难点22 轨迹方程求法
求曲线轨迹方程解析两基问题求符合某种条件动点轨迹方程实质利题设中条件坐标化转化寻求变量间关系类问题考查学生圆锥曲线定义性质等基础知识掌握充分考查种数学思想方法定推理力运算力类问题成高考命题热点学难点
●难点磁场
(★★★★)已知AB两定点动点MAB距离常数λ求点M轨迹方程注明轨迹什曲线
●案例探究
［例1］图示已知P(40)圆x2+y236点AB圆两动点满足∠APB90°求矩形APBQ顶点Q轨迹方程
命题意图：题考查利相关点代入法求曲线轨迹方程属★★★★★级题目
知识托：利面基知识两点间距离公式建立线段AB中点轨迹方程
错解分析：欲求Q轨迹方程应先求R轨迹方程学生思考深刻发现问题实质难解决题
技巧方法：某较复杂探求轨迹方程问题先确定较易求点轨迹方程点作动点求轨迹点相关点求轨迹方程
解：设AB中点R坐标(xy)Rt△ABP中|AR||PR|
R弦AB中点垂径定理：Rt△OAR中|AR|2|AO|2－|OR|236－(x2+y2)
|AR||PR|
(x－4)2+y236－(x2+y2)x2+y2－4x－100
点R圆R圆运动时Q点求轨迹运动
设Q(xy)R(x1y1)RPQ中点x1
代入方程x2+y2－4x－100
－100
整理：x2+y256求轨迹方程
［例2］设点AB抛物线 y24px(p＞0)原点外两动点已知OA⊥OBOM⊥AB求点M轨迹方程说明表示什曲线(2000年北京安徽春招)
命题意图：题考查参数法求曲线轨迹方程属★★★★★级题目
知识托：直线抛物线位置关系
错解分析：设AB两点坐标分(x1y1)(x2y2)时注意x1x2讨
技巧方法：动点坐标xy相关量表示出然消掉量建立关xy关系
解法：设A(x1y1)B(x2y2)M(xy)题意
①
②
③
④
⑤
①－②(y1－y2)(y1+y2)4p(x1－x2)
x1≠x2 ⑥
①×②y12·y2216p2x1x2
③代入式y1y2－16p2 ⑦
⑥代入④ ⑧
⑥代入⑤
4px－y12y(y1+y2)－y12－y1y2
⑦⑧代入式x2+y2－4px0(x≠0)
x1x2时AB⊥x轴易M(4p0)满足方程
点M轨迹方程x2+y2－4px0(x≠0)表示(2p0)圆心2p半径圆掉坐标原点
解法二：设M(xy)直线AB方程ykx+b
OM⊥ABk－
y24pxykx+b消yk2x2+(2kb－4p)x+b20
x1x2消xky2－4py+4pb0
y1y2OA⊥OBy1y2－x1x2
－b－4kp
ykx+bk(x－4p)k－代入x2+y2－4px0(x≠0)
动点M轨迹方程x2+y2－4px0(x≠0)表示(2p0)圆心2p半径圆掉坐标原点
［例3］某检验员通常直径2 cm直径1 cm标准圆柱检测直径3 cm圆柱保证质量建议插入两合适号标准圆柱问两标准圆柱直径少？
命题意图：题考查定义法求曲线轨迹方程实际问题转化数学问题力属★★★★★级题目
知识托：圆锥曲线定义求两曲线交点
错解分析：正确理解题意正确实际问题转化数学问题利解答题关键
技巧方法：研究圆柱截面建立恰坐标系找动圆圆心轨迹方程
解：设直径321三圆圆心分OAB问题转化求两等圆PQ⊙O相切⊙A⊙B相外切
建立图示坐标系设⊙P半径r
|PA|+|PO|1+r+15－r25
∴点PAO焦点长轴长25椭圆方程
1 ①
理POB焦点长轴长2椭圆方程
(x－)2+y21 ②
①②解∴r
求圆柱直径 cm
●锦囊妙计
求曲线轨迹方程常采方法直接法定义法代入法参数法
(1)直接法 直接法动点满足条件者等量关系直接坐标化列出等式化简动点轨迹方程
(2)定义法 动点轨迹条件符合某基轨迹定义(椭圆双曲线抛物线圆等)定义直接探求
(3)相关点法 根相关点满足方程通转换求动点轨迹方程
(4)参数法 动点坐标(xy)中xy分变量变化变化变量参数建立轨迹参数方程
求轨迹方程定注意轨迹纯粹性完备性注意区轨迹轨迹方程
两概念
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)已知椭圆焦点F1F2P椭圆动点果延长F1PQ|PQ||PF2|动点Q轨迹( )
A圆 B椭圆
C双曲线支 D抛物线
2(★★★★)设A1A2椭圆1长轴两端点P1P2垂直A1A2弦端点直线A1P1A2P2交点轨迹方程( )
A B
C D
二填空题
3(★★★★)△ABC中A动点BC定点B(－0)C(0)满足条件sinC－sinBsinA动点A轨迹方程_________
4(★★★★)高5 m3 m两根旗杆竖水面相距10 m果两旗杆底部坐标分确定A(－50)B(50)面观测两旗杆顶端仰角相等点轨迹方程_________
三解答题
5(★★★★)已知ABC直线l三点|AB||BC|6⊙O′切直线l点ABC作⊙O′异l两切线设两切线交点P求点P轨迹方程
6(★★★★)双曲线1实轴A1A2点P双曲线动点引A1Q⊥A1PA2Q⊥A2PA1QA2Q交点Q求Q点轨迹方程
7(★★★★★)已知双曲线1(m＞0n＞0)顶点A1A2y轴行直线l交双曲线点PQ
(1)求直线A1PA2Q交点M轨迹方程
(2)m≠n时求圆锥曲线焦点坐标准线方程离心率
8(★★★★★)已知椭圆1(a＞b＞0)点P点F1F2椭圆焦点∠F1PF2外角分线l点F2关l称点QF2Q交l点R
(1)P点椭圆运动时求R形成轨迹方程
(2)设点R形成曲线C直线l：yk(x+a)曲线C相交AB两点△AOB面积取值时求k值
参考答案
难点磁场
解：建立坐标系图示
设|AB|2aA(－a0）B(a0)
设M(xy）轨迹意点
题设λ坐标代入λ化简
(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a20
(1)λ1时|MA||MB|时点M轨迹方程x0点M轨迹直线(y轴)
(2)λ≠1时点M轨迹方程x2+y2+x+a20点M轨迹
(－0）圆心半径圆
歼灭难点训练
1解析：∵|PF1|+|PF2|2a|PQ||PF2|
∴|PF1|+|PF2||PF1|+|PQ|2a
|F1Q|2a∴动点Q定点F1距离等定长2a动点Q轨迹圆
答案：A
2解析：设交点P(xy）A1(－30)A2(30)P1(x0y0)P2(x0－y0)
∵A1P1P线∴
∵A2P2P线∴
解x0
答案：C
二3解析：sinC－sinBsinAc－ba
∴应双曲线支实轴长方程
答案：
4解析：设P(xy）题意化简P点轨迹方程4x2+4y2－85x+1000
答案：4x2+4y2－85x+1000
三5解：设BC异l两切线分切⊙O′DE两点两切线交点P切线性质知：|BA||BD||PD||PE||CA||CE||PB|+|PC||BD|+|PD|+|PC||BA|+|PE|+|PC|
|BA|+|CE||AB|+|CA|6+1218＞6|BC|椭圆定义知点P轨迹BC两焦点椭圆l直线x轴BC中点原点建立坐标系求动点P轨迹方程1(y≠0)
6解：设P(x0y0）(x≠±a)Q(xy)
∵A1(－a0)A2(a0)
条件
点P(x0y0)双曲线∴b2x02－a2y02a2b2
b2(－x2)－a2()2a2b2
化简Q点轨迹方程：a2x2－b2y2a4(x≠±a)
7解：(1)设P点坐标(x1y1)Q点坐标(x1－y1)A1(－m0)A2(m0)
A1P方程：y ①
A2Q方程：y－ ②
①×②：y2－ ③
点P双曲线
代入③整理1M轨迹方程
(2)m≠n时M轨迹方程椭圆
(ⅰ)m＞n时焦点坐标(±0)准线方程x±离心率e
(ⅱ)m＜n时焦点坐标(0±)准线方程y±离心率e
8解：(1)∵点F2关l称点Q连接PQ
∴∠F2PR∠QPR|F2R||QR||PQ||PF2|
l∠F1PF2外角分线点F1PQ直线设存R(x0y0）Q(x1y1)F1(－c0)F2(c0)
|F1Q||F2P|+|PQ||F1P|+|PF2|2a(x1+c)2+y12(2a)2
x12x0－cy12y0
∴(2x0)2+(2y0)2(2a)2∴x02+y02a2
R轨迹方程：x2+y2a2(y≠0)
(2)右图∵S△AOB|OA|·|OB|·sinAOBsinAOB
∠AOB90°时S△AOB值a2
时弦心距|OC|
Rt△AOC中∠AOC45°
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求曲线轨迹方程解析两基问题求符合某种条件动点轨迹方程实质利题设中条件坐标化转化寻求变量间关系类问题考查学生圆锥曲线定义性质等基础知识掌握充分考查种数学思想方法定推理力运算力类问题成高考命题热点学难点
●难点磁场
(★★★★)已知AB两定点动点MAB距离常数λ求点M轨迹方程注明轨迹什曲线
●案例探究
［例1］图示已知P(40)圆x2+y236点AB圆两动点满足∠APB90°求矩形APBQ顶点Q轨迹方程
命题意图：题考查利相关点代入法求曲线轨迹方程属★★★★★级题目
知识托：利面基知识两点间距离公式建立线段AB中点轨迹方程
错解分析：欲求Q轨迹方程应先求R轨迹方程学生思考深刻发现问题实质难解决题
技巧方法：某较复杂探求轨迹方程问题先确定较易求点轨迹方程点作动点求轨迹点相关点求轨迹方程
解：设AB中点R坐标(xy)Rt△ABP中|AR||PR|
R弦AB中点垂径定理：Rt△OAR中|AR|2|AO|2－|OR|236－(x2+y2)
|AR||PR|
(x－4)2+y236－(x2+y2)x2+y2－4x－100
点R圆R圆运动时Q点求轨迹运动
设Q(xy)R(x1y1)RPQ中点x1
代入方程x2+y2－4x－100
－100
整理：x2+y256求轨迹方程
［例2］设点AB抛物线 y24px(p＞0)原点外两动点已知OA⊥OBOM⊥AB求点M轨迹方程说明表示什曲线(2000年北京安徽春招)
命题意图：题考查参数法求曲线轨迹方程属★★★★★级题目
知识托：直线抛物线位置关系
错解分析：设AB两点坐标分(x1y1)(x2y2)时注意x1x2讨
技巧方法：动点坐标xy相关量表示出然消掉量建立关xy关系
解法：设A(x1y1)B(x2y2)M(xy)题意
①
②
③
④
⑤
①－②(y1－y2)(y1+y2)4p(x1－x2)
x1≠x2 ⑥
①×②y12·y2216p2x1x2
③代入式y1y2－16p2 ⑦
⑥代入④ ⑧
⑥代入⑤
4px－y12y(y1+y2)－y12－y1y2
⑦⑧代入式x2+y2－4px0(x≠0)
x1x2时AB⊥x轴易M(4p0)满足方程
点M轨迹方程x2+y2－4px0(x≠0)表示(2p0)圆心2p半径圆掉坐标原点
解法二：设M(xy)直线AB方程ykx+b
OM⊥ABk－
y24pxykx+b消yk2x2+(2kb－4p)x+b20
x1x2消xky2－4py+4pb0
y1y2OA⊥OBy1y2－x1x2
－b－4kp
ykx+bk(x－4p)k－代入x2+y2－4px0(x≠0)
动点M轨迹方程x2+y2－4px0(x≠0)表示(2p0)圆心2p半径圆掉坐标原点
［例3］某检验员通常直径2 cm直径1 cm标准圆柱检测直径3 cm圆柱保证质量建议插入两合适号标准圆柱问两标准圆柱直径少？
命题意图：题考查定义法求曲线轨迹方程实际问题转化数学问题力属★★★★★级题目
知识托：圆锥曲线定义求两曲线交点
错解分析：正确理解题意正确实际问题转化数学问题利解答题关键
技巧方法：研究圆柱截面建立恰坐标系找动圆圆心轨迹方程
解：设直径321三圆圆心分OAB问题转化求两等圆PQ⊙O相切⊙A⊙B相外切
建立图示坐标系设⊙P半径r
|PA|+|PO|1+r+15－r25
∴点PAO焦点长轴长25椭圆方程
1 ①
理POB焦点长轴长2椭圆方程
(x－)2+y21 ②
①②解∴r
求圆柱直径 cm
●锦囊妙计
求曲线轨迹方程常采方法直接法定义法代入法参数法
(1)直接法 直接法动点满足条件者等量关系直接坐标化列出等式化简动点轨迹方程
(2)定义法 动点轨迹条件符合某基轨迹定义(椭圆双曲线抛物线圆等)定义直接探求
(3)相关点法 根相关点满足方程通转换求动点轨迹方程
(4)参数法 动点坐标(xy)中xy分变量变化变化变量参数建立轨迹参数方程
求轨迹方程定注意轨迹纯粹性完备性注意区轨迹轨迹方程
两概念
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)已知椭圆焦点F1F2P椭圆动点果延长F1PQ|PQ||PF2|动点Q轨迹( )
A圆 B椭圆
C双曲线支 D抛物线
2(★★★★)设A1A2椭圆1长轴两端点P1P2垂直A1A2弦端点直线A1P1A2P2交点轨迹方程( )
A B
C D
二填空题
3(★★★★)△ABC中A动点BC定点B(－0)C(0)满足条件sinC－sinBsinA动点A轨迹方程_________
4(★★★★)高5 m3 m两根旗杆竖水面相距10 m果两旗杆底部坐标分确定A(－50)B(50)面观测两旗杆顶端仰角相等点轨迹方程_________
三解答题
5(★★★★)已知ABC直线l三点|AB||BC|6⊙O′切直线l点ABC作⊙O′异l两切线设两切线交点P求点P轨迹方程
6(★★★★)双曲线1实轴A1A2点P双曲线动点引A1Q⊥A1PA2Q⊥A2PA1QA2Q交点Q求Q点轨迹方程
7(★★★★★)已知双曲线1(m＞0n＞0)顶点A1A2y轴行直线l交双曲线点PQ
(1)求直线A1PA2Q交点M轨迹方程
(2)m≠n时求圆锥曲线焦点坐标准线方程离心率
8(★★★★★)已知椭圆1(a＞b＞0)点P点F1F2椭圆焦点∠F1PF2外角分线l点F2关l称点QF2Q交l点R
(1)P点椭圆运动时求R形成轨迹方程
(2)设点R形成曲线C直线l：yk(x+a)曲线C相交AB两点△AOB面积取值时求k值
参考答案
难点磁场
解：建立坐标系图示
设|AB|2aA(－a0）B(a0)
设M(xy）轨迹意点
题设λ坐标代入λ化简
(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a20
(1)λ1时|MA||MB|时点M轨迹方程x0点M轨迹直线(y轴)
(2)λ≠1时点M轨迹方程x2+y2+x+a20点M轨迹
(－0）圆心半径圆
歼灭难点训练
1解析：∵|PF1|+|PF2|2a|PQ||PF2|
∴|PF1|+|PF2||PF1|+|PQ|2a
|F1Q|2a∴动点Q定点F1距离等定长2a动点Q轨迹圆
答案：A
2解析：设交点P(xy）A1(－30)A2(30)P1(x0y0)P2(x0－y0)
∵A1P1P线∴
∵A2P2P线∴
解x0
答案：C
二3解析：sinC－sinBsinAc－ba
∴应双曲线支实轴长方程
答案：
4解析：设P(xy）题意化简P点轨迹方程4x2+4y2－85x+1000
答案：4x2+4y2－85x+1000
三5解：设BC异l两切线分切⊙O′DE两点两切线交点P切线性质知：|BA||BD||PD||PE||CA||CE||PB|+|PC||BD|+|PD|+|PC||BA|+|PE|+|PC|
|BA|+|CE||AB|+|CA|6+1218＞6|BC|椭圆定义知点P轨迹BC两焦点椭圆l直线x轴BC中点原点建立坐标系求动点P轨迹方程1(y≠0)
6解：设P(x0y0）(x≠±a)Q(xy)
∵A1(－a0)A2(a0)
条件
点P(x0y0)双曲线∴b2x02－a2y02a2b2
b2(－x2)－a2()2a2b2
化简Q点轨迹方程：a2x2－b2y2a4(x≠±a)
7解：(1)设P点坐标(x1y1)Q点坐标(x1－y1)A1(－m0)A2(m0)
A1P方程：y ①
A2Q方程：y－ ②
①×②：y2－ ③
点P双曲线
代入③整理1M轨迹方程
(2)m≠n时M轨迹方程椭圆
(ⅰ)m＞n时焦点坐标(±0)准线方程x±离心率e
(ⅱ)m＜n时焦点坐标(0±)准线方程y±离心率e
8解：(1)∵点F2关l称点Q连接PQ
∴∠F2PR∠QPR|F2R||QR||PQ||PF2|
l∠F1PF2外角分线点F1PQ直线设存R(x0y0）Q(x1y1)F1(－c0)F2(c0)
|F1Q||F2P|+|PQ||F1P|+|PF2|2a(x1+c)2+y12(2a)2
x12x0－cy12y0
∴(2x0)2+(2y0)2(2a)2∴x02+y02a2
R轨迹方程：x2+y2a2(y≠0)
(2)右图∵S△AOB|OA|·|OB|·sinAOBsinAOB
∠AOB90°时S△AOB值a2
时弦心距|OC|
Rt△AOC中∠AOC45°
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