（1）解机数意义运模拟方法估计概率
（2）解概型意义
概型
1．概型概念
果事件发生概率构成该事件区域长度(面积体积)成例称样概率模型概率模型简称概型
2．概型特点
（1）试验中出现结果（基事件）限
（2）基事件发生性相等
3．概型概率计算公式
4．必记结
（1）长度关概型基事件连续变量关
（2）面积关概型基事件两连续变量关已知图形明确两变量分作点横坐标坐标样基事件构成面区域助面区域解决问题
（3）体积关概型
二机模拟
计算器计算机模拟试验方法机模拟方法蒙特卡罗方法
方法基步骤：
（1）计算器计算机产生某范围机数赋予机数定意义
（2）统计代表某意义机数数M总机数数N
（3）计算频率作求概率似值
注意机模拟方法结果概率似值估计值次试验结果求事件概率确定数值
考 长度关概型
求解长度关概型问题关键基事件事件包含基事件转化相应长度进求解．处长度线段长短时间长短等
注意：寻找事件发生应区域时确定边界点问题关键边界点否取会影响事件概率
典例1 某学校星期星期五天午安排五节课节课时间40分钟．第节课课时间750~830课间休息10分钟．某学请假返校850~930间达教室听第二节课时间少10分钟概率
A． B．
C． D．
答案A
解析题意第二节课课时间840~920
该学达教室时间总长度40中850~910进入教室时听第二节课时间少10分钟时间长度20
求概率选A．
典例2 区间机抽取数事件发生概率
A． B．
C． D．
答案A
1．机取实数m函数零点概率
A． B．
C． D．
2．中央电视台第套节目午间新闻播出时间天中午某星期天中午午间新闻中机安排播出时长分钟关电信诈骗新闻报道张天开电视收条新闻完整报道概率
A． B．
C． D．
考二 面积关概型
求解面积关概型问题关键构造出机事件应图形利图形特征找出两面积套概型概率计算公式求机事件概率 必时根题意构造两变量变量成点坐标找全部试验结果构成面图形便求解．面积求概型种重方法
典例3 图示扇形AOB中∠AOB半圆C切AO点D圆弧AB切点B机扇形AOB投点该点落半圆C外概率
A． B．
C． D．
答案A
典例4 图已知A(a0)(a>0)B函数f(x)2x2图象点C(02)矩形OABC取点P点P落阴影部分概率________ 学
答案
3．蚂蚁边长4正三角形区域机爬行离三顶点距离2区域概率
A． B．
C． D．
4．区间机取两实数记量概率
A． B．
C． D．
考三 体积关概型求法
体积计算概率时注意求概率求事件构成区域体积关系准确计算出求事件构成区域体积确定出基事件构成区域体积求体积般机事件三连续变量进行描述概率问题涉体积时考虑方法求解
典例5 蜜蜂棱长30正方体玻璃容器机飞行蜜蜂飞行程中正方体玻璃容器六表面中少距离10撞玻璃安全始终保持正方体玻璃容器六表面距离均10飞行安全假设蜜蜂正方体玻璃容器飞行意位置性相等蜜蜂飞行安全概率 学#
A． B．
C． D．
答案C
5．底面半径1高2圆柱点O圆柱底面圆圆心圆柱机取点P点P点O距离l概率
A． B．
C． D．
考四 机模拟应
利机模拟试验似计算规图形A面积解题根机模拟估计概率然根列等式求解
典例6 周髀算中出勾股定理绝妙证明图赵爽弦图注文弦图勾股形弦边正方形面积称弦实图中包含四全等勾股形正方形分涂成朱(红)色黄色面积分称朱实黄实利2×勾×股+(股勾)24×朱实+黄实弦实化简勾2+股2弦2设勾股形中勾股1∶弦图机抛掷3000颗图钉落黄色图形图钉数约(≈1732)
A．134 B．268
C．402 D．536
答案C
解析设正方形边长2
图中直角三角形两直角边长1∶正方形边长1
正方形正方形面积值
落正方形图钉数()×3000≈(1×1732)×3000402
选C
6．关圆周率数学发展史出现许创意求法著名普丰实验查理斯实验受启发通设计面实验估计值：先请120名学机写1正实数统计中1构成钝角三角形三边数数m根统计数m估计值果统计结果估计值
A． B．
C． D．
1．取实数概率
A． B．
C． D．
2．长线段取点线段边作正方形正方形面积介间概率
A． B．
C． D．
3．直角坐标系中取n满足x2+y2≤1点(xy)中满足|x|+|y|≤1点m机模拟方法圆周率π似值
A． B．
C． D．
4．图矩形ABCD中ABBC1A圆心1半径作圆弧DE点E线段AB圆弧DE取点P直线AP线段BC公点概率
A． B．
C． D．
5．已知函数然数底数)图象直线轴围成区域直线轴轴围成区域区域取点该点落区域概率
A． B．
C． D．
6．九章算术中问题：勾八步股十五步问勾中容圆径？ 意：已知直角三角形两直角边长分步步问切圆直径少步？现三角形机投粒豆子豆子落切圆外概率
A． B．
C． D．
7．已知实数执行图示程序框图输出概率
A． B．
C． D．
8．赵爽国古代数学家天文学家约公元222年赵爽周碑算书作序时介绍勾股圆方图称赵爽弦图（弦边长正方形4全等直角三角形加中间正方形组成）类赵爽弦图类似构造图示图形3全等三角形中间等边三角形拼成等边三角形设等边三角形中机取点点取等边三角形概率
A． B．
C． D．
9．已知P面点现粒黄豆机撒黄豆落概率
A． B．
C． D．
10．根长1米细绳细绳机剪断两截长度 米概率__________
11．区间[04]机选取数xx≥a概率a__________
12．图面直角坐标系轴正半轴始边射线落角终边射线落角终边作条射线射线落阴影部分概率__________
13．正方体外接球表面积48π正方体取点该点取正方体切球概率__________
14．图边长4正方形二维码测算图中黑色部分面积正方形区域机投掷400点中落入黑色部分225点估计黑色部分面积_____________
15．区间机取出两实数两实数概率__________．
16．某班早晨7：30开始早读课该班学生陈李早7：107：30间班两时间段时刻班等
(1)面直角坐标系中画出两班结果表示区域
(2)求陈李少晚5分钟班概率
17．已知圆点
(1)三数中取数三数中取数求点圆概率
(2)区间取数区间取数求点圆外概率
18．已知函数 )
(1)集合中取元素集合中取元素求方程实根概率
(2)区间中取数区间中取数求方程没实根概率
1．（2018新课标全国Ⅰ理科）图古希腊数学家希波克拉底研究图形．图三半圆构成三半圆直径分直角三角形ABC斜边BC直角边ABAC．三边围成区域记Ⅰ黑色部分记Ⅱ余部分记Ⅲ．整图形中机取点点取ⅠⅡⅢ概率分记p1p2p3
A．p1p2 B．p1p3
C．p2p3 D．p1p2+p3
2．（2017新课标全国Ⅰ理科）图正方形ABCD图形中国古代太极图正方形切圆中黑色部分白色部分关正方形中心成中心称正方形机取点点取黑色部分概率
A． B．
C． D．
3．（2016新课标全国Ⅰ理科）某公司班车730800830发车明750830间达发车站坐班车达发车站时刻机等车时间超10分钟概率
A． B．
C． D．
4．（2017江苏）记函数定义域．区间机取数概率 ▲ ．
5．（2016山东理科）机取数k事件直线ykx圆相交发生概率
变式拓展
1．答案B
零点概率
2．答案D
解析午间新闻播出时间天中午时长30分钟张开电视完整新闻报道时间5分钟求概率选D． @#网
3．答案A
解析满足条件正三角形图示：
中正三角形面积
满足正三角形顶点距离少面区域图中阴影部分示
取点三顶点距离概率
选A
4．答案B
5．答案B
解析设点P点O距离1概率P1
概型P1＝＝
点P点O距离1概率1－＝选B．
6．答案B
解析题意正实数满足面积
两数构成钝角三角形三边数满足面积
统计两数构成钝角三角形三边数数
解选B．
考点关
1．答案C
解析
求概率选C． 学#
2．答案B
3．答案D
解析画出行域图示四边形ABCD面积2中圆O面积π
概型概率公式π选D．
4．答案B
解析连接AC交圆弧DE点M
中ABBC1tan∠BAC∠BAC
直线AP线段BC公点点P必须圆弧EM
求概率P选B．
5．答案A
解析题意区域F面积e
区域E面积S
区域取点该点落区域概率
6．答案D
解析题意直角三角形切圆半径r
现三角形机投粒豆子豆子落切圆外概率P
7．答案B
8．答案A
解析中
余弦定理
求概率选A．
9．答案B
解析图PBPC邻边作行四边形PBDC
∴
P边BC中线AO中点
点PBC距离等ABC距离∴．
粒黄豆机撒黄豆落概率选B
10．答案 网
11．答案3
解析题意[04][a+∞)交集数轴长度1x≥a概率P解a3
12．答案
解析题
根概型概率计算公式射线落阴影部分概率．
13．答案
解析正方体外接球表面积48π正方体棱长4棱长4正方体体积43该正方体切球半径2体积×23求概率P
14．答案9
15．答案
解析取
区域边长正方形区域面积
直线方正方形区域面积
直线方正方形区域面积
概型概率公式两实数概率
答案
16．解析（1）分表示陈李班时间
结果应坐标面正方形区域ABCD图示．
（2）陈李少晚5分钟应区域
求概率．
17．解析(1)数表示基事件结果
18．解析(1)取值情况
中第数表示取值第二数表示取值基事件总数16．
直通高考
1．答案A
解析设求面积黑色部分面积余部分面积
根面积型概型概率公式选A
2．答案B
解析设正方形边长圆半径正方形面积圆面积图形称性知太极图中黑白部分面积相等占圆面积半概型概率计算公式点取黑色部分概率选B．
秒杀解析：题意知点取黑色部分概率黑色部分面积占整面积例图知概率满足选B．
名师点睛概型计算首先确定事件类型概型确定区域（长度面积体积时间）次计算基事件区域度量事件A区域度量计算
3．答案B
解析题意概型问题班车30分钟发出辆达发车站时间总长度40等车超10分钟时间长度20求概率选B．
名师点睛全国卷首次考查概型求解概型问题关键确定测度常见测度长度面积体积等
4．答案 学
名师点睛（1）试验结果构成区域长度面积体积等时应考虑概型求解．
（2）利概型求概率时关键试验全部结果构成区域事件发生区域寻找时需设出变量坐标系中表示需区域．
（3）概型两特点：①限性②等性．基事件抽象点点限占区域限例解法求解概型概率．
5．答案
解析直线ykx圆相交需满足圆心直线距离半径解求概率P
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（1）解机数意义运模拟方法估计概率
（2）解概型意义
概型
1．概型概念
果事件发生概率构成该事件区域长度(面积体积)成例称样概率模型概率模型简称概型
2．概型特点
（1）试验中出现结果（基事件）限
（2）基事件发生性相等
3．概型概率计算公式
4．必记结
（1）长度关概型基事件连续变量关
（2）面积关概型基事件两连续变量关已知图形明确两变量分作点横坐标坐标样基事件构成面区域助面区域解决问题
（3）体积关概型
二机模拟
计算器计算机模拟试验方法机模拟方法蒙特卡罗方法
方法基步骤：
（1）计算器计算机产生某范围机数赋予机数定意义
（2）统计代表某意义机数数M总机数数N
（3）计算频率作求概率似值
注意机模拟方法结果概率似值估计值次试验结果求事件概率确定数值
考 长度关概型
求解长度关概型问题关键基事件事件包含基事件转化相应长度进求解．处长度线段长短时间长短等
注意：寻找事件发生应区域时确定边界点问题关键边界点否取会影响事件概率
典例1 某学校星期星期五天午安排五节课节课时间40分钟．第节课课时间750~830课间休息10分钟．某学请假返校850~930间达教室听第二节课时间少10分钟概率
A． B．
C． D．
答案A
解析题意第二节课课时间840~920
该学达教室时间总长度40中850~910进入教室时听第二节课时间少10分钟时间长度20
求概率选A．
典例2 区间机抽取数事件发生概率
A． B．
C． D．
答案A
1．机取实数m函数零点概率
A． B．
C． D．
2．中央电视台第套节目午间新闻播出时间天中午某星期天中午午间新闻中机安排播出时长分钟关电信诈骗新闻报道张天开电视收条新闻完整报道概率
A． B．
C． D．
考二 面积关概型
求解面积关概型问题关键构造出机事件应图形利图形特征找出两面积套概型概率计算公式求机事件概率 必时根题意构造两变量变量成点坐标找全部试验结果构成面图形便求解．面积求概型种重方法
典例3 图示扇形AOB中∠AOB半圆C切AO点D圆弧AB切点B机扇形AOB投点该点落半圆C外概率
A． B．
C． D．
答案A
典例4 图已知A(a0)(a>0)B函数f(x)2x2图象点C(02)矩形OABC取点P点P落阴影部分概率________ 学
答案
3．蚂蚁边长4正三角形区域机爬行离三顶点距离2区域概率
A． B．
C． D．
4．区间机取两实数记量概率
A． B．
C． D．
考三 体积关概型求法
体积计算概率时注意求概率求事件构成区域体积关系准确计算出求事件构成区域体积确定出基事件构成区域体积求体积般机事件三连续变量进行描述概率问题涉体积时考虑方法求解
典例5 蜜蜂棱长30正方体玻璃容器机飞行蜜蜂飞行程中正方体玻璃容器六表面中少距离10撞玻璃安全始终保持正方体玻璃容器六表面距离均10飞行安全假设蜜蜂正方体玻璃容器飞行意位置性相等蜜蜂飞行安全概率 学#
A． B．
C． D．
答案C
5．底面半径1高2圆柱点O圆柱底面圆圆心圆柱机取点P点P点O距离l概率
A． B．
C． D．
考四 机模拟应
利机模拟试验似计算规图形A面积解题根机模拟估计概率然根列等式求解
典例6 周髀算中出勾股定理绝妙证明图赵爽弦图注文弦图勾股形弦边正方形面积称弦实图中包含四全等勾股形正方形分涂成朱(红)色黄色面积分称朱实黄实利2×勾×股+(股勾)24×朱实+黄实弦实化简勾2+股2弦2设勾股形中勾股1∶弦图机抛掷3000颗图钉落黄色图形图钉数约(≈1732)
A．134 B．268
C．402 D．536
答案C
解析设正方形边长2
图中直角三角形两直角边长1∶正方形边长1
正方形正方形面积值
落正方形图钉数()×3000≈(1×1732)×3000402
选C
6．关圆周率数学发展史出现许创意求法著名普丰实验查理斯实验受启发通设计面实验估计值：先请120名学机写1正实数统计中1构成钝角三角形三边数数m根统计数m估计值果统计结果估计值
A． B．
C． D．
1．取实数概率
A． B．
C． D．
2．长线段取点线段边作正方形正方形面积介间概率
A． B．
C． D．
3．直角坐标系中取n满足x2+y2≤1点(xy)中满足|x|+|y|≤1点m机模拟方法圆周率π似值
A． B．
C． D．
4．图矩形ABCD中ABBC1A圆心1半径作圆弧DE点E线段AB圆弧DE取点P直线AP线段BC公点概率
A． B．
C． D．
5．已知函数然数底数)图象直线轴围成区域直线轴轴围成区域区域取点该点落区域概率
A． B．
C． D．
6．九章算术中问题：勾八步股十五步问勾中容圆径？ 意：已知直角三角形两直角边长分步步问切圆直径少步？现三角形机投粒豆子豆子落切圆外概率
A． B．
C． D．
7．已知实数执行图示程序框图输出概率
A． B．
C． D．
8．赵爽国古代数学家天文学家约公元222年赵爽周碑算书作序时介绍勾股圆方图称赵爽弦图（弦边长正方形4全等直角三角形加中间正方形组成）类赵爽弦图类似构造图示图形3全等三角形中间等边三角形拼成等边三角形设等边三角形中机取点点取等边三角形概率
A． B．
C． D．
9．已知P面点现粒黄豆机撒黄豆落概率
A． B．
C． D．
10．根长1米细绳细绳机剪断两截长度 米概率__________
11．区间[04]机选取数xx≥a概率a__________
12．图面直角坐标系轴正半轴始边射线落角终边射线落角终边作条射线射线落阴影部分概率__________
13．正方体外接球表面积48π正方体取点该点取正方体切球概率__________
14．图边长4正方形二维码测算图中黑色部分面积正方形区域机投掷400点中落入黑色部分225点估计黑色部分面积_____________
15．区间机取出两实数两实数概率__________．
16．某班早晨7：30开始早读课该班学生陈李早7：107：30间班两时间段时刻班等
(1)面直角坐标系中画出两班结果表示区域
(2)求陈李少晚5分钟班概率
17．已知圆点
(1)三数中取数三数中取数求点圆概率
(2)区间取数区间取数求点圆外概率
18．已知函数 )
(1)集合中取元素集合中取元素求方程实根概率
(2)区间中取数区间中取数求方程没实根概率
1．（2018新课标全国Ⅰ理科）图古希腊数学家希波克拉底研究图形．图三半圆构成三半圆直径分直角三角形ABC斜边BC直角边ABAC．三边围成区域记Ⅰ黑色部分记Ⅱ余部分记Ⅲ．整图形中机取点点取ⅠⅡⅢ概率分记p1p2p3
A．p1p2 B．p1p3
C．p2p3 D．p1p2+p3
2．（2017新课标全国Ⅰ理科）图正方形ABCD图形中国古代太极图正方形切圆中黑色部分白色部分关正方形中心成中心称正方形机取点点取黑色部分概率
A． B．
C． D．
3．（2016新课标全国Ⅰ理科）某公司班车730800830发车明750830间达发车站坐班车达发车站时刻机等车时间超10分钟概率
A． B．
C． D．
4．（2017江苏）记函数定义域．区间机取数概率 ▲ ．
5．（2016山东理科）机取数k事件直线ykx圆相交发生概率
变式拓展
1．答案B
零点概率
2．答案D
解析午间新闻播出时间天中午时长30分钟张开电视完整新闻报道时间5分钟求概率选D． @#网
3．答案A
解析满足条件正三角形图示：
中正三角形面积
满足正三角形顶点距离少面区域图中阴影部分示
取点三顶点距离概率
选A
4．答案B
5．答案B
解析设点P点O距离1概率P1
概型P1＝＝
点P点O距离1概率1－＝选B．
6．答案B
解析题意正实数满足面积
两数构成钝角三角形三边数满足面积
统计两数构成钝角三角形三边数数
解选B．
考点关
1．答案C
解析
求概率选C． 学#
2．答案B
3．答案D
解析画出行域图示四边形ABCD面积2中圆O面积π
概型概率公式π选D．
4．答案B
解析连接AC交圆弧DE点M
中ABBC1tan∠BAC∠BAC
直线AP线段BC公点点P必须圆弧EM
求概率P选B．
5．答案A
解析题意区域F面积e
区域E面积S
区域取点该点落区域概率
6．答案D
解析题意直角三角形切圆半径r
现三角形机投粒豆子豆子落切圆外概率P
7．答案B
8．答案A
解析中
余弦定理
求概率选A．
9．答案B
解析图PBPC邻边作行四边形PBDC
∴
P边BC中线AO中点
点PBC距离等ABC距离∴．
粒黄豆机撒黄豆落概率选B
10．答案 网
11．答案3
解析题意[04][a+∞)交集数轴长度1x≥a概率P解a3
12．答案
解析题
根概型概率计算公式射线落阴影部分概率．
13．答案
解析正方体外接球表面积48π正方体棱长4棱长4正方体体积43该正方体切球半径2体积×23求概率P
14．答案9
15．答案
解析取
区域边长正方形区域面积
直线方正方形区域面积
直线方正方形区域面积
概型概率公式两实数概率
答案
16．解析（1）分表示陈李班时间
结果应坐标面正方形区域ABCD图示．
（2）陈李少晚5分钟应区域
求概率．
17．解析(1)数表示基事件结果
18．解析(1)取值情况
中第数表示取值第二数表示取值基事件总数16．
直通高考
1．答案A
解析设求面积黑色部分面积余部分面积
根面积型概型概率公式选A
2．答案B
解析设正方形边长圆半径正方形面积圆面积图形称性知太极图中黑白部分面积相等占圆面积半概型概率计算公式点取黑色部分概率选B．
秒杀解析：题意知点取黑色部分概率黑色部分面积占整面积例图知概率满足选B．
名师点睛概型计算首先确定事件类型概型确定区域（长度面积体积时间）次计算基事件区域度量事件A区域度量计算
3．答案B
解析题意概型问题班车30分钟发出辆达发车站时间总长度40等车超10分钟时间长度20求概率选B．
名师点睛全国卷首次考查概型求解概型问题关键确定测度常见测度长度面积体积等
4．答案 学
名师点睛（1）试验结果构成区域长度面积体积等时应考虑概型求解．
（2）利概型求概率时关键试验全部结果构成区域事件发生区域寻找时需设出变量坐标系中表示需区域．
（3）概型两特点：①限性②等性．基事件抽象点点限占区域限例解法求解概型概率．
5．答案
解析直线ykx圆相交需满足圆心直线距离半径解求概率P
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