难点三：圆周运动实例分析
难点形成原
1心力心加速度定义握牢固解题时灵活应
2圆周运动线速度角速度关系速度合成分解综合知识应熟练解概解题程中灵活应
3圆周运动求思维长度较长题目受力分析定步骤漏掉重力力点失误导致全盘皆错
4圆周运动周期性握准
5缺少生活验缺少仔细观察事物历实例知道概理解质更物理知识生活实例联系起
二难点突破
（1）匀速圆周运动非匀速圆周运动
a圆周运动变速运动物体运动方（速度方）断变化圆周运动匀变速运动匀速圆周运动加速度方时刻变化
b常见圆周运动：①天体（包括造天体）万引力作运动②核外电子库仑力作绕原子核运动③带电粒子垂直匀强磁场面里磁场力作运动④物体种外力（重力弹力摩擦力电场力磁场力等）作圆周运动
c匀速圆周运动速度方改变速度变做匀速圆周运动物体受力合力提供心力方定指圆心非匀速圆周运动物体受合外力着半径指圆心分力提供心力产生心加速度合外力切线方分力产生切加速度效果改变速度
例1：图31示两根轻绳系质量m01kg球两绳端分固定轴AB两处面绳AC长L2m两绳拉直时轴夹角分30°45°求球轴起水面做匀速圆周运动角速度ω4rads时两轻绳拉力少？
审题两绳张紧时球受力0逐渐增时ω出现两界值
图31
解析图31示BC刚拉直拉力T2恰零设时角速度ω1AC绳拉力设T1球：
①
②
代入数：
BC绳拉力应ω>ω1AC绳恰拉直拉力T1恰零设时角速度ω2BC绳拉力T2
③
T2sin45°mLACsin30°④
代入数：ω2316radsAC绳拉力必须ω<ω2题意ω4rads>ω2AC绳已拉力AC绳松驰状态BC绳杆夹角θ>45°球：
T2cosθm ω2LBCsin θ ⑤
LACsin30°LBCsin45°
LBCm ⑥
⑤⑥解
总结物体做匀速圆周运动时受合外力定指圆心圆周切线方垂直圆周面方合外力必然零
（2）轴装置皮带传动装置
考查皮带转动现象问题中注意两点：
a转动轴点角速度相等
b皮带接触点线速度相等两点解决皮带传动基方法
图32
例2：图32示皮带传动装置右轮半径ra边缘点左侧轮轴轮半径4r轮半径2rb点轮轮中心距离rc点d点分位轮轮边缘传动程中皮带滑
A．a点b点线速度相等
B．a点c点角速度相等
C．a点d点心加速度相等
D．abcd四点加速度b点
审题 分析题关键两点：轮轴点角速度相二皮带滑时皮带接触点线速度相两点抓住然根描述圆周运动物理量间关系难出正确结
解析图32知a点c点皮带接触两点传动程中二者线速度相等va＝vcv＝ωR ωar＝ωc·2rωa＝2ωc．bcd三点轮轴角速度相等ωb＝ωc＝ωd＝ωa选项Ｂ错．vb＝ωb·r＝ ωar＝选项A错．心加速度：aa＝ωa2rab＝ωb2·r＝（）2r＝ωa2r＝aaac＝ωc2·2r＝（ωa）2·2r＝ ωa2r＝aaad＝ωd2·4r＝（ωa）2·4r＝ωa2r＝aa．选项CD均正确
图33
总结该题轴角速度相等皮带线速度相等关系外皮带传动装置中动轮转动静摩擦力作结果．动轮受摩擦力带动轮子转动轮子受摩擦力方动轮切线轮转动方相动轮摩擦力带动皮带动轮受摩擦力方轮切线轮转动方相反
题目例1种类型呢？然轮轮间皮带相连转动摩擦力作者齿轮啮合图
33示样符合例1条件
（3）心力源
a．心力根力效果命名．分析做圆周运动质点受力情况时切记物体作力（重力弹力摩擦力等）外添加心力
b．匀速圆周运动问题般步骤进行分析：
①确定做匀速圆周运动物体作研究象
②明确运动情况包括搞清运动速率v轨迹半径R轨迹圆心O位置等明确述点知道运动物体运动程中需心力( mv2R )心力方（指圆心）
③分析受力情况物体实际受力情况做出正确分析画出受力图确定指圆心合外力F（提供心力）
④选公式FmmRω2mR解结果
c．圆周运动中心力特点：
①匀速圆周运动：匀速圆周运动仅速度方变化速度变存心加速度物体受外力合力心力见合外力变方始终速度方垂直指圆心物体做匀速圆周运动条件
②变速圆周运动：速度发生变化心加速度心力会相应变化求物体某点受心力时应该点瞬时速度变速圆周运动中合外力仅时间改变方半径指圆心合外力半径方分力（外力半径方分力矢量）提供心力物体产生心加速度改变速度方合外力轨道切线方分力物体产生切加速度改变速度
③物体受合外力F需提供心力mv2R时物体做离心运动
图34
例3：图34示半径R半球形碗具定质量物体AA碗壁间动摩擦数μ碗绕竖直轴OO匀速转动时物体A刚紧贴碗口附碗起匀速转动发生相滑动求碗转动角速度．
审题物体A碗起转动发生相滑动物体做匀速圆周运动角速度ω等碗转动角速度ω物体A做匀速圆周运动需心力方指球心O心力重力碗壁物体弹力提供时物体受摩擦力重力衡
解析物体A做匀速圆周运动心力：
摩擦力重力衡：
：
两式：
碗匀速转动角速度：
总结分析受力时定明确心力源搞清楚什力充心力．题考查摩擦力关知识：水方弹力提供摩擦力正压力刚紧贴碗口基础角速度摩擦力静摩擦力摩擦力变正压力变
图35
例4：图35示电机距轴Or处固定质量m铁块．电机启动铁块角速度ω绕轴O匀速转动．电机面压力压力差__________
审题铁块竖直面做匀速圆周运动心力重力mg轮力F合力．圆周运动规律知：m转低点时Fm转高点时F
解析设铁块高点低点时电机作力分F1F2指轴心根牛顿第二定律：
高点：mg＋F1＝mω2r ①
低点：F2－mg＝mω2r ②
电机面压力压力分出现铁块m位低点高点时压力差：ΔFN＝F2＋F1 ③
①②③式解：ΔFN＝2mω2r
总结
（1）m高点时突然电机脱离运动
（2）角速度ω值时铁块高点电机恰作力
（3）题认电动夯机原理示意图电机质量Mω时电机跳起情况面压力少
解：（1）做初速度圆周切线方受重力抛运动
（2）电机铁块作力时重力提供铁块心力
mg＝mω12r
ω1＝
（3）铁块高点时铁块电动机相互做力F1
F1＋mg＝mω22r
F1＝Mg
ω2≥时电动机跳起ω2＝时铁块低点时电机面压力
F2－mg＝mω22r
FN＝F2＋Mg
解电机面压力FN＝2（M＋m）g
（4）圆周运动周期性
利圆周运动周期性种运动（例匀速直线运动抛运动）联系起圆周运动独立运动运动通常独立分明确两运动程注意时间相等联系
图36
类问题中注意寻找两种运动间联系通时间相等建立联系时注意圆周运动具周期性答案
例5：图36示半径R圆盘绕垂直盘面中心轴匀速转动正方
h处OB方水抛出球球盘碰次落点B球初速度v＝_________圆盘转动角速度ω＝_________
审题球做抛运动球做抛运动段时间圆盘做定角度圆周运动
解析①球做抛运动竖直方：
h＝gt2
运动时间
t＝
水位移R
球速度
v＝＝R·
②时间t盘转角度θ＝n·2πθ＝ωt
转盘角速度：
ω＝＝2nπ(n＝123…)
总结题中涉圆周运动抛运动两种运动两种运动规律解决问题时常常时间物理量两种运动联系起
图37
例6：图37示球Q竖直面做匀速圆周运动Q球转图示位置时球P距圆周高点h处开始落两球圆周高点相碰Q球角速度ω应满足什条件？
审题落球P做落体运动球Q做圆周运动想碰必须满足时间相等条件
解析设P球落体圆周高点时间t落体
gt2h
求t
Q球图示位置转高点时间t做匀速圆周运动周期T
t(4n+1)(n0123……)
两式联立T (4n+1)
ω(4n+1) (n0123……)
总结圆周运动周期会重复位置具重复性做类题目时应该考虑
圆周运动周期性
（5）竖直面圆周运动界问题
圆周运动界问题：
图38
（1）图38示没物体支撑球绳轨道约束竖直面做圆周运动高点情况：
①界条件：绳子轨道球没力做：mg＝mv界＝
②高点条件：v≥v＞时绳球产生拉力轨道球产生压力
图39
③高点条件：v＜v界（实际球没高点时脱离轨道）
（2）图39球高点时轻质杆球产生弹力情况：
①v＝0时FN＝mg（FN支持力）
②0＜v＜时FNv增减mg＞FN＞0FN支持力
③v＝时FN＝0
图310
④v＞时FN拉力FNv增增
图示310球轨道高点时果v≥时脱离轨道做抛运动轨道球产生拉力
图311
例7：半径R光滑半圆球固定水面图311示顶部物体甲水初速度物体甲（ ）
A．球面滑M点
B．先球面滑某点N然便离开球面作斜抛运动
C．半径R新圆弧轨道作圆周运动
D．立离开半圆球作抛运动
审题物体初始位置受竖直重力v0球面支持力零物体竖直方运动运动速率逐渐增假设物体够球面某R新圆弧做圆周运动需心力应断增重力半径方分力逐渐减少两种情况提供相应指圆心力作提供断增心力维持圆周运动
解析物体应该立离开半圆球做抛运动选D
总结物体达高点速度等时半圆物体支持力等零接物体运动会着半圆面做抛运动
图312
（6）圆周运动应
a定量分析火车转弯佳情况
①受力分析：图示312火车受支持力重力合力水指圆心成火车拐弯心力
②动力学方程：根牛顿第二定律
mgtanθ＝m
中r转弯处轨道半径外轨均受侧力佳速度
③分析结：解述方程知
＝rgtanθ
见佳情况rθ决定
火车实际速度v时三种
v＝时外轨均受侧挤压力
v＞时外轨受侧挤压力（时心力增外轨提供部分力）
v＜时轨受侧挤压力（时心力减少轨抵消部分力）
实例模型相行车转弯高速公路汽车转弯等等
讨火车转弯问题实质物体水面匀速圆周运动力角度特点：合外力方定水方重力方竖直方物体重力外少受力物体产生水面做匀速圆周运动心力．
实际修筑铁路时根转弯处半径r规定行驶速度v0适选择外轨高度差转弯时需心力完全重力G支持力FN合力提供图312示必须注意然外轨定高度差火车水面做圆周运动心力水方斜面FGtgθmgtgθmgtgθm
b汽车拱桥
汽车静止桥顶通桥顶否种状态？汽车静止桥顶通桥顶然受重力支持力前者两力合力零者合力零
汽车拱桥桥顶心力产生？方？汽车桥顶受重力支持力图313示心力二者合力提供方竖直
图313
运动什特点？①动力学方程：
牛顿第二定律
G－＝m
解＝G－m
②汽车处失重状态
汽车具竖直加速度＜mg桥压力重力．什桥般做成拱形原．
③汽车桥顶运动速度
根动力学方程知汽车行驶速度越汽车桥面压力越汽车速度时压力零汽车保持桥顶运动速度超速度汽车飞出桥顶做抛运动
图314
：
c．骑行车转弯
速度较车圆心处倾斜竖直方成φ角图314示车重力mg面作力F合力作心力．面作力面车支持力FN面摩擦力合力实际面摩擦力作心力
图知Fmgtanφm
2．圆锥摆
图315
摆线张力摆球重力合力提供摆球做匀速圆周运动心力．图315示质量m球长L细线连接着球水面做匀速圆周运动．细线竖直方夹角α试分析角速度ω
球言受两力：重力mg线拉力T．两力合力mgtanα提供心力半径r＝LsinαF＝mrω2mgtanα＝mLsinα·ω2
整理ω＝
见角速度越角α越
3．杂技节目水流星
图316
表演时根绳子两端拴盛水杯子演员抡起杯子竖直面做圆周运动高点杯口水会流图示什？
分析：杯中水研究象进行受力分析根牛顿第二定律知：F＝m时重力GFN合力充心力F＝G＋FN
：G＋FN＝m
式知v减F减FN＝0时v值
讨：
①mg＝mv＝时水恰高点洒出水高点界条件
②mg＞mv＜时水高点洒出
③mg＜mv＞时水高点洒出时水重力杯水压力提供心力
例8：绳系着装水水桶竖直面做圆周运动水质量m＝05 kg绳长L＝60 cm求：
①高点水流出速率
②水高点速率v＝3 ms时水桶底压力
审题v0时水恰流出求水桶底压力判断否通高点速度v较v>v0时压力vv0时恰压力v≤v0时达高点
解析①水高点流出条件重力水做圆周运动需心力mg＜
速度v0＝＝＝242 ms
②水高点速率v0时重力提供心力已足时水桶底水压力设F牛顿第二定律
F＋mg＝m：F＝26 N
牛顿第三定律知水水桶作力F′＝－F＝－26 N方竖直
图317
总结速度界速率时重力已足提供心力缺部分桶底提供桶底水产生压力
例2：汽车质量m15×104 kg变速率先驶凹形路面凸形路面路面圆弧半径均
15 m图317示．果路面承受压力超2×105 N汽车允许速率少？汽车速率驶路面压力少？
审题首先确定汽车位置时路面压力汽车凹形路面时心加速度方汽车处超重状态凸形路面时心加速度汽车处失重状态汽车凹形路面低点时汽车路面压力
解析汽车凹形路面低点时设路面支持力FN1受力情况图318示牛顿第二定律
FN1－mg＝m
求FN1≤2×105 N
图318
图319
解允许速率vm＝707 ms
面分析知汽车凸形路面顶点时路面压力设FN2图319示牛顿第二定律
mg－FN2＝
解FN2＝1×105 N
总结汽车拱桥时定实际情况受力分析加速度方列式
（7）离心运动
离心现象条件分析
①做圆周运动物体身具惯性总想着切线方运动心力作切线方飞出限制着圆周运动图320中B示
②产生心力合外力消失F＝0物体便位置切线方飞出图320中A示
③提供心力合外力完全消失应具心力合外力足提供需心力情况物体切线圆周间条曲线运动图320示
图320
实际中利离心运动机械机械做离心机械离心机械种类应广例离心干燥（脱水）器离心分离器离心水泵
例9：雨伞边缘半径r高出水面h．雨伞角速度ω旋转时雨滴边缘甩出落面成圆周．圆半径_______
审题想象着实际情况定速度旋转雨伞时雨滴甩出做离心运动落形成图321
圆
解析雨滴离开雨伞速度v0＝ωr
雨滴做抛运动时间t＝
雨滴水位移s＝v0t＝ωr
雨滴落形成圆半径
R＝
总结通题目分析雨滴伞边缘切线方定初速度飞出竖直方落体运动雨滴做抛运动示意图画出通示意图求出圆半径
（8）难点突破⑧——圆周运动功
应圆周运动规律解决实际生活中问题较知识交织起分析问题时利量守恒定律机械守恒定律特点作解题切入点降低难度
例9：球半径R圆形轨道低点升需速度时达轨道高点？
审题球达高点A时速度vA零否球早达A点前离开圆形轨道球达A点（然脱离圆形轨道）球A点速度必须满足
Mg+NAm式中NA圆形轨道球弹力式表示球A点作圆周运动需心力轨道弹力身重力提供NA0时vAvA说球达A点应该球A点具速度vA≥
解析球研究象球轨道高点时受重力轨道弹力
球圆形轨道高点A时满足方程
根机械守恒球圆形轨道低点B时速度满足方程
（2）
解(1)(2)方程组
NA0时VBVB
B点应球少具VB速度达圆形轨道高点A
总结杆子约束做圆周运动时拉力支持力高点速度等零圆轨道绳子约束做圆周运动时拉力高点速度必须
（9）实验中常见圆周运动
综合题圆周运动物理知识背景类题代表理科综合命题方日做题中理解题目原理灵活握题目
例10： 图322甲示测量电动机转动角速度实验装置半径圆形卡纸固定电动机转轴电动机带动匀速转动．圆形卡纸旁边垂直安装改装电火花计时器
①请列实验步骤先排序： ．
A．电火花计时器圆形卡纸保持良接触
B．接通电火花计时器电源工作起
C．启动电动机圆形卡纸转动起
D．关闭电动机拆电火花计时器研究卡纸留段痕迹（图322乙示）写出角速度ω表达式代入数出ω测量值
②ω测量值缺少种必测量工具 ．
A．秒表 B．毫米刻度尺 C．圆规 D．量角器
③写出角速度ω表达式指出表达式中物理量意义：
．
④避免卡纸连续转动程中出现点重叠电火花计时器盘面保持良接触时缓慢电火花计时器圆形卡纸半径方卡纸中心移动．卡纸点分布曲线圆类似种螺旋线图322丙示．测量结果影响？
图322
审题题目点计时器两点间时间002s通量角器量出圆心两点间角度利ωθt
解析具体实验步骤应该ACBD量出角度应该量角器D
θｎ点应圆心角ｔ时间间隔应该注意问题转动圈点迹重合半径减时单位时间转角度变没影响
总结题考查圆周运动中角速度定义ωθt实验中θ量角器测量出时间t测量点计时器应该充分发挥想象点计时器测量直线运动
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难点形成原
1心力心加速度定义握牢固解题时灵活应
2圆周运动线速度角速度关系速度合成分解综合知识应熟练解概解题程中灵活应
3圆周运动求思维长度较长题目受力分析定步骤漏掉重力力点失误导致全盘皆错
4圆周运动周期性握准
5缺少生活验缺少仔细观察事物历实例知道概理解质更物理知识生活实例联系起
二难点突破
（1）匀速圆周运动非匀速圆周运动
a圆周运动变速运动物体运动方（速度方）断变化圆周运动匀变速运动匀速圆周运动加速度方时刻变化
b常见圆周运动：①天体（包括造天体）万引力作运动②核外电子库仑力作绕原子核运动③带电粒子垂直匀强磁场面里磁场力作运动④物体种外力（重力弹力摩擦力电场力磁场力等）作圆周运动
c匀速圆周运动速度方改变速度变做匀速圆周运动物体受力合力提供心力方定指圆心非匀速圆周运动物体受合外力着半径指圆心分力提供心力产生心加速度合外力切线方分力产生切加速度效果改变速度
例1：图31示两根轻绳系质量m01kg球两绳端分固定轴AB两处面绳AC长L2m两绳拉直时轴夹角分30°45°求球轴起水面做匀速圆周运动角速度ω4rads时两轻绳拉力少？
审题两绳张紧时球受力0逐渐增时ω出现两界值
图31
解析图31示BC刚拉直拉力T2恰零设时角速度ω1AC绳拉力设T1球：
①
②
代入数：
BC绳拉力应ω>ω1AC绳恰拉直拉力T1恰零设时角速度ω2BC绳拉力T2
③
T2sin45°mLACsin30°④
代入数：ω2316radsAC绳拉力必须ω<ω2题意ω4rads>ω2AC绳已拉力AC绳松驰状态BC绳杆夹角θ>45°球：
T2cosθm ω2LBCsin θ ⑤
LACsin30°LBCsin45°
LBCm ⑥
⑤⑥解
总结物体做匀速圆周运动时受合外力定指圆心圆周切线方垂直圆周面方合外力必然零
（2）轴装置皮带传动装置
考查皮带转动现象问题中注意两点：
a转动轴点角速度相等
b皮带接触点线速度相等两点解决皮带传动基方法
图32
例2：图32示皮带传动装置右轮半径ra边缘点左侧轮轴轮半径4r轮半径2rb点轮轮中心距离rc点d点分位轮轮边缘传动程中皮带滑
A．a点b点线速度相等
B．a点c点角速度相等
C．a点d点心加速度相等
D．abcd四点加速度b点
审题 分析题关键两点：轮轴点角速度相二皮带滑时皮带接触点线速度相两点抓住然根描述圆周运动物理量间关系难出正确结
解析图32知a点c点皮带接触两点传动程中二者线速度相等va＝vcv＝ωR ωar＝ωc·2rωa＝2ωc．bcd三点轮轴角速度相等ωb＝ωc＝ωd＝ωa选项Ｂ错．vb＝ωb·r＝ ωar＝选项A错．心加速度：aa＝ωa2rab＝ωb2·r＝（）2r＝ωa2r＝aaac＝ωc2·2r＝（ωa）2·2r＝ ωa2r＝aaad＝ωd2·4r＝（ωa）2·4r＝ωa2r＝aa．选项CD均正确
图33
总结该题轴角速度相等皮带线速度相等关系外皮带传动装置中动轮转动静摩擦力作结果．动轮受摩擦力带动轮子转动轮子受摩擦力方动轮切线轮转动方相动轮摩擦力带动皮带动轮受摩擦力方轮切线轮转动方相反
题目例1种类型呢？然轮轮间皮带相连转动摩擦力作者齿轮啮合图
33示样符合例1条件
（3）心力源
a．心力根力效果命名．分析做圆周运动质点受力情况时切记物体作力（重力弹力摩擦力等）外添加心力
b．匀速圆周运动问题般步骤进行分析：
①确定做匀速圆周运动物体作研究象
②明确运动情况包括搞清运动速率v轨迹半径R轨迹圆心O位置等明确述点知道运动物体运动程中需心力( mv2R )心力方（指圆心）
③分析受力情况物体实际受力情况做出正确分析画出受力图确定指圆心合外力F（提供心力）
④选公式FmmRω2mR解结果
c．圆周运动中心力特点：
①匀速圆周运动：匀速圆周运动仅速度方变化速度变存心加速度物体受外力合力心力见合外力变方始终速度方垂直指圆心物体做匀速圆周运动条件
②变速圆周运动：速度发生变化心加速度心力会相应变化求物体某点受心力时应该点瞬时速度变速圆周运动中合外力仅时间改变方半径指圆心合外力半径方分力（外力半径方分力矢量）提供心力物体产生心加速度改变速度方合外力轨道切线方分力物体产生切加速度改变速度
③物体受合外力F需提供心力mv2R时物体做离心运动
图34
例3：图34示半径R半球形碗具定质量物体AA碗壁间动摩擦数μ碗绕竖直轴OO匀速转动时物体A刚紧贴碗口附碗起匀速转动发生相滑动求碗转动角速度．
审题物体A碗起转动发生相滑动物体做匀速圆周运动角速度ω等碗转动角速度ω物体A做匀速圆周运动需心力方指球心O心力重力碗壁物体弹力提供时物体受摩擦力重力衡
解析物体A做匀速圆周运动心力：
摩擦力重力衡：
：
两式：
碗匀速转动角速度：
总结分析受力时定明确心力源搞清楚什力充心力．题考查摩擦力关知识：水方弹力提供摩擦力正压力刚紧贴碗口基础角速度摩擦力静摩擦力摩擦力变正压力变
图35
例4：图35示电机距轴Or处固定质量m铁块．电机启动铁块角速度ω绕轴O匀速转动．电机面压力压力差__________
审题铁块竖直面做匀速圆周运动心力重力mg轮力F合力．圆周运动规律知：m转低点时Fm转高点时F
解析设铁块高点低点时电机作力分F1F2指轴心根牛顿第二定律：
高点：mg＋F1＝mω2r ①
低点：F2－mg＝mω2r ②
电机面压力压力分出现铁块m位低点高点时压力差：ΔFN＝F2＋F1 ③
①②③式解：ΔFN＝2mω2r
总结
（1）m高点时突然电机脱离运动
（2）角速度ω值时铁块高点电机恰作力
（3）题认电动夯机原理示意图电机质量Mω时电机跳起情况面压力少
解：（1）做初速度圆周切线方受重力抛运动
（2）电机铁块作力时重力提供铁块心力
mg＝mω12r
ω1＝
（3）铁块高点时铁块电动机相互做力F1
F1＋mg＝mω22r
F1＝Mg
ω2≥时电动机跳起ω2＝时铁块低点时电机面压力
F2－mg＝mω22r
FN＝F2＋Mg
解电机面压力FN＝2（M＋m）g
（4）圆周运动周期性
利圆周运动周期性种运动（例匀速直线运动抛运动）联系起圆周运动独立运动运动通常独立分明确两运动程注意时间相等联系
图36
类问题中注意寻找两种运动间联系通时间相等建立联系时注意圆周运动具周期性答案
例5：图36示半径R圆盘绕垂直盘面中心轴匀速转动正方
h处OB方水抛出球球盘碰次落点B球初速度v＝_________圆盘转动角速度ω＝_________
审题球做抛运动球做抛运动段时间圆盘做定角度圆周运动
解析①球做抛运动竖直方：
h＝gt2
运动时间
t＝
水位移R
球速度
v＝＝R·
②时间t盘转角度θ＝n·2πθ＝ωt
转盘角速度：
ω＝＝2nπ(n＝123…)
总结题中涉圆周运动抛运动两种运动两种运动规律解决问题时常常时间物理量两种运动联系起
图37
例6：图37示球Q竖直面做匀速圆周运动Q球转图示位置时球P距圆周高点h处开始落两球圆周高点相碰Q球角速度ω应满足什条件？
审题落球P做落体运动球Q做圆周运动想碰必须满足时间相等条件
解析设P球落体圆周高点时间t落体
gt2h
求t
Q球图示位置转高点时间t做匀速圆周运动周期T
t(4n+1)(n0123……)
两式联立T (4n+1)
ω(4n+1) (n0123……)
总结圆周运动周期会重复位置具重复性做类题目时应该考虑
圆周运动周期性
（5）竖直面圆周运动界问题
圆周运动界问题：
图38
（1）图38示没物体支撑球绳轨道约束竖直面做圆周运动高点情况：
①界条件：绳子轨道球没力做：mg＝mv界＝
②高点条件：v≥v＞时绳球产生拉力轨道球产生压力
图39
③高点条件：v＜v界（实际球没高点时脱离轨道）
（2）图39球高点时轻质杆球产生弹力情况：
①v＝0时FN＝mg（FN支持力）
②0＜v＜时FNv增减mg＞FN＞0FN支持力
③v＝时FN＝0
图310
④v＞时FN拉力FNv增增
图示310球轨道高点时果v≥时脱离轨道做抛运动轨道球产生拉力
图311
例7：半径R光滑半圆球固定水面图311示顶部物体甲水初速度物体甲（ ）
A．球面滑M点
B．先球面滑某点N然便离开球面作斜抛运动
C．半径R新圆弧轨道作圆周运动
D．立离开半圆球作抛运动
审题物体初始位置受竖直重力v0球面支持力零物体竖直方运动运动速率逐渐增假设物体够球面某R新圆弧做圆周运动需心力应断增重力半径方分力逐渐减少两种情况提供相应指圆心力作提供断增心力维持圆周运动
解析物体应该立离开半圆球做抛运动选D
总结物体达高点速度等时半圆物体支持力等零接物体运动会着半圆面做抛运动
图312
（6）圆周运动应
a定量分析火车转弯佳情况
①受力分析：图示312火车受支持力重力合力水指圆心成火车拐弯心力
②动力学方程：根牛顿第二定律
mgtanθ＝m
中r转弯处轨道半径外轨均受侧力佳速度
③分析结：解述方程知
＝rgtanθ
见佳情况rθ决定
火车实际速度v时三种
v＝时外轨均受侧挤压力
v＞时外轨受侧挤压力（时心力增外轨提供部分力）
v＜时轨受侧挤压力（时心力减少轨抵消部分力）
实例模型相行车转弯高速公路汽车转弯等等
讨火车转弯问题实质物体水面匀速圆周运动力角度特点：合外力方定水方重力方竖直方物体重力外少受力物体产生水面做匀速圆周运动心力．
实际修筑铁路时根转弯处半径r规定行驶速度v0适选择外轨高度差转弯时需心力完全重力G支持力FN合力提供图312示必须注意然外轨定高度差火车水面做圆周运动心力水方斜面FGtgθmgtgθmgtgθm
b汽车拱桥
汽车静止桥顶通桥顶否种状态？汽车静止桥顶通桥顶然受重力支持力前者两力合力零者合力零
汽车拱桥桥顶心力产生？方？汽车桥顶受重力支持力图313示心力二者合力提供方竖直
图313
运动什特点？①动力学方程：
牛顿第二定律
G－＝m
解＝G－m
②汽车处失重状态
汽车具竖直加速度＜mg桥压力重力．什桥般做成拱形原．
③汽车桥顶运动速度
根动力学方程知汽车行驶速度越汽车桥面压力越汽车速度时压力零汽车保持桥顶运动速度超速度汽车飞出桥顶做抛运动
图314
：
c．骑行车转弯
速度较车圆心处倾斜竖直方成φ角图314示车重力mg面作力F合力作心力．面作力面车支持力FN面摩擦力合力实际面摩擦力作心力
图知Fmgtanφm
2．圆锥摆
图315
摆线张力摆球重力合力提供摆球做匀速圆周运动心力．图315示质量m球长L细线连接着球水面做匀速圆周运动．细线竖直方夹角α试分析角速度ω
球言受两力：重力mg线拉力T．两力合力mgtanα提供心力半径r＝LsinαF＝mrω2mgtanα＝mLsinα·ω2
整理ω＝
见角速度越角α越
3．杂技节目水流星
图316
表演时根绳子两端拴盛水杯子演员抡起杯子竖直面做圆周运动高点杯口水会流图示什？
分析：杯中水研究象进行受力分析根牛顿第二定律知：F＝m时重力GFN合力充心力F＝G＋FN
：G＋FN＝m
式知v减F减FN＝0时v值
讨：
①mg＝mv＝时水恰高点洒出水高点界条件
②mg＞mv＜时水高点洒出
③mg＜mv＞时水高点洒出时水重力杯水压力提供心力
例8：绳系着装水水桶竖直面做圆周运动水质量m＝05 kg绳长L＝60 cm求：
①高点水流出速率
②水高点速率v＝3 ms时水桶底压力
审题v0时水恰流出求水桶底压力判断否通高点速度v较v>v0时压力vv0时恰压力v≤v0时达高点
解析①水高点流出条件重力水做圆周运动需心力mg＜
速度v0＝＝＝242 ms
②水高点速率v0时重力提供心力已足时水桶底水压力设F牛顿第二定律
F＋mg＝m：F＝26 N
牛顿第三定律知水水桶作力F′＝－F＝－26 N方竖直
图317
总结速度界速率时重力已足提供心力缺部分桶底提供桶底水产生压力
例2：汽车质量m15×104 kg变速率先驶凹形路面凸形路面路面圆弧半径均
15 m图317示．果路面承受压力超2×105 N汽车允许速率少？汽车速率驶路面压力少？
审题首先确定汽车位置时路面压力汽车凹形路面时心加速度方汽车处超重状态凸形路面时心加速度汽车处失重状态汽车凹形路面低点时汽车路面压力
解析汽车凹形路面低点时设路面支持力FN1受力情况图318示牛顿第二定律
FN1－mg＝m
求FN1≤2×105 N
图318
图319
解允许速率vm＝707 ms
面分析知汽车凸形路面顶点时路面压力设FN2图319示牛顿第二定律
mg－FN2＝
解FN2＝1×105 N
总结汽车拱桥时定实际情况受力分析加速度方列式
（7）离心运动
离心现象条件分析
①做圆周运动物体身具惯性总想着切线方运动心力作切线方飞出限制着圆周运动图320中B示
②产生心力合外力消失F＝0物体便位置切线方飞出图320中A示
③提供心力合外力完全消失应具心力合外力足提供需心力情况物体切线圆周间条曲线运动图320示
图320
实际中利离心运动机械机械做离心机械离心机械种类应广例离心干燥（脱水）器离心分离器离心水泵
例9：雨伞边缘半径r高出水面h．雨伞角速度ω旋转时雨滴边缘甩出落面成圆周．圆半径_______
审题想象着实际情况定速度旋转雨伞时雨滴甩出做离心运动落形成图321
圆
解析雨滴离开雨伞速度v0＝ωr
雨滴做抛运动时间t＝
雨滴水位移s＝v0t＝ωr
雨滴落形成圆半径
R＝
总结通题目分析雨滴伞边缘切线方定初速度飞出竖直方落体运动雨滴做抛运动示意图画出通示意图求出圆半径
（8）难点突破⑧——圆周运动功
应圆周运动规律解决实际生活中问题较知识交织起分析问题时利量守恒定律机械守恒定律特点作解题切入点降低难度
例9：球半径R圆形轨道低点升需速度时达轨道高点？
审题球达高点A时速度vA零否球早达A点前离开圆形轨道球达A点（然脱离圆形轨道）球A点速度必须满足
Mg+NAm式中NA圆形轨道球弹力式表示球A点作圆周运动需心力轨道弹力身重力提供NA0时vAvA说球达A点应该球A点具速度vA≥
解析球研究象球轨道高点时受重力轨道弹力
球圆形轨道高点A时满足方程
根机械守恒球圆形轨道低点B时速度满足方程
（2）
解(1)(2)方程组
NA0时VBVB
B点应球少具VB速度达圆形轨道高点A
总结杆子约束做圆周运动时拉力支持力高点速度等零圆轨道绳子约束做圆周运动时拉力高点速度必须
（9）实验中常见圆周运动
综合题圆周运动物理知识背景类题代表理科综合命题方日做题中理解题目原理灵活握题目
例10： 图322甲示测量电动机转动角速度实验装置半径圆形卡纸固定电动机转轴电动机带动匀速转动．圆形卡纸旁边垂直安装改装电火花计时器
①请列实验步骤先排序： ．
A．电火花计时器圆形卡纸保持良接触
B．接通电火花计时器电源工作起
C．启动电动机圆形卡纸转动起
D．关闭电动机拆电火花计时器研究卡纸留段痕迹（图322乙示）写出角速度ω表达式代入数出ω测量值
②ω测量值缺少种必测量工具 ．
A．秒表 B．毫米刻度尺 C．圆规 D．量角器
③写出角速度ω表达式指出表达式中物理量意义：
．
④避免卡纸连续转动程中出现点重叠电火花计时器盘面保持良接触时缓慢电火花计时器圆形卡纸半径方卡纸中心移动．卡纸点分布曲线圆类似种螺旋线图322丙示．测量结果影响？
图322
审题题目点计时器两点间时间002s通量角器量出圆心两点间角度利ωθt
解析具体实验步骤应该ACBD量出角度应该量角器D
θｎ点应圆心角ｔ时间间隔应该注意问题转动圈点迹重合半径减时单位时间转角度变没影响
总结题考查圆周运动中角速度定义ωθt实验中θ量角器测量出时间t测量点计时器应该充分发挥想象点计时器测量直线运动
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