普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 82届

1982年普通高等学校招生全国统考试
数学（理科）
．（题满分6分）
填表：

函 数
函数意义x实数范围
1

{0}
2

R
3

R
4

[11]
5

(0+∞）
6

R
解：见表
二．（题满分9分）
1．求（1+i)20展开式中第15项数值
2．求导数
解：1第15项T15
2
三．（题满分9分）
Y

1 X
O



Y


1
O X
面直角坐标系列方程表示什曲线？画出图形
1．
2．
解：12x3y60图形直线
2化图形椭圆
四．（题满分12分）
已知圆锥体底面半径R高H
求接圆锥体体积圆柱体高h（图）
A


D c H

h
B E
O

2R
解：设圆柱体半径r高h
△ACD∽△AOB


圆柱体体积

题意H＞h＞0利均值等式

（注：原解h求导驻点解）
五．（题满分15分）
（写出较程）
解：>1时

解二：



六．（题满分16分）
A

M P（ρθ）
X

O
N B
图：已知锐角∠AOB2α动点PPM⊥OAPN⊥OB四边形PMON面积等常数c2O极点∠AOB角分线OX极轴求动点P轨迹极坐标方程说明表示什曲线
解：设P极点坐标（ρθ）∴∠POMαθ∠NOMα+θ
OMρcos(αθ)PMρsin(αθ)
ONρcos(α+θ)PNρsin(α+θ)
四边形PMON面积

方程表示双曲线题意
动点P轨迹双曲线右面支∠AOB部分

七．（题满分16分）
已知空间四边形ABCD中ABBCCDDAMNPQ分边ABBCCDDA中点（图）求证MNPQ矩形
B

M
R
A N
Q D
K S
P
C
证：连结AC△ABC中
∵AMMBCNNB∴MN∥AC
△ADC中∵AQQDCPPD
∴QP∥AC∴MN∥QP
理连结BD证MQ∥NP
∴MNPQ行四边形
取AC中点K连BKDK
∵ABBC∴BK⊥AC
∵ADDC∴DK⊥AC面BKDAC垂直
∵BD面BKD∴BD⊥AC∵MQ∥BDQP∥AC∴MQ⊥QP∠MQP直角MNPQ矩形
八．（题满分18分）
Y
x22qy

y22px
A1

O A2 A3 X
抛物线y22px接三角形两边抛物线x22qy相切证明三角形第三边x22qy相切
解：失般性设p>0q>0设y22px接三角形顶点
A1（x1y1)A2(x2y2)A3(x3y3)
y122px1y222px2 y322px3
中y1≠y2 y2≠y3 y3≠y1
题意设A1A2A2A3抛物线x22qy相切证A3A1抛物线x22qy相切
x22qy原点O处切线y22px称轴原点O设接三角形顶点（x1y1)(x2y2)(x3y3)（00）A1A2x22qy相切A1A2Y轴行x1≠x2 y1≠y2直线A1A2方程



理A2A3抛物线x22qy相切A2A3Y轴行
x2≠x3 y2≠y3样

（1）（2）两方程y2≠0y1≠y3y1+y2+y30
式y2≠0y3≠y1A3A1Y轴行y2y1y3代入（1）式：

(3)式说明A3A1抛物线x22qy两交点重合A3A1抛物线x22qy相切A1A2A2A3抛物线x22qy相切A3A1抛物线x22qy相切
九．（附加题题满分20分计入总分）
已知数列数列中

1．pqrn表示bn数学纳法加证明
2．求
解：1∵1p npn1∴npn
b1q
b2q1+rb1q(p+r)
b3q2+rb2q(p2+pq+r2)…
设想
数学纳法证明：
n2时等式成立
设nk时等式成立
bk+1qk+rbk
nk+1时等式成立
切然数n≥2成立



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