第二章 复变函数
第节 解析函数概念CR方程
1导数解析函数
定义21：设区域确定单值函数果极限
存复数称处导微极限称处导数记作
定义22：果某邻域处处导称处解析果区域处处解析称解析称解析函数解析函数导（函）数般记
注解1语言果找关正数时
称处导
注解2解析性连续性：点导函数必然点连续函数反定成立
注解3解析性导性：点导性局部概念解析性整体概念
注解4函数点解析指点某邻域解析点导反点导性点解析
解析函数四运算：
区域解析（分母零）区域解析面导数四运算法：
复合求导法：设面区域解析面区域解析时复合函数解析
求导例子：
（1）果（常数）
（2）
（3）项式
整复面解析
（4）复面理函数分母零点外解析导数求法实变量时相
2柯西黎曼条件
微复变函数实部虚部满足面定理：
定理21 设函数区域确定点微充条件：
1 实部虚部处微
2 满足柯西黎曼条件（简称方程）
证明：（必性）设导数根导数定义时
中较式实部虚部
实变二元函数微性定义知点微
柯西黎曼方程成立
（充分性）设点微柯西黎曼方程成立：
设微性定义：
令（）时
令
点微
定理22 设函数区域确定区域解析充条件：
1 实部虚部微
2 )满足柯西黎曼条件（简称方程）
关柯西黎曼条件面注解：
注解1解析函数实部虚部完全独立方程组解研究流体力学时
注解2解析函数导数形式更简洁：
公式避免利定义计算带困难
注解3利两定理判断复变函数否点微区域解析
3例题
例1 证明点微
解
四偏导数复面连续点满足方程
点微
例2 试讨定义复面函数导性
解：
四偏导数复面连续复面满足方程
复面处处导
例3 设函数复面导试确定常数值
解
方程 （1）
（2）
（1） （3）
（2） （4）
（5）
解（3）（4）（5）
第二节 初等解析函数
1幂函数
利数函数定义幂函数：设复数定义次幂函数
正实数时规定
数值数等数值子
数
2幂函数基性质：
1 数函数值性幂函数般值函数
2 正整数时幂函数单值函数
3 （正整数）时幂函数值函数
4 理数时幂函数值函数
5 理数虚数时幂函数穷值值函数
设区域分成穷解析分支解析分支相应单值连续分支根复合函数求导法单值连续分支解析
中应理解求导数分支应理解数函数相应分支
应解析分支：整数时解析函数时G解析分支理数虚数时幂函数穷解析分支穷值值函数
例1整数时称根式函数反函数时
值函数复面负实轴（包括0）割线区域解析分支：
记作
分支负实轴取值相应连续分支该处取值致
整数时原点穷远点支点a理数者理数两支点具完全性质
理解结0穷远点充分邻域作条简单闭曲线围绕0穷远点取点确定值相应确定
值现考虑列两种情况：
(1) 理数点出发反时针时针方连续变动周时连续变动相应连续变动
第次回出发时值时称原点穷远点阶支点称阶代数支点
（2）理数时容易验证原点穷远点穷阶支点
整数时原点穷远点支点取连接两支点条简单连续曲线作割线区域分解成解析分支
关幂函数正实数时映射性质面结：
设实数面取正实数轴（包括原点）作割线区域考虑角形取解析分支
描出条射线时（包括0）面描出条射线0增加（包括0）射线扫角形相应射线扫角形夹角角形双射成夹角角形时函数中原点心圆弧映射成中原点心圆弧
类似正整数时分支
分区域双射成面角形
3例题
例1 作出含区域函数
区域分解成解析分支求分支点值
解：
先求函数支点支点0穷远点函数支点012穷远点作条简单连续闭曲线012区域含0包含12设点确定点值分
反时针方连续变动周时通连续变动增加
没变化值
连续变动
0函数支点
时作条简单连续闭曲线012区域含1包含02设点确定点值分
反时针方连续变动周时通连续变动增加没变化值
连续变动
1函数支点
理2穷远点支点
支点确定作区域函数分解成单值解析分支
首先复面作条连接012穷远点意界简单连续曲线作割线区域分解成连续分支例取作复面样割线区域
次作作条简单连续闭曲线012区域包含三点中两包含外点设点确定值样讨连续变化周回时连续变化值没变化
作割线取线段2出发 相交射线割线分解成连续分支例取区域w分解成连续分支例取作复面割线区域
求述区域中解析分支
值
取
分解成两解析分支
求分支值见分支
图处
求分支值
例2 验证函数区域分解成解析分支求出函数取正实值分支处值函数值
证明：
01三阶支点穷远点支点
事实作条简单连续闭曲线区域包含01设点确定值连续变化周回时连续变化值没变化
区域分解成解析分支现选取取正实值支
中根号表示算术根求支值
取求支
中根号表示算术根求支
处
指定支处值
考虑述单值分支取值情况区域右边曲线变动时没变化减少
左边曲线变动时增加 没变化
样时述单值分支值
注解1： 具限支点值函数便采取限制辐角范围办法首先求出该函数切支点然适联结支点割破复面复面割线边界区域分出该函数单值解析分支变点穿支割线单独绕支点转整周函数点取值
注解2： 解例1例2类题点作图观察动点z路线（穿支割线）起点终点时子辐角连续改变量： 观察量辐角连续改变量计算
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第节 解析函数概念CR方程
1导数解析函数
定义21：设区域确定单值函数果极限
存复数称处导微极限称处导数记作
定义22：果某邻域处处导称处解析果区域处处解析称解析称解析函数解析函数导（函）数般记
注解1语言果找关正数时
称处导
注解2解析性连续性：点导函数必然点连续函数反定成立
注解3解析性导性：点导性局部概念解析性整体概念
注解4函数点解析指点某邻域解析点导反点导性点解析
解析函数四运算：
区域解析（分母零）区域解析面导数四运算法：
复合求导法：设面区域解析面区域解析时复合函数解析
求导例子：
（1）果（常数）
（2）
（3）项式
整复面解析
（4）复面理函数分母零点外解析导数求法实变量时相
2柯西黎曼条件
微复变函数实部虚部满足面定理：
定理21 设函数区域确定点微充条件：
1 实部虚部处微
2 满足柯西黎曼条件（简称方程）
证明：（必性）设导数根导数定义时
中较式实部虚部
实变二元函数微性定义知点微
柯西黎曼方程成立
（充分性）设点微柯西黎曼方程成立：
设微性定义：
令（）时
令
点微
定理22 设函数区域确定区域解析充条件：
1 实部虚部微
2 )满足柯西黎曼条件（简称方程）
关柯西黎曼条件面注解：
注解1解析函数实部虚部完全独立方程组解研究流体力学时
注解2解析函数导数形式更简洁：
公式避免利定义计算带困难
注解3利两定理判断复变函数否点微区域解析
3例题
例1 证明点微
解
四偏导数复面连续点满足方程
点微
例2 试讨定义复面函数导性
解：
四偏导数复面连续复面满足方程
复面处处导
例3 设函数复面导试确定常数值
解
方程 （1）
（2）
（1） （3）
（2） （4）
（5）
解（3）（4）（5）
第二节 初等解析函数
1幂函数
利数函数定义幂函数：设复数定义次幂函数
正实数时规定
数值数等数值子
数
2幂函数基性质：
1 数函数值性幂函数般值函数
2 正整数时幂函数单值函数
3 （正整数）时幂函数值函数
4 理数时幂函数值函数
5 理数虚数时幂函数穷值值函数
设区域分成穷解析分支解析分支相应单值连续分支根复合函数求导法单值连续分支解析
中应理解求导数分支应理解数函数相应分支
应解析分支：整数时解析函数时G解析分支理数虚数时幂函数穷解析分支穷值值函数
例1整数时称根式函数反函数时
值函数复面负实轴（包括0）割线区域解析分支：
记作
分支负实轴取值相应连续分支该处取值致
整数时原点穷远点支点a理数者理数两支点具完全性质
理解结0穷远点充分邻域作条简单闭曲线围绕0穷远点取点确定值相应确定
值现考虑列两种情况：
(1) 理数点出发反时针时针方连续变动周时连续变动相应连续变动
第次回出发时值时称原点穷远点阶支点称阶代数支点
（2）理数时容易验证原点穷远点穷阶支点
整数时原点穷远点支点取连接两支点条简单连续曲线作割线区域分解成解析分支
关幂函数正实数时映射性质面结：
设实数面取正实数轴（包括原点）作割线区域考虑角形取解析分支
描出条射线时（包括0）面描出条射线0增加（包括0）射线扫角形相应射线扫角形夹角角形双射成夹角角形时函数中原点心圆弧映射成中原点心圆弧
类似正整数时分支
分区域双射成面角形
3例题
例1 作出含区域函数
区域分解成解析分支求分支点值
解：
先求函数支点支点0穷远点函数支点012穷远点作条简单连续闭曲线012区域含0包含12设点确定点值分
反时针方连续变动周时通连续变动增加
没变化值
连续变动
0函数支点
时作条简单连续闭曲线012区域含1包含02设点确定点值分
反时针方连续变动周时通连续变动增加没变化值
连续变动
1函数支点
理2穷远点支点
支点确定作区域函数分解成单值解析分支
首先复面作条连接012穷远点意界简单连续曲线作割线区域分解成连续分支例取作复面样割线区域
次作作条简单连续闭曲线012区域包含三点中两包含外点设点确定值样讨连续变化周回时连续变化值没变化
作割线取线段2出发 相交射线割线分解成连续分支例取区域w分解成连续分支例取作复面割线区域
求述区域中解析分支
值
取
分解成两解析分支
求分支值见分支
图处
求分支值
例2 验证函数区域分解成解析分支求出函数取正实值分支处值函数值
证明：
01三阶支点穷远点支点
事实作条简单连续闭曲线区域包含01设点确定值连续变化周回时连续变化值没变化
区域分解成解析分支现选取取正实值支
中根号表示算术根求支值
取求支
中根号表示算术根求支
处
指定支处值
考虑述单值分支取值情况区域右边曲线变动时没变化减少
左边曲线变动时增加 没变化
样时述单值分支值
注解1： 具限支点值函数便采取限制辐角范围办法首先求出该函数切支点然适联结支点割破复面复面割线边界区域分出该函数单值解析分支变点穿支割线单独绕支点转整周函数点取值
注解2： 解例1例2类题点作图观察动点z路线（穿支割线）起点终点时子辐角连续改变量： 观察量辐角连续改变量计算
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