知识力层次
填空（题2分）
１．设方程组非零解
2．线性方程组非零解
3．方程组穷解
4．非齐次线性方程组（矩阵）惟解充分必条件
____________
5．设阶方阵齐次线性方程组两解量
6．设三阶方阵秩线性方程组解已知
线性方程组通解
7．三元线性方程组系数矩阵秩已知该方程组两解分
全部解表
8．设欲线性齐次方程组基础解系两解量
9． 时线性方程组解
10．方程组基础解系含量数___ _1______
11．5元线性方程组基础解系中含2线性关解量
3
12．设线性方程组解应满足条件
13．设齐次线性方程组基础解系中包含量数
n1
14．设非齐次线性方程组解量方程组
解量．
15．设非齐次线性方程组组解果该方程组解 １
16．设矩阵齐次线性方程组基础解系
17．方程组惟解满足条件
18．设n元齐次线性方程组基础解系中线性关解量数n
零矩阵
19．设阶矩阵果 n线性关n维量
基础解系
20．设n阶矩阵行元素均零秩n1线性方程组通解
二单项选择填空题（题2分）
1．线性方程组 （ A ）
A 解 B 0解 C 惟解 D 穷解
2．设方程组 （ B ）时方程组非零解
A0 B ±1 C 2 D 意实数
3．已知非齐次线性方程组系数行列式0 （ D ）
A．方程组穷解 B 方程组解
C 方程组惟解穷解 D 方程组解穷解
4 齐次线性方程组非零解值（ C ）
A． B． C． D．
5．（ C ）时仅零解
A． B． C． D．
6．设矩阵零解充条件 （ D ）
A．行量组线性关 B．行量组线性相关
C．列量组线性相关 D．列量组线性关
7．设Am×n矩阵非齐次线性方程组惟解必（ C ）
A．mn B．r (A) m C．r (A)n D．r (A)< n
8．方程组存基础解系λ等 （ Ｄ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9 设矩阵非齐次线性方程组穷解充分必条件 （ B ）
A． B．
C． D．
10．元线性方程组 （ D ）
A．穷解 B．唯解 C．解 D．定
11 设齐次线性方程组非齐次线性方程组导出组
解列正确 （ A ）
A．解 B．解
C．解 D．解
12．设矩阵零解充条件 （ D ）
A．行量组线性关 B．行量组线性相关
C．列量组线性相关 D．列量组线性关
13．设齐次线性方程组非齐次线性方程组导出组
解列正确 （ A ）
A．解 B．解
C．解 D．解
14．已知非齐次线性方程组系数行列式0 ( D )
A．方程组穷解 B． 方程组解
C．方程组唯解穷解 D．方程组解穷解
15．n元线性方程组惟解 （ Ｃ ）
A．充分必条件 B．充分条件 C．必条件 D．关条件
16．已知线性方程组解 （ Ａ ）
A B C D
17．矩阵非齐次线性方程组导出组列结正确
（ A ）
A．穷解非零解
B．穷解仅零解
C．仅零解唯解
D．非零解穷解
18．设矩阵解 （ Ｂ ）
A．惟解时 B．惟解时
C．穷解时零解 D穷解时
19．线性方程组
解充分必条件 （ Ａ ）
A B C D
20．齐次线性方程组（ Ｃ ）基础解系
A B C D
三判断题（题2分）
1．解解 （ ）
2．齐次线性方程组解量极关组
方程组基础解系 （ ）
3．齐次线性方程组非零解线性方程组定解（ 否 ）
4．穷组解非零解 （ ）
5．n线性非齐次方程组系数矩阵A秩定穷组解
（ 否 ）
6．齐次线性方程组基础解系惟
7．方程组基础解系（ ）
8．方程组基础解系中含解量 （ ）
9．线性方程组时解 （ ）
10．齐次线性方程组基础解系 （ 否 ）
11．方程组般解 （ ）
12．方程组般解表示
（ 否 ）
13．时方程组解 （ 否 ）
14．基础解系等价线性关量组基础解系 （ ）
15．线性方程组解
（中）解 （ ）
16．方程组非零解 （ 否 ）
17．方程组方程组解方程组
（ ）
18．初等变换解实行列等行变换 （ 否 ）
19．解解解 （ 否 ）
20．定方程组时方程组解
（ 否 ）
理解力层次
填空（题2分）
1．已知方程组穷解 1 3
2．设解量导出组基础解系必线性 关
3 设四阶方阵方程组
解量
4 设方程组解增广矩阵行列式 0
5．设方程组解空间维数2 1
6．设n阶方阵方程组非零解必特征值等 ０
7．设B三阶矩阵 4
8．设矩阵矩阵列量解数 3
9．齐次线性方程组中系数矩阵秩代数余子式该方程组通解表示
10．已知四元非齐次线性方程组三解量
齐次线性方程组通解
_____________
11．齐次线性方程组非零解应满足条件
12．已知四元线性方程组三解
方程组通解
13．已知线性方程组两解
该方程组全部解
14．设齐次线性方程组基础解系中含三解量中矩阵
2
15．设四元非齐次线性方程组系数矩阵秩3
中三解量方程组通解
16．设齐次线性方程组解空间组基
17．已知非齐次线性方程组线性关解矩阵方程组通解常数须满足关系式
18．设实正交矩阵线性方程组解
19．设矩阵中
线性方程组基础解系含解量数 n1
20．设阶方阵齐次线性方程组零解解
零解
21．设意维量方程组解 0
22．设非齐次线性方程组两解该方程组通解
23．已知齐次线性方程组穷解 56 24．线性方程组
解常数应满足条件
25．3元非齐次线性方程组3解系数矩阵
26．量线性方程组解系数矩阵
27．方程组解充分必条件
28．设元非齐次线性方程组解中阶矩阵
0
29 已知阶方阵列量组行列式伴矩阵齐次线性方程组通解
极线性关组
30 设
中线性方程组解
二单项选择填空题（题2分）
1．齐次线性方程组非零解充分必条件 （ C ）
A．意两列量线性相关
B．意两列量线性关
C．中必列量余列量线性组合
D．中列量余列量线性组合
2．设矩阵线性方程组 （ D ）
A．解 B．定解 C．解 D．定解
3． （ Ａ ）时方程组解
A 2 B 3 C 4 D 5
4．矩阵秩(A) 列结正确 （ Ｂ ）
A．齐次线性方程组仅零解 B．非齐次线性方程组穷解
C．中阶子式均等零 D．中意列量必线性关
5．m方程n未知量齐次线性方程组非零解 （ Ｂ ）
A．充分必条件 B．充分条件 C．必条件 D．关条件
6．设矩阵齐次线性方程组结 （ Ｃ ）
A．时方程组仅零解
B．时方程组非零解基础解系含线性关解量
C．n阶子式零方程组仅零解
D．中n 1阶子式零方程组仅零解
7．n元线性方程组惟解充分必条件 （ Ｄ ）
A．导出组仅零解 B．方阵时
C D．列量线性关列量线性表示
8．设矩阵方程组 ( A )
A 时解 B 时惟解
C 时惟解 D 时穷解
9．设矩阵行量组线性关 （ A ）
A方程组穷解 B方程组唯解
C方程组解 D方程组仅零解
10 设矩阵线性方程组 （ D ）
A．解 B．定解 C．解 D．定解
11．线性方程组惟解值 （ D ）
A． B． C． D．异数
12设四元非齐次线性方程组三解量(C常数)线性方程组通
解 ( C )
A B C D
13．设矩阵齐次线性方程组系数行列式中元素代数余子式方程组基础解系中解量数 （ A ）
A． B． C． D．
14设量组中齐次线性方程组基础解系量组
( D ) 基础解系
A B
C D
15．设矩阵 非齐次方程组三解正确结 ( D )
A 线性相关
B 基础解系
C 线性组合解
D 线性关时通解中满足数
16．线性方程组解系数矩阵A ( B )
A B C D
17．设矩阵解两特解基础解系 ( B )
A 通解
B 通解
C 通解
D 通解
述四项中均意常数
18．已知齐次方程基础解系基础解系 ( B )
A． B．
C． D．
19．齐次线性方程组
系数矩阵记存三阶矩阵 ( C )
A． B．
C． D．
20．已知
齐次线性方程组
通解 （ Ｂ ）
A． B．
C． D．
三判断题（题2分）
1．齐次线性方程组零解应满足条件（ 否 ）
2．非齐次线性方程组系数矩阵秩n方程组穷解（ 否 ）
3．设n阶方阵两解量通解 （ 否 ）
4．设齐次线性方程组系数行列式中元素代数余子式
方程组基础解系中解量数1 （ ）
5．设矩阵非齐次线性方程组系数矩阵秩时
方程组解 （ ）
6．设ABn阶非零矩阵秩n （ ）
7．设An阶奇导方阵A中元素代数余子式齐次线性方程组基础解系含解量数n （ 否 ）
8．设矩阵零解充条件行量组线性关
（ 否 ）
9．设矩阵零解充条件列量组线性关
（ ）
10．设阶方阵三线性关解量基础解系 （ ）
11．设线性关n维列量非齐次线性方程组惟解 （ ）
12．设基础解系通解
（ 否 ）
13．已知非齐次线性方程组两解应齐次方程组基础解系（中）
通解 （ ）
14．设4阶方阵秩3行元素零方程组基础解系
（ ）
15．设基础解系n维列量线性表示 （ ）
16．定方程组意方程组均解穷解 （ ）
17．设矩阵维列量方程组解时加入方程
方程组解 （ 否 ）
18．设矩阵维列量方程组解时加入方程
方程组解 （ ）
19．设线性方程组时方程组仅零解
（ 否 ）
20．设矩阵非齐次线性方程组系数矩阵秩方程组解 （ ）
简单应力层次
计算题（题5分）
1．求线性方程组 般解．
解： 系数矩阵
……3分
般解： 中未知量 …………5分 2．求线性方程组般解
解：增广矩阵
…………3分
般解： （中未知量） …………5分
3．取值时线性方程组非零解？求般解．
解： 增广矩阵 ………3分
2时线性方程组穷解般解：
未知量) …………5
4．取值时线性方程组 解？求般解．
解：增广矩阵
……3分
3时线性方程组穷解般解： 未知量)
…………5分
5．求线性方程组般解
解： 系数矩阵
……3分
般解 （中未知量） ……5分
6．设齐次线性方程组
问取值时方程组非零解求般解
解：系数矩阵
A ……3分
l 5时方程组非零解 般解： （中未知量）
……5分
7．设线性方程组 求系数矩阵增广矩阵秩判断解情况
解
……3分
r(A) 2r() 3
r(A) < r()方程组解 ……5分
8．求列线性方程组般解
解：增广矩阵
……3分
般解： （中未知量） ……5分
9．设线性方程组讨ab值时方程组解惟解穷解
……3分
时方程组解
时方程组唯解
时方程组穷解 ……5分
10．取值时线性方程组 解？求般解
解：增广矩阵
…3分
0时线性方程组穷解般解：
未知量〕 ……5分
11．已知线性方程组增广矩阵初等行变换化
问取值时方程组解？方程组解时求方程组般解
解：3时方程组解
3时…3分
般解 中 未知量 ……5分
12．值时方程组解求通解
解： …3分
解方程组令
令 ……5分
13 设线性方程组问：取值时方程组解
惟解穷解？ 穷解时求出通解
解： …2分
时方程组惟解
时方程组解
时＝2<3方程组穷组解
通解意常数 ……5分
14线性方程组 问取值时线性方程组解唯解穷解？穷解时求出通解
解： …3分
2时方程组唯解
21时方程组解
21时＝2<3方程组穷组解通解
(意常数) ……5分
15．已知齐次线性方程组解试求方程组包含基础解系
解：…2分
令方程组两解：
求基础解系 …5分
16．求解线性方程组
解 ：增广矩阵化成阶梯形矩阵
…3分
r(`A) r(A) 3方程组解．
般解 (x4未知量) …5分
17．设线性方程组
试问c值时方程组解？方程组解时求般解
解：
…2分
c 0时方程组解． …3分
原方程组般解： （x3未知量） …5分
18．试讨a取什值时线性方程组解求出解
解： …3分
时方程组解解 …5分
19．试讨a取什值时线性方程组解求出解
…3分
时方程组解解 …5分
20．设４阶矩阵试问基础解系含解量数
解：４阶矩阵中少３阶子式０中少非零元素 …2分
…4分
基础解系含解量数413…5分
二证明题（题5分）
1 设基础解系证明：
基础解系
证明：基础解系解线性关解……………2分
设
线性关
仅零解
线性关
基础解系……………5分
2．证明方程组解充条件
证明：……3分
方程组解…………5分
3．设n阶矩阵逆
证明：线性方程组 解
证明：线性方程组系数矩阵矩阵 ……………2分
该方程组增广矩阵逆 ……………4分
系数矩阵秩<增广矩阵秩非齐次线性方程组解…………5分
4．设实数域线性方程组证明：
（1）果方程组惟解
（2）果方程组解
（3）果方程组穷解
证明：（1）令
方程组惟解克莱姆法解：
（2）方程组解
（3）方程组穷解…………5分
5． 证明：含n未知量n+1方程线性方程组 解行列式
证明：易知方程组系数矩阵矩阵该非齐次线性方程组解必须满足关系式：增广矩阵秩增广矩阵阶方阵
…………5分
6．设矩阵矩阵证明线性方程组时必非零解
证明：矩阵矩阵
时必非零解 ………………5分
7．已知行列式证明方程组解
证明：题设知方程组增广矩阵秩 ………………2分
系数矩阵矩阵 ………………4分
方程组解 ………………5分
8．设阶矩阵存正整数线性方程组解量
证明：量组线性关
证明：设常数
式左…………3分
类推分左第
量组线性关 ………………5分
9．设矩阵惟解证明：逆矩阵解
证明：惟解仅零解
逆矩阵 ………………3分
………………5分
10．设矩阵满足证明
证明：设中维列量
线性关
………………3分
线性关
………………5分
综合应力层次
计算题（题8分）
1设线性方程组
讨值时方程组解？惟解？穷解？（必求解）
解：……5分
时方程组解
时方程组惟解
时方程组穷解 ………………8分
2设线性方程组
讨值时方程组解？唯解？穷解？（必求解）
解：……5分
时方程组解
时方程组惟解
时方程组穷解 ………………8分
3设线性方程组
讨值时方程组解？唯解？穷解？（必求解）
解：线性方程组增广矩阵施行行初等变换：
时方程组唯解……………5分
时面结果知：
时方程组解
时方程组穷解………8分
4 设线性方程组
讨值时方程组解？唯解？穷解？（必求解）
解：线性方程组增广矩阵施行行初等变换：
………………… 5分
时方程组唯解
时方程组解
时方程组穷解……8分
5 值时线性方程组
唯解解穷解？（必求出解）
解：方程组系数增广矩阵施行初等行变换：
……5分
阶梯形矩阵见：
(1)时时方程组唯解
(2)时时方程组解
(3)时时方程组穷解……8分
6值时线性方程组
唯解解穷解？解时求出方程通解
解： 设方程组增广矩阵进行初等变换
…………4分
a－3时 方程组解
a－3a2时 方程组唯解梯形矩阵应梯形方程组
方程组解 …………6分
a2时 方程组穷解时梯形矩阵应梯形方程组
方程组解 （c意常数） …………8分
7 求线性方程组全部解(导出组基础解系表示)解：
………5分
全部解：…8分
8 全部解（导出组基础解系表示）
解：5分
全部解： ………8分
9．求线性方程组全部解（导出组基础解系表示）
解：线性方程组增广矩阵进行行初等变换：
…………………………5分
令未知量方程组特解：
令分取：导出组基础解系：
方程组全部解： （中意常数）……8分
10 求线性方程组全部解（导出组基础解系表示）
解：线性方程组增广矩阵施行行初等变换：
…………5分
令未知量特解
取分导出组基础解系：
方程组全部解 （意常数）…8分
11 基础解系表示线性方程组全部解
解：设方程组系数矩阵增广矩阵作初等变换：
……………… 5分
原方程组解取方程组特解
导出组系数矩阵化
导出组方程组解
取基础解系：
原方程组全部解（意系数）……8分12．已知方程组(Ⅰ) 解方程组
(Ⅱ) 解试确定
解：
方程组(Ⅰ)全部解：
…………3分
代入(Ⅱ)导出组
代入(Ⅱ)
解四式 …………8分
13．已知非齐次线性方程组 3线性关解
(1)证明方程组系数矩阵秩2
(2)求值方程组通解
解(1) 设a1a2a3方程组3线性关解a2a1a3a1两线性关解基础解系中解数少2
行量两两线性关
两等式说明
(2)方程组增广矩阵作初等行变换
…………3分
出代入继续作初等行变换 …………5分
解方程组 方程组通解
(2300)T+c1(2110)T+c2(4501)T c1c2常数 …………8分
14．设讨值时方程组解唯解穷解 穷解时求出通解
解：计算 方程组唯解
………2分
时增广矩阵作行变换化阶梯形
时解 ………5分
时样增广矩阵作行变换化阶梯形
时穷解等价方程组
通解：（意系数） ………8分
15．已知线性方程组 试讨：
(1)取值时方程组解
(2)取值时方程唯解求出解
(3)取值时方程穷解求出通解
解： (1)时 解 ………2分
(2)时唯解 ……5分
(3)时穷解 通解 ………8分
16．已知4阶方阵均4维列量中线性关果求方程组通解
解：令
代入式整理
线性关知 ………5分
解方程组中k意常数 ………8分17．已知线性方程组解：讨取值时方程解惟解穷解（必求解）
解： ………4分
方程解01
时惟解
时穷解
时解 ………8分
18．设线性方程组：试讨列问题：
（1）取什值时线性方程组唯解？
（2）取什值时线性方程组解？
（3）取什值时线性方程组穷解？穷解时求解．（求导出组基础解系特解形式表示通解）
解 ：线性方程组系数行列式
………2
（1）时线性方程组唯解 ………4分
（2）时线性方程组解…… 6分
（3）时
线性方程组穷解通解
………8分
19．设线性方程组已知该方程组解求方程组全部解
解：代入方程组中 ………2分
………4分
时方程组穷解时
方程组全部解：（c常数）
………6分
时方程组穷解
全部解：
………8分
20．求齐次线性方程组构成基础解系
解：显然求方程组5元线性方程组
方面中列行方程组解该方程组基础解系含解量数求方程组基础解系系数矩阵方程组满足求矩阵施行初等行变换
……… 4分
方程组基础解系： ……… 6分
求线性方程组 ……… 8分
二证明题（题8分）
1．已知三阶矩阵列量方程组解
求 (1)值(2)证明
(1)解：中少非零列量
列量方程组解齐次方程组非零解行列式
……………… 4分
(2)证明：（反证法）设逆题意
矛盾 ……………… 8分
2．已知方程组互相等证明方程组解
证明：增广矩阵行列式范德蒙行列式互相等
………4分
系数矩阵矩阵方程组解…8分
3．设两n元齐次线性方程组证明：
（1）解解
（2）解
证明：（1）条件知解空间解空间子空间解空间维数解空间维数
……………4分
（2）条件知解空间解空间空间该空间维数
……………8分
4．已知非齐次线性方程组 3线性关解
（1）证明方程组系数矩阵秩
（2）求值方程组通解
解：（1）设非齐次方程组三线性关解
令导出组两解
设
线性关必
线性关
导出组少两线性关解基础解系少包含两解
方面导出组系数矩阵 存2阶等零子式
综述 ……………4分
（2）非齐次方程组解增广矩阵系数矩阵秩相等
（1）增广矩阵 秩2
初等行变换述矩阵化阶梯形
利述阶梯形矩阵解方程组
通解 ：中未知数 ……………8分
5．设方程组(1)
方程组(2)
中证明：方程组(1)惟解充条件方程组(2)惟解
证明：记方程组(1)方程组(2)系数矩阵分令
方程组(1)惟解方程组(2)惟解 ……………４分
反方程组(2)惟解逆定义知矛盾方程组(1)惟解
……………8分
发展应力层次
计算题（题10分）
1．设两四元齐次方程组(Ⅰ) (Ⅱ)
（1）线性方程组(Ⅰ)基础解系
（2）求方程组(Ⅰ)(Ⅱ)非零公解
解：（1）．方程组(Ⅰ)系数矩阵
(Ⅰ)基础解系：…3分
（2）．（1）结果方程组(Ⅰ)般解：
两方程组公解式代入方程组(Ⅱ)中必
(Ⅰ)(Ⅱ)非零公解：
…10分
2．已知非齐次线性方程组
（1） 求解方程组导出组基础解系表示通解
（2） 解求值
解：（1）设组（I）系数矩阵增广矩阵作初等行变换：
（I）穷解
通解意常数……………5分
（2）通解代入组（II）第方程：
意性
通解代入组（II）第二三方程分
………………10分
3．设非齐次线性方程组3解量求线性方程组系数矩阵秩求通解中常数
解：设方程题设知3解
两线性关解
中2阶子式
……………5分
基础解系线性方程组
通解：
（中意常数） ………………10分
4．设四元线性齐次方程组已知某线性齐次方程组通解
（1）求线性方程组基础解系
（2）问线性方程组否非零公解？求出非零公解没加证明
解：（1）系数矩阵
通解 ………………4分
（2）通解代入中时量满足方程组
方程组非零公解非零公解
………………10分
5． 已知齐次线性方程组
中 试讨b满足种关系时
(1) 方程组仅零解
(2) 方程组非零解 非零解时求方程组基础解系
解：
方程组系数行列式
………………4分
（1）时时r (A) n方程组仅零解 ………………6分
（2）b0 时原方程组解方程组：
知全零 妨设
原方程组基础解系
时原方程组系数矩阵化
原方程组解方程组
原方程组基础解系： ………………10分
6．设
试讨值时
(1)线性表示
(2)唯线性表示 求出表示式
(3)线性表示 表示式唯 求出表示式
解：设数 (*)
记 矩阵施初等行变换
………………2分
(1)时
知方程组(*)解 线性表示 ………………4分
(2) 时
方程组(*)唯解： ．
时唯线性表示 表示式：……………7分
(3)时 矩阵施初等行变换
方程组(*)穷解全部解
中意常数．
线性表示 表示式唯 表示式：
………………10分
7．设齐次线性方程组
试问取值时该方程组非零解求出通解
解：方程组系数行列式
时方程组非零解 ………………4分
时
方程组解方程组：
基础解系
方程组通解：中意常数 …7分
时
方程组解方程组： 基础解系
方程组通解：中k意常数 ………………10分
8．已知3阶矩阵第行全零矩阵B＝（k常数）求线性方程组通解
解：（1）果知
通解：中常数 …………5分
（2）果k 92
通解中t常数
设
方程组通解中常数 ………………10分
9．已知线性方程组
（Ⅰ）
基础解系试写出线性方程组（Ⅱ）通解
解：方程组（Ⅰ）（Ⅱ）系数矩阵分记题设知见n行量转置量（Ⅱ）n解量
秩n（Ⅱ）解空间维数………………5分
秩2n（Ⅰ）解空间维数差nn行量线性关转置量构成（Ⅱ）基础解系（Ⅱ）通解：
中意常数 ………………10分
10．求解量齐次线性方程组
解：
极关组 ………………3分
作矩阵
易线性基础解系决定
取未知量基础解系6分
求方程组系数矩阵
求齐次线性方程组 ………………10分
二 证明题（题10分）
1．已知面三条直线方程分
试证三条直线交点充分必条件
证明：必性：
设三条直线交点线性方程组
惟解系数矩阵增广矩阵秩均2
根题设 …………5分
充分性：
必性证明知秩()< 3
秩(A)2秩(A) 秩()2
方程组（*）惟解三直线交点 …………10分
2．设非齐次线性方程组解应齐次线性方程组基础解系证明：线性关
证明：（反证法）假设线性相关必存组全零数
设否式知线性相关基础解系矛盾 …………5分
非齐次线性方程组解矛盾量组线性关 …………10分
3．设齐次线性方程组基础解系量满足证明：量组线性关
证明：设数
……………3分
假设线性表示
方程解题设矛盾
……………7分
然线性关
量组线性关 ……………10分
4．设实矩阵维实列量证明：
（1）秩
（2）非齐次线性方程组解
证明：（１）先证解方程组
解
解解
解时
知解解
解方程组
知基础解系含解秩…5分
（2）知
非齐次线性方程组解……………10分
5．证明：方程组（中均整数）零解
证明：方程组系数行列式
令均整数均整数
整数方程组惟解零解 ……………10分
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填空（题2分）
１．设方程组非零解
2．线性方程组非零解
3．方程组穷解
4．非齐次线性方程组（矩阵）惟解充分必条件
____________
5．设阶方阵齐次线性方程组两解量
6．设三阶方阵秩线性方程组解已知
线性方程组通解
7．三元线性方程组系数矩阵秩已知该方程组两解分
全部解表
8．设欲线性齐次方程组基础解系两解量
9． 时线性方程组解
10．方程组基础解系含量数___ _1______
11．5元线性方程组基础解系中含2线性关解量
3
12．设线性方程组解应满足条件
13．设齐次线性方程组基础解系中包含量数
n1
14．设非齐次线性方程组解量方程组
解量．
15．设非齐次线性方程组组解果该方程组解 １
16．设矩阵齐次线性方程组基础解系
17．方程组惟解满足条件
18．设n元齐次线性方程组基础解系中线性关解量数n
零矩阵
19．设阶矩阵果 n线性关n维量
基础解系
20．设n阶矩阵行元素均零秩n1线性方程组通解
二单项选择填空题（题2分）
1．线性方程组 （ A ）
A 解 B 0解 C 惟解 D 穷解
2．设方程组 （ B ）时方程组非零解
A0 B ±1 C 2 D 意实数
3．已知非齐次线性方程组系数行列式0 （ D ）
A．方程组穷解 B 方程组解
C 方程组惟解穷解 D 方程组解穷解
4 齐次线性方程组非零解值（ C ）
A． B． C． D．
5．（ C ）时仅零解
A． B． C． D．
6．设矩阵零解充条件 （ D ）
A．行量组线性关 B．行量组线性相关
C．列量组线性相关 D．列量组线性关
7．设Am×n矩阵非齐次线性方程组惟解必（ C ）
A．mn B．r (A) m C．r (A)n D．r (A)< n
8．方程组存基础解系λ等 （ Ｄ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9 设矩阵非齐次线性方程组穷解充分必条件 （ B ）
A． B．
C． D．
10．元线性方程组 （ D ）
A．穷解 B．唯解 C．解 D．定
11 设齐次线性方程组非齐次线性方程组导出组
解列正确 （ A ）
A．解 B．解
C．解 D．解
12．设矩阵零解充条件 （ D ）
A．行量组线性关 B．行量组线性相关
C．列量组线性相关 D．列量组线性关
13．设齐次线性方程组非齐次线性方程组导出组
解列正确 （ A ）
A．解 B．解
C．解 D．解
14．已知非齐次线性方程组系数行列式0 ( D )
A．方程组穷解 B． 方程组解
C．方程组唯解穷解 D．方程组解穷解
15．n元线性方程组惟解 （ Ｃ ）
A．充分必条件 B．充分条件 C．必条件 D．关条件
16．已知线性方程组解 （ Ａ ）
A B C D
17．矩阵非齐次线性方程组导出组列结正确
（ A ）
A．穷解非零解
B．穷解仅零解
C．仅零解唯解
D．非零解穷解
18．设矩阵解 （ Ｂ ）
A．惟解时 B．惟解时
C．穷解时零解 D穷解时
19．线性方程组
解充分必条件 （ Ａ ）
A B C D
20．齐次线性方程组（ Ｃ ）基础解系
A B C D
三判断题（题2分）
1．解解 （ ）
2．齐次线性方程组解量极关组
方程组基础解系 （ ）
3．齐次线性方程组非零解线性方程组定解（ 否 ）
4．穷组解非零解 （ ）
5．n线性非齐次方程组系数矩阵A秩定穷组解
（ 否 ）
6．齐次线性方程组基础解系惟
7．方程组基础解系（ ）
8．方程组基础解系中含解量 （ ）
9．线性方程组时解 （ ）
10．齐次线性方程组基础解系 （ 否 ）
11．方程组般解 （ ）
12．方程组般解表示
（ 否 ）
13．时方程组解 （ 否 ）
14．基础解系等价线性关量组基础解系 （ ）
15．线性方程组解
（中）解 （ ）
16．方程组非零解 （ 否 ）
17．方程组方程组解方程组
（ ）
18．初等变换解实行列等行变换 （ 否 ）
19．解解解 （ 否 ）
20．定方程组时方程组解
（ 否 ）
理解力层次
填空（题2分）
1．已知方程组穷解 1 3
2．设解量导出组基础解系必线性 关
3 设四阶方阵方程组
解量
4 设方程组解增广矩阵行列式 0
5．设方程组解空间维数2 1
6．设n阶方阵方程组非零解必特征值等 ０
7．设B三阶矩阵 4
8．设矩阵矩阵列量解数 3
9．齐次线性方程组中系数矩阵秩代数余子式该方程组通解表示
10．已知四元非齐次线性方程组三解量
齐次线性方程组通解
_____________
11．齐次线性方程组非零解应满足条件
12．已知四元线性方程组三解
方程组通解
13．已知线性方程组两解
该方程组全部解
14．设齐次线性方程组基础解系中含三解量中矩阵
2
15．设四元非齐次线性方程组系数矩阵秩3
中三解量方程组通解
16．设齐次线性方程组解空间组基
17．已知非齐次线性方程组线性关解矩阵方程组通解常数须满足关系式
18．设实正交矩阵线性方程组解
19．设矩阵中
线性方程组基础解系含解量数 n1
20．设阶方阵齐次线性方程组零解解
零解
21．设意维量方程组解 0
22．设非齐次线性方程组两解该方程组通解
23．已知齐次线性方程组穷解 56 24．线性方程组
解常数应满足条件
25．3元非齐次线性方程组3解系数矩阵
26．量线性方程组解系数矩阵
27．方程组解充分必条件
28．设元非齐次线性方程组解中阶矩阵
0
29 已知阶方阵列量组行列式伴矩阵齐次线性方程组通解
极线性关组
30 设
中线性方程组解
二单项选择填空题（题2分）
1．齐次线性方程组非零解充分必条件 （ C ）
A．意两列量线性相关
B．意两列量线性关
C．中必列量余列量线性组合
D．中列量余列量线性组合
2．设矩阵线性方程组 （ D ）
A．解 B．定解 C．解 D．定解
3． （ Ａ ）时方程组解
A 2 B 3 C 4 D 5
4．矩阵秩(A) 列结正确 （ Ｂ ）
A．齐次线性方程组仅零解 B．非齐次线性方程组穷解
C．中阶子式均等零 D．中意列量必线性关
5．m方程n未知量齐次线性方程组非零解 （ Ｂ ）
A．充分必条件 B．充分条件 C．必条件 D．关条件
6．设矩阵齐次线性方程组结 （ Ｃ ）
A．时方程组仅零解
B．时方程组非零解基础解系含线性关解量
C．n阶子式零方程组仅零解
D．中n 1阶子式零方程组仅零解
7．n元线性方程组惟解充分必条件 （ Ｄ ）
A．导出组仅零解 B．方阵时
C D．列量线性关列量线性表示
8．设矩阵方程组 ( A )
A 时解 B 时惟解
C 时惟解 D 时穷解
9．设矩阵行量组线性关 （ A ）
A方程组穷解 B方程组唯解
C方程组解 D方程组仅零解
10 设矩阵线性方程组 （ D ）
A．解 B．定解 C．解 D．定解
11．线性方程组惟解值 （ D ）
A． B． C． D．异数
12设四元非齐次线性方程组三解量(C常数)线性方程组通
解 ( C )
A B C D
13．设矩阵齐次线性方程组系数行列式中元素代数余子式方程组基础解系中解量数 （ A ）
A． B． C． D．
14设量组中齐次线性方程组基础解系量组
( D ) 基础解系
A B
C D
15．设矩阵 非齐次方程组三解正确结 ( D )
A 线性相关
B 基础解系
C 线性组合解
D 线性关时通解中满足数
16．线性方程组解系数矩阵A ( B )
A B C D
17．设矩阵解两特解基础解系 ( B )
A 通解
B 通解
C 通解
D 通解
述四项中均意常数
18．已知齐次方程基础解系基础解系 ( B )
A． B．
C． D．
19．齐次线性方程组
系数矩阵记存三阶矩阵 ( C )
A． B．
C． D．
20．已知
齐次线性方程组
通解 （ Ｂ ）
A． B．
C． D．
三判断题（题2分）
1．齐次线性方程组零解应满足条件（ 否 ）
2．非齐次线性方程组系数矩阵秩n方程组穷解（ 否 ）
3．设n阶方阵两解量通解 （ 否 ）
4．设齐次线性方程组系数行列式中元素代数余子式
方程组基础解系中解量数1 （ ）
5．设矩阵非齐次线性方程组系数矩阵秩时
方程组解 （ ）
6．设ABn阶非零矩阵秩n （ ）
7．设An阶奇导方阵A中元素代数余子式齐次线性方程组基础解系含解量数n （ 否 ）
8．设矩阵零解充条件行量组线性关
（ 否 ）
9．设矩阵零解充条件列量组线性关
（ ）
10．设阶方阵三线性关解量基础解系 （ ）
11．设线性关n维列量非齐次线性方程组惟解 （ ）
12．设基础解系通解
（ 否 ）
13．已知非齐次线性方程组两解应齐次方程组基础解系（中）
通解 （ ）
14．设4阶方阵秩3行元素零方程组基础解系
（ ）
15．设基础解系n维列量线性表示 （ ）
16．定方程组意方程组均解穷解 （ ）
17．设矩阵维列量方程组解时加入方程
方程组解 （ 否 ）
18．设矩阵维列量方程组解时加入方程
方程组解 （ ）
19．设线性方程组时方程组仅零解
（ 否 ）
20．设矩阵非齐次线性方程组系数矩阵秩方程组解 （ ）
简单应力层次
计算题（题5分）
1．求线性方程组 般解．
解： 系数矩阵
……3分
般解： 中未知量 …………5分 2．求线性方程组般解
解：增广矩阵
…………3分
般解： （中未知量） …………5分
3．取值时线性方程组非零解？求般解．
解： 增广矩阵 ………3分
2时线性方程组穷解般解：
未知量) …………5
4．取值时线性方程组 解？求般解．
解：增广矩阵
……3分
3时线性方程组穷解般解： 未知量)
…………5分
5．求线性方程组般解
解： 系数矩阵
……3分
般解 （中未知量） ……5分
6．设齐次线性方程组
问取值时方程组非零解求般解
解：系数矩阵
A ……3分
l 5时方程组非零解 般解： （中未知量）
……5分
7．设线性方程组 求系数矩阵增广矩阵秩判断解情况
解
……3分
r(A) 2r() 3
r(A) < r()方程组解 ……5分
8．求列线性方程组般解
解：增广矩阵
……3分
般解： （中未知量） ……5分
9．设线性方程组讨ab值时方程组解惟解穷解
……3分
时方程组解
时方程组唯解
时方程组穷解 ……5分
10．取值时线性方程组 解？求般解
解：增广矩阵
…3分
0时线性方程组穷解般解：
未知量〕 ……5分
11．已知线性方程组增广矩阵初等行变换化
问取值时方程组解？方程组解时求方程组般解
解：3时方程组解
3时…3分
般解 中 未知量 ……5分
12．值时方程组解求通解
解： …3分
解方程组令
令 ……5分
13 设线性方程组问：取值时方程组解
惟解穷解？ 穷解时求出通解
解： …2分
时方程组惟解
时方程组解
时＝2<3方程组穷组解
通解意常数 ……5分
14线性方程组 问取值时线性方程组解唯解穷解？穷解时求出通解
解： …3分
2时方程组唯解
21时方程组解
21时＝2<3方程组穷组解通解
(意常数) ……5分
15．已知齐次线性方程组解试求方程组包含基础解系
解：…2分
令方程组两解：
求基础解系 …5分
16．求解线性方程组
解 ：增广矩阵化成阶梯形矩阵
…3分
r(`A) r(A) 3方程组解．
般解 (x4未知量) …5分
17．设线性方程组
试问c值时方程组解？方程组解时求般解
解：
…2分
c 0时方程组解． …3分
原方程组般解： （x3未知量） …5分
18．试讨a取什值时线性方程组解求出解
解： …3分
时方程组解解 …5分
19．试讨a取什值时线性方程组解求出解
…3分
时方程组解解 …5分
20．设４阶矩阵试问基础解系含解量数
解：４阶矩阵中少３阶子式０中少非零元素 …2分
…4分
基础解系含解量数413…5分
二证明题（题5分）
1 设基础解系证明：
基础解系
证明：基础解系解线性关解……………2分
设
线性关
仅零解
线性关
基础解系……………5分
2．证明方程组解充条件
证明：……3分
方程组解…………5分
3．设n阶矩阵逆
证明：线性方程组 解
证明：线性方程组系数矩阵矩阵 ……………2分
该方程组增广矩阵逆 ……………4分
系数矩阵秩<增广矩阵秩非齐次线性方程组解…………5分
4．设实数域线性方程组证明：
（1）果方程组惟解
（2）果方程组解
（3）果方程组穷解
证明：（1）令
方程组惟解克莱姆法解：
（2）方程组解
（3）方程组穷解…………5分
5． 证明：含n未知量n+1方程线性方程组 解行列式
证明：易知方程组系数矩阵矩阵该非齐次线性方程组解必须满足关系式：增广矩阵秩增广矩阵阶方阵
…………5分
6．设矩阵矩阵证明线性方程组时必非零解
证明：矩阵矩阵
时必非零解 ………………5分
7．已知行列式证明方程组解
证明：题设知方程组增广矩阵秩 ………………2分
系数矩阵矩阵 ………………4分
方程组解 ………………5分
8．设阶矩阵存正整数线性方程组解量
证明：量组线性关
证明：设常数
式左…………3分
类推分左第
量组线性关 ………………5分
9．设矩阵惟解证明：逆矩阵解
证明：惟解仅零解
逆矩阵 ………………3分
………………5分
10．设矩阵满足证明
证明：设中维列量
线性关
………………3分
线性关
………………5分
综合应力层次
计算题（题8分）
1设线性方程组
讨值时方程组解？惟解？穷解？（必求解）
解：……5分
时方程组解
时方程组惟解
时方程组穷解 ………………8分
2设线性方程组
讨值时方程组解？唯解？穷解？（必求解）
解：……5分
时方程组解
时方程组惟解
时方程组穷解 ………………8分
3设线性方程组
讨值时方程组解？唯解？穷解？（必求解）
解：线性方程组增广矩阵施行行初等变换：
时方程组唯解……………5分
时面结果知：
时方程组解
时方程组穷解………8分
4 设线性方程组
讨值时方程组解？唯解？穷解？（必求解）
解：线性方程组增广矩阵施行行初等变换：
………………… 5分
时方程组唯解
时方程组解
时方程组穷解……8分
5 值时线性方程组
唯解解穷解？（必求出解）
解：方程组系数增广矩阵施行初等行变换：
……5分
阶梯形矩阵见：
(1)时时方程组唯解
(2)时时方程组解
(3)时时方程组穷解……8分
6值时线性方程组
唯解解穷解？解时求出方程通解
解： 设方程组增广矩阵进行初等变换
…………4分
a－3时 方程组解
a－3a2时 方程组唯解梯形矩阵应梯形方程组
方程组解 …………6分
a2时 方程组穷解时梯形矩阵应梯形方程组
方程组解 （c意常数） …………8分
7 求线性方程组全部解(导出组基础解系表示)解：
………5分
全部解：…8分
8 全部解（导出组基础解系表示）
解：5分
全部解： ………8分
9．求线性方程组全部解（导出组基础解系表示）
解：线性方程组增广矩阵进行行初等变换：
…………………………5分
令未知量方程组特解：
令分取：导出组基础解系：
方程组全部解： （中意常数）……8分
10 求线性方程组全部解（导出组基础解系表示）
解：线性方程组增广矩阵施行行初等变换：
…………5分
令未知量特解
取分导出组基础解系：
方程组全部解 （意常数）…8分
11 基础解系表示线性方程组全部解
解：设方程组系数矩阵增广矩阵作初等变换：
……………… 5分
原方程组解取方程组特解
导出组系数矩阵化
导出组方程组解
取基础解系：
原方程组全部解（意系数）……8分12．已知方程组(Ⅰ) 解方程组
(Ⅱ) 解试确定
解：
方程组(Ⅰ)全部解：
…………3分
代入(Ⅱ)导出组
代入(Ⅱ)
解四式 …………8分
13．已知非齐次线性方程组 3线性关解
(1)证明方程组系数矩阵秩2
(2)求值方程组通解
解(1) 设a1a2a3方程组3线性关解a2a1a3a1两线性关解基础解系中解数少2
行量两两线性关
两等式说明
(2)方程组增广矩阵作初等行变换
…………3分
出代入继续作初等行变换 …………5分
解方程组 方程组通解
(2300)T+c1(2110)T+c2(4501)T c1c2常数 …………8分
14．设讨值时方程组解唯解穷解 穷解时求出通解
解：计算 方程组唯解
………2分
时增广矩阵作行变换化阶梯形
时解 ………5分
时样增广矩阵作行变换化阶梯形
时穷解等价方程组
通解：（意系数） ………8分
15．已知线性方程组 试讨：
(1)取值时方程组解
(2)取值时方程唯解求出解
(3)取值时方程穷解求出通解
解： (1)时 解 ………2分
(2)时唯解 ……5分
(3)时穷解 通解 ………8分
16．已知4阶方阵均4维列量中线性关果求方程组通解
解：令
代入式整理
线性关知 ………5分
解方程组中k意常数 ………8分17．已知线性方程组解：讨取值时方程解惟解穷解（必求解）
解： ………4分
方程解01
时惟解
时穷解
时解 ………8分
18．设线性方程组：试讨列问题：
（1）取什值时线性方程组唯解？
（2）取什值时线性方程组解？
（3）取什值时线性方程组穷解？穷解时求解．（求导出组基础解系特解形式表示通解）
解 ：线性方程组系数行列式
………2
（1）时线性方程组唯解 ………4分
（2）时线性方程组解…… 6分
（3）时
线性方程组穷解通解
………8分
19．设线性方程组已知该方程组解求方程组全部解
解：代入方程组中 ………2分
………4分
时方程组穷解时
方程组全部解：（c常数）
………6分
时方程组穷解
全部解：
………8分
20．求齐次线性方程组构成基础解系
解：显然求方程组5元线性方程组
方面中列行方程组解该方程组基础解系含解量数求方程组基础解系系数矩阵方程组满足求矩阵施行初等行变换
……… 4分
方程组基础解系： ……… 6分
求线性方程组 ……… 8分
二证明题（题8分）
1．已知三阶矩阵列量方程组解
求 (1)值(2)证明
(1)解：中少非零列量
列量方程组解齐次方程组非零解行列式
……………… 4分
(2)证明：（反证法）设逆题意
矛盾 ……………… 8分
2．已知方程组互相等证明方程组解
证明：增广矩阵行列式范德蒙行列式互相等
………4分
系数矩阵矩阵方程组解…8分
3．设两n元齐次线性方程组证明：
（1）解解
（2）解
证明：（1）条件知解空间解空间子空间解空间维数解空间维数
……………4分
（2）条件知解空间解空间空间该空间维数
……………8分
4．已知非齐次线性方程组 3线性关解
（1）证明方程组系数矩阵秩
（2）求值方程组通解
解：（1）设非齐次方程组三线性关解
令导出组两解
设
线性关必
线性关
导出组少两线性关解基础解系少包含两解
方面导出组系数矩阵 存2阶等零子式
综述 ……………4分
（2）非齐次方程组解增广矩阵系数矩阵秩相等
（1）增广矩阵 秩2
初等行变换述矩阵化阶梯形
利述阶梯形矩阵解方程组
通解 ：中未知数 ……………8分
5．设方程组(1)
方程组(2)
中证明：方程组(1)惟解充条件方程组(2)惟解
证明：记方程组(1)方程组(2)系数矩阵分令
方程组(1)惟解方程组(2)惟解 ……………４分
反方程组(2)惟解逆定义知矛盾方程组(1)惟解
……………8分
发展应力层次
计算题（题10分）
1．设两四元齐次方程组(Ⅰ) (Ⅱ)
（1）线性方程组(Ⅰ)基础解系
（2）求方程组(Ⅰ)(Ⅱ)非零公解
解：（1）．方程组(Ⅰ)系数矩阵
(Ⅰ)基础解系：…3分
（2）．（1）结果方程组(Ⅰ)般解：
两方程组公解式代入方程组(Ⅱ)中必
(Ⅰ)(Ⅱ)非零公解：
…10分
2．已知非齐次线性方程组
（1） 求解方程组导出组基础解系表示通解
（2） 解求值
解：（1）设组（I）系数矩阵增广矩阵作初等行变换：
（I）穷解
通解意常数……………5分
（2）通解代入组（II）第方程：
意性
通解代入组（II）第二三方程分
………………10分
3．设非齐次线性方程组3解量求线性方程组系数矩阵秩求通解中常数
解：设方程题设知3解
两线性关解
中2阶子式
……………5分
基础解系线性方程组
通解：
（中意常数） ………………10分
4．设四元线性齐次方程组已知某线性齐次方程组通解
（1）求线性方程组基础解系
（2）问线性方程组否非零公解？求出非零公解没加证明
解：（1）系数矩阵
通解 ………………4分
（2）通解代入中时量满足方程组
方程组非零公解非零公解
………………10分
5． 已知齐次线性方程组
中 试讨b满足种关系时
(1) 方程组仅零解
(2) 方程组非零解 非零解时求方程组基础解系
解：
方程组系数行列式
………………4分
（1）时时r (A) n方程组仅零解 ………………6分
（2）b0 时原方程组解方程组：
知全零 妨设
原方程组基础解系
时原方程组系数矩阵化
原方程组解方程组
原方程组基础解系： ………………10分
6．设
试讨值时
(1)线性表示
(2)唯线性表示 求出表示式
(3)线性表示 表示式唯 求出表示式
解：设数 (*)
记 矩阵施初等行变换
………………2分
(1)时
知方程组(*)解 线性表示 ………………4分
(2) 时
方程组(*)唯解： ．
时唯线性表示 表示式：……………7分
(3)时 矩阵施初等行变换
方程组(*)穷解全部解
中意常数．
线性表示 表示式唯 表示式：
………………10分
7．设齐次线性方程组
试问取值时该方程组非零解求出通解
解：方程组系数行列式
时方程组非零解 ………………4分
时
方程组解方程组：
基础解系
方程组通解：中意常数 …7分
时
方程组解方程组： 基础解系
方程组通解：中k意常数 ………………10分
8．已知3阶矩阵第行全零矩阵B＝（k常数）求线性方程组通解
解：（1）果知
通解：中常数 …………5分
（2）果k 92
通解中t常数
设
方程组通解中常数 ………………10分
9．已知线性方程组
（Ⅰ）
基础解系试写出线性方程组（Ⅱ）通解
解：方程组（Ⅰ）（Ⅱ）系数矩阵分记题设知见n行量转置量（Ⅱ）n解量
秩n（Ⅱ）解空间维数………………5分
秩2n（Ⅰ）解空间维数差nn行量线性关转置量构成（Ⅱ）基础解系（Ⅱ）通解：
中意常数 ………………10分
10．求解量齐次线性方程组
解：
极关组 ………………3分
作矩阵
易线性基础解系决定
取未知量基础解系6分
求方程组系数矩阵
求齐次线性方程组 ………………10分
二 证明题（题10分）
1．已知面三条直线方程分
试证三条直线交点充分必条件
证明：必性：
设三条直线交点线性方程组
惟解系数矩阵增广矩阵秩均2
根题设 …………5分
充分性：
必性证明知秩()< 3
秩(A)2秩(A) 秩()2
方程组（*）惟解三直线交点 …………10分
2．设非齐次线性方程组解应齐次线性方程组基础解系证明：线性关
证明：（反证法）假设线性相关必存组全零数
设否式知线性相关基础解系矛盾 …………5分
非齐次线性方程组解矛盾量组线性关 …………10分
3．设齐次线性方程组基础解系量满足证明：量组线性关
证明：设数
……………3分
假设线性表示
方程解题设矛盾
……………7分
然线性关
量组线性关 ……………10分
4．设实矩阵维实列量证明：
（1）秩
（2）非齐次线性方程组解
证明：（１）先证解方程组
解
解解
解时
知解解
解方程组
知基础解系含解秩…5分
（2）知
非齐次线性方程组解……………10分
5．证明：方程组（中均整数）零解
证明：方程组系数行列式
令均整数均整数
整数方程组惟解零解 ……………10分
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