§63 等数列前n项
考试求 1理解等数列概念2掌握等数列通项公式前n项公式3解等数列指数函数关系．
1．等数列关概念
(1)定义：般果数列第2项起项前项等常数(零)数列作等数列．常数作等数列公通常字母q(q≠0)表示定义表达式＝q(n∈N＋q非零常数)．
(2)等中项：果ab中插入数GaGb成等数列根等数列定义＝G2＝abG＝±称Gab等中项．
2．等数列关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1
(2)前n项公式：
Sn＝
3．等数列性质
(1)通项公式推广：an＝am·qn－m(mn∈N＋)．
(2)意正整数mnptm＋n＝p＋tam·an＝ap·at
特m＋n＝2pam·an＝a
(3)等数列前n项SmSmS2m－SmS3m－S2m成等数列m偶数q＝－1外．
(4)等数列{an}中等距离取出干项构成等数列anan＋kan＋2kan＋3k…等数列公qk
(5)等数列{an}递增数列．
等数列{an}递减数列．
微思考
1．数列{an}满足an＋1＝qan(q≠0){an}定等数列？
提示 定．需验证a1≠0
2．数列{an}等数列bn＝a2n－1＋a2n数列{bn}等数列？
提示 定．q＝－1时等数列．
题组 思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)等数列{an}公q>1该数列递增数列．( × )
(2)三数abc成等数列充条件b2＝ac( × )
(3)果正项数列{an}等数列数列{ln an}等差数列．( √ )
(4)数列{an}通项公式an＝an前n项Sn＝( × )
题组二 教材改编
2．已知等数列首项－1前n项Sn＝q值( )
A．－ B
C．2 D．－2
答案 B
解析 q＝1时＝1≠∴q≠1
q≠1时＝＝q5＝
∴q＝选B
3．已知数列{an}等数列a2＝66a1＋a3＝30a4＝________
答案 5424
解析 解
a4＝a1·q3＝2×33＝54a4＝3×23＝3×8＝24
4．已知三数成等数列等13积等27三数________．
答案 139931
解析 设三数aaq
解
∴三数139931
题组三 易错纠
5．已知等数列{an}中a2a3a4＝1a6a7a8＝64a5等( )
A．－2 B．±2 C．2 D．±
答案 C
解析 ∵a2·a3·a4＝1∴a3＝1
∵a6·a7·a8＝64∴a7＝4
a＝a3·a7＝4a5a3号
∴a5＝2选C
6．种专门占存计算机病毒开机时占存1 MB然3秒身复制次复制占存原2倍开机________秒该病毒占存8 GB(1 GB＝210 MB)
答案 39
解析 题意知病毒复制次占存构成等数列{an}a1＝2q＝2∴an＝2n
2n＝8×210＝213
∴n＝13
病毒复制13次．
∴需时间13×3＝39(秒)
题型 等数列基量运算
1．(2020·全国Ⅱ)记Sn等数列{an}前n项．a5－a3＝12a6－a4＝24等( )
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
答案 B
解析 方法 设等数列{an}公q
q＝＝＝2
a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12a1＝1
an＝a1qn－1＝2n－1Sn＝＝2n－1
＝＝2－21－n
方法二 设等数列{an}公q
＝q＝2
q＝2代入①解a3＝4
a1＝＝1方法．
2．(2020·广东外国语学校模拟)已知等数列{an}前n项Sna2＝＋＋＝S3等( )
A B
C D．6
答案 A
解析 设等数列{an}首项a1公q
a2＝＋＋＝
解
a1＝q＝3时S3＝＝
a1＝2q＝时S3＝＝
S3＝
3．(2020·马鞍山质检)中国古代数学著作算法统宗中样问题：三百七十八里关初日健步难次日脚痛减半六关……意：走378里路第天健步行走第二天起脚痛天走路程前天半走6天达目……四天走路程前两天走路程少( )
A．198里 B．191里
C．63里 D．48里
答案 A
解析 设天走路程里数{an}
{an}公等数列
S6＝378＝378解a1＝192
∴an＝192·n－1
∴四天走路程a3＋a4＋a5＋a6前两天走路程a1＋a2
a1＋a2＝192＋96＝288S6＝378
∴a3＋a4＋a5＋a6＝378－288＝90
∴(a1＋a2)－(a3＋a4＋a5＋a6)＝288－90＝198
四天走路程前两天走路程少198里选A
4．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中a1＝2am＋n＝amanak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25k等( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 C
解析 a1＝2am＋n＝aman
令m＝1an＋1＝a1an＝2an
∴{an}a1＝2首项q＝2公等数列
∴an＝2×2n－1＝2n
∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25
∴＝215－25
2k＋1(210－1)＝25(210－1)
∴2k＋1＝25∴k＋1＝5∴k＝4
思维升华 (1)等数列中五量a1nqanSn般知三求二通列方程(组)便迎刃解．
(2)等数列前n项公式涉公q分类讨q＝1时{an}前n项Sn＝na1q≠1时{an}前n项Sn＝＝
题型二 等数列判定证明
例1 数列{an}中a1＝1an＋1＝(n∈N*)证明：等数列．
证明 ＝＝
＝＝2×
＝＝2
∴首项2公2等数列．
思维升华 等数列三种常判定方法
(1)定义法：＝q(q非零常数n∈N*)＝q(q非零常数n≥2n∈N*){an}等数列．
(2)等中项法：数列{an}中an≠0a＝an·an＋2(n∈N*){an}等数列．
(3)前n项公式法：数列{an}前n项Sn＝k·qn－k(k常数k≠0q≠01) {an}等数列．
踪训练1 Sn等数列{an}前n项已知a4＝9a2S3＝13公q>0
(1)求anSn
(2)否存常数λ数列{Sn＋λ}等数列？存求λ值存请说明理．
解 (1)易知q≠1题意
解a1＝1q＝3
∴an＝3n－1Sn＝＝
(2)假设存常数λ数列{Sn＋λ}等数列
∵S1＋λ＝λ＋1S2＋λ＝λ＋4S3＋λ＝λ＋13
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)解λ＝
时Sn＋＝×3n＝＝3
存常数λ＝数列{Sn＋}首项3公等数列．
题型三 等数列性质应
例2 (1)已知数列{an}等数列Sn前n项a1＋a2＋a3＝4a4＋a5＋a6＝8S12等( )
A．40 B．60 C．32 D．50
答案 B
解析 数列S3S6－S3S9－S6S12－S9等数列
48S9－S6S12－S9等数列
∴S12＝4＋8＋16＋32＝60
(2)(2020·洛阳统考)等数列{an}项均正数a10a11＋a8a13＝64log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝________
答案 50
解析 等数列性质a10a11＝a8a13
a10a11＋a8a13＝2a10a11＝64
a10a11＝32
log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝log2(a1·a2·a3·…·a20)
＝log2[(a1·a20)·(a2·a19)·(a3·a18)·…·(a10·a11)]＝log2(a10·a11)10＝log23210＝50
思维升华 (1)等数列性质分三类：通项公式变形二等中项变形三前n项公式变形根题目条件认真分析发现具体变化特征找出解决问题突破口．
(2)巧性质减少运算量解题中非常重．
踪训练2 (1)(2020·贵阳质检)等数列{an}中a3a7方程x2＋4x＋2＝0两根a5值( )
A．－2 B．－ C．± D
答案 B
解析 根根系数间关系a3＋a7＝－4
a3a7＝2a3＋a7＝－4<0a3a7＝2>0
a3<0a7<0a5<0
a3a7＝aa5＝－＝－
(2)(2020·全国Ⅰ)设{an}等数列a1＋a2＋a3＝1a2＋a3＋a4＝2a6＋a7＋a8等( )
A．12 B．24 C．30 D．32
答案 D
解析 设等数列{an}公q
q＝＝＝2
a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32
[高考改编题] 已知等数列{an}前n项Sn＝＝________(n≥2n∈N*)．
答案 －
解析 明显等数列公q≠1
题意＝＝＝
解q＝
＝＝＝＝－
数列通项公式求解已学方法外根数列递推公式特点种构造方法．
构造法1 阶线性递推(形an＋1＝pan＋qp≠0中a1＝a型)
(1)p＝1数列{an}等差数列
(2)q＝0数列{an}等数列
(3)p≠1q≠0数列{an}线性递推数列通项通定系数法构造等数列求．
方法：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)an＋1＝pan＋(p－1)λ
an＋1＝pan＋q(p－1)λ＝qλ＝(p≠1)
an＋1＋＝p
构成a1＋首项p公等数列．
例1 数列{an}中a1＝1an＋1＝2an＋3求{an}通项公式．
解 ∵an＋1＝2an＋3∴an＋1＋3＝2(an＋3)
a1＋3＝4∴数列{an＋3}首项4公q＝2等数列
∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1∴an＝2n＋1－3
变式 例1中an＋1＝2an＋3变成an＋1＝2an＋3n条件变求{an}通项公式．
解 方法 ∵an＋1＝2an＋3n
∴an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)
an＋1＝2an－λ·3n∴λ＝－1
an＋1－3n＋1＝2(an－3n)
a1－3＝－2∴{an－3n}首项－2公q＝2等数列
∴an－3n＝－2·2n－1＝－2n∴an＝3n－2n
方法二 ∵an＋1＝2an＋3n等式两边3n＋1
＝·＋
令bn＝bn＋1＝bn＋
bn＋1＋λ＝(bn＋λ)bn＋1＝bn－λλ＝－1
∴bn＋1－1＝(bn－1)b1－1＝－1＝－
∴{bn－1}首项－公q＝等数列
∴bn－1＝－·n－1＝－n∴bn＝1－n
∴＝1－n∴an＝3n－2n
构造法2 二阶线性递推(形an＋1＝pan＋qan－1中a1＝aa2＝b型)
化an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)中x1x2方程x2－px－q＝0两根1方程根直接构造数列{an－an－1}1方程根需构造两数列采取消元方法求数列{an}．
例2 (1)数列{an}中a1＝1a2＝3an＋2＝3an＋1－2anan＝________
答案 2n－1
解析 an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)
∵a2－a1＝2∴{an－an－1}首项2公2等数列
an－an－1＝2n－1(n>1)
n>1时an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1
＝＝2n－1
显然n＝1时满足式
∴an＝2n－1
(2)已知数列{an}中a1＝5a2＝2an＝2an－1＋3an－2(n≥3)求数列通项公式．
解 ∵an＝2an－1＋3an－2
∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)
a1＋a2＝7{an＋an－1}形成首项7公3等数列
an＋an－1＝7×3n－2①
an－3an－1＝－(an－1－3an－2)
a2－3a1＝－13{an－3an－1}形成首项－13公－1等数列
an－3an－1＝(－13)·(－1)n－2②
①×3＋②4an＝7×3n－1＋13·(－1)n－1
∴an＝×3n－1＋(－1)n－1
构造法3 倒数特殊数列
两边时取倒数转化＝·＋形式化bn＋1＝pbn＋q型求出表达式求an
例3 (1)已知数列{an}中a1＝1an＋1＝求数列{an}通项公式．
解 ∵an＋1＝a1＝1
∴an≠0∴＝＋
－＝
a1＝1＝1
∴1首项公差等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝＋
∴an＝(n∈N*)．
(2)已知数列{an}中a1＝2an＋1＝(n∈N*)求an
解 ∵＝3·＋1∴＋＝3
＋＝1
∴1首项3公等数列
∴＋＝3n－1
∴＝3n－1－
∴an＝(n∈N*)．
课时精练
1．正项等数列{an}中a3＝2a4·a6＝64值( )
A．4 B．8 C．16 D．64
答案 C
解析 设正项等数列{an}公q
∵a3＝2a4·a6＝64∴a1q2＝2aq8＝64
解q2＝4＝42＝16
2．设正项等数列{an}前n项SnS3＝S1＋2S2a2＝3a5等( )
A．3 B．12 C．24 D．48
答案 C
解析 设等数列{an}公q
∵S3＝S1＋2S2a2＝3
∴⇒
解(舍)
∴a5＝a1q4＝×24＝24
3．已知数列a1……首项1公2等数列log2an等( )
A．n(n＋1) B
C D
答案 D
解析 题设＝1×2n－1＝2n－1(n≥2)
an＝a1×××…×
＝1×21＋2＋…＋n－1
＝(n≥2)
n＝1时a1＝1满足该式an＝(n≥1)
log2an＝
4．数列{an}中a1＝1a2＝3＝2＋(－1)n(n∈N*)Sn数列{an}前n项S100等( )
A＋50 B＋50
C＋50 D＋50
答案 C
解析 题意＝2＋(－1)n(n∈N*)
n偶数时＝3
n奇数时＝1
数列偶数项成公3等数列奇数项1
求公式S100＝＋50＝＋50
5．(2020·永州模拟)设等数列{an}公q列结正确( )
A．数列{anan＋1}公q等数列
B．数列{an＋an＋1}公q等数列
C．数列{an－an＋1}公q等数列
D．数列公等数列
答案 D
解析 A＝q2(n≥2)知公q2等数列Bq＝－1{an＋an＋1}项中0等数列Cq＝1数列{an－an＋1}项中0等数列D＝＝数列公等数列选D
6．正项等数列{an}满足anan＋1＝22n(n∈N*)a6－a5值( )
A B．－16
C．2 D．16
答案 D
解析 设正项等数列{an}公q>0
∵anan＋1＝22n(n∈N*)
∴＝＝4＝q2解q＝2
∴a×2＝22nan>0解an＝
a6－a5＝－＝16选D
7．记Sn等数列{an}前n项a1＝1S4＝a5－1公q＝________
答案 2－1
解析 q＝1S4＝4a5－1＝0等式S4＝a5－1成立q≠1S4＝a5－1＝a1q4－1结合a1＝1整理(q4－1)(2－q)＝0q≠1q＝2q＝－1
8．已知递增等数列{an}中a2＋a8＝3a3·a7＝2＝________
答案
解析 数列{an}等数列a3·a7＝2a2·a8＝2
数列{an}递增等数列
设等数列{an}公q(q>0)
q6＝2q3＝
＝q3＝
9．(2020·安庆模拟)已知公1等数列{an}a＝a7a6＋2a4＝3a5数列{an}通项公式an＝________
答案 2n＋1
解析 设等数列{an}公q
q≠1a＝a7a6＋2a4＝3a5
解a1＝4q＝2
∴数列{an}通项公式an＝a1qn－1＝4×2n－1＝2n＋1
10．设{an}正数组成等数列Sn{an}前n项已知a2a4＝16S3＝28a1a2…an时n值________．
答案 45
解析 数列{an}项正数等数列a2a4＝16a3＝4S3＝a3＝28＋＋1＝7·＝0解q＝an＝a3qn－3＝25－na1a2…an＝24×23×…×25－n＝ 取值时a1a2…an取值时整数n＝45
11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1nan＋1＝2(n＋1)an设bn＝
(1)求b1b2b3
(2)判断数列{bn}否等数列说明理
(3)求{an}通项公式．
解 (1)条件an＋1＝an
n＝1代入a2＝4a1a1＝1a2＝4
n＝2代入a3＝3a2a3＝12
b1＝1b2＝2b3＝4
(2){bn}首项1公2等数列．理：
条件＝bn＋1＝2bn
b1＝1{bn}首项1公2等数列．
(3)(2)＝2n－1an＝n·2n－1
12．已知数列{an}前n项Sn满足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．
(1)求证：数列等数列
(2)求数列{an－1}前n项Tn
(1)证明 2Sn＝－an＋n
n≥2时2Sn－1＝－an－1＋n－1
两式相减2an＝－an＋an－1＋1an＝an－1＋
∴an－＝
∴数列等数列．
(2)解 2S1＝－a1＋1a1＝
(1)知数列－首项公等数列．
∴an－＝－n－1＝－n
∴an＝－n＋
∴an－1＝－n－
∴Tn＝－＝－
13．(2020·东北三省四校联考)已知数列{an}正项等数列a2＝a3＝2a1a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等( )
A．(2＋)[1－()n] B．(2＋)[()n－1]
C(2n－1) D(1－2n)
答案 C
解析 {an}正项等数列a2＝a3＝2a1a1＝1公q＝数列{anan＋1}首项2公等数列a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(2n－1)．选C
14．已知等数列{an}项均正数公1前n项积Tna2a4＝a3Tn>1n值( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 ∵数列{an}项均正数等数列a2a4＝a3∴a＝a3∴a3＝1∵q>1∴a11(n>3)∴Tn>Tn－1(n≥4n∈N*)T1<1T2＝a1·a2<1T3＝a1·a2·a3＝a1a2＝T2<1T4＝a1a2a3a4＝a1<1T5＝a1·a2·a3·a4·a5＝a＝1T6＝T5·a6＝a6>1n值6
15．已知数列{an}满足递推公式an＋1＝2an＋1a1＝1设Sn数列{an}前n项值________．
答案
解析 an＋1＝2an＋1an＋1＋1＝2(an＋1)
数列{an＋1}首项a1＋1＝2公2等数列
an＋1＝2nan＝2n－1
Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n
＝＝2n＋－2
勾函数性质n＝1时2n＝22n＋－2＝2＋－2＝
n≥2时2n≥4y＝2n＋－2增加
n＝2时2n＋－2＝4＋－2＝<
值
16．已知等数列{an}公q>1a1＝2a1a2a3－8成等差数列数列{anbn}前n项
(1)分求出数列{an}{bn}通项公式
(2)设数列前n项Sn意n∈N＋Sn≤m恒成立求实数m值．
解 (1)a1＝2a1a2a3－8成等差数列
2a2＝a1＋a3－8
2a1q＝a1＋a1q2－8q2－2q－3＝0
q＝3q＝－1q>1q＝3
an＝2·3n－1(n∈N＋)．
a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝
a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n≥2)
两式相减anbn＝2n·3n－1(n≥2)
an＝2·3n－1bn＝n(n≥2)
n＝1时a1b1＝2a1＝2b1＝1(符合式)
bn＝n(n∈N＋)．
(2)数列{an}首项2公3等数列
数列首项公等数列
Sn＝＝<
意n∈N＋Sn≤m恒成立
m≥实数m值
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考试求 1理解等数列概念2掌握等数列通项公式前n项公式3解等数列指数函数关系．
1．等数列关概念
(1)定义：般果数列第2项起项前项等常数(零)数列作等数列．常数作等数列公通常字母q(q≠0)表示定义表达式＝q(n∈N＋q非零常数)．
(2)等中项：果ab中插入数GaGb成等数列根等数列定义＝G2＝abG＝±称Gab等中项．
2．等数列关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1
(2)前n项公式：
Sn＝
3．等数列性质
(1)通项公式推广：an＝am·qn－m(mn∈N＋)．
(2)意正整数mnptm＋n＝p＋tam·an＝ap·at
特m＋n＝2pam·an＝a
(3)等数列前n项SmSmS2m－SmS3m－S2m成等数列m偶数q＝－1外．
(4)等数列{an}中等距离取出干项构成等数列anan＋kan＋2kan＋3k…等数列公qk
(5)等数列{an}递增数列．
等数列{an}递减数列．
微思考
1．数列{an}满足an＋1＝qan(q≠0){an}定等数列？
提示 定．需验证a1≠0
2．数列{an}等数列bn＝a2n－1＋a2n数列{bn}等数列？
提示 定．q＝－1时等数列．
题组 思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)等数列{an}公q>1该数列递增数列．( × )
(2)三数abc成等数列充条件b2＝ac( × )
(3)果正项数列{an}等数列数列{ln an}等差数列．( √ )
(4)数列{an}通项公式an＝an前n项Sn＝( × )
题组二 教材改编
2．已知等数列首项－1前n项Sn＝q值( )
A．－ B
C．2 D．－2
答案 B
解析 q＝1时＝1≠∴q≠1
q≠1时＝＝q5＝
∴q＝选B
3．已知数列{an}等数列a2＝66a1＋a3＝30a4＝________
答案 5424
解析 解
a4＝a1·q3＝2×33＝54a4＝3×23＝3×8＝24
4．已知三数成等数列等13积等27三数________．
答案 139931
解析 设三数aaq
解
∴三数139931
题组三 易错纠
5．已知等数列{an}中a2a3a4＝1a6a7a8＝64a5等( )
A．－2 B．±2 C．2 D．±
答案 C
解析 ∵a2·a3·a4＝1∴a3＝1
∵a6·a7·a8＝64∴a7＝4
a＝a3·a7＝4a5a3号
∴a5＝2选C
6．种专门占存计算机病毒开机时占存1 MB然3秒身复制次复制占存原2倍开机________秒该病毒占存8 GB(1 GB＝210 MB)
答案 39
解析 题意知病毒复制次占存构成等数列{an}a1＝2q＝2∴an＝2n
2n＝8×210＝213
∴n＝13
病毒复制13次．
∴需时间13×3＝39(秒)
题型 等数列基量运算
1．(2020·全国Ⅱ)记Sn等数列{an}前n项．a5－a3＝12a6－a4＝24等( )
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
答案 B
解析 方法 设等数列{an}公q
q＝＝＝2
a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12a1＝1
an＝a1qn－1＝2n－1Sn＝＝2n－1
＝＝2－21－n
方法二 设等数列{an}公q
＝q＝2
q＝2代入①解a3＝4
a1＝＝1方法．
2．(2020·广东外国语学校模拟)已知等数列{an}前n项Sna2＝＋＋＝S3等( )
A B
C D．6
答案 A
解析 设等数列{an}首项a1公q
a2＝＋＋＝
解
a1＝q＝3时S3＝＝
a1＝2q＝时S3＝＝
S3＝
3．(2020·马鞍山质检)中国古代数学著作算法统宗中样问题：三百七十八里关初日健步难次日脚痛减半六关……意：走378里路第天健步行走第二天起脚痛天走路程前天半走6天达目……四天走路程前两天走路程少( )
A．198里 B．191里
C．63里 D．48里
答案 A
解析 设天走路程里数{an}
{an}公等数列
S6＝378＝378解a1＝192
∴an＝192·n－1
∴四天走路程a3＋a4＋a5＋a6前两天走路程a1＋a2
a1＋a2＝192＋96＝288S6＝378
∴a3＋a4＋a5＋a6＝378－288＝90
∴(a1＋a2)－(a3＋a4＋a5＋a6)＝288－90＝198
四天走路程前两天走路程少198里选A
4．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中a1＝2am＋n＝amanak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25k等( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 C
解析 a1＝2am＋n＝aman
令m＝1an＋1＝a1an＝2an
∴{an}a1＝2首项q＝2公等数列
∴an＝2×2n－1＝2n
∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25
∴＝215－25
2k＋1(210－1)＝25(210－1)
∴2k＋1＝25∴k＋1＝5∴k＝4
思维升华 (1)等数列中五量a1nqanSn般知三求二通列方程(组)便迎刃解．
(2)等数列前n项公式涉公q分类讨q＝1时{an}前n项Sn＝na1q≠1时{an}前n项Sn＝＝
题型二 等数列判定证明
例1 数列{an}中a1＝1an＋1＝(n∈N*)证明：等数列．
证明 ＝＝
＝＝2×
＝＝2
∴首项2公2等数列．
思维升华 等数列三种常判定方法
(1)定义法：＝q(q非零常数n∈N*)＝q(q非零常数n≥2n∈N*){an}等数列．
(2)等中项法：数列{an}中an≠0a＝an·an＋2(n∈N*){an}等数列．
(3)前n项公式法：数列{an}前n项Sn＝k·qn－k(k常数k≠0q≠01) {an}等数列．
踪训练1 Sn等数列{an}前n项已知a4＝9a2S3＝13公q>0
(1)求anSn
(2)否存常数λ数列{Sn＋λ}等数列？存求λ值存请说明理．
解 (1)易知q≠1题意
解a1＝1q＝3
∴an＝3n－1Sn＝＝
(2)假设存常数λ数列{Sn＋λ}等数列
∵S1＋λ＝λ＋1S2＋λ＝λ＋4S3＋λ＝λ＋13
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)解λ＝
时Sn＋＝×3n＝＝3
存常数λ＝数列{Sn＋}首项3公等数列．
题型三 等数列性质应
例2 (1)已知数列{an}等数列Sn前n项a1＋a2＋a3＝4a4＋a5＋a6＝8S12等( )
A．40 B．60 C．32 D．50
答案 B
解析 数列S3S6－S3S9－S6S12－S9等数列
48S9－S6S12－S9等数列
∴S12＝4＋8＋16＋32＝60
(2)(2020·洛阳统考)等数列{an}项均正数a10a11＋a8a13＝64log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝________
答案 50
解析 等数列性质a10a11＝a8a13
a10a11＋a8a13＝2a10a11＝64
a10a11＝32
log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝log2(a1·a2·a3·…·a20)
＝log2[(a1·a20)·(a2·a19)·(a3·a18)·…·(a10·a11)]＝log2(a10·a11)10＝log23210＝50
思维升华 (1)等数列性质分三类：通项公式变形二等中项变形三前n项公式变形根题目条件认真分析发现具体变化特征找出解决问题突破口．
(2)巧性质减少运算量解题中非常重．
踪训练2 (1)(2020·贵阳质检)等数列{an}中a3a7方程x2＋4x＋2＝0两根a5值( )
A．－2 B．－ C．± D
答案 B
解析 根根系数间关系a3＋a7＝－4
a3a7＝2a3＋a7＝－4<0a3a7＝2>0
a3<0a7<0a5<0
a3a7＝aa5＝－＝－
(2)(2020·全国Ⅰ)设{an}等数列a1＋a2＋a3＝1a2＋a3＋a4＝2a6＋a7＋a8等( )
A．12 B．24 C．30 D．32
答案 D
解析 设等数列{an}公q
q＝＝＝2
a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32
[高考改编题] 已知等数列{an}前n项Sn＝＝________(n≥2n∈N*)．
答案 －
解析 明显等数列公q≠1
题意＝＝＝
解q＝
＝＝＝＝－
数列通项公式求解已学方法外根数列递推公式特点种构造方法．
构造法1 阶线性递推(形an＋1＝pan＋qp≠0中a1＝a型)
(1)p＝1数列{an}等差数列
(2)q＝0数列{an}等数列
(3)p≠1q≠0数列{an}线性递推数列通项通定系数法构造等数列求．
方法：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)an＋1＝pan＋(p－1)λ
an＋1＝pan＋q(p－1)λ＝qλ＝(p≠1)
an＋1＋＝p
构成a1＋首项p公等数列．
例1 数列{an}中a1＝1an＋1＝2an＋3求{an}通项公式．
解 ∵an＋1＝2an＋3∴an＋1＋3＝2(an＋3)
a1＋3＝4∴数列{an＋3}首项4公q＝2等数列
∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1∴an＝2n＋1－3
变式 例1中an＋1＝2an＋3变成an＋1＝2an＋3n条件变求{an}通项公式．
解 方法 ∵an＋1＝2an＋3n
∴an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)
an＋1＝2an－λ·3n∴λ＝－1
an＋1－3n＋1＝2(an－3n)
a1－3＝－2∴{an－3n}首项－2公q＝2等数列
∴an－3n＝－2·2n－1＝－2n∴an＝3n－2n
方法二 ∵an＋1＝2an＋3n等式两边3n＋1
＝·＋
令bn＝bn＋1＝bn＋
bn＋1＋λ＝(bn＋λ)bn＋1＝bn－λλ＝－1
∴bn＋1－1＝(bn－1)b1－1＝－1＝－
∴{bn－1}首项－公q＝等数列
∴bn－1＝－·n－1＝－n∴bn＝1－n
∴＝1－n∴an＝3n－2n
构造法2 二阶线性递推(形an＋1＝pan＋qan－1中a1＝aa2＝b型)
化an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)中x1x2方程x2－px－q＝0两根1方程根直接构造数列{an－an－1}1方程根需构造两数列采取消元方法求数列{an}．
例2 (1)数列{an}中a1＝1a2＝3an＋2＝3an＋1－2anan＝________
答案 2n－1
解析 an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)
∵a2－a1＝2∴{an－an－1}首项2公2等数列
an－an－1＝2n－1(n>1)
n>1时an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1
＝＝2n－1
显然n＝1时满足式
∴an＝2n－1
(2)已知数列{an}中a1＝5a2＝2an＝2an－1＋3an－2(n≥3)求数列通项公式．
解 ∵an＝2an－1＋3an－2
∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)
a1＋a2＝7{an＋an－1}形成首项7公3等数列
an＋an－1＝7×3n－2①
an－3an－1＝－(an－1－3an－2)
a2－3a1＝－13{an－3an－1}形成首项－13公－1等数列
an－3an－1＝(－13)·(－1)n－2②
①×3＋②4an＝7×3n－1＋13·(－1)n－1
∴an＝×3n－1＋(－1)n－1
构造法3 倒数特殊数列
两边时取倒数转化＝·＋形式化bn＋1＝pbn＋q型求出表达式求an
例3 (1)已知数列{an}中a1＝1an＋1＝求数列{an}通项公式．
解 ∵an＋1＝a1＝1
∴an≠0∴＝＋
－＝
a1＝1＝1
∴1首项公差等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝＋
∴an＝(n∈N*)．
(2)已知数列{an}中a1＝2an＋1＝(n∈N*)求an
解 ∵＝3·＋1∴＋＝3
＋＝1
∴1首项3公等数列
∴＋＝3n－1
∴＝3n－1－
∴an＝(n∈N*)．
课时精练
1．正项等数列{an}中a3＝2a4·a6＝64值( )
A．4 B．8 C．16 D．64
答案 C
解析 设正项等数列{an}公q
∵a3＝2a4·a6＝64∴a1q2＝2aq8＝64
解q2＝4＝42＝16
2．设正项等数列{an}前n项SnS3＝S1＋2S2a2＝3a5等( )
A．3 B．12 C．24 D．48
答案 C
解析 设等数列{an}公q
∵S3＝S1＋2S2a2＝3
∴⇒
解(舍)
∴a5＝a1q4＝×24＝24
3．已知数列a1……首项1公2等数列log2an等( )
A．n(n＋1) B
C D
答案 D
解析 题设＝1×2n－1＝2n－1(n≥2)
an＝a1×××…×
＝1×21＋2＋…＋n－1
＝(n≥2)
n＝1时a1＝1满足该式an＝(n≥1)
log2an＝
4．数列{an}中a1＝1a2＝3＝2＋(－1)n(n∈N*)Sn数列{an}前n项S100等( )
A＋50 B＋50
C＋50 D＋50
答案 C
解析 题意＝2＋(－1)n(n∈N*)
n偶数时＝3
n奇数时＝1
数列偶数项成公3等数列奇数项1
求公式S100＝＋50＝＋50
5．(2020·永州模拟)设等数列{an}公q列结正确( )
A．数列{anan＋1}公q等数列
B．数列{an＋an＋1}公q等数列
C．数列{an－an＋1}公q等数列
D．数列公等数列
答案 D
解析 A＝q2(n≥2)知公q2等数列Bq＝－1{an＋an＋1}项中0等数列Cq＝1数列{an－an＋1}项中0等数列D＝＝数列公等数列选D
6．正项等数列{an}满足anan＋1＝22n(n∈N*)a6－a5值( )
A B．－16
C．2 D．16
答案 D
解析 设正项等数列{an}公q>0
∵anan＋1＝22n(n∈N*)
∴＝＝4＝q2解q＝2
∴a×2＝22nan>0解an＝
a6－a5＝－＝16选D
7．记Sn等数列{an}前n项a1＝1S4＝a5－1公q＝________
答案 2－1
解析 q＝1S4＝4a5－1＝0等式S4＝a5－1成立q≠1S4＝a5－1＝a1q4－1结合a1＝1整理(q4－1)(2－q)＝0q≠1q＝2q＝－1
8．已知递增等数列{an}中a2＋a8＝3a3·a7＝2＝________
答案
解析 数列{an}等数列a3·a7＝2a2·a8＝2
数列{an}递增等数列
设等数列{an}公q(q>0)
q6＝2q3＝
＝q3＝
9．(2020·安庆模拟)已知公1等数列{an}a＝a7a6＋2a4＝3a5数列{an}通项公式an＝________
答案 2n＋1
解析 设等数列{an}公q
q≠1a＝a7a6＋2a4＝3a5
解a1＝4q＝2
∴数列{an}通项公式an＝a1qn－1＝4×2n－1＝2n＋1
10．设{an}正数组成等数列Sn{an}前n项已知a2a4＝16S3＝28a1a2…an时n值________．
答案 45
解析 数列{an}项正数等数列a2a4＝16a3＝4S3＝a3＝28＋＋1＝7·＝0解q＝an＝a3qn－3＝25－na1a2…an＝24×23×…×25－n＝ 取值时a1a2…an取值时整数n＝45
11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1nan＋1＝2(n＋1)an设bn＝
(1)求b1b2b3
(2)判断数列{bn}否等数列说明理
(3)求{an}通项公式．
解 (1)条件an＋1＝an
n＝1代入a2＝4a1a1＝1a2＝4
n＝2代入a3＝3a2a3＝12
b1＝1b2＝2b3＝4
(2){bn}首项1公2等数列．理：
条件＝bn＋1＝2bn
b1＝1{bn}首项1公2等数列．
(3)(2)＝2n－1an＝n·2n－1
12．已知数列{an}前n项Sn满足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．
(1)求证：数列等数列
(2)求数列{an－1}前n项Tn
(1)证明 2Sn＝－an＋n
n≥2时2Sn－1＝－an－1＋n－1
两式相减2an＝－an＋an－1＋1an＝an－1＋
∴an－＝
∴数列等数列．
(2)解 2S1＝－a1＋1a1＝
(1)知数列－首项公等数列．
∴an－＝－n－1＝－n
∴an＝－n＋
∴an－1＝－n－
∴Tn＝－＝－
13．(2020·东北三省四校联考)已知数列{an}正项等数列a2＝a3＝2a1a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等( )
A．(2＋)[1－()n] B．(2＋)[()n－1]
C(2n－1) D(1－2n)
答案 C
解析 {an}正项等数列a2＝a3＝2a1a1＝1公q＝数列{anan＋1}首项2公等数列a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(2n－1)．选C
14．已知等数列{an}项均正数公1前n项积Tna2a4＝a3Tn>1n值( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 ∵数列{an}项均正数等数列a2a4＝a3∴a＝a3∴a3＝1∵q>1∴a1
15．已知数列{an}满足递推公式an＋1＝2an＋1a1＝1设Sn数列{an}前n项值________．
答案
解析 an＋1＝2an＋1an＋1＋1＝2(an＋1)
数列{an＋1}首项a1＋1＝2公2等数列
an＋1＝2nan＝2n－1
Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n
＝＝2n＋－2
勾函数性质n＝1时2n＝22n＋－2＝2＋－2＝
n≥2时2n≥4y＝2n＋－2增加
n＝2时2n＋－2＝4＋－2＝<
值
16．已知等数列{an}公q>1a1＝2a1a2a3－8成等差数列数列{anbn}前n项
(1)分求出数列{an}{bn}通项公式
(2)设数列前n项Sn意n∈N＋Sn≤m恒成立求实数m值．
解 (1)a1＝2a1a2a3－8成等差数列
2a2＝a1＋a3－8
2a1q＝a1＋a1q2－8q2－2q－3＝0
q＝3q＝－1q>1q＝3
an＝2·3n－1(n∈N＋)．
a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝
a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n≥2)
两式相减anbn＝2n·3n－1(n≥2)
an＝2·3n－1bn＝n(n≥2)
n＝1时a1b1＝2a1＝2b1＝1(符合式)
bn＝n(n∈N＋)．
(2)数列{an}首项2公3等数列
数列首项公等数列
Sn＝＝<
意n∈N＋Sn≤m恒成立
m≥实数m值
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