湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共 4 页）第 1 页 2023 年湖北省高三上学期 1 月期末考试 高三数学试卷 考试时间：2023 年 1 月 10 日上午 8：00-10：00 试卷满分：150 分 注意事项: 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上。 2、回答选择题时，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，先用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在试卷上无效。 一、单项选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合 题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1． 已知集合  2 3, NA x x x   ，则 A 的子集共有（ ）个 A．3 B．4 C．6 D．7 2． 若复数 z 满足 1 2i 3 4iz    （其中 i 是虚数单位），复数 z 的共轭复数为 z ，则（ ） A．z 的实部是 5 11 B． z 的虚部是 2 5 C．复数 z 在复平面内对应的点在第一象限 D． 5z  3． 2022 年 9 月 16 日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运 20 专机在两架歼 20 战机护航下 抵达沈阳国际机场．歼 20 战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高 态势感知、高机动性能等特点，歼 20 机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约 为 2 米的正三角形，则机身头部侧面积约为（ ）平方米 A． 2 B． 3 3  C． 2 D． 2 2  4． “ 1 7m   ”是“方程 2 2 11 7 x y m m    表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5． 已知 na 是各项均为正数的等差数列， nS 为其前 n 项和，且 6 7 102 20a a a   ，则当 7 8a a 取最 大值时， 10S （ ） A．10 B．20 C．25 D．50 6． 已知 1sin cos6 2        ，则  )3 22cos(  （ ） A． 1 2  B． 1 2 C． 3 4  D． 3 4 7． 已知函数 xxxf  3)( ，且 2 1loga f        ，  2logb ef ，  0.82c f  ，（其中 e 为自然对 数的底数， 为圆周率），则 ,,a b c 的大小关系为（ ） A． a b c  B．b a c  C．c b a  D．c<a<b 8． 2022 卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的 8 座体育馆举办.将甲、乙、丙、丁 4 名裁判随机派 往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派 1 名裁判， A 表示事件 “裁判甲派往卢赛尔体育馆”； B 表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C 表示事件“裁判 乙派往贾努布体育馆”，则（ ） A．事件 A 与 B 相互独立 B．事件 A 与C 为互斥事件 C． () 3 1PCA  D． () 1 6PBA 湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共 4 页）第 2 页 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是 符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有错选得 0 分） 9． 新冠肺炎疫情防控期间，进出小区､超市､学校等场所，我们都需要先进 行体温检测.某学校体温检测员对一周内甲､乙两名同学的体温进行了统 计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．乙同学体温的极差为 C2.0 B．甲同学体温的第三四分位数．．．．为36.5℃ C．甲同学的体温比乙同学的体温稳定 D．乙同学体温的众数，中位数，平均数都相等 10．已知函数    sinf x A x   （ 0A  ， 0  ， 2   ）的部分图象如图，则（ ） A．函数解析式   2sin 2 6f x x      B．将函数 2sin 2 6y x      的图象向左平移 2  个单位长度可得函 数  f x 的图象 C．直线 11 12x   是函数  f x 图象的一条对称轴 D．函数  f x 在区间 ,02     上的最小值为 2 11．设圆 2 2: 2O x y  ，直线 : 4 0l x y   ， P 为l 上的动点.过点 P 作圆O 的两条切线 PA ， PB ， 切点为 A ， B ，则下列说法中正确的是（ ） A．直线l 与圆O相交 B． PA 的取值范围为 6,  C．存在点 P，使四边形OAPB为正方形 D．当点 P 坐标为（2,2)时，直线 AB 的方程为 1 yx 12．如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，动点 P 满足 ?1? =  ?1?1 ( ]1,0[,   R ). 则以下结论正确的为（ ） A． ],1,0[ 11 PBBPA 面使直线  B．直线 1AA 与面 1A BD 所成角的正弦值为 6 3 C． ]1,0[ , 三棱锥 BDAP 1 体积为定值 3 4 D．当 2 1 时，三棱锥 1P A BD 的外接球表面积为11π 三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13． 2 61( )x x  的展开式中 3x 的系数为______.（用数字作答） 14．若向量 a  在向量b  上的投影向量为 4b  ，且 b   2，则数量积 a  ∙b  =______. 15．已知双曲线 12 2 2 2  b y a x 右焦点为 F（ 5 ，0），点 P， Q 在双曲线上，且关于原点O对称． 若 PF QF ， 且 PQF△ 的面积为 4，则双曲线的离心率 e = ________．湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共 4 页）第 3 页 16. 2022 年 12 月 3 日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠如图（1）所示。现在我们通过 DIY 手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为 O，半径为10cm，该纸片 上的正六边形 ABCDEF 的中心为 1 1 1 1 1 1, , , , , ,O A B C D E F 为圆 O 上的点，如图（2）所示．△A1AB, △B1BC,△C1CD,△D1DE,△E1EF,△F1FA 分别是以 AB BC CD DE EF FA, , , , , 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以 AB BC CD DE EF FA, , , , , 为折痕折起△A1AB,△B1BC,△C1CD,△D1DE, △E1EF,△F1FA，使 1 1 1 1 1 1, , , , ,A B C D E F 重合，得到六棱锥，则当六棱锥体积最大时，底面六边形 的边长为___________cm． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字 说明、 证明过程或演算步骤） 17．（本小题 10 分）已知△ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ； sin sin 3 sinA B C  ，且边 c =2， （1）求△ABC 的周长； （2）若角C =60°，求△ABC 的面积． 18．（本小题 12 分）己知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 1 1n n nS S a    ，________________．请在 ① 3 15 20a a  ；② 2a ， 5a ， 11a 成等比数列；③ 20 230S  ，这三个条件中任选一个补充在上面 题干中，并解答下面问题． （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 1n nb a  ，求数列 2n nb 的前 n 项和 nT ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题 12 分）如图 1，直角梯形 ABCD中， 2 2 4CD AB BC   ，AB∥CD，AB BC ，E 为 CD 的中点，现将△DAE 沿着 AE 折叠，使 2 2CD  ，得到如图 2 所示的几何体，其中 F 为 AD 的中点，G 为 BD 上一点， AC 与 BE 交于点O，连接 OF ． （1）求证：CD ∥平面 EFB ； （2）若 BE AGC 面 ，求平面GEC 与平面 BEC 的夹角 ．湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共 4 页）第 4 页 20．（本小题 12 分）皮影戏是一种民间艺术，是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术 品种，已有千余年的历史。而皮影制作是一项复杂的制作技艺，要求制作者必须具备扎实的绘 画功底和高超的雕刻技巧，以及持之以恒的毅力和韧劲。每次制作分为画图与剪裁，雕刻与着 色，刷清与装备三道主要工序，经过以上工序处理之后，一幅幅形态各异，富有神韵的皮影在 能工巧匠的手里浑然天成，成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人。小李对学习皮影制作 产生极大兴趣，师从名师勤学苦练，目前水平突飞猛进，三道主要工序中每道工序制作合格的 概率依次为 3 5 ， 2 3 ， 3 4 ，三道工序彼此独立，只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影 制作，该皮影视为合格作品. （1）求小李进行 3 次皮影制作，恰有一次合格作品的概率； （2）若小李制作 15 次，其中合格作品数为 X ，求 X 的数学期望与方差； （3）随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，聘其为单位制作演 出作品，决定试用一段时间，每天制作皮影作品，其中前 7 天制作合格作品数 y 与时间t 如 下表：（第t 天用数字t 表示） 时间  t 1 2 3 4 5 6 7 合格作品数 y 3 4 3 4 7 6 8 其中合格作品数 y 与时间  t 具有线性相关关系，求 y 关于t 的线性回归方程（精确到 0.01）， 并估算第 15 天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？ （参考公式      1 1 222 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i x y nxy x x y y b x nx x x                ， ˆˆa y bx  ，参考数据： 7 1 163i i i t y   ）. 21．（本小题 12 分）已知抛物线 2 9y x 上一动点 G，过点 G 作 x 轴的垂线，垂足为 D，M 是GD 上 一点，且满足 1 3GM GD   . （1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （2）若  0 ,4P x 为曲线 C 上一定点，过点 P 作两条直线分别与抛物线交于 A，B 两点，若满足 2PA PBk k  ，求证：直线 AB 恒过定点，并求出定点坐标. 22．（本小题 12 分）已知函数    ln 3( )f x x a x x a a R      （1）若 0a  ，求  f x 的极小值 （2）讨论函数  f x 的单调性； （3）当 2a  时，证明：  f x 有且只有 2 个零点.湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 1 页 2023 年湖北省高三上学期 1 月期末考试 高三数学答案 一、单选题 1--4 BCAB 5--8 DACD 二、多选题 9.ABD 10.CD 11.BD 12.ACD 三、填空题 13．20 14．16 15． 5 16． 3 38 【答案解析】 1．B 【解析】由题设， { | 3 3, N} {0,1}A x x x      ，∴ A 的子集共有 422  个. 2．C 【解析】由题设 3 4i (3 4i)(1 2i) 11 2 i1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5z         ， 2 211 2| | ( ) ( ) 55 5z     ， 11 2 5 5 z i  . 对 A，z 的实部是11 5 ，故 A 错误；对 B， z 的虚部是 2 5  ，故 B 错误； 对 C，复数 z 在复平面内对应的点在第一象限，故 C 正确；对 D，| z | 5 ，故 D 错误； 3．A 【解析】根据圆锥的轴截面是一个边长约为 2 米的正三角形可知，圆锥底面半径为 1 米，圆锥高为 3 米， 母线长为 2 米，根据圆锥侧面积公式得  221 S . 4．B 【解析】“方程 2 2 11 7 x y m m    表示焦点在 y 轴上椭圆”的充要条件为 3m1  故“ 1 7m   ”是“方程 2 2 11 7 x y m m    表示焦点在 y 轴上椭圆”的必要不充分条件. 5．D 【解析】∵  6 7 10 6 10 7 8 72 2 2 2 20a a a a a a a a        ，∴ 7 8 10a a  ，由已知，得 7 0a  ， 8 0a  ∴ 2 2 7 8 7 8 10 252 2 a aa a             ，当且仅当 7 8 5a a  时等号成立.此时， 10S 50 6．A 【解析】∵ 3 1 1sin cos sin cos sin6 2 2 6 2                      ， ∴ 2 11)6(sin2)6(2cos])6(2cos[)3 22cos( 2   7．C 【解析】由函数为奇函数，有：  2 2 1log loga f f        ，且： 0.8 2 2log log 1 2 0e     ，结合 函数为增函数有：      0.8 2 2log log 2ef f f   ， 8．D 【解析】记三座体育馆依次为①②③，每个体育馆至少派一名裁判，则有 2 1 1 34 2 1 32 2 C C C A 36A  种方法， 事件 A ：甲派往①，则若①体育馆分 2 人，则有 3 3A 6 种，若①体育馆分 1 人：则有 2 1 2 3 1 2C C A 6 种，共有 6 6 12  种，∴   12 1 36 3P A   ，同理   12 1 36 3P B   ，若甲与乙同时派往①体育馆，则①体育馆分两人， 有 2 2A 种，∴   2 1 36 18P AB   ，       1 9P AB P A P B  ，A 错误；由互斥事件概念易知，B 错误；湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 2 页       1 118| 1 6 3 P ABP B A P A    ，D 正确；事件C ：裁判乙派往②体育馆，若②体育馆分 2 人，则有 3 3A 6 种， 若②体育馆分 1 人，则有 2 1 2 3 1 2C C A 6 种，共有 6 6 12  种，∴   12 1 36 3P C   ，若事件 A ，C 同时发生， 则有 1 1 3 2C C 5  种，∴   5 36P AC  ，       5 53| 1 12 3 P ACP C A P A    ，C 错误； 9．ABD 【解析】对 A：乙同学体温的最大值为36.5 C ，最小值为36.3 C ，故极差为0.2 C ，A 正确； 对 B：甲同学体温按照从小到大的顺序排列为：36.2 C ，36.2 C ，36.4 C ，36.4 C ，36.5 C ，36.5 C ，36.6 C ， 又7 75% 5.25  ，故甲同学体温的第三四分位数为上述排列中的第 6 个数据，即 36.5℃，B 正确；对 C： 乙同学体温按照从小到大的顺序排列为：36.3 C ，36.3 C ，36.4 C ，36.4 C ，36.4 C ，36.5 C ，36.5 C ， 故乙同学体温的平均数为：  1 36.3 36.3 36.4 36.4 36.4 36.5 36.57        36.4 C ， 故乙同学体温的方        2 2 2 22 2 1 436.3 36.4 36.3 36.4 36.5 36.4 36.5 36.47 700S            ； 又甲同学体温的平均数为：  1 36.2 36.2 36.4 36.4 36.5 36.5 36.67        36.4 C ，故甲同学体温的方差          2 2 2 2 22 1 1 1436.2 36.4 36.2 36.4 36.5 36.4 36.5 36.4 36.6 36.47 700S              ；又 2 2 1 2S S ，故乙 同学的体温比甲同学的体温稳定，C 错误；对 D：乙同学体温的众数，中位数，平均数均为36.4 C ，故 D 正确. 10．CD 【解析】由题图知： 2A  ，函数  f x 的最小正周期满足 3 5 4 6 12T    ，即T  ， 则 2 2   ，所以函数    2sin 2f x x   ． 将点 ,212      代入解析式中可得 2 2sin 6       ，则  2 Z6 2 k k      ，得  2 Z3 k k    ，因为 2   ，所以 3   ，因此   2sin 2 3f x x      ，故 A 错误； 将函数 2sin 2 6y x      的图像向左平移 4  个单位长度可得函数   2sin 2 2sin 24 6 3f x x x                   的图像， 故 B 错误；由   2sin 2 3f x x      ，当 11 12x   时，   2f x  ，故 C 正确；当 ,02x      时， 22 ,3 3 3x         ，所以 3sin 2 1,3 2x            ，即   2, 3f x    ，即  f x 最小值为 2 ，故 D 正确． 11．BD 【解析】对于 A，直线与圆相离，A 错误；对于 B，设点 0 0( , )P x y ， 2 2| | | | | |AP PO OA  2| | 2PO  2 0 02 8 16 2x x    2 02( 2) 6x   6 ，即 PA 的取值范围为 6,  ，故 B 正确；对于 C，当四边形OAPB 为正方形时，| | | | | | | |OA OB AP BP   ，又圆 2 2: 2O x y  的 圆心 (0,0)O ，半径 2r  ，所以 2 2 2| | | | | 2 4 2PO OA AP r     ，设点 0 0( , )P x y ，则 0 04y x  ，所湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 3 页 以 2 2 2 2 0 0 0| | (4 )oPO x y x x     2 0 02 8 16x x   2 ，化简得 2 0 04 6 0x x   ，该方程的判别式 16 24 0    ，该方程无解，所以不存在点 P 使得四边形OAPB 为正方形，故 C 不正确；对于 D，当点 P 坐标为（2,2)时，以| |PO 为直径的圆的圆心为（1，1），半径为 2 ， 所以以| |PO 为直径的圆的方程为 2)1()1 22  yx（ ，两圆相减可得直线 AB 的方程为： 1 yx ，故 D 正确. 12．ACD 【解析】显然，存在 2 1 满足，所以 A 项正确；以 DA 方向为 x 轴， DC 方向为 y 轴， 1DD 方向为 z 轴建 立空间直角坐标系， 则        10,0,0 , 2,0,0 , 2,2,0 , 2,0,2D A B A ，  1 0,0,2AA   ，    1 2,0,2 , 2,2,0DA DB    ， 设平面 1A BD 的法向量为  , ,n x y z  ，则 1 0 0 n DA n DB        ，即 0 0 x z x y      ，令 1x  ，得 1y z   ，故  1, 1, 1n     ， 设直线 1AA 与面 1A BD 所成角为 ， 则 1 2 3sin cos , 32 3 AA n      ，故 B 项错误；因为 1 1 //DD BB ，所以四边形 1 1BDD B 为平行四边形，所以 1 1 //B D BD， 又因为 1 1B D  平面 1A BD ，BD  平面 1A BD ，所以 1 1 //B D 平面 1A BD ，又 P 为线段 1 1B D 上 动点，所以 P 到平面 1A BD 距离为定值，故三棱锥 1P A BD 体积为定值，当点 P 与 1D 重 合时， 1 1 1 1 1 1 1 1 42 2 23 3 2 3P A BD B A DD A DDV V S AB         △ ，故 C 正确； 当点 P 为 1 1B D 中点时， 11P A B DD A B PV V   ，易得 1 1 1A P B D ， 1BB  平面 1111 DCBA ，又 1A P  平 面 1111 DCBA ，所以 1 1A P B B ， 1 1 1 1BB B D B  ， 1 1 1,BB B D  平面 1 1BB D D ，所以 1AP 平面 1 1BB D D ，即 1AP 平面 BDP ， 1 2A P  ， 2 2, 6BD CP DP   ， 所以 2 2 2 12 8 1cos 2 2 6 3 BP DP BDBPD BP DP        ， 2 2sin 3BPD  ， BDP△ 的外接圆半径为 2 2 3 2sin 22 22 3 BDr BDP      ，故所求问题等价于求以 3 2r  为半径的底面圆，高为 1 2h A P  的圆柱的外接 球表面积，设三棱锥 1P A BD 的外接球半径为 R ，则 2 2 2 9 1 11 2 4 2 4 hR r         ，故三棱锥 1P A BD 的外接 球表面积为 2 114π 4π 11π4S R    ，故 D 项正确. 13．20 【解析】 2 61( )x x  的展开式中第 1k  项为 2(6 ) 12 3 1 6 6 ( 0,1,2, ,6)k k k k k kT C x x C x k        ， 令12 3 3 3k k    得： 3x 的系数为 3 6 20C  . 14．16 【解析】设 a  ，b  的夹角为 ，，因为向量 a  在向量b  上的投影向量为 cos 4ba b b      ，所以 cos 4a b    ， 又 2  b ，则 cos 16a b a b         15． 5 【解析】因为双曲线的右焦点  5,0F , 5c  ,设其左焦点为 1F ，因为 PF QF ， ,P Q 关于原点O对称，湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 4 页 所以 2 2 5PQ OF  ，由 PQF△ 的面积为 4，所以 1 42S PF QF   ，得 8PF QF  ，又 2 2 2 20PF QF PQ   ，所以 2PF QF  .又由双曲线的对称性可得 1QF PF ，由双曲线的定义可 得 1 2PF PF  =2a,所以 1a  ,故离心率 e= 5 16． 3 38 【解析】连接 1OE ，交 EF 于点 H，由题意得 1OE EF ，设 2EF x cm，则 3OH x cm， 1 (10 3 )E H x  cm 因为 0 2 10 10 3 3 x x x     所以 5 30, 3x      ， 六棱锥的高 2 2 2 2 1 (10 3 ) ( 3 ) 100 20 3h E H OH x x x       cm． 正六边形 ABCDEF 的面积 2 236 (2 ) 6 34S x x    cm2， 则六棱锥的体积 2 4 51 1 6 3 100 20 3 2 3 100 20 33 3V Sh x x x x      cm3． 令函数 4 5 5 3( ) 100 20 3 , 0, 3f x x x x        ，则 3 4 3( ) 400 100 3 100 (4 3 )f x x x x x     ，当 4 30, 3x      时， ( ) 0f x  ，当 4 3 5 3,3 3x      时， ( ) 0f x  所以 ( )f x 在 4 30, 3       上单调递增，在 4 3 5 3,3 3       上单调递减， 所以 2 max 4 3 4 3 64 152 3 100 20 33 3 3V           cm3．此时，底面边长 2x= 3 38 四．解答题 17．(1) 2 3 2 (2) 2 3 3 【解】（1）解：∵ sin sin 3 sinA B C  ，∴由正弦定理可得 3a b c  ，∴ 2 3a b  ，∴三角 形周长为 2 3 2a b c    ．…………5 分 （2）解：由（1）知 2 3a b  ，由余弦定理得  2 22 2 2 2 1cos 2 2 2 a b ab ca b cC ab ab       ，解得 8 3ab  ， ∴ 1 2 3sin2 3ABCS ab C   …………10 分 18．(1) 1na n  (2) 12 ( 1)2n nT n    【解】（1） 1 1n n nS S a    ，所以 1 1n n nS S a    ，即 1 1n na a   ， 所以数列 na 是首项为 1a ，公差为 1 的等差数列． 若选①：由 3 15 20a a  ，得 1 12 14 20a d a d    ，即 12 20 16a d  ， 解得 1 2a  ．所以 1 ( 1) 2 ( 1) 1 1na a n d n n         ，即数列 na 的通项公式为 1na n  ． 若选②：由 2a ， 5a ， 11a 成等比数列，得   2 1 1 14 ( ) 10a d a d a d    ， 解得 1 2a  ，所以 1 ( 1) 2 ( 1) 1 1na a n d n n         ． 若选③：因为 20 1 1 20 1920 20 1902S a d a d     =230，解得 1 2a  ， 所以 1 ( 1) 2 ( 1) 1 1na a n d n n         ．…………6 分湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 5 页 （2） 1n nb a n   ，则 2 2n n nb n   ， 则 1 2 31 2 2 2 3 2 2n nT n         ， 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2n nT n          ， 两式相减得：   12 3 4 12 2 2 2 2 2 1 22 2 21 n nn n nT n n             ， 故 12 ( 1)2n nT n    ．…………12 分 19．(1)证明见解析 (2)45° 【解】（1）在直角梯形 ABCD中， 2 2 4CD AB BC   ， / /AB CD ， AB BC ， 由翻折的性质可得，翻折后 AE EC ， DE AE ， 又 2DE CE  ， 2 2CD  ， 2 2 2CD DE CE   ，则 DE CE ，故 DE ， AE ，CE 两两互相垂直，以点 E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz ，如图示： 则  0,2,0C ，  0,0,2D ，  1,1,0O ，  1,0,1F ，  0, 2,2CD    ，  0, 1,1OF    ， 2CD OF    ，即 / /OF CD，又CD 平面 EFB ，OF  平面 EFB ， / /CD 平面 EFB ．…………5 分 （2）由 ,BE AGC BE GO DE GO   面 ， ，点G 为 BD 的中点，…………7 分 在空间直角坐标系 E xyz 中，  1,1,1G ，  0,0,0E ，  0,2,0C .  1,1,1EG   ，  0,2,0EC   ，设平面GEC 的法向量为  , ,n x y z  ， 则 0, 0, n EG n EC        即 0, 2 0, x y z y      令 = 1x  ，则 0y  ， 1z  ，故平面GEC 的一个法向量为  1,0,1n    ，又平面 BEC 的一个法向量为  0,0,1m   ， 1 2cos , 21 2 m nm n m n          平面GEC 与平面 BEC 的夹角 为 45°．…………12 分 20．(1) 441 1000 (2)   9 2E X  ，   63 20D X  (3) 0 82 1 71y . t .  ，14 【解】（1）小李制作一次皮影合格的概率 1 3 2 3 3 5 3 4 10P     ， 小李进行 3 次制作，恰有一次合格作品的概率 2 1 2 3 3 7 441 10 10 1000P C        .…………4 分 （2）由题知：       10 315~ ，NX ， 则   3 915 10 2E X    ，   3 7 6315 10 10 20D X     .…………7 分 （3）  1 1 2 3 4 5 6 7 47t         ，  1 3 4 3 4 7 6 8 57y         . 7 1 163i i i t y   ，7 7 4 5 140t y     ， 2 1 140 n i i t   ， 2 7 112t  ， 7 1 7 22 1 163 140 23ˆ 0.82140 112 287 i i i i i t y nt y b t t          ， 235 4 1 7128 ˆˆa y bt .      ， 所以回归直线方程为 0 82 1 71y . t .  .当 15x  时， 0.82 15 1.71 14.01 14y      ， 所以第 15 天能制作14个合格作品.…………12 分 21．(1) 2: 4C y x ； (2)证明见解析， 0, 2 . 【解】（1）设    , , ,M x y G x y  ，则  ,0D x ，由 1 3GM GD   ，得 3 2 x x y y      ，代入 2 9y x 得 2 4y x ，所以湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 6 页 动点 M 的轨迹 2: 4C y x .…………5 分 （2）易得  4,4 , ,P PA PB 的斜率存在，设 :AB x my t  ，    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，由 2 4 ,y x x my t      联立可得： 2 4 4 0y my t   ， 2 1 2 1 2Δ 16 16 0, 4 , 4m t y y m y y t        ①，       1 21 2 1 2 1 2 1 2 4 324 4 4 42, 24 4 4 4 4 4PA PB y yy yk k x x y y y y               即 ② 将①代入②得： 2 8 8 4 8, 2t m m t m       ， 所以  2 2x my m m y    ，所以直线恒过定点 0, 2 .…………12 分 22．(1) 4 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解】（1）当 0a  时，   ln 3f x x x x   ，  f x 的定义域为 0,  ，   ln 1 1 lnf x x x     ， 所以  f x 在区间     0,1 , 0,f x f x  递减；在区间     1, , 0,f x f x  递增. 所以当 1x  时，  f x 取得极小值 ( )1 4f = - .…………3 分 （2）    ln 3f x x a x x a     的定义域为 0,  ，   ln 1 lnx a af x x xx x       . 令       2 2 1ln 0 ,a a x ah x x x h xx x x x       ， 当 0a  时，   0h x  恒成立，所以  h x 即  f x 在 0,  上递增. 当 a<0 时，  h x 在区间     0, , 0,a h x h x  即  f x 递减； 在区间     , , 0,a h x h x   即  f x 递增.…………7 分 （3）当 2a  时，    2 ln 1f x x x x    ，   2lnf x x x    ， 由（2）知，  f x 在 0,  上递增，     22 ln 2 1 0, 3 ln 3 03f f       ， 所以存在  0 2,3x  使得  0 0f x  ，即 0 0 2ln x x  .  f x 在区间     00, , 0,x f x f x  递减；在区间     0 , , 0,x f x f x  递增. 所以当 0x x 时，  f x 取得极小值也即是最小值为      0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 42 ln 1 2 1 1f x x x x x x xx x                 ， 由于 0 0 0 0 4 42 4x xx x     ，所以  0 0f x  . 1 1 1 1 1 1 22 ln 1 2 1 1 0e e e e e e ef                              ，    2 2 2 2 2 2 2e e 2 ln e e 1 2e 4 e 1 e 5 0f             ， 根据零点存在性定理可知  f x 在区间 00, x 和 0 ,x  ，  f x 各有1个零点， 所以  f x 有 2 个零点.…………12 分（1） 17.（10 分） 13. 15. 14. 16. 填空题（每小题 5分，共20 分） 解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.（12 分） 19.（12 分） 数学 2023年湖北省高三上学期1月期末考试 答题卡 湖北省新高考联考协作体*数学答题卡（共 2 页）第 1 页 !“#$%& % & ＇ ( * + , - -.+,%/012!34+,!! “ # $!! 5 6 7 8 9 : ; < $“% 0123456789:;<=>?@AB4CDE.FGH>I J3KBLMNOPB4CDA?@QRSTUVWXYZ[4＼ ]^_TU`3;LMNabFGcPIJd &“% ef17gh# &＇ i,Ejklef17gh# !“# m%&＇() *+,no3+pqrA,s8tu (“% 457gF01vw1^>GHo1xyzo1{|}01xy~ -.>0€‚kFƒ„…†＼1‡Oo1‚u )“% ˆ‰vŠ8‹{ŒBŽAŒ‘u = ; > ? “*# “!# ““# “## “$# “%# “&# “＇# “(# “)# “*# “!# ““# “## “$# “%# “&# “＇# “(# “)# “*# “!# ““# “## “$# “%# “&# “＇# “(# “)# “*# “!# ““# “## “$# “%# “&# “＇# “(# “)# “*# “!# ““# “## “$# “%# “&# “＇# “(# “)# “*# “!# ““# “## “$# “%# “&# “＇# “(# “)# “*# “!# ““# “## “$# “%# “&# “＇# “(# “)# “*# “!# ““# “## “$# “%# “&# “＇# “(# “)# “*# “!# ““# “## “$# “%# “&# “＇# “(# “)# “*# “!# ““# “## “$# “%# “&# “＇# “(# “)# “*# “!# ““# “## “$# “%# “&# “＇# “(# “)# “*# “!# ““# “## “$# “%# “&# “＇# “(# “#9 选择题（共 60 分，1—8 为单选题，每题 5分；9—12 为多选题，每题 5分， 漏选的 2分，错选的 0分） $ % & ＇ (#!“ !“ !“ ! !#“ #“ #“ # #$“ $“ $“ $ $%“ %“ %“ % %!“ !“ !“ ! !) “ * + ,#“ #“ #“ # #$“ $“ $“ $ $%“ %“ %“ % % !“ !“ )) )“ #“ #“ $“ $“ %“ %“ 17.（续）20. （12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22.（12 分）20.（12 分） 21. （12 湖北省新高考联考协作体*数学答题卡（共 2 页）第 2 页 分）