选择题
1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)f(x)R增函数充条件( )
A.b2-4ac>0 B.b>0c>0
C.b=0c>0 D.b2-3ac<0
[答案] D
[解析] ∵a>0f(x)增函数
∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立
∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0∴b2-3ac<0
2.(2009·广东文8)函数f(x)=(x-3)ex单调递增区间( )
A.(-∞2) B.(03)
C.(14) D.(2+∞)
[答案] D
[解析] 考查导数简单应.
f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex
令f′(x)>0解x>2选D
3.已知函数y=f(x)(x∈R)点(x0f(x0))处切线斜率k=(x0-2)(x0+1)2该函数单调递减区间( )
A.[-1+∞) B.(-∞2]
C.(-∞-1)(12) D.[2+∞)
[答案] B
[解析] 令k≤0x0≤2导数意义知函数单调减区间(-∞2].
4.已知函数y=xf′(x)图象图(1)示(中f′(x)函数f(x)导函数)面四图象中y=f(x)图象致( )
[答案] C
[解析] 0
x>1时xf′(x)>0∴f′(x)>0y=f(x)(1+∞)增函数否定ABD选C
5.函数y=xsinx+cosxx∈(-ππ)单调增区间( )
A
B
C
D
[答案] A
[解析] y′=xcosx-π
0
6.列命题成立( )
A.f(x)(ab)增函数x∈(ab)f′(x)>0
B.(ab)xf′(x)>0f(x)(ab)增函数
C.f(x)(ab)单调函数f′(x)必存
D.f′(x)(ab)存f(x)必单调函数
[答案] B
[解析] f(x)(ab)增函数f′(x)≥0A错f(x)(ab)单调函数f′(x)否存必然联系C错f(x)=2(ab)导数f′(x)=0存f(x)单调性D错.
7.(2007·福建理11)已知意实数xf(-x)=-f(x)g(-x)=g(x)x>0时f′(x)>0g′(x)>0x<0时( )
A.f′(x)>0g′(x)>0 B.f′(x)>0g′(x)<0
C.f′(x)<0g′(x)>0 D.f′(x)<0g′(x)<0
[答案] B
[解析] f(x)奇函数g(x)偶函数奇(偶)函数关原点称两区间单调性相(反)∴x<0时f′(x)>0g′(x)<0
8.f(x)定义(0+∞)非负导函数满足xf′(x)+f(x)≤0意正数abaA.af(a)≤f(b) B.bf(b)≤f(a)
C.af(b)≤bf(a) D.bf(a)≤af(b)
[答案] C
[解析] ∵xf′(x)+f(x)≤0x>0f(x)≥0
∴f′(x)≤-f(x)(0+∞)减函数
0<a<b∴af(b)≤bf(a).
9.R导意函数f(x)满足(x-1)f′(x)≥0必( )
A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)
[答案] C
[解析] (x-1)f′(x)≥0f(x)[1+∞)单调递增(-∞1]单调递减f(x)恒常数
f(0)+f(2)≥2f(1).应选C
10.(2010·江西理12)图正五角星薄片(称轴水面垂直)匀速升出水面记t时刻五角星露出水面部分图形面积S(t)(S(0)=0)导函数y=S′(t)图致
( )
[答案] A
[解析] 图象知五角星露出水面面积变化率增→减→增→减中恰露出角时变化连续选A
二填空题
11.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3R单调增函数b范围________.
[答案] b<-1b>2
[解析] y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立Δ=4b2-4(b+2)≤0∴-1≤b≤2
题意b<-1b>2
12.已知函数f(x)=ax-lnxf(x)>1区间(1+∞)恒成立实数a取值范围________.
[答案] a≥1
[解析] 已知a>区间(1+∞)恒成立.
设g(x)=g′(x)=-<0 (x>1)
∴g(x)=区间(1+∞)单调递减
∴g(x)<g(1)
∵g(1)=1
∴<1区间(1+∞)恒成立
∴a≥1
13.函数y=ln(x2-x-2)单调递减区间__________.
[答案] (-∞-1)
[解析] 函数y=ln(x2-x-2)定义域(2+∞)∪(-∞-1)
令f(x)=x2-x-2f′(x)=2x-1<0x<
∴函数y=ln(x2-x-2)单调减区间(-∞-1).
14.函数y=x3-ax2+4(02)单调递减实数a取值范围____________.
[答案] [3+∞)
[解析] y′=3x2-2ax题意知3x2-2ax<0区间(02)恒成立
a>x区间(02)恒成立∴a≥3
三解答题
15.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx图象直线12x+y-1=0相切点(1-11).
(1)求ab值
(2)讨函数f(x)单调性.
[解析] (1)求导f′(x)=3x2-6ax+3b
f(x)图象直线12x+y-1=0相切点(1-11)f(1)=-11f′(1)=-12
解a=1b=-3
(2)a=1b=-3
f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)
=3(x+1)(x-3).
令f′(x)>0解x<-1x>3令f′(x)<0解-1
x∈(3+∞)时f(x)增函数
x∈(-13)时f(x)减函数.
16.求证:方程x-sinx=0根x=0
[证明] 设f(x)=x-sinxx∈(-∞+∞)
f′(x)=1-cosx>0
∴f(x)(-∞+∞)单调递增函数.
x=0时f(x)=0
∴方程x-sinx=0唯根x=0
17.已知函数y=axy=-(0+∞)减函数试确定函数y=ax3+bx2+5单调区间.
[分析] 先函数y=axy=-单调性确定ab取值范围根ab取值范围确定y=ax3+bx2+5单调区间.
[解析] ∵函数y=axy=-(0+∞)减函数∴a<0b<0
y=ax3+bx2+5y′=3ax2+2bx
令y′>03ax2+2bx>0∴-<x<0
∴x∈时函数增函数.
令y′<03ax2+2bx<0
∴x<-x>0
∴(0+∞)时函数减函数.
18.(2010·新课标全国文21)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2
(1)a=求f(x)单调区间
(2)x≥0时f(x)≥0求a取值范围.
[解析] (1)a=时f(x)=x(ex-1)-x2
f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
x∈(-∞-1)时f′(x)>0x∈(-10)时f′(x)<0x∈(0+∞)时f′(x)>0
f(x)(-∞-1][0+∞)单调递增[-10]单调递减.
(2)f(x)=x(ex-1-ax).
令g(x)=ex-1-axg′(x)=ex-a
a≤1x∈(0+∞)时g′(x)>0g(x)增函数g(0)=0x≥0时g(x)≥0f(x)≥0
a>1x∈(0lna)时g′(x)<0g(x)减函数g(0)=0x∈(0lna)时g(x)<0f(x)<0
综合a取值范围(-∞1].
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