1
数学试卷(理科)

说明：
1试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷第（1）页第（3）页第Ⅱ卷
第（4）页第（6）页
2试卷 150 分考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
注意事项：
1答第Ⅰ卷前考生务必姓名班级填涂答题卡贴条形码答题卡折叠
2题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目标号涂黑答试卷效
3考试结束监考员试卷答题卡收回

选择题：题 12 题题 5 分题出四选项中项符合
题目求
1．设集合    2| 0 | 2M x x x N x x  ＜ ＜ ( )
A． MN   B． MNM C． MNM D． MNR
2． 方程 表示双曲线 （ )
A．充分必条件 B．充条件 C．必充分条件 D．充分必
条件
3．正项等差数列 na 中 11a 4027a 函数   321 4 4 33f x x x x    极值点
20192log a ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．函数 1 sin cos ( 0)y x a x a   图象函数 2 5sin 5cosy x x图左移 单位
cos  （ ）
A． 3
5 B． 4
5 C． 32
10
D． 22
5

5．新高考方案规定普通高中学业水考试分合格性考试（合格考）选择性考试（选择
考）中选择考成绩计入高考总成绩选择考成绩根学生考试时原始卷面
分数高低进行排序评定 ABCDE 五等级某试点高中 2018 年参加选 2
择考总数 2016 年参加选择考总数 2 倍更分析该校学生选择考
水情况统计该校 2016 年 2018 年选择考成绩等级结果图表：

针该校选择考情况2018 年 2016 年较列说法正确
（ ）
A．获 A 等级数减少 B．获 B 等级数增加 15 倍
C．获 D 等级数减少半 D．获 E 等级数相
6．设  
0
sin cosa x x dx

 2 1 n
x ax

展开式中第 4 项二项式系数展开
式中项系数 （ ）
A．1 B． 1
256
C．64 D． 1
64

7．直线( 1) ( 2) 0( )x y R         恒定点 A点 直线 20mx ny   中
0m  0n  21
mn 值 （ ）
A． 22 B．4 C． 5
2 D． 9
2
8．九章算术国古代数学巨著中方田章出计算弧田面积验公
式：弧田面积 1
2（弦×矢+矢 2 ）弧田（图阴影部分示）圆弧弦围成公式
中弦指圆弧弦长矢等半径长圆心弦距离差现圆心角
2
3 矢2 弧田述方法计算出面积 ( )
3
A． 2+4 3 B． 13+ 2 C． 2+8 3 D．4+8 3
9．执行图示程序框图输出 n 值 （ ）

A．3 B．5 C．7 D．9
10．已知函数 ( ) sin ( 0)f x x点 AB 分 ()fx图 y 轴右侧第高点第
低点O 坐标原点 OAB 锐角三角形 取值范围（ ）
A． 30 2


B． 322


C． 0 2


D．2


11．设函数 R 存导函数 ＇( )fx xR 3()()f x f x x   (0 )
22 ＇( ) 3 0f x x 2( 2) ( ) 3 6 4f m f m m m      实数 m 取值范围（ ）
A．[ 11] B．( 1] C．[1 ) D．( 1] [1 )  
12．已知函数
2 2 0()
( 2) 0
x x xfx
f x x
    
结正确（ ）
A．( 3) (2019) 3ff   
B．  fx 区间 45 增函数
C．方程 ( ) 1f x k x恰 3 实根 1124k   

D．函数 ()y f x b( 4) 6 零点 ( 123456)ixi  
6
1
ii
i
x f x

 取值范围
 06

4


第Ⅱ卷（非选择题 90 分）

二填空题：题 4 题题 5 分
13．已知 3 4 a b Raibii
   （）中i 虚数单位 a bi________
14．已知数列 na 首项 1 1a  满足 11( 2)n n n na a a a n  
1 2 2 3 2014 2015a a a a a a   
15．图矩形 ABCD 中 4 2AB ADE AB 中点． ADE DE 翻折四棱
锥 1A DEBC ．设 1AC中点 M翻折程中列三命题：

①总 BM∥面 1ADE
②线段 BM 长定值
③存某位置 DE 成角 90°．
中正确命题_______．（写出正确命题序号）
16．已知双曲线C：
22
221( 0 0)xy abab    右焦点 F左顶点 A 圆心 FA 半
径圆交 右支 MN 两点线段 AM 垂直分线点 离心率
_________
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（题满分 10 分）
已知函数 2( ) cos 2 cos 2 ( )3f x x x x R   

(1)求函数 ()fx单调递增区间 5
(2) ABC 角 ABC 边分 abc 3()22
Bf  1b  3c  ab 试求角
B 角C




18．（题满分 10 分）
图 PBE△ 中 AB PE D AE 中点C 线段 BE 点 5AC 
1 22AB AP AE   PBA AB 折起二面角 P AB E直二面角．
（l）求证：CD 面 PAB
（2）求直线 PE 面 PCD 成角正切值．

19．（题满分 10 分）
2019 年 3 月 5 日国务院总理李克强作出政府工作报告中提惩戒学术端力戒
学术端力戒浮躁风．教育部 2014 年印发学术文抽检办法通知中规定：篇
抽检学术文送 3 位行专家进行评议3 位专家中 2 位（含 3 位）专家评议意见
合格学术文认定存问题学术文． 1 位专家评议意见
合格学术文送外 2 位行专家（前 3 位专家）进行复评2 位复
评专家中 1 位（含 1 位）专家评议意见合格学术文认定存问
题学术文．设篇学术文位专家评议合格概率均  01pp
篇学术文否评议合格相互独立．
（1） 1
2p  求抽检篇学术文认定存问题学术文概率
（2）现拟定篇抽检文需复评评审费 900 元需复评总评审费 1500 元
某次评审抽检文总数 3000 篇求该次评审费期值应 p 值．
6
20．（题满分 10 分）
面直角坐标系 xOy 中椭圆G 中心坐标原点左焦点 F1（﹣10）离心率 2
2e  ．
（1）求椭圆 G 标准方程
（2）已知直线 11l y kx m： 椭圆 交 AB 两点直线 2 2 1 2l y kx m m m  ：（） 椭
圆 交CD 两点 AB CD 图示．

①证明： 120mm
②求四边形 ABCD 面积 S 值．

21．（题满分 10 分）
已知函数  
2
2
0
2 0x
xx
fx x ax ax xe
     
   增函数．
 1 求实数 a 值
 2 函数    g x f x kx三零点求实数 k 取值范围．

22．面直角坐标系 中曲线C 参数方程
3cos
3sin
x
y


 
（ 参数）原点
极点 x 轴正半轴极轴极坐标系中直线l 极坐标方程 2sin 42

．
（1）求曲线 普通方程直线 直角坐标方程
（2）设点  10P  直线 曲线 交 AB两点求| | | |PA PB 值．

23．已知函数    2 1 0f x x a x a     7
（1） 1a  时求等式   4fx 解集
（2）等式   42f x x 意  3 1x   恒成立求a 取值范围 8
（数学理）
15 BDCBB 610 DDADB 11B 12 BCD
135 14 15 ①② 16
4
3
17解析
（1） 2 3 3( ) cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 3 sin 23 2 2 3f x x x x x x               

令 2 2 2 2 3 2k x k k Z     剟 解 5 12 12k x k k Z  剟
函数 ()fx递增区间 5()12 12k k k  
Z
（2） 313 sin sin2 3 2 3 2
Bf B B                      

20 3 3 3 3 6 6BBBB       
正弦定理：
13
sin sinsin 6
a
AC
3sin 2C 0 C  3C  2
3

3c  时 2A  ： 2
3C  时 6A  （合题意舍）
63BC
18．图 PBE△ 中 AB PE D AE 中点C 线段 BE 点 5AC 
1 22AB AP AE   PBA AB 折起二面角 P AB E直二面角．
（l）求证：CD 面 PAB
（2）求直线 PE 面 PCD 成角正切值．

答案（1）证明见解析 9
（2） 1
3
解析
分析：（1）推导出 4AE AC Rt ABE 斜边中线C BE 中点证明
CD 面 PAB
（2）三棱锥 E PAC 体积 E PAC P ACEVV 求出结果．
详解：（1） 1 22 AE  4AE  2AB  AB PE
2 2 2 22 4 2 5BE AB AE     15 2AC BE
AC Rt ABE 斜边 BE 中线
中点 D AE 中点．CD ABE 中位线CD AB
CD  面 PAB AB 面 CD 面 ．
（2）题设分析知 AB AP 两两互相垂直 A原点 分 x
y z 轴建立图示空间直角坐标系：
1 22AB AP AE   分 中点
2AD 
 0 4 0E  1 2 0C  0 0 2P  0 2 0D
 0 4 2PE   1 2 2PC   1 0 0CD 
设面 PCD法量  n x y z  
0
0
n CD
n PC
 
 
0
2 2 0
x
x y z

  

   
0x
zy

 


令 1y   0 1 1n 
设直线 PE 面 成角 10sin 10
PE n
PE n
 

．
直线 面 成角正切值 1
3 ． 10
19．2019 年 3 月 5 日国务院总理李克强作出政府工作报告中提惩戒学术端
力戒学术端力戒浮躁风．教育部 2014 年印发学术文抽检办法通知中规定：
篇抽检学术文送 3 位行专家进行评议3 位专家中 2 位（含 3 位）专家评议
意见合格学术文认定存问题学术文． 1 位专家评议意
见合格学术文送外 2 位行专家（前 3 位专家）进行复评2
位复评专家中 1 位（含 1 位）专家评议意见合格学术文认定存
问题学术文．设篇学术文位专家评议合格概率均  01pp
篇学术文否评议合格相互独立．
（1） 1
2p  求抽检篇学术文认定存问题学术文概率
（2）现拟定篇抽检文需复评评审费 900 元需复评总评审费 1500 元
某次评审抽检文总数 3000 篇求该次评审费期值应 p 值．
答案(1) 25
32 (2) 高费350万元．应 1
3p  ．
（1）篇学术文初评认定存问题学术文概率  2 2 3 3
331C p p C p
篇学术文复评认定存问题学术文概率    221
3 1 1 1C p p p  
篇学术文认定存 问题学术文概率
       222 2 3 3 1
3 3 31 1 1 1fpCp pCpCp p p      
     22233 1 3 1 1 1p p p p p p      
5 4 3 23 12 17 9p p p p     ．
∴ 时 1 25
2 32f 

抽检篇学术文认定存问题学术文概率 ．
（2）设篇学术文评审费 X 元 取值 9001500．
   21
31500 1P X C p p      21
3900 1 1P X C p p   
       2 2 211
33900 1 1 1500 1 900 1800 1E X C p p C p p p p          ．
令    21g p p p  01p         21 2 1 3 1 1g p p p p p p        ． 11
10 3p 
时   0gp   gp 10 3


单调递增
1 13p 
时   0gp  1 13


单调递减．
值 14
3 27g 
．
评审高费 443000 900 1800 10 35027
    
（万元）．应 1
3p  ．

20．面直角坐标系 xOy 中椭圆G 中心坐标原点左焦点 F1（﹣10）离心率
2
2e  ．
（1）求椭圆 G 标准方程
（2）已知直线 11l y kx m： 椭圆 交 AB 两点直线 2 2 1 2l y kx m m m  ：（） 椭
圆 交CD 两点 AB CD 图示．

①证明： 120mm
②求四边形 ABCD 面积 S 值．
（1）设椭圆 G 方程 （a＞b＞0）
∵左焦点 F1（﹣10）离心率 e ．∴c1a
b2a2﹣c21
椭圆 G 标准方程： ．
（2）设 A（x1y1）B（x2y2）C（x3y3）D（x4y4） 12
①证明： 消 y （1+2k2）x2+4km1x+2m1
2﹣20

x1+x2 x1x2
|AB| 2
理|CD|2
|AB||CD| 2 2
∵m1≠m2∴m1+m20
②四边形 ABCD 行四边形设 ABCD 间距离 d
∵m1+m20∴
∴s|AB|×d2 ×

2k2+12m1
2 时四边形 ABCD 面积 S 值 2
21．已知函数  
2
2
0
2 0x
xx
fx x ax ax xe
     
   增函数．
 1 求实数 a 值
 2 函数    g x f x kx三零点求实数 k 取值范围．
答案（1） 1
2a e （ 2） ln2 112ee
         

解： 1 0x  时   2f x x 增函数    00f x f 13
0x  时  fx增函数  ＇0fx 恒成立
时函数导数      2
11＇ 2 2 2 1 1 2 0()
xx
x x x
e xe xf x ax a a x x ae e e
          
恒成
立
1x  时10x时相应 1 20x ae 恒成立 12 xa e 恒成立 max
112 ( )xa ee恒成
立
01x时10x时相应 1 20x ae 恒成立 12 xa e 恒成立 12a e 恒成立
12a e 1
2a e ．
 2 0k   gx R 增函数时  gx零点三零点
满足条件．
0k 
0x  时   2g x x kx   零点 k
0x  时    0 0 0 0gf   0 零点
0x  时 零点   0gx 解

2
02x
x x x kxe e e   
2
2x
x x x kxe e e   ( 0)x 
11
2x
xk e e e   时根
yk 函数   11
2x
xhx e e e   时交点
  11＇ 2xhx ee  
 ＇0hx 1102xee   11
2xee 2xee ln2 1 ln2xe   时函数递增
 ＇0hx 1102xee   11
2xee 2xee 0 ln2 1 ln2xe    时函数递减
1 ln2x  时函数取极值时极值   1 ln2
1 1 ln2 11 ln2 2h e e e
   
ln2
1 1 ln21 1 1 ln21 ln2
2 2 2 2 2 2e e e e e e e e e e        
  110 1 0 1h ee    
作出  hx图象图 14

yk 函数   11
2x
xhx e e e   0x  时交点
ln2
2k e 11k e
实数 k 取值范围 ln2 112ee
         
．
22．面直角坐标系 xOy 中曲线C 参数方程
3cos
3sin
x
y


 
（ 参数）原点
极点 x 轴正半轴极轴极坐标系中直线l 极坐标方程 2sin 42

．
（1）求曲线 普通方程直线 直角坐标方程
（2）设点  10P  直线 曲线 交 AB两点求| | | |PA PB 值．
答案（1）
22
193
xy 10xy   （ 2） 66
2

（1）曲线 参数方程 （ 参数）
曲线 C 普通方程

sin cos 1 1 0xy        
直线 直角坐标方程 15
（2）题点  10P  直线 l 直线 l 参数方程
21 2
2
2
xt
yt
   
 

代入椭圆方程 22 2 8 0tt  
1 2 1 2
2+ 4 02t t t t   
2
1 2 1 2 1 2
66|PA|+|PB|| | ( ) 4 2t t t t t t    
23．已知函数    2 1 0f x x a x a    
（1） 1a  时求等式   4fx 解集
（2）等式   42f x x 意  3 1x   恒成立求a 取值范围
答案（1） 5|1 3xxx 
（ 2） 5 
（1） 时   1 2 1f x x x   
等价 1
3 1 4
x
x

  
11
34
x
x
  
  
1
3 1 4
x
x

 
解 1x  5
3x 
等式 解集
（2） 时 2 2 2 4 0x a x x     
2xa 2ax 2ax   意 恒成立
 max25x min21x    取值范围    1 5  
0a  5a 
综 取值范围


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