2019年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷
2019年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷二
2019年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷三
2018年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷
2018年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷二
2018年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷三
2017年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷
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2016年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷
2016年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷二
2016年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷三
2015年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷
2015年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷二
2019年普通高等学校招生全国统考试卷
理科数学
试卷4页23题满分150分考试时120分钟
注意事项：1．答卷前考生务必姓名考生号考场号座位号填写答题卡2B铅笔试卷类型（B）填涂答题卡相应位置
2．作答选择题时选出题答案2B铅笔答题卡应题目选项答案信息点涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答案答试卷
3．非选择题必须黑色字迹钢笔签字笔作答答案必须写答题卡题目指定区域相应位置需改动先划掉原答案然写新答案准铅笔涂改液求作答效
4．考生必须保证答题卡整洁考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．已知集合
A． B． C． D．
2．设复数z满足z复面应点(xy)
A． B． C． D．
3．已知
A． B． C． D．
4．古希腊时期认美体头顶肚脐长度肚脐足底长度（≈0618称黄金分割例)著名断臂维纳斯便．外美体头顶咽喉长度咽喉肚脐长度．某满足述两黄金分割例腿长105 cm头顶脖子端长度26 cm身高
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
5．函数f(x)图致
A． B．
C． D．
6．国古代典籍周易卦描述万物变化．重卦排列6爻组成爻分阳爻——阴爻— —图重卦．重卦中机取重卦该重卦恰3阳爻概率
A． B． C． D．
7．已知非零量ab满足bab夹角
A． B． C． D．
8．图求程序框图图中空白框中应填入
A．A B．A C．A D．A
9．记等差数列前n项．已知
A． B． C． D．
10．已知椭圆C焦点F2直线C交AB两点．C方程
A． B． C． D．
11．关函数述四结：
①f(x)偶函数 ②f(x)区间（）单调递增
③f(x)4零点 ④f(x)值2
中正确结编号
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
12．已知三棱锥PABC四顶点球O球面PAPBPC△ABC边长2正三角形EF分PAPB中点∠CEF90°球O体积
A． B． C． D．
二填空题：题4题题5分20分
13．曲线点处切线方程____________．
14．记Sn等数列{an}前n项．S5____________．
15．甲乙两队进行篮球决赛采取七场四胜制（队赢四场胜利时该队获胜决赛结束）．根前期赛成绩甲队客场安排次客客客．设甲队场取胜概率06客场取胜概率05场赛结果相互独立甲队4∶1获胜概率____________．
16．已知双曲线C：左右焦点分F1F2F1直线C两条渐线分交AB两点．C离心率____________．
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17~21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．(12分)
角ABC边分abc设．
（1）求A
（2）求sinC．
18．（12分）
图直四棱柱ABCD–A1B1C1D1底面菱形AA14AB2∠BAD60°EMN分BCBB1A1D中点．
（1）证明：MN∥面C1DE
（2）求二面角AMA1N正弦值．
19．（12分）
已知抛物线C：y23x焦点F斜率直线lC交点ABx轴交点P．
（1）|AF|+|BF|4求l方程
（2）求|AB|．
20．（12分）
已知函数导数．证明：
（1）区间存唯极值点
（2）仅2零点．
21．（12分）
治疗某种疾病研制甲乙两种新药希知道种新药更效进行动物试验．试验方案：轮选取两白鼠药效进行试验．两白鼠机选施甲药施乙药．轮治疗结果出安排轮试验．中种药治愈白鼠种药治愈白鼠4时停止试验认治愈数药更效．方便描述问题约定：轮试验施甲药白鼠治愈施乙药白鼠未治愈甲药1分乙药分施乙药白鼠治愈施甲药白鼠未治愈乙药1分甲药分治愈未治愈两种药均0分．甲乙两种药治愈率分记αβ轮试验中甲药分记X．
（1）求分布列
（2）甲药乙药试验开始时赋予4分表示甲药累计分时终认甲药乙药更效概率中．假设．
(i)证明：等数列
(ii)求根值解释种试验方案合理性．
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修4—4：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系xOy中曲线C参数方程（t参数）．坐标原点O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系直线l极坐标方程．
（1）求Cl直角坐标方程
（2）求C点l距离值．
23．[选修4—5：等式选讲]（10分）
已知abc正数满足abc1．证明：
（1）
（2）．
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理科数学•参考答案
选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D
二填空题
13．y3x 14． 15．018 16．2
三解答题
17．解：（1）已知正弦定理．
余弦定理．
．
（2）（1）知题设正弦定理
．
．
18．解：（1）连结B1CME．
ME分BB1BC中点
ME∥B1CMEB1C．
NA1D中点NDA1D．
题设知A1B1DCB1CA1DMEND
四边形MNDE行四边形MN∥ED．
MN面EDC1MN∥面C1DE．
（2）已知DE⊥DA．
D坐标原点方x轴正方建立图示空间直角坐标系Dxyz
A1(204)．
设面A1MA法量
取．
设面A1MN法量
取．
二面角正弦值．
19．解：设直线．
（1）题设题设．
．
．
方程．
（2）．
．
．．
代入方程．
．
20．解：（1）设
时单调递减唯零点
设
时时
单调递增单调递减存唯极值点存唯极值点
（2）定义域
（i）时（1）知单调递增时单调递减唯零点
（ii）时（1）知单调递增单调递减存时时单调递增单调递减
时 没零点
（iii）时单调递减唯零点
（iv）时<0没零点
综仅2零点
21．解：X取值
分布列
（2）（i）（1）
公4首项等数列．
（ii）（i）
表示终认甲药更效概率计算结果出甲药治愈率05乙药治愈率08时认甲药更效概率时出错误结概率非常说明种试验方案合理
22．解：（1）C直角坐标方程
直角坐标方程
（2）（1）设C参数方程（参数）
C点距离
时取值7C点距离值
23．解：（1）
（2）正数
24
绝密★启前
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理科数学
试卷5页考试结束试卷答题卡交回
注意事项：
1．答题前考生先姓名准考证号码填写清楚条形码准确粘贴考生信息条形码粘贴区
2．选择题必须2B铅笔填涂非选择题必须05毫米黑色字迹签字笔书写字体工整笔迹清楚
3．请题号序答题卡题目答题区域作答超出答题区域书写答案效草稿纸试卷答题效
4．作图先铅笔画出确定必须黑色字迹签字笔描黑
5．保持卡面清洁折叠弄破弄皱准涂改液修正带刮纸刀
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1．设集合A{x|x25x+6>0}B{ x|x1<0}A∩B
A．(∞1) B．(21)
C．(31) D．(3+∞)
2．设z3+2i复面应点位
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知(23)(3t)1
A．3 B．2
C．2 D．3
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现类历史首次月球背面软着陆国航天事业取重成实现月球背面软着陆需解决关键技术问题面探测器通讯联系．解决问题发射嫦娥四号中继星鹊桥鹊桥着围绕月拉格朗日点轨道运行．点衡点位月连线延长线．设球质量M１月球质量M２月距离R点月球距离r根牛顿运动定律万引力定律r满足方程：
设值似计算中r似值
A． B．
C． D．
5．演讲赛9位评委分出某选手原始评分评定该选手成绩时9原始评分中掉1高分1低分7效评分7效评分9原始评分相变数字特征
A．中位数 B．均数
C．方差 D．极差
6．a>b
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
7．设αβ两面α∥β充条件
A．α数条直线β行 B．α两条相交直线β行
C．αβ行条直线 D．αβ垂直面
8．抛物线y22px(p>0)焦点椭圆焦点p
A．2 B．3
C．4 D．8
9．列函数中周期区间()单调递增
A．f(x)│cos 2x│ B．f(x)│sin 2x│
C．f(x)cos│x│ D．f(x) sin│x│
10．已知α∈(0)2sin 2αcos 2α+1sin α
A． B．
C． D．
11．设F双曲线C：右焦点坐标原点直径圆圆交PQ两点C离心率
A． B．
C．2 D．
12．设函数定义域R满足时意m取值范围
A． B．
C． D．
二填空题：题4题题5分20分．
13．国高铁发展迅速技术先进统计停某站高铁列车中10车次正点率09720车次正点率09810车次正点率099停该站高铁列车车次均正点率估计值__________
14．已知奇函数时__________
15．角边分面积__________
16．中国悠久金石文化印信金石文化代表印信形状长方体正方体圆柱体南北时期官员独孤信印信形状半正面体（图1）半正面体两种两种正边形围成面体半正面体体现数学称美图2棱数48半正面体顶点正方体表面正方体棱长1该半正面体________面棱长_________（题第空2分第二空3分）
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17～21题必考题试题考生必须作答．第2223选考题考生根求作答．
（）必考题：60分
17．（12分）
图长方体ABCD–A1B1C1D1底面ABCD正方形点E棱AA1BE⊥EC1
（1）证明：BE⊥面EB1C1
（2）AEA1E求二面角B–EC–C1正弦值
18．（12分）
11分制乒乓球赛赢球1分某局成1010球交换发球权先2分方获胜该局赛结束甲乙两位学进行单赛假设甲发球时甲分概率05乙发球时甲分概率04球结果相互独立某局双方1010甲先发球两X球该局赛结束
（1）求P（X2）
（2）求事件X4甲获胜概率
19．（12分）
已知数列{an}{bn}满足a11b10
（1）证明：{an+bn}等数列{an–bn}等差数列
（2）求{an}{bn}通项公式
20．（12分）
已知函数
（1）讨f(x)单调性证明f(x)仅两零点
（2）设x0f(x)零点证明曲线yln x 点A(x0ln x0)处切线曲线切线
21．（12分）
已知点A(−20)B(20)动点M(xy)满足直线AMBM斜率积−记M轨迹曲线C
（1）求C方程说明C什曲线
（2）坐标原点直线交CPQ两点点P第象限PE⊥x轴垂足E连结QE延长交C点G
（i）证明：直角三角形
（ii）求面积值
（二）选考题：10分．请考生第2223题中选题作答果做做第题计分．
22．[选修44：坐标系参数方程]（10分）
极坐标系中O极点点曲线直线l点垂直垂足P
（1）时求l极坐标方程
（2）MC运动P线段OM时求P点轨迹极坐标方程
23．[选修45：等式选讲]（10分）
已知
（1）时求等式解集
（2）时求取值范围
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理科数学·参考答案
1．A 2．C 3．C 4．D 5．A
6．C 7．B 8．D 9．A 10．B
11．A 12．B
13．098 14．–3
15．6 16．26
17．解：（1）已知面面
．
面．
（2）（1）知．题设知
．
坐标原点方x轴正方单位长建立图示空间直角坐标系Dxyz
C（010）B（110）（012）E（101）．
设面EBC法量n（xyx）
取n
设面法量m（xyz）
取m（110）．
．
二面角正弦值．
18．解：（1）X210：10两2球该局赛结束2球均甲分者均乙分．P（X2）05×04+（1–05）×（1–04）05．
（2）X4甲获胜10：10两4球该局赛结束4球分情况：前两球甲乙1分两球均甲分．
求概率
[05×（1–04）+（1–05）×04]×05×0401．
19．解：（1）题设．
a1+b1l首项1公等数列．
题设
．
a1–b1l首项1公差2等差数列．
（2）（1）知．
．
20．解：（1）f（x）定义域（01）（1+∞）单调递增．
f（e）
f（x）（1+∞）唯零点x1f（x1）0．
f（x）（01）唯零点．
综f（x）仅两零点．
（2）点B（–lnx0）曲线yex．
题设知
直线AB斜率．
曲线yex点处切线斜率曲线点处切线斜率
曲线点处切线曲线yex切线．
21．解：（1）题设化简C中心坐标原点焦点x轴椭圆含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ斜率k方程．
．
记．
直线斜率方程．
．①
设方程①解．
直线斜率．
直角三角形．
（ii）（i）
△PQG面积．
设tk+k>0t≥2仅k1时取等号．
[2+∞）单调递减t2k1时S取值值．
△PQG面积值．
22．解：（1）C时
已知
设lP意点中
检验点曲线
l极坐标方程
（2）设中
P线段OM取值范围
P点轨迹极坐标方程
23．解：（1）a1时
时时
等式解集
（2）
时
取值范围
绝密★启前
2019年普通高等学校招生全国统考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题四选项中项符合题目求
1．已知集合
A． B． C． D．
2．z
A． B． C． D．
3．西游记三国演义水浒传红楼梦中国古典文学瑰宝称中国古典说四名著某中学解校学生阅读四名著情况机调查100学生中阅读西游记红楼梦学生90位阅读红楼梦学生80位阅读西游记阅读红楼梦学生60位该校阅读西游记学生数该校学生总数值估计值
A．05 B．06 C．07 D．08
4．（1+2x2 ）（1+x）4展开式中x3系数
A．12 B．16 C．20 D．24
5．已知项均正数等数列{an}前4项15a53a3+4a1a3
A． 16 B． 8 C．4 D． 2
6．已知曲线点（1ae）处切线方程y2x+b
A． B．aeb1 C． D．
7．函数图象致
A． B．
C． D．
8．图点N正方形ABCD中心△ECD正三角形面ECD⊥面ABCDM线段ED中点
A．BMEN直线BMEN 相交直线
B．BM≠EN直线BMEN 相交直线
C．BMEN直线BMEN 异面直线
D．BM≠EN直线BMEN 异面直线
9．执行边程序框图果输入001输出值等
A B C D
10．双曲线C：1右焦点F点PC条渐进线O坐标原点△PFO面积
A． B． C． D．
11．设定义域R偶函数单调递减
A．（log3）＞（）＞（）
B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3）
D．（）＞（）＞（log3）
12．设函数sin（）(＞0)已知仅5零点述四结：
①（）仅3极值点
②（）仅2极值点
③（）单调递增
④取值范围[)
中正确结编号
A． ①④ B． ②③ C． ①②③ D． ①③④
二填空题：题4题题5分20分
13．已知ab单位量a·b0___________
14．记Sn等差数列{an}前n项___________
15．设椭圆C两焦点MC点第象限等腰三角形M坐标___________
16．学生工厂劳动实践利3D印技术制作模型图该模型长方体挖四棱锥O —EFGH体中O长方体中心EFGH分棱中点3D印原料密度09 gcm3考虑印损耗制作该模型需原料质量___________
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17~21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．（12分）
解甲乙两种离子鼠体残留程度进行试验：200鼠机分成AB两组组100中A组鼠服甲离子溶液B组鼠服乙离子溶液组鼠服溶液体积相摩尔浓度相．段时间某种科学方法测算出残留鼠体离子百分根试验数分直方图：
记C事件：乙离子残留体百分低55根直方图P（C）估计值070．
（1）求乙离子残留百分直方图中ab值
（2）分估计甲乙离子残留百分均值（组中数该组区间中点值代表）．
18．（12分）
△ABC角ABC边分abc已知．
（1）求B
（2）△ABC锐角三角形c1求△ABC面积取值范围．
19．（12分）
图1矩形ADEBRt△ABC菱形BFGC组成面图形中AB1BEBF2∠FBC60°ABBC折起BEBF重合连结DG图2
（1）证明：图2中ACGD四点面面ABC⊥面BCGE
（2）求图2中二面角BCGA
20．（12分）
已知函数
（1）讨单调性
（2）否存 区间值值1？存求出值存说明理
21．已知曲线C：yD直线y动点D作C两条切线切点分AB
（1）证明：直线AB定点：
（2）E(0)圆心圆直线AB相切切点线段AB中点求四边形ADBE面积
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修44：坐标系参数方程]（10分）
图极坐标系Ox中弧圆圆心分曲线弧曲线弧曲线弧
（1）分写出极坐标方程
（2）曲线构成点M求P极坐标
23．[选修45：等式选讲]（10分）
设
（1）求值
（2）成立证明：
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理科数学·参考答案
选择题
1．A 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D
二填空题
13． 14．4 15． 16．1188
三解答题
17．解：（1）已知070a+020+015a035．
b1–005–015–070010．
（2）甲离子残留百分均值估计值
2×015+3×020+4×030+5×020+6×010+7×005405．
乙离子残留百分均值估计值
3×005+4×010+5×015+6×035+7×020+8×015600．
18．解：（1）题设正弦定理．
sinA0．
．
B60°．
（2）题设（1）知△ABC面积．
正弦定理．
△ABC锐角三角形0°△ABC面积取值范围．
19．解：（1）已知ADBECGBEADCGADCG确定面ACGD四点面．
已知ABBEABBCAB面BCGE．
AB面ABC面ABC面BCGE．
（2）作EHBC垂足H．EH面BCGE面BCGE面ABCEH面ABC．
已知菱形BCGE边长2∠EBC60°求BH1EH．
H坐标原点方x轴正方建立图示空间直角坐标系H–xyz
A（–110）C（100）G（20）（10）（2–10）．
设面ACGD法量n（xyz）
取n（36–）．
面BCGE法量取m（010）．
二面角B–CG–A30°．
20 解：（1）．
令x0
a>0时时．单调递增单调递减
a0单调递增
a<0时时．单调递增单调递减
（2）满足题设条件ab存
（i）a≤0时（1）知[01]单调递增区间[0l]值值时ab满足题设条件仅a0．
（ii）a≥3时（1）知[01]单调递减区间[01]值值．时ab满足题设条件仅b1a4b1．
（iii）0b10a00综仅a0a4b1时[01]值–1值1．
21．解：（1）设
切线DA斜率
整理
设理
直线AB方程
直线AB定点
（2）（1）直线AB方程
设分点DE直线AB距离
四边形ADBE面积
设M线段AB中点
量行解t0
0时S3时
四边形ADBE面积3
22解：（1）题设弧圆极坐标方程分
极坐标方程极坐标方程极坐标方程
（2）设题设（1）知
解
解
解
综P极坐标
23．解：（1）
已知
仅xy–时等号成立．
值
（2）
已知
仅时等号成立．
值．
题设知解．
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理科数学
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名考生号等填写答题卡试卷指定位置
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．设
A． B． C． D．
2．已知集合
A． B．
C． D．
3．某区年新农村建设农村济收入增加倍实现翻番更解该区农村济收入变化情况统计该区新农村建设前农村济收入构成例饼图：
建设前济收入构成例 建设济收入构成例
面结中正确
A．新农村建设种植收入减少
B．新农村建设收入增加倍
C．新农村建设养殖收入增加倍
D．新农村建设养殖收入第三产业收入总超济收入半
4．设等差数列前项
A． B． C． D．
5．设函数奇函数曲线点处切线方程
A． B． C． D．
6．中边中线中点
A． B． C． D．
7．某圆柱高2底面周长16三视图图．圆柱表面点正视图应点圆柱表面点左视图应点圆柱侧面路径中短路径长度
A． B． C．3 D．2
8．设抛物线C：y24x焦点F点（–20）斜率直线C交MN两点
A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知函数．g（x）存2零点a取值范围
A．[–10） B．[0+∞） C．[–1+∞） D．[1+∞）
10．图古希腊数学家希波克拉底研究图形．图三半圆构成三半圆直径分直角三角形ABC斜边BC直角边ABAC．△ABC三边围成区域记I黑色部分记II余部分记III．整图形中机取点点取IIIIII概率分记p1p2p3
A．p1p2 B．p1p3
C．p2p3 D．p1p2+p3
11．已知双曲线C：O坐标原点FC右焦点F直线C两条渐线交点分MNOMN直角三角形|MN|
A． B．3 C． D．4
12．已知正方体棱长1条棱直线面α成角相等α截正方体截面面积值
A． B． C． D．
二填空题：题4题题5分20分
13．满足约束条件值_____________．
14．记数列前项_____________．
15．2位女生4位男生中选3参加科技赛少1位女生入选选法_____________种．（数字填写答案）
16．已知函数值_____________．
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17~21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．（12分）
面四边形中
（1）求
（2）求
18．（12分）
图四边形正方形分中点折痕折起点达点位置
（1）证明：面面
（2）求面成角正弦值
19．（12分）
设椭圆右焦点直线交两点点坐标
（1）轴垂直时求直线方程
（2）设坐标原点证明：
20．（12分）
某工厂某种产品成箱包装箱200件箱产品交付户前产品作检验检验出合格品更换合格品．检验时先箱产品中取20件作检验根检验结果决定否余产品作检验设件产品合格品概率件产品否合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰2件合格品概率求值点．
（2）现箱产品检验20件结果恰2件合格品（1）中确定作值．已知件产品检验费2元合格品进入户手中工厂件合格品支付25元赔偿费．
（i）该箱余产品作检验箱产品检验费赔偿费记求
（ii）检验费赔偿费期值决策否该箱余产品作检验？
21．（12分）
已知函数．
（1）讨单调性
（2）存两极值点证明：．
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修4–4：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系中曲线方程坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程
（1）求直角坐标方程
（2）仅三公点求方程
23．[选修4–5：等式选讲]（10分）
已知
（1）时求等式解集
（2）时等式成立求取值范围
2018年普通高等学校招生全国统考试
理科数学参考答案：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
A
B
D
A
B
D
C
A
B
A
136 14 1516 16
17（12分）
解：（1）中正弦定理
题设知
题设知
（2）题设（1）知
中余弦定理
18（12分）
解：（1）已知BF⊥PFBF⊥EFBF⊥面PEF
面ABFD面PEF⊥面ABFD
（2）作PH⊥EF垂足H（1）PH⊥面ABFD
H坐标原点方y轴正方单位长建立图示空间直角坐标系H−xyz
（1）DE⊥PEDP2DE1PEPF1EF2PE⊥PF
面ABFD法量
设DP面ABFD成角
DP面ABFD成角正弦值
19（12分）
解：（1）已知l方程x1
已知点A坐标
AM方程
（2）lx轴重合时
lx轴垂直时OMAB垂直分线
lx轴重合垂直时设l方程
直线MAMB斜率
代入
MAMB倾斜角互补
综
20（12分）
解：（1）20件产品中恰2件合格品概率
令时时
值点
（2）（1）知
（i）令表示余180件产品中合格品件数题意知
（ii）果余产品作检验箱产品需检验费400元
应该余产品作检验
21（12分）
解（1）定义域
（i）仅时单调递减
（ii）令
时
时单调递减单调递增
（2）（1）知存两极值点仅
两极值点满足妨设
等价
设函数（1）知单调递减时
22．[选修44：坐标系参数方程]（10分）
解析（1）直角坐标方程．
（2）（1）知圆心半径圆．
题设知点关轴称两条射线．记轴右边射线轴左边射线．圆外面仅三公点等价公点两公点公点两公点．
公点时直线距离．
检验时没公点时公点两公点．
公点时直线距离．
检验时没公点时没公点．
综求方程．
23．[选修45：等式选讲]（10分）
解析（1）时
等式解集．
（2）时成立等价时成立．
时
解集．
综取值范围．
绝密★启前
2018年普通高等学校招生全国统考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡
2．作答时答案写答题卡写试卷草稿纸效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．
A． B． C． D．
2．已知集合中元素数
A．9 B．8 C．5 D．4
3．函数图致
4．已知量满足
A．4 B．3 C．2 D．0
5．双曲线离心率渐线方程
A． B． C． D．
6．中
A． B． C． D．
7．计算设计右侧程序框图空白框中应填入
A．
B．
C．
D．
8．国数学家陈景润哥德巴赫猜想研究中取世界领先成果．哥德巴赫猜想2偶数表示两素数．超30素数中机选取两数等30概率
A． B． C． D．
9．长方体中异面直线成角余弦值
A． B． C． D．
10．减函数值
A． B． C． D．
11．已知定义域奇函数满足．
A． B．0 C．2 D．50
12．已知椭圆左右焦点左顶点点斜率
直线等腰三角形离心率
A． B． C． D．
二填空题：题4题题5分20分
13．曲线点处切线方程__________．
14．满足约束条件 值__________．
15．已知__________．
16．已知圆锥顶点母线成角余弦值圆锥底面成角45°面积该圆锥侧面积__________．
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17～21题必考题试题考生必须作答第2223选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．（12分）
记等差数列前项已知．
（1）求通项公式
（2）求求值．
18．（12分）
图某区2000年2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）折线图．
预测该区2018年环境基础设施投资额建立时间变量两线性回模型．根2000年2016年数（时间变量值次）建立模型①：根2010年2016年数（时间变量值次）建立模型②：．
（1）分利两模型求该区2018年环境基础设施投资额预测值
（2）认模型预测值更？说明理．
19．（12分）
设抛物线焦点斜率直线交两点．
（1）求方程
（2）求点准线相切圆方程．
20．（12分）
图三棱锥中中点．
（1）证明：面
（2）点棱二面角求面成角正弦值．
21．（12分）
已知函数．
（1）证明：时
（2）零点求．
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修4－4：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系中曲线参数方程（参数）直线参数方程
（参数）．
（1）求直角坐标方程
（2）曲线截直线线段中点坐标求斜率．
23．[选修4－5：等式选讲]（10分）
设函数．
（1）时求等式解集
（2）求取值范围．
参考答案
选择题
1D 2A 3B 4B 5A 6A
7B 8C 9C 10A 11C 12D
二填空题
13 149 15 16
三解答题
17 (12分)
解：（1）设公差d题意
d2
通项公式
（2）（1）
n4时取值值−16
18(12分)
解：（1）利模型①该区2018年环境基础设施投资额预测值
(亿元)
利模型②该区2018年环境基础设施投资额预测值
(亿元)
（2）利模型②预测值更
理：
（ⅰ）折线图出2000年2016年数应点没机散布直线说明利2000年2016年数建立线性模型①描述环境基础设施投资额变化趋势2010年相2009年环境基础设施投资额明显增加2010年2016年数应点位条直线附说明2010年开始环境基础设施投资额变化规律呈线性增长趋势利2010年2016年数建立线性模型较描述2010年环境基础设施投资额变化趋势利模型②预测值更
（ⅱ）计算结果相2016年环境基础设施投资额220亿元模型①预测值2261亿元增幅明显偏低利模型②预测值增幅较合理说明利模型②预测值更
出2种理考生答出中意种合理理均分
19(12分)
解：（1）题意l方程
设
题设知解（舍）
l方程
（2）（1）AB中点坐标AB垂直分线方程
设求圆圆心坐标
解
求圆方程
20(12分)
解：（1）中点
连结等腰直角三角形
知
知面
（2）图坐标原点方轴正方建立空间直角坐标系
已知取面法量
设
设面法量
取
已知
解（舍）
面成角正弦值
21．（12分）
解析（1）时等价．
设函数．
时单调递减．
时．
（2）设函数．
零点仅零点．
（i）时没零点
（ii）时．
时时．
单调递减单调递增．
值．
①没零点
②零点
③零点
（1）知时．
零点两零点．
综零点时．
22．[选修44：坐标系参数方程]（10分）
解析（1）曲线直角坐标方程．
时直角坐标方程
时直角坐标方程．
（2）参数方程代入直角坐标方程整理关方程
．①
曲线截直线线段中点①两解设．
①直线斜率．
23．[选修45：等式选讲]（10分）
解析（1）时
解集．
（2）等价．
时等号成立．等价．
取值范围．
2018年普通高等学校招生全国统考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3．考试结束试卷答案卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．已知集合
A． B． C． D．
2．
A． B． C． D．
3．中国古建筑助榫卯木构件连接起构件凸出部分棒头凹进部分卯眼图中木构件右边长方体棒头．图摆放木构件某带卯眼木构件咬合成长方体咬合时带卯眼木构件俯视图
4．
A． B． C． D．
5．展开式中系数
A．10 B．20 C．40 D．80
6．直线分轴轴交两点点圆面积取值范围
A． B． C． D．
7．函数图致
8．某群体中位成品移动支付概率成员支付方式相互独立设该群体10位成员中移动支付数
A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3
9．角边分面积
A． B． C． D．
10．设半径4球球面四点等边三角形面积三棱锥体积值
A． B． C． D．
11．设双曲线（）左右焦点坐标原点．作条渐线垂线垂足．离心率
A． B．2 C． D．
12．设
A． B．
C． D．
二填空题：题4题题5分20分
13．已知量．________．
14．曲线点处切线斜率________．
15．函数零点数________．
16．已知点抛物线焦点斜率直线交两点．________．
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17～21题必考题试题考生必须作答第2223选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．（12分）
等数列中．
（1）求通项公式
（2）记前项．求．
18．（12分）
某工厂提高生产效率开展技术创新活动提出完成某项生产务两种新生产方式．较两种生产方式效率选取40名工机分成两组组20第组工第种生产方式第二组工第二种生产方式．根工完成生产务工作时间（单位：min）绘制茎叶图：
（1）根茎叶图判断种生产方式效率更高？说明理
（2）求40名工完成生产务需时间中位数完成生产务需时间超超工数填入面列联表：
超
超
第种生产方式
第二种生产方式
（3）根（2）中列表否99握认两种生产方式效率差异？
附：．
19．（12分）
图边长2正方形面半圆弧面垂直异点．
（1）证明：面面
（2）三棱锥体积时求面面成二面角正弦值．
20．（12分）
已知斜率直线椭圆交两点．线段中点．
（1）证明：
（2）设右焦点点．证明：成等差数列求该数列公差．
21．（12分）
已知函数．
（1）证明：时时
（2）极值点求．
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修4—4：坐标系参数方程]（10分）
面直角坐标系中参数方程（参数）点倾斜角直线交两点．
（1）求取值范围
（2）求中点轨迹参数方程．
23．[选修4—5：等式选讲]（10分）
设函数．
（1）画出图
（2） 求值．
绝密★启前
2018年普通高等学校招生全国统考试
理科数学试题参考答案
选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
A
B
C
A
D
B
C
B
C
B
二填空题
13．14．15．16．2
17．解：
（1）设公题设．
已知解（舍）．
．
（2）．方程没正整数解．
．解．
综．
18．解：
（1）第二种生产方式效率更高．
理：
（i）茎叶图知：第种生产方式工中75工完成生产务需时间少80分钟第二种生产方式工中75工完成生产务需时间79分钟．第二种生产方式效率更高．
（ii）茎叶图知：第种生产方式工完成生产务需时间中位数85．5分钟第二种生产方式工完成生产务需时间中位数73．5分钟．第二种生产方式效率更高．
（iii）茎叶图知：第种生产方式工完成生产务均需时间高80分钟第二种生产方式工完成生产务均需时间低80分钟第二种生产方式效率更高．
（iv）茎叶图知：第种生产方式工完成生产务需时间分布茎8关茎8致呈称分布第二种生产方式工完成生产务需时间分布茎7关茎7致呈称分布两种生产方式工完成生产务需时间分布区间相认第二种生产方式完成生产务需时间第种生产方式完成生产务需时间更少第二种生产方式效率更高．
出4种理考生答出中意种合理理均分．
（2）茎叶图知．
列联表：
超
超
第种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
（3）99握认两种生产方式效率差异．
19．解：
（1）题设知面CMD⊥面ABCD交线CD．BC⊥CDBC面ABCDBC⊥面CMDBC⊥DM．
M异CD点DC直径 DM⊥CM．
BCCMCDM⊥面BMC．
DM面AMD面AMD⊥面BMC．
（2）D坐标原点方x轴正方建立图示空间直角坐标系D−xyz．
三棱锥M−ABC体积时M中点．
题设
设面MAB法量
取．
面MCD法量
面MAB面MCD成二面角正弦值．
20．解：
（1）设．
两式相减
．
题设知
．①
题设．
（2）题意设
．
（1）题设．
点PC．
．
理．
．
成等差数列．
设该数列公差d
．②
代入①．
l方程代入C方程整理．
代入②解．
该数列公差．
21．解：
（1）时．
设函数．
时时．时仅时仅时．
单调递增．
时时．
（2）（i）（1）知时极值点矛盾．
（ii）设函数．
时符号相．
极值点仅极值点．
．
果时极值点．
果存根时极值点．
果．时时．极值点极值点
综．
22．解：
（1）直角坐标方程．
时交两点．
时记方程．交两点仅解．
综取值范围．
（2）参数方程参数．
设应参数分满足．
．点坐标满足
点轨迹参数方程参数．
23．解：
（1）图图示．
（2）（1）知图轴交点坐标部分直线斜率值仅时成立值．
2017年普通高等学校招生全国统考试 全国卷理科数学
2017年普通高等学校招生全国统考试 全国卷二理科数学
2017年普通高等学校招生全国统考试 全国卷三理科数学
绝密★启前
2017年普通高等学校招生全国统考试 全国卷
理科数学
注意事项：1．答卷前考生务必姓名考生号考场号座位号填写答题卡2B铅笔试卷类型（B）填涂答题卡相应位置条形码横贴答题卡右角条形码粘贴处
2．作答选择题时选出题答案2B铅笔答题卡应题目选项答案信息点涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答案答试卷
3．非选择题必须黑色字迹钢笔签字笔作答答案必须写答题卡题目指定区域相应位置需改动先划掉原答案然写新答案准铅笔涂改液求作答效
4．考生必须保证答题卡整洁考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．已知集合A{x|x<1}B{x|}( )
A． B． C． D．
2．图正方形ABCD图形中国古代太极图正方形切圆中黑色部分白色部分关正方形中心成中心称正方形机取点点取黑色部分概率( )
A． B． C． D．
3．设面四命题
：复数满足 ：复数满足
：复数满足 ：复数
中真命题( )
A． B． C． D．
4．记等差数列前项．公差( )
A．1 B．2 C．4 D．8
5．函数单调递减奇函数．满足取值范围
A． B． C． D．
6．展开式中系数( )
A．15 B．20 C．30 D．35
7．某面体三视图图示中正视图左视图正方形等腰直角三角形组成正方形边长2俯视图等腰直角三角形该面体面中干梯形梯形面积( )
A．10 B．12 C．14 D．16
8．右面程序框图求出满足3n−2n>1000偶数n两空白框中分填入
A．A>1 000nn+1 B．A>1 000nn+2 C．A1 000nn+1 D．A1 000nn+2
9．已知曲线C1：ycos xC2：ysin (2x+)面结正确( )
A．C1点横坐标伸长原2倍坐标变曲线右移单位长度曲线C2
B．C1点横坐标伸长原2倍坐标变曲线左移单位长度曲线C2
C．C1点横坐标缩短原倍坐标变曲线右移单位长度曲线C2
D．C1点横坐标缩短原倍坐标变曲线左移单位长度曲线C2
10．已知F抛物线C：y24x焦点F作两条互相垂直直线l1l2直线l1C交AB两点直线l2C交DE两点|AB|+|DE|值( )
A．16 B．14 C．12 D．10
11．设xyz正数( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
12．位学生响应国家创业号召开发款应软件激发家学数学兴趣推出解数学题获取软件激活码活动款软件激活码面数学问题答案：已知数列1121241248124816…中第项20接两项2021接三项202122类推求满足条件整数N：N>100该数列前N项2整数幂该款软件激活码( )
A．440 B．330 C．220 D．110
二填空题：题4题题5分20分
13．已知量ab夹角60°|a|2|b|1| a +2 b | _______
14．设xy满足约束条件值_________
15．已知双曲线C：（a>0b>0）右顶点AA圆心b半径做圆A圆A双曲线C条渐线交MN两点∠MAN60°C离心率________
16．图圆形纸片圆心O半径5 cm该纸片等边三角形ABC中心ODEF圆O点△DBC△ECA△FAB分BCCAAB底边等腰三角形虚线剪开分BCCAAB折痕折起△DBC△ECA△FABDEF重合三棱锥△ABC边长变化时三棱锥体积（单位：cm3）值_______
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17~21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．（12分）△ABC角ABC边分abc已知△ABC面积
（1）求sinBsinC
（2）6cosBcosC1a3求△ABC周长
18（12分）图四棱锥PABCD中ABCD
（1）证明：面PAB⊥面PAD
（2）PAPDABDC求二面角APBC余弦值
19．（12分）
监控某种零件条生产线生产程检验员天该生产线机抽取16零件测量尺寸（单位：cm）．根长期生产验认条生产线正常状态生产零件尺寸服正态分布．
（1）假设生产状态正常记X表示天抽取16零件中尺寸外零件数求数学期
（2）天抽检零件中果出现尺寸外零件认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查．
（ⅰ）试说明述监控生产程方法合理性（ⅱ）面检验员天抽取16零件尺寸：
995
1012
996
996
1001
992
998
1004
1026
991
1013
1002
922
1004
1005
995
计算中抽取第零件尺寸．
样均数作估计值样标准差作估计值利估计值判断否需天生产程进行检查？剔外数剩数估计（精确001）．
附：机变量服正态分布
．
20（12分）已知椭圆C：（a>b>0）四点P1（11）P2（01）P3（–1）P4（1）中恰三点椭圆C
（1）求C方程
（2）设直线lP2点C相交AB两点直线P2A直线P2B斜率–1证明：l定点
21（12分）已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x
（1）讨单调性
（2）两零点求a取值范围
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修4―4：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系xOy中曲线C参数方程（θ参数）直线l参数方程
（1）a−1求Cl交点坐标
（2）C点l距离值求a
23．[选修4—5：等式选讲]（10分）
已知函数f（x）–x2+ax+4g(x)│x+1│+│x–1│
（1）a1时求等式f（x）≥g（x）解集
（2）等式f（x）≥g（x）解集包含[–11]求a取值范围
2017年普通高等学校招生全国统考试
理科数学参考答案
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1 A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C
7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A
二填空题：题4题题5分20分
13． 14．5 15． 16．
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17~21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．（12分）△ABC角ABC边分abc已知△ABC面积
（1）求sinBsinC
（2）6cosBcosC1a3求△ABC周长
解：（1）
题意
化简
根正弦定理化简：
（2）
代入中：
化简
利正弦定理
理
三角形周长
18（12分）
图四棱锥PABCD中ABCD
（1）证明：面PAB⊥面PAD
（2）PAPDABDC求二面角APBC余弦值
（1）证明：
PAPD面PAD
AB面PAB面PAB⊥面PAD
（2）解：
妨设
AD中点O原点OAx轴OPz轴建立面直角坐标系
点坐标：
假设面法量面法量
理
法量夹角余弦值：
明显钝角余弦
19．（12分）
监控某种零件条生产线生产程检验员天该生产线机抽取16零件测量尺寸（单位：cm）．根长期生产验认条生产线正常状态生产零件尺寸服正态分布．
（1）假设生产状态正常记X表示天抽取16零件中尺寸外零件数求数学期
（2）天抽检零件中果出现尺寸外零件认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查．
（ⅰ）试说明述监控生产程方法合理性
（ⅱ）面检验员天抽取16零件尺寸：
995
1012
996
996
1001
992
998
1004
1026
991
1013
1002
922
1004
1005
995
计算中抽取第零件尺寸．
样均数作估计值样标准差作估计值利估计值判断否需天生产程进行检查？剔外数剩数估计（精确001）．
附：机变量服正态分布
．
解：（1）
题意X满足二项分布
（2）
（1）属概率事件
果出现零件需进行检查
题意
范围外存922数需进行检查
时：
20（12分）
已知椭圆C：（a>b>0）四点P1（11）P2（01）P3（–1）P4（1）中恰三点椭圆C
（1）求C方程
（2）设直线lP2点C相交AB两点直线P2A直线P2B斜率–1证明：l定点
解：（1）
根椭圆称性P1（11）P4（1）时椭圆
P3（–1）P4（1）定时椭圆
椭圆P2（01）P3（–1）P4（1）
代入椭圆方程：
椭圆标准方程：
（2）题意直线P2A直线P2B斜率定存
妨设直线P2A：P2B：
联立
假设时：
时求直线斜率：
化简时满足
时AB两点重合合题意
时直线方程：
时直线恒定点
21（12分）
已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x
（1）讨单调性
（2）两零点求a取值范围
解：
（1）函数进行求导
时恒成立函数恒递减
时函数单调递减单调递增
（2）函数两零点时函数极值
函数两零点极值0
令
函数进行求导函数恒递增
函数两零点范围
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修4―4：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系xOy中曲线C参数方程（θ参数）直线l参数方程
（1）a−1求Cl交点坐标
（2）C点l距离值求a
解：
曲线C 参数方程化直角方程直线化直角方程
（1）时代入直线联立曲线方程：
解交点
（2）点直线距离
：
化简
根辅助角公式
解者
23．[选修4—5：等式选讲]（10分）
已知函数f（x）–x2+ax+4g(x)│x+1│+│x–1│
（1）a1时求等式f（x）≥g（x）解集
（2）等式f（x）≥g（x）解集包含[–11]求a取值范围
解：
函数化简
（1） 时作出函数图范围FG点中间
联立点解集
（2） 恒成立恒成立
根图：函数必须间
理科数学 2017年高三2017年全国甲卷理科数学
理科数学
考试时间：____分钟
题型
单选题
填空题
简答题
总分
分
单选题 （题12题题____分____分）
1．( )
A
B
C
D
2．设集合．( )
A
B
C
D
3．国古代数学名著算法统宗中问题：远巍巍塔七层红光点点倍加增灯三百八十请问尖头灯？意思：座7层塔挂381盏灯相邻两层中层灯数层灯数2倍塔顶层灯( )
A 1盏
B 3盏
C 5盏
D 9盏
4．图网格纸正方形边长1粗实线画出某体三视图该体面圆柱截部分该体体积( )
A
B
C
D
5．设满足约束条件值( )
A
B
C
D
6．安排3名志愿者完成4项工作少完成1项项工作1完成安排方式( )
A 12种
B 18种
C 24种
D 36种
7．甲乙丙丁四位学起老师询问成语竞赛成绩．老师说：四中2位优秀2位良现甲乙丙成绩乙丙成绩丁甲成绩．甲家说：知道成绩．根信息( )
A 乙知道四成绩
B 丁知道四成绩
C 乙丁知道方成绩
D 乙丁知道成绩
8．执行右面程序框图果输入输出( )
A 2
B 3
C 4
D 5
9．双曲线（）条渐线圆截弦长2离心率( )
A 2
B
C
D
10．已知直三棱柱中异面直线成角余弦值( )
A
B
C
D
11．函数极值点极值( )
A
B
C
D 1
12．已知边长2等边三角形面点( )
A
B
C
D
填空题 （题4题题____分____分）
13．批产品二等品率批产品中次机取件放回抽取次表示抽二等品件数____________．
14．函数值____________．
15．等差数列前项____________．
16．已知抛物线焦点点延长线交轴点．中点____________．
简答题（综合题） （题7题题____分____分）
17．（12分）
角边分已知．
（1）求
（2）面积求．
18．（12分）
海水养殖场进行某水产品新旧网箱养殖方法产量收获时机抽取100 网箱测量箱水产品产量（单位：kg）．频率分布直方图：
（1）设两种养殖方法箱产量相互独立记A表示事件：旧养殖法箱产量低50kg新养殖法箱产量低50kg估计A概率
（2）填写面列联表根列联表判断否99握认箱产量养殖方法关：
（3）根箱产量频率分布直方图求新养殖法箱产量中位数估计值（精确001）．
附：
19．（12分）
图四棱锥PABCD中侧面PAD等边三角形垂直底面ABCD EPD中点．
（1）证明：直线面PAB
（2）点M棱PC 直线BM底面ABCD成角求二面角余弦值．
20．（12分）设O坐标原点动点M椭圆C：M作x轴垂线垂足N点P满足．
（1）求点P轨迹方程
（2）设点Q直线．证明：点P垂直OQ直线lC左焦点F．
21．（12分）
已知函数．
（1）求
（2）证明：存唯极值点．
．
22．选考题：10分．请考生第2223题中选题作答．果做做第题计分．
[选修4―4：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系中坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程．
（1）M曲线动点点P线段OM满足求点P轨迹直角坐标方程
（2）设点A极坐标点B曲线求面积值．
23．选考题：10分．请考生第2223题中选题作答．果做做第题计分．
[选修4—5：等式选讲]（10分）
已知．证明：
（1）
（2）．
答案
单选题
1 D 2 C 3 B 4 B 5 A 6 D 7 D 8 B 9 A 10 C 11 A 12 B
填空题
13
14
1
15
16
6
简答题
17
（1） （2）
18
（1） （2）见解析 （3）
19
（1）见解析 （2）
20
（1）（2）见解析
21
（1）（2）见解析
22
（1）．（2）
23
（1）见解析（2）见解析
解析
单选题
1
复数法运算法：选D
2
方程根选C．
3
设塔顶层灯盏层灯数构成首项公2等数列结合等数列求公式：解塔顶层灯3盏选B．
4
题意体积体积该组合体体积．选B．
5
绘制等式组表示行域结合目标函数意义函数点处取值值．选A
6
题意完成两项工作余两完成项工作工作分成三份：种方法然进行全排列法原理安排方式种． 选D．
7
四知老师说甲说话．甲知成绩→乙丙中必优良（两优甲会知道成绩两良然）→乙丙成绩知成绩→丁甲甲丁中优良丁知成绩．
8
阅读程序框图初始化数值．
循环结果执行：
第次：
第二次：
第三次：
第四次：
第五次：
第六次：
结束循环输出．选B．
9
取渐线化成般式圆心直线距离
．
10
图示补成直四棱柱
求角
易选C．
11
令
时
时
极值．
12
图轴垂直分线轴坐标原点建立面直角坐标系设
时求值选B．
填空题
13
题意抽二等品件数符合二项分布二项分布期公式．
14
化简三角函数解析式
时函数取值1．
15
设首项公差．
求
16
图示妨设点M位第象限设抛物线准线轴交点作点点抛物线解析式准线方程直角梯形中中位线抛物线定义：结合题意．
简答题
17
（1）题：．
∵
∴
∴
∴
（2）⑴知．
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴．
18
（1）记：旧养殖法箱产量低 事件
新养殖法箱产量低事件
（2）
计算观测值
∵
∴
∴握产量养殖方法关．
（3）
∴中位数．
19
（1）令中点连结．
∵中点∴中位线∴．
∵∴．
∵∴∴．
∴四边形行四边形∴．
∵∴
（2）取中点连正三角形
∴
∵面面面面
∴面连四边形正方形
∵面∴面面
面面
作垂足∴面
∴面成角
∴
中∴
设
∴∴
中∴
∴
坐标原点分轴建立空间直角坐标系
设面法量∴
∴面法量
设二面角角（锐角）
∴
20
（1）设设．
．
C．
点P轨迹方程．
（2）题意知．设
．
（1）知
．
点P存唯直线垂直OQ点P垂直OQ直线C左焦点F．
21
（1）定义域
设等价
a10＜x＜1时单调递减x＞1时＞0单调递增x1极值点
综
⑵ ．
令．
令
时单调递减时单调递增．
．
零点．
设零点分单调减
时单调增时单调减．极值点．
单调增时单调减时单调增极值点．
唯极值点．
前面证明知．
．
．
22
⑴设
．
解化直角坐标系方程．
（2）设点B极坐标题设知
△OAB面积
时S取值
△OAB面积值
23
（1）
（2）
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2017年普通高等学校招生全国统考试（全国卷3）
理科数学
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．已知集合中元素数
A．3 B．2 C．1 D．0
2．设复数满足
A． B． C． D．2
3．某城市解游客数变化规律提高旅游服务质量收集整理2014年1月2016年12月期间月接游客量（单位：万）数绘制面折线图．
根该折线图列结错误
A．月接游客量逐月增加
B．年接游客量逐年增加
C．年月接游客量高峰期致78月
D．年1月6月月接游客量相7月12月波动性更变化较稳
4．展开式中系数（）
A．80 B．40 C．40 D．80
5．已知双曲线条渐线方程椭圆公焦点．方程（）
A． B． C． D．
6．设函数列结错误（）
A．周期 B．图关直线称
C．零点 D．单调递减
7．执行右图程序框图输出值91输入正整数值
A．5
B．4
C．3
D．2
8．已知圆柱高1两底面圆周直径2球球面该圆柱体积（）
A． B．
C． D．
9．等差数列首项1公差0．成等数列前6项
A．24 B．3 C．3 D．8
10．已知椭圆（）左右顶点分线段直径圆直线相切离心率（）
A． B． C． D．
11．已知函数唯零点（）
A． B． C． D．1
12．矩形中动点点圆心相切圆．值
A．3 B． C． D．2
二填空题：（题4题题5分20分）
13．满足约束条件值________．
14．设等数列满足________．
15．设函数满足取值范围________．
16．空间中两条互相垂直直线等腰直角三角形直角边直线垂直斜边直线旋转轴旋转列结：
①直线成角时成角
②直线成角时成角
③直线成角值
④直线成角值．
中正确________（填写正确结编号）
三解答题：（70分．第1720题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答）
（）必考题：60分．
17．（12分）
角边分已知
（1）求
（2）设边点求面积．
18．（12分）某超市计划月订购种酸奶天进货量相进货成瓶4元售价瓶6元未售出酸奶降价处理瓶2元价格天全部处理完．根年销售验天需求量天高气温（单位：℃）关．果高气温低25需求量500瓶果高气温位区间需求量300瓶果高气温低20需求量200瓶确定六月份订购计划统计前三年六月份天高气温数面频数分布表：
高气温
天数
2
16
36
25
7
4
高气温位区间频率代高气温位该区间概率．
（1）求六月份种酸奶天需求量（单位：瓶）分布列
（2）设六月份天销售种酸奶利润（单位：元）．六月份种酸奶天进货量（单位：瓶）少时数学期达值？
19．（12分）图四面体中正三角形直角三角形．．
（1）证明：面面
（2）面交点面四面体分成体积相等两部分．求二面角余弦值．
20．（12分）已知抛物线点（20）直线交两点圆线段直径圆．
（1）证明：坐标原点圆
（2）设圆点（4）求直线圆方程．
21．（12分）已知函数．
（1）求值
（2）设整数意正整数求值．
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修44：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系中直线参数方程（参数）直线参数方程（参数）设交点变化时轨迹曲线．
（1）写出普通方程：
（2）坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系设：交点求极径．
23．[选修45：等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）求等式解集
（2）等式解集非空求取值范围．
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2017年普通高等学校招生全国统考试（全国3）
理科数学参考答案
选择题
1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D
7．D 8．B 9．A 10．A 11．C 12．A
二填空题
13． 14． 15． 16．②③
三解答题
17．解：
（1）已知
中余弦定理
解（舍）
（2）题设
面积面积值
面积面积
18．解：
（1）题意知取值200300500表格数知
分布列：
200
300
500
02
04
04
（2）题意知种酸奶天需求量500少200需考虑200500
时
高气温低25
高气温位区间[2025）
高气温低20
时
高气温低20
高气温低20
时数学期达值值520元
19．解：
（1）题设
直角三角形
取中点连结
正三角形
二面角面角
中
面面
（2）题设（1）知两两垂直坐标原点方轴正方单位长建立图示空间直角坐标系
题设知四面体体积四面体体积面距离面距离中点
设面法量理取
二面角余弦值
20．解：
（1）设
斜率斜率积
坐标原点圆
（2）（1）
圆心坐标圆半径
圆点
（1）
解
时直线方程圆心坐标圆半径圆方程
时直线方程圆心坐标圆半径圆方程
21．解：
（1）定义域
① 满足题意
② 知时时单调递减单调递增唯值点
仅时
（2）（1）知时
令
值3
22．解：
（1）消参数普通方程消参数普通方程
设题设消
普通方程
（2）极坐标方程
联立
代入交点极径
23．解：
（1）
时解
时解
时解
解集
（2）
时
取值范围
2016年普通高等学校招生全统考试理科数学卷
2016年普通高等学校招生全统考试理科数学卷二
2016年普通高等学校招生全统考试理科数学卷三
2016年普通高等学校招生全统考试
理科数学
第Ⅰ卷
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
（1） 设集合
（A）（） （B）（） （C）（） （D）（）
（2） 设中实数
（A）1 （B） （C） （D）2
（3） 已知等差数列前9项27
（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
（4） 某公司班车730800830发车明750830间达发车站坐班车达发车站时刻机等车时间超10分钟概率
（A） （B） （C） （D）
（5） 已知方程表示双曲线该双曲线两焦点间距离4取值范围 （A）（） （B）（） （C）（） （D）（）
（6） 图某体三视图三半径相等圆圆中两条互相垂直半径．该体体积表面积
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
（7） 函数图象致
（A） （B） （C） （D）
否
输入
输出
开始
结束
（8）
（A） （B）
（C） （D）
（9） 执行右图程序框图果输入输出值满足
（A） （B） （C） （D）
（10） 抛物线顶点圆心圆交两点交准线两点．已知焦点准线距离
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
（11） 面正方体顶点∥面∩面∩面成角正弦值
（A） （B） （C） （D）
（12） 已知函数零点图象称轴单调值
（A）11 （B）9 （C）7 （D）5
第Ⅱ卷
卷包括必考题选考题两部分第(13)～(21)题必考题试题必须作答第(22)～(24)题选考题考生根求作答
二填空题：题4题题5分
（13） 设量 ．
（14） 展开式中系数 ．（数字填写答案）
（15） 设等数列满足值 ．
（16） 某高科技企业生产产品A产品B需甲乙两种新型材料生产件A需甲材料15kg乙材料1kg5工时生产件B需甲材料05kg乙材料03kg3工时生产件A产品利润2100元生产件B产品利润900元该企业现甲材料150kg乙材料90kg超600工时条件生产产品A产品B利润值 ．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
（17） （题满分12分）
角边分已知
（Ⅰ）求
（Ⅱ）面积求周长
（18） （题满分12分）
图顶点五面体中面正方形二面角二面角60°
（Ⅰ）证明：面⊥面
（Ⅱ）求二面角余弦值
（19） （题满分12分）
某公司计划购买2台机器该种机器三年淘汰机器易损零件购买机器时额外购买种零件备件200元机器期间果备件足购买500元现需决策购买机器时应时购买易损零件搜集整理100台种三年期更换易损零件面柱状图：
100台机器更换易损零件数频率代1台机器更换易损零件数发生频率记表示2台机器三年需更换易损零件数表示购买2台机器时购买易损零件数
（Ⅰ）求分布列
（Ⅱ）求确定值
（Ⅲ）购买易损零件需期值决策中选应选？
（20） （题满分12分）
设圆圆心直线点轴重合交圆两点作行线交点
（Ⅰ）证明定值写出点轨迹方程
（Ⅱ）设点轨迹曲线直线交两点垂直直线圆交两点求四边形面积取值范围
（21） （题满分12分）
已知函数两零点
（Ⅰ）求取值范围
（Ⅱ）设两零点证明：
请考生第（22）（23）（24）题中选题作答果做做第题计分
（22） （题满分10分）选修41：证明选讲
图等腰三角形圆心半径作圆
（Ⅰ）证明：直线⊙相切
（Ⅱ）点⊙四点圆证明：
（23） （题满分10分）选修44：坐标系参数方程
直角坐标系中曲线参数方程(参数)坐标原点极点轴正半轴极轴极坐标系中曲线：
（Ⅰ）说明种曲线方程化极坐标方程
（Ⅱ）直线极坐标方程中满足曲线公点求
（24） （题满分10分）选修45：等式选讲
已知函数
（Ⅰ）答题卡第（24）题图中画出图
（Ⅱ）求等式解集
2016年全国卷Ⅰ高考数学（理科）答案解析
选择题
答案
（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）C （10）B
（11）A （12）B
解析
（1） ∴ ．
（2） ∵∴解：∴．
（3） ∵∴∵∴∴．
（4） 图示画出时间轴：
明达时间会机落图中线段AB中达时间落线段ACDB时保证等车时间超10分钟
根概型求概率．
（5） 表示双曲线∴
∵
解∴．
（6） 原立体图图示：
球切掉左角18三视图表面积78球面面积三扇形面积
∴
（7） 排A 排B
时 时∴单调递减排C
选D
（8） A： ∴函数单调递增A错误
B： ∴函数单调递减
∴B错误
C： 较需较需较需
构造函数单调递增
∴C正确
D： 较需较
函数单调递增
∴D错误
选C．
2°特殊值法令排A排BC正确排D∴选C
循环节运行次数
判断
否输出
运行前
0
1
1
第次
否
否
第二次
否
否
第三次
（9） 表：
输出满足选C．
（10） 开口右抛物线例解答开口理
设抛物线设圆方程题目条件翻译图：
F
设
点抛物线∴……①
点圆∴……②
点圆∴……③
联立①②③解：焦点准线距离．
2°图设抛物线方程圆半径r交轴点点坐标点横坐标勾股定理知解焦点准线距离4
（11） 图示：
∵∴设面面
∵面∥面结合面面
∴
理：
成角成角相等．
（均面交线）．
（12） 题意知：
中
单调
接排法
时递增递减满足单调
时满足单调递减
二填空题
答案
（13）2 （14）10 （15）64 （16）216 000
解析
（13） 已知∴解．
2°∴解．
（14） 展开式通项(12…5)令系数．
（15） 设等数列公∴解∴∴时取值．
（16） 设生产A产品件B产品件根耗费材料求工时求等限制条件构造线性规约束
目标函数
作出行域图中四边形包括边界顶点
处取值
三解答题
（17） 解：
（I） 已知正弦定理
∴．
（II） 已知
∴
已知余弦定理
∴周长
（18）解：
（I） 已知AF⊥DFAF⊥FE∴AF⊥面EFDC．
AF面ABEF面ABEF⊥面EFDC．
（II） D作DG⊥EF垂足G(Ⅰ)知DG⊥面ABEF
G坐标原点GF方x轴正方GF单位长建立图示空间直角坐标系Gxyz．
(Ⅰ)知∠DFE二面角DAFE面角∠DFE60°
DF2DG3A(140)B(340)E(300)D(003)
已知AB∥EF∴AB∥面EFDC
面ABCD ⋂面EFDCCDAB∥CDCD∥EF
BE∥AFBE⊥面EFDC∴∠CEF二面角CBEF面角∠CEF60°C(203)
∴EC103EB040AC343AB(400)
设n(xyz)面BCE法量n⋅EC0n⋅EB0x+3z04y0 ∴取n(303)
设m面ABCD法量m⋅AC0m⋅AB0理取m(034)
cosnmn⋅mn⋅m21919二面角EBCA余弦值21919
（19）解：
（I） 柱状图频率代概率台机器三年需更换易损零件数位891011概率分02040202
P(X16)02×02004
P(X17)2×02×04016
P(X18)2×02×02+04×04024
P(X19)2×02×02+2×04×02024
P(X20)2×02×04+02×0202
P(X21)2×02×02008
P(X22) 02×02004
X
16
17
18
19
20
21
22
P
004
016
024
024
02
008
004
X分布列
（II） (Ⅰ)知P(X≤18)044P(X≤19)068n值19．
（III） 记Y表示2台机器购买易损零件需费（单位：元）
n19时EY19×200×068+(19×200+500) ×02+(19×200+2×500) ×008+(19×200+3×500) ×0044040．
n20时EY20×200×088+(20×200+500) ×008+(20×200+2×500) ×0044080．
知n19时需费期值n20时需费期值应选n19．
（20）解：
（I） ∵ADACEB∥AC∠EBD∠ACD∠ADC．
∴EBEDEA+EBEA+ED．
圆A标准方程AD4∴EA+EB4．
题设A(10)B(10)AB2椭圆定义点E轨迹方程：．
（II） lx轴垂直时设l方程．
．
∴．
点B(10)l垂直直线m：Am距离
∴．
四边形MPNQ面积．
lx轴垂直时四边形MPNQ面积取值范围．
lx轴垂直时方程四边形MPNQ面积12．
综四边形MPNQ面积取值范围
（21）解：
（I） ．
（i） 设零点．
（ii） 设时时．
∴单调递减单调递增．
取b满足
存两零点．
（iii） 设．
时单调递增．时∴存两零点
时时．单调递减单调递增．时∴存两点零点．
综取值范围．
（II） 妨设(Ⅰ)知单调递减∴．
∵
∴．
设．
∴时时．
．
（22）解：
（I） 设EAB中点连结OE．
∵OAOB∠AOB120°∴OE⊥AB∠AOE60°．
Rt△AOE中OE 12AOO直线AB距离等⊙O半径∴AB⊙O相切．
（II） ∵OA2OD∴OABCD四点圆圆心．设ABCD四点圆圆心作直线OO′．
已知O线段AB垂直分线O′线段AB垂直分线∴OO′⊥AB．
理证OO′⊥CD．∴AB∥CD．
（23）解：
（I） 消参数普通方程．（01）圆心a半径圆．
代入普通方程中极坐标方程．
（II） 曲线公点极坐标满足方程组
方程组已知解（舍）．
时极点公点．
∴．
（24）解：
（I） 图图示．
（II） 表达式图时
时
解集解集．
∴解集
．2016年普通高等学校招生全国统考试
理科数学12卷
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分24题150分4页考试结束试卷答题卡交回
注意事项：1答题前考生务必姓名准考证号填写清楚条形码准确粘贴条形码区域
2 选择题必须2B铅笔填涂非选择题必须05毫米黑色字迹签字笔书写字体工整笔迹清楚
3 请题号序题目答题区域作答超出答题区域书写答案效草稿纸试题卷答题效
4 作图先铅笔画出确定必须墨色笔迹签字笔描黑
5 保持卡面清洁折叠弄破弄皱准涂改液修正带刮纸刀
第Ⅰ卷
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
（1）已知复面应点第四象限实数m取值范围
（A）（B）（C）（D）
（2）已知集合
（A）（B）（C）（D）
（3）已知量m
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
（4）圆圆心直线 距离1a
（A） （B） （C） （D）2
（5）图明街道E处出发先F处红会合起位G处老年公寓参加志愿者活动明老年公寓选择短路径条数
（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
（6）右图圆柱圆锥组合成体三视图该体表面积
（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π
（7）函数y2sin 2x图左移单位长度移图象称轴
（A）x (kZ) （B）x (kZ)
（C）x (kZ) （D）x (kZ)
（8）中国古代计算项式值秦九韶算法右图实现该算法程序框图执行该程序框图输入x2n2次输入a225输出s
（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
（9）cos(4(π)–α) 5(3)sin 2α
（A）（B）（C） （D）
（10）区间机抽取2n数……构成n数…中两数方1数m机模拟方法圆周率 似值
（A） （B） （C） （D）
（11）已知F1F2双曲线E左右焦点点MEM F1 轴垂直sin E离心率
（A） （B） （C） （D）2
（12）已知函数满足函数图交点···（）
（A）0 （B）m （C）2m （D）4m
第II卷
卷包括必考题选考题两部分第(13)题~第(21)题必考题试题考生必须作答第(22)题~第(24)题选考题考生根求作答
二填空题：题3题题5分
（13）△ABC角ABC边分abccos Acos Ca1b
（14）αβ两面mn两条直线列四命题：
（1）果m⊥nm⊥αn∥βα⊥β
（2）果m⊥αn∥αm⊥n
（3）果α∥βmαm∥β
（4）果m∥nα∥βmα成角nβ成角相等
中正确命题 (填写正确命题编号）
（15）三张卡片分写121323甲乙丙三取走张卡片甲乙卡片说：乙卡片相数字2乙丙卡片说：丙卡片相数字1丙说：卡片数字5甲卡片数字
（16）直线ykx+b曲线ylnx+2切线曲线yln（x+1）切线b
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
（17）（题满分12分）
Sn等差数列前n项1 28 记中表示超x整数[09] 0[lg99]1
（I）求
（II）求数列前1 000项
（18）（题满分12分）
某险种基保费a（单位：元）继续购买该险种投保称续保续保年度保费年度出险次数关联：
年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
085a
a
125a
15a
175a
2a
设该险种续保年出险次数相应概率：
年出险次数
0
1
2
3
4
5
概率
030
015
020
020
010
0 05
（I）求续保年度保费高基保费概率
（II）续保年度保费高基保费求保费基保费高出60概率
（III）求续保年度均保费基保费值
（19）（题满分12分）
图菱形ABCD角线ACBD交点OAB5AC6点EF分ADCDAECFEF交BD点H△DEFEF折△位置
（I）证明：面ABCD
（II）求二面角正弦值
（20）（题满分12分）
已知椭圆E焦点轴AE左顶点斜率k(k>0)直线交EAM两点点NEMA⊥NA
（I）t4时求△AMN面积
（II）时求k取值范围
（21）（题满分12分）
(I)讨函数 单调性证明 >0时
(II)证明： 时函数 值设g（x）值求函数 值域
请考生222324题中选题作答果做做第题计分做答时请写清题号
（22）（题满分10分）选修41：集合证明选讲
图正方形ABCDEG分边DADC（端点重合）DEDGD点作DF⊥CE垂足F
(I) 证明：BCGF四点圆
(II)AB1EDA中点求四边形BCGF面积
（23）（题满分10分）选修4—4：坐标系参数方程
直线坐标系xoy中圆C方程（x+6）2+y225
（I）坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系求C极坐标方程
（II）直线l参数方程 （t参数）lC交AB两点
∣AB∣求l斜率
（24）（题满分10分）选修4—5：等式选讲
已知函数f(x) ∣x∣+∣x+∣M等式f(x) ＜2解集
（I）求M
（II）证明：ab∈M时∣a+b∣＜∣1+ab∣
2016年普通高等学校招生全国统考试
理科数学答案
第Ⅰ卷
选择题：
（1）答案A
（2）答案C
（3）答案D
（4）答案A
（5）答案B
（6）答案C
（7）答案B
（8）答案C
（9）答案D
（10）答案C
（11）答案A
（12）答案C
第Ⅱ卷
二填空题
(13)答案
(14) 答案②③④
（15）答案13
（16）答案
三解答题
17（题满分12分）
答案（Ⅰ） （Ⅱ）1893
解析
试题分析：（Ⅰ）先求公差通项根已知条件求（Ⅱ）分段函数表示等差数列前项公式求数列前1 000项．
试题解析：（Ⅰ）设公差已知解
通项公式
（Ⅱ）
数列前项
考点：等差数列性质前项公式数运算
结束
18（题满分12分）
答案（Ⅰ）根互斥事件概率公式求解（Ⅱ）条件概率公式求解（Ⅲ）记续保年度保费求分布列根期公式求解
解析
试题分析：
试题解析：（Ⅰ）设表示事件：续保年度保费高基保费事件发生仅年出险次数1
（Ⅱ）设表示事件：续保年度保费基保费高出事件发生仅年出险次数3
求概率
（Ⅲ）记续保年度保费分布列
续保年度均保费基保费值
考点： 条件概率机变量分布列期
结束
19（题满分12分）
答案（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）证证证（Ⅱ）量法求解
试题解析：（I）已知
（II）图坐标原点方轴正方建立空间直角坐标系设面法量取设面法量取 二面角正弦值
考点：线面垂直判定二面角
结束
20（题满分12分）
答案（Ⅰ）（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）先求直线方程求点坐标求面积（Ⅱ）设直线方程椭圆方程组成方程组消表示表示理表示求
试题解析：（I）设题意知时方程
已知椭圆称性知直线倾斜角直线方程
代入解
面积
（II）题意
直线方程代入
题设直线方程理
时式成立
等价
解
取值范围
考点：椭圆性质直线椭圆位置关系
结束
（21）（题满分12分）
答案（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）先求定义域导数法求函数单调性时证明结（Ⅱ）导数法求函数值构造新函数导数法求解
试题解析：（Ⅰ）定义域
仅时单调递增
时
（II）
（I）知单调递增意
存唯
时单调递减
时单调递增
处取值值
单调递增
单调递增意存唯
值域
综时值域
考点： 函数单调性极值值
结束
请考生222324题中选题作答果做做第题计分做答时请写清题号
（22）（题满分10分）选修41：证明选讲
答案（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）证证四点圆（Ⅱ）证明四边形面积面积2倍
试题解析：（I）
四点圆
（II）四点圆知连结
斜边中点知
四边形面积面积2倍
考点： 三角形相似全等四点圆
结束
（23）（题满分10分）选修4—4：坐标系参数方程
答案（Ⅰ）（Ⅱ）
解析
试题分析：（I）利C极坐标方程（II）先直线参数方程化普通方程利弦长公式斜率．
试题解析：（I）极坐标方程
（II）（I）中建立极坐标系中直线极坐标方程
应极径分极坐标方程代入极坐标方程
斜率
考点：圆极坐标方程普通方程互化 直线参数方程点直线距离公式
结束
（24）（题满分10分）选修4—5：等式选讲
答案（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
解析
试题分析：（I）先掉绝值分三种情况解等式（II）采方作差法进行式分解进证时．
试题解析：（I）
时解
时
时解
解集
（II）（I）知时
考点：绝值等式等式证明
结束
2016年高考理科数学全国新课标3卷
选择题（题12题）
设集合 （ ）
A． [23] B．（ 2] [3+） C． [3+） D．（0 2] [3+）
（ ）
A．1 B． 1 C． D．
已知量 （ ）
A． B． C． D．
某旅游城市游客介绍气温情况绘制年中月均高气温均低气温雷达图．图中点表示十月均高气温约点表示四月均低气温约．面叙述正确（ ）
A．月均低气温
B．七月均温差月均温差
C．三月十月均高气温基相
D．均气温高月份5
（ ）
A． B． C． 1 D．
已知（ ）
A． B． C． D．
执行图程序框图果输入输出（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
中边高等（ ）
A． B． C． D．
图网格纸正方形边长1粗实现画出某面体三视图该面体表面积（ ）
A． B． C．90 D．81
封闭直三棱柱体积球值（ ）
A．4π B． C．6π D．
已知坐标原点椭圆：左焦点分左右顶点点轴点直线线段交点轴交点直线中点离心率（ ）
A． B． C． D．
定义规范01数列：项中项0项1意中0数少1数规范01数列（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
二 填空题（题4题）
满足约束条件 值_____________
函数图函数图少右移_____________单位长度．
已知偶函数时曲线点处切线方程_______________．
已知直线：圆交两点分做垂线轴交两点__________________
三 解答题（题8题）
已知数列前n项中．
（I）证明等数列求通项公式
（II） 求．
图国2008年2014年生活垃圾害化处理量（单位：亿吨）折线图
（I）折线图出线性回模型拟合关系请相关系数加说明
（II）建立关回方程（系数精确001）预测2016年国生活垃圾害化处理量．
附注：
参考数：≈2646
参考公式：相关系数
回方程 中斜率截距二估计公式分：
．
图四棱锥中面线段点中点．
（I）证明面
（II）求直线面成角正弦值
已知抛物线：焦点行轴两条直线分交两点交准线两点．
（I）线段中点证明
（II）面积面积两倍求中点轨迹方程
设函数中记值．
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求
（Ⅲ）证明．
选修41：证明选讲
图中中点弦分交两点．
（I）求
（II）垂直分线垂直分线交点证明．
选修44：坐标系参数方程
直角坐标系中曲线参数方程坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程．
（I）写出普通方程直角坐标方程
（II）设点点求值时直角坐标
选修45：等式选讲
已知函数．
（I）时求等式解集
（II）设函数．时求取值范围．
2016年高考理科数学全国新课标3卷答案解析
选择题
答案D
解析解
选D
考点：1等式解法2集合交集运算．
技巧点拨研究集合关系处理集合交补运算问题常韦恩图数轴等工具辅助解题．般离散数集抽象集合间关系运算助韦恩图连续集合间运算关系助数轴直观性进行合理转化．
答案C
解析
试题分析：选C．
考点：1复数运算2轭复数．
举反三复数加减法运算中形式理解关虚数单位项式合类项复数法项式法相类似结果中换成－1复数法类实数运算分母理化．复数加减法意义面量加减法意义进行理解．
答案A
解析题意
选A．
考点：量夹角公式．
思维拓展（1）面量数量积中夹角注意夹角定义取值范围：（2）量数量积性质利面量数量积解决长度角度垂直等关问题．
答案D
解析图知0°C均虚线框月均低气温0°CA正确图七月均气温差75°C月均温差75°C七月均温差月均温差B正确图知三月十月均高气温约5°C基相C正确图知均高气温高20°C月份32正确选D
考点：1均数2统计图．
易错警示解答题时易错两种：（1）图形中线条认识明确知措觉两雨伞重叠起找解决问题方法（2）估计均温差时易出现错误错选B．
答案A
解析
试题分析：选A．
考点：1角三角函数间基关系2倍角公式．
方法点拨三角函数求值：①角求值非特殊角特殊角转化通相消相约消非特殊角进求出三角函数值②值求值关键目标明确建立已知求间联系．
答案A
解析
试题分析：选A．
考点：幂函数图象性质．
技巧点拨较指数常常根三数结构联系相关指数函数数函数幂函数单调性判断果两数指数相底数考虑幂函数单调性果指数底数相考虑指数函数单调性果涉数联系数单调性解决．
答案B
解析第1次循环a2b4a6s6n1
第2次循环a2b6a4s10n2
第3次循环a2b46s16n3
第4次循环a2b6a4a20>16n4
退出循环输出n4选B
考点：程序框图．
注意提示解决类型时注意：第明确型循环结构直型循环结构．根特点执行循环体第二明确图中累计变量明确次执行循环体前执行循环体变量值发生变化第三明确循环体终止条件什会判断什时候终止循环体．
答案C
解析
试题分析：设边高线．余弦定理知选C．
考点：余弦定理．
方法点拨面图形中求相关量时需寻找三角形间联系交叉公条件常常涉已知量求集中某三角形然选正弦定理余弦定理求解．
答案B
解析三视图知体侧视图底面斜四棱柱该体表面积
选B
考点：空间体三视图表面积．
技巧点拨求解面体表面积体积问题关键找中特征图形棱柱中矩形棱锥中直角三角形棱台中直角梯形等通图形找元素间关系建立未知量已知量间关系进行求解．
答案B
解析
试题分析：球体积必须球半径．题意知球直三棱柱底面相切时球半径取值时球体积选B．
考点：1三棱柱切球2球体积．
思维拓展立体值问题通常三种思考方：（1）根体结构特征变动态静态直观判断什情况取值（2）体面化利展开图面图中直观求解（3）建立函数通求函数值求解．
答案A
解析题意设直线l方程yk(x+a)分令椭圆离心率选A．
考点：椭圆方程性质．
思路点拨求解椭圆离心率问题三种方法：（1）直接求值进求值（2）建立齐次等式求转化关等式求解(3)通特殊值特殊位置求出．
答案C
解析
试题分析：题意必具体排法列表：
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
考点：计数原理应．
方法点拨求解计数问题时果遇情况较复杂分类较标准较时求计数结果太时利表格法树枝法列举出常常会达岀奇制胜效果．
二 填空题
答案
解析
试题分析：作出等式组满足面区域图示图知目标函数点时取值．
考点：简单线性规划问题．
技巧点拨利图解法解决线性规划问题般步骤：(1)作出行域．约束条件中等式作等式作出相应直线确定原等式区域然求出区域交集(2)作出目标函数等值线(等值线指目标函数原点直线)(3)求出终结果．
答案
解析
图函数图少右移单位长度
考点：1三角函数图象移变换2两角差正弦函数．
误区警示进行三角函数图象变换时提倡先移伸缩先伸缩移常出现题目中必须熟练掌握种变形切记变换总字母言图象变换变量起变化角变化少．
答案
解析
试题分析：时．偶函数切线斜率切线方程．
考点：1函数奇偶性解析式2导数意义．
知识拓展题题型纳已知时函数时求函数解析式．结：函数偶函数时函数解析式奇函数函数解析式．
答案4
解析圆半径圆心直线
距离解代入直线l方程直线l倾斜角梯形ABCD中
考点：直线圆位置关系．
技巧点拨解决直线圆综合问题时方面注意运解析基思想方法(问题代数化)转化代数问题方面直线圆面联系非常紧密准确作出图形充分挖掘图形中隐含条件利知识问题较简捷解决．
三 解答题
答案（Ⅰ）（Ⅱ）．
解析(I)n1时
首项公等数列．
（Ⅱ）（Ⅰ）
解．
考点：1数列通项前项关系2等数列定义通项前项．
方法总结等数列证明通常两种方法：（1）定义法证明（常数）（2）中项法证明．根数列递推关系求通项常常递推关系变形转化等数列等差数列求解．
答案（Ⅰ）理见解析（Ⅱ）182亿吨．
试题解析：（Ⅰ）折线图数附注中参考数
．
相关系数似099说明线性相关相高线性回模型拟合关系
（II）（I）
y关t回方程：
2016年应t9代入回方程：
预测2016年国生活垃圾害化处理量约182亿吨
考点：线性相关线性回方程求法应．
方法点拨（1）判断两变量否线性相关相关程度通常两种方法：（1）利散点图直观判断（2）相关数代入相关系数公式求出然根进行判断．求线性回方程时严格公式求解时定注意计算准确性．
答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．
解析
试题分析：（Ⅰ）取中点然结合条件中数证明四边形行四边形结合线面行判断定理证（Ⅱ）坐标原点直线分轴建立空间直角坐标系然通求直线方量面法量夹角处理面成角．
试题解析：（Ⅰ）已知取中点连接中点知
四边形行四边形
面面面
设面法量取
考点：1空间直线面间行垂直关系2棱锥体积．
技巧点拨（1）证明立体中行关系常常通线线行实现线线行常常利三角形中位线行四边形梯形行关系推证（2）求解空间中角距离常常通建立空间直角坐标系利空间量中夹角距离处理．
答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．
试题解析：题设设
记两点直线方程 3分
（Ⅰ）线段
记斜率斜率
5分
（Ⅱ）设轴交点
题设（舍）
设满足条件中点
轴垂直时
轴垂直时重合求轨迹方程 12分
考点：1抛物线定义性质2直线抛物线位置关系3轨迹求法．
方法纳（1）解析中行问题证明通证明两条直线斜率相等转化利量证明（2）求轨迹方法高考中常考直接法代入法（相关点法）利代入法求解时必须找准动点动点．
答案（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析．
试题解析：（Ⅰ）．
（Ⅱ）时
． ………4分
时变形．
令值时取极值极值．
令解（舍）．
（ⅰ）时极值点．
（ii）时知
（Ⅲ）（Ⅰ）
时
时
时
考点：1三角恒等变换2导数计算3三角函数界性．
纳总结求三角函数值通常分两步：（1）利两角差三角公式二倍角公式诱导公式解析式化形形式（2）结合变量取值范围结合正弦曲线余弦曲线进行求解．
请考生[22][23][24]题中选题作答作答时2B铅笔答题卡选题目题号方框涂黑果做做第题计分
答案（Ⅰ）（Ⅱ）见解析．
试题解析：（Ⅰ）连结
（Ⅱ）知四点圆圆心垂直分线垂直分线四点圆圆心垂直分线垂直分线．
考点：1圆周角定理2三角形角定理3垂直分线定理4四点圆．
方法点拨（1）求角通常三角形相似直角三角形两锐角互余圆周角圆心角定理三角形角定理等知识断代换求结果（2）证明两条直线夂垂直关系常常判断垂直相关定理等腰三角形三线合矩形性质圆直径行性质等．
答案（Ⅰ）普通方程直角坐标方程（Ⅱ）．
试题解析：（Ⅰ）普通方程直角坐标方程 ……5分
（Ⅱ）题意设点直角坐标直线值距离值
………………8分
仅时取值值时直角坐标 ………………10分
考点：1椭圆参数方程2直线极坐标方程．
技巧点拨般涉椭圆点值问题定值问题轨迹问题等直接处理手时考虑利椭圆参数方程进行处理设点坐标转化三角问题进行求解．
答案（Ⅰ）（Ⅱ）．
试题解析：（Ⅰ）时
解等式
解集 ………………5分
（Ⅱ）时
时等号成立
时等价 ① ……7分
时①等价解
时①等价解
取值范围 ………………10分
考点：1绝值等式解法2三角形绝值等式应．
易错警示绝值三角等式易忽视等号成立条件．仅时等号成立果仅时左边等号成立仅时右边等号成立．
2015年高考理科数学试卷全国1卷
2015年高考理科数学试卷全国2卷
2015年高考理科数学试卷全国1卷
1．设复数z满足|z|（ ）
（A）1 （B） （C） （D）2
2． （ ）
（A） （B） （C） （D）
3．设命题：（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4．投篮测试中投3次少投中2次通测试已知某学次投篮投中概率06次投篮否投中相互独立该学通测试概率（ ）
（A）0648 （B）0432 （C）036 （D）0312
5．已知M（）双曲线C：点C两焦点取值范围（ ）
（A）（） （B）（）
（C）（） （D）（）
6．九章算术国古代容极丰富数学名著书中问题委米垣角周八尺高五尺问积米意思屋墙角处堆放米（图米堆圆锥四分）米堆圆锥四分）米堆底部弧长8尺米堆高5尺问米堆体积堆放米少已知1斛米体积约162立方尺圆周率约3估算出堆放斛米约（ ）
（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛
7．设面点（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8．函数部分图图示单调递减区间（ ）
（A） （B）
（C） （D）
9．执行右面程序框图果输入t001输出n（ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
10．展开式中系数（ ）
（A）10 （B）20 （C）30 （D）60
11．圆柱面截部分半球（半径r）组成体该体三视图中正视图俯视图图示该体表面积16 + 20r（ ）
（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
12．设函数中a1存唯整数0取值范围（ ）
（A）[1） （B）[） （C）[） （D）[1）
13．函数f（x）偶函数a
14．圆椭圆三顶点圆心x轴正半轴该圆标准方程
15．满足约束条件值
16．面四边形ABCD中∠A∠B∠C75°BC2AB取值范围
17．（题满分12分）数列{}前项已知＞0
（Ⅰ）求{}通项公式
（Ⅱ）设 求数列{}前项
18．图四边形ABCD菱形∠ABC120°EF面ABCD侧两点BE⊥面ABCDDF⊥面ABCDBE2DFAE⊥EC
（Ⅰ）证明：面AEC⊥面AFC
（Ⅱ）求直线AE直线CF成角余弦值
19．某公司确定年度投入某种产品宣传费需解年宣传费x（单位：千元）年销售量y（单位：t）年利润z（单位：千元）影响8年年宣传费年销售量（12···8）数作初步处理面散点图统计量值
466
563
68
2898
16
1469
1088
表中
（Ⅰ）根散点图判断ya+bxyc+d适宜作年销售量y关年宣传费x回方程类型？（出判断必说明理）
（Ⅱ）根（Ⅰ）判断结果表中数建立y关x回方程
（Ⅲ）已知种产品年利率zxy关系z02yx根（Ⅱ）结果回答列问题：
（ⅰ）年宣传费x49时年销售量年利润预报值少？
（ⅱ）年宣传费x值时年利率预报值？
附：组数……回线斜率截距二估计分：
20．（题满分12分）直角坐标系中曲线C：y直线（＞0）交MN两点
（Ⅰ）k0时分求C点MN处切线方程
（Ⅱ）y轴否存点Pk变动时总∠OPM∠OPN？说明理
21．（题满分12分）已知函数f（x）
（Ⅰ）a值时x轴曲线 切线
（Ⅱ） 表示mn中值设函数 讨h（x）零点数
22．（题满分10分）选修41：证明选讲
图AB直径AC切线BC交E
（Ⅰ）DAC中点证明：DE切线
（Ⅱ）求∠ACB
23．（题满分10分）选修44：坐标系参数方程
直角坐标系中直线2圆：坐标原点极点 轴正半轴极轴建立极坐标系
（Ⅰ）求极坐标方程
（Ⅱ）直线极坐标方程设交点 求面积
24．（题满分10分）选修4—5：等式选讲
已知函数|x+1|2|xa|a>0
（Ⅰ）a1时求等式f（x）>1解集
（Ⅱ）f（x）图x轴围成三角形面积6求a取值范围
答案解析
1答案A
解析|z|1选A
考点：题考查复数运算复数模等
2答案D
解析原式 选D
考点：题考查诱导公式两角差正余弦公式
3答案C
解析选C
考点：题考查特称命题否定
4答案A
解析根独立重复试验公式该学通测试概率0648选A
考点：题考查独立重复试验概率公式互斥事件概率公式
5答案A
解析题知 解选A
考点：双曲线标准方程量数量积坐标表示元二次等式解法
6答案B
解析设圆锥底面半径r米堆体积堆放米约÷162≈22选B
考点：圆锥性质圆锥体积公式
7答案A
解析题知选A
考点：面量线性运算
8答案D
解析五点作图知解令解＜＜单调减区间（）选D
考点：三角函数图性质
9答案C
解析执行第1次t001S1n0m05SSm05025n1S05＞t001循环
执行第2次SSm0250125n2S025＞t001循环
执行第3次SSm012500625n3S0125＞t001循环
执行第4次SSm00625003125n4S00625＞t001循环
执行第5次SSm0031250015625n5S003125＞t001循环
执行第6次SSm001562500078125n6S0015625＞t001循环
执行第7次SSm00078125000390625n7S00078125＞t001否输出n7选C
考点：题注意考查程序框图
10答案C
解析5式中2取式中剩余3式中1取余式取y系数30选 C
考点：题考查利排列组合知识计算二项式展开式某项系数
名师点睛题利排列组合求项展开式式某项系数试题形式新颖中档题求项展开式式某项系数问题先分析该项构成结合项式分析该项利排列组知识求解
11答案B
解析正视图俯视图知该体半球半圆柱组合体圆柱半径球半径r圆柱高2r表面积16 + 20解r2选B
考点：简单体三视图球表面积公式圆柱测面积公式
12答案D
解析设题知存唯整数直线方
时＜0时＞0时
时1直线恒（10）斜率解≤＜1选D
考点：题通利导数研究函数图性质解决等式成立问题
13答案1
解析题知奇函数 解1
考点：函数奇偶性
14答案
解析设圆心（0）半径解圆方程
考点：椭圆性质圆标准方程
15答案3
解析作出行域图中阴影部分示斜率意义知行域点原点连线斜率图知点A（13）原点连线斜率值3
考点：线性规划解法
16答案（）
解析图示延长BACD交E移ADAD重合E点时AB长△BCE中∠B∠C75°∠E30°BC2正弦定理解移AD DC重合时AB短时AB交F△BCF中∠B∠BFC75°∠FCB30°正弦定理知解BFAB取值范围（）
考点：正余弦定理数形结合思想
17答案（Ⅰ）（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）先数列第项前项关系求出数列{}递推公式判断数列{}等差数列利等差数列通项公式写出数列{}通项公式（Ⅱ）根（Ⅰ）数列{}通项公式拆项消法求前项
试题解析：（Ⅰ）时3
时2
数列{}首项3公差2等差数列
（Ⅱ）（Ⅰ）知
数列{}前n项
考点：数列前n项第n项关系等差数列定义通项公式拆项消法
18答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）连接BD设BD∩ACG连接EGFGEF菱形ABCD中妨设GB1易证EG⊥AC通计算证EG⊥FG根线面垂直判定定理知EG⊥面AFC面面垂直判定定理知面AFC⊥面AEC（Ⅱ）G坐标原点分方轴y轴正方单位长度建立空间直角坐标系Gxyz利量法求出异面直线AECF成角余弦值
试题解析：（Ⅰ）连接BD设BD∩ACG连接EGFGEF菱形ABCD中妨设GB1∠ABC120°AGGC
BE⊥面ABCDABBC知AEEC
∵AE⊥EC∴EGEG⊥AC
Rt△EBG中BEDF
Rt△FDG中FG
直角梯形BDFE中BD2BEDFEF
∴∴EG⊥FG
∵AC∩FGG∴EG⊥面AFC
∵EG面AEC∴面AFC⊥面AEC
（Ⅱ）图G坐标原点分方轴y轴正方单位长度建立空间直角坐标系Gxyz（Ⅰ）A（0－0）E（10 ）F（－10）C（00）∴（1）（1）…10分
直线AECF成角余弦值
考点：空间垂直判定性质异面直线成角计算空间想象力推理证力
19答案（Ⅰ）适合作年销售关年宣传费回方程类型（Ⅱ）（Ⅲ）4624
解析
试题分析：（Ⅰ）散点图函数图选出适合作拟合函数（Ⅱ）令先求出建立关线性回方程关回方程（Ⅲ）（ⅰ）利关回方程先求出年销售量预报值根年利率zxy关系z02yx年利润z预报值（ⅱ）根（Ⅱ）结果知年利润z预报值列出关方程利二次函数求值方法求出年利润取值时年宣传费
试题解析：
（Ⅰ）散点图判断适合作年销售关年宣传费回方程类型
（Ⅱ）令先建立关线性回方程
∴56368×681006
∴关线性回方程
∴关回方程
（Ⅲ）（ⅰ）（Ⅱ）知49时年销售量预报值
5766
（ⅱ）根（Ⅱ）结果知年利润z预报值
∴时取值
宣传费4624千元时年利润预报值……12分
考点：非线性拟合线性回方程求法利回方程进行预报预测应意识
20答案（Ⅰ）（Ⅱ）存
解析
试题分析：（Ⅰ）先求出MN坐标利导数求出MN（Ⅱ）先作出判定利设求思想代入曲线C方程整理成关元二次方程设出MN坐标P点坐标利设求思想直线PMPN斜率表示出利直线PMPN斜率0求出关系找出适合条件P点坐标
试题解析：（Ⅰ）题设
∵处数值C处切线方程
处数值C处切线方程
求切线方程
（Ⅱ）存符合题意点证明：
设P（0b）复合题意点直线PMPN斜率分
代入C方程整理
∴
∴
时0直线PM倾斜角直线PN倾斜角互补
∠OPM∠OPN符合题意
考点：抛物线切线直线抛物线位置关系探索新问题运算求解力
21答案（Ⅰ）（Ⅱ）时零点时两零点时三零点
解析
试题分析：（Ⅰ）先利导数意义列出关切点方程组解出切点坐标应值（Ⅱ）根数函数图性质分研究零点数零点容易求解分类讨
试题解析：（Ⅰ）设曲线轴相切点解
时轴曲线切线
（Ⅱ）时
∴（1+∞）零点
1时1零点1零点
时需考虑（01）零点数
（ⅰ）（01）零点（01）单调时（01）零点0时（01）零点
（ⅱ）（0）单调递减（1）单调递增时取值值
①＞0＜＜0（01）零点
②0（01）唯零点
③＜0时（01）两零点时（01）零点…10分
综时零点时两零点时三零点
考点：利导数研究曲线切线新概念理解分段函数零点分类整合思想
22答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°
解析
试题分析：（Ⅰ）圆切线性质圆周角定理知AE⊥BCAC⊥AB直角三角形中线性质知DEDCOEOB利等量代换证∠DEC+∠OEB90°∠OED90°DE圆O切线（Ⅱ）设CE1AB设AE勾股定理直角三角形射影定理列出关方程解出求出∠ACB
试题解析：（Ⅰ）连结AE已知AE⊥BCAC⊥AB
Rt△AEC中已知DEDC∴∠DEC∠DCE
连结OE∠OBE∠OEB
∵∠ACB+∠ABC90°∴∠DEC+∠OEB90°
∴∠OED90°∴DE圆O切线
（Ⅱ）设CE1AE已知AB
射影定理
∴解∴∠ACB60°
考点：圆切线判定性质圆周角定理直角三角形射影定理
23答案（Ⅰ）（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）直角坐标方程极坐标互化公式求极坐标方程（Ⅱ）代入求出|MN|利三角形面积公式求出面积
试题解析：（Ⅰ）
∴极坐标方程极坐标方程……5分
（Ⅱ）代入解|MN|－
半径1面积
考点：直角坐标方程极坐标互化直线圆位置关系
24答案（Ⅰ）（Ⅱ）（2+∞）
解析
试题分析：（Ⅰ）利零点分析法等式f（x）>1化元次等式组解（Ⅱ）化分段函数求出轴围成三角形顶点坐标求出三角形面积根题意列出关等式解出取值范围
试题解析：（Ⅰ）a1时等式f（x）>1化|x+1|2|x1|＞1
等价解
等式f（x）>1解集
（Ⅱ）题设
函数图轴围成三角形三顶点分△ABC面积
题设＞6解
取值范围（2+∞）
考点：含绝值等式解法分段函数元二次等式解法
2015年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ
选择题：题12道题题5分
1．已知集合（ ）
A． B． C． D．
2．实数（ ）
A． B． C． D．
3．根面出2004年2013年国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图结正确（ ）
A．逐年较2008年减少二氧化硫排放量效果显著
B．2007年国治理二氧化硫排放显现
C．2006年国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年国二氧化硫年排放量年份正相关
4．已知等数列满足a13 21 （ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
5．设函数（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．正方体面截部分剩余部分三视图右图截部分体积剩余部分体积值（ ）
A． B． C． D．
7．三点圆交y轴MN两点（ ）
A．2 B．8 C．4 D．10
8．右边程序框图算法思路源国古代数学名著九章算术中更相减损术．执行该程序框图输入分1418输出（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
9．已知球球面两点该球面动点三棱锥体积值36球表面积（ ）
A． B C D
10．图长方形边中点点着边运动记．动两点距离表示函数图致（ ）
11．已知AB双曲线E左右顶点点ME∆ABM等腰三角形顶角120°E离心率（ ）
A． B． C． D．
12．设函数奇函数导函数时成立取值范围（ ）
A． B．
C． D．
二填空题：题4题题5分20分
13．设量行量行实数_________．
14．xy满足约束条件值____________．
15．展开式中x奇数次幂项系数32__________．
16．设数列前n项________．
三解答题
17．（题满分12分）中点分面积面积2倍．
（Ⅰ） 求
（Ⅱ）求长．
18．（题满分12分）某公司解户产品满意度两区分机调查20户户产品满意度评分：
A区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根两组数完成两区户满意度评分茎叶图通茎叶图较两区满意度评分均值分散程度（求计算出具体值出结）
（Ⅱ）根户满意度评分户满意度低高分三等级：
满意度评分
低70分
70分89分
低90分
满意度等级
满意
满意
非常满意
记时间C：A区户满意度等级高B区户满意度等级．假设两区户评价结果相互独立．根数事件发生频率作相应事件发生概率求C概率．
19．（题满分12分）图长方体中点分．点面长方体面相交交线围成正方形．
D
D1
C1
A1
E
F
A
B
C
B1
（Ⅰ）图中画出正方形（必说出画法理）
（Ⅱ）求直线面成角正弦值．
20．（题满分12分）已知椭圆直线原点行坐标轴两交点线段中点．
（Ⅰ）证明：直线斜率斜率积定值
（Ⅱ）点延长线段交点四边形否行四边形？求时斜率说明理．
21．（题满分12分）设函数．
（Ⅰ）证明：单调递减单调递增
（Ⅱ）意求取值范围．
22．（题满分10分）选修4—1：证明选讲
图等腰三角形点圆底边交两点底边高交点分相切两点．
G
A
E
F
O
N
D
B
C
M
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ） 等半径求四边形面积．
23．（题满分10分）选修44：坐标系参数方程
直角坐标系中曲线（参数）中极点轴正半轴极轴极坐标系中曲线曲线．
（Ⅰ）．求交点直角坐标
（Ⅱ）．相交点相交点求值．
24．（题满分10分）选修45等式选讲
设均正数证明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）充条件．
参考答案
1．A
解析已知选A．
考点：集合运算．
2．B
解析已知解选B．
考点：复数运算．
3．D
解析柱形图2006年国二氧化硫排放量呈降趋势年排放量年份负相关选D．
考点：正负相关．
4．B
解析设等数列公解选B．
考点：等数列通项公式性质．
5．C
解析已知选C．
考点：分段函数．
6．D
解析三视图正方体中截四面体图示设正方体棱长剩余体体积截部分体积剩余部分体积值选D．
考点：三视图．
7．C
解析已知直角三角形外接圆圆心半径外接圆方程令选C．
考点：圆方程．
8．B
解析程序执行程中值次时程序结束输出值2选B．
考点：程序框图．
9．C
解析图示点C位垂直面直径端点时三棱锥体积设球半径时球表面积选C．
考点：外接球表面积椎体体积．
10．B
解析已知点边运动时时点边运动时时时点边运动时时点运动程出轨迹关直线称轨迹非线型选B．
考点：函数图象性质．
11．D
解析设双曲线方程图示点作轴垂足中点坐标代入双曲线方程选D．
考点：双曲线标准方程简单性质．
12．A
解析记函数时时单调递减函数奇函数函数偶函数单调递减．时时综述成立取值范围选A．
考点：导数应函数图象性质．
13．
解析量行．
考点：量线．
14．
解析画出行域图示目标函数变形取时直线截距直线移值．
考点：线性规划．
15．
解析
试题分析：已知展开式中x奇数次幂项分系数解．
考点：二项式定理．
16．
解析已知两边时数列首项公差等差数列．
考点：等差数列递推关系．
17．解析（Ⅰ）．正弦定理．
（Ⅱ）．中余弦定理
．
．（Ⅰ）知．
18．解析（Ⅰ）两区户满意度评分茎叶图
通茎叶图出A区户满意度评分均值高B区户满意度评分均值A区户满意度评分较集中B区户满意度评分较分散．
（Ⅱ）记表示事件：A区户满意度等级满意非常满意
表示事件：A区户满意度等级非常满意
表示事件：B区户满意度等级满意
表示事件：B区户满意度等级满意．
独立独立互斥．
．
数发生概率分．
．
19．解析（Ⅰ）交线围成正方形图：
（Ⅱ）作垂足正方形．．坐标原点方轴正方建立图示空间直角坐标系．设面法量取．．直线面成角正弦值．
20．解析（Ⅰ）设直线．
代入
．直线斜率．直线斜率斜率积定值．
（Ⅱ）四边形行四边形．
直线点原点两交点充条件．
（Ⅰ）方程．设点横坐标．．点坐标代入直线方程．四边形行四边形仅线段线段互相分．
．解．斜率时四边形行四边形．
21．解析（Ⅰ）．
时时．
时时．
单调递减单调递增．
（Ⅱ）（Ⅰ）知意单调递减单调递增处取值．意充条件：①设函数．时时．单调递减单调递增．时．时①式成立．时单调性时．综取值范围．
22．解析（Ⅰ）等腰三角形分线．分相切两点．．
（Ⅱ）（Ⅰ）知垂直分线弦．连接．等半径．等边三角形．．
．．四边形面积．
23．解析（Ⅰ）曲线直角坐标方程曲线直角坐标方程．联立解交点直角坐标．
（Ⅱ）曲线极坐标方程中．极坐标极坐标．时取值值．
24．解析（Ⅰ）题设．．
（Ⅱ）（ⅰ）．．（Ⅰ）．
（ⅱ）．．综充条件．
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2015年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷二
2019年普通高等学校招生全国统考试卷
理科数学
试卷4页23题满分150分考试时120分钟
注意事项：1．答卷前考生务必姓名考生号考场号座位号填写答题卡2B铅笔试卷类型（B）填涂答题卡相应位置
2．作答选择题时选出题答案2B铅笔答题卡应题目选项答案信息点涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答案答试卷
3．非选择题必须黑色字迹钢笔签字笔作答答案必须写答题卡题目指定区域相应位置需改动先划掉原答案然写新答案准铅笔涂改液求作答效
4．考生必须保证答题卡整洁考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．已知集合
A． B． C． D．
2．设复数z满足z复面应点(xy)
A． B． C． D．
3．已知
A． B． C． D．
4．古希腊时期认美体头顶肚脐长度肚脐足底长度（≈0618称黄金分割例)著名断臂维纳斯便．外美体头顶咽喉长度咽喉肚脐长度．某满足述两黄金分割例腿长105 cm头顶脖子端长度26 cm身高
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
5．函数f(x)图致
A． B．
C． D．
6．国古代典籍周易卦描述万物变化．重卦排列6爻组成爻分阳爻——阴爻— —图重卦．重卦中机取重卦该重卦恰3阳爻概率
A． B． C． D．
7．已知非零量ab满足bab夹角
A． B． C． D．
8．图求程序框图图中空白框中应填入
A．A B．A C．A D．A
9．记等差数列前n项．已知
A． B． C． D．
10．已知椭圆C焦点F2直线C交AB两点．C方程
A． B． C． D．
11．关函数述四结：
①f(x)偶函数 ②f(x)区间（）单调递增
③f(x)4零点 ④f(x)值2
中正确结编号
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
12．已知三棱锥PABC四顶点球O球面PAPBPC△ABC边长2正三角形EF分PAPB中点∠CEF90°球O体积
A． B． C． D．
二填空题：题4题题5分20分
13．曲线点处切线方程____________．
14．记Sn等数列{an}前n项．S5____________．
15．甲乙两队进行篮球决赛采取七场四胜制（队赢四场胜利时该队获胜决赛结束）．根前期赛成绩甲队客场安排次客客客．设甲队场取胜概率06客场取胜概率05场赛结果相互独立甲队4∶1获胜概率____________．
16．已知双曲线C：左右焦点分F1F2F1直线C两条渐线分交AB两点．C离心率____________．
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17~21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．(12分)
角ABC边分abc设．
（1）求A
（2）求sinC．
18．（12分）
图直四棱柱ABCD–A1B1C1D1底面菱形AA14AB2∠BAD60°EMN分BCBB1A1D中点．
（1）证明：MN∥面C1DE
（2）求二面角AMA1N正弦值．
19．（12分）
已知抛物线C：y23x焦点F斜率直线lC交点ABx轴交点P．
（1）|AF|+|BF|4求l方程
（2）求|AB|．
20．（12分）
已知函数导数．证明：
（1）区间存唯极值点
（2）仅2零点．
21．（12分）
治疗某种疾病研制甲乙两种新药希知道种新药更效进行动物试验．试验方案：轮选取两白鼠药效进行试验．两白鼠机选施甲药施乙药．轮治疗结果出安排轮试验．中种药治愈白鼠种药治愈白鼠4时停止试验认治愈数药更效．方便描述问题约定：轮试验施甲药白鼠治愈施乙药白鼠未治愈甲药1分乙药分施乙药白鼠治愈施甲药白鼠未治愈乙药1分甲药分治愈未治愈两种药均0分．甲乙两种药治愈率分记αβ轮试验中甲药分记X．
（1）求分布列
（2）甲药乙药试验开始时赋予4分表示甲药累计分时终认甲药乙药更效概率中．假设．
(i)证明：等数列
(ii)求根值解释种试验方案合理性．
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修4—4：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系xOy中曲线C参数方程（t参数）．坐标原点O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系直线l极坐标方程．
（1）求Cl直角坐标方程
（2）求C点l距离值．
23．[选修4—5：等式选讲]（10分）
已知abc正数满足abc1．证明：
（1）
（2）．
2019年普通高等学校招生全国统考试
理科数学•参考答案
选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D
二填空题
13．y3x 14． 15．018 16．2
三解答题
17．解：（1）已知正弦定理．
余弦定理．
．
（2）（1）知题设正弦定理
．
．
18．解：（1）连结B1CME．
ME分BB1BC中点
ME∥B1CMEB1C．
NA1D中点NDA1D．
题设知A1B1DCB1CA1DMEND
四边形MNDE行四边形MN∥ED．
MN面EDC1MN∥面C1DE．
（2）已知DE⊥DA．
D坐标原点方x轴正方建立图示空间直角坐标系Dxyz
A1(204)．
设面A1MA法量
取．
设面A1MN法量
取．
二面角正弦值．
19．解：设直线．
（1）题设题设．
．
．
方程．
（2）．
．
．．
代入方程．
．
20．解：（1）设
时单调递减唯零点
设
时时
单调递增单调递减存唯极值点存唯极值点
（2）定义域
（i）时（1）知单调递增时单调递减唯零点
（ii）时（1）知单调递增单调递减存时时单调递增单调递减
时 没零点
（iii）时单调递减唯零点
（iv）时<0没零点
综仅2零点
21．解：X取值
分布列
（2）（i）（1）
公4首项等数列．
（ii）（i）
表示终认甲药更效概率计算结果出甲药治愈率05乙药治愈率08时认甲药更效概率时出错误结概率非常说明种试验方案合理
22．解：（1）C直角坐标方程
直角坐标方程
（2）（1）设C参数方程（参数）
C点距离
时取值7C点距离值
23．解：（1）
（2）正数
24
绝密★启前
2019年普通高等学校招生全国统考试
理科数学
试卷5页考试结束试卷答题卡交回
注意事项：
1．答题前考生先姓名准考证号码填写清楚条形码准确粘贴考生信息条形码粘贴区
2．选择题必须2B铅笔填涂非选择题必须05毫米黑色字迹签字笔书写字体工整笔迹清楚
3．请题号序答题卡题目答题区域作答超出答题区域书写答案效草稿纸试卷答题效
4．作图先铅笔画出确定必须黑色字迹签字笔描黑
5．保持卡面清洁折叠弄破弄皱准涂改液修正带刮纸刀
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1．设集合A{x|x25x+6>0}B{ x|x1<0}A∩B
A．(∞1) B．(21)
C．(31) D．(3+∞)
2．设z3+2i复面应点位
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知(23)(3t)1
A．3 B．2
C．2 D．3
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现类历史首次月球背面软着陆国航天事业取重成实现月球背面软着陆需解决关键技术问题面探测器通讯联系．解决问题发射嫦娥四号中继星鹊桥鹊桥着围绕月拉格朗日点轨道运行．点衡点位月连线延长线．设球质量M１月球质量M２月距离R点月球距离r根牛顿运动定律万引力定律r满足方程：
设值似计算中r似值
A． B．
C． D．
5．演讲赛9位评委分出某选手原始评分评定该选手成绩时9原始评分中掉1高分1低分7效评分7效评分9原始评分相变数字特征
A．中位数 B．均数
C．方差 D．极差
6．a>b
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
7．设αβ两面α∥β充条件
A．α数条直线β行 B．α两条相交直线β行
C．αβ行条直线 D．αβ垂直面
8．抛物线y22px(p>0)焦点椭圆焦点p
A．2 B．3
C．4 D．8
9．列函数中周期区间()单调递增
A．f(x)│cos 2x│ B．f(x)│sin 2x│
C．f(x)cos│x│ D．f(x) sin│x│
10．已知α∈(0)2sin 2αcos 2α+1sin α
A． B．
C． D．
11．设F双曲线C：右焦点坐标原点直径圆圆交PQ两点C离心率
A． B．
C．2 D．
12．设函数定义域R满足时意m取值范围
A． B．
C． D．
二填空题：题4题题5分20分．
13．国高铁发展迅速技术先进统计停某站高铁列车中10车次正点率09720车次正点率09810车次正点率099停该站高铁列车车次均正点率估计值__________
14．已知奇函数时__________
15．角边分面积__________
16．中国悠久金石文化印信金石文化代表印信形状长方体正方体圆柱体南北时期官员独孤信印信形状半正面体（图1）半正面体两种两种正边形围成面体半正面体体现数学称美图2棱数48半正面体顶点正方体表面正方体棱长1该半正面体________面棱长_________（题第空2分第二空3分）
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17～21题必考题试题考生必须作答．第2223选考题考生根求作答．
（）必考题：60分
17．（12分）
图长方体ABCD–A1B1C1D1底面ABCD正方形点E棱AA1BE⊥EC1
（1）证明：BE⊥面EB1C1
（2）AEA1E求二面角B–EC–C1正弦值
18．（12分）
11分制乒乓球赛赢球1分某局成1010球交换发球权先2分方获胜该局赛结束甲乙两位学进行单赛假设甲发球时甲分概率05乙发球时甲分概率04球结果相互独立某局双方1010甲先发球两X球该局赛结束
（1）求P（X2）
（2）求事件X4甲获胜概率
19．（12分）
已知数列{an}{bn}满足a11b10
（1）证明：{an+bn}等数列{an–bn}等差数列
（2）求{an}{bn}通项公式
20．（12分）
已知函数
（1）讨f(x)单调性证明f(x)仅两零点
（2）设x0f(x)零点证明曲线yln x 点A(x0ln x0)处切线曲线切线
21．（12分）
已知点A(−20)B(20)动点M(xy)满足直线AMBM斜率积−记M轨迹曲线C
（1）求C方程说明C什曲线
（2）坐标原点直线交CPQ两点点P第象限PE⊥x轴垂足E连结QE延长交C点G
（i）证明：直角三角形
（ii）求面积值
（二）选考题：10分．请考生第2223题中选题作答果做做第题计分．
22．[选修44：坐标系参数方程]（10分）
极坐标系中O极点点曲线直线l点垂直垂足P
（1）时求l极坐标方程
（2）MC运动P线段OM时求P点轨迹极坐标方程
23．[选修45：等式选讲]（10分）
已知
（1）时求等式解集
（2）时求取值范围
2019年普通高等学校招生全国统考试
理科数学·参考答案
1．A 2．C 3．C 4．D 5．A
6．C 7．B 8．D 9．A 10．B
11．A 12．B
13．098 14．–3
15．6 16．26
17．解：（1）已知面面
．
面．
（2）（1）知．题设知
．
坐标原点方x轴正方单位长建立图示空间直角坐标系Dxyz
C（010）B（110）（012）E（101）．
设面EBC法量n（xyx）
取n
设面法量m（xyz）
取m（110）．
．
二面角正弦值．
18．解：（1）X210：10两2球该局赛结束2球均甲分者均乙分．P（X2）05×04+（1–05）×（1–04）05．
（2）X4甲获胜10：10两4球该局赛结束4球分情况：前两球甲乙1分两球均甲分．
求概率
[05×（1–04）+（1–05）×04]×05×0401．
19．解：（1）题设．
a1+b1l首项1公等数列．
题设
．
a1–b1l首项1公差2等差数列．
（2）（1）知．
．
20．解：（1）f（x）定义域（01）（1+∞）单调递增．
f（e）
f（x）（1+∞）唯零点x1f（x1）0．
f（x）（01）唯零点．
综f（x）仅两零点．
（2）点B（–lnx0）曲线yex．
题设知
直线AB斜率．
曲线yex点处切线斜率曲线点处切线斜率
曲线点处切线曲线yex切线．
21．解：（1）题设化简C中心坐标原点焦点x轴椭圆含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ斜率k方程．
．
记．
直线斜率方程．
．①
设方程①解．
直线斜率．
直角三角形．
（ii）（i）
△PQG面积．
设tk+k>0t≥2仅k1时取等号．
[2+∞）单调递减t2k1时S取值值．
△PQG面积值．
22．解：（1）C时
已知
设lP意点中
检验点曲线
l极坐标方程
（2）设中
P线段OM取值范围
P点轨迹极坐标方程
23．解：（1）a1时
时时
等式解集
（2）
时
取值范围
绝密★启前
2019年普通高等学校招生全国统考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题四选项中项符合题目求
1．已知集合
A． B． C． D．
2．z
A． B． C． D．
3．西游记三国演义水浒传红楼梦中国古典文学瑰宝称中国古典说四名著某中学解校学生阅读四名著情况机调查100学生中阅读西游记红楼梦学生90位阅读红楼梦学生80位阅读西游记阅读红楼梦学生60位该校阅读西游记学生数该校学生总数值估计值
A．05 B．06 C．07 D．08
4．（1+2x2 ）（1+x）4展开式中x3系数
A．12 B．16 C．20 D．24
5．已知项均正数等数列{an}前4项15a53a3+4a1a3
A． 16 B． 8 C．4 D． 2
6．已知曲线点（1ae）处切线方程y2x+b
A． B．aeb1 C． D．
7．函数图象致
A． B．
C． D．
8．图点N正方形ABCD中心△ECD正三角形面ECD⊥面ABCDM线段ED中点
A．BMEN直线BMEN 相交直线
B．BM≠EN直线BMEN 相交直线
C．BMEN直线BMEN 异面直线
D．BM≠EN直线BMEN 异面直线
9．执行边程序框图果输入001输出值等
A B C D
10．双曲线C：1右焦点F点PC条渐进线O坐标原点△PFO面积
A． B． C． D．
11．设定义域R偶函数单调递减
A．（log3）＞（）＞（）
B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3）
D．（）＞（）＞（log3）
12．设函数sin（）(＞0)已知仅5零点述四结：
①（）仅3极值点
②（）仅2极值点
③（）单调递增
④取值范围[)
中正确结编号
A． ①④ B． ②③ C． ①②③ D． ①③④
二填空题：题4题题5分20分
13．已知ab单位量a·b0___________
14．记Sn等差数列{an}前n项___________
15．设椭圆C两焦点MC点第象限等腰三角形M坐标___________
16．学生工厂劳动实践利3D印技术制作模型图该模型长方体挖四棱锥O —EFGH体中O长方体中心EFGH分棱中点3D印原料密度09 gcm3考虑印损耗制作该模型需原料质量___________
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17~21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．（12分）
解甲乙两种离子鼠体残留程度进行试验：200鼠机分成AB两组组100中A组鼠服甲离子溶液B组鼠服乙离子溶液组鼠服溶液体积相摩尔浓度相．段时间某种科学方法测算出残留鼠体离子百分根试验数分直方图：
记C事件：乙离子残留体百分低55根直方图P（C）估计值070．
（1）求乙离子残留百分直方图中ab值
（2）分估计甲乙离子残留百分均值（组中数该组区间中点值代表）．
18．（12分）
△ABC角ABC边分abc已知．
（1）求B
（2）△ABC锐角三角形c1求△ABC面积取值范围．
19．（12分）
图1矩形ADEBRt△ABC菱形BFGC组成面图形中AB1BEBF2∠FBC60°ABBC折起BEBF重合连结DG图2
（1）证明：图2中ACGD四点面面ABC⊥面BCGE
（2）求图2中二面角BCGA
20．（12分）
已知函数
（1）讨单调性
（2）否存 区间值值1？存求出值存说明理
21．已知曲线C：yD直线y动点D作C两条切线切点分AB
（1）证明：直线AB定点：
（2）E(0)圆心圆直线AB相切切点线段AB中点求四边形ADBE面积
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修44：坐标系参数方程]（10分）
图极坐标系Ox中弧圆圆心分曲线弧曲线弧曲线弧
（1）分写出极坐标方程
（2）曲线构成点M求P极坐标
23．[选修45：等式选讲]（10分）
设
（1）求值
（2）成立证明：
2019年普通高等学校招生全国统考试
理科数学·参考答案
选择题
1．A 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D
二填空题
13． 14．4 15． 16．1188
三解答题
17．解：（1）已知070a+020+015a035．
b1–005–015–070010．
（2）甲离子残留百分均值估计值
2×015+3×020+4×030+5×020+6×010+7×005405．
乙离子残留百分均值估计值
3×005+4×010+5×015+6×035+7×020+8×015600．
18．解：（1）题设正弦定理．
sinA0．
．
B60°．
（2）题设（1）知△ABC面积．
正弦定理．
△ABC锐角三角形0°
19．解：（1）已知ADBECGBEADCGADCG确定面ACGD四点面．
已知ABBEABBCAB面BCGE．
AB面ABC面ABC面BCGE．
（2）作EHBC垂足H．EH面BCGE面BCGE面ABCEH面ABC．
已知菱形BCGE边长2∠EBC60°求BH1EH．
H坐标原点方x轴正方建立图示空间直角坐标系H–xyz
A（–110）C（100）G（20）（10）（2–10）．
设面ACGD法量n（xyz）
取n（36–）．
面BCGE法量取m（010）．
二面角B–CG–A30°．
20 解：（1）．
令x0
a>0时时．单调递增单调递减
a0单调递增
a<0时时．单调递增单调递减
（2）满足题设条件ab存
（i）a≤0时（1）知[01]单调递增区间[0l]值值时ab满足题设条件仅a0．
（ii）a≥3时（1）知[01]单调递减区间[01]值值．时ab满足题设条件仅b1a4b1．
（iii）0
21．解：（1）设
切线DA斜率
整理
设理
直线AB方程
直线AB定点
（2）（1）直线AB方程
设分点DE直线AB距离
四边形ADBE面积
设M线段AB中点
量行解t0
0时S3时
四边形ADBE面积3
22解：（1）题设弧圆极坐标方程分
极坐标方程极坐标方程极坐标方程
（2）设题设（1）知
解
解
解
综P极坐标
23．解：（1）
已知
仅xy–时等号成立．
值
（2）
已知
仅时等号成立．
值．
题设知解．
2018年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷
2018年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷二
2018年普通高等学校招生全国统考试理科数学卷三
2018年普通高等学校招生全国统考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名考生号等填写答题卡试卷指定位置
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．设
A． B． C． D．
2．已知集合
A． B．
C． D．
3．某区年新农村建设农村济收入增加倍实现翻番更解该区农村济收入变化情况统计该区新农村建设前农村济收入构成例饼图：
建设前济收入构成例 建设济收入构成例
面结中正确
A．新农村建设种植收入减少
B．新农村建设收入增加倍
C．新农村建设养殖收入增加倍
D．新农村建设养殖收入第三产业收入总超济收入半
4．设等差数列前项
A． B． C． D．
5．设函数奇函数曲线点处切线方程
A． B． C． D．
6．中边中线中点
A． B． C． D．
7．某圆柱高2底面周长16三视图图．圆柱表面点正视图应点圆柱表面点左视图应点圆柱侧面路径中短路径长度
A． B． C．3 D．2
8．设抛物线C：y24x焦点F点（–20）斜率直线C交MN两点
A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知函数．g（x）存2零点a取值范围
A．[–10） B．[0+∞） C．[–1+∞） D．[1+∞）
10．图古希腊数学家希波克拉底研究图形．图三半圆构成三半圆直径分直角三角形ABC斜边BC直角边ABAC．△ABC三边围成区域记I黑色部分记II余部分记III．整图形中机取点点取IIIIII概率分记p1p2p3
A．p1p2 B．p1p3
C．p2p3 D．p1p2+p3
11．已知双曲线C：O坐标原点FC右焦点F直线C两条渐线交点分MNOMN直角三角形|MN|
A． B．3 C． D．4
12．已知正方体棱长1条棱直线面α成角相等α截正方体截面面积值
A． B． C． D．
二填空题：题4题题5分20分
13．满足约束条件值_____________．
14．记数列前项_____________．
15．2位女生4位男生中选3参加科技赛少1位女生入选选法_____________种．（数字填写答案）
16．已知函数值_____________．
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17~21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．（12分）
面四边形中
（1）求
（2）求
18．（12分）
图四边形正方形分中点折痕折起点达点位置
（1）证明：面面
（2）求面成角正弦值
19．（12分）
设椭圆右焦点直线交两点点坐标
（1）轴垂直时求直线方程
（2）设坐标原点证明：
20．（12分）
某工厂某种产品成箱包装箱200件箱产品交付户前产品作检验检验出合格品更换合格品．检验时先箱产品中取20件作检验根检验结果决定否余产品作检验设件产品合格品概率件产品否合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰2件合格品概率求值点．
（2）现箱产品检验20件结果恰2件合格品（1）中确定作值．已知件产品检验费2元合格品进入户手中工厂件合格品支付25元赔偿费．
（i）该箱余产品作检验箱产品检验费赔偿费记求
（ii）检验费赔偿费期值决策否该箱余产品作检验？
21．（12分）
已知函数．
（1）讨单调性
（2）存两极值点证明：．
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修4–4：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系中曲线方程坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程
（1）求直角坐标方程
（2）仅三公点求方程
23．[选修4–5：等式选讲]（10分）
已知
（1）时求等式解集
（2）时等式成立求取值范围
2018年普通高等学校招生全国统考试
理科数学参考答案：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
A
B
D
A
B
D
C
A
B
A
136 14 1516 16
17（12分）
解：（1）中正弦定理
题设知
题设知
（2）题设（1）知
中余弦定理
18（12分）
解：（1）已知BF⊥PFBF⊥EFBF⊥面PEF
面ABFD面PEF⊥面ABFD
（2）作PH⊥EF垂足H（1）PH⊥面ABFD
H坐标原点方y轴正方单位长建立图示空间直角坐标系H−xyz
（1）DE⊥PEDP2DE1PEPF1EF2PE⊥PF
面ABFD法量
设DP面ABFD成角
DP面ABFD成角正弦值
19（12分）
解：（1）已知l方程x1
已知点A坐标
AM方程
（2）lx轴重合时
lx轴垂直时OMAB垂直分线
lx轴重合垂直时设l方程
直线MAMB斜率
代入
MAMB倾斜角互补
综
20（12分）
解：（1）20件产品中恰2件合格品概率
令时时
值点
（2）（1）知
（i）令表示余180件产品中合格品件数题意知
（ii）果余产品作检验箱产品需检验费400元
应该余产品作检验
21（12分）
解（1）定义域
（i）仅时单调递减
（ii）令
时
时单调递减单调递增
（2）（1）知存两极值点仅
两极值点满足妨设
等价
设函数（1）知单调递减时
22．[选修44：坐标系参数方程]（10分）
解析（1）直角坐标方程．
（2）（1）知圆心半径圆．
题设知点关轴称两条射线．记轴右边射线轴左边射线．圆外面仅三公点等价公点两公点公点两公点．
公点时直线距离．
检验时没公点时公点两公点．
公点时直线距离．
检验时没公点时没公点．
综求方程．
23．[选修45：等式选讲]（10分）
解析（1）时
等式解集．
（2）时成立等价时成立．
时
解集．
综取值范围．
绝密★启前
2018年普通高等学校招生全国统考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡
2．作答时答案写答题卡写试卷草稿纸效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．
A． B． C． D．
2．已知集合中元素数
A．9 B．8 C．5 D．4
3．函数图致
4．已知量满足
A．4 B．3 C．2 D．0
5．双曲线离心率渐线方程
A． B． C． D．
6．中
A． B． C． D．
7．计算设计右侧程序框图空白框中应填入
A．
B．
C．
D．
8．国数学家陈景润哥德巴赫猜想研究中取世界领先成果．哥德巴赫猜想2偶数表示两素数．超30素数中机选取两数等30概率
A． B． C． D．
9．长方体中异面直线成角余弦值
A． B． C． D．
10．减函数值
A． B． C． D．
11．已知定义域奇函数满足．
A． B．0 C．2 D．50
12．已知椭圆左右焦点左顶点点斜率
直线等腰三角形离心率
A． B． C． D．
二填空题：题4题题5分20分
13．曲线点处切线方程__________．
14．满足约束条件 值__________．
15．已知__________．
16．已知圆锥顶点母线成角余弦值圆锥底面成角45°面积该圆锥侧面积__________．
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17～21题必考题试题考生必须作答第2223选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．（12分）
记等差数列前项已知．
（1）求通项公式
（2）求求值．
18．（12分）
图某区2000年2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）折线图．
预测该区2018年环境基础设施投资额建立时间变量两线性回模型．根2000年2016年数（时间变量值次）建立模型①：根2010年2016年数（时间变量值次）建立模型②：．
（1）分利两模型求该区2018年环境基础设施投资额预测值
（2）认模型预测值更？说明理．
19．（12分）
设抛物线焦点斜率直线交两点．
（1）求方程
（2）求点准线相切圆方程．
20．（12分）
图三棱锥中中点．
（1）证明：面
（2）点棱二面角求面成角正弦值．
21．（12分）
已知函数．
（1）证明：时
（2）零点求．
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修4－4：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系中曲线参数方程（参数）直线参数方程
（参数）．
（1）求直角坐标方程
（2）曲线截直线线段中点坐标求斜率．
23．[选修4－5：等式选讲]（10分）
设函数．
（1）时求等式解集
（2）求取值范围．
参考答案
选择题
1D 2A 3B 4B 5A 6A
7B 8C 9C 10A 11C 12D
二填空题
13 149 15 16
三解答题
17 (12分)
解：（1）设公差d题意
d2
通项公式
（2）（1）
n4时取值值−16
18(12分)
解：（1）利模型①该区2018年环境基础设施投资额预测值
(亿元)
利模型②该区2018年环境基础设施投资额预测值
(亿元)
（2）利模型②预测值更
理：
（ⅰ）折线图出2000年2016年数应点没机散布直线说明利2000年2016年数建立线性模型①描述环境基础设施投资额变化趋势2010年相2009年环境基础设施投资额明显增加2010年2016年数应点位条直线附说明2010年开始环境基础设施投资额变化规律呈线性增长趋势利2010年2016年数建立线性模型较描述2010年环境基础设施投资额变化趋势利模型②预测值更
（ⅱ）计算结果相2016年环境基础设施投资额220亿元模型①预测值2261亿元增幅明显偏低利模型②预测值增幅较合理说明利模型②预测值更
出2种理考生答出中意种合理理均分
19(12分)
解：（1）题意l方程
设
题设知解（舍）
l方程
（2）（1）AB中点坐标AB垂直分线方程
设求圆圆心坐标
解
求圆方程
20(12分)
解：（1）中点
连结等腰直角三角形
知
知面
（2）图坐标原点方轴正方建立空间直角坐标系
已知取面法量
设
设面法量
取
已知
解（舍）
面成角正弦值
21．（12分）
解析（1）时等价．
设函数．
时单调递减．
时．
（2）设函数．
零点仅零点．
（i）时没零点
（ii）时．
时时．
单调递减单调递增．
值．
①没零点
②零点
③零点
（1）知时．
零点两零点．
综零点时．
22．[选修44：坐标系参数方程]（10分）
解析（1）曲线直角坐标方程．
时直角坐标方程
时直角坐标方程．
（2）参数方程代入直角坐标方程整理关方程
．①
曲线截直线线段中点①两解设．
①直线斜率．
23．[选修45：等式选讲]（10分）
解析（1）时
解集．
（2）等价．
时等号成立．等价．
取值范围．
2018年普通高等学校招生全国统考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3．考试结束试卷答案卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．已知集合
A． B． C． D．
2．
A． B． C． D．
3．中国古建筑助榫卯木构件连接起构件凸出部分棒头凹进部分卯眼图中木构件右边长方体棒头．图摆放木构件某带卯眼木构件咬合成长方体咬合时带卯眼木构件俯视图
4．
A． B． C． D．
5．展开式中系数
A．10 B．20 C．40 D．80
6．直线分轴轴交两点点圆面积取值范围
A． B． C． D．
7．函数图致
8．某群体中位成品移动支付概率成员支付方式相互独立设该群体10位成员中移动支付数
A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3
9．角边分面积
A． B． C． D．
10．设半径4球球面四点等边三角形面积三棱锥体积值
A． B． C． D．
11．设双曲线（）左右焦点坐标原点．作条渐线垂线垂足．离心率
A． B．2 C． D．
12．设
A． B．
C． D．
二填空题：题4题题5分20分
13．已知量．________．
14．曲线点处切线斜率________．
15．函数零点数________．
16．已知点抛物线焦点斜率直线交两点．________．
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17～21题必考题试题考生必须作答第2223选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．（12分）
等数列中．
（1）求通项公式
（2）记前项．求．
18．（12分）
某工厂提高生产效率开展技术创新活动提出完成某项生产务两种新生产方式．较两种生产方式效率选取40名工机分成两组组20第组工第种生产方式第二组工第二种生产方式．根工完成生产务工作时间（单位：min）绘制茎叶图：
（1）根茎叶图判断种生产方式效率更高？说明理
（2）求40名工完成生产务需时间中位数完成生产务需时间超超工数填入面列联表：
超
超
第种生产方式
第二种生产方式
（3）根（2）中列表否99握认两种生产方式效率差异？
附：．
19．（12分）
图边长2正方形面半圆弧面垂直异点．
（1）证明：面面
（2）三棱锥体积时求面面成二面角正弦值．
20．（12分）
已知斜率直线椭圆交两点．线段中点．
（1）证明：
（2）设右焦点点．证明：成等差数列求该数列公差．
21．（12分）
已知函数．
（1）证明：时时
（2）极值点求．
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修4—4：坐标系参数方程]（10分）
面直角坐标系中参数方程（参数）点倾斜角直线交两点．
（1）求取值范围
（2）求中点轨迹参数方程．
23．[选修4—5：等式选讲]（10分）
设函数．
（1）画出图
（2） 求值．
绝密★启前
2018年普通高等学校招生全国统考试
理科数学试题参考答案
选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
A
B
C
A
D
B
C
B
C
B
二填空题
13．14．15．16．2
17．解：
（1）设公题设．
已知解（舍）．
．
（2）．方程没正整数解．
．解．
综．
18．解：
（1）第二种生产方式效率更高．
理：
（i）茎叶图知：第种生产方式工中75工完成生产务需时间少80分钟第二种生产方式工中75工完成生产务需时间79分钟．第二种生产方式效率更高．
（ii）茎叶图知：第种生产方式工完成生产务需时间中位数85．5分钟第二种生产方式工完成生产务需时间中位数73．5分钟．第二种生产方式效率更高．
（iii）茎叶图知：第种生产方式工完成生产务均需时间高80分钟第二种生产方式工完成生产务均需时间低80分钟第二种生产方式效率更高．
（iv）茎叶图知：第种生产方式工完成生产务需时间分布茎8关茎8致呈称分布第二种生产方式工完成生产务需时间分布茎7关茎7致呈称分布两种生产方式工完成生产务需时间分布区间相认第二种生产方式完成生产务需时间第种生产方式完成生产务需时间更少第二种生产方式效率更高．
出4种理考生答出中意种合理理均分．
（2）茎叶图知．
列联表：
超
超
第种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
（3）99握认两种生产方式效率差异．
19．解：
（1）题设知面CMD⊥面ABCD交线CD．BC⊥CDBC面ABCDBC⊥面CMDBC⊥DM．
M异CD点DC直径 DM⊥CM．
BCCMCDM⊥面BMC．
DM面AMD面AMD⊥面BMC．
（2）D坐标原点方x轴正方建立图示空间直角坐标系D−xyz．
三棱锥M−ABC体积时M中点．
题设
设面MAB法量
取．
面MCD法量
面MAB面MCD成二面角正弦值．
20．解：
（1）设．
两式相减
．
题设知
．①
题设．
（2）题意设
．
（1）题设．
点PC．
．
理．
．
成等差数列．
设该数列公差d
．②
代入①．
l方程代入C方程整理．
代入②解．
该数列公差．
21．解：
（1）时．
设函数．
时时．时仅时仅时．
单调递增．
时时．
（2）（i）（1）知时极值点矛盾．
（ii）设函数．
时符号相．
极值点仅极值点．
．
果时极值点．
果存根时极值点．
果．时时．极值点极值点
综．
22．解：
（1）直角坐标方程．
时交两点．
时记方程．交两点仅解．
综取值范围．
（2）参数方程参数．
设应参数分满足．
．点坐标满足
点轨迹参数方程参数．
23．解：
（1）图图示．
（2）（1）知图轴交点坐标部分直线斜率值仅时成立值．
2017年普通高等学校招生全国统考试 全国卷理科数学
2017年普通高等学校招生全国统考试 全国卷二理科数学
2017年普通高等学校招生全国统考试 全国卷三理科数学
绝密★启前
2017年普通高等学校招生全国统考试 全国卷
理科数学
注意事项：1．答卷前考生务必姓名考生号考场号座位号填写答题卡2B铅笔试卷类型（B）填涂答题卡相应位置条形码横贴答题卡右角条形码粘贴处
2．作答选择题时选出题答案2B铅笔答题卡应题目选项答案信息点涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答案答试卷
3．非选择题必须黑色字迹钢笔签字笔作答答案必须写答题卡题目指定区域相应位置需改动先划掉原答案然写新答案准铅笔涂改液求作答效
4．考生必须保证答题卡整洁考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．已知集合A{x|x<1}B{x|}( )
A． B． C． D．
2．图正方形ABCD图形中国古代太极图正方形切圆中黑色部分白色部分关正方形中心成中心称正方形机取点点取黑色部分概率( )
A． B． C． D．
3．设面四命题
：复数满足 ：复数满足
：复数满足 ：复数
中真命题( )
A． B． C． D．
4．记等差数列前项．公差( )
A．1 B．2 C．4 D．8
5．函数单调递减奇函数．满足取值范围
A． B． C． D．
6．展开式中系数( )
A．15 B．20 C．30 D．35
7．某面体三视图图示中正视图左视图正方形等腰直角三角形组成正方形边长2俯视图等腰直角三角形该面体面中干梯形梯形面积( )
A．10 B．12 C．14 D．16
8．右面程序框图求出满足3n−2n>1000偶数n两空白框中分填入
A．A>1 000nn+1 B．A>1 000nn+2 C．A1 000nn+1 D．A1 000nn+2
9．已知曲线C1：ycos xC2：ysin (2x+)面结正确( )
A．C1点横坐标伸长原2倍坐标变曲线右移单位长度曲线C2
B．C1点横坐标伸长原2倍坐标变曲线左移单位长度曲线C2
C．C1点横坐标缩短原倍坐标变曲线右移单位长度曲线C2
D．C1点横坐标缩短原倍坐标变曲线左移单位长度曲线C2
10．已知F抛物线C：y24x焦点F作两条互相垂直直线l1l2直线l1C交AB两点直线l2C交DE两点|AB|+|DE|值( )
A．16 B．14 C．12 D．10
11．设xyz正数( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
12．位学生响应国家创业号召开发款应软件激发家学数学兴趣推出解数学题获取软件激活码活动款软件激活码面数学问题答案：已知数列1121241248124816…中第项20接两项2021接三项202122类推求满足条件整数N：N>100该数列前N项2整数幂该款软件激活码( )
A．440 B．330 C．220 D．110
二填空题：题4题题5分20分
13．已知量ab夹角60°|a|2|b|1| a +2 b | _______
14．设xy满足约束条件值_________
15．已知双曲线C：（a>0b>0）右顶点AA圆心b半径做圆A圆A双曲线C条渐线交MN两点∠MAN60°C离心率________
16．图圆形纸片圆心O半径5 cm该纸片等边三角形ABC中心ODEF圆O点△DBC△ECA△FAB分BCCAAB底边等腰三角形虚线剪开分BCCAAB折痕折起△DBC△ECA△FABDEF重合三棱锥△ABC边长变化时三棱锥体积（单位：cm3）值_______
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17~21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．（12分）△ABC角ABC边分abc已知△ABC面积
（1）求sinBsinC
（2）6cosBcosC1a3求△ABC周长
18（12分）图四棱锥PABCD中ABCD
（1）证明：面PAB⊥面PAD
（2）PAPDABDC求二面角APBC余弦值
19．（12分）
监控某种零件条生产线生产程检验员天该生产线机抽取16零件测量尺寸（单位：cm）．根长期生产验认条生产线正常状态生产零件尺寸服正态分布．
（1）假设生产状态正常记X表示天抽取16零件中尺寸外零件数求数学期
（2）天抽检零件中果出现尺寸外零件认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查．
（ⅰ）试说明述监控生产程方法合理性（ⅱ）面检验员天抽取16零件尺寸：
995
1012
996
996
1001
992
998
1004
1026
991
1013
1002
922
1004
1005
995
计算中抽取第零件尺寸．
样均数作估计值样标准差作估计值利估计值判断否需天生产程进行检查？剔外数剩数估计（精确001）．
附：机变量服正态分布
．
20（12分）已知椭圆C：（a>b>0）四点P1（11）P2（01）P3（–1）P4（1）中恰三点椭圆C
（1）求C方程
（2）设直线lP2点C相交AB两点直线P2A直线P2B斜率–1证明：l定点
21（12分）已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x
（1）讨单调性
（2）两零点求a取值范围
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修4―4：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系xOy中曲线C参数方程（θ参数）直线l参数方程
（1）a−1求Cl交点坐标
（2）C点l距离值求a
23．[选修4—5：等式选讲]（10分）
已知函数f（x）–x2+ax+4g(x)│x+1│+│x–1│
（1）a1时求等式f（x）≥g（x）解集
（2）等式f（x）≥g（x）解集包含[–11]求a取值范围
2017年普通高等学校招生全国统考试
理科数学参考答案
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1 A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C
7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A
二填空题：题4题题5分20分
13． 14．5 15． 16．
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17~21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．（12分）△ABC角ABC边分abc已知△ABC面积
（1）求sinBsinC
（2）6cosBcosC1a3求△ABC周长
解：（1）
题意
化简
根正弦定理化简：
（2）
代入中：
化简
利正弦定理
理
三角形周长
18（12分）
图四棱锥PABCD中ABCD
（1）证明：面PAB⊥面PAD
（2）PAPDABDC求二面角APBC余弦值
（1）证明：
PAPD面PAD
AB面PAB面PAB⊥面PAD
（2）解：
妨设
AD中点O原点OAx轴OPz轴建立面直角坐标系
点坐标：
假设面法量面法量
理
法量夹角余弦值：
明显钝角余弦
19．（12分）
监控某种零件条生产线生产程检验员天该生产线机抽取16零件测量尺寸（单位：cm）．根长期生产验认条生产线正常状态生产零件尺寸服正态分布．
（1）假设生产状态正常记X表示天抽取16零件中尺寸外零件数求数学期
（2）天抽检零件中果出现尺寸外零件认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查．
（ⅰ）试说明述监控生产程方法合理性
（ⅱ）面检验员天抽取16零件尺寸：
995
1012
996
996
1001
992
998
1004
1026
991
1013
1002
922
1004
1005
995
计算中抽取第零件尺寸．
样均数作估计值样标准差作估计值利估计值判断否需天生产程进行检查？剔外数剩数估计（精确001）．
附：机变量服正态分布
．
解：（1）
题意X满足二项分布
（2）
（1）属概率事件
果出现零件需进行检查
题意
范围外存922数需进行检查
时：
20（12分）
已知椭圆C：（a>b>0）四点P1（11）P2（01）P3（–1）P4（1）中恰三点椭圆C
（1）求C方程
（2）设直线lP2点C相交AB两点直线P2A直线P2B斜率–1证明：l定点
解：（1）
根椭圆称性P1（11）P4（1）时椭圆
P3（–1）P4（1）定时椭圆
椭圆P2（01）P3（–1）P4（1）
代入椭圆方程：
椭圆标准方程：
（2）题意直线P2A直线P2B斜率定存
妨设直线P2A：P2B：
联立
假设时：
时求直线斜率：
化简时满足
时AB两点重合合题意
时直线方程：
时直线恒定点
21（12分）
已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x
（1）讨单调性
（2）两零点求a取值范围
解：
（1）函数进行求导
时恒成立函数恒递减
时函数单调递减单调递增
（2）函数两零点时函数极值
函数两零点极值0
令
函数进行求导函数恒递增
函数两零点范围
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修4―4：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系xOy中曲线C参数方程（θ参数）直线l参数方程
（1）a−1求Cl交点坐标
（2）C点l距离值求a
解：
曲线C 参数方程化直角方程直线化直角方程
（1）时代入直线联立曲线方程：
解交点
（2）点直线距离
：
化简
根辅助角公式
解者
23．[选修4—5：等式选讲]（10分）
已知函数f（x）–x2+ax+4g(x)│x+1│+│x–1│
（1）a1时求等式f（x）≥g（x）解集
（2）等式f（x）≥g（x）解集包含[–11]求a取值范围
解：
函数化简
（1） 时作出函数图范围FG点中间
联立点解集
（2） 恒成立恒成立
根图：函数必须间
理科数学 2017年高三2017年全国甲卷理科数学
理科数学
考试时间：____分钟
题型
单选题
填空题
简答题
总分
分
单选题 （题12题题____分____分）
1．( )
A
B
C
D
2．设集合．( )
A
B
C
D
3．国古代数学名著算法统宗中问题：远巍巍塔七层红光点点倍加增灯三百八十请问尖头灯？意思：座7层塔挂381盏灯相邻两层中层灯数层灯数2倍塔顶层灯( )
A 1盏
B 3盏
C 5盏
D 9盏
4．图网格纸正方形边长1粗实线画出某体三视图该体面圆柱截部分该体体积( )
A
B
C
D
5．设满足约束条件值( )
A
B
C
D
6．安排3名志愿者完成4项工作少完成1项项工作1完成安排方式( )
A 12种
B 18种
C 24种
D 36种
7．甲乙丙丁四位学起老师询问成语竞赛成绩．老师说：四中2位优秀2位良现甲乙丙成绩乙丙成绩丁甲成绩．甲家说：知道成绩．根信息( )
A 乙知道四成绩
B 丁知道四成绩
C 乙丁知道方成绩
D 乙丁知道成绩
8．执行右面程序框图果输入输出( )
A 2
B 3
C 4
D 5
9．双曲线（）条渐线圆截弦长2离心率( )
A 2
B
C
D
10．已知直三棱柱中异面直线成角余弦值( )
A
B
C
D
11．函数极值点极值( )
A
B
C
D 1
12．已知边长2等边三角形面点( )
A
B
C
D
填空题 （题4题题____分____分）
13．批产品二等品率批产品中次机取件放回抽取次表示抽二等品件数____________．
14．函数值____________．
15．等差数列前项____________．
16．已知抛物线焦点点延长线交轴点．中点____________．
简答题（综合题） （题7题题____分____分）
17．（12分）
角边分已知．
（1）求
（2）面积求．
18．（12分）
海水养殖场进行某水产品新旧网箱养殖方法产量收获时机抽取100 网箱测量箱水产品产量（单位：kg）．频率分布直方图：
（1）设两种养殖方法箱产量相互独立记A表示事件：旧养殖法箱产量低50kg新养殖法箱产量低50kg估计A概率
（2）填写面列联表根列联表判断否99握认箱产量养殖方法关：
（3）根箱产量频率分布直方图求新养殖法箱产量中位数估计值（精确001）．
附：
19．（12分）
图四棱锥PABCD中侧面PAD等边三角形垂直底面ABCD EPD中点．
（1）证明：直线面PAB
（2）点M棱PC 直线BM底面ABCD成角求二面角余弦值．
20．（12分）设O坐标原点动点M椭圆C：M作x轴垂线垂足N点P满足．
（1）求点P轨迹方程
（2）设点Q直线．证明：点P垂直OQ直线lC左焦点F．
21．（12分）
已知函数．
（1）求
（2）证明：存唯极值点．
．
22．选考题：10分．请考生第2223题中选题作答．果做做第题计分．
[选修4―4：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系中坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程．
（1）M曲线动点点P线段OM满足求点P轨迹直角坐标方程
（2）设点A极坐标点B曲线求面积值．
23．选考题：10分．请考生第2223题中选题作答．果做做第题计分．
[选修4—5：等式选讲]（10分）
已知．证明：
（1）
（2）．
答案
单选题
1 D 2 C 3 B 4 B 5 A 6 D 7 D 8 B 9 A 10 C 11 A 12 B
填空题
13
14
1
15
16
6
简答题
17
（1） （2）
18
（1） （2）见解析 （3）
19
（1）见解析 （2）
20
（1）（2）见解析
21
（1）（2）见解析
22
（1）．（2）
23
（1）见解析（2）见解析
解析
单选题
1
复数法运算法：选D
2
方程根选C．
3
设塔顶层灯盏层灯数构成首项公2等数列结合等数列求公式：解塔顶层灯3盏选B．
4
题意体积体积该组合体体积．选B．
5
绘制等式组表示行域结合目标函数意义函数点处取值值．选A
6
题意完成两项工作余两完成项工作工作分成三份：种方法然进行全排列法原理安排方式种． 选D．
7
四知老师说甲说话．甲知成绩→乙丙中必优良（两优甲会知道成绩两良然）→乙丙成绩知成绩→丁甲甲丁中优良丁知成绩．
8
阅读程序框图初始化数值．
循环结果执行：
第次：
第二次：
第三次：
第四次：
第五次：
第六次：
结束循环输出．选B．
9
取渐线化成般式圆心直线距离
．
10
图示补成直四棱柱
求角
易选C．
11
令
时
时
极值．
12
图轴垂直分线轴坐标原点建立面直角坐标系设
时求值选B．
填空题
13
题意抽二等品件数符合二项分布二项分布期公式．
14
化简三角函数解析式
时函数取值1．
15
设首项公差．
求
16
图示妨设点M位第象限设抛物线准线轴交点作点点抛物线解析式准线方程直角梯形中中位线抛物线定义：结合题意．
简答题
17
（1）题：．
∵
∴
∴
∴
（2）⑴知．
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴．
18
（1）记：旧养殖法箱产量低 事件
新养殖法箱产量低事件
（2）
计算观测值
∵
∴
∴握产量养殖方法关．
（3）
∴中位数．
19
（1）令中点连结．
∵中点∴中位线∴．
∵∴．
∵∴∴．
∴四边形行四边形∴．
∵∴
（2）取中点连正三角形
∴
∵面面面面
∴面连四边形正方形
∵面∴面面
面面
作垂足∴面
∴面成角
∴
中∴
设
∴∴
中∴
∴
坐标原点分轴建立空间直角坐标系
设面法量∴
∴面法量
设二面角角（锐角）
∴
20
（1）设设．
．
C．
点P轨迹方程．
（2）题意知．设
．
（1）知
．
点P存唯直线垂直OQ点P垂直OQ直线C左焦点F．
21
（1）定义域
设等价
a10＜x＜1时单调递减x＞1时＞0单调递增x1极值点
综
⑵ ．
令．
令
时单调递减时单调递增．
．
零点．
设零点分单调减
时单调增时单调减．极值点．
单调增时单调减时单调增极值点．
唯极值点．
前面证明知．
．
．
22
⑴设
．
解化直角坐标系方程．
（2）设点B极坐标题设知
△OAB面积
时S取值
△OAB面积值
23
（1）
（2）
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2017年普通高等学校招生全国统考试（全国卷3）
理科数学
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．已知集合中元素数
A．3 B．2 C．1 D．0
2．设复数满足
A． B． C． D．2
3．某城市解游客数变化规律提高旅游服务质量收集整理2014年1月2016年12月期间月接游客量（单位：万）数绘制面折线图．
根该折线图列结错误
A．月接游客量逐月增加
B．年接游客量逐年增加
C．年月接游客量高峰期致78月
D．年1月6月月接游客量相7月12月波动性更变化较稳
4．展开式中系数（）
A．80 B．40 C．40 D．80
5．已知双曲线条渐线方程椭圆公焦点．方程（）
A． B． C． D．
6．设函数列结错误（）
A．周期 B．图关直线称
C．零点 D．单调递减
7．执行右图程序框图输出值91输入正整数值
A．5
B．4
C．3
D．2
8．已知圆柱高1两底面圆周直径2球球面该圆柱体积（）
A． B．
C． D．
9．等差数列首项1公差0．成等数列前6项
A．24 B．3 C．3 D．8
10．已知椭圆（）左右顶点分线段直径圆直线相切离心率（）
A． B． C． D．
11．已知函数唯零点（）
A． B． C． D．1
12．矩形中动点点圆心相切圆．值
A．3 B． C． D．2
二填空题：（题4题题5分20分）
13．满足约束条件值________．
14．设等数列满足________．
15．设函数满足取值范围________．
16．空间中两条互相垂直直线等腰直角三角形直角边直线垂直斜边直线旋转轴旋转列结：
①直线成角时成角
②直线成角时成角
③直线成角值
④直线成角值．
中正确________（填写正确结编号）
三解答题：（70分．第1720题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答）
（）必考题：60分．
17．（12分）
角边分已知
（1）求
（2）设边点求面积．
18．（12分）某超市计划月订购种酸奶天进货量相进货成瓶4元售价瓶6元未售出酸奶降价处理瓶2元价格天全部处理完．根年销售验天需求量天高气温（单位：℃）关．果高气温低25需求量500瓶果高气温位区间需求量300瓶果高气温低20需求量200瓶确定六月份订购计划统计前三年六月份天高气温数面频数分布表：
高气温
天数
2
16
36
25
7
4
高气温位区间频率代高气温位该区间概率．
（1）求六月份种酸奶天需求量（单位：瓶）分布列
（2）设六月份天销售种酸奶利润（单位：元）．六月份种酸奶天进货量（单位：瓶）少时数学期达值？
19．（12分）图四面体中正三角形直角三角形．．
（1）证明：面面
（2）面交点面四面体分成体积相等两部分．求二面角余弦值．
20．（12分）已知抛物线点（20）直线交两点圆线段直径圆．
（1）证明：坐标原点圆
（2）设圆点（4）求直线圆方程．
21．（12分）已知函数．
（1）求值
（2）设整数意正整数求值．
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22．[选修44：坐标系参数方程]（10分）
直角坐标系中直线参数方程（参数）直线参数方程（参数）设交点变化时轨迹曲线．
（1）写出普通方程：
（2）坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系设：交点求极径．
23．[选修45：等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）求等式解集
（2）等式解集非空求取值范围．
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2017年普通高等学校招生全国统考试（全国3）
理科数学参考答案
选择题
1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D
7．D 8．B 9．A 10．A 11．C 12．A
二填空题
13． 14． 15． 16．②③
三解答题
17．解：
（1）已知
中余弦定理
解（舍）
（2）题设
面积面积值
面积面积
18．解：
（1）题意知取值200300500表格数知
分布列：
200
300
500
02
04
04
（2）题意知种酸奶天需求量500少200需考虑200500
时
高气温低25
高气温位区间[2025）
高气温低20
时
高气温低20
高气温低20
时数学期达值值520元
19．解：
（1）题设
直角三角形
取中点连结
正三角形
二面角面角
中
面面
（2）题设（1）知两两垂直坐标原点方轴正方单位长建立图示空间直角坐标系
题设知四面体体积四面体体积面距离面距离中点
设面法量理取
二面角余弦值
20．解：
（1）设
斜率斜率积
坐标原点圆
（2）（1）
圆心坐标圆半径
圆点
（1）
解
时直线方程圆心坐标圆半径圆方程
时直线方程圆心坐标圆半径圆方程
21．解：
（1）定义域
① 满足题意
② 知时时单调递减单调递增唯值点
仅时
（2）（1）知时
令
值3
22．解：
（1）消参数普通方程消参数普通方程
设题设消
普通方程
（2）极坐标方程
联立
代入交点极径
23．解：
（1）
时解
时解
时解
解集
（2）
时
取值范围
2016年普通高等学校招生全统考试理科数学卷
2016年普通高等学校招生全统考试理科数学卷二
2016年普通高等学校招生全统考试理科数学卷三
2016年普通高等学校招生全统考试
理科数学
第Ⅰ卷
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
（1） 设集合
（A）（） （B）（） （C）（） （D）（）
（2） 设中实数
（A）1 （B） （C） （D）2
（3） 已知等差数列前9项27
（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
（4） 某公司班车730800830发车明750830间达发车站坐班车达发车站时刻机等车时间超10分钟概率
（A） （B） （C） （D）
（5） 已知方程表示双曲线该双曲线两焦点间距离4取值范围 （A）（） （B）（） （C）（） （D）（）
（6） 图某体三视图三半径相等圆圆中两条互相垂直半径．该体体积表面积
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
（7） 函数图象致
（A） （B） （C） （D）
否
输入
输出
开始
结束
（8）
（A） （B）
（C） （D）
（9） 执行右图程序框图果输入输出值满足
（A） （B） （C） （D）
（10） 抛物线顶点圆心圆交两点交准线两点．已知焦点准线距离
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
（11） 面正方体顶点∥面∩面∩面成角正弦值
（A） （B） （C） （D）
（12） 已知函数零点图象称轴单调值
（A）11 （B）9 （C）7 （D）5
第Ⅱ卷
卷包括必考题选考题两部分第(13)～(21)题必考题试题必须作答第(22)～(24)题选考题考生根求作答
二填空题：题4题题5分
（13） 设量 ．
（14） 展开式中系数 ．（数字填写答案）
（15） 设等数列满足值 ．
（16） 某高科技企业生产产品A产品B需甲乙两种新型材料生产件A需甲材料15kg乙材料1kg5工时生产件B需甲材料05kg乙材料03kg3工时生产件A产品利润2100元生产件B产品利润900元该企业现甲材料150kg乙材料90kg超600工时条件生产产品A产品B利润值 ．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
（17） （题满分12分）
角边分已知
（Ⅰ）求
（Ⅱ）面积求周长
（18） （题满分12分）
图顶点五面体中面正方形二面角二面角60°
（Ⅰ）证明：面⊥面
（Ⅱ）求二面角余弦值
（19） （题满分12分）
某公司计划购买2台机器该种机器三年淘汰机器易损零件购买机器时额外购买种零件备件200元机器期间果备件足购买500元现需决策购买机器时应时购买易损零件搜集整理100台种三年期更换易损零件面柱状图：
100台机器更换易损零件数频率代1台机器更换易损零件数发生频率记表示2台机器三年需更换易损零件数表示购买2台机器时购买易损零件数
（Ⅰ）求分布列
（Ⅱ）求确定值
（Ⅲ）购买易损零件需期值决策中选应选？
（20） （题满分12分）
设圆圆心直线点轴重合交圆两点作行线交点
（Ⅰ）证明定值写出点轨迹方程
（Ⅱ）设点轨迹曲线直线交两点垂直直线圆交两点求四边形面积取值范围
（21） （题满分12分）
已知函数两零点
（Ⅰ）求取值范围
（Ⅱ）设两零点证明：
请考生第（22）（23）（24）题中选题作答果做做第题计分
（22） （题满分10分）选修41：证明选讲
图等腰三角形圆心半径作圆
（Ⅰ）证明：直线⊙相切
（Ⅱ）点⊙四点圆证明：
（23） （题满分10分）选修44：坐标系参数方程
直角坐标系中曲线参数方程(参数)坐标原点极点轴正半轴极轴极坐标系中曲线：
（Ⅰ）说明种曲线方程化极坐标方程
（Ⅱ）直线极坐标方程中满足曲线公点求
（24） （题满分10分）选修45：等式选讲
已知函数
（Ⅰ）答题卡第（24）题图中画出图
（Ⅱ）求等式解集
2016年全国卷Ⅰ高考数学（理科）答案解析
选择题
答案
（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）C （10）B
（11）A （12）B
解析
（1） ∴ ．
（2） ∵∴解：∴．
（3） ∵∴∵∴∴．
（4） 图示画出时间轴：
明达时间会机落图中线段AB中达时间落线段ACDB时保证等车时间超10分钟
根概型求概率．
（5） 表示双曲线∴
∵
解∴．
（6） 原立体图图示：
球切掉左角18三视图表面积78球面面积三扇形面积
∴
（7） 排A 排B
时 时∴单调递减排C
选D
（8） A： ∴函数单调递增A错误
B： ∴函数单调递减
∴B错误
C： 较需较需较需
构造函数单调递增
∴C正确
D： 较需较
函数单调递增
∴D错误
选C．
2°特殊值法令排A排BC正确排D∴选C
循环节运行次数
判断
否输出
运行前
0
1
1
第次
否
否
第二次
否
否
第三次
（9） 表：
输出满足选C．
（10） 开口右抛物线例解答开口理
设抛物线设圆方程题目条件翻译图：
F
设
点抛物线∴……①
点圆∴……②
点圆∴……③
联立①②③解：焦点准线距离．
2°图设抛物线方程圆半径r交轴点点坐标点横坐标勾股定理知解焦点准线距离4
（11） 图示：
∵∴设面面
∵面∥面结合面面
∴
理：
成角成角相等．
（均面交线）．
（12） 题意知：
中
单调
接排法
时递增递减满足单调
时满足单调递减
二填空题
答案
（13）2 （14）10 （15）64 （16）216 000
解析
（13） 已知∴解．
2°∴解．
（14） 展开式通项(12…5)令系数．
（15） 设等数列公∴解∴∴时取值．
（16） 设生产A产品件B产品件根耗费材料求工时求等限制条件构造线性规约束
目标函数
作出行域图中四边形包括边界顶点
处取值
三解答题
（17） 解：
（I） 已知正弦定理
∴．
（II） 已知
∴
已知余弦定理
∴周长
（18）解：
（I） 已知AF⊥DFAF⊥FE∴AF⊥面EFDC．
AF面ABEF面ABEF⊥面EFDC．
（II） D作DG⊥EF垂足G(Ⅰ)知DG⊥面ABEF
G坐标原点GF方x轴正方GF单位长建立图示空间直角坐标系Gxyz．
(Ⅰ)知∠DFE二面角DAFE面角∠DFE60°
DF2DG3A(140)B(340)E(300)D(003)
已知AB∥EF∴AB∥面EFDC
面ABCD ⋂面EFDCCDAB∥CDCD∥EF
BE∥AFBE⊥面EFDC∴∠CEF二面角CBEF面角∠CEF60°C(203)
∴EC103EB040AC343AB(400)
设n(xyz)面BCE法量n⋅EC0n⋅EB0x+3z04y0 ∴取n(303)
设m面ABCD法量m⋅AC0m⋅AB0理取m(034)
cosnmn⋅mn⋅m21919二面角EBCA余弦值21919
（19）解：
（I） 柱状图频率代概率台机器三年需更换易损零件数位891011概率分02040202
P(X16)02×02004
P(X17)2×02×04016
P(X18)2×02×02+04×04024
P(X19)2×02×02+2×04×02024
P(X20)2×02×04+02×0202
P(X21)2×02×02008
P(X22) 02×02004
X
16
17
18
19
20
21
22
P
004
016
024
024
02
008
004
X分布列
（II） (Ⅰ)知P(X≤18)044P(X≤19)068n值19．
（III） 记Y表示2台机器购买易损零件需费（单位：元）
n19时EY19×200×068+(19×200+500) ×02+(19×200+2×500) ×008+(19×200+3×500) ×0044040．
n20时EY20×200×088+(20×200+500) ×008+(20×200+2×500) ×0044080．
知n19时需费期值n20时需费期值应选n19．
（20）解：
（I） ∵ADACEB∥AC∠EBD∠ACD∠ADC．
∴EBEDEA+EBEA+ED．
圆A标准方程AD4∴EA+EB4．
题设A(10)B(10)AB2椭圆定义点E轨迹方程：．
（II） lx轴垂直时设l方程．
．
∴．
点B(10)l垂直直线m：Am距离
∴．
四边形MPNQ面积．
lx轴垂直时四边形MPNQ面积取值范围．
lx轴垂直时方程四边形MPNQ面积12．
综四边形MPNQ面积取值范围
（21）解：
（I） ．
（i） 设零点．
（ii） 设时时．
∴单调递减单调递增．
取b满足
存两零点．
（iii） 设．
时单调递增．时∴存两零点
时时．单调递减单调递增．时∴存两点零点．
综取值范围．
（II） 妨设(Ⅰ)知单调递减∴．
∵
∴．
设．
∴时时．
．
（22）解：
（I） 设EAB中点连结OE．
∵OAOB∠AOB120°∴OE⊥AB∠AOE60°．
Rt△AOE中OE 12AOO直线AB距离等⊙O半径∴AB⊙O相切．
（II） ∵OA2OD∴OABCD四点圆圆心．设ABCD四点圆圆心作直线OO′．
已知O线段AB垂直分线O′线段AB垂直分线∴OO′⊥AB．
理证OO′⊥CD．∴AB∥CD．
（23）解：
（I） 消参数普通方程．（01）圆心a半径圆．
代入普通方程中极坐标方程．
（II） 曲线公点极坐标满足方程组
方程组已知解（舍）．
时极点公点．
∴．
（24）解：
（I） 图图示．
（II） 表达式图时
时
解集解集．
∴解集
．2016年普通高等学校招生全国统考试
理科数学12卷
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分24题150分4页考试结束试卷答题卡交回
注意事项：1答题前考生务必姓名准考证号填写清楚条形码准确粘贴条形码区域
2 选择题必须2B铅笔填涂非选择题必须05毫米黑色字迹签字笔书写字体工整笔迹清楚
3 请题号序题目答题区域作答超出答题区域书写答案效草稿纸试题卷答题效
4 作图先铅笔画出确定必须墨色笔迹签字笔描黑
5 保持卡面清洁折叠弄破弄皱准涂改液修正带刮纸刀
第Ⅰ卷
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
（1）已知复面应点第四象限实数m取值范围
（A）（B）（C）（D）
（2）已知集合
（A）（B）（C）（D）
（3）已知量m
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
（4）圆圆心直线 距离1a
（A） （B） （C） （D）2
（5）图明街道E处出发先F处红会合起位G处老年公寓参加志愿者活动明老年公寓选择短路径条数
（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
（6）右图圆柱圆锥组合成体三视图该体表面积
（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π
（7）函数y2sin 2x图左移单位长度移图象称轴
（A）x (kZ) （B）x (kZ)
（C）x (kZ) （D）x (kZ)
（8）中国古代计算项式值秦九韶算法右图实现该算法程序框图执行该程序框图输入x2n2次输入a225输出s
（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
（9）cos(4(π)–α) 5(3)sin 2α
（A）（B）（C） （D）
（10）区间机抽取2n数……构成n数…中两数方1数m机模拟方法圆周率 似值
（A） （B） （C） （D）
（11）已知F1F2双曲线E左右焦点点MEM F1 轴垂直sin E离心率
（A） （B） （C） （D）2
（12）已知函数满足函数图交点···（）
（A）0 （B）m （C）2m （D）4m
第II卷
卷包括必考题选考题两部分第(13)题~第(21)题必考题试题考生必须作答第(22)题~第(24)题选考题考生根求作答
二填空题：题3题题5分
（13）△ABC角ABC边分abccos Acos Ca1b
（14）αβ两面mn两条直线列四命题：
（1）果m⊥nm⊥αn∥βα⊥β
（2）果m⊥αn∥αm⊥n
（3）果α∥βmαm∥β
（4）果m∥nα∥βmα成角nβ成角相等
中正确命题 (填写正确命题编号）
（15）三张卡片分写121323甲乙丙三取走张卡片甲乙卡片说：乙卡片相数字2乙丙卡片说：丙卡片相数字1丙说：卡片数字5甲卡片数字
（16）直线ykx+b曲线ylnx+2切线曲线yln（x+1）切线b
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
（17）（题满分12分）
Sn等差数列前n项1 28 记中表示超x整数[09] 0[lg99]1
（I）求
（II）求数列前1 000项
（18）（题满分12分）
某险种基保费a（单位：元）继续购买该险种投保称续保续保年度保费年度出险次数关联：
年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
085a
a
125a
15a
175a
2a
设该险种续保年出险次数相应概率：
年出险次数
0
1
2
3
4
5
概率
030
015
020
020
010
0 05
（I）求续保年度保费高基保费概率
（II）续保年度保费高基保费求保费基保费高出60概率
（III）求续保年度均保费基保费值
（19）（题满分12分）
图菱形ABCD角线ACBD交点OAB5AC6点EF分ADCDAECFEF交BD点H△DEFEF折△位置
（I）证明：面ABCD
（II）求二面角正弦值
（20）（题满分12分）
已知椭圆E焦点轴AE左顶点斜率k(k>0)直线交EAM两点点NEMA⊥NA
（I）t4时求△AMN面积
（II）时求k取值范围
（21）（题满分12分）
(I)讨函数 单调性证明 >0时
(II)证明： 时函数 值设g（x）值求函数 值域
请考生222324题中选题作答果做做第题计分做答时请写清题号
（22）（题满分10分）选修41：集合证明选讲
图正方形ABCDEG分边DADC（端点重合）DEDGD点作DF⊥CE垂足F
(I) 证明：BCGF四点圆
(II)AB1EDA中点求四边形BCGF面积
（23）（题满分10分）选修4—4：坐标系参数方程
直线坐标系xoy中圆C方程（x+6）2+y225
（I）坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系求C极坐标方程
（II）直线l参数方程 （t参数）lC交AB两点
∣AB∣求l斜率
（24）（题满分10分）选修4—5：等式选讲
已知函数f(x) ∣x∣+∣x+∣M等式f(x) ＜2解集
（I）求M
（II）证明：ab∈M时∣a+b∣＜∣1+ab∣
2016年普通高等学校招生全国统考试
理科数学答案
第Ⅰ卷
选择题：
（1）答案A
（2）答案C
（3）答案D
（4）答案A
（5）答案B
（6）答案C
（7）答案B
（8）答案C
（9）答案D
（10）答案C
（11）答案A
（12）答案C
第Ⅱ卷
二填空题
(13)答案
(14) 答案②③④
（15）答案13
（16）答案
三解答题
17（题满分12分）
答案（Ⅰ） （Ⅱ）1893
解析
试题分析：（Ⅰ）先求公差通项根已知条件求（Ⅱ）分段函数表示等差数列前项公式求数列前1 000项．
试题解析：（Ⅰ）设公差已知解
通项公式
（Ⅱ）
数列前项
考点：等差数列性质前项公式数运算
结束
18（题满分12分）
答案（Ⅰ）根互斥事件概率公式求解（Ⅱ）条件概率公式求解（Ⅲ）记续保年度保费求分布列根期公式求解
解析
试题分析：
试题解析：（Ⅰ）设表示事件：续保年度保费高基保费事件发生仅年出险次数1
（Ⅱ）设表示事件：续保年度保费基保费高出事件发生仅年出险次数3
求概率
（Ⅲ）记续保年度保费分布列
续保年度均保费基保费值
考点： 条件概率机变量分布列期
结束
19（题满分12分）
答案（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）证证证（Ⅱ）量法求解
试题解析：（I）已知
（II）图坐标原点方轴正方建立空间直角坐标系设面法量取设面法量取 二面角正弦值
考点：线面垂直判定二面角
结束
20（题满分12分）
答案（Ⅰ）（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）先求直线方程求点坐标求面积（Ⅱ）设直线方程椭圆方程组成方程组消表示表示理表示求
试题解析：（I）设题意知时方程
已知椭圆称性知直线倾斜角直线方程
代入解
面积
（II）题意
直线方程代入
题设直线方程理
时式成立
等价
解
取值范围
考点：椭圆性质直线椭圆位置关系
结束
（21）（题满分12分）
答案（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）先求定义域导数法求函数单调性时证明结（Ⅱ）导数法求函数值构造新函数导数法求解
试题解析：（Ⅰ）定义域
仅时单调递增
时
（II）
（I）知单调递增意
存唯
时单调递减
时单调递增
处取值值
单调递增
单调递增意存唯
值域
综时值域
考点： 函数单调性极值值
结束
请考生222324题中选题作答果做做第题计分做答时请写清题号
（22）（题满分10分）选修41：证明选讲
答案（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）证证四点圆（Ⅱ）证明四边形面积面积2倍
试题解析：（I）
四点圆
（II）四点圆知连结
斜边中点知
四边形面积面积2倍
考点： 三角形相似全等四点圆
结束
（23）（题满分10分）选修4—4：坐标系参数方程
答案（Ⅰ）（Ⅱ）
解析
试题分析：（I）利C极坐标方程（II）先直线参数方程化普通方程利弦长公式斜率．
试题解析：（I）极坐标方程
（II）（I）中建立极坐标系中直线极坐标方程
应极径分极坐标方程代入极坐标方程
斜率
考点：圆极坐标方程普通方程互化 直线参数方程点直线距离公式
结束
（24）（题满分10分）选修4—5：等式选讲
答案（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
解析
试题分析：（I）先掉绝值分三种情况解等式（II）采方作差法进行式分解进证时．
试题解析：（I）
时解
时
时解
解集
（II）（I）知时
考点：绝值等式等式证明
结束
2016年高考理科数学全国新课标3卷
选择题（题12题）
设集合 （ ）
A． [23] B．（ 2] [3+） C． [3+） D．（0 2] [3+）
（ ）
A．1 B． 1 C． D．
已知量 （ ）
A． B． C． D．
某旅游城市游客介绍气温情况绘制年中月均高气温均低气温雷达图．图中点表示十月均高气温约点表示四月均低气温约．面叙述正确（ ）
A．月均低气温
B．七月均温差月均温差
C．三月十月均高气温基相
D．均气温高月份5
（ ）
A． B． C． 1 D．
已知（ ）
A． B． C． D．
执行图程序框图果输入输出（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
中边高等（ ）
A． B． C． D．
图网格纸正方形边长1粗实现画出某面体三视图该面体表面积（ ）
A． B． C．90 D．81
封闭直三棱柱体积球值（ ）
A．4π B． C．6π D．
已知坐标原点椭圆：左焦点分左右顶点点轴点直线线段交点轴交点直线中点离心率（ ）
A． B． C． D．
定义规范01数列：项中项0项1意中0数少1数规范01数列（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
二 填空题（题4题）
满足约束条件 值_____________
函数图函数图少右移_____________单位长度．
已知偶函数时曲线点处切线方程_______________．
已知直线：圆交两点分做垂线轴交两点__________________
三 解答题（题8题）
已知数列前n项中．
（I）证明等数列求通项公式
（II） 求．
图国2008年2014年生活垃圾害化处理量（单位：亿吨）折线图
（I）折线图出线性回模型拟合关系请相关系数加说明
（II）建立关回方程（系数精确001）预测2016年国生活垃圾害化处理量．
附注：
参考数：≈2646
参考公式：相关系数
回方程 中斜率截距二估计公式分：
．
图四棱锥中面线段点中点．
（I）证明面
（II）求直线面成角正弦值
已知抛物线：焦点行轴两条直线分交两点交准线两点．
（I）线段中点证明
（II）面积面积两倍求中点轨迹方程
设函数中记值．
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求
（Ⅲ）证明．
选修41：证明选讲
图中中点弦分交两点．
（I）求
（II）垂直分线垂直分线交点证明．
选修44：坐标系参数方程
直角坐标系中曲线参数方程坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程．
（I）写出普通方程直角坐标方程
（II）设点点求值时直角坐标
选修45：等式选讲
已知函数．
（I）时求等式解集
（II）设函数．时求取值范围．
2016年高考理科数学全国新课标3卷答案解析
选择题
答案D
解析解
选D
考点：1等式解法2集合交集运算．
技巧点拨研究集合关系处理集合交补运算问题常韦恩图数轴等工具辅助解题．般离散数集抽象集合间关系运算助韦恩图连续集合间运算关系助数轴直观性进行合理转化．
答案C
解析
试题分析：选C．
考点：1复数运算2轭复数．
举反三复数加减法运算中形式理解关虚数单位项式合类项复数法项式法相类似结果中换成－1复数法类实数运算分母理化．复数加减法意义面量加减法意义进行理解．
答案A
解析题意
选A．
考点：量夹角公式．
思维拓展（1）面量数量积中夹角注意夹角定义取值范围：（2）量数量积性质利面量数量积解决长度角度垂直等关问题．
答案D
解析图知0°C均虚线框月均低气温0°CA正确图七月均气温差75°C月均温差75°C七月均温差月均温差B正确图知三月十月均高气温约5°C基相C正确图知均高气温高20°C月份32正确选D
考点：1均数2统计图．
易错警示解答题时易错两种：（1）图形中线条认识明确知措觉两雨伞重叠起找解决问题方法（2）估计均温差时易出现错误错选B．
答案A
解析
试题分析：选A．
考点：1角三角函数间基关系2倍角公式．
方法点拨三角函数求值：①角求值非特殊角特殊角转化通相消相约消非特殊角进求出三角函数值②值求值关键目标明确建立已知求间联系．
答案A
解析
试题分析：选A．
考点：幂函数图象性质．
技巧点拨较指数常常根三数结构联系相关指数函数数函数幂函数单调性判断果两数指数相底数考虑幂函数单调性果指数底数相考虑指数函数单调性果涉数联系数单调性解决．
答案B
解析第1次循环a2b4a6s6n1
第2次循环a2b6a4s10n2
第3次循环a2b46s16n3
第4次循环a2b6a4a20>16n4
退出循环输出n4选B
考点：程序框图．
注意提示解决类型时注意：第明确型循环结构直型循环结构．根特点执行循环体第二明确图中累计变量明确次执行循环体前执行循环体变量值发生变化第三明确循环体终止条件什会判断什时候终止循环体．
答案C
解析
试题分析：设边高线．余弦定理知选C．
考点：余弦定理．
方法点拨面图形中求相关量时需寻找三角形间联系交叉公条件常常涉已知量求集中某三角形然选正弦定理余弦定理求解．
答案B
解析三视图知体侧视图底面斜四棱柱该体表面积
选B
考点：空间体三视图表面积．
技巧点拨求解面体表面积体积问题关键找中特征图形棱柱中矩形棱锥中直角三角形棱台中直角梯形等通图形找元素间关系建立未知量已知量间关系进行求解．
答案B
解析
试题分析：球体积必须球半径．题意知球直三棱柱底面相切时球半径取值时球体积选B．
考点：1三棱柱切球2球体积．
思维拓展立体值问题通常三种思考方：（1）根体结构特征变动态静态直观判断什情况取值（2）体面化利展开图面图中直观求解（3）建立函数通求函数值求解．
答案A
解析题意设直线l方程yk(x+a)分令椭圆离心率选A．
考点：椭圆方程性质．
思路点拨求解椭圆离心率问题三种方法：（1）直接求值进求值（2）建立齐次等式求转化关等式求解(3)通特殊值特殊位置求出．
答案C
解析
试题分析：题意必具体排法列表：
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
考点：计数原理应．
方法点拨求解计数问题时果遇情况较复杂分类较标准较时求计数结果太时利表格法树枝法列举出常常会达岀奇制胜效果．
二 填空题
答案
解析
试题分析：作出等式组满足面区域图示图知目标函数点时取值．
考点：简单线性规划问题．
技巧点拨利图解法解决线性规划问题般步骤：(1)作出行域．约束条件中等式作等式作出相应直线确定原等式区域然求出区域交集(2)作出目标函数等值线(等值线指目标函数原点直线)(3)求出终结果．
答案
解析
图函数图少右移单位长度
考点：1三角函数图象移变换2两角差正弦函数．
误区警示进行三角函数图象变换时提倡先移伸缩先伸缩移常出现题目中必须熟练掌握种变形切记变换总字母言图象变换变量起变化角变化少．
答案
解析
试题分析：时．偶函数切线斜率切线方程．
考点：1函数奇偶性解析式2导数意义．
知识拓展题题型纳已知时函数时求函数解析式．结：函数偶函数时函数解析式奇函数函数解析式．
答案4
解析圆半径圆心直线
距离解代入直线l方程直线l倾斜角梯形ABCD中
考点：直线圆位置关系．
技巧点拨解决直线圆综合问题时方面注意运解析基思想方法(问题代数化)转化代数问题方面直线圆面联系非常紧密准确作出图形充分挖掘图形中隐含条件利知识问题较简捷解决．
三 解答题
答案（Ⅰ）（Ⅱ）．
解析(I)n1时
首项公等数列．
（Ⅱ）（Ⅰ）
解．
考点：1数列通项前项关系2等数列定义通项前项．
方法总结等数列证明通常两种方法：（1）定义法证明（常数）（2）中项法证明．根数列递推关系求通项常常递推关系变形转化等数列等差数列求解．
答案（Ⅰ）理见解析（Ⅱ）182亿吨．
试题解析：（Ⅰ）折线图数附注中参考数
．
相关系数似099说明线性相关相高线性回模型拟合关系
（II）（I）
y关t回方程：
2016年应t9代入回方程：
预测2016年国生活垃圾害化处理量约182亿吨
考点：线性相关线性回方程求法应．
方法点拨（1）判断两变量否线性相关相关程度通常两种方法：（1）利散点图直观判断（2）相关数代入相关系数公式求出然根进行判断．求线性回方程时严格公式求解时定注意计算准确性．
答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．
解析
试题分析：（Ⅰ）取中点然结合条件中数证明四边形行四边形结合线面行判断定理证（Ⅱ）坐标原点直线分轴建立空间直角坐标系然通求直线方量面法量夹角处理面成角．
试题解析：（Ⅰ）已知取中点连接中点知
四边形行四边形
面面面
设面法量取
考点：1空间直线面间行垂直关系2棱锥体积．
技巧点拨（1）证明立体中行关系常常通线线行实现线线行常常利三角形中位线行四边形梯形行关系推证（2）求解空间中角距离常常通建立空间直角坐标系利空间量中夹角距离处理．
答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．
试题解析：题设设
记两点直线方程 3分
（Ⅰ）线段
记斜率斜率
5分
（Ⅱ）设轴交点
题设（舍）
设满足条件中点
轴垂直时
轴垂直时重合求轨迹方程 12分
考点：1抛物线定义性质2直线抛物线位置关系3轨迹求法．
方法纳（1）解析中行问题证明通证明两条直线斜率相等转化利量证明（2）求轨迹方法高考中常考直接法代入法（相关点法）利代入法求解时必须找准动点动点．
答案（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析．
试题解析：（Ⅰ）．
（Ⅱ）时
． ………4分
时变形．
令值时取极值极值．
令解（舍）．
（ⅰ）时极值点．
（ii）时知
（Ⅲ）（Ⅰ）
时
时
时
考点：1三角恒等变换2导数计算3三角函数界性．
纳总结求三角函数值通常分两步：（1）利两角差三角公式二倍角公式诱导公式解析式化形形式（2）结合变量取值范围结合正弦曲线余弦曲线进行求解．
请考生[22][23][24]题中选题作答作答时2B铅笔答题卡选题目题号方框涂黑果做做第题计分
答案（Ⅰ）（Ⅱ）见解析．
试题解析：（Ⅰ）连结
（Ⅱ）知四点圆圆心垂直分线垂直分线四点圆圆心垂直分线垂直分线．
考点：1圆周角定理2三角形角定理3垂直分线定理4四点圆．
方法点拨（1）求角通常三角形相似直角三角形两锐角互余圆周角圆心角定理三角形角定理等知识断代换求结果（2）证明两条直线夂垂直关系常常判断垂直相关定理等腰三角形三线合矩形性质圆直径行性质等．
答案（Ⅰ）普通方程直角坐标方程（Ⅱ）．
试题解析：（Ⅰ）普通方程直角坐标方程 ……5分
（Ⅱ）题意设点直角坐标直线值距离值
………………8分
仅时取值值时直角坐标 ………………10分
考点：1椭圆参数方程2直线极坐标方程．
技巧点拨般涉椭圆点值问题定值问题轨迹问题等直接处理手时考虑利椭圆参数方程进行处理设点坐标转化三角问题进行求解．
答案（Ⅰ）（Ⅱ）．
试题解析：（Ⅰ）时
解等式
解集 ………………5分
（Ⅱ）时
时等号成立
时等价 ① ……7分
时①等价解
时①等价解
取值范围 ………………10分
考点：1绝值等式解法2三角形绝值等式应．
易错警示绝值三角等式易忽视等号成立条件．仅时等号成立果仅时左边等号成立仅时右边等号成立．
2015年高考理科数学试卷全国1卷
2015年高考理科数学试卷全国2卷
2015年高考理科数学试卷全国1卷
1．设复数z满足|z|（ ）
（A）1 （B） （C） （D）2
2． （ ）
（A） （B） （C） （D）
3．设命题：（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4．投篮测试中投3次少投中2次通测试已知某学次投篮投中概率06次投篮否投中相互独立该学通测试概率（ ）
（A）0648 （B）0432 （C）036 （D）0312
5．已知M（）双曲线C：点C两焦点取值范围（ ）
（A）（） （B）（）
（C）（） （D）（）
6．九章算术国古代容极丰富数学名著书中问题委米垣角周八尺高五尺问积米意思屋墙角处堆放米（图米堆圆锥四分）米堆圆锥四分）米堆底部弧长8尺米堆高5尺问米堆体积堆放米少已知1斛米体积约162立方尺圆周率约3估算出堆放斛米约（ ）
（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛
7．设面点（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8．函数部分图图示单调递减区间（ ）
（A） （B）
（C） （D）
9．执行右面程序框图果输入t001输出n（ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
10．展开式中系数（ ）
（A）10 （B）20 （C）30 （D）60
11．圆柱面截部分半球（半径r）组成体该体三视图中正视图俯视图图示该体表面积16 + 20r（ ）
（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
12．设函数中a1存唯整数0取值范围（ ）
（A）[1） （B）[） （C）[） （D）[1）
13．函数f（x）偶函数a
14．圆椭圆三顶点圆心x轴正半轴该圆标准方程
15．满足约束条件值
16．面四边形ABCD中∠A∠B∠C75°BC2AB取值范围
17．（题满分12分）数列{}前项已知＞0
（Ⅰ）求{}通项公式
（Ⅱ）设 求数列{}前项
18．图四边形ABCD菱形∠ABC120°EF面ABCD侧两点BE⊥面ABCDDF⊥面ABCDBE2DFAE⊥EC
（Ⅰ）证明：面AEC⊥面AFC
（Ⅱ）求直线AE直线CF成角余弦值
19．某公司确定年度投入某种产品宣传费需解年宣传费x（单位：千元）年销售量y（单位：t）年利润z（单位：千元）影响8年年宣传费年销售量（12···8）数作初步处理面散点图统计量值
466
563
68
2898
16
1469
1088
表中
（Ⅰ）根散点图判断ya+bxyc+d适宜作年销售量y关年宣传费x回方程类型？（出判断必说明理）
（Ⅱ）根（Ⅰ）判断结果表中数建立y关x回方程
（Ⅲ）已知种产品年利率zxy关系z02yx根（Ⅱ）结果回答列问题：
（ⅰ）年宣传费x49时年销售量年利润预报值少？
（ⅱ）年宣传费x值时年利率预报值？
附：组数……回线斜率截距二估计分：
20．（题满分12分）直角坐标系中曲线C：y直线（＞0）交MN两点
（Ⅰ）k0时分求C点MN处切线方程
（Ⅱ）y轴否存点Pk变动时总∠OPM∠OPN？说明理
21．（题满分12分）已知函数f（x）
（Ⅰ）a值时x轴曲线 切线
（Ⅱ） 表示mn中值设函数 讨h（x）零点数
22．（题满分10分）选修41：证明选讲
图AB直径AC切线BC交E
（Ⅰ）DAC中点证明：DE切线
（Ⅱ）求∠ACB
23．（题满分10分）选修44：坐标系参数方程
直角坐标系中直线2圆：坐标原点极点 轴正半轴极轴建立极坐标系
（Ⅰ）求极坐标方程
（Ⅱ）直线极坐标方程设交点 求面积
24．（题满分10分）选修4—5：等式选讲
已知函数|x+1|2|xa|a>0
（Ⅰ）a1时求等式f（x）>1解集
（Ⅱ）f（x）图x轴围成三角形面积6求a取值范围
答案解析
1答案A
解析|z|1选A
考点：题考查复数运算复数模等
2答案D
解析原式 选D
考点：题考查诱导公式两角差正余弦公式
3答案C
解析选C
考点：题考查特称命题否定
4答案A
解析根独立重复试验公式该学通测试概率0648选A
考点：题考查独立重复试验概率公式互斥事件概率公式
5答案A
解析题知 解选A
考点：双曲线标准方程量数量积坐标表示元二次等式解法
6答案B
解析设圆锥底面半径r米堆体积堆放米约÷162≈22选B
考点：圆锥性质圆锥体积公式
7答案A
解析题知选A
考点：面量线性运算
8答案D
解析五点作图知解令解＜＜单调减区间（）选D
考点：三角函数图性质
9答案C
解析执行第1次t001S1n0m05SSm05025n1S05＞t001循环
执行第2次SSm0250125n2S025＞t001循环
执行第3次SSm012500625n3S0125＞t001循环
执行第4次SSm00625003125n4S00625＞t001循环
执行第5次SSm0031250015625n5S003125＞t001循环
执行第6次SSm001562500078125n6S0015625＞t001循环
执行第7次SSm00078125000390625n7S00078125＞t001否输出n7选C
考点：题注意考查程序框图
10答案C
解析5式中2取式中剩余3式中1取余式取y系数30选 C
考点：题考查利排列组合知识计算二项式展开式某项系数
名师点睛题利排列组合求项展开式式某项系数试题形式新颖中档题求项展开式式某项系数问题先分析该项构成结合项式分析该项利排列组知识求解
11答案B
解析正视图俯视图知该体半球半圆柱组合体圆柱半径球半径r圆柱高2r表面积16 + 20解r2选B
考点：简单体三视图球表面积公式圆柱测面积公式
12答案D
解析设题知存唯整数直线方
时＜0时＞0时
时1直线恒（10）斜率解≤＜1选D
考点：题通利导数研究函数图性质解决等式成立问题
13答案1
解析题知奇函数 解1
考点：函数奇偶性
14答案
解析设圆心（0）半径解圆方程
考点：椭圆性质圆标准方程
15答案3
解析作出行域图中阴影部分示斜率意义知行域点原点连线斜率图知点A（13）原点连线斜率值3
考点：线性规划解法
16答案（）
解析图示延长BACD交E移ADAD重合E点时AB长△BCE中∠B∠C75°∠E30°BC2正弦定理解移AD DC重合时AB短时AB交F△BCF中∠B∠BFC75°∠FCB30°正弦定理知解BFAB取值范围（）
考点：正余弦定理数形结合思想
17答案（Ⅰ）（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）先数列第项前项关系求出数列{}递推公式判断数列{}等差数列利等差数列通项公式写出数列{}通项公式（Ⅱ）根（Ⅰ）数列{}通项公式拆项消法求前项
试题解析：（Ⅰ）时3
时2
数列{}首项3公差2等差数列
（Ⅱ）（Ⅰ）知
数列{}前n项
考点：数列前n项第n项关系等差数列定义通项公式拆项消法
18答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）连接BD设BD∩ACG连接EGFGEF菱形ABCD中妨设GB1易证EG⊥AC通计算证EG⊥FG根线面垂直判定定理知EG⊥面AFC面面垂直判定定理知面AFC⊥面AEC（Ⅱ）G坐标原点分方轴y轴正方单位长度建立空间直角坐标系Gxyz利量法求出异面直线AECF成角余弦值
试题解析：（Ⅰ）连接BD设BD∩ACG连接EGFGEF菱形ABCD中妨设GB1∠ABC120°AGGC
BE⊥面ABCDABBC知AEEC
∵AE⊥EC∴EGEG⊥AC
Rt△EBG中BEDF
Rt△FDG中FG
直角梯形BDFE中BD2BEDFEF
∴∴EG⊥FG
∵AC∩FGG∴EG⊥面AFC
∵EG面AEC∴面AFC⊥面AEC
（Ⅱ）图G坐标原点分方轴y轴正方单位长度建立空间直角坐标系Gxyz（Ⅰ）A（0－0）E（10 ）F（－10）C（00）∴（1）（1）…10分
直线AECF成角余弦值
考点：空间垂直判定性质异面直线成角计算空间想象力推理证力
19答案（Ⅰ）适合作年销售关年宣传费回方程类型（Ⅱ）（Ⅲ）4624
解析
试题分析：（Ⅰ）散点图函数图选出适合作拟合函数（Ⅱ）令先求出建立关线性回方程关回方程（Ⅲ）（ⅰ）利关回方程先求出年销售量预报值根年利率zxy关系z02yx年利润z预报值（ⅱ）根（Ⅱ）结果知年利润z预报值列出关方程利二次函数求值方法求出年利润取值时年宣传费
试题解析：
（Ⅰ）散点图判断适合作年销售关年宣传费回方程类型
（Ⅱ）令先建立关线性回方程
∴56368×681006
∴关线性回方程
∴关回方程
（Ⅲ）（ⅰ）（Ⅱ）知49时年销售量预报值
5766
（ⅱ）根（Ⅱ）结果知年利润z预报值
∴时取值
宣传费4624千元时年利润预报值……12分
考点：非线性拟合线性回方程求法利回方程进行预报预测应意识
20答案（Ⅰ）（Ⅱ）存
解析
试题分析：（Ⅰ）先求出MN坐标利导数求出MN（Ⅱ）先作出判定利设求思想代入曲线C方程整理成关元二次方程设出MN坐标P点坐标利设求思想直线PMPN斜率表示出利直线PMPN斜率0求出关系找出适合条件P点坐标
试题解析：（Ⅰ）题设
∵处数值C处切线方程
处数值C处切线方程
求切线方程
（Ⅱ）存符合题意点证明：
设P（0b）复合题意点直线PMPN斜率分
代入C方程整理
∴
∴
时0直线PM倾斜角直线PN倾斜角互补
∠OPM∠OPN符合题意
考点：抛物线切线直线抛物线位置关系探索新问题运算求解力
21答案（Ⅰ）（Ⅱ）时零点时两零点时三零点
解析
试题分析：（Ⅰ）先利导数意义列出关切点方程组解出切点坐标应值（Ⅱ）根数函数图性质分研究零点数零点容易求解分类讨
试题解析：（Ⅰ）设曲线轴相切点解
时轴曲线切线
（Ⅱ）时
∴（1+∞）零点
1时1零点1零点
时需考虑（01）零点数
（ⅰ）（01）零点（01）单调时（01）零点0时（01）零点
（ⅱ）（0）单调递减（1）单调递增时取值值
①＞0＜＜0（01）零点
②0（01）唯零点
③＜0时（01）两零点时（01）零点…10分
综时零点时两零点时三零点
考点：利导数研究曲线切线新概念理解分段函数零点分类整合思想
22答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°
解析
试题分析：（Ⅰ）圆切线性质圆周角定理知AE⊥BCAC⊥AB直角三角形中线性质知DEDCOEOB利等量代换证∠DEC+∠OEB90°∠OED90°DE圆O切线（Ⅱ）设CE1AB设AE勾股定理直角三角形射影定理列出关方程解出求出∠ACB
试题解析：（Ⅰ）连结AE已知AE⊥BCAC⊥AB
Rt△AEC中已知DEDC∴∠DEC∠DCE
连结OE∠OBE∠OEB
∵∠ACB+∠ABC90°∴∠DEC+∠OEB90°
∴∠OED90°∴DE圆O切线
（Ⅱ）设CE1AE已知AB
射影定理
∴解∴∠ACB60°
考点：圆切线判定性质圆周角定理直角三角形射影定理
23答案（Ⅰ）（Ⅱ）
解析
试题分析：（Ⅰ）直角坐标方程极坐标互化公式求极坐标方程（Ⅱ）代入求出|MN|利三角形面积公式求出面积
试题解析：（Ⅰ）
∴极坐标方程极坐标方程……5分
（Ⅱ）代入解|MN|－
半径1面积
考点：直角坐标方程极坐标互化直线圆位置关系
24答案（Ⅰ）（Ⅱ）（2+∞）
解析
试题分析：（Ⅰ）利零点分析法等式f（x）>1化元次等式组解（Ⅱ）化分段函数求出轴围成三角形顶点坐标求出三角形面积根题意列出关等式解出取值范围
试题解析：（Ⅰ）a1时等式f（x）>1化|x+1|2|x1|＞1
等价解
等式f（x）>1解集
（Ⅱ）题设
函数图轴围成三角形三顶点分△ABC面积
题设＞6解
取值范围（2+∞）
考点：含绝值等式解法分段函数元二次等式解法
2015年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ
选择题：题12道题题5分
1．已知集合（ ）
A． B． C． D．
2．实数（ ）
A． B． C． D．
3．根面出2004年2013年国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图结正确（ ）
A．逐年较2008年减少二氧化硫排放量效果显著
B．2007年国治理二氧化硫排放显现
C．2006年国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年国二氧化硫年排放量年份正相关
4．已知等数列满足a13 21 （ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
5．设函数（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．正方体面截部分剩余部分三视图右图截部分体积剩余部分体积值（ ）
A． B． C． D．
7．三点圆交y轴MN两点（ ）
A．2 B．8 C．4 D．10
8．右边程序框图算法思路源国古代数学名著九章算术中更相减损术．执行该程序框图输入分1418输出（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
9．已知球球面两点该球面动点三棱锥体积值36球表面积（ ）
A． B C D
10．图长方形边中点点着边运动记．动两点距离表示函数图致（ ）
11．已知AB双曲线E左右顶点点ME∆ABM等腰三角形顶角120°E离心率（ ）
A． B． C． D．
12．设函数奇函数导函数时成立取值范围（ ）
A． B．
C． D．
二填空题：题4题题5分20分
13．设量行量行实数_________．
14．xy满足约束条件值____________．
15．展开式中x奇数次幂项系数32__________．
16．设数列前n项________．
三解答题
17．（题满分12分）中点分面积面积2倍．
（Ⅰ） 求
（Ⅱ）求长．
18．（题满分12分）某公司解户产品满意度两区分机调查20户户产品满意度评分：
A区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根两组数完成两区户满意度评分茎叶图通茎叶图较两区满意度评分均值分散程度（求计算出具体值出结）
（Ⅱ）根户满意度评分户满意度低高分三等级：
满意度评分
低70分
70分89分
低90分
满意度等级
满意
满意
非常满意
记时间C：A区户满意度等级高B区户满意度等级．假设两区户评价结果相互独立．根数事件发生频率作相应事件发生概率求C概率．
19．（题满分12分）图长方体中点分．点面长方体面相交交线围成正方形．
D
D1
C1
A1
E
F
A
B
C
B1
（Ⅰ）图中画出正方形（必说出画法理）
（Ⅱ）求直线面成角正弦值．
20．（题满分12分）已知椭圆直线原点行坐标轴两交点线段中点．
（Ⅰ）证明：直线斜率斜率积定值
（Ⅱ）点延长线段交点四边形否行四边形？求时斜率说明理．
21．（题满分12分）设函数．
（Ⅰ）证明：单调递减单调递增
（Ⅱ）意求取值范围．
22．（题满分10分）选修4—1：证明选讲
图等腰三角形点圆底边交两点底边高交点分相切两点．
G
A
E
F
O
N
D
B
C
M
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ） 等半径求四边形面积．
23．（题满分10分）选修44：坐标系参数方程
直角坐标系中曲线（参数）中极点轴正半轴极轴极坐标系中曲线曲线．
（Ⅰ）．求交点直角坐标
（Ⅱ）．相交点相交点求值．
24．（题满分10分）选修45等式选讲
设均正数证明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）充条件．
参考答案
1．A
解析已知选A．
考点：集合运算．
2．B
解析已知解选B．
考点：复数运算．
3．D
解析柱形图2006年国二氧化硫排放量呈降趋势年排放量年份负相关选D．
考点：正负相关．
4．B
解析设等数列公解选B．
考点：等数列通项公式性质．
5．C
解析已知选C．
考点：分段函数．
6．D
解析三视图正方体中截四面体图示设正方体棱长剩余体体积截部分体积剩余部分体积值选D．
考点：三视图．
7．C
解析已知直角三角形外接圆圆心半径外接圆方程令选C．
考点：圆方程．
8．B
解析程序执行程中值次时程序结束输出值2选B．
考点：程序框图．
9．C
解析图示点C位垂直面直径端点时三棱锥体积设球半径时球表面积选C．
考点：外接球表面积椎体体积．
10．B
解析已知点边运动时时点边运动时时时点边运动时时点运动程出轨迹关直线称轨迹非线型选B．
考点：函数图象性质．
11．D
解析设双曲线方程图示点作轴垂足中点坐标代入双曲线方程选D．
考点：双曲线标准方程简单性质．
12．A
解析记函数时时单调递减函数奇函数函数偶函数单调递减．时时综述成立取值范围选A．
考点：导数应函数图象性质．
13．
解析量行．
考点：量线．
14．
解析画出行域图示目标函数变形取时直线截距直线移值．
考点：线性规划．
15．
解析
试题分析：已知展开式中x奇数次幂项分系数解．
考点：二项式定理．
16．
解析已知两边时数列首项公差等差数列．
考点：等差数列递推关系．
17．解析（Ⅰ）．正弦定理．
（Ⅱ）．中余弦定理
．
．（Ⅰ）知．
18．解析（Ⅰ）两区户满意度评分茎叶图
通茎叶图出A区户满意度评分均值高B区户满意度评分均值A区户满意度评分较集中B区户满意度评分较分散．
（Ⅱ）记表示事件：A区户满意度等级满意非常满意
表示事件：A区户满意度等级非常满意
表示事件：B区户满意度等级满意
表示事件：B区户满意度等级满意．
独立独立互斥．
．
数发生概率分．
．
19．解析（Ⅰ）交线围成正方形图：
（Ⅱ）作垂足正方形．．坐标原点方轴正方建立图示空间直角坐标系．设面法量取．．直线面成角正弦值．
20．解析（Ⅰ）设直线．
代入
．直线斜率．直线斜率斜率积定值．
（Ⅱ）四边形行四边形．
直线点原点两交点充条件．
（Ⅰ）方程．设点横坐标．．点坐标代入直线方程．四边形行四边形仅线段线段互相分．
．解．斜率时四边形行四边形．
21．解析（Ⅰ）．
时时．
时时．
单调递减单调递增．
（Ⅱ）（Ⅰ）知意单调递减单调递增处取值．意充条件：①设函数．时时．单调递减单调递增．时．时①式成立．时单调性时．综取值范围．
22．解析（Ⅰ）等腰三角形分线．分相切两点．．
（Ⅱ）（Ⅰ）知垂直分线弦．连接．等半径．等边三角形．．
．．四边形面积．
23．解析（Ⅰ）曲线直角坐标方程曲线直角坐标方程．联立解交点直角坐标．
（Ⅱ）曲线极坐标方程中．极坐标极坐标．时取值值．
24．解析（Ⅰ）题设．．
（Ⅱ）（ⅰ）．．（Ⅰ）．
（ⅱ）．．综充条件．
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