材料设计—25-密度泛函理论-基组-缀加平面波和PAW


    缀加面波PAW缀加面波 (APW)
    线性缀加面波(LAPW)
    投影缀加波方法(PAW)Muffintin球知道固体中核区域电子行非常
    接原子原子电子波函数展开晶体
    波函数考虑远离核区域
    电子面波更似然
    固体中电子分部区域划分两部分
    :原子核中心半径R球
    球球间区域里球形区域
    谓Muffintin球区球外成间隙区
    (interstitial region)固体原胞划分Muffintin球间隙区
    两部分区域般求Muffintin球交叠
    LMTOASA似中交叠芯态电子波函数完全Muffintin球
    价态电子延伸球外间隙区
    球取球称势球外取常数势通
    常通选取适量零点常数
    零种势场模型称Muffintin势




     )R(r 0
    )R(r )()(
    m
    mrVrV Muffintin势选取方法位原点
    原子产生势场该Muffintin球中贡献
    然周围邻原子该球空间贡献然
    次邻更远原子贡献然贡献
    逐渐减弱
    L F Mattheiss提出中心原子势场叠加周
    围原子势场该中心原子原点球谐函数展
    开项果取首项球形似果
    取更展开项形状似果间隙区电子Muffintin球
    势修正引入非Muffintin效应加形
    状似全势方法缀加面波基Muffintin势建立起套缀加面波
    (augmented plane waveAPW)球
    KS方程应该形式解:)()()(  ERY llmlm
     
    )( ERl 径波函数满足方程:
    )(
    )()()1()(1
    ''

    2
    2
    2

     
    ERE
    ERVll
    d
    dR
    d
    d
    l
    l
    l

    

    
     
    )(V 球称势l角量子数球APW函数写成面波函数
    线性组合:
     

     

    0
    )()()(
    l
    l
    lm
    llmlm ERYa 
    
    lma 线性组合系数球外势场零解应该具面
    波形式假设第υ球球心矢量
    rυυ球球外:




    
    
     
    
    kirkirki eee
    rr 



    
     
    0
    *)()()(4
    l
    l
    lm
    lmlml
    lki YkYkjie  
    面e指数展开球谐函数
    )( kjl 球贝赛尔函数
    根球面波函数连续条件
    求出系数alm)()()(4 '*
       ERkjkYiea lllm
    lrki
    lm
    
    
    面alm表达式带入
    APW基函数基组形式:
    
    


    


     
     
    )(
    )( )()()( 0




    
    
    
    
    ki
    l
    l
    lm
    llmlm
    e
    ERYa面式子里角量子数l
    穷求通常取10者12够
    外APW基组函数量E’相关



    M
    i
    i rkcrk
    1
    )()( 
    
    晶体波函数面基函数展开:前面基函数系数alm
    量E’关E’径薛定谔方程征量
    孤立原子采边界条件
    穷远处波函数0条件E’
    应征波函数固体中显然没
    样边界条件取意量E处
    应径波函数时波函数然没特
    物理意义作基函数
    然基矢赖量E
    开始设定E实际
    量征值接E时候解足够精确
    量征值做搜索工作
    样子工作量需寻找更解决
    方案O K Anderson线性化方法线性缀加面波线性化思路简单充分利某
    量点E0已径波函数利泰
    勒展开E0附量点波函数
    需重新求解薛定谔方程
    体现基函数Muffintin球
    APW基函数增加项量求导项
    径薛定谔方程解量征值函数
    某带选定量参数线性
    缀加面波方法(LAPW)径波函数量E0展开形式:
      )()()(ERERER lll 
    基函数增加项量导数项
    
    


    



    )(
    )( )()]()([
    )(




    
    
    
    
    

    ki
    lm
    lmllmllm
    e
    YERbERa面基函数称线性缀加面波
    基函数APW基函数区时球
    径波函数R量征值函数
    某确定值E选定分波L
    选取E通常选择L带中心附
    数值样线性化误差会较
    R导数项然
    定系数blm采基函数球面连续
    导数连续条件确定两系数:)ˆ()]()()()([
    4
    *''
    221
    kYERkjERkj
    ia
    lmllllll
    l
    clm
    

    
    
     
     
    )ˆ()]()()()([
    4
    *''
    221
    kYERkjERkj
    ib
    lmllllll
    l
    clm
    

    
    

     

    线性化外面基函数APW两处:
    1)动满足导数连续 2)没分母零子
    消久期方程出现奇异性LAPW方法目前已发展起许固体
    材料带计算方法中效精确方
    法特适合晶体材料研究著名
    程序WIEN2kLAPW方法
    LAPW方法够芯电子性质精度
    较高缺点公式较复杂数值计算速度
    较慢通常处理系统原子数超100Projector Augmented Wave
    (PAW)方法全电子方法精确计算量赝势方法
    速度快精度够
    1994年Blochl提出projector augmented
    wave (PAW)方法两种方法扩展
    结合两者点更普适方法
    事实证明PAW出发推出赝
    势方法APW方法PAW方法关键点找形变算符(
    transformation operator)真实振荡剧烈
    波函数转变滑赝波函数:
    里n包含k点指标旋指标带指标
    代入KS方程关赝波函数方程果选取合适T赝波函数量滑
    远离核区域波函数已较滑
    显然T算符需改变核区域波函数:
    a原子指标Ta算符原子a中心半
    径rc范围起作:
    里rcAPW中Muffintin球思想类似真实轨道赝轨道通T联系:
    球外两轨道波函数样
    赝波函数写成面赝轨道展开P系数:
    里展开系数前面赝波函数展开系
    数样T求线性展开系数
    必然波函数线性函数:
    里p成投影函数轨道
    投影函数投影函数需满足面两条件
    利面第条件Ta写成:利:

    T公式:KS真实波函数写成:
    中第项赝波函数面项包含真实
    赝原子轨道投影函数赝波函
    数补偿赝波函数较光滑
    少量面波展开通面薛定谔方程求
    :面波函数求出意物
    理量期值:An Example to Show How the PAW Method Works

    +
     Compare the Results with USPP and AE  Compare the Results with USPP and AE• Some phonon test (frequency unit 1cm)
    CASTEP VASP
    fitexp (not AE)
    0
    200
    400
    600
    800
    1000
    1200
    1400
    1600
     M K 
    0
    200
    400
    600
    800
    1000
    1200
    1400
    1600
     M K 0
    200
    400
    600
    800
    1000
    1200
    1400
    1600
     M K PAW结合PPFLAPW方法
    PAW具FLAPW精度芯电子冻结
    够真正价电子波函数磁
    性光学性质重意义
    PAW采面波展开具USPP类似
    效率程序结构PP程序类似

    PAW种全电子方法常见PAW方法程序:
    VASP
    ABINIT
    PWSCF
    GPAW等

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