数学破题36计
第8计 姐开门 等轻松
●计名释义
汉想进某屋 门未加锁久推开弄满头汗
面传位姐轻轻声音：先生推请拉
汉真拉果然门轻轻开 汉奇怪问：门没写拉字知道拉门呢？
姐答：推半天门动拉
数学正难反位姐说意思 然正面遇困难回头岸反方走
●典例示范
例1 求证：抛物线没渐线
分析 二次曲线中仅双曲线渐线什渐线？解释曲线限接没公点直线
抛物线否样直线？法直接予证明办？正难反收假定抛物线渐线否会导出合理结果？
证明 妨设抛物线方程y22px 假定抛物线渐线ykx+b ∵x 代入直线方程化简：ky22py+2pb0 ①
认：曲线渐线相切穷远处方程①实根y0 y0→∞ 方程①化：2pby′22py′+k0 ②
方程②应唯零根 y′0代入②：k0
抛物线渐线应yb 意条x轴行直线yb 抛物线唯公点() yb抛物线渐线证明：抛物线渐线
例2 设ABC面意三整点（坐标整数点）求证：△ABC正三角形
分析 面整数点穷组成穷相三角形想逐证明三角形正三角形办？正难反做
解答 假定△ABC正三角形A(x1 y1) B (x2 y2) C (x3 y3)均整点妨设x2≠x1 ∵kAB ∴直线AB方程：
x(y2y1)y(x2x1)+x2y1x1y20 点C (x3 y3)AB距离
|AB|
∴S△ABC (x3y2x2y3)+(x2y1x1y2)+(x1y3x3y1)
S△ABC理数方面
S△ABC ①
∵|AB|≠0 ∴S△ABC理数 ②
①②矛盾存三顶点整数点正三角形
例3 设f (x)x2+a1x+a2实系数二次函数证明：| f (1)| | f (2)| | f (3)|中少
分析 三数中少情况七种三数中情况种见正面繁杂反面简明应走正难反收道路
解答 假定时：| f (1)|<| f (2)|<| f (3)|< ：
①+③ 11<4a1+2a2<9 ④
②×2 9<4a1+2a2<7 ⑤
④⑤矛盾结成立
结 正难反收中难两种含义头绪繁难处理繁难处理陷入剪断理乱困境二试题正面设置感法求章循找破解头绪手
遇两种情况考生应懂迷途知返走正难反收道路
般说排列组合概率关试题应走正繁反道路切否定式命题应首选反证法原命题逆否命题定等价推倒命题结反面正面然理成章成立
●应训练
1k值时直线y1k (x1)垂直分抛物线y2x某弦
2已知αβ∈(0 ) sin(α+β)2sinα求证：α<β
3设a>b>c>0 abc成等差数列试证明：组成等差数列
4求证：抛物线y存关直线yx称两点
●参考答案
1．正难反收先解决k值时直线垂直分该抛物线某弦求补
集设弦两端点A(x1 y1) B(x2 y2)
设直线ly1k(x1)垂直分AB kAB 设AB中点M(x0 y0) ∴y1+y22y0 y0 y01 k(x01)x0 M抛物线部
∴y∵k22k+2>0 ∴22假定α≮β必
（1）αβ 时sin2α2sinα
αβ∈(0 )时sinα≠0 必cosα1 α∈(0 )矛盾
(2)α>β(0 )ysinx增函数必sinα>sinβ>0 条件：
sinα(cosβ2) +cosαsinβ0
∴ ∴cosα+cosβ>2
α≥β成立必α<β
3假定成等差数列 必
已知abc成等差数列∴b
： ∴ac abc 已知a>b>c>0矛盾
∴组成等差数列
4假定抛物线y存关直线yx称两点A(a b)B (b a)
∵kAB 1 知a≠b ：
①②：ba (a+b) (ab) ∵a≠b ∴a+b2 ③
③代入①：2a a2+2a+30
方程实根设符合题设条件点A（a b）B (b a)存
抛物线yx21存关直线yx称两点
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第8计 姐开门 等轻松
●计名释义
汉想进某屋 门未加锁久推开弄满头汗
面传位姐轻轻声音：先生推请拉
汉真拉果然门轻轻开 汉奇怪问：门没写拉字知道拉门呢？
姐答：推半天门动拉
数学正难反位姐说意思 然正面遇困难回头岸反方走
●典例示范
例1 求证：抛物线没渐线
分析 二次曲线中仅双曲线渐线什渐线？解释曲线限接没公点直线
抛物线否样直线？法直接予证明办？正难反收假定抛物线渐线否会导出合理结果？
证明 妨设抛物线方程y22px 假定抛物线渐线ykx+b ∵x 代入直线方程化简：ky22py+2pb0 ①
认：曲线渐线相切穷远处方程①实根y0 y0→∞ 方程①化：2pby′22py′+k0 ②
方程②应唯零根 y′0代入②：k0
抛物线渐线应yb 意条x轴行直线yb 抛物线唯公点() yb抛物线渐线证明：抛物线渐线
例2 设ABC面意三整点（坐标整数点）求证：△ABC正三角形
分析 面整数点穷组成穷相三角形想逐证明三角形正三角形办？正难反做
解答 假定△ABC正三角形A(x1 y1) B (x2 y2) C (x3 y3)均整点妨设x2≠x1 ∵kAB ∴直线AB方程：
x(y2y1)y(x2x1)+x2y1x1y20 点C (x3 y3)AB距离
|AB|
∴S△ABC (x3y2x2y3)+(x2y1x1y2)+(x1y3x3y1)
S△ABC理数方面
S△ABC ①
∵|AB|≠0 ∴S△ABC理数 ②
①②矛盾存三顶点整数点正三角形
例3 设f (x)x2+a1x+a2实系数二次函数证明：| f (1)| | f (2)| | f (3)|中少
分析 三数中少情况七种三数中情况种见正面繁杂反面简明应走正难反收道路
解答 假定时：| f (1)|<| f (2)|<| f (3)|< ：
①+③ 11<4a1+2a2<9 ④
②×2 9<4a1+2a2<7 ⑤
④⑤矛盾结成立
结 正难反收中难两种含义头绪繁难处理繁难处理陷入剪断理乱困境二试题正面设置感法求章循找破解头绪手
遇两种情况考生应懂迷途知返走正难反收道路
般说排列组合概率关试题应走正繁反道路切否定式命题应首选反证法原命题逆否命题定等价推倒命题结反面正面然理成章成立
●应训练
1k值时直线y1k (x1)垂直分抛物线y2x某弦
2已知αβ∈(0 ) sin(α+β)2sinα求证：α<β
3设a>b>c>0 abc成等差数列试证明：组成等差数列
4求证：抛物线y存关直线yx称两点
●参考答案
1．正难反收先解决k值时直线垂直分该抛物线某弦求补
集设弦两端点A(x1 y1) B(x2 y2)
设直线ly1k(x1)垂直分AB kAB 设AB中点M(x0 y0) ∴y1+y22y0 y0 y01 k(x01)x0 M抛物线部
∴y
（1）αβ 时sin2α2sinα
αβ∈(0 )时sinα≠0 必cosα1 α∈(0 )矛盾
(2)α>β(0 )ysinx增函数必sinα>sinβ>0 条件：
sinα(cosβ2) +cosαsinβ0
∴ ∴cosα+cosβ>2
α≥β成立必α<β
3假定成等差数列 必
已知abc成等差数列∴b
： ∴ac abc 已知a>b>c>0矛盾
∴组成等差数列
4假定抛物线y存关直线yx称两点A(a b)B (b a)
∵kAB 1 知a≠b ：
①②：ba (a+b) (ab) ∵a≠b ∴a+b2 ③
③代入①：2a a2+2a+30
方程实根设符合题设条件点A（a b）B (b a)存
抛物线yx21存关直线yx称两点
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