第28届全国中学生物理竞赛复赛试题
（20分）图示哈雷彗星绕太阳S椭圆轨道逆时针方运动周期T761年1986年日点P0时太阳S距离r00590AUAU天文单位等球太阳均距离段时间彗星达轨道P点SPSP0夹角θP720°已知：1AU150×1011m引力常量G667×10－11Nm2kg2太阳质量mS199×1030kg试求P太阳S距离rP彗星P点时速度方（速度方SP0夹角表示）
二（20分）质量均匀分布刚性杆ABCD图放置A点水面接触面间静摩擦系数μABD两点光滑竖直墙面接触杆ABCD接触处静摩擦系数μC两杆质量均m长度均l
1已知系统衡时AB杆墙面夹角θ求CD杆墙面夹角α应该满足条件（α已知量满足方程式表示）
2μA100μC0866θ600°求系统衡时α取值范围（数值计算求出）
三（25分）造卫星绕星球运行程中保持称转轴稳定规定指种简单办法卫星运行程中时绕身称轴转时改变卫星指求减慢者消卫星旋转减慢者消卫星旋转种方法谓消旋法原理图示
半径R质量M薄壁圆筒横截面图示图中O圆筒称轴两条足够长伸长结实长度相等轻绳端分固定圆筒表面QQ′（位圆筒直径两端）处端拴质量球正常情况绳绕圆筒外表面两球插销分锁定圆筒表面P0P0′处卫星形成体绕卫星称轴旋转卫星转角速度ω0卫星减慢者停止旋转（消旋）瞬间撤插销释放球球圆筒表面甩开甩开整程中绳圆筒表面相切点球段绳拉直卫星转速逐渐减零时立绳卫星脱离解球卫星联系卫星转动停止已知时绳圆筒相切点刚QQ′处
1 求卫星角速度减ω时绳拉直部分长度l
2 求绳总长度L
3 求卫星ω0停转历时间t
四（20分）空间某区域存匀强电场匀强磁场区域建立直角坐标系Oxyz图示匀强电场x方电场强度匀强磁场z方磁感应强度E0B0分已知常量分x方z方单位矢量
1束带电量+q质量m粒子时Oyz面某点射出初速度均Oyz面速度方相问少时间粒子时回Oyz面
2现该区域增加x方时间变化匀强电场电场强度式中电荷量正q质量m粒子t0时刻坐标原点O射出初速度v0Oyz面试求粒子坐标时间变化规律
计粒子受重力带电粒子间相互作考虑变化电场产生磁场
五（15分）半导体pn结太阳电池根光生伏效应工作光射pn结时pn结两端会产生电势差光生伏效应pn结两端接负载时光pn结部产生负极指正极电流光电流射光强度恒定时光电流恒定已知该光电流IL时pn结二极电流流负载时负载两端电压V二极正导通电流式中VrI0定条件均已知常数
1射光强度变时通负载电流I负载两端电压V关系I__________________太阳电池短路电流IS_______________开路电压VOC___________________负载获功率P______________
2已知硅pn结太阳电池IL95mAI041×10－9mAVr0026V太阳电池开路电压VOC___________________V太阳电池输出功率时负载两端电压似表示VmP______________V太阳电池输出功率Pmax_______________mW负载欧姆电阻输出功率时负载电阻R_____________Ω
六（20分）图示圆柱形气缸气缸壁绝热气缸右端孔气相通气压强p0热容量忽略导热隔板N绝热活塞M气缸分ABC三室隔板气缸固连活塞相气缸摩擦移动漏气气缸左端A室中电加热器Ω已知AB室中均盛1摩尔种理想气体电加热器加热前系统处衡状态AB两室中气体温度均T0ABC三室体积均V0现通电加热器A室中气体缓慢加热提供总热量Q0试求B室中气体末态体积A室中气体末态温度设AB两室中气体1摩尔U52RTR普适恒量T热力学温度
七（20分）图示L焦距2R薄凸透镜MN光轴L右侧轴放置两半径皆R薄球面镜AB球面镜凹面凸面反光镜面AB顶点间距离B顶点C处开透光圆孔（圆心C）圆孔直径h现凸透镜L左方距L6R处放轴垂直高度h（h<
1 I透镜L距离等___________
2 形成I光线A反射直接通孔L成I1透镜L距离等_____________________
3 形成I光线A反射B反射A反射通L成I2I2关信息填表中：
I2L距离
I2L左方右方
I2
I2正立倒立
I2实虚
4 物PQ发出光L未进入B圆孔C部分通L成I3I3关信息填表中：
I3L距离
I3L左方右方
I3
I3正立倒立
I3实虚
八（20分）核反应反应式反应中粒子速度均远光速试问：
1吸反应放反应反应Q少？
2该核反应中静止入射质子阈Tth少？阈该核反应够发生入射粒子动（相实验室参考系）
3已知该反应中入射质子动121MeV产生中子出射方质子入射方成600°角该中子动Tn少？
已知核核静止质量分：mP1007276umn1008665um3H3015501um3He3014932uu原子质量单位1u应量9315MeV结果取三位效数字
第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答评分标准
参考解答：
解法
取直角坐标系Oxy原点O位椭圆中心哈雷彗星椭圆轨道方程
（1）
ab分椭圆半长轴半短轴太阳S位椭圆焦点处图1示．
表示球绕太阳运动周期表示球太阳距离（认球绕太阳作圆周运动）根开普勒第三定律
S
P
（2）
设c椭圆中心焦点距离关系
（3）
（4）
图1
图1知P点坐标
（5）
（6）
（5）（6）式代入（1）式化简
（7）
根求根公式
（8）
(2)(3)(4)(8)式代入关数
(9)
证明彗星绕太阳作椭圆运动机械
(10)
式中m彗星质量．表示彗星P点时速度根机械守恒定律
（11）
（12）
代入关数
(13)
设P点速度方夹角(见图2)根开普勒第二定律
（14）
S
P
中面积速度
（15）
（9）（13）（14）（15）式代入关数
（16）
图2
解法二
取极坐标极点位太阳S焦点处S引日点射线极轴极角取逆时针正r表示彗星椭圆轨道方程
（1）
中e椭圆偏心率p焦点半正焦弦椭圆半长轴a根解析知
（2）
（2）式代入（1）式
（3）
表示球绕太阳运动周期表示球太阳距离（认球绕太阳作圆周运动）根开普勒第三定律
（4）
日点（3）式
（5）
数代入（3）式
（6）
证明彗星绕太阳作椭圆运动机械
(7)
式中m彗星质量．表示彗星P点时速度根机械守恒定律
（8）
（9）
代入关数
(10)
设P点速度方极轴夹角彗星日点速度根角动量守恒定律
（11）
根（8）式理
（12）
（6）（10）(11)(12)式代入关数
(13)
评分标准：
题20分
解法
（2）式3分（8）式4分（9）式2分（11）式3分(13) 式2分（14）式3分（15）式1分（16）式2分．
解法二
（3）式2分（4）式3分（5）式2分（6）式2分（8）式3分(10) 式2分（11）式3分（12）式1分（13）式2分．
二参考解答：
q
a
B
D
C
A
N1
N2
E
mg
mg
f2
F
O
y
f1
N4
N3
x
1．建立图示坐标系Oxy两杆受力情况图：
面作杆摩擦力面杆支持力杆作杆摩擦力支持力分墙杆作力重力取杆构成系统研究象系统衡时 衡条件
（1）
（2）
A点力矩
（3）
式中求竖直线水线交点交点．关系
（4）
取杆CD研究象衡条件
（5）
（6）
点力矩
（7）
解式
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
CD杆衡必条件
（14）
（12）（13）（14）式
（15）
AB杆衡必条件
(16)
（10）（11）（16）式
（17）
系统衡应满足条件（15）式（17）式．
2．题数代入（15）式
(18)
题数代入（17）式数值计算
(19)
取值范围
(20)
评分标准：
题20分
第1问15分
（1）（2）（3）式3分（4）式1分（5）（6）（7）式3分(9) (10) 式1分(12)（17）式1分．
第2问5分
（18）式1分（19）式3分（20）式1分．
三
参考解答：
解法
图1
T
O
P
1． 设时刻球圆筒运动状态图1示
球位点绳圆筒切点距离绳拉直部分长度圆筒角速度球速度球速度分解成着绳子方速度垂直绳子方速度两分量根机械守恒定律角动量守恒定律
(1)
(2)
绳子伸长切点速度相等
(3)
解(1)(2)(3)式
(4)
(5)
(4)式
(6)
便卫星角速度减时绳拉直部分长度．
2．（6）式
T
图2
O
（7）
便绳总长度L
3．图2示时刻切点圆筒转角度绳子拉直部分长度增加切点相圆筒转角度达处时间切点转角度
（8）
切点变切线方改变样角度切线方改变球具垂直绳子方速度引起
（9）
(1)(2)(3)式
（10）
(8)（9）（10）三式
（11）
（11）式表示均匀增加0增加需时间
（12）
解法二
T
R
l
r
图1
1．撤插销两球运动情况相取球作象进行研究先研究时刻球速度
时刻相卫星系统质心参考系球运动状态图1示绳子拉直部分圆筒面切点球切点T距离绳拉直部分长度球转轴距离圆筒角速度圆筒转动球相圆筒运动绳展开切点位置绳拉直部分长度改变
图2
首先考察球相圆筒运动时刻固定圆筒半径夹角图2示球相圆筒运动时间切点圆筒
点移点夹角变绳拉直部分长度变球运动便球相圆筒位移时
球相圆筒速度
(1)
方垂直．切点相圆筒转动角速
T
P
r
l
图3
O
R
度．
考察圆筒相质心参考系转动圆筒固连起转动参考系相质心参考系运动圆筒角速度时位转动参考系中点(球处)相质心系速度
(2)
方垂直．分解成着方分量垂直方分量图3示
(3)
(4)
球相质心系速度球相圆筒速度圆筒参考系中点相质心系速度合成图3
(5)
(6)
（7）
系统受外力作系统动角动量守恒
（8）
（9）
(7)(8)两式
（10）
(1)(3)(4)(6)(9)式
（11）
(10)(11)两式
（12）
式说明绳子圆筒切点相圆筒转动角速度等卫星初始角速度恒量(12）式代入（11）式
（13）
(6)(13)两式
（14）
便卫星角速度减时绳拉直部分长度．
2．（14）式绳总长度
（15）
3．恒量时间变化规律
（16）
时（13）式卫星停旋时
（17）
设卫星停转时间（16）（17）式
（18）
评分标准：
题25分．
解法
第1问12分．（1）（2）式3分（3）式2分（6）式4分．
第2问3分．（7）式3分．
第3问10分．（8）（9）式3分（10）式2分（11）（12）式1分．
解法二
第1问18分．（1）式3分（2）式2分（7）式2分（8）式3分（9）式3分（12）式2分（14）式3分
第2问3分．（15）式3分．
第3问4分．（16）式2分（17）式1分（18）式1分．
四
参考解答：
1．根题意粒子初速度y方z方分量设粒子z方受电场力磁场力作粒子z方初速度作匀速运动
粒子Oxy面运动作两部分运动合成：粒子y方初速度表示
(1)
中
(2)
y负方．相关磁场力
(3)
x负方粒子受电场力
(4)
x正方．(2)(3)(4)式知粒子x方受电场力磁场力正抵消粒子速度y负方运动．外（1）式知粒子具初速度
(5)
y正方相关磁场力粒子速率Oxy面作匀速圆周运动表示圆周运动半径
(6)
(7)
周期定义(7)式圆周运动周期
(8)
(8)式表明粒子运动周期粒子y方初速度关．时间TT整数倍考察粒子时回Oyz面
2．增加电场粒子Oxy面运动影响粒子z方受电场力作．表示电场力作加速度
(9)
(10)
简谐运动加速度
（11）
(10)（11）
(12)
未增加电场时粒子z方作初速度匀速运动增加电场粒子z方运动匀速运动简谐运动叠加
（13）
y
O
r
r
x
粒子Oxy面运动受电场影响．设粒子Oxy面作圆周运动角速度
(14)
图示圆周运动相联系粒子坐标时间t变化关系
(15)
(16)
考虑粒子y方具速度匀速运动利(2)(5)(7)(14)知条件带电粒子运动规律：
(17)
(18)
(19)
评分标准：
题20分．
第1问12分．（2）（3）（4）式5分（5）（6）（7）式4分（8）式相关说明3
分．
第2问8分．（12）式2分（14）式（19）式1分
五
答案评分标准
题15分．
1． (2分） （2分） （2分）
（1分）．
2．062V （2分）054V （2分）49mW （2分）60 （2分）．
六
参考解答：
电加热器A室中气体加热程中隔板N导热B室中气体温度升高活塞M右移动加热停止时活塞M刚移气缸右端尚未移气缸右端 然活塞已移气缸右端加热程尚未停止
1 设加热恰活塞M移气缸右端B室气体末态体积
（1）
根题意活塞M右移动程中B中气体压强变表示B室中气体末态温度
（2）
(1)(2)式
（3）
隔板N导热A室中气体末态温度
（4）
面计算程中热量
加热程中A室中气体历等容程根热力学第定律气体吸收热量等增加量
（5）
(4)(5)两式
（6）
B室中气体历等压程程中室气体外做功
（7）
(1)(7)式理想气体状态方程
（8）
改变
（9）
(4)(9)两式
（10）
根热力学第定律(8)(10)两式室气体吸收热量
(11)
(6)(11) 两式知电加热器提供热量
（12）
室中气体末态体积室中气体末态温度
2．加热器供应热量达时活塞刚达气缸右端时加热尚未停止加热程中气体体积保持变热量中气体等容升温程中吸收热量等容程中气体做功根热力学第定律A室中气体末态温度
（13）
(12)(13)两式求
（14）
B中气体末态体积
（15）
3 隔板尚未移气缸右端加热停止B室中气体末态体积．设AB两室中气体末态温度根热力学第定律注意A室中气体历等容程吸收热量
（16）
B室中气体历等压程吸收热量
（17）
利理想气体状态方程式变
（18）
知
（19）
A室中气体末态温度
（20）
B室中气体末态体积
（21）
评分标准：
题20分．
条件（1）（4）式1分（12）式6分条件（14）式4分（15）式2分条件（20）式4分（21）式2分．
七
答案评分标准：
题20分．
1． 3R (3分)
2． 6R (3分)
3．
L距离
L左方右方
正立倒立
实虚
6R
右方
2
倒立
虚
第1第3空格2分余3空格全3分错3分．
4．
L距离
L左方右方
正立倒立
实虚
18R
左方
2
倒立
实
第1第3空格2分余3空格全3分错3分．
八
参考解答：
1 反应
（1）
式中c光速．代入数
（2）
式表明吸核反应．
2．求入射质子阈反应前粒子应直线运动．设质子入射速度反应速度中子速度根动量守恒量守恒
(3)
（4）
（3）（4）式
(5)
令
(6)
(6)式代入(5)式
(7)
(7)式解条件
(8)
(6)式知零零(8)总成立中子速度定解反应定发生 (6)(8)两式
(9)
入射质子动满足(9)式时中子速度解反应发生入射质子阈
(10)
利(1)式忽略项情况(10)式简化
(11)
代入关数
(12)
3．动量守恒量守恒
(12)
(13)
表示反应中产生中子速度方入射质子速度方夹角图示根余弦定律
(14)
令
(15)
(16)
(17)
(15)(16)(17)式代入(13)(14)两式
（18）
（19）
（18）（19）式消
（20）
令 （21）
（22）
根题入射质子动第1问求反应值(21)式知（22）式符合物理意义解
（23）
具体数代入（21）（23）式中
(24)
(果 MeV)
第2问解法
解法
研究阈考虑碰撞前粒子直线运动情况．碰撞中子速度相粘起运动(完全非弹性碰撞)碰撞程中损失机械损失机械正等反应入射质子动动便阈 设质子入射速度反应中子速度根动量守恒量守恒
(1)
(2)
（1）（2）式
(3)
阈
(4)
利第1问中(1)式注意
忽略项情况(4)式简化
(5)
代入关数
(6)
第2问8分
(1)(2)式3分(4)式(5)式1分(6)式1分．
解法二
牛顿力学中证明质点系总动表示质点系总质量质心速度运动动谓质心动质点相质心运动动质点系受外力作质点系动量守恒质心速度变质心动恒定变果质点系部相互作导致质点系机械变化变化机械质点相质心运动动 题中果质子氚发生反应生成中子氦相质心静止质子氚相质心运动动全部转化成反应反应系统动质心动请况转化成形式量机械入射质子动动便阈入射质子阈等系统质心动反应
分表示质子氚相质心速度
(1)
系统质心速度
(
2)
(3)
(4)
(1)(3)(4)式
(5)
牛顿力学中系统总质量恒定变导致系统质心动反应前恒定变结题中损失掉机械导致系统总质量变化反应前系统总质量反应系统总质量相等．果牛顿力学结孤立系统质心速度会改变反应质心动应
见忽略条件
入射质子阀
(6)
(2)(5)(6)式
(7)
代入关数
(8)
第2问8分
(1)(5) (6)式2分 (7)式1分(8)式1分
解法三
考虑反应前粒子直线运动情况入射质子静止发生完全非弹性碰撞反应产生中子相速度运动入射质子动阈表示质子静止质量表示静止质量表示中子静止质量表示静止质量设质子入射速度反应中子速度根动量守恒量守恒
(1)
(2)
式中质子动质量(1)(2)两式
(3)
(3)式代入(1)式整理
(4)
(5)
(6)
入射质子阈
(7)
(4)(6)(7)式
(8)
利题条件引入反应
(9)
(10)
代入关数
(11)
第2问8分
(1)(2) (8)式2分 (9)(10)式1分 (11)式1分．
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（20分）图示哈雷彗星绕太阳S椭圆轨道逆时针方运动周期T761年1986年日点P0时太阳S距离r00590AUAU天文单位等球太阳均距离段时间彗星达轨道P点SPSP0夹角θP720°已知：1AU150×1011m引力常量G667×10－11Nm2kg2太阳质量mS199×1030kg试求P太阳S距离rP彗星P点时速度方（速度方SP0夹角表示）
二（20分）质量均匀分布刚性杆ABCD图放置A点水面接触面间静摩擦系数μABD两点光滑竖直墙面接触杆ABCD接触处静摩擦系数μC两杆质量均m长度均l
1已知系统衡时AB杆墙面夹角θ求CD杆墙面夹角α应该满足条件（α已知量满足方程式表示）
2μA100μC0866θ600°求系统衡时α取值范围（数值计算求出）
三（25分）造卫星绕星球运行程中保持称转轴稳定规定指种简单办法卫星运行程中时绕身称轴转时改变卫星指求减慢者消卫星旋转减慢者消卫星旋转种方法谓消旋法原理图示
半径R质量M薄壁圆筒横截面图示图中O圆筒称轴两条足够长伸长结实长度相等轻绳端分固定圆筒表面QQ′（位圆筒直径两端）处端拴质量球正常情况绳绕圆筒外表面两球插销分锁定圆筒表面P0P0′处卫星形成体绕卫星称轴旋转卫星转角速度ω0卫星减慢者停止旋转（消旋）瞬间撤插销释放球球圆筒表面甩开甩开整程中绳圆筒表面相切点球段绳拉直卫星转速逐渐减零时立绳卫星脱离解球卫星联系卫星转动停止已知时绳圆筒相切点刚QQ′处
1 求卫星角速度减ω时绳拉直部分长度l
2 求绳总长度L
3 求卫星ω0停转历时间t
四（20分）空间某区域存匀强电场匀强磁场区域建立直角坐标系Oxyz图示匀强电场x方电场强度匀强磁场z方磁感应强度E0B0分已知常量分x方z方单位矢量
1束带电量+q质量m粒子时Oyz面某点射出初速度均Oyz面速度方相问少时间粒子时回Oyz面
2现该区域增加x方时间变化匀强电场电场强度式中电荷量正q质量m粒子t0时刻坐标原点O射出初速度v0Oyz面试求粒子坐标时间变化规律
计粒子受重力带电粒子间相互作考虑变化电场产生磁场
五（15分）半导体pn结太阳电池根光生伏效应工作光射pn结时pn结两端会产生电势差光生伏效应pn结两端接负载时光pn结部产生负极指正极电流光电流射光强度恒定时光电流恒定已知该光电流IL时pn结二极电流流负载时负载两端电压V二极正导通电流式中VrI0定条件均已知常数
1射光强度变时通负载电流I负载两端电压V关系I__________________太阳电池短路电流IS_______________开路电压VOC___________________负载获功率P______________
2已知硅pn结太阳电池IL95mAI041×10－9mAVr0026V太阳电池开路电压VOC___________________V太阳电池输出功率时负载两端电压似表示VmP______________V太阳电池输出功率Pmax_______________mW负载欧姆电阻输出功率时负载电阻R_____________Ω
六（20分）图示圆柱形气缸气缸壁绝热气缸右端孔气相通气压强p0热容量忽略导热隔板N绝热活塞M气缸分ABC三室隔板气缸固连活塞相气缸摩擦移动漏气气缸左端A室中电加热器Ω已知AB室中均盛1摩尔种理想气体电加热器加热前系统处衡状态AB两室中气体温度均T0ABC三室体积均V0现通电加热器A室中气体缓慢加热提供总热量Q0试求B室中气体末态体积A室中气体末态温度设AB两室中气体1摩尔U52RTR普适恒量T热力学温度
七（20分）图示L焦距2R薄凸透镜MN光轴L右侧轴放置两半径皆R薄球面镜AB球面镜凹面凸面反光镜面AB顶点间距离B顶点C处开透光圆孔（圆心C）圆孔直径h现凸透镜L左方距L6R处放轴垂直高度h（h<
1 I透镜L距离等___________
2 形成I光线A反射直接通孔L成I1透镜L距离等_____________________
3 形成I光线A反射B反射A反射通L成I2I2关信息填表中：
I2L距离
I2L左方右方
I2
I2正立倒立
I2实虚
4 物PQ发出光L未进入B圆孔C部分通L成I3I3关信息填表中：
I3L距离
I3L左方右方
I3
I3正立倒立
I3实虚
八（20分）核反应反应式反应中粒子速度均远光速试问：
1吸反应放反应反应Q少？
2该核反应中静止入射质子阈Tth少？阈该核反应够发生入射粒子动（相实验室参考系）
3已知该反应中入射质子动121MeV产生中子出射方质子入射方成600°角该中子动Tn少？
已知核核静止质量分：mP1007276umn1008665um3H3015501um3He3014932uu原子质量单位1u应量9315MeV结果取三位效数字
第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答评分标准
参考解答：
解法
取直角坐标系Oxy原点O位椭圆中心哈雷彗星椭圆轨道方程
（1）
ab分椭圆半长轴半短轴太阳S位椭圆焦点处图1示．
表示球绕太阳运动周期表示球太阳距离（认球绕太阳作圆周运动）根开普勒第三定律
S
P
（2）
设c椭圆中心焦点距离关系
（3）
（4）
图1
图1知P点坐标
（5）
（6）
（5）（6）式代入（1）式化简
（7）
根求根公式
（8）
(2)(3)(4)(8)式代入关数
(9)
证明彗星绕太阳作椭圆运动机械
(10)
式中m彗星质量．表示彗星P点时速度根机械守恒定律
（11）
（12）
代入关数
(13)
设P点速度方夹角(见图2)根开普勒第二定律
（14）
S
P
中面积速度
（15）
（9）（13）（14）（15）式代入关数
（16）
图2
解法二
取极坐标极点位太阳S焦点处S引日点射线极轴极角取逆时针正r表示彗星椭圆轨道方程
（1）
中e椭圆偏心率p焦点半正焦弦椭圆半长轴a根解析知
（2）
（2）式代入（1）式
（3）
表示球绕太阳运动周期表示球太阳距离（认球绕太阳作圆周运动）根开普勒第三定律
（4）
日点（3）式
（5）
数代入（3）式
（6）
证明彗星绕太阳作椭圆运动机械
(7)
式中m彗星质量．表示彗星P点时速度根机械守恒定律
（8）
（9）
代入关数
(10)
设P点速度方极轴夹角彗星日点速度根角动量守恒定律
（11）
根（8）式理
（12）
（6）（10）(11)(12)式代入关数
(13)
评分标准：
题20分
解法
（2）式3分（8）式4分（9）式2分（11）式3分(13) 式2分（14）式3分（15）式1分（16）式2分．
解法二
（3）式2分（4）式3分（5）式2分（6）式2分（8）式3分(10) 式2分（11）式3分（12）式1分（13）式2分．
二参考解答：
q
a
B
D
C
A
N1
N2
E
mg
mg
f2
F
O
y
f1
N4
N3
x
1．建立图示坐标系Oxy两杆受力情况图：
面作杆摩擦力面杆支持力杆作杆摩擦力支持力分墙杆作力重力取杆构成系统研究象系统衡时 衡条件
（1）
（2）
A点力矩
（3）
式中求竖直线水线交点交点．关系
（4）
取杆CD研究象衡条件
（5）
（6）
点力矩
（7）
解式
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
CD杆衡必条件
（14）
（12）（13）（14）式
（15）
AB杆衡必条件
(16)
（10）（11）（16）式
（17）
系统衡应满足条件（15）式（17）式．
2．题数代入（15）式
(18)
题数代入（17）式数值计算
(19)
取值范围
(20)
评分标准：
题20分
第1问15分
（1）（2）（3）式3分（4）式1分（5）（6）（7）式3分(9) (10) 式1分(12)（17）式1分．
第2问5分
（18）式1分（19）式3分（20）式1分．
三
参考解答：
解法
图1
T
O
P
1． 设时刻球圆筒运动状态图1示
球位点绳圆筒切点距离绳拉直部分长度圆筒角速度球速度球速度分解成着绳子方速度垂直绳子方速度两分量根机械守恒定律角动量守恒定律
(1)
(2)
绳子伸长切点速度相等
(3)
解(1)(2)(3)式
(4)
(5)
(4)式
(6)
便卫星角速度减时绳拉直部分长度．
2．（6）式
T
图2
O
（7）
便绳总长度L
3．图2示时刻切点圆筒转角度绳子拉直部分长度增加切点相圆筒转角度达处时间切点转角度
（8）
切点变切线方改变样角度切线方改变球具垂直绳子方速度引起
（9）
(1)(2)(3)式
（10）
(8)（9）（10）三式
（11）
（11）式表示均匀增加0增加需时间
（12）
解法二
T
R
l
r
图1
1．撤插销两球运动情况相取球作象进行研究先研究时刻球速度
时刻相卫星系统质心参考系球运动状态图1示绳子拉直部分圆筒面切点球切点T距离绳拉直部分长度球转轴距离圆筒角速度圆筒转动球相圆筒运动绳展开切点位置绳拉直部分长度改变
图2
首先考察球相圆筒运动时刻固定圆筒半径夹角图2示球相圆筒运动时间切点圆筒
点移点夹角变绳拉直部分长度变球运动便球相圆筒位移时
球相圆筒速度
(1)
方垂直．切点相圆筒转动角速
T
P
r
l
图3
O
R
度．
考察圆筒相质心参考系转动圆筒固连起转动参考系相质心参考系运动圆筒角速度时位转动参考系中点(球处)相质心系速度
(2)
方垂直．分解成着方分量垂直方分量图3示
(3)
(4)
球相质心系速度球相圆筒速度圆筒参考系中点相质心系速度合成图3
(5)
(6)
（7）
系统受外力作系统动角动量守恒
（8）
（9）
(7)(8)两式
（10）
(1)(3)(4)(6)(9)式
（11）
(10)(11)两式
（12）
式说明绳子圆筒切点相圆筒转动角速度等卫星初始角速度恒量(12）式代入（11）式
（13）
(6)(13)两式
（14）
便卫星角速度减时绳拉直部分长度．
2．（14）式绳总长度
（15）
3．恒量时间变化规律
（16）
时（13）式卫星停旋时
（17）
设卫星停转时间（16）（17）式
（18）
评分标准：
题25分．
解法
第1问12分．（1）（2）式3分（3）式2分（6）式4分．
第2问3分．（7）式3分．
第3问10分．（8）（9）式3分（10）式2分（11）（12）式1分．
解法二
第1问18分．（1）式3分（2）式2分（7）式2分（8）式3分（9）式3分（12）式2分（14）式3分
第2问3分．（15）式3分．
第3问4分．（16）式2分（17）式1分（18）式1分．
四
参考解答：
1．根题意粒子初速度y方z方分量设粒子z方受电场力磁场力作粒子z方初速度作匀速运动
粒子Oxy面运动作两部分运动合成：粒子y方初速度表示
(1)
中
(2)
y负方．相关磁场力
(3)
x负方粒子受电场力
(4)
x正方．(2)(3)(4)式知粒子x方受电场力磁场力正抵消粒子速度y负方运动．外（1）式知粒子具初速度
(5)
y正方相关磁场力粒子速率Oxy面作匀速圆周运动表示圆周运动半径
(6)
(7)
周期定义(7)式圆周运动周期
(8)
(8)式表明粒子运动周期粒子y方初速度关．时间TT整数倍考察粒子时回Oyz面
2．增加电场粒子Oxy面运动影响粒子z方受电场力作．表示电场力作加速度
(9)
(10)
简谐运动加速度
（11）
(10)（11）
(12)
未增加电场时粒子z方作初速度匀速运动增加电场粒子z方运动匀速运动简谐运动叠加
（13）
y
O
r
r
x
粒子Oxy面运动受电场影响．设粒子Oxy面作圆周运动角速度
(14)
图示圆周运动相联系粒子坐标时间t变化关系
(15)
(16)
考虑粒子y方具速度匀速运动利(2)(5)(7)(14)知条件带电粒子运动规律：
(17)
(18)
(19)
评分标准：
题20分．
第1问12分．（2）（3）（4）式5分（5）（6）（7）式4分（8）式相关说明3
分．
第2问8分．（12）式2分（14）式（19）式1分
五
答案评分标准
题15分．
1． (2分） （2分） （2分）
（1分）．
2．062V （2分）054V （2分）49mW （2分）60 （2分）．
六
参考解答：
电加热器A室中气体加热程中隔板N导热B室中气体温度升高活塞M右移动加热停止时活塞M刚移气缸右端尚未移气缸右端 然活塞已移气缸右端加热程尚未停止
1 设加热恰活塞M移气缸右端B室气体末态体积
（1）
根题意活塞M右移动程中B中气体压强变表示B室中气体末态温度
（2）
(1)(2)式
（3）
隔板N导热A室中气体末态温度
（4）
面计算程中热量
加热程中A室中气体历等容程根热力学第定律气体吸收热量等增加量
（5）
(4)(5)两式
（6）
B室中气体历等压程程中室气体外做功
（7）
(1)(7)式理想气体状态方程
（8）
改变
（9）
(4)(9)两式
（10）
根热力学第定律(8)(10)两式室气体吸收热量
(11)
(6)(11) 两式知电加热器提供热量
（12）
室中气体末态体积室中气体末态温度
2．加热器供应热量达时活塞刚达气缸右端时加热尚未停止加热程中气体体积保持变热量中气体等容升温程中吸收热量等容程中气体做功根热力学第定律A室中气体末态温度
（13）
(12)(13)两式求
（14）
B中气体末态体积
（15）
3 隔板尚未移气缸右端加热停止B室中气体末态体积．设AB两室中气体末态温度根热力学第定律注意A室中气体历等容程吸收热量
（16）
B室中气体历等压程吸收热量
（17）
利理想气体状态方程式变
（18）
知
（19）
A室中气体末态温度
（20）
B室中气体末态体积
（21）
评分标准：
题20分．
条件（1）（4）式1分（12）式6分条件（14）式4分（15）式2分条件（20）式4分（21）式2分．
七
答案评分标准：
题20分．
1． 3R (3分)
2． 6R (3分)
3．
L距离
L左方右方
正立倒立
实虚
6R
右方
2
倒立
虚
第1第3空格2分余3空格全3分错3分．
4．
L距离
L左方右方
正立倒立
实虚
18R
左方
2
倒立
实
第1第3空格2分余3空格全3分错3分．
八
参考解答：
1 反应
（1）
式中c光速．代入数
（2）
式表明吸核反应．
2．求入射质子阈反应前粒子应直线运动．设质子入射速度反应速度中子速度根动量守恒量守恒
(3)
（4）
（3）（4）式
(5)
令
(6)
(6)式代入(5)式
(7)
(7)式解条件
(8)
(6)式知零零(8)总成立中子速度定解反应定发生 (6)(8)两式
(9)
入射质子动满足(9)式时中子速度解反应发生入射质子阈
(10)
利(1)式忽略项情况(10)式简化
(11)
代入关数
(12)
3．动量守恒量守恒
(12)
(13)
表示反应中产生中子速度方入射质子速度方夹角图示根余弦定律
(14)
令
(15)
(16)
(17)
(15)(16)(17)式代入(13)(14)两式
（18）
（19）
（18）（19）式消
（20）
令 （21）
（22）
根题入射质子动第1问求反应值(21)式知（22）式符合物理意义解
（23）
具体数代入（21）（23）式中
(24)
(果 MeV)
第2问解法
解法
研究阈考虑碰撞前粒子直线运动情况．碰撞中子速度相粘起运动(完全非弹性碰撞)碰撞程中损失机械损失机械正等反应入射质子动动便阈 设质子入射速度反应中子速度根动量守恒量守恒
(1)
(2)
（1）（2）式
(3)
阈
(4)
利第1问中(1)式注意
忽略项情况(4)式简化
(5)
代入关数
(6)
第2问8分
(1)(2)式3分(4)式(5)式1分(6)式1分．
解法二
牛顿力学中证明质点系总动表示质点系总质量质心速度运动动谓质心动质点相质心运动动质点系受外力作质点系动量守恒质心速度变质心动恒定变果质点系部相互作导致质点系机械变化变化机械质点相质心运动动 题中果质子氚发生反应生成中子氦相质心静止质子氚相质心运动动全部转化成反应反应系统动质心动请况转化成形式量机械入射质子动动便阈入射质子阈等系统质心动反应
分表示质子氚相质心速度
(1)
系统质心速度
(
2)
(3)
(4)
(1)(3)(4)式
(5)
牛顿力学中系统总质量恒定变导致系统质心动反应前恒定变结题中损失掉机械导致系统总质量变化反应前系统总质量反应系统总质量相等．果牛顿力学结孤立系统质心速度会改变反应质心动应
见忽略条件
入射质子阀
(6)
(2)(5)(6)式
(7)
代入关数
(8)
第2问8分
(1)(5) (6)式2分 (7)式1分(8)式1分
解法三
考虑反应前粒子直线运动情况入射质子静止发生完全非弹性碰撞反应产生中子相速度运动入射质子动阈表示质子静止质量表示静止质量表示中子静止质量表示静止质量设质子入射速度反应中子速度根动量守恒量守恒
(1)
(2)
式中质子动质量(1)(2)两式
(3)
(3)式代入(1)式整理
(4)
(5)
(6)
入射质子阈
(7)
(4)(6)(7)式
(8)
利题条件引入反应
(9)
(10)
代入关数
(11)
第2问8分
(1)(2) (8)式2分 (9)(10)式1分 (11)式1分．
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