题答案
1． 求列复数实部虚部模幅角值轭复数：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）
：
（2）
（3）
（4）
2． 列复数化三角表达式指数表达式：
（1） （2） （3）
（4） （5）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3． 求列式值：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4． 设试三角形式表示
解：
5． 解列方程：
（1） （2）
解：（1）
（2）
时应4根分：
6． 证明列题：（1）设
证明：首先显然
次 固
（2）意复数
证明：验证首先左端
右端
左端右端原式成立
（3）实系数代数方程
根根
证明：方程两端取轭注意系数皆实数根复数法运算规：
说明：实系数代数方程根结证
（4）皆
证明：根已知条件：
证毕
（5）
证明：
结证
7．设试写出达表达式中正整数复数
解：首先复数三角等式
面两等式取等号时达需取应单位化量
8．试表述三点线条件
解：三点线量表示时应行二者应反幅角应相差整数倍复数法运算规知应整数倍：
三点线条件实数
9．写出两点直线复参数方程
解：两点直线实参数方程：
复参数方程：
中实参数
10．列参数方程表示什曲线？（中实参数）
（1） （2） （3）
解：需化实参数方程
（1）表示直线
（2）表示椭圆
（3）表示双曲线
11．证明复面圆周方程表示
中复常数实常数
证明：圆周实方程表示：
代入注意
整理
记
结证
12．证明：幅角值函数原点负实轴连续
证明：首先原点定义连续
定义难出实轴方趋时实轴方趋时说明存点连续负实轴连续结证
13．函数面曲线分映成面中什曲线？
解：方程表示代入映射函数中
映成曲线方程 消参数
表示圆周
方程表示
代入映射函数中
映成曲线方程 消参数表示半径圆周
14．指出列题中点轨迹表示点集做图：
解：（1）说明动点距离常数表示圆心半径圆周
（2）距离等点构成集合圆心半径圆周圆周外部点集
（3）说明动点两固定点13距离常数表示椭圆代入化实方程
（4）说明动点距离相等连线垂直分线轴
（5）幅角常数表示顶点轴正夹角射线
15．做出列等式确定区域图形指出界界单连通连通
（1）原点心外圆半径分23圆环区域界连通
（2）顶点原点两条边倾角分角形区域界单连通
（3）显然原等式等价说明3距离2距离原等式表示23 连线垂直分线25左边部分掉2点构成集合界连通区域
（4）
显然该区域边界双曲线化实方程 注意22距离差1等式表示应述双曲线左边支左侧部分界单连通区域
（5）代入化实等式
表示圆心半径圆周外部界连通区域
题二答案
1． 指出列函数解析区域奇点求出导点导数
（1） （2） （3） （4）
解：根函数导性法（导函数差积商导函数商时分母0）根差积商导数公式复合函数导数公式注意区域导定解析：
（1）处处解析
（2）处处解析
（3）奇点
（4）奇点
2． 判列函数处导处解析求出导点导数
（1） （2）
（3） （4）
解：根柯西—黎曼定理：
（1）
四阶偏导数皆连续处处微柯西—黎曼方程
解：
函数点导
函数处处解析
（2）
四阶偏导数皆连续处处微柯西—黎曼方程
解：
函数直线导
导点集直线构成区域函数处处解析
（3）
四阶偏导数皆连续 处处微 处处满足柯西—黎曼方程
函数处处导处处解析导数
（4）
函数定义域处处满足柯西—黎曼方程函数处处导处处解析
3． 取值时复面处处解析？
解：
柯西—黎曼方程：
（1） （2）终
4． 证明：解析
证明：柯西—黎曼方程知左端
右端证毕
5． 证明：区域D解析满足列条件D定常数
（1）D解析 （2）D常数
（3）D常数 （4） （5）
证明：关键证明阶偏导数皆0
（1）解析柯西—黎曼方程
（1）
解析性 （2）
（1）（2）知
常数
（2）设柯西—黎曼方程
说明关 常数
（3）已知常数等式两端分求偏导数
（1）
解析 （2）
求解方程组（1）（2） 说明 皆关常数常数
（4）理两端分求偏导数
联立柯西—黎曼方程
（5）前面样两端分求偏导数
考虑柯西—黎曼方程
证毕
6． 计算列值（数需求出值）
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
解：（1）
（2）
意整数
值：
（3）
意整数
值：
（4）
（5）
意整数
（6）
分取012时3值：
7． 求
解：根指数函数定义
（意整数）
8． 设求
解：
9． 解列方程：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）方程两端取数：
（意整数）
（2）根数指数关系应
（3）三角函数公式（实三角函数样）方程变形
意整数
（4）双曲函数定义 解
意整数
10．证明罗塔法：点解析求极限
证明：商极限运算法导数定义知
11． 数计算公式直接验证：
（1） （2）
解：记
（1）左端
右端
中意整数
显然左端包含元素右端（左端时值
右端取值）两端相等
（2）左端
右端
中意整数
难出左端意右端取时应反右端意偶数时左端取应奇数时左端取应综述左右两集合中元素相互应二者相等
12． 证明
证明：首先
第式子证毕
理证第二式子成立
13． 证明 （）
证明：首先
右端等式证明
次复数三角等式
根高等数学中单调性方法证明时接着面证明左端等式证明
14． 设证明
证明：复数三角等式
已知时单调增加
理
证毕
15． 已知面流场复势
（1） （2） （3）
试求流动速度流线等势线方程
解：需注意记
流场流速
流线
等势线
（1）
流速
流线等势线
（2）
流速
流线等势线
（3）
流速
流线
等势线
题三答案
1． 计算积分中原点直线段
解：积分曲线方程
代入原积分表达式中
2． 计算积分中
（1）01折线 （2）0直线
解：（1）01线段方程：
1线段方程：
代入积分表达式中
（2）0直线段方程
代入积分表达式中
述积分应分步积分法
3． 积分中
（1）0 （2）0
解：（1）积分曲线方程
代入原积分表达式中
（2）积分曲线方程
代入积分表达式中
4． 计算积分中
（1）1+1直线段 （2）1+1圆心原点半圆周
解：（1）方程代入
（2）方程代入
5． 估计积分模中+11圆心原点半圆周
解：1积分估计式
弧长
6． 积分估计式证明：整复面界正整数时
中圆心原点半径正圆周
证明：记积分估计式
式两端令取极限夹定理
证毕
7． 通分析积函数奇点分布情况说明列积分0原中积分曲线皆
（1） （2） （3）
（4） （5）
解：积分积函数奇点：（1）（2）
（3） （4）意整数
（5）积函数处处解析奇点
难出述奇点模皆1皆积分曲线外积分曲线积函数解析根柯西基定理积分值0
8． 计算列积分：
（1） （2） （3）
解：积分皆路径关求原函数方法：
（1）
（2）
（3）
9． 计算 中简单正闭曲线
解：积函数奇点根位置分四种情况讨：
（1）皆外积函数解析柯西基定理
（2）外解析柯西积分
公式：
（3）理外时
（4）皆
时围绕分做两条相互外离闭合曲线复合闭路原理：
注：题分解更简单
10． 计算列积分
解：（1）柯西积分公式
（2）
积分曲线积函数奇点题样：
（3）
积分曲线积函数两奇点围绕分做两条相互外离闭合曲线复合闭路原理：
（4）积分曲线积函数奇点1
（5）
积分曲线积函数两奇点围绕分做两条相互外离闭合曲线复合闭路原理：
（6）正整数高阶导数公式
11． 计算积分中
（1） （2） （3）
解：（1）柯西积分公式
（2）理高阶导数公式
（3）复合闭路原理
中分围绕01相互外离闭合曲线
12． 积分值什？证明
解：首先柯西基定理积函数奇点积分曲线外
次令代入述积分中
考察述积分积函数虚部便
周期性
证毕
13． 设简单闭曲线解析
证明
证明：柯西积分公式意点
已知积分曲线
意性知恒证毕
14． 设单连通区域解析证明
（1）
（2） 简单闭曲线皆
证明：（1）显然某点处已知
矛盾
（直接证明：
说明）
（3） 然注意解析解析函数解析性法知区域解析样根柯西基定理简单闭曲线皆证毕
15．求双曲线 （常数）正交（垂直）曲线族
解：调函数需求出轭调函数
便求曲线族柯西—黎曼方程
知常数
求正交曲线族
（注：实际题答案观察出极易想
解析）
16．设求值调函数
解：调函数定义
某区域调函数某区域述等式成立必须
17．已知试确定解析函数
解：首先等式两端分求偏导数
（1）
（2）
联立柯西—黎曼方程
（3）
（4）
述方程组中解出
样积分代入中
：二者解出
中意实常数
注：题种方法：定理知
方便求出
18．列已知调函数求解析函数
解：（1）
柯西—黎曼方程
积分
说明时求出
：
整理：
（2）
类问题题采方法外样：
中复常数代入
（3）
题样
中数值意实常数
（4）
积分
常数知
时确定出：
整理
19．设解析证明
证明：高阶导数公式积分估计式
证毕
20．闭圆盘解析试证明柯西等式 证明刘维尔定理：整复面界处处解析函数定常数
证明：高阶导数公式积分估计式
柯西等式证毕证刘维尔定理：
函数界妨设柯西等式意处处解析意样令
意性知常数证毕
题四答案
1． 考察列数列否收敛果收敛求出极限．
（1）
解：存存定理41知数列收敛．
（2）
解：中
．
定义41知数列收敛极限0．
（3）
解：
定义41知数列收敛极限0．
（4）
解：设存存定理41知数列收敛．
2． 列级数否收敛？否绝收敛
(1)
解：正项级数值判法知该级数收敛级数收敛绝收敛．
(2)
解：
交错级数根交错级数莱布尼兹审敛法知该级数收敛样知
收敛级数收敛．
发散级数发散级数条件收敛．
(3)
解：级数发散发散．
(4)
解：正项正项级数值判法知该级数收敛级数收敛绝收敛．
3． 试确定列幂级数收敛半径．
(1)
解：幂级数收敛半径．
(2)
解：幂级数收敛半径．
(3)
解：幂级数收敛半径．
(4)
解：令
幂级数收敛域幂级数收敛域收敛半径．
4． 设级数收敛发散证明收敛半径．
证明：点处收敛收敛阿贝尔定理知时收敛绝收敛收敛．
时发散根正项级数较准知发散收敛半径1定理46收敛半径1．
5． 果级数收敛圆圆周点处绝收敛证明收敛圆围闭区域绝收敛．
证明：时阿贝尔定理绝收敛．
时已知条件知收敛收敛绝收敛．
6． 列函数展开幂级数指出收敛区域．
（1）
解：函数奇点处处解析圆展开成幂级数．根例42结果
．
式两边逐项求导求展开式
．
（2）
解：①时函数奇点处处解析圆展开成幂级数．
．
②时函数奇点处处解析圆展开成幂级数．
．
（3）
解：函数复面处处解析整复面展开成幂级数．
．
（4）
解：函数复面处处解析整复面展开成幂级数．
（5）
解：函数复面处处解析整复面展开成幂级数．
．
（6）
解：函数复面处处解析整复面展开成幂级数．
．
7． 求列函数展开指定点处泰勒展式写出展式成立区域．
（1）
解：
．
函数奇点两展开式处处成立．：
．
（2）
解：
．
（3）
解：
．
展开式成立区域：
（4）
解：……
……
奇点等式范围处处成立
8． 列函数指定圆域展开成洛朗级数．
(1)
解：
(2)
解：
①
②
(3)
解：①
②
(4)
解：
(5)
解：
9． 心邻域展开成洛朗级数．
解：函数奇点点心心邻域圆环域．
10．函数否圆环域展开洛朗级数？什？
答：函数奇点奇点环心处处解析圆环域存函数圆环域展开洛朗级数．
题五答案
1． 求列函数孤立奇点说明类型果极点指出级．
（1）
解：函数孤立奇点
性质52知函数1级极点均函数2级极点．
（2）
解：函数孤立奇点极点定义知函数2级极点．
（3）
解：函数孤立奇点性质51知函数奇点．
（4）
解：函数孤立奇点
①时
3级零点性质55知3级极点
②时令
定义52知1级零点性质55知1级极点
（5）
解：函数孤立奇点令
① 时 定义52知2级零点性质55知2级极点2级极点．
②时定义52知1级零点性质55知1级极点１级极点．
（６）
解：函数孤立奇点
令
① 时2级零点2级极点．
②时定义52知
1级零点性质55知１级极点．
2． 指出列函数零点说明级数．
（1）
解：函数零点记
① 时2级零点．
②时定义52知
1级零点．
（2）
解：函数零点性质54知2级零点．
（3）
解：函数零点
记
① 时1级零点1级零点2级零点4级零点．
②时定义52知1级零点．
③时定义52知1级零点．
3． 函数级极点？
答：记
代入：
定义52知
函数5级零点10级极点．
4． 证明：果级零点级零点．
证明：级零点
定义52知级零点．
5． 求列函数限孤立奇点处留数．
（1）
解：函数限孤立奇点均1级极点．定理52知
．
（2）
解：函数限孤立奇点函数3级极点定理52
．
（3）
解：函数限孤立奇点
定义55知．
（4）
解：函数限孤立奇点
定义55知．
（5）
解：函数限孤立奇点
定义55知．
（6）
解：函数限孤立奇点．
①
2级极点．定理52
．
②时记
定义52知1级零点1级极点．定理53
．
6． 利留数计算列积分（积分曲线均取正）．
（1）
解：积函数积分区域限孤立奇点2级极点定理52
定理51知
．
（2）
解：积函数积分区域限孤立奇点1级极点
定理51定理52
．
（3）
解：积函数积分区域限孤立奇点
性质51知函数奇点
定理51定理51．
（4）
解：积函数积分区域限孤立奇点2级极点定理52
定理51．
（5）
解：积函数积分区域限孤立奇点性质56知函数1级极点
定理51 ．
（6）
解：积函数积分区域限孤立奇点：定理53点均1级极点
定理51．
7． 计算积分中正整数．
解：记限孤立奇点级极点分情况讨：
①时均积分区域定理51
．
②时均积分区域．
③时积分区域积分区域
题五
8．判断列函数什奇点？求出留数
解：（1）
奇点
（2）
性奇点
（3）
容易出展式中穷正幂项性奇点
（4）
奇点
9．计算列积分：
解：（1）
（2）
式知
10．求列积分值：
（1）解：设
（2）解：设
（3）解：显然满足分母次数少分子次数高二次实轴没奇点积分存半面奇点2级极点
（4）解：
显然满足分母次数少分子次数高二次实轴没奇点积分存半面二奇点1 级极点
（5）解：显然满足分母次数少分子次数高次实轴没奇点半面奇点1 级极点
（6）解：显然满足分母次数少分子次数高次实轴没奇点半面奇点1 级极点
11．利数留数计算列积分：
解：（1）里函数零点数极点数
（2）
里函数零点数极点数函数零点数极点数
(3) 里函数零点数极点数
(4)
里函数零点数极点数
12．证明方程三根环域
证明：令时
方程根数目相4
时
方程根数目相1
综合述环域3根
13．讨方程根
解：令时
方程根数目相1
时
方程根数目相4
根述环域3根
14．时证明方程单位圆n根
证明：令时
时方程根数目相n
题七答案
1． 试证：满足傅氏积分定理条件
证明：根付氏积分公式
2． 求列函数傅氏变换：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）
f(t)
(2)
(3)
(4)
3． 求列函数傅氏变换推证列积分等式
(1) 证明
(2) 证明
解：(1)
傅氏积分公式时
根傅氏积分定理
(2)
傅氏积分公式
根傅氏积分定理
5． 求列函数傅氏变换：
(1) (2)
(3) (4)
解：（1）
(2)
(3)
(4)
6． 证明：中实函数
中轭函数
证明：
7．证明（翻转性质）
证明：
述积分作变换
8．证明列式：
(1) （常数）
(2)
证明：（1）
（2）
9．计算列函数卷积：
(1) (2)
(2) (2)
解 (1) 显然
时0
时
（2）显然
时皆0
时
时
时
时
时
总结述
10．求列函数傅氏变换：
(1) (2)
(3) (4)
解：（1）
根位移性质
（2）
（3）根位移性质
根函数位移性质
（4）
根微分性质
根位移性质
题八
1． 求列函数拉氏变换：
(1)
解：拉氏变换定义知：
(2)
解：拉氏变换定义单位脉动函数筛选性质知：
2 求列函数拉氏变换：
(1)
解：拉氏变换线性性质知：
(2)
解：拉氏变换线性性质位移性质知：
(3)
解：法：利位移性质
拉氏变换位移性质知：
法二：利微分性质
令
拉氏变换微分性质知：
(4)
解：
拉氏变换位移性知：
(5)
解：
(6)
解： ：
(7)
解：
法：利拉氏变换位移性质
法二：利微分性质
令
拉氏变换微分性质知：
(8)
解：法：利拉氏变换位移性质
法二：利微分性质
令
拉氏变换微分性质知：
3 利拉氏变换性质计算列式：
(1) 求
解：
拉氏变换位移性质知：
(2) 求
解：设
拉氏变换积分性质知：
微分性质：
4 利拉氏变换性质求
(1)
解：法：利卷积求解
设
卷积定理知：
法二：利留数求解
显然 两2级极点外处处解析时 定理83知：
(2)
解：法：利卷积求解
设
卷积定理知
法二：留数求解
显然 两2级极点外处处解析时 定理83知：
法三：利拉氏变换积分性质求解
(1)题知
5 利积分性质计算
(1)
解：设
拉氏变换微分性质：
(2)
解：(1)题中取
拉氏变换位移性质知：
拉氏变换积分性质
6 计算列积分：
(1)
解：
拉氏变换表知：取
(2)
解：
7．求列函数拉氏逆变换：
(1)
解： 取
(2)
解：
(3)
解：设四级极点 外处处解析时 定理83知：
面求留数
(4)
解：设 具两单极点 外处处解析时 定理83：
(5)
解：设
分阶二阶极点显然满足定理83条件定理83知：
(6)
解：设
显然 查表知
卷积定理：
(7)
解：设
(8)
解：
：
8 求列函数拉氏逆变换：
(1)
解：
拉氏变换表知：
(2)
解：
(3)
解：设
设
卷积定理知
(4)
解：设
设
(5)
解：
卷积定理知：
(6)
解：
拉氏变换表知：
9 求列卷积：
(1)
解：`
(2) （m n正整数）
解：
(3)
解：
(4)
解：
(5)
解：
时
时
(6)
解：设
时式0
时函数筛选性质：
10 利卷积定理证明列等式：
(1)
证明：
卷积定理：
证毕
(2)
证明：
卷积定理知：
证毕
11 解列微分方程微分方程组：
(1)
解：设 方程两边取拉氏变换
代入 ：
留数方法求解拉氏逆变换：
(2)
解：设 方程两边时取拉氏变换
代入初值条件：
求拉氏逆变换方程解：
(3)
解：设 拉氏变换作方程两边：
代入初值条件：
：
卷积定理求拉氏逆变换：
(4)
解：设 拉氏变换作方程两边：
初始条件代入：
方程解：
(5)
解：设 方程两边取拉氏变换：
代入初始条件整理：
例816知：
方程解
(6)
解：设
方程组方程两边分取拉氏变换考虑初始条件：
求解该方程组：
取拉式逆变换原方程组解：
(7)
解：设
方程组方程两边分取拉氏变换考虑初始条件：
整理计算：
求拉氏逆变换：
卷积定理
理求
方程组解
(8)
解：设
方程组方程两边分取拉氏变换考虑初始条件：
解方程组：
取拉氏逆变换原方程组解：
12 求解积分方程
解：令
卷积定理 知
拉氏变换作原方程两端：
：
取拉式逆变换原方程解：
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1． 求列复数实部虚部模幅角值轭复数：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）
：
（2）
（3）
（4）
2． 列复数化三角表达式指数表达式：
（1） （2） （3）
（4） （5）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3． 求列式值：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4． 设试三角形式表示
解：
5． 解列方程：
（1） （2）
解：（1）
（2）
时应4根分：
6． 证明列题：（1）设
证明：首先显然
次 固
（2）意复数
证明：验证首先左端
右端
左端右端原式成立
（3）实系数代数方程
根根
证明：方程两端取轭注意系数皆实数根复数法运算规：
说明：实系数代数方程根结证
（4）皆
证明：根已知条件：
证毕
（5）
证明：
结证
7．设试写出达表达式中正整数复数
解：首先复数三角等式
面两等式取等号时达需取应单位化量
8．试表述三点线条件
解：三点线量表示时应行二者应反幅角应相差整数倍复数法运算规知应整数倍：
三点线条件实数
9．写出两点直线复参数方程
解：两点直线实参数方程：
复参数方程：
中实参数
10．列参数方程表示什曲线？（中实参数）
（1） （2） （3）
解：需化实参数方程
（1）表示直线
（2）表示椭圆
（3）表示双曲线
11．证明复面圆周方程表示
中复常数实常数
证明：圆周实方程表示：
代入注意
整理
记
结证
12．证明：幅角值函数原点负实轴连续
证明：首先原点定义连续
定义难出实轴方趋时实轴方趋时说明存点连续负实轴连续结证
13．函数面曲线分映成面中什曲线？
解：方程表示代入映射函数中
映成曲线方程 消参数
表示圆周
方程表示
代入映射函数中
映成曲线方程 消参数表示半径圆周
14．指出列题中点轨迹表示点集做图：
解：（1）说明动点距离常数表示圆心半径圆周
（2）距离等点构成集合圆心半径圆周圆周外部点集
（3）说明动点两固定点13距离常数表示椭圆代入化实方程
（4）说明动点距离相等连线垂直分线轴
（5）幅角常数表示顶点轴正夹角射线
15．做出列等式确定区域图形指出界界单连通连通
（1）原点心外圆半径分23圆环区域界连通
（2）顶点原点两条边倾角分角形区域界单连通
（3）显然原等式等价说明3距离2距离原等式表示23 连线垂直分线25左边部分掉2点构成集合界连通区域
（4）
显然该区域边界双曲线化实方程 注意22距离差1等式表示应述双曲线左边支左侧部分界单连通区域
（5）代入化实等式
表示圆心半径圆周外部界连通区域
题二答案
1． 指出列函数解析区域奇点求出导点导数
（1） （2） （3） （4）
解：根函数导性法（导函数差积商导函数商时分母0）根差积商导数公式复合函数导数公式注意区域导定解析：
（1）处处解析
（2）处处解析
（3）奇点
（4）奇点
2． 判列函数处导处解析求出导点导数
（1） （2）
（3） （4）
解：根柯西—黎曼定理：
（1）
四阶偏导数皆连续处处微柯西—黎曼方程
解：
函数点导
函数处处解析
（2）
四阶偏导数皆连续处处微柯西—黎曼方程
解：
函数直线导
导点集直线构成区域函数处处解析
（3）
四阶偏导数皆连续 处处微 处处满足柯西—黎曼方程
函数处处导处处解析导数
（4）
函数定义域处处满足柯西—黎曼方程函数处处导处处解析
3． 取值时复面处处解析？
解：
柯西—黎曼方程：
（1） （2）终
4． 证明：解析
证明：柯西—黎曼方程知左端
右端证毕
5． 证明：区域D解析满足列条件D定常数
（1）D解析 （2）D常数
（3）D常数 （4） （5）
证明：关键证明阶偏导数皆0
（1）解析柯西—黎曼方程
（1）
解析性 （2）
（1）（2）知
常数
（2）设柯西—黎曼方程
说明关 常数
（3）已知常数等式两端分求偏导数
（1）
解析 （2）
求解方程组（1）（2） 说明 皆关常数常数
（4）理两端分求偏导数
联立柯西—黎曼方程
（5）前面样两端分求偏导数
考虑柯西—黎曼方程
证毕
6． 计算列值（数需求出值）
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
解：（1）
（2）
意整数
值：
（3）
意整数
值：
（4）
（5）
意整数
（6）
分取012时3值：
7． 求
解：根指数函数定义
（意整数）
8． 设求
解：
9． 解列方程：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）方程两端取数：
（意整数）
（2）根数指数关系应
（3）三角函数公式（实三角函数样）方程变形
意整数
（4）双曲函数定义 解
意整数
10．证明罗塔法：点解析求极限
证明：商极限运算法导数定义知
11． 数计算公式直接验证：
（1） （2）
解：记
（1）左端
右端
中意整数
显然左端包含元素右端（左端时值
右端取值）两端相等
（2）左端
右端
中意整数
难出左端意右端取时应反右端意偶数时左端取应奇数时左端取应综述左右两集合中元素相互应二者相等
12． 证明
证明：首先
第式子证毕
理证第二式子成立
13． 证明 （）
证明：首先
右端等式证明
次复数三角等式
根高等数学中单调性方法证明时接着面证明左端等式证明
14． 设证明
证明：复数三角等式
已知时单调增加
理
证毕
15． 已知面流场复势
（1） （2） （3）
试求流动速度流线等势线方程
解：需注意记
流场流速
流线
等势线
（1）
流速
流线等势线
（2）
流速
流线等势线
（3）
流速
流线
等势线
题三答案
1． 计算积分中原点直线段
解：积分曲线方程
代入原积分表达式中
2． 计算积分中
（1）01折线 （2）0直线
解：（1）01线段方程：
1线段方程：
代入积分表达式中
（2）0直线段方程
代入积分表达式中
述积分应分步积分法
3． 积分中
（1）0 （2）0
解：（1）积分曲线方程
代入原积分表达式中
（2）积分曲线方程
代入积分表达式中
4． 计算积分中
（1）1+1直线段 （2）1+1圆心原点半圆周
解：（1）方程代入
（2）方程代入
5． 估计积分模中+11圆心原点半圆周
解：1积分估计式
弧长
6． 积分估计式证明：整复面界正整数时
中圆心原点半径正圆周
证明：记积分估计式
式两端令取极限夹定理
证毕
7． 通分析积函数奇点分布情况说明列积分0原中积分曲线皆
（1） （2） （3）
（4） （5）
解：积分积函数奇点：（1）（2）
（3） （4）意整数
（5）积函数处处解析奇点
难出述奇点模皆1皆积分曲线外积分曲线积函数解析根柯西基定理积分值0
8． 计算列积分：
（1） （2） （3）
解：积分皆路径关求原函数方法：
（1）
（2）
（3）
9． 计算 中简单正闭曲线
解：积函数奇点根位置分四种情况讨：
（1）皆外积函数解析柯西基定理
（2）外解析柯西积分
公式：
（3）理外时
（4）皆
时围绕分做两条相互外离闭合曲线复合闭路原理：
注：题分解更简单
10． 计算列积分
解：（1）柯西积分公式
（2）
积分曲线积函数奇点题样：
（3）
积分曲线积函数两奇点围绕分做两条相互外离闭合曲线复合闭路原理：
（4）积分曲线积函数奇点1
（5）
积分曲线积函数两奇点围绕分做两条相互外离闭合曲线复合闭路原理：
（6）正整数高阶导数公式
11． 计算积分中
（1） （2） （3）
解：（1）柯西积分公式
（2）理高阶导数公式
（3）复合闭路原理
中分围绕01相互外离闭合曲线
12． 积分值什？证明
解：首先柯西基定理积函数奇点积分曲线外
次令代入述积分中
考察述积分积函数虚部便
周期性
证毕
13． 设简单闭曲线解析
证明
证明：柯西积分公式意点
已知积分曲线
意性知恒证毕
14． 设单连通区域解析证明
（1）
（2） 简单闭曲线皆
证明：（1）显然某点处已知
矛盾
（直接证明：
说明）
（3） 然注意解析解析函数解析性法知区域解析样根柯西基定理简单闭曲线皆证毕
15．求双曲线 （常数）正交（垂直）曲线族
解：调函数需求出轭调函数
便求曲线族柯西—黎曼方程
知常数
求正交曲线族
（注：实际题答案观察出极易想
解析）
16．设求值调函数
解：调函数定义
某区域调函数某区域述等式成立必须
17．已知试确定解析函数
解：首先等式两端分求偏导数
（1）
（2）
联立柯西—黎曼方程
（3）
（4）
述方程组中解出
样积分代入中
：二者解出
中意实常数
注：题种方法：定理知
方便求出
18．列已知调函数求解析函数
解：（1）
柯西—黎曼方程
积分
说明时求出
：
整理：
（2）
类问题题采方法外样：
中复常数代入
（3）
题样
中数值意实常数
（4）
积分
常数知
时确定出：
整理
19．设解析证明
证明：高阶导数公式积分估计式
证毕
20．闭圆盘解析试证明柯西等式 证明刘维尔定理：整复面界处处解析函数定常数
证明：高阶导数公式积分估计式
柯西等式证毕证刘维尔定理：
函数界妨设柯西等式意处处解析意样令
意性知常数证毕
题四答案
1． 考察列数列否收敛果收敛求出极限．
（1）
解：存存定理41知数列收敛．
（2）
解：中
．
定义41知数列收敛极限0．
（3）
解：
定义41知数列收敛极限0．
（4）
解：设存存定理41知数列收敛．
2． 列级数否收敛？否绝收敛
(1)
解：正项级数值判法知该级数收敛级数收敛绝收敛．
(2)
解：
交错级数根交错级数莱布尼兹审敛法知该级数收敛样知
收敛级数收敛．
发散级数发散级数条件收敛．
(3)
解：级数发散发散．
(4)
解：正项正项级数值判法知该级数收敛级数收敛绝收敛．
3． 试确定列幂级数收敛半径．
(1)
解：幂级数收敛半径．
(2)
解：幂级数收敛半径．
(3)
解：幂级数收敛半径．
(4)
解：令
幂级数收敛域幂级数收敛域收敛半径．
4． 设级数收敛发散证明收敛半径．
证明：点处收敛收敛阿贝尔定理知时收敛绝收敛收敛．
时发散根正项级数较准知发散收敛半径1定理46收敛半径1．
5． 果级数收敛圆圆周点处绝收敛证明收敛圆围闭区域绝收敛．
证明：时阿贝尔定理绝收敛．
时已知条件知收敛收敛绝收敛．
6． 列函数展开幂级数指出收敛区域．
（1）
解：函数奇点处处解析圆展开成幂级数．根例42结果
．
式两边逐项求导求展开式
．
（2）
解：①时函数奇点处处解析圆展开成幂级数．
．
②时函数奇点处处解析圆展开成幂级数．
．
（3）
解：函数复面处处解析整复面展开成幂级数．
．
（4）
解：函数复面处处解析整复面展开成幂级数．
（5）
解：函数复面处处解析整复面展开成幂级数．
．
（6）
解：函数复面处处解析整复面展开成幂级数．
．
7． 求列函数展开指定点处泰勒展式写出展式成立区域．
（1）
解：
．
函数奇点两展开式处处成立．：
．
（2）
解：
．
（3）
解：
．
展开式成立区域：
（4）
解：……
……
奇点等式范围处处成立
8． 列函数指定圆域展开成洛朗级数．
(1)
解：
(2)
解：
①
②
(3)
解：①
②
(4)
解：
(5)
解：
9． 心邻域展开成洛朗级数．
解：函数奇点点心心邻域圆环域．
10．函数否圆环域展开洛朗级数？什？
答：函数奇点奇点环心处处解析圆环域存函数圆环域展开洛朗级数．
题五答案
1． 求列函数孤立奇点说明类型果极点指出级．
（1）
解：函数孤立奇点
性质52知函数1级极点均函数2级极点．
（2）
解：函数孤立奇点极点定义知函数2级极点．
（3）
解：函数孤立奇点性质51知函数奇点．
（4）
解：函数孤立奇点
①时
3级零点性质55知3级极点
②时令
定义52知1级零点性质55知1级极点
（5）
解：函数孤立奇点令
① 时 定义52知2级零点性质55知2级极点2级极点．
②时定义52知1级零点性质55知1级极点１级极点．
（６）
解：函数孤立奇点
令
① 时2级零点2级极点．
②时定义52知
1级零点性质55知１级极点．
2． 指出列函数零点说明级数．
（1）
解：函数零点记
① 时2级零点．
②时定义52知
1级零点．
（2）
解：函数零点性质54知2级零点．
（3）
解：函数零点
记
① 时1级零点1级零点2级零点4级零点．
②时定义52知1级零点．
③时定义52知1级零点．
3． 函数级极点？
答：记
代入：
定义52知
函数5级零点10级极点．
4． 证明：果级零点级零点．
证明：级零点
定义52知级零点．
5． 求列函数限孤立奇点处留数．
（1）
解：函数限孤立奇点均1级极点．定理52知
．
（2）
解：函数限孤立奇点函数3级极点定理52
．
（3）
解：函数限孤立奇点
定义55知．
（4）
解：函数限孤立奇点
定义55知．
（5）
解：函数限孤立奇点
定义55知．
（6）
解：函数限孤立奇点．
①
2级极点．定理52
．
②时记
定义52知1级零点1级极点．定理53
．
6． 利留数计算列积分（积分曲线均取正）．
（1）
解：积函数积分区域限孤立奇点2级极点定理52
定理51知
．
（2）
解：积函数积分区域限孤立奇点1级极点
定理51定理52
．
（3）
解：积函数积分区域限孤立奇点
性质51知函数奇点
定理51定理51．
（4）
解：积函数积分区域限孤立奇点2级极点定理52
定理51．
（5）
解：积函数积分区域限孤立奇点性质56知函数1级极点
定理51 ．
（6）
解：积函数积分区域限孤立奇点：定理53点均1级极点
定理51．
7． 计算积分中正整数．
解：记限孤立奇点级极点分情况讨：
①时均积分区域定理51
．
②时均积分区域．
③时积分区域积分区域
题五
8．判断列函数什奇点？求出留数
解：（1）
奇点
（2）
性奇点
（3）
容易出展式中穷正幂项性奇点
（4）
奇点
9．计算列积分：
解：（1）
（2）
式知
10．求列积分值：
（1）解：设
（2）解：设
（3）解：显然满足分母次数少分子次数高二次实轴没奇点积分存半面奇点2级极点
（4）解：
显然满足分母次数少分子次数高二次实轴没奇点积分存半面二奇点1 级极点
（5）解：显然满足分母次数少分子次数高次实轴没奇点半面奇点1 级极点
（6）解：显然满足分母次数少分子次数高次实轴没奇点半面奇点1 级极点
11．利数留数计算列积分：
解：（1）里函数零点数极点数
（2）
里函数零点数极点数函数零点数极点数
(3) 里函数零点数极点数
(4)
里函数零点数极点数
12．证明方程三根环域
证明：令时
方程根数目相4
时
方程根数目相1
综合述环域3根
13．讨方程根
解：令时
方程根数目相1
时
方程根数目相4
根述环域3根
14．时证明方程单位圆n根
证明：令时
时方程根数目相n
题七答案
1． 试证：满足傅氏积分定理条件
证明：根付氏积分公式
2． 求列函数傅氏变换：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）
f(t)
(2)
(3)
(4)
3． 求列函数傅氏变换推证列积分等式
(1) 证明
(2) 证明
解：(1)
傅氏积分公式时
根傅氏积分定理
(2)
傅氏积分公式
根傅氏积分定理
5． 求列函数傅氏变换：
(1) (2)
(3) (4)
解：（1）
(2)
(3)
(4)
6． 证明：中实函数
中轭函数
证明：
7．证明（翻转性质）
证明：
述积分作变换
8．证明列式：
(1) （常数）
(2)
证明：（1）
（2）
9．计算列函数卷积：
(1) (2)
(2) (2)
解 (1) 显然
时0
时
（2）显然
时皆0
时
时
时
时
时
总结述
10．求列函数傅氏变换：
(1) (2)
(3) (4)
解：（1）
根位移性质
（2）
（3）根位移性质
根函数位移性质
（4）
根微分性质
根位移性质
题八
1． 求列函数拉氏变换：
(1)
解：拉氏变换定义知：
(2)
解：拉氏变换定义单位脉动函数筛选性质知：
2 求列函数拉氏变换：
(1)
解：拉氏变换线性性质知：
(2)
解：拉氏变换线性性质位移性质知：
(3)
解：法：利位移性质
拉氏变换位移性质知：
法二：利微分性质
令
拉氏变换微分性质知：
(4)
解：
拉氏变换位移性知：
(5)
解：
(6)
解： ：
(7)
解：
法：利拉氏变换位移性质
法二：利微分性质
令
拉氏变换微分性质知：
(8)
解：法：利拉氏变换位移性质
法二：利微分性质
令
拉氏变换微分性质知：
3 利拉氏变换性质计算列式：
(1) 求
解：
拉氏变换位移性质知：
(2) 求
解：设
拉氏变换积分性质知：
微分性质：
4 利拉氏变换性质求
(1)
解：法：利卷积求解
设
卷积定理知：
法二：利留数求解
显然 两2级极点外处处解析时 定理83知：
(2)
解：法：利卷积求解
设
卷积定理知
法二：留数求解
显然 两2级极点外处处解析时 定理83知：
法三：利拉氏变换积分性质求解
(1)题知
5 利积分性质计算
(1)
解：设
拉氏变换微分性质：
(2)
解：(1)题中取
拉氏变换位移性质知：
拉氏变换积分性质
6 计算列积分：
(1)
解：
拉氏变换表知：取
(2)
解：
7．求列函数拉氏逆变换：
(1)
解： 取
(2)
解：
(3)
解：设四级极点 外处处解析时 定理83知：
面求留数
(4)
解：设 具两单极点 外处处解析时 定理83：
(5)
解：设
分阶二阶极点显然满足定理83条件定理83知：
(6)
解：设
显然 查表知
卷积定理：
(7)
解：设
(8)
解：
：
8 求列函数拉氏逆变换：
(1)
解：
拉氏变换表知：
(2)
解：
(3)
解：设
设
卷积定理知
(4)
解：设
设
(5)
解：
卷积定理知：
(6)
解：
拉氏变换表知：
9 求列卷积：
(1)
解：`
(2) （m n正整数）
解：
(3)
解：
(4)
解：
(5)
解：
时
时
(6)
解：设
时式0
时函数筛选性质：
10 利卷积定理证明列等式：
(1)
证明：
卷积定理：
证毕
(2)
证明：
卷积定理知：
证毕
11 解列微分方程微分方程组：
(1)
解：设 方程两边取拉氏变换
代入 ：
留数方法求解拉氏逆变换：
(2)
解：设 方程两边时取拉氏变换
代入初值条件：
求拉氏逆变换方程解：
(3)
解：设 拉氏变换作方程两边：
代入初值条件：
：
卷积定理求拉氏逆变换：
(4)
解：设 拉氏变换作方程两边：
初始条件代入：
方程解：
(5)
解：设 方程两边取拉氏变换：
代入初始条件整理：
例816知：
方程解
(6)
解：设
方程组方程两边分取拉氏变换考虑初始条件：
求解该方程组：
取拉式逆变换原方程组解：
(7)
解：设
方程组方程两边分取拉氏变换考虑初始条件：
整理计算：
求拉氏逆变换：
卷积定理
理求
方程组解
(8)
解：设
方程组方程两边分取拉氏变换考虑初始条件：
解方程组：
取拉氏逆变换原方程组解：
12 求解积分方程
解：令
卷积定理 知
拉氏变换作原方程两端：
：
取拉式逆变换原方程解：
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