目 录
摘 (1)
0引言 (1)
1二次曲线化简 (1)
11通移轴化简二次曲线 (2)
12利变量化简二次曲线 (3)
13利正交变换化简二次曲线 (4)
2二次曲线性质 (7)
21二次曲线曲率 (7)
211椭圆曲率性质 (7)
212抛物线曲率性质 (8)
213双曲线曲率性质 (8)
22二次曲线重性质 (9)
221椭圆中定值 (9)
222双曲线定值 (9)
223抛物线定值 (10)
3二次曲线应 (10)
31二次曲线光学性质 (10)
311抛物线光学性质 (10)
312椭圆双曲线光学性质 (12)
参考文献 (13)
Abstract (13)
二次曲线化简性质应
作 者——
指导老师——
摘文化简二次曲线种常方法进行总结着重强调强调正交合变换化简二次曲线实现解析高等代数结合进步总结出二次曲线性质应
关键词正交变换曲率光学性质
0 引言
二次曲线生活密切相关某性质生产生活中广泛应 般二次曲线化简性质应面解析中心研究课题 二次曲线方程进行化简 二次曲线般理问题参考文献[1]中讲述两种方法利移轴转轴化简二次曲线 种方法实质坐标轴变换二次曲线直径重合位置优点需高等代数知识缺点步位化简程较复杂二利变量半变量方法先计算出二次曲线变量半变量然判断已知曲线种曲线时直接求出简化方程法优点快捷法画出二次曲线图形
针两种方法优缺点利参考文献[2]中二次曲线二次型关系应高等代数关理化简欧式面二次曲线方程标准方程通举例说明化简二次曲线方程标准方程方法程应关高等代数知识阐述高等代数指导学学意义
二次曲线性质通查种资料二次曲线重性质进行系统纳总结
1 二次曲线化简
知道二次型理源化二次曲线二次曲面标准形式问题理数学物理学中重应实称矩阵化角形条二次曲线通坐标变换化标准形式化二次型标准型通常合变换特征根两种方法相应二次曲线通合变换正交变换化简
11 通移轴化简二次曲线
知道果面点旧坐标新坐标分移轴公式式中新坐标系原点旧坐标系里坐标转轴公式式中坐标轴旋转角
例1 化简二次曲线方程
解 二次曲线方程含项先通转轴消项设旋转角
2取2
转轴公式
代入原方程化简整理转轴新方程
5+25+10
利配方式化
作移轴 曲线方程化简形式
0
面介绍通转轴移轴化简二次曲线方法实际坐标轴变换二次曲线直径（称轴）重合位置果中心曲线坐标原点曲线中心重合果线心二次曲线坐标原点曲线中心重合二次曲线方程化简先求出曲线直径然作新坐标轴作坐标变换
12 利变量化简二次曲线
二次曲线意定直角坐标系中方程
参考文献[1]知道二次曲线直角坐标变换三变
量半变量：
例2 求二次曲线
简化方程
解 I10 I16 I1288
特征方程10+160两根28
曲线简化方程2x+8y80
曲线标准方程椭圆
1112通常方法化简二次曲线现二次型理求解化简二次曲线
13 利正交变换化简二次曲线
知道意实二次型
正交变换化方里A全部特征值
利高等代数里面学相关知识化二次型标准型通常方法特征根法相应条二次曲线化标准型正交变换化简出标准型唯离心率面积双曲线渐线斜率等性质知道利研究曲线性质
例3 化简二次曲线
解 I10 曲线中心二次曲线解中心坐标取新原点
作移轴 原方程变
现二次型求出矩阵特征值
单位正交基础解系
单位正交基础解系
作转轴公式化
标准方程
例5 化简二次曲线
解 式子中二次项构成实二次型
矩阵 特征项式
A特征值
时A特征量分
单位化
列量作正交矩阵
正交变换带入原方程
进行配方移轴标准方程(双曲线)
例6 求二次曲线标准方程
解 二次曲线矩阵形式
易知该曲线直径方程 曲线直径交点
时特征量分
史密特正交化
令作正交变换
化简
整理（抛物线）
2 二次曲线性质
21 二次曲线曲率
解析中学曲线知道曲线面中性质学曲线直径渐线渐进方曲线中心刻画曲线性质微分中进步学曲线空间中性质曲率刻画空间曲线某点邻弯曲程度知道二次曲线三代表类型椭圆抛物线双曲线现曲率推导二次曲线性质
211椭圆曲率性质
椭圆方程参数方程
椭圆表
曲线曲率方程
椭圆称性现考虑y轴半轴
判断椭圆曲率单调性妨先设
⑴ 时
<0 减函数
<0增函数
知时椭圆弯曲程度0时椭圆弯曲程度
⑵ab时易知0曲线弯曲程度样曲线圆结椭圆图形性质相符
212 抛物线曲率性质
抛物线方程参数表示
抛物线空间参数表示
双曲线称性现考虑x轴半部分
表达式结
t0时 点曲线弯曲程度着t增加曲线弯曲程度逐渐减时 曲线似没弯曲结p>0p<0成立
213 双曲线曲率性质
令双曲线方程参数方程表示
双曲线空间参数表示
双曲线曲率(曲率恒正)
结
时x正半轴弯曲程度1时双曲线曲率双曲线中心称x负半轴弯曲程度
22 二次曲线重性质
首先规定二次曲线定二次曲线中改变量成二次曲线定值研究发现二次曲线中定值现总结起
221 椭圆中定值
例 1
(ⅰ)椭圆两焦点切线距离积定值
(ⅱ)椭圆长轴端点两条切线夹长轴切线间线段积定值
(ⅲ)椭圆中互相垂直两半直径倒数方定值
(ⅳ)椭圆意两轭直径长方定值
222 双曲线定值
例 2
(ⅰ)双曲线点两条渐线距离积定值
(ⅱ)双曲线准线点两焦点距离方差绝值定值
(ⅲ)双曲线两轭直径端点顶点四边形四边形行四边形面积定值
﹙ⅳ﹚双曲线焦点弦两端点焦点距离倒数定值
223 抛物线定值
例 3
(ⅰ)抛物线称轴定点弦端点称轴距离积常数
(ⅱ) 抛物线焦点弦两端点焦点距离倒数定值
3 二次曲线应
31 二次曲线光学性质
细心发现生活中充满着二次曲线影子汽车镜前灯卸掉会发现抛物面抛物面抛物线旋转抛物线等二次曲线什光学性质呢？
311 抛物线光学性质
图设抛物线焦距f焦点易抛物线方程设焦点F发出光线抛物线交妨设m>0
导数公式算出P处切线斜率
根光反射性质反射面切线分入射光线反射光线夹角
PF斜率存时 P处切线斜率1反射光线斜率0反射光线行x轴
PF斜率存时(设)PF仰角P点处切线仰角两倍反射光线PQx轴行
二次曲线条重光学性质
抛物线焦点处发出光线抛物线反射反射光线行抛物线光轴
光路逆行抛物线光轴光线抛物线反射反射光线直线会聚焦点
根性质制作抛物线形状镜子凸面镜凹面镜
图二物体AB位轴附时似认PO垂直OA
面镜成透镜相似性质(v<0虚凹面镜f<0)
(u物距v距)
凸面镜凹透镜相似总形成正立缩虚(f<0)凹面镜成凸透镜相似u2f时呈倒立缩实
抛物线光学性质非常前面提汽车前灯灯泡装抛物面焦点处行光线亮路面太阳热水灶原理利巨抛物面聚集日光加热光线通红宝石激光器激光通常需量红宝石果凹面镜光线聚集起减少红宝石量
312 椭圆双曲线光学性质
抛物线奇特光学性质样椭圆双曲线光学性质
椭圆双曲线焦点发射光线反射反射光线直线焦点
图三设双曲线方程取x轴部分函数图焦点
取双曲线意点P(Py轴)设
P点处切线斜率
斜率
斜率
求出仰角(设)正切值
求出P点处切线仰角二倍角正切值
P点处切线分夹角焦点处发出光线双曲线反射反射光线直线焦点
样证明椭圆焦点发出光线椭圆反射反射光线焦点
参 考 文 献
[1] 吕林根．解析[M]北京高等教育出版社20064
[2] 王萼芳．高等代数[M]北京高等教育出版社200711
[3]徐光．二次曲线度量分类中标准方程[J]高等函授学报(然科学版)201010(4)223224
[4] 梅明．微分[M] 北京高等教育出版社20085
[5] 姜衡年二次曲线定值[J] 昆明师专学报(然科学版)10(1)254255
[6]二次曲线重性质应[J]数学教学20072（26）
[7]非退化二次曲线类分类性质[J]数学学报数学教学20072（26）2425
[8] 百度文库奥数教程20113
[9]郁波线性代数中二次型应研究[J]怀化学院学报20092（28）：3035
[10] 李尔源．二次曲线判定化简作图[J] 绍兴文理学院报200121(4)3437
Simplification properties and applications of the second curve
AbstractThis will simplify the second curve and be summarized in several waysAnd to highlight the way of using the contract and the orthogonal transformation to simplify the simple quadratic curveTo achieve a combination of analytic geometry and advanced algebraAnd further summarizes some properties of quadratic curves and applications
Key words Orthogonal changeCurvatureOptical properties
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摘 (1)
0引言 (1)
1二次曲线化简 (1)
11通移轴化简二次曲线 (2)
12利变量化简二次曲线 (3)
13利正交变换化简二次曲线 (4)
2二次曲线性质 (7)
21二次曲线曲率 (7)
211椭圆曲率性质 (7)
212抛物线曲率性质 (8)
213双曲线曲率性质 (8)
22二次曲线重性质 (9)
221椭圆中定值 (9)
222双曲线定值 (9)
223抛物线定值 (10)
3二次曲线应 (10)
31二次曲线光学性质 (10)
311抛物线光学性质 (10)
312椭圆双曲线光学性质 (12)
参考文献 (13)
Abstract (13)
二次曲线化简性质应
作 者——
指导老师——
摘文化简二次曲线种常方法进行总结着重强调强调正交合变换化简二次曲线实现解析高等代数结合进步总结出二次曲线性质应
关键词正交变换曲率光学性质
0 引言
二次曲线生活密切相关某性质生产生活中广泛应 般二次曲线化简性质应面解析中心研究课题 二次曲线方程进行化简 二次曲线般理问题参考文献[1]中讲述两种方法利移轴转轴化简二次曲线 种方法实质坐标轴变换二次曲线直径重合位置优点需高等代数知识缺点步位化简程较复杂二利变量半变量方法先计算出二次曲线变量半变量然判断已知曲线种曲线时直接求出简化方程法优点快捷法画出二次曲线图形
针两种方法优缺点利参考文献[2]中二次曲线二次型关系应高等代数关理化简欧式面二次曲线方程标准方程通举例说明化简二次曲线方程标准方程方法程应关高等代数知识阐述高等代数指导学学意义
二次曲线性质通查种资料二次曲线重性质进行系统纳总结
1 二次曲线化简
知道二次型理源化二次曲线二次曲面标准形式问题理数学物理学中重应实称矩阵化角形条二次曲线通坐标变换化标准形式化二次型标准型通常合变换特征根两种方法相应二次曲线通合变换正交变换化简
11 通移轴化简二次曲线
知道果面点旧坐标新坐标分移轴公式式中新坐标系原点旧坐标系里坐标转轴公式式中坐标轴旋转角
例1 化简二次曲线方程
解 二次曲线方程含项先通转轴消项设旋转角
2取2
转轴公式
代入原方程化简整理转轴新方程
5+25+10
利配方式化
作移轴 曲线方程化简形式
0
面介绍通转轴移轴化简二次曲线方法实际坐标轴变换二次曲线直径（称轴）重合位置果中心曲线坐标原点曲线中心重合果线心二次曲线坐标原点曲线中心重合二次曲线方程化简先求出曲线直径然作新坐标轴作坐标变换
12 利变量化简二次曲线
二次曲线意定直角坐标系中方程
参考文献[1]知道二次曲线直角坐标变换三变
量半变量：
例2 求二次曲线
简化方程
解 I10 I16 I1288
特征方程10+160两根28
曲线简化方程2x+8y80
曲线标准方程椭圆
1112通常方法化简二次曲线现二次型理求解化简二次曲线
13 利正交变换化简二次曲线
知道意实二次型
正交变换化方里A全部特征值
利高等代数里面学相关知识化二次型标准型通常方法特征根法相应条二次曲线化标准型正交变换化简出标准型唯离心率面积双曲线渐线斜率等性质知道利研究曲线性质
例3 化简二次曲线
解 I10 曲线中心二次曲线解中心坐标取新原点
作移轴 原方程变
现二次型求出矩阵特征值
单位正交基础解系
单位正交基础解系
作转轴公式化
标准方程
例5 化简二次曲线
解 式子中二次项构成实二次型
矩阵 特征项式
A特征值
时A特征量分
单位化
列量作正交矩阵
正交变换带入原方程
进行配方移轴标准方程(双曲线)
例6 求二次曲线标准方程
解 二次曲线矩阵形式
易知该曲线直径方程 曲线直径交点
时特征量分
史密特正交化
令作正交变换
化简
整理（抛物线）
2 二次曲线性质
21 二次曲线曲率
解析中学曲线知道曲线面中性质学曲线直径渐线渐进方曲线中心刻画曲线性质微分中进步学曲线空间中性质曲率刻画空间曲线某点邻弯曲程度知道二次曲线三代表类型椭圆抛物线双曲线现曲率推导二次曲线性质
211椭圆曲率性质
椭圆方程参数方程
椭圆表
曲线曲率方程
椭圆称性现考虑y轴半轴
判断椭圆曲率单调性妨先设
⑴ 时
<0 减函数
<0增函数
知时椭圆弯曲程度0时椭圆弯曲程度
⑵ab时易知0曲线弯曲程度样曲线圆结椭圆图形性质相符
212 抛物线曲率性质
抛物线方程参数表示
抛物线空间参数表示
双曲线称性现考虑x轴半部分
表达式结
t0时 点曲线弯曲程度着t增加曲线弯曲程度逐渐减时 曲线似没弯曲结p>0p<0成立
213 双曲线曲率性质
令双曲线方程参数方程表示
双曲线空间参数表示
双曲线曲率(曲率恒正)
结
时x正半轴弯曲程度1时双曲线曲率双曲线中心称x负半轴弯曲程度
22 二次曲线重性质
首先规定二次曲线定二次曲线中改变量成二次曲线定值研究发现二次曲线中定值现总结起
221 椭圆中定值
例 1
(ⅰ)椭圆两焦点切线距离积定值
(ⅱ)椭圆长轴端点两条切线夹长轴切线间线段积定值
(ⅲ)椭圆中互相垂直两半直径倒数方定值
(ⅳ)椭圆意两轭直径长方定值
222 双曲线定值
例 2
(ⅰ)双曲线点两条渐线距离积定值
(ⅱ)双曲线准线点两焦点距离方差绝值定值
(ⅲ)双曲线两轭直径端点顶点四边形四边形行四边形面积定值
﹙ⅳ﹚双曲线焦点弦两端点焦点距离倒数定值
223 抛物线定值
例 3
(ⅰ)抛物线称轴定点弦端点称轴距离积常数
(ⅱ) 抛物线焦点弦两端点焦点距离倒数定值
3 二次曲线应
31 二次曲线光学性质
细心发现生活中充满着二次曲线影子汽车镜前灯卸掉会发现抛物面抛物面抛物线旋转抛物线等二次曲线什光学性质呢？
311 抛物线光学性质
图设抛物线焦距f焦点易抛物线方程设焦点F发出光线抛物线交妨设m>0
导数公式算出P处切线斜率
根光反射性质反射面切线分入射光线反射光线夹角
PF斜率存时 P处切线斜率1反射光线斜率0反射光线行x轴
PF斜率存时(设)PF仰角P点处切线仰角两倍反射光线PQx轴行
二次曲线条重光学性质
抛物线焦点处发出光线抛物线反射反射光线行抛物线光轴
光路逆行抛物线光轴光线抛物线反射反射光线直线会聚焦点
根性质制作抛物线形状镜子凸面镜凹面镜
图二物体AB位轴附时似认PO垂直OA
面镜成透镜相似性质(v<0虚凹面镜f<0)
(u物距v距)
凸面镜凹透镜相似总形成正立缩虚(f<0)凹面镜成凸透镜相似u
抛物线光学性质非常前面提汽车前灯灯泡装抛物面焦点处行光线亮路面太阳热水灶原理利巨抛物面聚集日光加热光线通红宝石激光器激光通常需量红宝石果凹面镜光线聚集起减少红宝石量
312 椭圆双曲线光学性质
抛物线奇特光学性质样椭圆双曲线光学性质
椭圆双曲线焦点发射光线反射反射光线直线焦点
图三设双曲线方程取x轴部分函数图焦点
取双曲线意点P(Py轴)设
P点处切线斜率
斜率
斜率
求出仰角(设)正切值
求出P点处切线仰角二倍角正切值
P点处切线分夹角焦点处发出光线双曲线反射反射光线直线焦点
样证明椭圆焦点发出光线椭圆反射反射光线焦点
参 考 文 献
[1] 吕林根．解析[M]北京高等教育出版社20064
[2] 王萼芳．高等代数[M]北京高等教育出版社200711
[3]徐光．二次曲线度量分类中标准方程[J]高等函授学报(然科学版)201010(4)223224
[4] 梅明．微分[M] 北京高等教育出版社20085
[5] 姜衡年二次曲线定值[J] 昆明师专学报(然科学版)10(1)254255
[6]二次曲线重性质应[J]数学教学20072（26）
[7]非退化二次曲线类分类性质[J]数学学报数学教学20072（26）2425
[8] 百度文库奥数教程20113
[9]郁波线性代数中二次型应研究[J]怀化学院学报20092（28）：3035
[10] 李尔源．二次曲线判定化简作图[J] 绍兴文理学院报200121(4)3437
Simplification properties and applications of the second curve
AbstractThis will simplify the second curve and be summarized in several waysAnd to highlight the way of using the contract and the orthogonal transformation to simplify the simple quadratic curveTo achieve a combination of analytic geometry and advanced algebraAnd further summarizes some properties of quadratic curves and applications
Key words Orthogonal changeCurvatureOptical properties
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