考点16 面量数量积
考点分类
热点 面量数量积
12013年普通高等学校招生全国统考试湖北卷理科已知点量方投影（ ）
A． B． C． D．
22013年普通高等学校招生全国统考试(江西卷)理设单位量夹角 量方射影________
32013年全国高考新课标（I）理科已知两单位量夹角_____
42013年普通高等学校统考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷已知正方形ABCD边长2ECD中点 _______
5(2012年高考天津卷理科7)
已知△ABC等边三角形设点PQ满足( )
（A） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
6 (2012年高考湖南卷理科7)△ABC中AB2AC3 1BC( )
A B C D
7(2012年高考陕西卷文科7)设量（1）（1 2）垂直等 （ ）
A B C 0 D1
答案C
8．(2012年高考北京卷理科13)已知正方形ABCD边长1点EAB边动点值________值______
9 (2012年高考浙江卷文科15)△ABC中MBC中点AM3BC10________
10（2012年高考江苏卷9）图矩形ABCD中点EBC中点点F边CD值 ．
A
B
C
E
F
D
11(2012年高考浙江卷理科15)ABC中MBC中点AM＝3BC＝10＝______________．
12．(2012年高考海卷理科12)行四边形中边长分21分边点满足取值范围
13 (2012年高考湖南卷文科15)图4行四边形ABCD中 AP⊥BD垂足P
142013年普通高等学校招生全国统考试（辽宁卷）理科
设量
（I）
（II）设函数
方法总结
1量表示面图形中线段时根量加减法运算法进行转化题目中未知量已知量表示出程中充分利线量定理面量基定理解三角形等知识．
2求量数量积公式两：定义式＝二坐标式定义式特点具强烈含义需明确两量模夹角夹角求解方法灵活样般通具体图形确定采数形结合思想利定义法求数量积重途径坐标式特点具明显代数特征解题时需引入直角坐标系明确量坐标进行求解量问题
坐标化问题操作起容易方便
热点二 面量模
152013年普通高等学校招生全国统考试（湖南卷）理 已知单位量量满足（ ）
A． B．
C． D．
172013年普通高等学校招生全国统考试数学浙江理设单位量非零量夹角值等________
设值4答案2
18(2012年高考重庆卷理科6)设R量 ( )
（A） （B） （C） （D）10
19(2012年高考安徽卷理科14)面量满足：值
20(2012年高考新课标全国卷理科13)已知量夹角
方法总结
高考面量模考查常题形式出现属中档题常考查类型：
①量放适坐标系中关量赋予具体坐标求量模量a＝(xy)求量a模需利公式|a|＝求解．
②量放坐标系中研究求解类问题通常做法利量运算法意义应量数量积公式关键会量a模进行转化：|a|＝
热点三 面量夹角
212013年普通高等学校招生全国统考试（安徽卷文科）非零量满足夹角余弦值_______
22(2012年高考广东卷文科10) 意两非零面量定义
两非零面量满足夹角集合中( )
A B C 1 D
答案D
232013年普通高等学校招生全国统考试（山东卷）理已知量夹角实数值_____
24(2012年高考湖北卷文科13)已知量（10）（11）
（Ⅰ）单位量坐标表示____________
（Ⅱ）量量夹角余弦值____________
方法总结
高考面量夹角考查常题形式出现属中档题．时题中出现属中档题．两量夹角公式实面量数量积公式变形应关两量夹角问题考查常见类型：
① 条件等式运算求夹角类问题求解程中应关注夹角取值范围
②已知图形求两量夹角类题求解程应抓住两量起点便避开陷阱利求解．
考点剖析
．明确求
1理解面量数量积含义物理意义．
2解面量数量积量投影关系．
3掌握数量积坐标表达式会进行面量数量积运算．[源学&科&网Z&X&X&K]
4运数量积表示两量夹角
二．命题方
1面量数量积运算高考考查重点应数量积求面量夹角模判断量垂直关系难点．
2量载体考查三角函数解析问题高考考查重点．
3选择题填空题形式出现难度适中灵活变
三．规律总结
条件
两量垂直充条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
两探究
(1)a·b＞0否说明ab夹角锐角？
(2)a·b＜0否说明ab夹角钝角？
三防范
(1)abc实数ab＝ac⇒b＝c(a≠0)量没样性质量abc满足a·b＝a·c(a≠0)定b＝c等式两边时约量时量．
(2)数量积运算适合结合律(a·b)c≠a(b·c)(a·b)c表示c线量a(b·c)表示a线量ac定线(a·b)ca(b·c)定相等．
(3)量夹角概念领会正三角形ABC中夹角应120°60°
考点模拟
．扎实基础
1 河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试两量夹角（ ）
（A） （B） （C） （D）
2 2013安徽省省级示范性高中名校高三联考已知单位量量夹角方投影（ ）
A． B． C． D．
3 2013安徽省省级示范性高中名校高三联考已知单位量量夹角（ ）
A． B． C． D．
4 湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试行四边形中
点边 （ ）
A． B． 1 C． D．
5 北京市房山区2013届高三学期期末考试已知面量夹角等 （ ）
A B C D
6 山东省威海市2013届高三学期期末考试已知（ ）
（A） （B） （C） （D）
7 天津市新华中学2013届高三学期第三次月考数学试卷已知量夹角 ___ ___
8 2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试已知量夹角
9 江苏省南通市2013届高三第三次调研测试面四边形ABCD中点EF分边ADBC中点ABCD．值 ．
10 江西省2013年四月高中毕业班新课程教学质量监测卷中
二．力拔高
11 蒙古赤峰市2013届高三次仿真统考已知量量
夹角（ ）
A． B． C． D．
第10题图
12 安徽省马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测图中等（ ）
A B C D
答案B
13 河北省保定市2013年高三第次模拟考试面量两两成角相等等（ ）
A 2 B 5 C25 D
14 河北省唐山中衡水中2013届高三4月联考中点PAM满足（ ）
A． B． C． D．
15 海市闸北2013届高三模已知量满足：()．
量量夹角值 ( )
(A) (B) (C) (D)
答案B
16 2013年天津市滨海新区五重点学校高三毕业班联考矩形中
分边运动（包括端点）满足取值范围_________
[源学_科_网]
17 2013年浙江省高考测试卷图四边形ABCD中( )
A． B． C． D．
18 山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试图△ABC中OBC中点ABI ______
[源学科网]
19 海市2013届高考闵行二模卷已知△ABC外接圆圆心OAC6BC7AB8
20 2013年江南十校高三学生第二次联考（二模）测试设abc非零量列命题：
①
②
③单位量夹角
④夹角夹角
⑤方投影1
中正确 （写出正确命题编号）
正确方投影⑤正确[源学*科*网Z*X*X*K]
三．提升
21 浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷已知空间量满足夹角O空间直角坐标系原点点AB满足△OAB面积（ ）
（A） （B） （C） （D）
22 2013安徽省省级示范性高中名校高三联考
函数图x轴交点A点A直线lf(x)图交BC两点O坐标原点
23 广西百高中2013届高三年级第三届联考已知两互相垂直单位量意正实数t值（ ）
A．2 B． C．4 D．
24 海市静安2013届高三模已知量满足条件：意实数恒四量中定具垂直关系两量( )[源Z|xx|kCom]
(A) (B) (C) (D)
ÞÞ选(B)
25 湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试
（题满分12分）设角三角已知量
(Ⅰ)求角
(Ⅱ)量试求取值范围
考点预测
1 已知点P曲线C：点Q点P关直线称点R直线曲线C交点值（ ）
A． B．1 C． D． 2
2中值( )
A2 B4 C D
3已知△外接圆圆心△角值 ( )
(A)1 (B)sinA (C)cosA (D)tanA
4 面三量满足值
5 四边形中四边形面积 ．
答案
解析知四边形行四边形知行四边形ABCD角分线BD分∠ABC四边
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考点分类
热点 面量数量积
12013年普通高等学校招生全国统考试湖北卷理科已知点量方投影（ ）
A． B． C． D．
22013年普通高等学校招生全国统考试(江西卷)理设单位量夹角 量方射影________
32013年全国高考新课标（I）理科已知两单位量夹角_____
42013年普通高等学校统考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷已知正方形ABCD边长2ECD中点 _______
5(2012年高考天津卷理科7)
已知△ABC等边三角形设点PQ满足( )
（A） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
6 (2012年高考湖南卷理科7)△ABC中AB2AC3 1BC( )
A B C D
7(2012年高考陕西卷文科7)设量（1）（1 2）垂直等 （ ）
A B C 0 D1
答案C
8．(2012年高考北京卷理科13)已知正方形ABCD边长1点EAB边动点值________值______
9 (2012年高考浙江卷文科15)△ABC中MBC中点AM3BC10________
10（2012年高考江苏卷9）图矩形ABCD中点EBC中点点F边CD值 ．
A
B
C
E
F
D
11(2012年高考浙江卷理科15)ABC中MBC中点AM＝3BC＝10＝______________．
12．(2012年高考海卷理科12)行四边形中边长分21分边点满足取值范围
13 (2012年高考湖南卷文科15)图4行四边形ABCD中 AP⊥BD垂足P
142013年普通高等学校招生全国统考试（辽宁卷）理科
设量
（I）
（II）设函数
方法总结
1量表示面图形中线段时根量加减法运算法进行转化题目中未知量已知量表示出程中充分利线量定理面量基定理解三角形等知识．
2求量数量积公式两：定义式＝二坐标式定义式特点具强烈含义需明确两量模夹角夹角求解方法灵活样般通具体图形确定采数形结合思想利定义法求数量积重途径坐标式特点具明显代数特征解题时需引入直角坐标系明确量坐标进行求解量问题
坐标化问题操作起容易方便
热点二 面量模
152013年普通高等学校招生全国统考试（湖南卷）理 已知单位量量满足（ ）
A． B．
C． D．
172013年普通高等学校招生全国统考试数学浙江理设单位量非零量夹角值等________
设值4答案2
18(2012年高考重庆卷理科6)设R量 ( )
（A） （B） （C） （D）10
19(2012年高考安徽卷理科14)面量满足：值
20(2012年高考新课标全国卷理科13)已知量夹角
方法总结
高考面量模考查常题形式出现属中档题常考查类型：
①量放适坐标系中关量赋予具体坐标求量模量a＝(xy)求量a模需利公式|a|＝求解．
②量放坐标系中研究求解类问题通常做法利量运算法意义应量数量积公式关键会量a模进行转化：|a|＝
热点三 面量夹角
212013年普通高等学校招生全国统考试（安徽卷文科）非零量满足夹角余弦值_______
22(2012年高考广东卷文科10) 意两非零面量定义
两非零面量满足夹角集合中( )
A B C 1 D
答案D
232013年普通高等学校招生全国统考试（山东卷）理已知量夹角实数值_____
24(2012年高考湖北卷文科13)已知量（10）（11）
（Ⅰ）单位量坐标表示____________
（Ⅱ）量量夹角余弦值____________
方法总结
高考面量夹角考查常题形式出现属中档题．时题中出现属中档题．两量夹角公式实面量数量积公式变形应关两量夹角问题考查常见类型：
① 条件等式运算求夹角类问题求解程中应关注夹角取值范围
②已知图形求两量夹角类题求解程应抓住两量起点便避开陷阱利求解．
考点剖析
．明确求
1理解面量数量积含义物理意义．
2解面量数量积量投影关系．
3掌握数量积坐标表达式会进行面量数量积运算．[源学&科&网Z&X&X&K]
4运数量积表示两量夹角
二．命题方
1面量数量积运算高考考查重点应数量积求面量夹角模判断量垂直关系难点．
2量载体考查三角函数解析问题高考考查重点．
3选择题填空题形式出现难度适中灵活变
三．规律总结
条件
两量垂直充条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
两探究
(1)a·b＞0否说明ab夹角锐角？
(2)a·b＜0否说明ab夹角钝角？
三防范
(1)abc实数ab＝ac⇒b＝c(a≠0)量没样性质量abc满足a·b＝a·c(a≠0)定b＝c等式两边时约量时量．
(2)数量积运算适合结合律(a·b)c≠a(b·c)(a·b)c表示c线量a(b·c)表示a线量ac定线(a·b)ca(b·c)定相等．
(3)量夹角概念领会正三角形ABC中夹角应120°60°
考点模拟
．扎实基础
1 河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试两量夹角（ ）
（A） （B） （C） （D）
2 2013安徽省省级示范性高中名校高三联考已知单位量量夹角方投影（ ）
A． B． C． D．
3 2013安徽省省级示范性高中名校高三联考已知单位量量夹角（ ）
A． B． C． D．
4 湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试行四边形中
点边 （ ）
A． B． 1 C． D．
5 北京市房山区2013届高三学期期末考试已知面量夹角等 （ ）
A B C D
6 山东省威海市2013届高三学期期末考试已知（ ）
（A） （B） （C） （D）
7 天津市新华中学2013届高三学期第三次月考数学试卷已知量夹角 ___ ___
8 2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试已知量夹角
9 江苏省南通市2013届高三第三次调研测试面四边形ABCD中点EF分边ADBC中点ABCD．值 ．
10 江西省2013年四月高中毕业班新课程教学质量监测卷中
二．力拔高
11 蒙古赤峰市2013届高三次仿真统考已知量量
夹角（ ）
A． B． C． D．
第10题图
12 安徽省马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测图中等（ ）
A B C D
答案B
13 河北省保定市2013年高三第次模拟考试面量两两成角相等等（ ）
A 2 B 5 C25 D
14 河北省唐山中衡水中2013届高三4月联考中点PAM满足（ ）
A． B． C． D．
15 海市闸北2013届高三模已知量满足：()．
量量夹角值 ( )
(A) (B) (C) (D)
答案B
16 2013年天津市滨海新区五重点学校高三毕业班联考矩形中
分边运动（包括端点）满足取值范围_________
[源学_科_网]
17 2013年浙江省高考测试卷图四边形ABCD中( )
A． B． C． D．
18 山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试图△ABC中OBC中点ABI ______
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19 海市2013届高考闵行二模卷已知△ABC外接圆圆心OAC6BC7AB8
20 2013年江南十校高三学生第二次联考（二模）测试设abc非零量列命题：
①
②
③单位量夹角
④夹角夹角
⑤方投影1
中正确 （写出正确命题编号）
正确方投影⑤正确[源学*科*网Z*X*X*K]
三．提升
21 浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷已知空间量满足夹角O空间直角坐标系原点点AB满足△OAB面积（ ）
（A） （B） （C） （D）
22 2013安徽省省级示范性高中名校高三联考
函数图x轴交点A点A直线lf(x)图交BC两点O坐标原点
23 广西百高中2013届高三年级第三届联考已知两互相垂直单位量意正实数t值（ ）
A．2 B． C．4 D．
24 海市静安2013届高三模已知量满足条件：意实数恒四量中定具垂直关系两量( )[源Z|xx|kCom]
(A) (B) (C) (D)
ÞÞ选(B)
25 湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试
（题满分12分）设角三角已知量
(Ⅰ)求角
(Ⅱ)量试求取值范围
考点预测
1 已知点P曲线C：点Q点P关直线称点R直线曲线C交点值（ ）
A． B．1 C． D． 2
2中值( )
A2 B4 C D
3已知△外接圆圆心△角值 ( )
(A)1 (B)sinA (C)cosA (D)tanA
4 面三量满足值
5 四边形中四边形面积 ．
答案
解析知四边形行四边形知行四边形ABCD角分线BD分∠ABC四边
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