卷 )若圆锥的轴截面为等边三角形, 则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥侧面展开图的圆心角是( ) A. 90 ° B. 120 ° C. 150 ° D. 180 ° 【答案】D 60. 【易】(天津耀华中学 2010 届初三第二次月考)已知圆锥的母线 6l = ,底面半径 2r = ,求圆锥的侧面展开图扇形的圆心角 α . 【答案】120 ° 61. 【易】(2011 黑河市中考)将一个半径为 6 cm ,母线长为 15cm 的圆锥形纸筒沿一条 母线剪开并展平,所得的侧面展开图的圆心角是 ________ 度. 【答案】144 62. 【易】(北京汇文中学 2010-2011 学年度初三数学)将一个底面半径为 5cm ,母线长 为12cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平,所得的侧面展开图的圆心角是 ________ 度. 【答案】150 63. 【易】(2013 年北京市门头沟区初三年级数学第二次统一练习)已知圆锥侧面展开图 的扇形半径为 2cm ,面积是 24 cm3 π ,则扇形的弧长和圆心角的度数分别为( ) 32 3 4 9cm 10cm 14 /59 A. 4 πcm 120 3 , ° B. 2 πcm 120 3 , ° C. 4 πcm 60 3 , ° D. 2 πcm 60 3 , ° 【答案】A 64. 【中】(2011 湖北罗田一中自主招生)如右图,圆锥的母线长是 3,底面半径是 1, A 是底面圆周上一点,从 A 点出发绕侧面一周,再回到 A 点的最短的路线长是 ________. 【答案】3 3 二、 扇形面积 65. 【易】(北京 2013 年通州区初三年级模拟考试数学试卷)一个扇形的圆心角为 90° , 半径为 2,则这个扇形的面积是( ) A.6 π B.4 π C.2 π D. π 【答案】D 66. 【易】(四川省资阳市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试数学)钟面上的分针的 长为 1,从 9 点到 9 点 30 分,分针在钟面上扫过的面积是( ) A. 1 π 2 B. 1 π 4 C. 1 π 8 D. π 【答案】A 67. 【易】(2011 .江苏省常州中考)已知扇形的圆心角为 150 ° ,它所对应的弧长 20 πcm , 则此扇形的半径是 ________ cm ,面积是 2________ cm . 【答案】24 ;240 π 68. 【易】(2010 年顺义二模)已知一个扇形的半径为 6cm ,圆心角为 150 °,则这个扇形 的面积为________ 2cm . 【答案】15 π 69. 【易】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4)如图,已知扇形的 半径为 3cm ,圆心角为 120 ° ,则扇形的面积为 ________ 2cm .(结果保留 π ) 【答案】3π 70. 【易】(北京市第八十中学 2010-2011 学年度第一学期初三)已知扇形的半径为 4,弧 长为 8 π 3 ,求这个扇形的圆心角和面积. A O 120°15 /59 【答案】120 ° ;16 π 3 . 71. 【易】(常州市 2013 年初中毕业、升学统一文化考试数学试题)已知扇形的半径为 6cm ,圆心角为 150 °,则此扇形的弧长是 _______cm ,扇形的面积是 _________ 2cm (结果保留 π) 【答案】5π ;15 π 72. 【易】(2010 东城区初三上联考)如图,求 AB 的长及扇形 OAB 的面积.(结果保留 π ) 【答案】 110 π 40 220 π 180 9 l ⋅= = 2110 π 40 1 220 π 4400 π 40360 29 9S S ⋅  = =⋅⋅=  或 73. 【易】(新疆维吾尔自治区及新疆生产建设兵团初中毕业生学业考试)如图,已知菱 形 ABCD 的边长为 1.5 cm , 两点在扇形 的 EF 上,求 BC 的长度及扇形 ABC 的面积. 【答案】∵四边形 ABCD 是菱形且边长为 1.5 , ∴ 1.5AB BC= = , 又∵ B C、 两点在扇形 AEF 的 EF 上, ∴ 1.5AB BC AC= = = , ∴ ABC△ 是等边三角形, ∴ 60BAC∠ = ° , BC 的长 ()60 π 1.5 π cm 180 2 ⋅= = , ()21 1 π 31.5 π cm 2 22 8ABCS lR= =⋅⋅ =扇形 . 74. 【易】(2013 年四川省凉山州高中阶段招生统一考试数学试卷 )如图,在 Rt ABC△ 中, 90C∠ = °, 8AC = , 6BC = ,两等圆 A⊙ 、 B⊙ 外切,那么图中两个扇形(即阴影部 分)的面积之和为 ______. 40mm 110° O B A B C, AEF FE D CB A16 /59 【答案】 25 π 4 75. 【易】(2011 年河南省重点中学六校调研中考数学一模试卷)如图,⊙O 的半径为 1, PA 切⊙O 于点 A,连接 OA,OP 交⊙O 于点 D,且∠APO =30° ,弦 AB ⊥OP 于点 C, 则图中阴影部分面积等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 76. 【易】(2012 通州二模)如图所示,已知大正方形的边长为 10 厘米,小正方形的边 长为 7 厘米,则阴影部分面积为( )cm 2. A.13 2 π B.12 3 π C.25 π D.无法计算 【答案】C 77. 【易】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4)如图,在矩形空地 上铺 4 块扇形草地.若扇形的半径均为 r 米,圆心角均为 90 ° ,则铺上的草地共有 ________ 平方米. 【答案】 2πr 78. 【易】(北京市房山区 2013 年初三数学统一练习)如图:⊙ A 、⊙ B 、⊙ C 两两不 相交,且半径均为 1,则图中三个阴影扇形的面积之和为( ) C B A B A P C OD 17 /59 A.π B. π 2 1 C. π2 D. π 4 1 【答案】B 79. 【易】(湖南省张家界市 2013 年初中毕业学业考试数学试卷)如图, A⊙ 、 B⊙ 、 C⊙ 两两外切,它们的半径都是 a ,顺次连接三个圆心得到 ABC△ ,则图中阴影部分的 面积之和是 _______. 【答案】 21 π 2 a 80. 【易】(天津耀华嘉诚第一学期九年级第二次月考)如图,五个半径为 2 的等圆,其 圆心分别在五角星的五个顶点,则阴影扇形面积之和为( ) A. π B. 2π C.3π D. 4π 【答案】B 81. 【易】(北京师大附中 2010-2011 学年度第一学期期中考试)如图, PA、 PB 与 O⊙ 相切,切点分别为 A 、 B . 3PA = , 60P∠ = ,若 AC 为 O⊙ 的直径,则圆中阴影部 分的面积为 ________. 【答案】 2 π CB A CB A 6题 P B C O A18 /59 82. 【易】(2011• 泰州)如图, ABC△ 的3个顶点都在 5 5× 的网格(每个小正方形的边长 均为 1 个单位长度)的格点上,将 ABC△ 绕点 B 顺时针旋转到 A BC′ ′△ 的位置,且点 A′、C′ 仍落在格点上,则线段 AB 扫过的图形面积是 ________ 平方单位(结果保留 π ). 【答案】13 π 4 83. 【易】(广东深圳中考)如图,已知点 A.B.C.D 均在已知圆上,AD//BC,AC 平 分 , 120ADC∠ = ° ,四边形 ABCD 的周长为 10cm .图中阴影部分的面积为 ( ) 2cm A. B. C. D. 【答案】B 84. 【易】(2011 平谷二模)如图,在⊙O 中,直径 AB =6 ,∠CAB =40 °,则阴影部分的 面积是 ________. 【答案】 2π 85. 【易】(2010 北京 166 中学初三上期中)如图,Rt △ABC 中∠ABC =90 °,AB =BC =2,以 BC 为直径的圆交 AC 于点 D,则图中阴影部分的面积为( ) A'C' C B A BCD∠ D CB A 3 2 3 2 3 4 3 O C BA19 /59 A.2 B.1 2 π+ C.1 D. 2 4 π− 【答案】C 86. 【易】(延庆县 2012 年初三第二次模拟试卷)如图,点 A B C、、 在直径为 2 3 的 O⊙ 上, 45BAC∠ = °,则图中阴影部分的面积等于 ________.(结果中保留 π ) 【答案】 3 3π 4 2 − 87. 【易】(重庆市 2013 年初中毕业生学业暨高中招生考试数学试卷 B 卷)如图,一个 圆心角为 的扇形,半径 ,那么图中阴影部分的面积为 ________;(结果保 留 ) 【答案】 π 2− 88. 【易】(重庆市 2013 年初中毕业暨高中招生考试数学试题 A 卷)如图,在边长为 4 的正方形 中,以 为直径的半圆与对角线 交于点 ,则图中阴影部分的 面积为 _________(结果保留 ). 【答案】 89. 【易】(2013 年东营市初中学生学业考试 )如图,正方形 ABCD 中,分别以 B 、 D 为圆 心,以正方形的边长 a 为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的 周长为( ) 90 ° 2OA = π O BA ABCDABAC E E D C BA 10 π− O A B C A B C D O·20 /59 A. πa B. 2πa C. 1 π 2 a D.3a 【答案】A 90. 【易】(2013 年广东省中考数学试卷)如图,三个小正方形的边长都为 1,则图中阴 影部分面积的和是 _____(结果保留 π ). 【答案】 3π 8 91. 【易】(北京十五中 2010-2011 学年度初三年级第一学期期中检测,10 年大兴二模) 如图, AB 是 O⊙ 的直径,点 D 、 E 是半圆的三等分点, AE、 BD 的延长线交于点 C , 若 2CE = ,则 O⊙ 中阴影部分的面积之和是( ) A. 4 π 3 3 − B. 2 π 3 C. 2 π 2 3 − D. 1 π 3 【答案】A 92. 【易】(北京市第一六六中学 2010-2011 学年度第一学期期中考试试卷)如图,以 BC 为直径,在半径为 2,圆心角为 90 ° 的扇形内作半圆,交弦 AB 于点 D ,连接 CD,则 阴影部分的面积是( ) A. π 1− B. π 2− C. 1 π 1 2 − D. 1 π 2 2 − 【答案】A D CB A EA C D B O A C D B21 /59 93. 【易】(2011 东城二模)如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,⊙O 的半径为 2,以圆心 O 为顶点作∠MON,使∠MON =90° ,OM、ON 分别与⊙O 交于点 E、F,与正方形 ABCD 的边交于点 G、H,则由 OE、OF、EF⌒及正方形 ABCD 的边围成的图形(阴影 部分)的面积 S= ________. 【答案】 2π − 94. 【易】(北京市东城区 2013 学年第二学期初三数学综合练习一)已知每个网格中小正 方形的边长都是 1,图中的阴影图案是由三段以格点为圆心,半径分别为 1 和 2 的圆 弧围成.则阴影部分的面积是 ______. 【答案】 π 2− 95. 【易】(乐山市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试数学)如图,小方格都是边长 为 1 的正方形,则以格点为圆心,半径为 1 和 2 的两种弧圆成的 “叶状 ”阴影图案的面 积为 ______. 【答案】2π 4− 96. 【易】如图,扇形 CAB 的圆心角∠ACB =90° ,半径 CA =8cm ,D 为弧 AB 的中点,以 CD 为直径的⊙O 与 CA.CB 相交于点 E、F,则弧 AB 的长为 ________cm ,图中阴影 部分的面积是 ________cm 2. 【答案】4π,( 16 π-32 ) 97. 【易】(泰安市 2013 年初中学生学业考试 )如图, AB、CD 是 O⊙ 的两条互相垂直的直 径,点 1O 、 2O 、 3O 、 4O 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点,若 O⊙ 的半径为 2, 则阴影部分的面积为( ) FOE D C BA22 /59 A.8 B.4 C. 4π 4+ D. 4π 4− 【答案】A 98. 【易】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4)如图, AB 为 O⊙ 的直径,CD AB⊥ 于点 E ,交 O⊙ 于点 D ,OF AC⊥ 于点 F . (1)请写出三条与 BC 有关的正确结论; (2)当 30D∠ = ° , 1BC = 时,求圆中阴影部分的面积. 【答案】( 1) BC AC⊥ . BC BD= . BC OF∥ 等(答案不唯一); (2) π 3 3 4 − 99. 【易】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4)如图,已知 AB 是 O⊙ 的直径,点C 在 O⊙ 上,且 13AB = , 5BC = . (1)求sin BAC∠ 的值; (2)如果 OD AC⊥ ,垂足为 D ,求 AD 的长; (3)求图中阴影部分的面积(圆周率取 3.14 ,结果精确到 0.1 ). 【答案】( 1) 5 13 ; (2) 6AD = (3)36.3 100. 【易】(通州二模,2010 年上海徐汇区九上期中)如图,在 Rt ABC△ 中, 90C∠ = ° , 30B∠ = ° , 2AB = ,若以 A 为圆心, AC 为半径的弧交斜边 AB 于点 D ,则图中以 CD 与边 CB. DB 围成的阴影面积为( ) A B C D O C B A O F D E 23 /59 A. π 6 B. 3 π 2 6 + C. π 3 6 2 − D. 3 π 2 6 − 【答案】D 101. 【易】(2011 福建泉州中考)如图,直径 AB 为 6 的半圆,绕 A 点逆时针旋转 60 ° , 此时点 B 到了点 B′,则图中阴影部分的面积是( ). A.3π B. 6π C.5π D. 4π 【答案】B 102. 【易】(2011• 达州)如图,在等腰 Rt ABC△ 中, 90C∠ = ° ,点 D 为 AB 的中点,已 知扇形 EAD 和扇形 FBD 的圆心分别为点 A 、点 B ,且 2AC = ,则图中阴影部分的面 积为 ________(结果不取近似值). 【答案】 π 2 2 − 103. 【易】如图,菱形 OABC 中, 120A∠ = ° , 1OA = ,将菱形 OABC 绕点 O 按顺时针方 向旋转 90 ° ,则图中由弧 BB′ , BC,弧CA′ , A B′ ′ 围成的阴影部分的面积是 ________. 【答案】 2π 3 3 2 − 104. 【易】(2011 年郑州市中考数学模拟试卷)如图, PA, PB 切 O⊙ 于 A , B 两点,若 60APB = ∠ , O⊙ 的半径为 3,则阴影部分的面积为 ________. FE D BA C A B C O A′ B′ C′ A B B’ 24 /59 【答案】9 3 3 π− 105. 【易】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4)如图,线段 AB 与 ⊙O 相切于点 C ,连结 OA、OB,OB 交 O⊙ 于点 D ,已知 6cmOA OB= = , 6 3cmAB = .求: (1) O⊙ 的半径;( 2)图中阴影部分的面积. 【答案】( 1)3cm ;( 2) 9 33 π 2 2 − 106. 【易】(2013 年长沙市初中毕业学业水平考试数学试卷)如图, ABC△ 中,以 AB 为 直径的 O⊙ 交 AC 于点 D , DBC BAC∠ = ∠ . ⑴求证: BC 是 O⊙ 的切线; ⑵若 O⊙ 的半径为 2, 30BAC∠ = ° ,求图中阴影部分的面积. 【答案】 2 π 3 3 − ⑴∵ AB 是直径 ∴ 90ADB∠ = ° 又∵ BAC DBC∠ = ∠ ∴ 90ABD DBC ABD BAC∠ +∠ =∠ +∠ =° ,即 90ABC∠ = ° . ∴ BC 是圆 O 的切线. ⑵如图连接 OD,由圆心角的性质可知 60BOD∠ = ° ,即 BCD△ 是边长为 2 的等边三角形,所以 260 1 2= π 2 2 2 sin60 π 3 360 2 3 S − °=−阴 × × × × × 107. 【易】(威海市 2013 年初中学业考试 )如图,CD 为 O⊙ 的直径, CD AB⊥ ,垂足为点 F , AO BC⊥ ,垂足为点 E , 1AO = . (1)求 C∠ 的大小; (2)求阴影部分的面积. O A C B D A P B O 25 /59 【答案】解:( 1)∵CD 为 O⊙ 的直径,CD AB⊥ ,∴ AD BD= . ∴ 1 2 C AOD=∠ ∠ . ∵ AOD COE=∠ ∠ ,∴ 1 2 C COE=∠ ∠ . ∵ AO BC⊥ ,∴ 30C = °∠ . (2)连接 OB.由(1)知 30C = °∠ . ∴ 60AOD = °∠ ,∴ 120AOB = °∠ 在 Rt AOF△ 中, 1AO = , 60AOF = °∠ , ∴ 3 2 AF = , 1 2 OF = .∴ 3AB = . ∴ 2120 11 1 31 π 3 π 360 22 3 4OABOABS S S= − = ×−××=−△阴影 扇形 . 108. 【易】(怀柔区 2011-2012 学年度第一学期期末九年级教学质量检测)在 ABC△ 中, 120C∠ = ° , AC BC= , 4AB = ,半圆的圆心 O 在 AB 上,且与 AC, BC 分别相切于 点 D , E . (1)求半 O⊙ 的半径; (2)求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)连结 OD, OC, ∵半圆与 AC, BC 分别相切于点 D , E . ∴ DCO ECO∠ = ∠ ,且OD AC⊥ . ∵ AC BC= , ∴ CO AB⊥ 且 O 是 AB 的中点. ∴ 1 2 2 AO AB= = . ∵ 120C∠ = ° ,∴ 60DCO∠ = ° . ∴ 30A∠ = ° . ∴在 R t AOD△ 中, 1 1 2 OD AO= = . 即半圆的半径为 1. O F E D C BA O F E D C BA A B C O D E A B C O D E26 /59 (2)设CO x= ,则在 Rt AOC△ 中,因为 30A∠ = ° ,所以 2AC x= ,由勾股 定理得: 2 2 2AC OC AO− = 即 2 2 2(2) 2x x− = 解得 2 3 3 x = ( 2 3 3 x = − 舍去) ∴ 1 1 23434 2 2 33ABCS ABOC= ⋅ =×× =△ . ∵半圆的半径为 1, ∴半圆的面积为 2 π , ∴ 43 833 3 2 6 S π π−= − = . 109. 【易】(泰州市 2013 年初中毕业、升学统一考试数学试卷 )如图 AB 是 O⊙ 的直径, AC、 DC 为弦, 60ACD∠ = ° , P 为 AB 延长线上的点, 30APD∠ = ° . (1)求证: DP 是 O⊙ 的切线; (2)若 O⊙ 的半径为 3cm ,求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)证明:连接 OD,BD ∵ OD OB= 60ABD ACD∠ =∠ =° ∴△ OBD 是等边三角形 ∴ 60DOB∠ = ° ∵ 180DOB ODP APD∠ +∠ +∠ = ° 30APD∠ = ° ∴ 90ODP∠ = ° ∴ PD OD⊥ ∴PD 是 O⊙ 的切线. (2)在 Rt POD△ 中, 3cmOD = , 30APD∠ = ° ∵ 3tan30 PD ° = ∴ 3 3 3tan30PD = =° ∴图中阴影 部分的面积 21 60 π 3 93 3 π 3 3 32 360 22PODOBDS S ⋅ ⋅= − ==××− = −△ 扇形 110. 【易】(2013 年辽宁省沈阳市中考数学试卷)如图, OC 平分 MON∠ ,点 A在射线 OC 上,以点 A为圆心,半径为 2 的 A⊙ 与 OM 相切与点 B ,连接 BA 并延长交 A⊙ 于 点 D ,交 ON 于点 E . ⑴ 求证: ON 是 A⊙ 的切线; ⑵ 若 60MON∠ = ° ,求图中阴影部分的面积.(结果保留 π ) 27 /59 【答案】⑴证明:过点 A作 AF ON⊥ 于 F , ∵ OM 是 A⊙ 的切线, ∴ AB OM⊥ . ∵ OC 平分 MON∠ , ∴ 2AF AB= = . ∴ ON 是 A⊙ 的切线. ⑵ 解:∵ 60MON∠ = ° , AB OM⊥ , ∴ 30OEB∠ = ° . ∵ AF ON⊥ , ∴ 60FAE∠ = ° . ∴在 Rt AEF△ 中, tan FEFAEAF ∠ = . ∴ tan 60 2 3EF AF= ⋅ °= . ∴ 21 60 2• π 2 3 π 2 360 3AEFADFS S S AF EF AF=− = − =−阴影 扇形△ . 111. 【易】(雅安市二 ○一三年初中毕业暨高中阶段教育学校招生考试数学试卷)如图, AB 是 O⊙ 的直径, BC 为 O⊙ 的切线, D 为 O⊙ 上的一点,CD CB= ,延长 CD 交 BA 的延长线于点 E . (1)求证:CD 为 O⊙ 的切线; (2)若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点,求 PBC△ 周长的最小值; 【答案】( 1)证明:连接 OD ∵ BC 是 O⊙ 的切线 ∴ 90ABC =∠ ° ∵ CD CB= ∴ CBD CDB=∠ ∠ ∵ OB OD= ∴ OBD ODB=∠ ∠ ∴ 90ODC ABC= =∠ ∠ ° ∴ CD 是 O⊙ 的切线 (2)在 Rt OBF△ 中, ∵ 30 1ABD OF= =∠ °, ∴ 60 2 3BOF = OB BF= =∠ , , ∵ OF BD⊥ N M E D C B AO F28 /59 ∴ 2 23 2 120BD BF BOD BOF== = =,∠ ∠ ° ∴ BODBODS=S S− △阴 扇形 2120 π 2 1 23 1360 2 ×= −×× 4 π 3 3 = − 112. 【易】(四川省绵阳市 2013 年中考数学真题试题 )如图, AB 是 O⊙ 的直径,C 是半圆 O上 的一点, AC 平分 DAB∠ , AD CD⊥ ,垂足为 D , AD 交 O⊙ 于 E ,连接 CE. (1)判断 CD 与 O⊙ 的位置关系,并证明你的结论; (2)若 E 是 AC 的中点, O⊙ 的半径为 1,求图中阴影部分的面积 . 【答案】(1)CD 与圆 O相切.理由如下: ∵ AC 为∠ DAB 的平分线, ∴∠ DAC =∠ BAC, ∵OA =OC, ∴∠ OAC =∠OCA, ∴∠ DAC =∠OCA, ∴OC ∥ AD, ∵ AD ⊥CD, ∴OC ⊥CD, 则CD 与圆 O相切; (2)连接 EB,由 AB 为直径,得到∠ AEB =90° , ∴ EB ∥CD, F 为 EB 的中点, ∴OF 为 ABE△ 的中位线, ∴OF = 1 1 2 2AE = ,即CF = DE = 1 2 , 在 Rt OBF△ 中,根据勾股定理得: EF = FB = DC = 3 2 , 则 1 1 3= 2 2 2DECS S = × ×△阴影 3= 8 113. 【中】(北京市昌平区 2013 年初三数学第二次统一练习)如图,从原点 A 开始,以 AB =1 为直径画半圆,记为第 1 个半圆;以 BC =2 为直径画半圆,记为第 2 个半圆; 以CD =4 为直径画半圆,记为第 3 个半圆;以 DE =8 为直径画半圆,记为第 4 个半 圆;……,按此规律,继续画半圆,则第 5 个半圆的面积为 _______,第 n 个半圆的面 积为 _______. 29 /59 【答案】32 π ; 2 52 πn− 114. 【中】(朝阳区 2011-2012 学年九年级第一学期期末统一考试)如图,梯形 ABCD 中, AD ∥BC,∠C=90 °,AB =AD =4 ,BC =6 ,以点 A 为圆心在这个梯形内画出一个最大的 扇形(图中阴影部分),则这个扇形的面积是 ________. 【答案】 4π 115. 【中】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4)如图,从一个直径 是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 90 的扇形. (1)求这个扇形的面积(结果保留 π ); (2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一 个圆锥?请说明理由. (3)当⊙O 的半径 ( 0)R R > 为任意值时,( 2)中的结论是否仍然成立?请说明理由. 【答案】( 1) 2 π ; (2)不能 (3)成立 116. 【中】(昆明市 2013 年初中学业水平考试数学试卷)如图,从直径为 4cm 的圆形纸 片中,剪出一个圆心角为 的扇形 ,且点 、 、 在圆周上,把它围成一 个圆锥,则圆锥的底面圆的半径是 _______cm. 90 ° OAB O A B A B CO ① ② ③ 30 /59 【答案】 2 2 117. 【中】(浙江省初中毕业生学业考试(嘉兴卷))如图, P⊙ 内含于⊙ ,⊙ 的弦 切⊙P 于点 ,且 .若阴影部分的面积为 ,则弦 的长为( ) A.3 B.4 C.6 D.9 【答案】C 118. 【中】(大兴区 2011-2012 学年度第一学期期末检测试卷)如图所示,以点 O 为圆心 的两个同心圆中,大圆的弦 AB 是小圆的切线,点 P 为切点,且 4AB = , 2OP = ,连 结 OA 交小圆于点 E ,则扇形 EOP 的面积为 ________. 【答案】 1 π 2 119. 【中】(浙江省初中毕业生学业考试(湖州市))如图,已知在 中, 90ACB∠ = ° , ,分别以 , 为直径作半圆,面积分别记为 , , 则 + 的值等于 ________. 【答案】 2π O A B OO AB C OPAB// π9 AB E P BA O Rt ABC△ 4AB = ACBC 1S 2S 1S 2S C A B S1 S2 BA C PO31 /59 120. 【中】(大庆地区 2013 年中考数学模拟试题 )如图,在等腰直角三角形 ABC 中, 2cmAB BC= = ,以直角顶点 B 为圆心, AB 长为半径画弧,再以 AC 为直径画弧,两 弧之间形成阴影部分.阴影部分面积为 ________ 2cm . 【答案】2 121. 【中】(德州市二○一三年初中学业考试数学试题)如图,扇形 AOB 的半径为 1, 90AOB∠ = ° ,以 AB 为直径画半圆.则图中阴影部分的面积为( ) A. 1 π 4 B. 1π 2 − C. 1 2 D. 1 1π 4 2 + 【答案】C 122. 【中】(泰安市高中段学校招生考试)如图,图 1 是某公司的图标,它是由一个扇环 形和圆组成,其设计方法如图 2 所示, ABCD 是正方形, O⊙ 是该正方形的内切圆, E 为切点,以 B 为圆心,分别以 BA. BE 为半径画扇形,得到如图所示的扇环形,图 1 中的圆与扇环的面积比为 ________. 【答案】 4 : 9 123. 【中】(郑州市 2011 年中考数学中招模拟考试)如图,⊙O1 和⊙O2 是等圆,半径为 1cm ,相交于 A、B,⊙O1 经过⊙O2 的圆心 O2,连接 AO 1、AO 2、BO 1、BO 2,则图中 阴影部分的面积是 ________cm 2. O B A 图1 图2 F E O D CB A O2O1 B A32 /59 【答案】 124. 【中】(北京市宣武区 2009-2010 学年度第二学期第一次质量检测)如图,正方形 ABCD 的边长为 2,将长为 2 的线段 QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑 动.如果点 Q 从点 A 出发,沿图中所示方向按 A B C D A→ → → → 滑动到点 A 为止, 同时点 F 从点 B 出发,沿图中所示方向按 B C D A B→ → → → 滑动到点 B 为止,那 么在这个过程中,线段 QF 的中点 M 所经过的路线围成的图形的面积为( ) A.2 B. 4 π− C. π D. π 1− 【答案】B 125. 【中】(遂宁市 2009 年初中毕业生学业考试)如图,把⊙O1 向右平移 8 个单位长度 得⊙O2,两圆相交于 A.B,且 O1A⊥O2A,则图中阴影部分的面积是( ) A.4π-8 B.8π-16 C.16 π-16 D.16 π-32 【答案】B 126. 【中】(2012 北京西城初三二模)如图,在矩形 ABCD 中, 3AB = ,BC =1 .现将 矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 90° 得到矩形 A B CD′ ′ ′ ,则 AD 边扫过的面积(阴影部 分)为( ) A. 1 2 π B. 1 3 π C. 1 4 π D. 1 5 π 【答案】C 127. 【中】(2013 年山东日照初中学业考试 )如图(a),有一张矩形纸片 ABCD,其中 6cmAD = ,以 AD 为直径的半圆,正好与对边 BC 相切,将矩形纸片 ABCD 沿 DE 折 叠,使点 A 落在 BC 上,如图(b).则半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积为 _____________. 2( 3)3 π − F M Q D CB A O1 O2 B A33 /59 【答案】 29 33π cm4  −    128. 【中】(盐城市 2013 年初中毕业与升学统一考试数学试题 )如图,在 ABC△ 中, 90BAC∠ = ° , 5cmAB = , 2cmAC = ,将 ABC△ 绕顶点 C 按顺时针方向旋转 45 °至 1 1A BC△ 的位置,则线段 AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 ______ 2cm . 【答案】 25 π 8 在 Rt ABC△ 中, 2 2 29BC AC AB= + = , 扇形 1BCB 面积是: ( )2 45 π 29 29 π 360 8 × = , 1 1CB AS△ = 1 5 2 5 2 × × = ; 1 245 π 2 π 360 2CAAS ×= =扇形 . 故 1 1 29 π π 25 π = 5 5 8 2 8ABC ABCBCB CAAS S S S S+ − − = +−−=△ △阴影部分 扇形 扇形 . 故答案为: 25 π 8 . 129. 【中】(2010 东直门中学初三上期中)如图,△ABC 是直角边长为 a 的等腰直角三角 形,直角边 AB 是半圆 O1 的直径,半圆 2O 过 C 点且与半圆 1O 相切,则图中阴影部分 的面积是( ) A. B. C. D. 【解析】 A' E A B C D 图(b)图(a) D CB A 2 36 7 a π− 2 36 5 a π− 2 36 7 a 2 36 5 a34 /59 如图所示,阴影面积可转化为梯形 PDEA 的面积计算 【答案】D 130. 【中】(西城一模、2012 密云二模)如图,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,若将 两条含 120 ° 圆心角的 AOB、 BOC 及边 AC 所围成的阴影部分的面积记为 S,则 S 与 △ABC 面积的比等于( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 【答案】B 131. 【中】(2013 年浙江省初中毕业生学业考试(温州市卷))在 ABC△ 中, C∠ 为锐 角,分别以 AB, AC 为直径作半圆,过点 B , A , C 作 BAC,如图所示,若 4AB = , 2AC = , 1 2 4S S π− = ,则 3 4S S− 的值是( ) A. 29 4 π B. 23 4 π C. 11 4 π D. 5 4 π 【答案】 D 132. 【中】(2013 年襄阳市初中毕业生学业考试数学试题)如图,以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt ABC△ 斜边 AB 的两个端点,交直角边 AC C 于点 E 、 B , E 是半圆弧的三等 分点,弧 BE 的长为 2 π 3 ,则图中阴影部 分的面积为( ) A. π 9 B. 3π 9 C. 3 3 3 π 2 2 − D. 3 3 2 π 2 3 − 【答案】D 连接 BD, BE, BO, EO, ∵ B , E 是半圆弧的三等分点, S4 S3 S2 S1 A B C35 /59 ∴∠ EOA =∠ EOB =∠ BOD =60° , ∴∠ BAC =30° , ∵弧 BE 的长为 2 π 3 , ∴ 60 π 2 π 180 3 R× = , 解得: R =2 , ∴ AB = AD cos30°= 2 3 , ∴ BC = 1 2 AB = 3 , ∴ AC = 2 2AB BC− =3 , 1 1 333 3 2 2 2ABCS BC AC∴ =× × =××=△ , ∵△ BOE 和 ABE△ 同底等高, ∴△ BOE 和 ABE△ 面积相等, ∴图中阴影部分的面积为: 23 3 60 π 2 33 2 π 2 360 2 3ABCBOES S ×− =− =−△ 扇形 . 故选 D. 133. 【中】(河南中考)如图,在半径为 5 ,圆心角等于 45 ° 的扇形 AOB 内部作一个正 方形 CDEF,使点 C 在OA 上,点 D E、 在OB 上,点 F 在 AB 上,则阴影部分的 面积为(结果保留 π )________. 【答案】 5 3π 8 2 − 134. 【中】(2013 年南宁市初中毕业升学考试数 学试卷) 如图,在边长为 2 的正三角形中,将其内切圆和三个角切圆(与角两边及三角形内切 圆都相切的圆)的内部挖去,则此三角形剩下部分(阴影部分)的面积为:_________. 【答案】 43 π 9 − 如图,设该等边三角形是 ABC 及内切大圆圆心为 O ,半径为 R .上角切圆圆心为 D ,半径为 r . 过点 A 做 AH BC⊥ 交 BC 于点 H . Rt AHC△ 中, 1HC = , 30HAC∠ = ° , 3AH = , F ED C B A O E CH O B D A36 /59 ABC△ 面积 1 2 3 3 2 S = ×× = Rt OHC△ 中, 1HC = , 30HCO∠ = ° , 3 3 HO R= = , 内切大圆面积 1 1 π 3 S = . Rt ADE△ 中, 30DAE∠ = ° , 2 2AD DE r= = , 3 2 3AH r R= + = ,求出 3 9 r = , 小角切圆的面积 2 1 π 27 S = .三个的面积为 1 π 9 . 所以,阴影部分面积 1 1 4= 3 π π = 3 π 3 9 9 S − − −阴 135. 【中】(北京市丰台区 2013 年初三数学统一练习二)如图,在△ 1 1OA B 中,∠ 1 1OA B =90 °, 1OA = 1 1A B =1. 以 为圆心, 为半径作扇形 1 1OA B , 1 1A B 与 1OB 相交于点 2B , 设△ 1 1OA B 与扇形 1 2OA B 之间的阴影部分的面积为 ;然后过点 2B 作 2 2B A ⊥ 1OA 于点 2A ,又以 为圆心, 为半径作扇形 2 3OA B , 2 3A B 与 1OB 相交于点 3B ,设△ 2 2OA B 与扇形 之间的阴影部分面积为 ; 按此规律继续操作,设△ 与扇形 之间的阴影部分面积为 . 则 =___________ ; =__________ . 【答案】 1 π 2 8 − ; 2 1 π 2 2n n +− 136. 【中】(2012 年石景山一模)已知:如图是斜边为 10 的一个等腰直角三角形与两个 半径为 5 的扇形的重叠情形,其中等腰直角三角形顶角平分线与两扇形相切,则图中 阴影部分面积的和是. 【答案】 25 25- 2 2 π ; 137. 【中】(宁波市 2013 年中考数学卷)如图, AE 是半圆 O 的直径,弦 4 2AB BC= = , 弦 4CD DE= = ,连接 OB,OD,则图中两个阴影部分的面积和为 _______ O 1OA 1S O 2OA 2 3OA B 2S n nOA B 1n nOA B + nS 1S nS 37 /59 【答案】10 π ∵弦 AB = BC,弦CD = DE, ∴点 B 是弧 AC 的中点,点 D 是弧 CE 的中点, ∴∠ BOD =90° , 过点 O 作OF ⊥ BC 于点 F ,OG ⊥CD 于点 G , 则 BF = FC = 2 2 ,CG =GD =2 ,∠ FOG =45° , 在四边形 OFCG 中,∠ FCD =135° , 过点 C 作CN ∥OF,交OG 于点 N , 则∠ FCN =90° ,∠ NCG =135°-90°=45° , ∴△ CNG 为等腰三角形, ∴CG = NG =2 , 过点 N 作 NM ⊥OF 于点 M ,则 MN = FC = 2 2 , 在等腰三角形 MNO 中, NO = 2 MN =4 , ∴OG =ON + NG =6 , 在 Rt OGD△ 中, 2 2 226 2 2 10OD OG GD= + =+= , 即 O⊙ 的半径为 2 10 , 故 ( )2 90 π 2 10 10 π 360OBDS S × = = =阴影 扇形 . 138. 【中】(天津耀华中学 2010 届初三第二次月考发展型试卷)某学校建一个喷泉水池, 设计的底面是半径为 4m 的正六边形,池底是水墨石地面.现用的磨光机的磨头是半 径为 2dm 的圆形砂轮,磨池底时磨头磨不到的部分的面积为( ) 2dm . 【答案】8 3-4 π 139. 【中】(天津耀华中学 2010 届初三第二次月考发展型试卷)正方形 ABCD 边长为 a , 分别以 D 、C 为圆心,以正方形边长为半径作弧,则两弧成的阴影部分的面积为 ________. 【答案】 21 3π 3 4 a  −    140. 【中】(北京汇文中学 2011 学年度初三数学)如图,阴影部分甲比阴影部分乙的面积 大 248cm ,直径 AB 长 40 cm ,则 BC 的长为 ________. O E D CB A NM GF O E D CB A D CB A38 /59 【答案】10 π 2.4− 141. 【中】(2013 年遵义市初中毕业生学业考试数学试题卷)如图,在 Rt ABC△ 中, 90ACB∠ = ° , 1AC BC= = , E 为 BC 边上的一点,以 A 为圆心, AE 为半径的圆弧交 于点 D ,交 AC 的延长线于点 F ,若图中两个阴影部分的面积相等,则 AF 的长为 _______. 【答案】 2 π π 142. 【中】(山西省 2013 中考数学试卷 )如图,四边形 是菱形, , , 扇形 的半径为 2,圆心角为 ,则图中阴影部分的面积是( ) A. B. C. D. 【答案】B 143. 【中】(2013 年十堰市初中毕业生学业考试数学试题)如图,正三角形 ABC 的边长 是 2,分别以点 B , C 为圆心,以 r 为半径作两条弧,设两弧与边 BC 围成的阴影部分 面积为 S ,当 2 2r <≤ 时, S 的取值范围是 ________. 【答案】 π 41 π 3 2 3 S− −≤ < 如右图所示,过点 D 作 DG ⊥ BC 于点 G ,易知 G 为 BC 的中点,CG =1 . 在 Rt CDG△ 中,由勾股定理得: DG = 2 2 2 1CD CG r− = − . A B C 甲 乙 F C EB D A ABCD 60A∠ = ° 2AB = BEF 60 ° 2π 3 3 2 − 2π 33 − 3π 2 − π 3−39 /59 设∠ DCG =θ ,则由题意可得: () 2 2 2 2π 1 π 2 211 13602 180CDGCDE r rSSS r r θ θ = − = −××−= −−  △扇形 , 2 2π 1180 rS r θ∴= − − . 当 r 增大时,∠ DCG =θ 随之增大,故 S 随 r 的增大而增大. 当 2r = 时, 2 1 1DG r= − = , 1CG =∵ ,故 45θ = ° , ()2 245 π( 2) π 2 1 1180 2S∴= − −=− ; 若 2r = ,则 2 1 3DG r= − = , 1CG =∵ ,故 60θ = ° , 2 260 π2 4 π 2 1 3180 3S∴= − −=− . ∴ S 的取值范围是: π 41 π 32 3S− −≤ < 144. 【中】(昌平二中 2010-2011 学年初三期中考试试卷)如图,已知扇形 AOB 的半径为 12 ,OA OB⊥ , C 为 OB 上一点,以 OA 为直径的半圆 1O 与以 BC 为直径的半圆 2O 相 切于点 D ,求图中阴影部分面积. 【解析】 如图所示 连接 1 2O O ,设 2BC r= , 2AO R= , ∵半圆 1O ,半圆 2O 相切, ∴ 1 2O O 过 D 点, 1 2 6O O r= + , ∵ OA OB⊥ , ∴ 2 2 2 1 2 12OO OO OO+ = , ∴ ()()2 22 12 6R r r+ − =+ , ∴ 4r = 【答案】10 π 145. 【中】(平谷区 2009-2010 学年度第二学期初三第一次统一练习)如图,有一块半圆 形钢板,直径 20cmAB = ,计划将此钢板切割成下底为 AB 的等腰梯形,上底 CD 的端 点在圆周上,且 10cmCD = .求图中阴影部分的面积. O2 O1 O B D C A40 /59 【答案】连结 OC, OD,过点 O 作 OE CD⊥ 于点 E . ∵ OE CD⊥ ,∴ 5CE DE= = , ∴ 2 2 2210 5 5 3OE CO CE= − = −= , ∵ 90OED∠ = °, 1 2 DE OD= ,∴ 30DOE∠ = °, 60DOC∠ = °. ∴ 260 10 50 360 3S π π×= =扇 形 ( 2cm ) ()21 25 3 cm 2OCDS OE CD=⋅ ⋅ =△ ∴ 250 π 25 3 cm3OCDS S S  =− = −  扇 形 △ ∴阴影部分的面积为 250 π 25 3 cm3  −   . 146. 【中】(2013 年贵阳市初中毕业生学业数学考试试题卷) 已知:如图, AB 是 O⊙ 的弦, O⊙ 的半径为 10 ,OE、 OF 分别交 AB 于点 E 、 F , OF 的延长线交 O⊙ 于点 D ,且 AE BF= , 60EOF∠ = ° . ⑴求证: OEF△ 是等边三角形; ⑵当 AE OE= 时,求阴影部分的面积.(结果保留根号和 π ) 【答案】⑴证明:作OC AB⊥ 于点 C , ∴ AC BC= , ∵ AE BF= ,∴ EC FC= , ∵ OC EF⊥ ,∴OE OF= , ∵ 60EOF∠ = ° , ∴ OEF△ 是等边三角形. ⑵解:∵在等边三角形 OEF 中, 60OEF EOF∠ =∠ =° , 又∵ AE OE= , ∴ 30A AOE∠=∠ = ° , ∴ 90AOF∠ = ° , ∵ 10AO = , O D C BA E A B CD O FE D BA O C O A B D E F41 /59 ∴ 10 3 3 OF = . 1 103 50310 2 3 3AOFS =× ×=△ . 290 π 10 25 π 360AODS = × =扇形 , ∴ 50 325 π 3AOFAODS S S= − =−阴影 扇形 △ . 147. 【中】(2012 学年度第一学期终结性检测试卷,2011 福州中考)如图,在 ABC△ 中, 90A∠ = ° , O 是 BC 边上一点,以 O 为圆心的半圆分别与 AB、 AC 边相切于 D 、 E 两点,连接 OD.已知 2BD = , 3AD = . 求:( 1) tan C∠ ;( 2)图中两部分阴影面积的和. 【答案】( 1)连接 OE. ∵ AB、 AC 分别切 O⊙ 于 D 、 E 两点 ∴ OD AB⊥ ,OE AC⊥ , AD AE= , ∴ 90ADO AEO∠ =∠ =° , 又∵ 90A∠ = ° , ∴四边形 ADOE 是矩形, ∴四边形 ADOE 是正方形, ∴ OD AC∥ , 3OD AD= = ∴ BOD C∠ = ∠ , ∴在 Rt BOD△ 中, 2= 3 BDBO OD D∠ = , ∴ 2tan 3 C∠ = . (2)如图,设 O⊙ 与 BC 交于 M 、 N 两点, 由(1)得:四边形 ADOE 是正方形,∴ 90DOE∠ = ° , ∴ 90COE BOD∠ +∠ =° , ∵在 Rt EOC△ 中, 2tan 3 C∠ = , 3OE = , 9 2 EC = ∴ ∴ 21 1 9π 3 π 4 4 4DOM EON DOE OS S S S+ = = =⋅=扇 形 扇形扇 形 ⊙ , ∴ () 39 9 π 4 4BOD COE DOM EONSS S S S−=+ + =−扇 形 扇 形影 △ △阴 , 答:图中两部分阴影面积的和为 39 9 π 4 4 − . 42 /59 148. 【中】(2013 年钦州市中考学校招生暨初中数学毕业统一考试)如图,在 Rt ABC△ 中, 90A∠ = ° , O 是 BC 边上一点,以 O 为圆心的半圆与 AB 边相切于点 D ,与 AC、 BC 边分别交于点 E 、 F 、 G ,连接 OD,已知 2BD = , 3AE = , 2tan 3 BOD∠ = . ⑴ 求 O⊙ 的半径 OD; ⑵ 求证: AE 是 O⊙ 的切线; ⑶ 求图中两部分阴影面积的和. 【答案】 (1) AB∵ 与圆 O 相切, ∴ OD ⊥ AB, 在 Rt △ BDO 中, BD =2 ,tan ∠ BOD = BD OD = 2 3 , ∴ OD =3 ; (2)连接 OE, ∵ AE =OD =3 , AE ∥OD, ∴四边形 AEOD 为平行四边形, ∴ AD ∥ EO, ∵ DA ⊥ AE, ∴ OE ⊥ AC, 又∵OE 为圆 O 的半径, ∴ AC 为圆 O 的切线; (3)∵OD ∥ AC, ∴ AC =7.5 , ∴ EC = ACAE− =7.5-3=4.5 , ∴S 阴影 =S △ BDO +S △OEC-S 扇形 BOD-S 扇形 EOG 21 1 90 π 32 3 3 4.52 2 360 27 9 π 3 4 4 39 9 π 4 ×=××+×× − = + − −= 149. 【中】(2009 年抚顺市初中毕业生学业考试)如图所示, AC 与 O⊙ 相切于点 C ,线 段 AO 交 O⊙ 于点 B .过点 作 BD AC∥ 交 O⊙ 于点 D ,连接 CD OC、 ,且 OC 交 于点 .若 30 53CDB DB cm∠ =° =,. (1)求 O⊙ 的半径长; (2)求由弦 CD BD、 与弧 BC 所围成的阴影部分的面积.(结果保留 ) B DB E π43 /59 【答案】( 1) 与 相切于点 (cm ) 在 中, 即 的半径长为 . (2)由(1)可知, 又 , 答:阴影部分的面积为 . 150. 【中】(四川省自贡市 2013 年初中毕业生数学试卷)如图,点 B 、 C 、 D 都在 O⊙ 上,过点 C 作 AC BD∥ 交 OB 延长线于点 A ,连接 CD,且 30CDB OBD= =∠ ∠ °, DB = 6 3 cm . (1)求证: AC 是 O⊙ 的切线; (2)求由弦 CD、 BD 与弧 BC 所围成的阴影部分的面积.(结果保留 π ) 【答案】(1)证明:连接 CO,交 DB 于 E ,∵ 30CDB =∠ ° ∴ 2 60O D =∠ = ∠ ° 又∵ 30OBE∠ = ° ∴ 180 60 30 90BEO = − − =∠ ° ° ° ° ∵ AC BD∥ ∴ 90ACO BEO= =∠ ∠ ° AC∵ O⊙ C 90ACO∴∠ = ° BD AC∵ ∥ 90BEO ACO∴∠ =∠ = ° 1 5 3 2 2DE EB BD∴ = = = 30D∠ =∵ ° 2 60O D∴∠ = ∠ = ° Rt BEO△ 5 3 3 2sin 60 2 BE OB OB =°= , 5OB∴ = O⊙ 5cm 60 90O BEO∠= ∠ =°, ° 30EBO D∴∠ =∠ = ° CED BEO∠ = ∠∵ BE ED= CDE OBE∴△ ≌△ 2 260 25 ππ 5 (cm)360 6OBCS S∴= = =阴 扇 · 225 π cm6 D B A C E O 44 /59 ∴ AC 是 O⊙ 的切线 (2) 解: ∵ OEDB⊥ ∴ 1 3 32EB DB= = 在 Rt EOB△ 中, cos30 EB OB =° ∴ 33 3 62OB = ÷ = 又∵∠ D =∠ DBO, DE = BE,∠ CED =∠OEB ∴ ( )CDE OBE ASA≅△ △ ∴ CDE OBES S=△ △ ∴ 260 π 6 6 π 360OCBS S= = ⋅=阴影 扇形 2(cm ) 151. 【中】(2013 年山东莱莱芜市中考试题 )如图, O⊙ 的半径为 1,直线 CD 经过圆心 O , 交 O⊙ 于 C D 两点,直径 AB CD⊥ ,点 M 是直线 CD 上异于点 C 、 O 、 D 的一个动 点, AM 所在的直线交于 O⊙ 于点 N 点 P 是直线 CD 上另一点,且 PM PN= . (1)当点 M 在 O⊙ 内部,如图一,试判断 PN 与 O⊙ 的关系,并写出证明过程; (2)当点 M 在 O⊙ 外部,如图二,其它条件不变时,( 1)的结论是否成立?请说明 理由; (3)当点 M 在 O⊙ 外部,如图二, 15AMO = °∠ ,求图中阴影部分的面积. 【答案】解:( 1) PN 与 O⊙ 相切. 证明:连结 ON, 则 ONA OAN=∠ ∠ ,∵ PM PN= ,∴ PNM PMN=∠ ∠ . ∵ AMO PMN=∠ ∠ ,∴ PNM AMO=∠ ∠ . ∴ 90PNO PNM ONA AMO ONA= + = − =°∠ ∠ ∠ ∠ ∠ . 即 PN 与 O⊙ 相切. (2)成立. 证明:连结 ON,则 ONA OAN=∠ ∠ ,∵ PM PN= ,∴ PNM PMN=∠ ∠ . 在 Rt AOM△ 中, ∴ 90OMA OAN+ = °∠ ∠ ,∴ 90PNA ONA+ = °∠ ∠ . ∴ 180 90 90PNO = °− °= °∠ . ∴ 180 90 90PNO = °− °= °∠ . 即 PN 与 O⊙ 相切. (3)连结 ON,由(2)可知 90ONP = °∠ . 图(三)图(二)图(一) B B N MPO DC A N MO PDC A O P N M D C B A E A C DO P M N B45 /59 ∵ 15AMO = °∠ , PM PN= ,∴ 15PNM = °∠ , 30OPN = °∠ , ∵ 60PON = °∠ , 30AON = °∠ . 作 NE OD⊥ ,垂足为点 E ,则 2NE ON= , 3 3 3sin 60 1 2 2 °= ⋅ = . 2 2 21 30 1π 1 CO NE2 360 2AOC CONAONS S S S OCOA= + − = +××−△ △阴影 梯形 1 11 311 31 1 π 1 π 2 12 2 2212 4 =××+ −×× =+ − . 152. 【中】(2013 年临沂市初中学生学业考试试题)如图,在 ABC△ 中, 90ACB∠ = ° , E 为 BC 上一点,以CE 为直径作 O⊙ , AB 与 O⊙ 相切于点 D ,连接 CD,若 2BE OE= = . (1)求证: 2A DCB∠ = ∠ ; (2)求图中阴影部分的面积(结果保留 π 和根号). 【答案】(1) 证明:连接 OD. ∵ AB 与 O⊙ 相切于点 D , ∴ 90ODB∠ = ° , ∴ 90B DOB∠+∠ = ° .∵ 90ACB∠ = ° ,∴ 90A B∠ +∠ = ° , ∴ A DOB∠ = ∠ ∵ OC OD= ,∴ 2DOB DCB∠ = ∠ .∴ 2A DCB∠ = ∠ (2) 方法一:在 Rt ODB△ 中,OD OE= , OE BE= ∴ 1sin 2 ODB OB ∠ = = ∴ 30 60B DOB∠=°∠ =°, ∵ sin60 2 3BD OB= ⋅ °= ∴ 1 1 2 23 232 2DOBS OD DB= ⋅ =×× =△ 260 π 2 π 360 3ODE ODS ⋅= =扇 形 2= 2 3 π 3DOBODES S S− = −阴影 扇形△ 方法二:连接 DE,在 Rt ODB△ 中,∵ 2BE OE= = ∴ 1 2DE OB OE= = , ∵ OD OE= ,∴ DOE△ 为等边三角形,即 60DOB∠ = ° . 153. 【中】(江西省 2013 年中等学校招生考试数学试题卷)如图 1,一辆汽车的背面,有 一种特殊性状的刮雨器,忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线 OAB,如图 2 所示,量 得连杆 OA 长为 10cm ,雨刮杆 AB 长为 48cm , 120OAB∠ = ° .若启动一次刮雨器,雨 刮杆 AB 正好扫到水平线 CD 的位置,如图 3 所示. EO D C B A A BC D O E46 /59 ⑴ 求雨刮杆 AB 旋转的最大角度及 O 、 B 两点之间的距离;(结果精确到 0.01 ) ⑵ 求雨刮杆 AB 扫过的最大面积.(结果保留 π 的整数倍) (参考数据: 3sin 60 2 ° = , 1cos60 2 ° = , tan 60 3° = , 721 26.851≈ ,可使用科学 计算器) 图 1 图 2 图 3 【答案】⑴雨刮杆 AB 旋转的最大角度为 180 ° . 连接 OB,过 O 点作 AB 的垂线交 BA 的延长线于 E 点, ∵ 120OAB∠ = ° , ∴ 60OAE∠ = ° , 在 Rt OAE△ 中, ∵ 60OAE∠ = ° , 10OA = , ∴ sin 10 OE OEOAE OA ∠ = = , ∴ 5 3OE = , ∴ 5AE = . ∴ 53EB AE AB= + = , 在 Rt OEB△ 中, ∵ 5 3OE = , 53EB = , ∴ 2 2 2884 2 721 53.70OB OE BE= += = ≈ ; ⑵ ∵雨刮杆 AB 旋转 180 ° 得到 CD,即 OCD△ 与 OAB△ 关于点 O 中心对称, ∴ BAO DCO△ ≌△ , ∴ BAO DCOS S=△ △ , ∴雨刮杆 AB 扫过的最大面积 ()2 21 π 2S OB OA= − 1392 π= . 154. 【中】(2013 年辽宁省锦州市中考数学试卷 )如图, AB 是 O⊙ 的直径,C 是 O⊙ 上一点, OD BC⊥ 于点 D ,过点 C 作 O⊙ 的切线,交 OD 的延长线于点 E ,连接 BE. ⑴ 求证: BE 与 O⊙ 相切; O A B O O A B C E C BA O O47 /59 ⑵ 设OE 交 O⊙ 于点 F ,若 1DF = , 2 3BC = ,求由劣弧 BC、线段 CE 和 BE 所围 成的图形面积 S . 【答案】⑴证明:连接 OC, ∵ CE 与 O⊙ 相切于点 C , ∴ 90OCE∠ = ° . ∵ OC OB= ,OD BC⊥ , ∴ EOC EOB∠ = ∠ , 在 EOC△ 和 EOB△ 中, OC OB EOC EOB OE OE = ∠ = ∠  = ∴ EOC EOB△ ≌△ (SAS) ∴ OCE OBE∠ = ∠ . ∴ 90OBE∠ = ° . ∴ BE 与 O⊙ 相切. ⑵ 解:设 O⊙ 的半径为 R , ∵ OD BC⊥ , ∴ 1 2 BD CD BC= = . ∵ 2 3BC = , ∴ 3BD = . ∵ 1DF = , ∴ 1OD R= − . 在 Rt OBD△ 中,由勾股定理得 2 2 2OD BD OB+ = , ∴ ()( )22 21 3R R− + = . 解得: 2R = . ∵ 3sin 2 BDBODOB ∠ = = , ∴ 60BOD∠ = ° . ∴ 2 120BOC BOD∠ =∠ = ° , 2 4 cos cos60 OBOE BOE = = = ∠ ° 2 24 2 23EC EB∴ = = −= 21 120 42 223 π 2 4 3 π 2 360 3ECO EBO OCBSS S S °= + − =××× − ××= −°△ △ 扇 155. 【中】(2013 年枣庄市 2010 级初中学业考试)如图, AB 是 O⊙ 的直径, AC 是弦, 直线 EF 经过点 C , AD EF⊥ 于点 D , DAC BAC=∠ ∠ . (1)求证: EF 是 O⊙ 的切线; (2)求证: 2AC AD AB= ⋅ ; (3)若 O⊙ 的半径为 2, 30ACD = °∠ ,求图中阴影部分的面积. E F D BOA C C A O B D F E48 /59 【答案】( 1)证明:连接 OC. ∵ OC OA= ,∴ OCA OAC=∠ ∠ . ∵ DAC BAC=∠ ∠ ,∴ OCA DAC=∠ ∠ . ∴ OC AD∥ . 又∵ AD EF⊥ ,∴ OC EF⊥ . ∴ EF 是 O⊙ 的切线. (2)证明:连接 BC. ∵ AB 是 O⊙ 的直径,∴ 90ACB = °∠ . ∴ 90ACB ADC= = °∠ ∠ . 又∵ BAC DAC=∠ ∠ , ∴ ABC ACD△ ∽△ . ∴ AC AB AD AC = ,即 2AC AD AB= ⋅ . (3)解:∵ 30ACD = °∠ ,∴ 60OCA OAC= = °∠ ∠ . ∴ OAC△ 是等边三角形. ∴ 60AOC = °∠ , 2AC OC= = . 在 Rt ADC△ 中, 2AC = , 30ACD = °∠ , ∴ 1AD = , 3CD = . ∴ ()()1 1 331 2 32 2 2ADCOS ADOCCD= + ⋅=+⋅=梯形 , 260 π 2 2 π 360 3OACS ×= =梯形 , ∴ 3 3 2 π 2 3OACADCOS S S= − =−阴影 阴影梯形 . 156. 【难】(2013 年潍坊市初中学业水平考试 )为了改善市民的生活环境,我是在某河滨空 地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在 Rt △ ABC 内修建矩形水池 DEFG,使顶点 D E、 在斜边 AB 上, F G、 分别在直角边 BC AC、 上;又分别以 AB BC AC、、 为直径 作半圆,它们交出两弯新月(图中阴影部分),两弯新月部分栽植花草;其余空地铺 设地砖.其中 24 3AB = 米 , 60BAC∠ = ° .设 EF x= 米, DE y= 米. (1)求 y 与 x 之间的函数解析式; (2)当 x 为何值时,矩形 DEFG 的面积最大?最大面积是多少? (3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积,并求当 x 为何值时,矩形 DEFG 的面积等 于两弯新月面积的 1 3 ? 【答案】解:( 1)在 Rt ABC△ 中,由题意得 12 3AC = 米, 36BC = , 30ABC = °∠ , O FE DC B A G C B F EDA F O E DC B A49 /59 所以 3 tan 60 33 DG xAD x= = =° , 3tan 30 EFBE x= =° , 又 AD DE BE AB+ + = , 所以 3 4243 3 243 33 3y xx x= − −= − ,( 0 18x< < ). (2)矩形 DEFG 的面积 24 4243 3 3 2433 3Sxyx x x x == − =− +   ()24 3 9 10833 x=− − + , 所以当 9x = 米时,矩形 DEFG 的面积最大,最大面积是 108 3 平方米 . (3)记 AC 为直径的半圆、 BC 为直径的半圆、 AB 为直径的半圆面积分别 为 1S 、 2S 、 3S ,两弯新月面积为 S ,则 2 1 1 π 8S AC= , 2 2 1 π 8S BC= , 2 3 1 π 8S AB= , 由 2 2 2AC BC AB+ = 可知 1 2 3S S S+ = , ∴ 1 2 3 ABCS S SS S+ −= − △ ,故 ABCS S= △ . 所以两弯新月的面积 1 12 3 36 216 32S =× × = (平方米). 由 ()24 13 9 1083 21633 3x− −+ =× ,即()29 27x − = , 解得 9 3 3x = ± ,符合题意, 所以当 9 3 3x = ± 米时,矩形 DEFG 的面积等于两弯新月面积的 1 3 . 157. 【难】(2013 年湖北省宜昌市初中毕业生学业考试数学试题)半径为 2cm 的 O⊙ 与边 长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧, O⊙ 与 l 相切于点 F , DC 在 l 上 . ⑴过点 B 作 O⊙ 的一条切线 BE, E 为切点. ①填空:如图 1,当点 A 在 O⊙ 上时, EBA∠ 的度数是 ________; ②如图 2,当 E , A , D 三点在同一直线上时,求线段 OA 的长; ⑵以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置,向左移动正方形(图 3), 至边 BC 与 OF 重合时结束移动, M , N 分别是边 BC, AD 与 O⊙ 的公共点,求扇形 MON 的面积的范围. 【答案】⑴① 30 ° . ②如图 1 ∵直线 l 与 O⊙ 相切于 F , ∴ 90OFD∠ = ° . ∵正方形 ADCB 中, 90ADC∠ = ° , ∴ OF AD∥ . ∵ 2OF AD= = , O E A B F D C l 图1 图2 lCDF BA E O 图3 lCD F BA M O N50 /59 ∴四边形 OFDA 为平行四边形. ∵ 90OFD∠ = ° , ∴平行四边形 OFDA 为矩形. ∴ DA AO⊥ , ∵正方形 ABCD 中, DA AB⊥ . ∴ O , A , B 三点在同一直线上. 方法一: ∵ E , A , D 三点在同一直线上, ∴ EA OB⊥ . ∵ 90OEB∠ = ° , ∴ OEB EAO∠ = ∠ . 又∵ EOB AOE∠ = ∠ , ∴ EOA BOE△ ∽△ . ∴ OA OE OE OB = , ∴ 2OE OA OB= ⋅ . ∴ ( )2 4OA OA+ = , 解得, 1 5OA = − ± , ∵ 0OA > , ∴ 5 1OA = − . 方法二: 在 Rt OAE△ 中, cos 2 OA OAEOAOE ∠ = = . 在 Rt EOB△ 中, 2cos 2 OEEOB OB OA ∠ = = + . ∴ 2 2 2 OA OA = + . ∴解得, 1 5OA = − ± , ∵ 0OA > , ∴ 5 1OA = − . 方法三: ∵ OE EB⊥ , EA OB⊥ . ∴由射影定理,得 2OE OA OB= ⋅ , ∴ ( )2 4OA OA+ = . ∵ 0OA > , ∴ 5 1OA = − . ⑵如图 2,设 MON n∠ = ° , ()2 2π π 2 cm360 90MON nS n= × =扇形 . S 随 n 的增大而增大, MON∠ 取最大值时, MONS扇形 最大. K 图1 lCDF BA E O 图2 lCD F BA M O N51 /59 当 MON∠ 取最小值时, MONS扇形 最小. 过 O 点作 OK MN⊥ 于 K , ∴ 2MON NOK∠ = ∠ , 2NM NK= . 在 Rt ONK△ 中,sin 2 NK NKNOKON ∠ = = , ∴ NOK∠ 随 NK 的增大而增大, ∴ MON∠ 随 MN 的增大而增大. ①当 N , M , A 分别与 D , B , O 重合时, MN 最大, MN BD= , 90MON BOD∠ =∠ =° , ( )2π cmMONS =扇形 最大 ②当 2MN DC= = 时, MN 最小. ∴ ON MN OM= = , ∴ 60NOM∠ = ° . ()22 π cm3MONS =扇形 最小 ∴ 2 π π 3 MONS扇形≤ ≤ . 三、 圆锥侧面积 158. 【易】(2010 平谷)一个圆锥的母线长为 3cm ,侧面展开图是圆心角为 120 o 的扇形, 则圆锥的侧面积是 ________ 2cm . 【答案】3π 159. 【易】(2011 .无锡市中考)已知圆柱的底面半径为 2cm ,高为 5cm ,则圆柱的侧面 积是( ) A.20cm 2 B.20 π cm 2 C.10 π cm 2 D.5 π cm 2 【答案】B 160. 【易】(2013 年齐齐哈尔市初中学业考试数学试卷 )圆锥的母线长为 6 cm ,底面周长为 5π cm ,则圆锥的侧面积为 ________. 【答案】 215 πcm 161. 【易】(2012 密云一模)已知:圆锥的母线长为 4,底面半径为 2,则圆锥的侧面积 等于( ) A.11 π B.10 π C.9π D.8π 【答案】D 162. 【易】(2012 年海淀区九年级上期末)已知圆锥的底面半径为 2cm ,母线长为 5cm , 则此圆锥的侧面积为( ) A.5πcm 2 B.10πcm 2 C.14 πcm 2 D.20πcm 2 【答案】B 163. 【易】(2012 房山二模)已知圆锥的底面半径为 3,母线长为 4,则圆锥的侧面积等 于( ). A.15 π B.14 π C.13 π D.12 π 【答案】D 164. 【易】(2010 年怀柔二模)圆锥的底面半径为 1,母线长为 2,则这个圆锥的侧面积 是( ) A. π B. 2π C. 3π D. 4π 52 /59 【答案】B 165. 【易】(昌平区 2013 年初三年级第一次统一练习)如图是某几何体的三视图及相关数 据,则该几何体的侧面积是 A. 1 2 ab π B. 1 2 ac π C. ab π D. ac π 【答案】B 166. 【易】(娄度市 2013 年初中毕业学业考试数学试题卷 )一圆锥的底面半径为 1cm ,母线 长 2cm ,则是圆锥的侧面积为 ______ 2cm . 【答案】 2π 167. 【易】(2011 .福建厦门中考)已知一个圆锥的底面半径长为 3cm 、母线长为 6cm , 则圆锥的侧面积是 ________cm 2. 【答案】18 π 168. 【易】(2011 ·漳州)如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图,已知圆锥底面半径 为 5cm ,母线长为 15cm ,那么纸杯的侧面积为 ________cm 2.(结果保留 π) 【答案】75 π 169. 【易】(2011 年昌平二模)圆锥的母线长为 3,底面半径为 2,则它的侧面积为 ________. 【答案】6π 170. 【易】(2010 年九年级第三次质量预测试题)已知圆锥的底面周长为 58cm ,母线长 为 30cm ,则圆锥的侧面积为 ________. 【答案】870cm 2 171. 【易】(2013 年衡阳市初中毕业学业水平考试数学试卷)如图,要制作一个母线长为 8cm ,底面圆周长是 12 π cm 的圆锥形小漏斗,若不计损耗,则所需纸板的面积是 _______ 2cm . 俯俯图左俯图主俯图 acb 15cm 5cm 53 /59 【答案】 48 π 172. 【易】(延庆县 2011-2012 学年第一学期期末试卷)已知圆锥的底面直径为 4cm ,其 母线长为 3cm ,则它的侧面积是________. 【答案】 6π 173. 【易】(2011-2012 学年度第一学期终结性检测试卷)已知圆锥的母线长和底面圆的直 径均是 10cm ,则这个圆锥的侧面积是 ________. 【答案】50 π cm 2 174. 【易】(2011 年广雅实验初三上期中)圆锥的高 4cm ,底面圆直径长 6cm ,则该圆锥 的侧面积等于 ________ cm (结果保留 ) 【答案】15 π 175. 【易】(浙江省 2013 年初中毕业生学业考试(湖州市))在学校组织的实践活动中, 小新同学用纸板制作了一个圆锥模型它的底面半径为 1,高为 2 2 ,则这个圆锥的侧 面积是( ) A. 4π B. 3π C. 2 2 π D. 2π 【答案】B 176. 【易】(朝阳一模)如图,圆锥的高 AO 为 12 ,母线 AB 长为 13 ,则该圆锥的侧面积 等于( ) A. 65 π B. 54 π C. 45 π D. 36 π 【答案】A 177. 【易】(昌平二中 2010-2011 学年初三期中考试试卷)若圆锥的母线长为 5cm ,高为 4cm ,则圆锥的侧面积是( ) A. 210 πcm B. 215cm C. 215 πcm D. 220 πcm 【答案】C 178. 【易】(2013 年绥化市初中毕业学业考试数学试卷 )直角三角形两直角边长分别是 3cm 和 4cm ,以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是 ________ 2cm .(结果保留 π ) 【答案】 24 π , 36 π , 84 π 5 179. 【易】(黄石市 2013 年初中毕业生学业考试数学试题卷)已知直角三角形 ABC 的一 条直角边 12 cmAB = ,另一条直角边 5cmBC = ,则以 AB 为轴旋转一周,所得到的圆 锥的表面积是( ) A. 290 πcm B. 2209 πcm C. 2155 πcm D. 265 πcm 【答案】A A O B 54 /59 180. 【易】(浙江省 2013 年初中毕业生学业考试(义乌市卷))已知圆锥的底面半径为 6cm ,高为 8cm ,则这个圆锥的母线长为( ) A.12cm B.10cm C. 8cm D. 6cm 【答案】B 181. 【易】(2010 年朝阳二模)已知一个圆锥的底面半径是 5cm ,侧面积是 265 πcm ,则 圆锥的母线长是( ) A. 6.5 B.13 C.15 D.26 【答案】B 182. 【易】(2011 年四川省内江市中考数学试卷)如果圆锥的底面周长是 20 π ,侧面展开 后所得的扇形的圆心角为 120 ° ,则圆锥的母线是 ________. 【答案】30 183. 【易】(门头沟 2011 )若圆锥侧面展开图的扇形面积为 65 π cm 2,扇形的弧长为 10 π cm ,则圆锥的母线长是( ) A.5cm B.10cm C.12cm D.13cm 【答案】D 184. 【易】(北京怀柔区 2013 学年度初三数学二模)一个圆锥的底面半径为 6 ㎝,圆锥侧 面展开图扇形的圆心角为 120°,则圆锥的母线长为 ______cm. 【答案】18 185. 【易】(北京市宣武区 2009 -2010 学年度第二学期第二次质量检测)用一个半径为 5cm ,面积为 215 πcm 的扇形纸片,制作成一个圆锥的侧面(接缝处不重叠),那么这 个圆锥的底面半径为 ________ cm . 【答案】 3 186. 【易】(2010 北京 166 中学初三上期中)小玲制作一个圆锥模型的侧面是一个半径为 9cm ,圆心角为 120 °的扇形铁皮,则这个圆锥的半径为( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 【答案】B 187. 【易】(2010 年成都中考)若一个圆锥的侧面积是 18 π ,侧面展开图是半圆,则该圆 锥的底面圆半径是 ________. 【答案】3 188. 【易】(哈尔滨市 2013 年初中升学考试数学试卷 )一个圆锥的侧面积是 36 π 2cm ,母线 长12cm ,则这个圆锥的底面圆的直径是 _______ cm . 【答案】6 189. 【易】(2013 年兰州市初中毕业生数学学业考试)圆锥底面圆的半径为 3cm ,其侧面 展开图是半圆,则圆锥母线长为( ) A. 3cm B. 6cm C. 9cm D.12cm 【答案】B 190. 【易】(2013 年南宁市初中毕业升学考试数学试卷)如图,圆锥形的烟囱帽底面半径 为 ,母线长为 20cm ,制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是( ) A. 2150 πcm B. 2300 πcm C. 2600 πcm D. 2150cm 15cm55 /59 【答案】B 191. 【易】(2013 年广东省佛山市高中阶段招生考试数学试题)如图,圆锥的侧面展开图是 一个半圆,求母线 AB 与高 AO 的夹角. 参考公式:圆锥的侧面积 πS rl= ,其中 r 为底面半径, l 为母线长. 【答案】设圆锥的母线长为 l ,底面半径为 r ,则: π 2πl r= , ∴ 2l r= , ∴母线与高的夹角的正弦值 = 1 2 r l = ∴母线 AB 与高 AO 的夹角 30° . 192. 【易】(广西贵港市 2013 年初中毕业升学考试数学试卷)如图,已知圆锥的母线长为 6,圆锥的高与母线所夹的角为 θ ,且 1sin 3 θ = ,则该圆锥的侧面积是( ) A. 24 2 π B. 24 π C.16 π D.12 π 【答案】D 193. 【中】(河南省郑州市 2012 年九年 级第二次质量预测)如图,一把打开的雨伞可近 似的看成一个圆锥,伞骨(面料下方能够把面料撑起来的支架)末端各点所在圆的直 径 AC 长为 12 分米,伞骨 AB 长为 9 分米,那么制作这样的一把雨伞至少需要绸布面 料为 ________ 平方分米. 【答案】54 π 194. 【中】一扇形的圆心角为 150 °,半径为 4,用它作为一个圆锥的侧面,那么这个圆锥 的表面积是 ________ θ56 /59 【答案】 85 π 9 195. 【中】(2011 .福建泉州中考)如图,有一直径为 4 的圆形铁皮,要从中剪出一个最 大圆心角为 60° 的扇形 ABC.那么剪下的扇形 ABC(阴影部分)的面积为________; 用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径 r=________ 【答案】2π ; 3 3 196. 【中】(天津耀华中学 2010 届初三第二次月考)一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍, 则圆锥侧面展开图的扇形圆心角是 ________. 【答案】180 ° 四、 正多边形和圆 197. 【易】(郑州市 2010 年数学模拟一)木匠师傅要把边长为 1.6m 的正六边形木板桌面 改成圆形桌面,则改成的圆形桌面的最大直径为( ) A. 3.2m B.1.6m C. 0.8m D. 8 3m5 【答案】D 198. 【易】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4)如图,正六边形内 接于圆 O ,圆 O 的半径为 10 ,则圆中阴影部分的面积为 ________. 【答案】100 π 150 3− 199. 【易】(2010 年上海卢湾区初中毕业模拟考试)在⊙O 中,若弦 AB 是圆内接正四边 形的边,弦 AC 是圆内接正六边形的边,则∠BAC =________ . 【答案】15 ° 或105 ° 200. 【易】(2010 北京 166 中学初三上期中)边心距为 2 3 cm 的圆内接正六边形的面积 为( ) A.48 3 cm 2 B.24 3 cm 2 C.8 3 cm 2 D.4 3 cm 2 【答案】B 201. 【易】(2010 东城区初三上联考)边长为 a 的正六边形的边心距等于( ) A. 3 2 a B. 2 a C. a D. 23 2 a 【答案】A 57 /59 202. 【易】(2013 山东滨州,7)若正方形的边长为 6,则其外接圆半径与内切圆半径的大 小分别为( ) A.6, 3 2 B. 3 2 ,3 C.6,3 D. 6 2 , 3 2 【答案】B. 203. 【中】(浙江省 2013 年初中毕业生学业考试绍兴市试卷 )小敏在作 O⊙ 的内接正五边形 时,先做了如下几个步骤: (1)作 O⊙ 的两条互相垂直的直径,再作 OA 的垂直平分 线交 OA 于点 M ,如图 1; (2)以 M 为圆心, BM 长为半径作圆弧,交 CA 于点 D ,连 结 BD, 如图 2. 若 O⊙ 的半径为 1,则由以上作图得到的关于正五边形边长 BD 的等式是( ) A. 2 5 1 2BD OD −= B. 2 5 1 2BD OD += C. 2 5BD OD= D. 2 5 2BD OD= 【答案】C 204. 【难】(2013 年福建省泉州市初中毕业、升学考试)如图 1,在平面直角坐标系中, 正方形 OABC 的顶点 ()6 0A − , , ()0 6C , ,过点 ()2 0E − , 作 EF AB∥ ,交 BO 于 F . ⑴ 求 EF 的长; ⑵ 过点 F 作直线 l 分别与直线 AO、直线 BC 交于点 H 、G . ①根据上述语句,在图 1 上画出图形,并证明 OH EO BG AE = ; ②过点 G 作直线 GD AB∥ ,交 x 轴于点 D ,以 O 为圆心, OH 长为半径在 x 轴上方作 半圆(包括直径两端点),使它与 GD 有公共点 P ,如图 2 所示,当直线 l 绕着点 F 旋转时,点 P 也随之运动.证明: 1 2 OP BG = ,并通过操作、观察,直接写出 BG 长度的 取值范围(不必说理); ⑶ 在⑵中,若点 ()2 3M , ,探求: 2PO PM+ 的最小值. 【答案】⑴ 解法一:在正方形 OABC 中, 1 452FOE BOA COA∠ =∠ = =° ∵ EF AB∥ , 图1 图2 D M O B A C C A B O M B A C y E F O-6 6 x 图1 图2 x 6 -6 O F E y C A B H M D G P l58 /59 ∴ 90FEO BAO∠ =∠ =° . ∴ 45EFO FOE∠ =∠ =° . 又 ( )2 0E − , , ∴ 2EF EO= = . 解法二:∵ ( )6 0A − , , ( )0 6C , , ( )2 0E − , ∴ 6OA OB= = , 2EO = . ∵ EF AB∥ , ∴ EF OE AB OA = . ∴ 26 26EF = × = . 3 分 ⑵ ①解:画图,如图 1 所示 4 分 证明:∵四边形 OABC 是正方形 ∴ OH BC∥ ∴ OFH BFG△ ∽△ . ∴ OH OF BG BF = . 又由⑴ EF AB∥ ,得 OF OE FB EA = ∴ OH OE BG EA = . ②证明:∵半圆与 GD 交于点 P ∴ OP OH= . 由①得, OP OH OE BG BG EA = = , 又 4AE AO EO= − = , ∴ 1 2 OP OE BG EA = = . 通过操作、观察可知, 4 12BG≤ ≤ . ⑶ 解:由⑵可得 1 2 OP BG = , ∴ 2OP PM BG PM+ = + . 如图 2 所示,过点 M 作直线 MN AB⊥ 于点 N ,交GD 于点 K ,则四边形 BNKG 为矩形. ∴ NK BG= . ∴ 2PO PM BG PM NK PM NK KM+=+=+ +≥ . 当点 P 与 K 重合,即 P 在直线 MN 上时,等号成立. 又∵ 8NK KM MN+ =≥ , 图1 l G H B A C y E F O-6 6 x59 /59 当点 K 在线段 MN 上,等号成立. ∴当点 P 在线段 MN 上时, 2PO PM+ 的值最小,最小值为 8. K N l P G D M H B A C y E F O-6 6 x 图2

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