2011级高三期数学回复高中精彩结汇总
编辑：杜厚君 审定：2011级数学备课组
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集合简易逻辑
1．集合元素具唯性序性互异性
2．集合时否注意极端情况：求集合子集时否注意集合子集非空集合真子集
3．含元素限集合子集真子集非空子集非空真子集数次
4．交补等补
补等补交
特说明：集合运算画文氏图时研究集合运算时应特关注代表元素性质区点集数集
例：（1）设求
分析：两集合均数集集合代表元素等数集合
集合代表元素数集合（代表元素意字母关键表示含义）
（2）求
分析：集合表示数集集合表示点集
5．判断命题真假
关键抓住关联字词注意：’’’’
6．命题真假特点真真假全假命题真假特点假假真全真非命题真假特点真假
7．四种命题中逆’者交换’否’者否定’
原命题等价逆否命题原命题逆命题否命题等价
反证法分三步：假设推矛果
注意：命题否定命题非命题条件变仅否定结’命题否命题否定原命题条件作条件否定原命题结作结命题
8．充条件：注意分清谁条件谁结条件结间推出关系涉种题型：
（1）条件（中条件结）
（2）成立条件某选项（选项条件结）
（3）集合角度研究充条件：充分条件
（4）正难反考虑等价命题：条件条件
二：函数
1．（1）映射全部射出’加箭雕’映射中第集合中元素必第二集合
中元素定原（中元素仅中元素原没意）函数非空数集映射中值域映射中集子集
（2）函数图轴垂线公点轴垂线公点没意
（3）函数图定坐标系中曲线坐标系中曲线定成函数图
（4）原函数反函数两交叉关系：变量变量定义域值域求函数反
函数分三步：逆解交换定域（确定原函数值域作反函数定义域）
注意： ①
② 函数反函数（求法：
交换位置）代表左移单位
2．求函数值域（值）常见方法：
数形结合法（观察）分离常数法（
换元法（含三角换元般换元注意换元必换界）配方法基等式法判式法
反函数法利函数单调性法导数法等
3．单调性奇偶性
(1)奇函数关原点称区间单调性单调性完全相
偶函数关原点称区间单调性单调性恰恰相反
单调函数反函数原函数相单调性奇函数反函数反函数定奇函数
注意：（1）确定函数奇偶性务必先判定函数定义域否关原点称确定函数奇偶性常方法：定义法图法等等
偶函数言：
（2）奇函数定义域中0必定义域时奇函数必非充分条件
（3）确定函数单调性单调区间解答题中常：定义法（取值作差鉴定）导数法选择填空题中：数形结合法(图法)特殊值法等等
（4）函数单调函数反函数充分非必条件
（5）定义关原点称区间意函数表示成奇函数偶函数（差）
（6）函数单调函数反函数充分非必条件奇函数反函数偶函数
反函数奇偶函数穷（定义域关原点称意数集）
(7) 复合函数单调性特点：增异减原
复合函数奇偶性特点：偶偶奇外
复合函数考虑定义域变化（复合意义）
（8）思考：单调什求？
特说明：（1）常见函数图性质熟悉包含：次函数二次函数反例函数变形（
该函数移变换应熟悉称中心）双钩函数指数函数数函数正弦函数余弦函数正切函数图画法知道图轴称图
分段函数图图应分段考虑
（2）思考：已知求值域？（注意：应先求出函数定义域换元求值域）
4 称性周期性（结消化吸收强记）
(1) 函数函数图关直线（轴）称
推广：果函数切成立图关直线（半确定）称
推广二：函数图关直线（确定）称
（2）函数函数图关直线（轴）称
推广：函数函数图关直线称（半
确定）
（3）函数函数图关坐标原点中心称
推广：函数函数图关点中心称
例：函数满足图关点称
（4）函数函数图关直线称
推广：曲线关直线称曲线
曲线关直线称曲线
说明：述两推广结相关点法出（代入法）
（5）曲线绕原点逆时针旋转曲线（逆时针横变交换）
特：绕原点逆时针旋转反函数
曲线绕原点时针旋转曲线（时针变交换）特：绕原点时针旋转反函数
（6）类三角函数图：
图两条称轴必周期函数周期
图两称中心周期函数周期
果函数图称中心条称轴函数必周期函数周期
果R周期函数周期
特：恒成立
恒成立恒成立
果周期函数定义域界
5图变换
(1)函数图移伸缩变换应注意问题？
函数图量移函数图
特说明：移应分两步骤：
第步：想中正负确定移方
第二步：左加右减加减移法进行
(2) 函数图移伸缩变换中图特殊点特殊线作相应变换
(3) 图变换应重视研究函数常见函数（正例函数反例函数次函数二次函
数数函数指数函数三角函数双钩函数函数
等）相互转化
注意：① 形函数定二次函数
② 应特重视二次三项式二次方程二次函数二次曲线间特联系
③ 形图等轴双曲线双曲线两渐线分直线(分母零确定)直线(分子分母中系数确定)双曲线中心点
三数列
1．（1）（累加法）
（累法）
（2）数列特殊函数单调性值等函数角度加处理
2．等差数列中：
（1）等差数列公差取值等差数列单调性（单增单减）
（2）
(3) 成等差数列
(4) 两等差数列应项(差)组成新数列成等差数列
(5)成等差数列
（6）（常数项）
例：数列前项分求
分析：
(7)
(8)首正递减等差数列中前项值非负项
首负递增等差数列中前项值非正项
(9) 限等差数列中奇数项偶数项存必然联系数列总项数偶数奇数决定总项数偶数偶数项－奇数项＝总项数半公差积总项数奇数奇数项－偶数项＝数列中项
（10）两数等差中项惟存遇三数四数成等差数列时考虑中项关系转化求解
（11）判定数列否等差数列方法：定义法中项法通项法式法图法(说数列等差数列充条件五种形式)
特说明：证明数列等差等数列般方法：定义法等差（）中项法
3．等数列中：
（1）等数列符号特征(全正全负正负)等数列首项公等数列单调性
（2）
（3）成等数列成等数列成等数列
（4）两等数列应项积(商)组成新数列成等数列
（5）成等数列
（6）
特：
（7）
（8）首1正值递减等数列中前项积值等1项积首1正值递增等数列中前项积值等1项积
（9）限等数列中奇数项偶数项存必然联系数列总项数偶数奇数决定总项数偶数偶数项＝奇数项公积总项数奇数奇数项＝首项加公偶数项积
（10）非两数总等中项 仅实数号时实数存等中项号两实数等中项仅存说两实数没等中项(非号时)果必(号时)遇三数四数成等差数列时常优先考虑选中项关系转化求解
（11）判定数列否等数列方法：定义法中项法通项法式法(说数列等数列充条件四种形式)
4．等差数列等数列联系
（1）果数列成等差数列数列(总意义)必成等数列
（2）果数列成等数列数列必成等差数列
（3）果数列成等差数列成等数列数列非零常数数列数列常数数列仅数列成等差数列成等数列必非充分条件
（4）果两等差数列公项公项次组成新数列等差数列新等差数列公差原两等差数列公差公倍数果等差数列等数列公项次组成新数列常选特殊般方法进行研讨等数列项探求等数列中项公项构成新数列
注意：公项仅公项项数定相研究少数问题中研究时求项相求项数相
5．数列求常方法：
（1）公式法：①等差数列求公式（三种形式）②等数列求公式（三种形式）特：
（2）分组求法：直接运公式法求困难时常式中类项先合起运公式法求
（3）倒序相加法：数列求中式中首尾距离相等两项性数列通项组合数相关联常考虑选倒序相加法发挥性作求（等差数列前公式推导方法）
（4）错位相减法：果数列通项等差数列通项等数列通项相构成常选错位相减法转化新等数列求解（注意：般错位相减中新等数列项数原数列项数减差）（等数列前公式推导方法）
（5）裂项相消法：果数列通项分裂成两项差形式相邻项分裂相关联常选裂项相消法求常裂项形式：
① ②
③
④ ⑤
⑥
⑦⑧
特声明：运等数列求公式务必检查公1关系必时分类讨
（6）通项转换法
6．特补充：求数列通项常见方法：
题型：观察法（纳法）：通数列递推关系求出数列项根项变化规律猜想数列通项公式利数学纳法证明猜想公式否正确（选填题证明）
题型二：公式法：利熟知公式求通项公式方法称公式法常公式：（1）等差数列通项公式（2）等数列通项公式（3）特注意分段函数应分情况讨表达式中出现均应考
虑公式处理公式部分时间排逆公式时候采消方法先求出通求
题型三：累加法：利求通项公式方法称累加法累加法求型递推数列通项公式基方法（求前项）求型递推数列通项公式求系数相定转化1
特：中常数数列等差数列
题型四：累法：利恒等式求通项公式方法称累法累法求型递推数列通项公式基方法(数列求前项积)
特：中常数数列等数列
题型五：构造特殊（等差等）数列：涉方法：定系数法（引入参数）通解方程（组）求出参数构造出特殊（等差等）数列
1（常数）型化形式
数列首项公等数列
2型化形式
说明：（1）时累加法求通项公式
（2）特殊情况言构造特殊数列时必须左右两边匹配注意区
题型六：非线性关系（包含倒数关系方关系开方关系）：解决中心办法降次降次面类型降次通恒等变形构造特殊数列
常见变形方法：条件等式两边取数者两边取倒数者式分解转化线性关系
四三角函数（三部分：基公式函数图性质正余弦定理）
1终边终边相(终边终边射线)
终边终边线(终边终边直线)
终边终边关轴称
终边终边关轴称
终边终边关原点称
般：终边终边关角终边称
终边关系两等分象限二三四确定（等分象限法）
2 弧长公式：扇形面积公式：1弧度(1rad)
3 三角函数符号特征：全正二正弦正三切正四余弦正
注意：
特：三角公式中重
（1）图变换时函数名需通述公式作转化
（2）两角正切公式变形：
（3）降次公式：
4 三角函数线特征：正弦线站轴(起点轴)余弦线躺轴(起点原点)正切线站点处(起点)务必重视三角函数值单位圆相应点坐标间关系正弦’坐标’余弦’横坐标’正切’坐标横坐标商’
记住：单位圆中角终边变化值变化关系锐角
5 三角函数角关系中方关系运中务必重视根已知角范围三角函数取值精确确定角范围进行定号
6 三角函数诱导公式质：奇变偶变符号象限
7 三角函数变换：角函数名次数系数(常值1)变换核心角变换
角变换：已知角特殊角变换已知角目标角变换角倍角变换两角差角变换
等
常值变换指1变换：
等
三角式变换：三角函数名互化(切割化弦)三角函数次数降升(降次升次)运算结构转化(式积式互化)解题时着三基原进行角函数特征
基技巧巧变角公式变形化切割弦倍角公式高次降次
注意：(差)角函数结构符号特征余弦倍角公式三种形式选降次(升次)公式中符号特征正余弦三兄妹—’存联系(常三角换元法联系起 )
辅助角公式中辅助角确定：(中角象限a 符号确定角值确定)求值化简时起着重作尤两者系数绝值情形实数解
8 三角函数性质图变换：
(1) 三角函数定义域值域单调性奇偶性界性周期性
注意：正切函数余切函数定义域绝值三角函数周期性影响：般说某周期函数解析式加绝值方周期性：弦减半切变．周期函数偶函数函数变量加绝值周期性变定 周期 周期 y|tanx|周期变问函数ycos|x|周期函数？
(2) 三角函数图性质：
(3) 三角函数图变换：两轴方移伸缩量移变换
(4) 三角函数图作法：三角函数线法五点法(五点横坐标成等差数列)变换法
9 三角形中三角函数：（正余弦定理中注意边角互化求角边）
(1) 角定理：三角形三角意两角第三角总互补意两半角第三角半角总互余锐角三角形三角锐角三角余弦值正值两角钝角意两边方第三边方
(2) 正弦定理：(R三角形外接圆半径)
注意：已知三角形两边角求解三角形时运正弦定理务必注意两解
(3) 余弦定理：等常选余弦定
理鉴定三角形类型
(4) 面积公式：
（5）三角形中
（6）三角形中
思考：正余弦定理证明（法量法见教材）
10 反三角函数：
(1)反正弦反余弦反正切取值范围分
(2)异面直线成角直线面成角二面角量夹角范围次
直线倾斜角角夹角范围次
（3）第象限角：第二象限角：第三象限角：
第四象限角：
五量
1 量运算形式坐标形式请注意：量运算中量起点终点坐标特征
2 概念：零量单位量(线单位量特：
)行(线)量(传递性)相等量(传递性)相反量量垂直量量方投影（投影
)
3 两非零量行(线)充条件
两非零量垂直充条件
特：零量量线 量行充分必条件
4 面量基定理：果面两线量该面量实数
5 三点线线量中三终点线存实数
：
6 量数量积：
注意：锐角
直角
钝角反
钝角必非充分条件
量运算实数运算类似方区：封闭图形首尾连接成量零量题目中天然条件注意运量等式移项两边方两边实数两边时取模两边量两边量两边约量量法满足结合律切记两量相(相约)
7
注意：
反
线(实数集中类似)
8．移定分点
(1)线段定分点坐标公式
设P（xy）P1（x1y1）P2（x2y2）
特：分点位置应关系（公式两量相等）
中点坐标公式 中点
中边中点
重心
特重心
垂心
直线心(角分线直线)
心
(2) 移公式：果点P(xy)量a＝(hk)移
曲线量a＝(hk)移曲线
（圆移实质圆心移圆锥曲线移称中心（轴）移）
六等式
1．（1）解等式求等式解集务必集合形式表示等式解集端点值等
式应方程根等式意义范围端点值
（2）解分式等式般解题思路什？（移项通分分子分母分解式x系数变正值标根奇偶）
（3）含两绝值等式绝值？(般根定义分类讨方转化换元转化)
（4）解含参等式常分类等价转化必时需分类讨注意：参数讨参数取值分说明解集未知数讨应求集
2．利重等式 变式等求函数值时务必注意（非负）等号成立条件积中应定值(正二定三等四时)
3．常等式：(根目标等式左右运算结构选) abcR（仅时取等号）
4．较方法证明等式方法：差较法商较法函数性质法综合法分析法放缩法构造函数法(注意：整式分式绝值等式放缩途径 配方函数单调性等放缩影响)
5 含绝值等式性质：
号
异号
注意：等式恒成立问题常规处理方式？（常分离参数法变更元法利数学集合转化求值问题）
七直线圆
1．直线倾斜角斜率存性取值范围直线方量意义()直线方程量式((直线方量))应直线方程点斜式斜截式设直线方程时般设直线斜率k否注意直线垂直x轴时斜率k存情况？
2．知直线截距常设方程知直线横截距常设方程
(直线斜率k存时k倒数)知直线点常设方程
注意：(1) 直线方程种形式：点斜式斜截式两点式截矩式般式量式．种形式局限性（点斜式适斜率存直线截矩式呢？）
直线行直线表示
直线垂直直线表示
点直线行直线表示：
点直线垂直直线表示：
直线系方程：恒两直线交点
(2) 直线坐标轴截距正负0直线两截距相等直线斜率直线原点直线两截距互相反数直线斜率1直线原点直线两截距绝值相等直线斜率直线原点
(3) 解析中研究两条直线位置关系时两条直线重合立体中般提两条直线理解重合
3．相交两直线夹角两直线间角两概念：夹角特指相交两直线成较角范围角带方角范围相应公式：夹角公式
直线角公式注：点直线距离公式
特：
4．线性规划中概念：约束条件行解行域目标函数优解
线性规划应题：先审题草稿纸列表题中相关信息进行罗列设出变量列出目标函数线性约束条件画图求解
5．圆方程：简方程
标准方程
般式方程
参数方程参数)
直径式方程
圆系方程（两圆交点圆系方程）
注意：（1）圆般式方程中圆心坐标半径分
（2）圆参数方程三角换元提供样板常三角换元：
6．解决直线圆关系问题函数方程思想数形结合思想两种思路等价转化求解重发挥圆面性质(半径半弦长弦心距构成直角三角形切线长定理割线定理弦切角定理等等)作
（1）圆点圆切线方程：
圆点圆切线方程：
圆点圆切线方程：
果点圆外述直线方程表示点两切线两切点切点弦方程
果点圆述直线方程表示圆相离垂直(圆心)直线方程(圆心直线距离)
（2）圆半径弦心距半弦长构成直角三角形中弦心距涉圆心直线距离
7．曲线交点坐标方程组解
两圆交点圆(公弦)系仅方项时两圆公弦直线方程
8．特注意：圆直径圆
圆圆外
八圆锥曲线（核心问题坐标化转化坐标问题根系数关系）
1．圆锥曲线两定义括号限制条件圆锥曲线问题中果涉两焦点(两相异定点)优先选圆锥曲线第定义果涉焦点准线(定点该点定直线)离心率优先选圆锥曲线第二定义涉焦点三角形问题重视焦半径三角形中正余弦定理等性质应
（1）注意：① 圆锥曲线第定义配方法综合运② 圆锥曲线第二定义：点点距分
子点线距分母椭圆点点距点线距商1正数双曲线点点距点线距商1正数抛物线点点距点线距商等1③ 圆锥曲线焦半径公式图：
2 圆锥曲线性质：圆锥曲线称性圆锥曲线范围圆锥曲线特殊点线圆锥曲线变化趋势中椭圆中双曲线中重视特征直角三角形焦半径值焦半径公式（第二定义）焦点弦值顶点焦点准线等相互间坐标系关
性质’尤双曲线中焦半径值焦点弦值特点注意：等轴双曲线意义性质
3 直线圆锥曲线位置关系问题中函数方程思想数形结合思想两种思路等价
转化求解 特：
① 直线圆锥曲线相交必条件构成方程组实数解出现元二次方程时务必
高次项判式≥0尤应韦达定理解决问题时必须先判式≥0
② 直线抛物线(相交定交两点)双曲线位置关系(相交四种情况)特殊性应谨慎处理
③ 直线圆锥曲线位置关系问题中常弦相关行弦问题关键斜率中点弦 焦点弦等问题关键韦达定理直角三角形点差法长度(弦长)问题关键长度(弦长)公式
(
)直角三角形
④ 应特注意弦否焦点弦量第二定理（焦半径公式）处理焦点弦长问题简单
⑤ 果条直线出现三三点选择应斜率桥梁转化
⑥ 解析核心：集合问题坐标化（坐标运算）常常量载体考察解析注意题干中出量式子（常常出现两量相等应坐标相等建立点坐标间关系）
4．重视常见寻求曲线方程方法(定系数法定义法直译法代点法参数法交轨法量法等) 利曲线方程讨曲线性质(定义法法代数法方程函数思想数形结合思想分类讨思想等价转化思想等)解析两类基问题解析基出发点
注意：① 果问题中涉面量知识应已知量特点出发考虑选择量形式进行摘帽子脱靴子转化选择量代数形式进行摘帽子脱靴子转化
② 曲线曲线方程轨迹轨迹方程两概念寻求轨迹轨迹方程时应注意轨迹特殊点轨迹完备性纯粹性影响
③ 圆锥曲线相关综合题中常助面性质数形结合(角分线双重身份)方程函数性质化解析问题代数问题分类讨思想化整零分化处理求值构造等式求变量范围构造等关系等等
5．高度重视圆锥曲线两定理应（焦点三角形焦点弦焦半径公式（第二定义应）焦半径范围）离心率常见求法离心率范围常见题型
九直线面简单面体
1 计算异面直线成角关键移（补形）转化两直线夹角建立空间坐标系转化空间量夹角取锐角直角计算
(
特：
2．计算直线面成角关键作面垂线找射影量法(直线量面法量夹角余角
)三余弦公式(角定理)先运等积法求点直线距离虚拟直角三角形求解注：斜线面斜足顶点角两边成角相等斜线面射影角分线
3．计算二面角：定义法(先作面角计算)公式法()量法(两面法量夹角)等价转换法等等二面角面角作法：定义法(取点作垂构角)三垂线法(两垂连关键第垂(二面角面点作面垂线))垂面法
4．计算空间距离方法：定义法(先作垂线段计算)等积法转换法(行换点换面)量法（等
思考：两异面直线间距离量法计算两公式记？
5 空间行垂直关系证明相关定义公理定理空间量进行模式：
线线关系线面关系面面关系间互相转化请重视线面行关系线面垂直关系(三垂线定理逆定理)桥梁作注意：书写证明程需规范
特声明：① 证明计算程中中点等特殊点线常助中位线重心等转化
② 证明计算程中常运转化思想具体问题转化 (构造) 特殊体(三棱锥
正方体长方体三棱柱四棱柱等)中问题获解决
③ 果根已知条件体中三条直线两两垂直基础建立空间直
角坐标系运空间量解决问题
6 直棱柱正棱柱行六面体长方体正方体正四面体棱锥正棱锥关侧棱侧面角面行底截面体性质
长方体中：角线长棱长总全(表)面积(结合关等量关系结合基等式建立关等关系式)
三棱锥中：侧棱长相等(侧棱底面成角相等)顶点底射影底面外心侧棱两两垂直(两棱垂直)顶点底射影底面垂心斜高长相等(侧面底面成相等)顶点底底面顶点底射影底面心正四面体正方体中：
7 求体体积常规方法：公式法割补法等积(转换)法例(性质转换)法等注意：
补形（元成特殊体）：三棱锥三棱柱行六面体
分割：三棱柱中三棱锥四三棱锥三棱柱体积关系
8 面体干边形围成体．棱柱棱锥特殊面体．
正面体面相边数正边形顶点端相数目棱样面体五种 正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体．
关面体概念间关系：
{面体} {简单面体} {凸面体} {正面体}
{凸面体} {棱柱} {直棱柱} {正棱柱} {正方体}
{凸面体} {棱锥} {正棱锥} {正四面体}．
欧拉公式(V＋FE＝2)简单面体重性质运程中应重视面边数总等顶点出发棱数总等面体棱数两倍．简单面体面角总(V2)×3600
9正面题情况：
熟悉正面体展开式见教材
10．球种常见简单体．球位置球心确定球仅取决半径．球包括球面球面围成空间区域点．球面球心距离等定长(半径) 点集合．球截面圆面中球心截面做圆面．球面两点间距离两点圆两点间劣弧长计算球面距离关键根已知纬度等条件先寻求球面两点间弦长弦长球面两点间弦长圆两点间弦长．注：度半径成角’纬度半径夹角’
球体积公式球表面积公式两关球度量公式．球半径函数．解决球相关问题务必注意球性质(尤球半径球心截面距圆半径构成直角三角形球面体相切相接时组合体特殊关联关系)
注意：面题球体组合体问题研究球体半径常常研究截面解直角三角形便求出切球外接球半径元成特殊体球体关系半径
十排列组合概率
1 排列数组合数中
(1) 排列数公式
(2) 组合数公式
(3)组合数性质：
2 解排列组合问题：分类相加分步相序排列序组合．
3 解排列组合问题规律(优限法间接法)：相邻问题捆绑法邻(相间)问题插空法排问题单排法定位问题优先法元问题分类法序问题法(组合法)选取问题先选排法（先分组分配）少问题间接法特隔板法(什时候？)构造法等
4(1) 二项式定理：中系数组合数
做第项二项式系数展开式项中第项某项加数指数该项项数减1差成组合数标
(2) 二项式展开式中二项式系数(组合数)性质：称性等距性单调值性
（3）应赋值法样相关性质寻求二项式展开式中奇次(数)项偶次(数)项系
数奇(偶)次项系数
()
特注意：二项式展开式中区分二项式系数项系数（令寻求中项系数值相邻两项系数构建等式进行
二项式应进行应前项似计算整性计算证明应首尾项进行放缩
5 概率计算公式：
(1)等事件概率计算公式：
(2)互斥事件概率计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)
(3)立事件概率计算公式：P()1－P(A)
(4)独立事件时发生概率计算公式：P(A•B)＝P(A)•P(B)
(5)独立事件重复试验概率计算公式：
(二项展开式[(1－P)+P]n第(k+1)项)
注意：探求事件发生概率常应等价转化思想分解(分类分步)转化思想处理：求事件转化等事件概率(常常采排列组合知识)转化干互斥事件中发生概率利立事件概率转化相互独立事件时发生概率作某事件n次实验中恰k次发生概率注意公式条件 事件互斥事件独立必非充分条件反事件立事件互斥充分非必条件
十统计
1 抽样方法：(1)简单机抽样(抽签法机样数表法)常常总体数较少时特征总体中逐抽取(2)分层抽样特征分层例抽样总体中明显差异点：体抽概率相等（）
2 总体分布估计总体中样频率作总体概率
3 样算术均数作总体期值估计样方差估计总体数波动性差(方差波动差)公式：(标准方差)
样数做变换
总体估计掌握：(1)表(频率分布表)图(频率分布直方图)
注意：直方图轴(矩形高)般频率组距商L (频率)横轴般数矩形面积表示频率
4．理科中两种特殊离散型变量分布列需十分熟悉（二项分布分布）
5．分布列性质熟悉：（1） （2）
6 二项分布分布期方差公式般分布列期方差公式记？
7 正态分布函数图性质熟悉某区间概率计算公式记（面积表示概率）
十二导数
1 （1）导数意义：曲线该点处切线斜率(意义)瞬时速度边际成(成变量产量变量函数导数)(C常数)
等
（2）函数连续定导导必连续（处）
2 项式函数导数函数单调性：注意区面两种情况
（1）增区间减区间
（2）区间增函数
区间减函数
3 导数极值导数值：（定先求定义域）
(1) ① 函数处左正右负处取极值
函数处左负右正处取极值
注意：①处函数处取极值必非充分条件
② 求函数极值方法：先找定义域求导找出定义域分界点列表求出极值 特出函数极()值条件定考虑考虑验左正右负(左负右正)转化否条件没完点定切记
③ 单调性值（极值）研究注意列表
④ 复合函数导数定求导法进行
(2) 函数闭区间值函数区间极值端点值中值
函数闭区间值函数区间极值端点值中值
注意：利导数求值步骤：先找定义域 求出导数0导数存点然较定义域端点值导数0点应函数值中值值
4 应导数求曲线切线方程切点坐标桥梁注意区题目中处二次抛物线抛物线点切线抛物线该点处切线三次曲线点切线包含两条中条该点处切线条曲线相交该点
5 注意应函数导数考察函数单调性值(极值)研究函数性态数形结合解决方程等式等相关问题
6 注意原函数导函数图相互转化（注意数形结合解决交点问题根数问题）
7 注意恒成立问题常见解法
8．注意利导数证明等式题型方法总结
9．数列中构造函数问题证明等式
10 注意结：（1）
（2）
（3）
十三 函数极限连续性
1数列极限（分子分母均关项式）三种情况：
① 分子高次项指数等分母高次项指数时极限高次项系数（）
② 分子高次项指数分母高次项指数时极限存（存）
③ 分子高次项指数分母高次项指数时极限（）
2．数列极限四运算法求：（1）极限存（2）项数限否先化简求极限
3．函数穷远处极限注意分
4．函数点处极限注意否零子需先约零子代值
：
含参问题分子定系数法设处含分母式分解形式求运算
5．连续性问题：代数法：（函数某点处函数值等该点处左右极限值）
图特点：图该点处断开
十四 复数
1．基概念：
2 （）中实部虚部（注意虚部混淆概念）
3．轭复数（实部相虚部互相反数）
4．（模长）
5．复面点应（实部代表恒坐标虚部代表坐标）
6．（）（）
7．复数运算
设（）（）
（分母实数化请行推）
（项式法法展开请行推）
8．注意常见结应
（1）
（2）
（3）
记：
数学研究现实世界中数量关系空间形式简单说研究数形科学
生活劳动需求原始民族知道简单计数手指实物计数发展数字计数中国迟商代已出现十进制数字表示数方法迟秦汉际已出现完满十进位值制成书迟1世纪九章算术中已载位值制开立方计算法载分数种运算解线性联立方程组方法引入负数概念刘徽注解九章算术（3世纪）中提出十进数表示理数方根奇零部分直唐宋时期（欧洲16世纪斯蒂文）十进数获通著作中刘徽圆接正边形周长逼圆周长成世求圆周率更精确值般方法然中国没理数实数般概念实质时中国已完成实数系统切运算法方法仅应缺数学初期教育少继承巴伦埃希腊文化欧洲区偏重数性质性质间逻辑关系研究早欧里原中素数概念素数数穷整数惟分解等断古希腊发现非分数数现称理数16世纪解高次方程出现复数代数概念更进步抽象化数运算规律般数系统进行独立理探讨形成数学中干分支
开方开立方解简单高次方程九章算术中已出现解某种特殊形式二次方程发展宋元时代引进天元(未知数)明确观念出现求高次方程数值解求四未知数高次代数联立方程组解方法通称天元术四元术相伴出现项式表达运算法消方法已接世代数学中国外9世纪阿拉伯花拉子米著作阐述二次方程解法通常视代数学鼻祖解法实质中国古代赖切割术方法具风格中国古代数学致力方程具体求解导源古希腊埃传统欧洲数学般致力探究方程解性质16世纪时韦达文字代方程系数引入代数符号演算代数方程解性质探讨线性方程组导致行列式矩阵线性空间线性变换等概念理出现代数方程导致复数称函数等概念引入伽罗瓦理群创立代极活跃代数非高次联立代数方程组解构成集体理研究
形研究属学范畴古代民族具形简单概念图画表示形成数学象工具制作测量求促成规矩作圆方中国古代夏禹治水时已规矩准绳等测量工具墨中系列概念抽象概括作出科学定义周髀算刘徽海岛算出矩观天测般方法具体公式九章算术刘徽注解九章算术中勾股理外提出干般原理解种问题例出入相补原理求意边形面积阳马鳖臑二原理（刘徽原理）求面体体积5世纪祖暅提出幂势积容异原理求曲形体积特球体积接正边形逼圆周长极限方法(割圆术)五代（约10世纪）中国学方面建树中国学测量面积体积量度中心古希腊传统重视形性质种性质间相互关系欧里原建立定义公理定理证明构成演绎体系成代数学公理化楷模影响整数学发展特行公理研究导致19世纪非欧里学产生欧洲文艺复兴时期起出现射影学18世纪蒙日应分析方法形研究开微分学先河高斯曲面黎曼流形理开创脱离周围空间形作独立象研究方法19世纪克莱群观点学进行统处理外康托尔点集理扩形范围庞加莱创立拓扑学形连续性成研究象学面目新
现实世界中数形影形难分割中国古代数学反映客观实际数形相辅相成行发展例勾股测量提出开方求开立方方法奠基图形考虑二次三次方程产生实际问题宋元时代天元相项式概念引入出现代数化天文理中星表图绘制已数表示点未发展坐标步
欧洲14世纪奥尔斯姆著作中已关纬度函数图形表示萌芽17世纪笛卡提出系统事物代数表示方法应启迪莱布尼茨牛顿等工作发展成现代形式坐标制解析学数形统更臻完美仅改变证题遵循欧里老方法引起导数产生成微积分学产生根源数学史件事20世纪中科学技术求促数学家研究运动变化包括量变化形变换(投影)产生函数概念穷分析现微积分数学进入研究变量新时代18世纪解析微积分两力工具创立契机数学空前规模迅猛发展出现数分支然界客观规律微分方程形式表现微分方程研究开始受重视微分基微积分时诞生高斯黎曼工作产生现代微分
1920世纪交庞加莱创立拓扑学开辟连续现象进行定性整体研究途径客观世界中机现象分析产生概率第二次世界战军事需工业理复杂化产生运筹学系统信息控制理数理统计学等学科实际问题求具体数值解答产生计算数学选择优途径求产生种优化理方法力学物理学数学发展始终互相影响互相促进特相量子力学推动微分泛函分析成长外19世纪次方程化学数学缘生物学已前高深数学19世纪期出现集合进入批判性时代推动数理逻辑形成发展产生数学作整体种思潮数学基础学派特1900年希尔伯特关代数学重问题演讲30年代开拓结构概念统观数学法国布尔巴基学派兴起20世纪数学发展影响深巨科学数学化语乐道数学外围然科学工程技术甚社会科学断渗透扩中吸取营养出现边缘数学数学身部需孳生少新理分支时核心部分断巩固提高时作适调整适应外部需总数学棵树茁壮成长枝叶繁茂根深蒂固卷详细介绍数学分支种流派
数学蓬勃发展程中数形概念断扩日趋抽象化原始计数简单图形踪影然新数学分支中着象运算关系助术语表示函数成某种空间点类种做法行效根结蒂数学家已熟悉种简易数学运算图形关系者着长期深厚现实基础原始数字1234形象点直线已高度抽象化概念果数形作广义抽象概念理解前面提数学作研究数形科学定义现阶段代数学适
数学研究象数量关系空间形式现实世界数学形式具高度抽象性实质总扎根现实世界生活实践技术需始终数学真正源泉反数学改造世界实践起着重关键作理丰富提高应广泛深入数学史始终相伴相生相互促进民族区客观条件数学具体发展程差异体说古代中华民族竹筹筹运算然导致十进位值制产生计算方法优越助实际问题具体解决发展起数学形成构造性计算性程序化机械化特色问题出发进解决问题目标独特体系古希腊着重思维追求宇宙解发展成抽象数学概念性质相互间逻辑存关系研究象公理化演绎体系
中国数学体系宋元时期达高峰陷停顿消失欧洲文艺复兴宗教革命资产阶级革命等系列变革导致工业革命技术革命机器中外已久中国明初帝王斥奇技淫巧受阻抑欧洲工商业发展航海刺激发展机器繁重体力劳动中解放出引导理力学般运动变化科学研究时数学家积极参变革相应数学问题解决产生积极效果解析微积分诞生成数学发展转折点17世纪数学飞跃体成成果延续发展
20世纪出现种崭新技术产生新技术革命特计算机出现数学面新时代时代特点部分脑力劳动逐步机械化17世纪数学围绕连续极限等概念导思想方法计算机研制应需离散数学组合数学开始受重视计算机数学作已限数值计算符号运算重性日趋明显（包括机器证明等数学研究）计算机广泛应科学实验计算机更配合数学构造性计算性程序化机械化求显颇突出代数门高度抽象化数学出现计算性代数构造性代数提法端倪总数学正着新技术革命断发展
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编辑：杜厚君 审定：2011级数学备课组
伟数学家华罗庚说：宇宙粒子微火箭速化工巧球变生物谜日繁处数学数学学科基础学科掌握扎实数学基础知识学数学高考进步深造具重作正积极备战高考高三学讲次考试数学必家热议学科数学中常见解题结解题方法作梳理通梳理希启迪解题思路探求解题佳径总结解题方法防止解题易误点产生提升高考数学成绩定会起立竿见影效果
集合简易逻辑
1．集合元素具唯性序性互异性
2．集合时否注意极端情况：求集合子集时否注意集合子集非空集合真子集
3．含元素限集合子集真子集非空子集非空真子集数次
4．交补等补
补等补交
特说明：集合运算画文氏图时研究集合运算时应特关注代表元素性质区点集数集
例：（1）设求
分析：两集合均数集集合代表元素等数集合
集合代表元素数集合（代表元素意字母关键表示含义）
（2）求
分析：集合表示数集集合表示点集
5．判断命题真假
关键抓住关联字词注意：’’’’
6．命题真假特点真真假全假命题真假特点假假真全真非命题真假特点真假
7．四种命题中逆’者交换’否’者否定’
原命题等价逆否命题原命题逆命题否命题等价
反证法分三步：假设推矛果
注意：命题否定命题非命题条件变仅否定结’命题否命题否定原命题条件作条件否定原命题结作结命题
8．充条件：注意分清谁条件谁结条件结间推出关系涉种题型：
（1）条件（中条件结）
（2）成立条件某选项（选项条件结）
（3）集合角度研究充条件：充分条件
（4）正难反考虑等价命题：条件条件
二：函数
1．（1）映射全部射出’加箭雕’映射中第集合中元素必第二集合
中元素定原（中元素仅中元素原没意）函数非空数集映射中值域映射中集子集
（2）函数图轴垂线公点轴垂线公点没意
（3）函数图定坐标系中曲线坐标系中曲线定成函数图
（4）原函数反函数两交叉关系：变量变量定义域值域求函数反
函数分三步：逆解交换定域（确定原函数值域作反函数定义域）
注意： ①
② 函数反函数（求法：
交换位置）代表左移单位
2．求函数值域（值）常见方法：
数形结合法（观察）分离常数法（
换元法（含三角换元般换元注意换元必换界）配方法基等式法判式法
反函数法利函数单调性法导数法等
3．单调性奇偶性
(1)奇函数关原点称区间单调性单调性完全相
偶函数关原点称区间单调性单调性恰恰相反
单调函数反函数原函数相单调性奇函数反函数反函数定奇函数
注意：（1）确定函数奇偶性务必先判定函数定义域否关原点称确定函数奇偶性常方法：定义法图法等等
偶函数言：
（2）奇函数定义域中0必定义域时奇函数必非充分条件
（3）确定函数单调性单调区间解答题中常：定义法（取值作差鉴定）导数法选择填空题中：数形结合法(图法)特殊值法等等
（4）函数单调函数反函数充分非必条件
（5）定义关原点称区间意函数表示成奇函数偶函数（差）
（6）函数单调函数反函数充分非必条件奇函数反函数偶函数
反函数奇偶函数穷（定义域关原点称意数集）
(7) 复合函数单调性特点：增异减原
复合函数奇偶性特点：偶偶奇外
复合函数考虑定义域变化（复合意义）
（8）思考：单调什求？
特说明：（1）常见函数图性质熟悉包含：次函数二次函数反例函数变形（
该函数移变换应熟悉称中心）双钩函数指数函数数函数正弦函数余弦函数正切函数图画法知道图轴称图
分段函数图图应分段考虑
（2）思考：已知求值域？（注意：应先求出函数定义域换元求值域）
4 称性周期性（结消化吸收强记）
(1) 函数函数图关直线（轴）称
推广：果函数切成立图关直线（半确定）称
推广二：函数图关直线（确定）称
（2）函数函数图关直线（轴）称
推广：函数函数图关直线称（半
确定）
（3）函数函数图关坐标原点中心称
推广：函数函数图关点中心称
例：函数满足图关点称
（4）函数函数图关直线称
推广：曲线关直线称曲线
曲线关直线称曲线
说明：述两推广结相关点法出（代入法）
（5）曲线绕原点逆时针旋转曲线（逆时针横变交换）
特：绕原点逆时针旋转反函数
曲线绕原点时针旋转曲线（时针变交换）特：绕原点时针旋转反函数
（6）类三角函数图：
图两条称轴必周期函数周期
图两称中心周期函数周期
果函数图称中心条称轴函数必周期函数周期
果R周期函数周期
特：恒成立
恒成立恒成立
果周期函数定义域界
5图变换
(1)函数图移伸缩变换应注意问题？
函数图量移函数图
特说明：移应分两步骤：
第步：想中正负确定移方
第二步：左加右减加减移法进行
(2) 函数图移伸缩变换中图特殊点特殊线作相应变换
(3) 图变换应重视研究函数常见函数（正例函数反例函数次函数二次函
数数函数指数函数三角函数双钩函数函数
等）相互转化
注意：① 形函数定二次函数
② 应特重视二次三项式二次方程二次函数二次曲线间特联系
③ 形图等轴双曲线双曲线两渐线分直线(分母零确定)直线(分子分母中系数确定)双曲线中心点
三数列
1．（1）（累加法）
（累法）
（2）数列特殊函数单调性值等函数角度加处理
2．等差数列中：
（1）等差数列公差取值等差数列单调性（单增单减）
（2）
(3) 成等差数列
(4) 两等差数列应项(差)组成新数列成等差数列
(5)成等差数列
（6）（常数项）
例：数列前项分求
分析：
(7)
(8)首正递减等差数列中前项值非负项
首负递增等差数列中前项值非正项
(9) 限等差数列中奇数项偶数项存必然联系数列总项数偶数奇数决定总项数偶数偶数项－奇数项＝总项数半公差积总项数奇数奇数项－偶数项＝数列中项
（10）两数等差中项惟存遇三数四数成等差数列时考虑中项关系转化求解
（11）判定数列否等差数列方法：定义法中项法通项法式法图法(说数列等差数列充条件五种形式)
特说明：证明数列等差等数列般方法：定义法等差（）中项法
3．等数列中：
（1）等数列符号特征(全正全负正负)等数列首项公等数列单调性
（2）
（3）成等数列成等数列成等数列
（4）两等数列应项积(商)组成新数列成等数列
（5）成等数列
（6）
特：
（7）
（8）首1正值递减等数列中前项积值等1项积首1正值递增等数列中前项积值等1项积
（9）限等数列中奇数项偶数项存必然联系数列总项数偶数奇数决定总项数偶数偶数项＝奇数项公积总项数奇数奇数项＝首项加公偶数项积
（10）非两数总等中项 仅实数号时实数存等中项号两实数等中项仅存说两实数没等中项(非号时)果必(号时)遇三数四数成等差数列时常优先考虑选中项关系转化求解
（11）判定数列否等数列方法：定义法中项法通项法式法(说数列等数列充条件四种形式)
4．等差数列等数列联系
（1）果数列成等差数列数列(总意义)必成等数列
（2）果数列成等数列数列必成等差数列
（3）果数列成等差数列成等数列数列非零常数数列数列常数数列仅数列成等差数列成等数列必非充分条件
（4）果两等差数列公项公项次组成新数列等差数列新等差数列公差原两等差数列公差公倍数果等差数列等数列公项次组成新数列常选特殊般方法进行研讨等数列项探求等数列中项公项构成新数列
注意：公项仅公项项数定相研究少数问题中研究时求项相求项数相
5．数列求常方法：
（1）公式法：①等差数列求公式（三种形式）②等数列求公式（三种形式）特：
（2）分组求法：直接运公式法求困难时常式中类项先合起运公式法求
（3）倒序相加法：数列求中式中首尾距离相等两项性数列通项组合数相关联常考虑选倒序相加法发挥性作求（等差数列前公式推导方法）
（4）错位相减法：果数列通项等差数列通项等数列通项相构成常选错位相减法转化新等数列求解（注意：般错位相减中新等数列项数原数列项数减差）（等数列前公式推导方法）
（5）裂项相消法：果数列通项分裂成两项差形式相邻项分裂相关联常选裂项相消法求常裂项形式：
① ②
③
④ ⑤
⑥
⑦⑧
特声明：运等数列求公式务必检查公1关系必时分类讨
（6）通项转换法
6．特补充：求数列通项常见方法：
题型：观察法（纳法）：通数列递推关系求出数列项根项变化规律猜想数列通项公式利数学纳法证明猜想公式否正确（选填题证明）
题型二：公式法：利熟知公式求通项公式方法称公式法常公式：（1）等差数列通项公式（2）等数列通项公式（3）特注意分段函数应分情况讨表达式中出现均应考
虑公式处理公式部分时间排逆公式时候采消方法先求出通求
题型三：累加法：利求通项公式方法称累加法累加法求型递推数列通项公式基方法（求前项）求型递推数列通项公式求系数相定转化1
特：中常数数列等差数列
题型四：累法：利恒等式求通项公式方法称累法累法求型递推数列通项公式基方法(数列求前项积)
特：中常数数列等数列
题型五：构造特殊（等差等）数列：涉方法：定系数法（引入参数）通解方程（组）求出参数构造出特殊（等差等）数列
1（常数）型化形式
数列首项公等数列
2型化形式
说明：（1）时累加法求通项公式
（2）特殊情况言构造特殊数列时必须左右两边匹配注意区
题型六：非线性关系（包含倒数关系方关系开方关系）：解决中心办法降次降次面类型降次通恒等变形构造特殊数列
常见变形方法：条件等式两边取数者两边取倒数者式分解转化线性关系
四三角函数（三部分：基公式函数图性质正余弦定理）
1终边终边相(终边终边射线)
终边终边线(终边终边直线)
终边终边关轴称
终边终边关轴称
终边终边关原点称
般：终边终边关角终边称
终边关系两等分象限二三四确定（等分象限法）
2 弧长公式：扇形面积公式：1弧度(1rad)
3 三角函数符号特征：全正二正弦正三切正四余弦正
注意：
特：三角公式中重
（1）图变换时函数名需通述公式作转化
（2）两角正切公式变形：
（3）降次公式：
4 三角函数线特征：正弦线站轴(起点轴)余弦线躺轴(起点原点)正切线站点处(起点)务必重视三角函数值单位圆相应点坐标间关系正弦’坐标’余弦’横坐标’正切’坐标横坐标商’
记住：单位圆中角终边变化值变化关系锐角
5 三角函数角关系中方关系运中务必重视根已知角范围三角函数取值精确确定角范围进行定号
6 三角函数诱导公式质：奇变偶变符号象限
7 三角函数变换：角函数名次数系数(常值1)变换核心角变换
角变换：已知角特殊角变换已知角目标角变换角倍角变换两角差角变换
等
常值变换指1变换：
等
三角式变换：三角函数名互化(切割化弦)三角函数次数降升(降次升次)运算结构转化(式积式互化)解题时着三基原进行角函数特征
基技巧巧变角公式变形化切割弦倍角公式高次降次
注意：(差)角函数结构符号特征余弦倍角公式三种形式选降次(升次)公式中符号特征正余弦三兄妹—’存联系(常三角换元法联系起 )
辅助角公式中辅助角确定：(中角象限a 符号确定角值确定)求值化简时起着重作尤两者系数绝值情形实数解
8 三角函数性质图变换：
(1) 三角函数定义域值域单调性奇偶性界性周期性
注意：正切函数余切函数定义域绝值三角函数周期性影响：般说某周期函数解析式加绝值方周期性：弦减半切变．周期函数偶函数函数变量加绝值周期性变定 周期 周期 y|tanx|周期变问函数ycos|x|周期函数？
(2) 三角函数图性质：
(3) 三角函数图变换：两轴方移伸缩量移变换
(4) 三角函数图作法：三角函数线法五点法(五点横坐标成等差数列)变换法
9 三角形中三角函数：（正余弦定理中注意边角互化求角边）
(1) 角定理：三角形三角意两角第三角总互补意两半角第三角半角总互余锐角三角形三角锐角三角余弦值正值两角钝角意两边方第三边方
(2) 正弦定理：(R三角形外接圆半径)
注意：已知三角形两边角求解三角形时运正弦定理务必注意两解
(3) 余弦定理：等常选余弦定
理鉴定三角形类型
(4) 面积公式：
（5）三角形中
（6）三角形中
思考：正余弦定理证明（法量法见教材）
10 反三角函数：
(1)反正弦反余弦反正切取值范围分
(2)异面直线成角直线面成角二面角量夹角范围次
直线倾斜角角夹角范围次
（3）第象限角：第二象限角：第三象限角：
第四象限角：
五量
1 量运算形式坐标形式请注意：量运算中量起点终点坐标特征
2 概念：零量单位量(线单位量特：
)行(线)量(传递性)相等量(传递性)相反量量垂直量量方投影（投影
)
3 两非零量行(线)充条件
两非零量垂直充条件
特：零量量线 量行充分必条件
4 面量基定理：果面两线量该面量实数
5 三点线线量中三终点线存实数
：
6 量数量积：
注意：锐角
直角
钝角反
钝角必非充分条件
量运算实数运算类似方区：封闭图形首尾连接成量零量题目中天然条件注意运量等式移项两边方两边实数两边时取模两边量两边量两边约量量法满足结合律切记两量相(相约)
7
注意：
反
线(实数集中类似)
8．移定分点
(1)线段定分点坐标公式
设P（xy）P1（x1y1）P2（x2y2）
特：分点位置应关系（公式两量相等）
中点坐标公式 中点
中边中点
重心
特重心
垂心
直线心(角分线直线)
心
(2) 移公式：果点P(xy)量a＝(hk)移
曲线量a＝(hk)移曲线
（圆移实质圆心移圆锥曲线移称中心（轴）移）
六等式
1．（1）解等式求等式解集务必集合形式表示等式解集端点值等
式应方程根等式意义范围端点值
（2）解分式等式般解题思路什？（移项通分分子分母分解式x系数变正值标根奇偶）
（3）含两绝值等式绝值？(般根定义分类讨方转化换元转化)
（4）解含参等式常分类等价转化必时需分类讨注意：参数讨参数取值分说明解集未知数讨应求集
2．利重等式 变式等求函数值时务必注意（非负）等号成立条件积中应定值(正二定三等四时)
3．常等式：(根目标等式左右运算结构选) abcR（仅时取等号）
4．较方法证明等式方法：差较法商较法函数性质法综合法分析法放缩法构造函数法(注意：整式分式绝值等式放缩途径 配方函数单调性等放缩影响)
5 含绝值等式性质：
号
异号
注意：等式恒成立问题常规处理方式？（常分离参数法变更元法利数学集合转化求值问题）
七直线圆
1．直线倾斜角斜率存性取值范围直线方量意义()直线方程量式((直线方量))应直线方程点斜式斜截式设直线方程时般设直线斜率k否注意直线垂直x轴时斜率k存情况？
2．知直线截距常设方程知直线横截距常设方程
(直线斜率k存时k倒数)知直线点常设方程
注意：(1) 直线方程种形式：点斜式斜截式两点式截矩式般式量式．种形式局限性（点斜式适斜率存直线截矩式呢？）
直线行直线表示
直线垂直直线表示
点直线行直线表示：
点直线垂直直线表示：
直线系方程：恒两直线交点
(2) 直线坐标轴截距正负0直线两截距相等直线斜率直线原点直线两截距互相反数直线斜率1直线原点直线两截距绝值相等直线斜率直线原点
(3) 解析中研究两条直线位置关系时两条直线重合立体中般提两条直线理解重合
3．相交两直线夹角两直线间角两概念：夹角特指相交两直线成较角范围角带方角范围相应公式：夹角公式
直线角公式注：点直线距离公式
特：
4．线性规划中概念：约束条件行解行域目标函数优解
线性规划应题：先审题草稿纸列表题中相关信息进行罗列设出变量列出目标函数线性约束条件画图求解
5．圆方程：简方程
标准方程
般式方程
参数方程参数)
直径式方程
圆系方程（两圆交点圆系方程）
注意：（1）圆般式方程中圆心坐标半径分
（2）圆参数方程三角换元提供样板常三角换元：
6．解决直线圆关系问题函数方程思想数形结合思想两种思路等价转化求解重发挥圆面性质(半径半弦长弦心距构成直角三角形切线长定理割线定理弦切角定理等等)作
（1）圆点圆切线方程：
圆点圆切线方程：
圆点圆切线方程：
果点圆外述直线方程表示点两切线两切点切点弦方程
果点圆述直线方程表示圆相离垂直(圆心)直线方程(圆心直线距离)
（2）圆半径弦心距半弦长构成直角三角形中弦心距涉圆心直线距离
7．曲线交点坐标方程组解
两圆交点圆(公弦)系仅方项时两圆公弦直线方程
8．特注意：圆直径圆
圆圆外
八圆锥曲线（核心问题坐标化转化坐标问题根系数关系）
1．圆锥曲线两定义括号限制条件圆锥曲线问题中果涉两焦点(两相异定点)优先选圆锥曲线第定义果涉焦点准线(定点该点定直线)离心率优先选圆锥曲线第二定义涉焦点三角形问题重视焦半径三角形中正余弦定理等性质应
（1）注意：① 圆锥曲线第定义配方法综合运② 圆锥曲线第二定义：点点距分
子点线距分母椭圆点点距点线距商1正数双曲线点点距点线距商1正数抛物线点点距点线距商等1③ 圆锥曲线焦半径公式图：
2 圆锥曲线性质：圆锥曲线称性圆锥曲线范围圆锥曲线特殊点线圆锥曲线变化趋势中椭圆中双曲线中重视特征直角三角形焦半径值焦半径公式（第二定义）焦点弦值顶点焦点准线等相互间坐标系关
性质’尤双曲线中焦半径值焦点弦值特点注意：等轴双曲线意义性质
3 直线圆锥曲线位置关系问题中函数方程思想数形结合思想两种思路等价
转化求解 特：
① 直线圆锥曲线相交必条件构成方程组实数解出现元二次方程时务必
高次项判式≥0尤应韦达定理解决问题时必须先判式≥0
② 直线抛物线(相交定交两点)双曲线位置关系(相交四种情况)特殊性应谨慎处理
③ 直线圆锥曲线位置关系问题中常弦相关行弦问题关键斜率中点弦 焦点弦等问题关键韦达定理直角三角形点差法长度(弦长)问题关键长度(弦长)公式
(
)直角三角形
④ 应特注意弦否焦点弦量第二定理（焦半径公式）处理焦点弦长问题简单
⑤ 果条直线出现三三点选择应斜率桥梁转化
⑥ 解析核心：集合问题坐标化（坐标运算）常常量载体考察解析注意题干中出量式子（常常出现两量相等应坐标相等建立点坐标间关系）
4．重视常见寻求曲线方程方法(定系数法定义法直译法代点法参数法交轨法量法等) 利曲线方程讨曲线性质(定义法法代数法方程函数思想数形结合思想分类讨思想等价转化思想等)解析两类基问题解析基出发点
注意：① 果问题中涉面量知识应已知量特点出发考虑选择量形式进行摘帽子脱靴子转化选择量代数形式进行摘帽子脱靴子转化
② 曲线曲线方程轨迹轨迹方程两概念寻求轨迹轨迹方程时应注意轨迹特殊点轨迹完备性纯粹性影响
③ 圆锥曲线相关综合题中常助面性质数形结合(角分线双重身份)方程函数性质化解析问题代数问题分类讨思想化整零分化处理求值构造等式求变量范围构造等关系等等
5．高度重视圆锥曲线两定理应（焦点三角形焦点弦焦半径公式（第二定义应）焦半径范围）离心率常见求法离心率范围常见题型
九直线面简单面体
1 计算异面直线成角关键移（补形）转化两直线夹角建立空间坐标系转化空间量夹角取锐角直角计算
(
特：
2．计算直线面成角关键作面垂线找射影量法(直线量面法量夹角余角
)三余弦公式(角定理)先运等积法求点直线距离虚拟直角三角形求解注：斜线面斜足顶点角两边成角相等斜线面射影角分线
3．计算二面角：定义法(先作面角计算)公式法()量法(两面法量夹角)等价转换法等等二面角面角作法：定义法(取点作垂构角)三垂线法(两垂连关键第垂(二面角面点作面垂线))垂面法
4．计算空间距离方法：定义法(先作垂线段计算)等积法转换法(行换点换面)量法（等
思考：两异面直线间距离量法计算两公式记？
5 空间行垂直关系证明相关定义公理定理空间量进行模式：
线线关系线面关系面面关系间互相转化请重视线面行关系线面垂直关系(三垂线定理逆定理)桥梁作注意：书写证明程需规范
特声明：① 证明计算程中中点等特殊点线常助中位线重心等转化
② 证明计算程中常运转化思想具体问题转化 (构造) 特殊体(三棱锥
正方体长方体三棱柱四棱柱等)中问题获解决
③ 果根已知条件体中三条直线两两垂直基础建立空间直
角坐标系运空间量解决问题
6 直棱柱正棱柱行六面体长方体正方体正四面体棱锥正棱锥关侧棱侧面角面行底截面体性质
长方体中：角线长棱长总全(表)面积(结合关等量关系结合基等式建立关等关系式)
三棱锥中：侧棱长相等(侧棱底面成角相等)顶点底射影底面外心侧棱两两垂直(两棱垂直)顶点底射影底面垂心斜高长相等(侧面底面成相等)顶点底底面顶点底射影底面心正四面体正方体中：
7 求体体积常规方法：公式法割补法等积(转换)法例(性质转换)法等注意：
补形（元成特殊体）：三棱锥三棱柱行六面体
分割：三棱柱中三棱锥四三棱锥三棱柱体积关系
8 面体干边形围成体．棱柱棱锥特殊面体．
正面体面相边数正边形顶点端相数目棱样面体五种 正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体．
关面体概念间关系：
{面体} {简单面体} {凸面体} {正面体}
{凸面体} {棱柱} {直棱柱} {正棱柱} {正方体}
{凸面体} {棱锥} {正棱锥} {正四面体}．
欧拉公式(V＋FE＝2)简单面体重性质运程中应重视面边数总等顶点出发棱数总等面体棱数两倍．简单面体面角总(V2)×3600
9正面题情况：
熟悉正面体展开式见教材
10．球种常见简单体．球位置球心确定球仅取决半径．球包括球面球面围成空间区域点．球面球心距离等定长(半径) 点集合．球截面圆面中球心截面做圆面．球面两点间距离两点圆两点间劣弧长计算球面距离关键根已知纬度等条件先寻求球面两点间弦长弦长球面两点间弦长圆两点间弦长．注：度半径成角’纬度半径夹角’
球体积公式球表面积公式两关球度量公式．球半径函数．解决球相关问题务必注意球性质(尤球半径球心截面距圆半径构成直角三角形球面体相切相接时组合体特殊关联关系)
注意：面题球体组合体问题研究球体半径常常研究截面解直角三角形便求出切球外接球半径元成特殊体球体关系半径
十排列组合概率
1 排列数组合数中
(1) 排列数公式
(2) 组合数公式
(3)组合数性质：
2 解排列组合问题：分类相加分步相序排列序组合．
3 解排列组合问题规律(优限法间接法)：相邻问题捆绑法邻(相间)问题插空法排问题单排法定位问题优先法元问题分类法序问题法(组合法)选取问题先选排法（先分组分配）少问题间接法特隔板法(什时候？)构造法等
4(1) 二项式定理：中系数组合数
做第项二项式系数展开式项中第项某项加数指数该项项数减1差成组合数标
(2) 二项式展开式中二项式系数(组合数)性质：称性等距性单调值性
（3）应赋值法样相关性质寻求二项式展开式中奇次(数)项偶次(数)项系
数奇(偶)次项系数
()
特注意：二项式展开式中区分二项式系数项系数（令寻求中项系数值相邻两项系数构建等式进行
二项式应进行应前项似计算整性计算证明应首尾项进行放缩
5 概率计算公式：
(1)等事件概率计算公式：
(2)互斥事件概率计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)
(3)立事件概率计算公式：P()1－P(A)
(4)独立事件时发生概率计算公式：P(A•B)＝P(A)•P(B)
(5)独立事件重复试验概率计算公式：
(二项展开式[(1－P)+P]n第(k+1)项)
注意：探求事件发生概率常应等价转化思想分解(分类分步)转化思想处理：求事件转化等事件概率(常常采排列组合知识)转化干互斥事件中发生概率利立事件概率转化相互独立事件时发生概率作某事件n次实验中恰k次发生概率注意公式条件 事件互斥事件独立必非充分条件反事件立事件互斥充分非必条件
十统计
1 抽样方法：(1)简单机抽样(抽签法机样数表法)常常总体数较少时特征总体中逐抽取(2)分层抽样特征分层例抽样总体中明显差异点：体抽概率相等（）
2 总体分布估计总体中样频率作总体概率
3 样算术均数作总体期值估计样方差估计总体数波动性差(方差波动差)公式：(标准方差)
样数做变换
总体估计掌握：(1)表(频率分布表)图(频率分布直方图)
注意：直方图轴(矩形高)般频率组距商L (频率)横轴般数矩形面积表示频率
4．理科中两种特殊离散型变量分布列需十分熟悉（二项分布分布）
5．分布列性质熟悉：（1） （2）
6 二项分布分布期方差公式般分布列期方差公式记？
7 正态分布函数图性质熟悉某区间概率计算公式记（面积表示概率）
十二导数
1 （1）导数意义：曲线该点处切线斜率(意义)瞬时速度边际成(成变量产量变量函数导数)(C常数)
等
（2）函数连续定导导必连续（处）
2 项式函数导数函数单调性：注意区面两种情况
（1）增区间减区间
（2）区间增函数
区间减函数
3 导数极值导数值：（定先求定义域）
(1) ① 函数处左正右负处取极值
函数处左负右正处取极值
注意：①处函数处取极值必非充分条件
② 求函数极值方法：先找定义域求导找出定义域分界点列表求出极值 特出函数极()值条件定考虑考虑验左正右负(左负右正)转化否条件没完点定切记
③ 单调性值（极值）研究注意列表
④ 复合函数导数定求导法进行
(2) 函数闭区间值函数区间极值端点值中值
函数闭区间值函数区间极值端点值中值
注意：利导数求值步骤：先找定义域 求出导数0导数存点然较定义域端点值导数0点应函数值中值值
4 应导数求曲线切线方程切点坐标桥梁注意区题目中处二次抛物线抛物线点切线抛物线该点处切线三次曲线点切线包含两条中条该点处切线条曲线相交该点
5 注意应函数导数考察函数单调性值(极值)研究函数性态数形结合解决方程等式等相关问题
6 注意原函数导函数图相互转化（注意数形结合解决交点问题根数问题）
7 注意恒成立问题常见解法
8．注意利导数证明等式题型方法总结
9．数列中构造函数问题证明等式
10 注意结：（1）
（2）
（3）
十三 函数极限连续性
1数列极限（分子分母均关项式）三种情况：
① 分子高次项指数等分母高次项指数时极限高次项系数（）
② 分子高次项指数分母高次项指数时极限存（存）
③ 分子高次项指数分母高次项指数时极限（）
2．数列极限四运算法求：（1）极限存（2）项数限否先化简求极限
3．函数穷远处极限注意分
4．函数点处极限注意否零子需先约零子代值
：
含参问题分子定系数法设处含分母式分解形式求运算
5．连续性问题：代数法：（函数某点处函数值等该点处左右极限值）
图特点：图该点处断开
十四 复数
1．基概念：
2 （）中实部虚部（注意虚部混淆概念）
3．轭复数（实部相虚部互相反数）
4．（模长）
5．复面点应（实部代表恒坐标虚部代表坐标）
6．（）（）
7．复数运算
设（）（）
（分母实数化请行推）
（项式法法展开请行推）
8．注意常见结应
（1）
（2）
（3）
记：
数学研究现实世界中数量关系空间形式简单说研究数形科学
生活劳动需求原始民族知道简单计数手指实物计数发展数字计数中国迟商代已出现十进制数字表示数方法迟秦汉际已出现完满十进位值制成书迟1世纪九章算术中已载位值制开立方计算法载分数种运算解线性联立方程组方法引入负数概念刘徽注解九章算术（3世纪）中提出十进数表示理数方根奇零部分直唐宋时期（欧洲16世纪斯蒂文）十进数获通著作中刘徽圆接正边形周长逼圆周长成世求圆周率更精确值般方法然中国没理数实数般概念实质时中国已完成实数系统切运算法方法仅应缺数学初期教育少继承巴伦埃希腊文化欧洲区偏重数性质性质间逻辑关系研究早欧里原中素数概念素数数穷整数惟分解等断古希腊发现非分数数现称理数16世纪解高次方程出现复数代数概念更进步抽象化数运算规律般数系统进行独立理探讨形成数学中干分支
开方开立方解简单高次方程九章算术中已出现解某种特殊形式二次方程发展宋元时代引进天元(未知数)明确观念出现求高次方程数值解求四未知数高次代数联立方程组解方法通称天元术四元术相伴出现项式表达运算法消方法已接世代数学中国外9世纪阿拉伯花拉子米著作阐述二次方程解法通常视代数学鼻祖解法实质中国古代赖切割术方法具风格中国古代数学致力方程具体求解导源古希腊埃传统欧洲数学般致力探究方程解性质16世纪时韦达文字代方程系数引入代数符号演算代数方程解性质探讨线性方程组导致行列式矩阵线性空间线性变换等概念理出现代数方程导致复数称函数等概念引入伽罗瓦理群创立代极活跃代数非高次联立代数方程组解构成集体理研究
形研究属学范畴古代民族具形简单概念图画表示形成数学象工具制作测量求促成规矩作圆方中国古代夏禹治水时已规矩准绳等测量工具墨中系列概念抽象概括作出科学定义周髀算刘徽海岛算出矩观天测般方法具体公式九章算术刘徽注解九章算术中勾股理外提出干般原理解种问题例出入相补原理求意边形面积阳马鳖臑二原理（刘徽原理）求面体体积5世纪祖暅提出幂势积容异原理求曲形体积特球体积接正边形逼圆周长极限方法(割圆术)五代（约10世纪）中国学方面建树中国学测量面积体积量度中心古希腊传统重视形性质种性质间相互关系欧里原建立定义公理定理证明构成演绎体系成代数学公理化楷模影响整数学发展特行公理研究导致19世纪非欧里学产生欧洲文艺复兴时期起出现射影学18世纪蒙日应分析方法形研究开微分学先河高斯曲面黎曼流形理开创脱离周围空间形作独立象研究方法19世纪克莱群观点学进行统处理外康托尔点集理扩形范围庞加莱创立拓扑学形连续性成研究象学面目新
现实世界中数形影形难分割中国古代数学反映客观实际数形相辅相成行发展例勾股测量提出开方求开立方方法奠基图形考虑二次三次方程产生实际问题宋元时代天元相项式概念引入出现代数化天文理中星表图绘制已数表示点未发展坐标步
欧洲14世纪奥尔斯姆著作中已关纬度函数图形表示萌芽17世纪笛卡提出系统事物代数表示方法应启迪莱布尼茨牛顿等工作发展成现代形式坐标制解析学数形统更臻完美仅改变证题遵循欧里老方法引起导数产生成微积分学产生根源数学史件事20世纪中科学技术求促数学家研究运动变化包括量变化形变换(投影)产生函数概念穷分析现微积分数学进入研究变量新时代18世纪解析微积分两力工具创立契机数学空前规模迅猛发展出现数分支然界客观规律微分方程形式表现微分方程研究开始受重视微分基微积分时诞生高斯黎曼工作产生现代微分
1920世纪交庞加莱创立拓扑学开辟连续现象进行定性整体研究途径客观世界中机现象分析产生概率第二次世界战军事需工业理复杂化产生运筹学系统信息控制理数理统计学等学科实际问题求具体数值解答产生计算数学选择优途径求产生种优化理方法力学物理学数学发展始终互相影响互相促进特相量子力学推动微分泛函分析成长外19世纪次方程化学数学缘生物学已前高深数学19世纪期出现集合进入批判性时代推动数理逻辑形成发展产生数学作整体种思潮数学基础学派特1900年希尔伯特关代数学重问题演讲30年代开拓结构概念统观数学法国布尔巴基学派兴起20世纪数学发展影响深巨科学数学化语乐道数学外围然科学工程技术甚社会科学断渗透扩中吸取营养出现边缘数学数学身部需孳生少新理分支时核心部分断巩固提高时作适调整适应外部需总数学棵树茁壮成长枝叶繁茂根深蒂固卷详细介绍数学分支种流派
数学蓬勃发展程中数形概念断扩日趋抽象化原始计数简单图形踪影然新数学分支中着象运算关系助术语表示函数成某种空间点类种做法行效根结蒂数学家已熟悉种简易数学运算图形关系者着长期深厚现实基础原始数字1234形象点直线已高度抽象化概念果数形作广义抽象概念理解前面提数学作研究数形科学定义现阶段代数学适
数学研究象数量关系空间形式现实世界数学形式具高度抽象性实质总扎根现实世界生活实践技术需始终数学真正源泉反数学改造世界实践起着重关键作理丰富提高应广泛深入数学史始终相伴相生相互促进民族区客观条件数学具体发展程差异体说古代中华民族竹筹筹运算然导致十进位值制产生计算方法优越助实际问题具体解决发展起数学形成构造性计算性程序化机械化特色问题出发进解决问题目标独特体系古希腊着重思维追求宇宙解发展成抽象数学概念性质相互间逻辑存关系研究象公理化演绎体系
中国数学体系宋元时期达高峰陷停顿消失欧洲文艺复兴宗教革命资产阶级革命等系列变革导致工业革命技术革命机器中外已久中国明初帝王斥奇技淫巧受阻抑欧洲工商业发展航海刺激发展机器繁重体力劳动中解放出引导理力学般运动变化科学研究时数学家积极参变革相应数学问题解决产生积极效果解析微积分诞生成数学发展转折点17世纪数学飞跃体成成果延续发展
20世纪出现种崭新技术产生新技术革命特计算机出现数学面新时代时代特点部分脑力劳动逐步机械化17世纪数学围绕连续极限等概念导思想方法计算机研制应需离散数学组合数学开始受重视计算机数学作已限数值计算符号运算重性日趋明显（包括机器证明等数学研究）计算机广泛应科学实验计算机更配合数学构造性计算性程序化机械化求显颇突出代数门高度抽象化数学出现计算性代数构造性代数提法端倪总数学正着新技术革命断发展
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