241相似形
1 定义：形状相图形称相似形
注意相似三角形定义应方面理解：
（1）形状相图形图形放缩
（2）定相相似形说明相似图形两种情况：二相两相似形作图形图形放图形图形缩相两相似形重合时全等形
（3）谓形状相应位置关摆放角度关摆放方关
例：列组中图形相似图形（ ）
（Ａ）座城市两张例尺图 （Ｂ）现片十年前片
（Ｃ）两正方形 （Ｄ）国旗五角星
2 相似图形识方法
（1）感观法 （2）测量法 （3）分析法
3相似图形性质
果两边形相似形两边形应角相等应边长度成例
注意（1）两相似边形全等形时应边长度值1
（2）根性质判定两边形否相似
4方格法画已知图形相似图形
（1）利方格法画已知图形相似图形两边形应角相等应边长度成例两边形相似
（2）利方格法画已知图形相似图形方法：格子图中画已知图形相似图形时首先应确定应边成例数然根例数格子点找出应边长度根应角相等画出图形
例图正方形网格∽点Ｐ应（ ）
242例线段
1两条线段
果说成例
两条线段长度做两条线段
注意（1）两条线段单位长度选线段长度单位关必须选定长度单位
（2）长度正数两条线段正数
（3）两条线段序颠倒时外互倒数
2成例线段
四条线段中果等四条线段做成例线段简称例线段
注意（1）例线段表示四条线段关系
（2）例线段表示种相等关系表示例线段式子中必须等号存
（3）线段成例序表示
（4）判断四条线段否成例四条线段长度序排判断前两条线段两条线段否相等
3例基性质
两外项积等两项积果
果…
4合性质
果
注意（1）例式进行变形时注意分子加减分母原分母理解反
（2）合性质例基性质结合起运结：
例：（1）值 （2）求值
5等性质
果
注意（1）等性质推广意限相等情形例：
果
（2）运等性质时定注意性质满足条件分母0
例：已知求值（）
6黄金分割
图果点C线段AB分割成ACCB（AC>CB）两条线段称种分割黄金分割点C做线段AB黄金分割点AC（长）BC（短）AB（全）例中项ACAB值做黄金分割数
两边时加 两边开方
取
243三角形边行线
1三角形边行线性质定理推
行三角形边直线截两边直线截应线段成例
行三角形边直线截两边直线截三角形三边原三角形三边应成例
2三角形重心
三角形三条中线交点做三角形重心
三角形重心顶点距离等顶点边中点距离两倍
3 三角形边行线判定定理推
果条直线截三角形两边应线段成例条直线行三角形第三边
果条直线截三角形两边延长线（两边延长线第三边侧）应线段成例条直线行三角形第三边
4 行线分线段成例定理
两条直线三条行直线截截应线段成例
两条直线三条行直线截果条直线截线段相等条直线截线段相等
5 通面学含例线段基图形：
例：
1 图已知角线AC取点G G作直线分交AB延长线BCADCD延长线开PQES求证GP·GQGE·GS
分析求线段证明例线段关键通找出中间进行渡种基方法 证明中行者等积式例式进行互化常方法
2 图ABC中ADBC中线F AD点AFFD13联结BF延长ACE
求证CEEA61
分析作行线证明例线段中常辅助线起构造(例)移作作行线应考虑两点点作行线二作直线行线原通作行线出现存例基图形例式中应出现已知求证中线段
3 图四边形ABCD中MN分ABCD边中点延长ADMN相交点GBC延长线交GMH求证AGDGBHCH
4 图ABC中点DBCBDDC21点EADAEED23BE延长线交AC点F求BEEF值
5图已知中相交点求值
6 图示菱形中点分
相交点
E
D
C
B
A
F
G
①求证：
②时求证：四边形行四边形
7图点菱形角线点联结延长交点交延长线点．
A
B
C
D
F
F
C
P
E
（1）求证：
（2）菱形边长求长．
8 图ABC中点D点求证：
重心题型
1 已知等腰三角形ABC中AB＝AC＝13BC＝10G重心BG＝ __________
2 中∠C＝90°BC＝12点G重心GD⊥BCCD＝___________
3 两等腰直角三角形位置图示点点
分直线点分
重心联结 ．
4 两三角形中心间距离做重心距面两边长相等等边三角形果边重合时重心距角成顶角时重心距___________
5直角三角形重心直角顶点距离2厘米直角三角形斜边长__________厘米
6 已知△ABC重心GBC边中点D距离2BC边中线长
7图点Ｇ重心ＡＧ⊥ＧＣＡＣ＝4ＢＧ长__________
8图点Ｇ重心ＧＨ∥ＡＣ交ＢＣ点ＨＧＨ＝2ＡＣ＝_________
9 点Ｇ重心果ＥＦ点ＧＥＦ∥ＢＣ分交ＡＢＡＣ点ＥＦ值_____________
10中ＢＣ＝3点Ｇ重心点Ｇ作ＤＧ∥ＢＣ交边ＡＢ点ＤＤＧ＝____________
11已知Ｇ重心点ＤＥ分边ＡＢＡＣ点ＤＥ∥ＢＣ重心Ｇ果周长30cm周长______________cm
12已知中点Ｇ重心＝____________
13中ABAC5BC8垂足DBE边AC中线ADBE相交点GAD____________
G
C
A
B
D
E
H
第3题图
第8题图
第7题图
黄金分割点题型
1 已知点C线段AB黄金分割点AB＝2求较长线段AC＝______________
2实数205例中项_____________
3已知线段____________
4已知Ｃ线段ＡＢ黄金分割点＝___________
5图行四边形中点Ｅ边黄金分割点＞相交点值___________
6已知中分交作∥ＢＣ交ＡＢ作分交ＡＣ作∥ＢＣ交ＡＢ线段长度_______________(含代数式表示）
7 △ABC中ABACBD分交AC点DDE分交BC点E
_____________
8．已知点C线段AB点满足列式子成立……（ ）
A． B． C． D．．
9．果点C线段AB黄金分割点列线段值（ ）
（A） （B） （C） （D）．
10已知点线段黄金分割点长______________
244相似三角形判定
知识点：相似三角形概念
1定义：果两三角形三角应相等三边应成例两三角形做相似三角形应相等角顶点两相似三角形应顶点
2表示方法：相似记作∽读作相似
注意记两三角形相似时通常表示应顶点字母写应位置样较容易找出相似三角形应角应边
3相似：相似三角形应边相似相似系数通常表示
注意相似概念应注意序问题应问题
知识点二：相似三角形预备定理判定定理
1 相似三角形预备定理
行三角形边直线截两边直线截三角形原三角形相似（符合相似三角形定义）
2 相似三角形判定定理1
果三角形两角三角形两角应相等两三角形相似简述：两角应相等两三角形相似
注意（1）该判定需两角便说明两三角形相似简单常判条件般题目中告诉角间关系线段行关系时常选择该判条件求线段长度说明线段例关系等
（2）该判方法方面指出三角形种图形两角便确定形状确定确定少需添加条边边长
3 相似三角形判定定理2
果三角形两边三角形两边应成例夹角相等两三角形相似简述：两边应成例夹角相等两三角形相似
注意全等样两边夹角
4 相似三角形判定定理3
果三角形三边三角形三边应成例两三角形相似简述：三边应成例两三角形相似
注意找两边应成例时般找夹角者找边应成例
知识点三：两直角三角形相似判定定理
果直角三角形斜边条直角边直角三角形斜边条直角边应成例两直角三角形相似简述：斜边直角边应成例两直角三角形相似
注意（1）题目中出现直角三角形时想前面方法外联系方法
（2）该定理具般性仅适直角三角形般三角形适
例：1图正方形ABCD边长1PCD边中点点Q线段BC△ADP△PCQ相似时
求BQ值
2图ABC中ABBCAD⊥BCDDE⊥ACEMDE中点BEAM交N
(1)求证 (2)求证 △BCE∽△ADM
3图DABC点EABC外点∠EBC∠DBA ∠ECB∠DAB
求证 ∠BDE∠BAC
4已知图ABC中AB>AC边AB取点DAC取点EADAE直线DEBC延长线交点P求证
245相似三角形性质
知识点：相似三角形应边应角关系
相似三角形应边成例应角相等
注意相似三角形应边成例证明例线段重方法性质例基性质相结合已知三条线段情况求出第四条线段长度性质求线段长重方法相似三角形应角相等继行线性质全等三角形应角相等等边等角种证明两角相等重方法时求关角度数
例：图已知等边△ABC边BCAC分点MN已知∠AMN＝60°△ABC边长10cmBM＝4cm求CN长
知识点二：相似三角形性质定理1
相似三角形应高应中线应角分线等相似三角形相似
例：图已知△ABC中AD高矩形EFGH接△ABC长边FGBC矩形相邻两边1：2BC＝30cmAD10Cm求矩形EFGH面积
例：图△ABC中AB3AC2D边AB点分线AQCDBC分相交点P点Q求值
知识点三：相似三角形性质定理2
相似三角形周长等相似
注意利性质已知两相似三角形相似中三角形周长情况求三角形周长时：相似三角形应高＝应中线＝应角分线＝周长＝相似
知识点四：相似三角形性质定理3
相似三角形面积等相似方
例：图已知△ABC中DE∥FG∥BCAD＝DF＝FB△ABC分成三部分面积
（ ）
（A）1：1：1 （B）1：2：3 （C）1：3：5 （D）1：4：9
图示△ABC中DE∥AB∥FGFGDEAB距离1：2△ABC面积32△CDE面积2△CFG面积_______________
1△ABC中点D边AB点FE边ACDF∥BE
（1） 求证：DE∥BC
（2） 果求值
2．图中点边点边联结交点
点满足
A
B
C
D
E
F
H
（第3题图）
（1）求证：∽
（2）分时求证：
3．图△ABC中点D边BC点AD ABAE⊥BC垂足点E．点D作DF AB
交边AC点F联结EF．
（1）求证：△EDF∽△EFC
A
B
C
D
E
F
（第3题图）
（2）果求证：AB BD．
4已知：图中
求证：（1）
（2）
5 已知：图E□ABCD角线AC点射线BEAD交点FCD延长线交点G．
（1）求证：例中项
（2）AFFD32求值．
6已知：图中分点延长线点
（1）求证：
（2）点线段点面积3
求面积
7已知：图中边中点射线
相交点边相交点
（1）求证：
（2）果求证：
（3）第（2）题条件果
求度数
8图已知△ABC中ABACBCAB3点G△ABC重心AG延长线交边BC点D点G直线分交边AB点P交射线AC点Q
（1）求AG长
（2）∠APQ90º时直线PG边BC相交点M求值
（3）点Q边AC时设BPAQ求关函数解析式写出定义域[源学科网ZXXK]
相似三角形判定基模型
（）A字型反A字型（斜A字型）
（行） （行）
（二）8字型反8字型
（蝴蝶型）
（行） （行）
（三）母子型
特点：公角公边夹公角边条直线反A字形特例
（四）线三等角型：
三等角型相似三角形等腰三角形（等腰梯形）者等边三角形背景
特殊情况：CBD中点时
（五）线三直角型：
六双垂型：
七三垂型相似模型
八享性
九旋转型相似
十斜斜混合型相似
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1 定义：形状相图形称相似形
注意相似三角形定义应方面理解：
（1）形状相图形图形放缩
（2）定相相似形说明相似图形两种情况：二相两相似形作图形图形放图形图形缩相两相似形重合时全等形
（3）谓形状相应位置关摆放角度关摆放方关
例：列组中图形相似图形（ ）
（Ａ）座城市两张例尺图 （Ｂ）现片十年前片
（Ｃ）两正方形 （Ｄ）国旗五角星
2 相似图形识方法
（1）感观法 （2）测量法 （3）分析法
3相似图形性质
果两边形相似形两边形应角相等应边长度成例
注意（1）两相似边形全等形时应边长度值1
（2）根性质判定两边形否相似
4方格法画已知图形相似图形
（1）利方格法画已知图形相似图形两边形应角相等应边长度成例两边形相似
（2）利方格法画已知图形相似图形方法：格子图中画已知图形相似图形时首先应确定应边成例数然根例数格子点找出应边长度根应角相等画出图形
例图正方形网格∽点Ｐ应（ ）
242例线段
1两条线段
果说成例
两条线段长度做两条线段
注意（1）两条线段单位长度选线段长度单位关必须选定长度单位
（2）长度正数两条线段正数
（3）两条线段序颠倒时外互倒数
2成例线段
四条线段中果等四条线段做成例线段简称例线段
注意（1）例线段表示四条线段关系
（2）例线段表示种相等关系表示例线段式子中必须等号存
（3）线段成例序表示
（4）判断四条线段否成例四条线段长度序排判断前两条线段两条线段否相等
3例基性质
两外项积等两项积果
果…
4合性质
果
注意（1）例式进行变形时注意分子加减分母原分母理解反
（2）合性质例基性质结合起运结：
例：（1）值 （2）求值
5等性质
果
注意（1）等性质推广意限相等情形例：
果
（2）运等性质时定注意性质满足条件分母0
例：已知求值（）
6黄金分割
图果点C线段AB分割成ACCB（AC>CB）两条线段称种分割黄金分割点C做线段AB黄金分割点AC（长）BC（短）AB（全）例中项ACAB值做黄金分割数
两边时加 两边开方
取
243三角形边行线
1三角形边行线性质定理推
行三角形边直线截两边直线截应线段成例
行三角形边直线截两边直线截三角形三边原三角形三边应成例
2三角形重心
三角形三条中线交点做三角形重心
三角形重心顶点距离等顶点边中点距离两倍
3 三角形边行线判定定理推
果条直线截三角形两边应线段成例条直线行三角形第三边
果条直线截三角形两边延长线（两边延长线第三边侧）应线段成例条直线行三角形第三边
4 行线分线段成例定理
两条直线三条行直线截截应线段成例
两条直线三条行直线截果条直线截线段相等条直线截线段相等
5 通面学含例线段基图形：
例：
1 图已知角线AC取点G G作直线分交AB延长线BCADCD延长线开PQES求证GP·GQGE·GS
分析求线段证明例线段关键通找出中间进行渡种基方法 证明中行者等积式例式进行互化常方法
2 图ABC中ADBC中线F AD点AFFD13联结BF延长ACE
求证CEEA61
分析作行线证明例线段中常辅助线起构造(例)移作作行线应考虑两点点作行线二作直线行线原通作行线出现存例基图形例式中应出现已知求证中线段
3 图四边形ABCD中MN分ABCD边中点延长ADMN相交点GBC延长线交GMH求证AGDGBHCH
4 图ABC中点DBCBDDC21点EADAEED23BE延长线交AC点F求BEEF值
5图已知中相交点求值
6 图示菱形中点分
相交点
E
D
C
B
A
F
G
①求证：
②时求证：四边形行四边形
7图点菱形角线点联结延长交点交延长线点．
A
B
C
D
F
F
C
P
E
（1）求证：
（2）菱形边长求长．
8 图ABC中点D点求证：
重心题型
1 已知等腰三角形ABC中AB＝AC＝13BC＝10G重心BG＝ __________
2 中∠C＝90°BC＝12点G重心GD⊥BCCD＝___________
3 两等腰直角三角形位置图示点点
分直线点分
重心联结 ．
4 两三角形中心间距离做重心距面两边长相等等边三角形果边重合时重心距角成顶角时重心距___________
5直角三角形重心直角顶点距离2厘米直角三角形斜边长__________厘米
6 已知△ABC重心GBC边中点D距离2BC边中线长
7图点Ｇ重心ＡＧ⊥ＧＣＡＣ＝4ＢＧ长__________
8图点Ｇ重心ＧＨ∥ＡＣ交ＢＣ点ＨＧＨ＝2ＡＣ＝_________
9 点Ｇ重心果ＥＦ点ＧＥＦ∥ＢＣ分交ＡＢＡＣ点ＥＦ值_____________
10中ＢＣ＝3点Ｇ重心点Ｇ作ＤＧ∥ＢＣ交边ＡＢ点ＤＤＧ＝____________
11已知Ｇ重心点ＤＥ分边ＡＢＡＣ点ＤＥ∥ＢＣ重心Ｇ果周长30cm周长______________cm
12已知中点Ｇ重心＝____________
13中ABAC5BC8垂足DBE边AC中线ADBE相交点GAD____________
G
C
A
B
D
E
H
第3题图
第8题图
第7题图
黄金分割点题型
1 已知点C线段AB黄金分割点AB＝2求较长线段AC＝______________
2实数205例中项_____________
3已知线段____________
4已知Ｃ线段ＡＢ黄金分割点＝___________
5图行四边形中点Ｅ边黄金分割点＞相交点值___________
6已知中分交作∥ＢＣ交ＡＢ作分交ＡＣ作∥ＢＣ交ＡＢ线段长度_______________(含代数式表示）
7 △ABC中ABACBD分交AC点DDE分交BC点E
_____________
8．已知点C线段AB点满足列式子成立……（ ）
A． B． C． D．．
9．果点C线段AB黄金分割点列线段值（ ）
（A） （B） （C） （D）．
10已知点线段黄金分割点长______________
244相似三角形判定
知识点：相似三角形概念
1定义：果两三角形三角应相等三边应成例两三角形做相似三角形应相等角顶点两相似三角形应顶点
2表示方法：相似记作∽读作相似
注意记两三角形相似时通常表示应顶点字母写应位置样较容易找出相似三角形应角应边
3相似：相似三角形应边相似相似系数通常表示
注意相似概念应注意序问题应问题
知识点二：相似三角形预备定理判定定理
1 相似三角形预备定理
行三角形边直线截两边直线截三角形原三角形相似（符合相似三角形定义）
2 相似三角形判定定理1
果三角形两角三角形两角应相等两三角形相似简述：两角应相等两三角形相似
注意（1）该判定需两角便说明两三角形相似简单常判条件般题目中告诉角间关系线段行关系时常选择该判条件求线段长度说明线段例关系等
（2）该判方法方面指出三角形种图形两角便确定形状确定确定少需添加条边边长
3 相似三角形判定定理2
果三角形两边三角形两边应成例夹角相等两三角形相似简述：两边应成例夹角相等两三角形相似
注意全等样两边夹角
4 相似三角形判定定理3
果三角形三边三角形三边应成例两三角形相似简述：三边应成例两三角形相似
注意找两边应成例时般找夹角者找边应成例
知识点三：两直角三角形相似判定定理
果直角三角形斜边条直角边直角三角形斜边条直角边应成例两直角三角形相似简述：斜边直角边应成例两直角三角形相似
注意（1）题目中出现直角三角形时想前面方法外联系方法
（2）该定理具般性仅适直角三角形般三角形适
例：1图正方形ABCD边长1PCD边中点点Q线段BC△ADP△PCQ相似时
求BQ值
2图ABC中ABBCAD⊥BCDDE⊥ACEMDE中点BEAM交N
(1)求证 (2)求证 △BCE∽△ADM
3图DABC点EABC外点∠EBC∠DBA ∠ECB∠DAB
求证 ∠BDE∠BAC
4已知图ABC中AB>AC边AB取点DAC取点EADAE直线DEBC延长线交点P求证
245相似三角形性质
知识点：相似三角形应边应角关系
相似三角形应边成例应角相等
注意相似三角形应边成例证明例线段重方法性质例基性质相结合已知三条线段情况求出第四条线段长度性质求线段长重方法相似三角形应角相等继行线性质全等三角形应角相等等边等角种证明两角相等重方法时求关角度数
例：图已知等边△ABC边BCAC分点MN已知∠AMN＝60°△ABC边长10cmBM＝4cm求CN长
知识点二：相似三角形性质定理1
相似三角形应高应中线应角分线等相似三角形相似
例：图已知△ABC中AD高矩形EFGH接△ABC长边FGBC矩形相邻两边1：2BC＝30cmAD10Cm求矩形EFGH面积
例：图△ABC中AB3AC2D边AB点分线AQCDBC分相交点P点Q求值
知识点三：相似三角形性质定理2
相似三角形周长等相似
注意利性质已知两相似三角形相似中三角形周长情况求三角形周长时：相似三角形应高＝应中线＝应角分线＝周长＝相似
知识点四：相似三角形性质定理3
相似三角形面积等相似方
例：图已知△ABC中DE∥FG∥BCAD＝DF＝FB△ABC分成三部分面积
（ ）
（A）1：1：1 （B）1：2：3 （C）1：3：5 （D）1：4：9
图示△ABC中DE∥AB∥FGFGDEAB距离1：2△ABC面积32△CDE面积2△CFG面积_______________
1△ABC中点D边AB点FE边ACDF∥BE
（1） 求证：DE∥BC
（2） 果求值
2．图中点边点边联结交点
点满足
A
B
C
D
E
F
H
（第3题图）
（1）求证：∽
（2）分时求证：
3．图△ABC中点D边BC点AD ABAE⊥BC垂足点E．点D作DF AB
交边AC点F联结EF．
（1）求证：△EDF∽△EFC
A
B
C
D
E
F
（第3题图）
（2）果求证：AB BD．
4已知：图中
求证：（1）
（2）
5 已知：图E□ABCD角线AC点射线BEAD交点FCD延长线交点G．
（1）求证：例中项
（2）AFFD32求值．
6已知：图中分点延长线点
（1）求证：
（2）点线段点面积3
求面积
7已知：图中边中点射线
相交点边相交点
（1）求证：
（2）果求证：
（3）第（2）题条件果
求度数
8图已知△ABC中ABACBCAB3点G△ABC重心AG延长线交边BC点D点G直线分交边AB点P交射线AC点Q
（1）求AG长
（2）∠APQ90º时直线PG边BC相交点M求值
（3）点Q边AC时设BPAQ求关函数解析式写出定义域[源学科网ZXXK]
相似三角形判定基模型
（）A字型反A字型（斜A字型）
（行） （行）
（二）8字型反8字型
（蝴蝶型）
（行） （行）
（三）母子型
特点：公角公边夹公角边条直线反A字形特例
（四）线三等角型：
三等角型相似三角形等腰三角形（等腰梯形）者等边三角形背景
特殊情况：CBD中点时
（五）线三直角型：
六双垂型：
七三垂型相似模型
八享性
九旋转型相似
十斜斜混合型相似
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