专题十三 推理证明
第三十九讲 数学纳法
解答题
1．（ 2017 浙江）已知数列{}nx 满足： 1 1x  11ln(1 )n n nx x x   ()n *N．
证明： n *N 时
（Ⅰ） 10 nnxx
（Ⅱ） 1
12 2
nn
nn
xxxx 
  ≤
（Ⅲ） 12
11
22nnnx≤ ≤ ．
2．(2015 湖北) 已知数列{}na 项均正数 1(1 ) ( )n
nnb n a nn   Ne 然数
底数．
（Ⅰ）求函数 ( ) 1 exf x x   单调区间较 1(1 )n
n e
（Ⅱ）计算 1
1
b
a
12
12
bb
aa
1 2 3
1 2 3
b b b
a a a
推测计算 12
12
n
n
b b b
a a a
公式出证明
（Ⅲ）令
1
12()n
nnc a a a 数列 {}nc 前 n 项分记 nS nT 证明： ennTS ．
3．(2014 江苏)已知函数 0
sin( ) ( 0)xf x xx设 ()nfx 1 ()nfx 导数 n N．
（Ⅰ）求    122 2 2 2ff   值
（2）证明：意 等式    1
2
4 4 4 2nnnf f
  成立．
4．（ 2014 安徽）设实数 0c 整数 1p *Nn ．
（Ⅰ）证明： 1x 0x 时 pxx p  1)1(
（Ⅱ）数列 na 满足 pca
1
1  p
nnn ap
cap
pa 
  1
1
1
证明： p
nn caa
1
1   ．
5．（ 2014 重庆）设 2
111 2 2 ( *)n n na a a a b n N     

（Ⅰ） 1b  求 23aa数列{}na 通项公式
（Ⅱ） 1b  问：否存实数 c 2 2 1nna c a  *nN 成立？证明
结．
6．（2012 湖北）（Ⅰ）已知函数 ( ) (1 )rf x rx x r    ( 0)x  中 r 理数01r
求 ()fx值
（Ⅱ）试（Ⅰ）结果证明命题：设 120 0aa 12bb正理数 121bb
12
1 2 1 1 2 2
bba a a b a b
（Ⅲ）请（Ⅱ）中命题推广般形式数学纳法．．．．．证明推广命题．
注： 正理数时求导公式 1()xx  
7．（ 2011 湖南）已知函数 3()f x x ()g x x x
（Ⅰ）求函数 ()()()h x f x g x零点数说明理
（Ⅱ）设数列{ na }（*nN ）满足 1 ( 0)a a a 1()()nnf a g a  证明：存常数
M意 *nN na ≤ M．

专题十三 推理证明
第三十九讲 数学纳法
答案部分
1．解析（Ⅰ）数学纳法证明： 0nx 
1n  时 1 10x 
假设 nk 时 0kx 
1nk时 1 0kx  ≤ 110 ln(1 ) 0k k kx x x    ≤ 矛盾 1 0kx   ．
0nx  ()n *N
1 1 1ln(1 )n n n nx x x x     
10 nnxx
（Ⅱ） 1 1 1ln(1 )n n n nx x x x     
2
1 1 1 1 1 14 2 2 ( 2)ln(1 )n n n n n n n nx x x x x x x x           
记函数 2( ) 2 ( 2)ln(1 )( 0)f x x x x x x     ≥
函数 ()fx[0 ) 单调递增 ( ) (0)f x f≥ 0
2
1 1 1 1 12 ( 2)ln(1 ) ( ) 0n n n n nx x x x f x         ≥
1
12 ( N )2
nn
nn
xxx x n 
 ≤
（Ⅲ）
1 1 1 1 1ln(1 ) 2n n n n n nx x x x x x        ≤
1
1
2n nx ≥
1
122
nn
nn
xx xx
 ≥
1
1 1 1 12( ) 022nnxx
  ≥
12
11
1 1 1 1 1 12( ) 2 ( ) 22 2 2
nn
nnx x x


    ≥ ≥ ≥
2
1
2n nx ≤
综 12
11(N)22nnnxn
≤ ≤ ．
2．解析（Ⅰ）()fx定义域 ()  ( ) 1 exfx  ．
( ) 0fx  0x  时 ()fx单调递增
( ) 0fx  0x  时 ()fx单调递减．
()fx单调递增区间( 0) 单调递减区间(0 ) ．
0x  时 ( ) (0) 0f x f1exx ．
令 1x n
111en
n 1(1 ) en
n． ①
（Ⅱ） 11
1
11 (1 ) 1 1 21
b
a       2 2 21 2 1 2
1 2 1 2
12 2(1 ) (2 1) 32
b b b b
a a a a       
2 3 3 31 2 3 312
1 2 3 1 2 3
13 3(1 ) (3 1) 43
b b b bbb
a a a a a a        ．
推测： 12
12
( 1)nn
n
b b b na a a ． ②
面数学纳法证明②．
（1） 1n  时左边  右边 2 ②成立．
（2）假设 nk 时②成立 12
12
( 1)kk
k
b b b ka a a ．
1nk时 1
11
1( 1)(1 )1
k
kkb k ak

   
纳假设
111 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
1( 1) ( 1)(1 ) ( 2)1
k k kk k k k
k k k k
b b b b b b b b k k ka a a a a a a a k


       
．
时②成立．
根（1）（ 2）知②切正整数 n 成立．
（Ⅲ） nc 定义②算术均等式 nb 定义①
1 2 3nnT c c c c     
1111
312
1 1 2 1 2 3 1 2()()()()n
na a a a a a a a a   
1111
312
1 2 3 1 21 1 2 ()()()()
2 3 4 1
n
nb b b b b bb b b
n     
1 2 3 1 21 1 2
1 2 2 3 3 4 ( 1)
nb b b b b bb b b
nn
           
12
1 1 1 1 1 1 1[][]1223 (1) 2334 (1) (1)nb b bn n n n n n          
12
1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )1 2 1 1nb b bn n n n        
12
12
nbbb
n    12
12
1 1 1(1 ) (1 ) (1 )12
n
na a an      
12e e e na a a     e nS ennTS ．
3．解析（Ⅰ）已知 10 2
sin cos sin()()x x xf x f x x x x
   

21 2 2 3
cos sin sin 2cos 2sin()()x x x x xf x f x x x x x x
               

1223
4 2 16()()22ff
      
122 ( ) ( ) 12 2 2ff    
（Ⅱ）证明：已知 0 ( ) sin xf x x 等式两边分 x 求导 00( ) ( ) cosf x xf x x
01( ) ( ) cos sin( )2f x xf x x x     类似
122 ( ) ( ) sin sin( )f x xf x x x     
23
33 ( ) ( ) cos sin( )2f x xf x x x     
344 ( ) ( ) sin sin( 2 )f x xf x x x    
面数学纳法证明等式 1 ( ) ( ) sin( )2nn
nnf x xf x x 
    n *N 成立
(i) n1 时知等式成立
(ii)假设 nk 时等式成立 1 ( ) ( ) sin( )2kk
kkf x xf x x 
   
1 1 1[ () ()] () () ()( 1)() ()k k k k k k kkfx xfx kfx fx xfx k fx fx          
( 1)[sin( )] cos( ) ( ) sin[ ]2 2 2 2
kk k kx x x x          
1( 1) ( ) ( )kkk f x f x ( 1)sin[ ]2
kx 
nk+1 时等式成立
综合(i)(ii)知等式 成立
令
4x  1 ( ) ( ) sin( )4 4 4 4 2nn
nnf f    
    ()
1
2()()4 4 4 2nnnf f  
 ()．
4．解析（Ⅰ）证：数学纳法证明
（1） 2p  时 22(1 ) 1 2 1 2x x x x      原等式成立
（2）假设 ( 2 *)p k k k N   时等式(1 ) 1kx kx   成立
1pk时 1(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )kkx x x x kx      
21 ( 1) 1 ( 1)k x kx k x      
时原等式成立
综合（1）（ 2） 1x 0x 时切整数 1p  等式 pxx p  1)1(
均成立
（Ⅱ）证法 1：先数学纳法证明
1
p
nac
（1） 1n  时假设
1
1
pac 知 成立
（2）假设 ( 1 *)n k k k N   时等式
1
p
kac 成立
p
nnn ap
cap
pa 
  1
1
1 易知 0 *na n N
1nk时 1 111 ( 1)pk
k p
kk
a p c caa p p p a
     

1
0p
kac 111 ( 1) 0p
k
c
p p a     
（Ⅰ）中结 1 11( ) [1 ( 1)] 1 ( 1)ppk
p p p
k k k k
a c c cpa p a p a a
        
1
p
kac 
1
1
p
kac 
时等式 成立
综合（1）（ 2）切正整数 n 等式 均成立
1 11 ( 1)n
p
nn
a c
a p a
    1 1n
n
a
a
  1nnaa 
综述
1
1 *p
nna a c n N  
证法 2：设
1
11()p ppcf x x x x cpp
   pxc
11＇( ) (1 ) (1 ) 0p
p
p c p cf x p xp p p x
     
1
pxc
见 ()fx
1
[)pc  单调递增 时
11
()()ppf x f c c
（1） 1n  时
1
1 0pac 1
pac 知
1
2 1 1 1 1
1
11[1 ( 1)]p
p
p c ca a a a ap p p a
     

1
21() pa f a c
1
12
pa a c
时等式
1
1
p
nna a c成立
（2）假设 ( 1 *)n k k k N   时等式
1
1
p
kka a c成立
1nk时
1
1()()()p
kkf a f a f c
1
12
p
kka a c
时原等式成立
综合（1）（ 2）切正整数 n 等式 均成立
5．解析：（Ⅰ）解法： 232 2 1aa  
题设条件知   22
1 1 1 1nnaa    
  21na  首项 0 公差 1 等差数列
 21na  1n   *1 1na n n N   
解法二：
写 1 2 3111 211 311a a a         猜想 11nan  
数学纳法证明式：
1n  时结显然成立
假设 nk 时结成立 11kak  
     2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1kka a k k    
说 1nk时结成立
 *1 1na n n N   
（Ⅱ）解法：设    21 1 1f x x     1nna f a 
令  c f c  21 1 1cc    解 1
4c 
数学纳法证明加强命题：
2 2 1 1nna c a   
1n  时    231 0 0 2 1a f a f     23
1 14aa   结成立
假设 nk 时结成立 2 2 1 1kka c a   
易知  fx 1 减函数      2 1 21kc f c f a f a   
2 2 21 kc a a  
减函数      2 2 2 3 1kc f c f a f a a    
23 1kca 2( 1) 2( 1) 1 1kka c a     说 1nk时结成立
综符合条件c 存中值
解法二：设
先证：01na *nN …………………………①
时结明显成立
假设 时结成立01ka
易知 减函数      0 1 0 2 1 1kf f a f     
101ka 说 1nk时结成立①成立
证： 2 2 1nnaa ………………………………②
时 23aa 时结②成立
假设 时结成立 2 2 1kkaa
① 减函数
   2 1 2 2 1 2 2k k k ka f a f a a    
       2 1 2 22 1 2 1 1kkkka f a f a a    
说 1nk时②成立②切 *nN 成立
② 2
2 2 22 2 1k k ka a a     2 2
2 2 21 2 2k k ka a a   
2
1
4ka 
①②  fx 1 减函数    2 2 1nnf a f a  2 1 2 2nnaa
2
2 1 2 1 2 12 2 1n n na a a      解 21
1
4na  
综②③④知存 1
4c  2 2 1 1nna c a    切 *nN 成立
6．解析（Ⅰ） 11( ) (1 )rrf x r rx r x     令 ( ) 0fx  解 1x 
01x时 ( ) 0fx  ()fx (0 1) 减函数
1x  时 ( ) 0fx  ()fx (1 ) 增函数
函数 ()fx 1x  处取值 (1) 0f 
（Ⅱ）（Ⅰ）知 (0 )x  时 ( ) (1) 0f x f (1 )rx rx r   ①
1a 2a 中 0 12
1 2 1 1 2 2
bba a a b a b成立
均 0 121bb 211bb
①中令 1
2
ax a 1rb 111
11
22
( ) (1 )baabbaa   
111
1 2 1 1 2 1(1 )bba a a b a b   
综 120 0aa 1b 2b 正理数 121bb总 ②
（Ⅲ）（ Ⅱ）中命题推广形式：
设 12 na a a 非负实数 12 nb b b 正理数
12 1nb b b    12
1 2 1 1 2 2
nbbb
n n na a a a b a b a b    ③
数学纳法证明：
（1） 1n  时 1 1b  11aa ③成立
（2）假设 nk 时③成立 12 ka a a 非负实数 12 kb b b 正理数
12 1kb b b    12
1 2 1 1 2 2
kbbb
k k ka a a a b a b a b   
1nk时已知 1 2 1kka a a a  非负实数 1 2 1kkb b b b  正理数
1 2 1 1kkb b b b      时 101kb  110kb 
111 2 1 2
1 2 1 1 2 1()k k k kb b b bb b b b
k k k ka a a a a a a a

12
1 1 1 1 11 1 1 1
1 2 1()
k
k k k k k
bbb
b b b b b
kka a a a       

12
1 1 1
11 1 1
k
k k k
bbb
b b b  
     
纳假设
12
1 1 11 1 1
12
k
k k k
bbb
b b b
ka a a      12
12
1 1 11 1 1
k
k
k k k
bbba a ab b b  
       
1 1 2 2
11
kk
k
a b a b a b
b 
   

112
1 2 1
kkbbbb
kka a a a 
 
1
1
1
1 1 2 2
1
11
k
k
b
bkk
k
k
a b a b a b ab





  


11(1 ) 1kkbb   ②
1
1
1
1 1 2 2
1
11
k
k
b
bkk
k
k
a b a b a b ab





  

1 1 2 2
1 1 1
1
(1 )1
kk
k k k
k
a b a b a b b a bb   

     

1 1 2 2 1 1k k k ka b a b a b a b    
112
1 2 1
kkbbbb
kka a a a 
 1 1 2 2 1 1k k k ka b a b a b a b     ．
1nk时③成立．
（1）（ 2）知切正整数 n 推广命题成立．
说明：（Ⅲ）中果推广形式中指出③式 2n  成立续证明中需讨 1n 
情况
7． 解析（Ⅰ） 3( ) [0 )h x x x x x    知 (0) 0 (1) 1 0hh   
(2) 6 2 0 0 ( )h x h x    零点 ()hx （12）零点
()hx 少两零点
解法 1：
1
2 21( ) 3 1 2h x x x
    记
1
2 21( ) 3 1 2x x x 
  
3
21( ) 6 4x x x 
 
(0 ) ( ) 0 ( ) (0 )x x x   时 单调递增 ( ) (0 )x 
零 点 33(1) 0 ( ) 0 ( ) ( 1)33x   零 点
( ) (0 )x  零点记零点
1 1 1 (0)() ()0x x x x x   时 1()xx  时 1( ) ( ) 0xx

1(0 ) ( )x x h x 时 单调递减 1(0) 0 ( ) (0 ]h h x x 零点
1(0 ) ( )x x h x 时 单调递减 1(0) 0 ( ) (0 ]h h x x 零点
1()()x x h x  时 单调递增 1()()h x x  零点
( ) (0 )hx  零点
综述()hx 两零点
解法 2：
11
2222( ) ( 1 ) ( ) 1h x x x x x x x
     记
3
21( ) 2 2x x x 
 
(0 ) ( ) 0xx  时 ( ) (0 )x  单调递增
( ) (0 )x  零点 ( ) (0 )hx  零点
综述 ()hx 两零点
（Ⅱ）记 ()hx 正零点 3
0 0 0 0x x x x
（1） 0 1 1 0a x a a a x  时
23
2 1 1 0 0 0 2 0a a a x x x a x     
猜测： 0nax 面数学纳法证明
① 101n a x时 显然成立
②假设 0( 1) 1kn k k a x n k    时 成立 时
33
1 0 0 0 1 0n k k ka a a x x x a x     知 101kn k a x  时 成立
意 *
0 kn N a x成立
（2） 0ax 时（I）知 0()()h x x  单调递增 0( ) ( ) 0h a h x
3 3 3
2 1 1 2aaa aaaaaaaa       
猜测： kaa 面数学纳法证明
① 11n a a时 显然成立
②假设 ( 1) kn k k a a  时 成立 1nk时
33
11k k k ka a a a a a a a     知
11kn k a a  时 成立
意 * nn N a a成立
综述存常数 0max{ }M x a 意 *nn N a M



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