难点24 直线圆锥曲线
直线圆锥曲线联系起综合题高考中高档题压轴题出现涉位置关系判定弦长问题值问题称问题轨迹问题等突出考查数形结合分类讨函数方程等价转化等数学思想方法求考生分析问题解决问题力计算力较高起拉开考生档次利选拔功
●难点磁场
(★★★★★)已知椭圆中心坐标原点O焦点坐标轴直线yx+1椭圆交PQOP⊥OQ|PQ|求椭圆方程
●案例探究
［例1］图示抛物线y24x顶点O点A坐标(50)倾斜角直线l线段OA相交(点O点A)交抛物线MN两点求△AMN面积时直线l方程求△AMN面积
命题意图：直线圆锥曲线相交重问题关弦长问题题考查处理直线圆锥曲线相交问题第种方法——韦达定理法属★★★★★级题目
知识托：弦长公式三角形面积公式等式法求值函数方程思想
错解分析：直线方程代入抛物线方程没确定m取值范围等式法求值忽略适条件
技巧方法：涉弦长问题应熟练利韦达定理设求计算弦长涉垂直关系利韦达定理设求简化运算
解：题意设l方程yx+m－5＜m＜0
方程组消yx2+(2m－4)x+m20 ①
∵直线l抛物线两交点MN
∴方程①判式Δ(2m－4)2－4m216(1－m)＞0
解m＜1－5＜m＜0∴m范围(－50)
设M(x1y1)N(x2y2)x1+x24－2mx1·x2m2
∴|MN|4
点A直线l距离d
∴S△2(5+m)S△24(1－m)(5+m)2
2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3128
∴S△≤8仅2－2m5+mm－1时取等号
直线l方程yx－1△AMN面积8
［例2］已知双曲线C：2x2－y22点P(12)
(1)求P(12)点直线l斜率取值范围lC分交点两交点没交点
(2)Q(11)试判断Q中点弦否存
命题意图：第问考查直线双曲线交点数问题结方程组解问题第二问考查处理直线圆锥曲线问题第二种方法——差分法属★★★★★级题目
知识托：二次方程根数判定两点连线斜率公式中点坐标公式
错解分析：第问求二次方程根数忽略二次项系数讨第二问算Q中点弦斜率2认求直线存
技巧方法：涉弦长中点问题常差分法设求弦直线斜率弦中点坐标联系起相互转化
解：(1)直线l斜率存时l方程x1曲线C交点l斜率存时设直线l方程y－2k(x－1)代入C方程整理
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－60 (*)
(ⅰ)2－k20k±时方程(*)根lC交点
(ⅱ)2－k2≠0k≠±时
Δ［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)16(3－2k)
①Δ03－2k0k时方程(*)实根lC交点
②Δ＞0k＜k≠±k＜－－＜k＜＜k＜时方程(*)两等实根lC两交点
③Δ＜0k＞时方程(*)解lC交点
综知：k±kk存时lC交点
＜k＜－＜k＜k＜－时lC两交点
k＞时lC没交点
(2)假设Q中点弦存设ABA(x1y1)B(x2y2)2x12－y1222x22－y222两式相减：2(x1－x2)(x1+x2)(y1－y2)(y1+y2)
∵x1+x22y1+y22
∴2(x1－x2)y1－y1
kAB2
渐线斜率±结合图形知直线ABC交点假设正确Q中点弦存
［例3］图已知某椭圆焦点F1(－40)F2(40)点F2垂直x轴直线椭圆交点B|F1B|+|F2B|10椭圆两点A(x1y1)C(x2y2)满足条件：|F2A||F2B||F2C|成等差数列
(1)求该弦椭圆方程
(2)求弦AC中点横坐标
(3)设弦AC垂直分线方程ykx+m求m取值范围
命题意图：题考查直线椭圆等差数列等基知识二问较简单第三问巧妙助中垂线求参数范围设计新颖综合性灵活性强属★★★★★级题目
知识托：椭圆定义等差数列定义处理直线圆锥曲线方法
错解分析：第三问表达出ky0时忽略k0时情况理清题目中变量间关系
技巧方法：第问利椭圆第定义写方程第二问利椭圆第二定义(焦半径公式)求解第三问利m表示出弦AC中点P坐标y0利y0范围求m范围
解：(1)椭圆定义条件知2a|F1B|+|F2B|10a5c4b3
椭圆方程1
(2)点B(4yB)椭圆|F2B||yB|椭圆右准线方程x离心率根椭圆定义|F2A|(－x1)|F2C|(－x2)
|F2A||F2B||F2C|成等差数列
(－x1)+(－x2)2×出：x1+x28
设弦AC中点P(x0y0)x04
(3)解法：A(x1y1)C(x2y2)椭圆
①
②
①－②9(x12－x22)+25(y12－y22)0
9×0(x1≠x2)
(k≠0)代入式9×4+25y0(－)0
(k≠0)
ky0(k0时成立)
点P(4y0)弦AC垂直分线y04k+mmy0－4ky0－y0－y0
点P(4y0)线段BB′(B′B关x轴称)部－＜y0＜－＜m＜
解法二：弦AC中点P(4y0)直线AC方程
y－y0－(x－4)(k≠0) ③
③代入椭圆方程1
(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k20
x1+x28解ky0(k0时成立)
(解法)
●锦囊妙计
1直线圆锥曲线公点公点问题实际研究方程组成方程否实数解成实数解数问题时注意分类讨数形结合思想方法
2直线圆锥曲线相交时：涉弦长问题常韦达定理法设求计算弦长(应弦长公式)涉弦长中点问题常差分法设求弦直线斜率弦中点坐标联系起相互转化时应充分挖掘题目隐含条件寻找量量间关系灵活转化事半功倍
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)斜率1直线l椭圆+y21相交AB两点|AB|值( )
A2 B C D
2(★★★★)抛物线yax2直线ykx+b(k≠0)交AB两点两点横坐标分x1x2直线x轴交点横坐标x3恒( )
Ax3x1+x2 Bx1x2x1x3+x2x3
Cx1+x2+x30 Dx1x2+x2x3+x3x10
二填空题
3(★★★★)已知两点M(1)N(－4－)出列曲线方程：①4x+2y－10
②x2+y23③+y21④－y21曲线存点P满足|MP||NP|曲线方程_________
4(★★★★★)正方形ABCD边AB直线yx+4CD两点抛物线y2x正方形ABCD面积_________
5(★★★★★)抛物线y216x通点(21)点分弦直线方程_________
三解答题
6(★★★★★)已知抛物线y22px(p＞0)动点M(a0)斜率1直线l该抛物线交两点AB|AB|≤2p
(1)求a取值范围
(2)线段AB垂直分线交x轴点N求△NAB面积值
7(★★★★★)已知中心原点顶点A1A2x轴离心率e双曲线点P(66)
(1)求双曲线方程
(2)动直线l△A1PA2重心G双曲线交两点MN问：否存直线lG分线段MN证明结
8(★★★★★)已知双曲线C两条渐线原点点A(0)圆心1半径圆相切双曲线顶点A1A点关直线yx称
(1)求双曲线C方程
(2)设直线l点A斜率k0＜k＜1时双曲线C支仅点B直线l距离试求k值时B点坐标
参考答案
难点磁场
解：设椭圆方程mx2+ny21(m＞0n＞0)
P(x1y1)Q(x2y2)
(m+n)x2+2nx+n－10
Δ4n2－4(m+n)(n－1)＞0m+n－mn＞0
OP⊥OQx1x2+y1y202x1x2+(x1+x2)+10
∴+10∴m+n2 ①
22
m+n2代入m·n ②
①②式mnmn
椭圆方程+y21x2+y21
歼灭难点训练
1解析：弦长|AB|≤
答案：C
2解析：解方程组ax2－kx－b0知x1+x2x1x2－x3－代入验证
答案：B
二3解析：点P线段MN垂直分线判断MN垂直分线曲线否存交点
答案：②③④
4解析：设CD直线方程yx+b代入y2x利弦长公式求出|CD|长利|CD|长等两行直线yx+4yx+b间距离求出b值代入求出|CD|长
答案：1850
5解析：设求直线y216x相交点ABA(x1y1)B(x2y2)代入抛物线方程y1216x1y2216x2两式相减(y1+y2）(y1－y2)16(x1－x2)
kAB8
求直线方程y8x－15
答案：8x－y－150
三6解：(1)设直线l方程：yx－a代入抛物线方程(x－a)22pxx2－2(a+p)x+a20
∴|AB|≤2p∴4ap+2p2≤p24ap≤－p2
∵p＞0∴a≤－
(2)设A(x1y1)B(x2y2)AB中点 C(xy)
(1)知y1x1－ay2x2－ax1+x22a+2p
xp
∴线段AB垂直分线方程y－p－(x－a－p)N点坐标(a+2p0）
点NAB距离
S△NAB
a值－时S值p2
7解：(1)图设双曲线方程1已知解a29b212
求双曲线方程1
(2)PA1A2坐标次(66)(30)(－30）
∴重心G坐标(22）
假设存直线lG(22)分线段MN设M(x1y1)N(x2y2)
∴kl
∴l方程y (x－2)+2
消y整理x2－4x+280
∵Δ16－4×28＜0∴求直线l存
8解：(1)设双曲线渐线ykxd1解k±1
渐线y±x点A关yx称点坐标(0)
∴ab求双曲线C方程x2－y22
(2)设直线l：yk(x－)(0＜k＜1题意B点行直线l′ll′间距离
设直线l′：ykx+m应化简m2+2km2 ②
l′代入双曲线方程(k2－1)x2+2mkx+m2－20
Δ4m2k2－4(k2－1)(m2－2)0m2+2k22 ③
②③两式相减km代入③m2解设mk时xyB(2)
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直线圆锥曲线联系起综合题高考中高档题压轴题出现涉位置关系判定弦长问题值问题称问题轨迹问题等突出考查数形结合分类讨函数方程等价转化等数学思想方法求考生分析问题解决问题力计算力较高起拉开考生档次利选拔功
●难点磁场
(★★★★★)已知椭圆中心坐标原点O焦点坐标轴直线yx+1椭圆交PQOP⊥OQ|PQ|求椭圆方程
●案例探究
［例1］图示抛物线y24x顶点O点A坐标(50)倾斜角直线l线段OA相交(点O点A)交抛物线MN两点求△AMN面积时直线l方程求△AMN面积
命题意图：直线圆锥曲线相交重问题关弦长问题题考查处理直线圆锥曲线相交问题第种方法——韦达定理法属★★★★★级题目
知识托：弦长公式三角形面积公式等式法求值函数方程思想
错解分析：直线方程代入抛物线方程没确定m取值范围等式法求值忽略适条件
技巧方法：涉弦长问题应熟练利韦达定理设求计算弦长涉垂直关系利韦达定理设求简化运算
解：题意设l方程yx+m－5＜m＜0
方程组消yx2+(2m－4)x+m20 ①
∵直线l抛物线两交点MN
∴方程①判式Δ(2m－4)2－4m216(1－m)＞0
解m＜1－5＜m＜0∴m范围(－50)
设M(x1y1)N(x2y2)x1+x24－2mx1·x2m2
∴|MN|4
点A直线l距离d
∴S△2(5+m)S△24(1－m)(5+m)2
2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3128
∴S△≤8仅2－2m5+mm－1时取等号
直线l方程yx－1△AMN面积8
［例2］已知双曲线C：2x2－y22点P(12)
(1)求P(12)点直线l斜率取值范围lC分交点两交点没交点
(2)Q(11)试判断Q中点弦否存
命题意图：第问考查直线双曲线交点数问题结方程组解问题第二问考查处理直线圆锥曲线问题第二种方法——差分法属★★★★★级题目
知识托：二次方程根数判定两点连线斜率公式中点坐标公式
错解分析：第问求二次方程根数忽略二次项系数讨第二问算Q中点弦斜率2认求直线存
技巧方法：涉弦长中点问题常差分法设求弦直线斜率弦中点坐标联系起相互转化
解：(1)直线l斜率存时l方程x1曲线C交点l斜率存时设直线l方程y－2k(x－1)代入C方程整理
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－60 (*)
(ⅰ)2－k20k±时方程(*)根lC交点
(ⅱ)2－k2≠0k≠±时
Δ［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)16(3－2k)
①Δ03－2k0k时方程(*)实根lC交点
②Δ＞0k＜k≠±k＜－－＜k＜＜k＜时方程(*)两等实根lC两交点
③Δ＜0k＞时方程(*)解lC交点
综知：k±kk存时lC交点
＜k＜－＜k＜k＜－时lC两交点
k＞时lC没交点
(2)假设Q中点弦存设ABA(x1y1)B(x2y2)2x12－y1222x22－y222两式相减：2(x1－x2)(x1+x2)(y1－y2)(y1+y2)
∵x1+x22y1+y22
∴2(x1－x2)y1－y1
kAB2
渐线斜率±结合图形知直线ABC交点假设正确Q中点弦存
［例3］图已知某椭圆焦点F1(－40)F2(40)点F2垂直x轴直线椭圆交点B|F1B|+|F2B|10椭圆两点A(x1y1)C(x2y2)满足条件：|F2A||F2B||F2C|成等差数列
(1)求该弦椭圆方程
(2)求弦AC中点横坐标
(3)设弦AC垂直分线方程ykx+m求m取值范围
命题意图：题考查直线椭圆等差数列等基知识二问较简单第三问巧妙助中垂线求参数范围设计新颖综合性灵活性强属★★★★★级题目
知识托：椭圆定义等差数列定义处理直线圆锥曲线方法
错解分析：第三问表达出ky0时忽略k0时情况理清题目中变量间关系
技巧方法：第问利椭圆第定义写方程第二问利椭圆第二定义(焦半径公式)求解第三问利m表示出弦AC中点P坐标y0利y0范围求m范围
解：(1)椭圆定义条件知2a|F1B|+|F2B|10a5c4b3
椭圆方程1
(2)点B(4yB)椭圆|F2B||yB|椭圆右准线方程x离心率根椭圆定义|F2A|(－x1)|F2C|(－x2)
|F2A||F2B||F2C|成等差数列
(－x1)+(－x2)2×出：x1+x28
设弦AC中点P(x0y0)x04
(3)解法：A(x1y1)C(x2y2)椭圆
①
②
①－②9(x12－x22)+25(y12－y22)0
9×0(x1≠x2)
(k≠0)代入式9×4+25y0(－)0
(k≠0)
ky0(k0时成立)
点P(4y0)弦AC垂直分线y04k+mmy0－4ky0－y0－y0
点P(4y0)线段BB′(B′B关x轴称)部－＜y0＜－＜m＜
解法二：弦AC中点P(4y0)直线AC方程
y－y0－(x－4)(k≠0) ③
③代入椭圆方程1
(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k20
x1+x28解ky0(k0时成立)
(解法)
●锦囊妙计
1直线圆锥曲线公点公点问题实际研究方程组成方程否实数解成实数解数问题时注意分类讨数形结合思想方法
2直线圆锥曲线相交时：涉弦长问题常韦达定理法设求计算弦长(应弦长公式)涉弦长中点问题常差分法设求弦直线斜率弦中点坐标联系起相互转化时应充分挖掘题目隐含条件寻找量量间关系灵活转化事半功倍
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)斜率1直线l椭圆+y21相交AB两点|AB|值( )
A2 B C D
2(★★★★)抛物线yax2直线ykx+b(k≠0)交AB两点两点横坐标分x1x2直线x轴交点横坐标x3恒( )
Ax3x1+x2 Bx1x2x1x3+x2x3
Cx1+x2+x30 Dx1x2+x2x3+x3x10
二填空题
3(★★★★)已知两点M(1)N(－4－)出列曲线方程：①4x+2y－10
②x2+y23③+y21④－y21曲线存点P满足|MP||NP|曲线方程_________
4(★★★★★)正方形ABCD边AB直线yx+4CD两点抛物线y2x正方形ABCD面积_________
5(★★★★★)抛物线y216x通点(21)点分弦直线方程_________
三解答题
6(★★★★★)已知抛物线y22px(p＞0)动点M(a0)斜率1直线l该抛物线交两点AB|AB|≤2p
(1)求a取值范围
(2)线段AB垂直分线交x轴点N求△NAB面积值
7(★★★★★)已知中心原点顶点A1A2x轴离心率e双曲线点P(66)
(1)求双曲线方程
(2)动直线l△A1PA2重心G双曲线交两点MN问：否存直线lG分线段MN证明结
8(★★★★★)已知双曲线C两条渐线原点点A(0)圆心1半径圆相切双曲线顶点A1A点关直线yx称
(1)求双曲线C方程
(2)设直线l点A斜率k0＜k＜1时双曲线C支仅点B直线l距离试求k值时B点坐标
参考答案
难点磁场
解：设椭圆方程mx2+ny21(m＞0n＞0)
P(x1y1)Q(x2y2)
(m+n)x2+2nx+n－10
Δ4n2－4(m+n)(n－1)＞0m+n－mn＞0
OP⊥OQx1x2+y1y202x1x2+(x1+x2)+10
∴+10∴m+n2 ①
22
m+n2代入m·n ②
①②式mnmn
椭圆方程+y21x2+y21
歼灭难点训练
1解析：弦长|AB|≤
答案：C
2解析：解方程组ax2－kx－b0知x1+x2x1x2－x3－代入验证
答案：B
二3解析：点P线段MN垂直分线判断MN垂直分线曲线否存交点
答案：②③④
4解析：设CD直线方程yx+b代入y2x利弦长公式求出|CD|长利|CD|长等两行直线yx+4yx+b间距离求出b值代入求出|CD|长
答案：1850
5解析：设求直线y216x相交点ABA(x1y1)B(x2y2)代入抛物线方程y1216x1y2216x2两式相减(y1+y2）(y1－y2)16(x1－x2)
kAB8
求直线方程y8x－15
答案：8x－y－150
三6解：(1)设直线l方程：yx－a代入抛物线方程(x－a)22pxx2－2(a+p)x+a20
∴|AB|≤2p∴4ap+2p2≤p24ap≤－p2
∵p＞0∴a≤－
(2)设A(x1y1)B(x2y2)AB中点 C(xy)
(1)知y1x1－ay2x2－ax1+x22a+2p
xp
∴线段AB垂直分线方程y－p－(x－a－p)N点坐标(a+2p0）
点NAB距离
S△NAB
a值－时S值p2
7解：(1)图设双曲线方程1已知解a29b212
求双曲线方程1
(2)PA1A2坐标次(66)(30)(－30）
∴重心G坐标(22）
假设存直线lG(22)分线段MN设M(x1y1)N(x2y2)
∴kl
∴l方程y (x－2)+2
消y整理x2－4x+280
∵Δ16－4×28＜0∴求直线l存
8解：(1)设双曲线渐线ykxd1解k±1
渐线y±x点A关yx称点坐标(0)
∴ab求双曲线C方程x2－y22
(2)设直线l：yk(x－)(0＜k＜1题意B点行直线l′ll′间距离
设直线l′：ykx+m应化简m2+2km2 ②
l′代入双曲线方程(k2－1)x2+2mkx+m2－20
Δ4m2k2－4(k2－1)(m2－2)0m2+2k22 ③
②③两式相减km代入③m2解设mk时xyB(2)
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